1.2排列与组合2

C
4 4
但 1+4=2+3，1+2+3=2+4，1+2+4=3+4．
C 4 2C 4 3C 4 438 （个）．
.
24
4 “不相邻”的组合问题： 例1．现有十只灯，为节约用电，可以将其中的三只
灯关掉，但不能关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两 端的灯，关灯方法有多少种？
解：10只关掉3只余7只， 7只之间的6个空选3个，
例2 (1)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线 段共有多少条?
解：（1）10个不同元素中取2个元素的组合数.
C120102945条
(2)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的有向线段 共有多少条?
解：（2）有向线段有起点和终点， 10个不
同元素中取2个元素的排列数.
A 1 20 1 0 99条 0
?
共同点：都是从n个不同元素中任意 取出 m 个元素，
不同点：排列与元素的顺序有关，
而组合与元素的顺序无关。
.
5
例1：判断下列各个事件是组合问题还是排 列问题?
(1)从10个人里选3个代表去开会，共有多少种选法?
组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备
多少种车票?
排列问题排列问题
C63C42C31 36（0种）
.
17
例题4 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件 产品中任意抽出3件
(1)有多少种不同的抽法? 100个不同元素中取3个元素的组合数
C130 010 3 9 02 998161种 700
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?
从2件次品中抽出1件次品的抽法有
（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；
( 5 ) 方 法 一 ： C 3 2 C 9 3 C 3 1 C 9 4 C 3 0 C 9 5 7 5 6
方 法 二 ： C 1 5 2 C 3 3 C 9 27 5 6
( 6 ) 方 法 一 ： C 3 3 C 9 2 C 3 2 C 9 3 C 3 1 C 9 4 6 6 6
C22 C51 C73
C21 C52 C63
（3）只会划左舷２人都不选： C53 C53
共有 C22C51C73C21C52C63C53 C53 675（种）．
.
23
3 组合中的有重复问题：
例3 由数1、2、3、4可组成多少个不同的和？
解：选两个数相加有
C
2 4
选三个数相加有
C
3 4
选四个数相加有
问题二： 从已知的3个不同元素中每次取出2个 元素,并成一组。
没有顺序， 是组合。
.
4
组合定义: 一般地,从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成
一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
组合的特征：
（1）每个组合中元素互不相同；
（2）“只取不排”——无序性；
（3）组合相同即元素相同； 排列与组合有什么共同点与不同点？
x 2 6 x 5 0 , 或 x 2 4 x 3 0 , 2 x 1 1 , x 2 5 , x 3 4 , x 4 8 ,
x2xN ,5x5N且 x2x2,7 5x527 x8不合题意，舍去， x1 ,x4,x5.
(2) C n n 3 1C n n 1 1C n n 1C n n 2
有多少种不同的火车票价？ 组合问题 (需3)握10手人多聚少会次，?见面后组每合排题两问列人题问之间要握手相互问候,共
方法，小结：要区分排列与组合问题，先确定完成的
是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，若交换两
个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即与顺
序有关的是排列；若交换两个元素的位置对结果没有
C 9 98 5C 9 98 6C 9 99 7C 9 96 3C 9 99 6C 9 99 7C 9 96 3
C 1 9 0 7 0C 9 96 3C 1 3 00C 9 361 . 8820
13
例4
解方程(1)
C C x2x 27
5x5 27
解 (1)原方程化为：x 2 x 5 x 5 ,或 x 2 x 2 ( 5 7 x 5 )
(3)只有2件正品；
(4)至少有1件次品；
(5)至多有2件次品； (6)次品最多.
解答：（1）C
5 100
（2）C
5 97
（3）C
2 97
C
3 3
（4）C 9 4 7C 3 1C 9 3 7C 3 2C 9 2 7C 3 3，或
C5 100
C957
（5）C 9 5 7C 3 0C 9 4 7C 3 1C 9 3 7C 3 2 （6）C
第2步,将取出的m个元素做全排列,共有 Amm 种不 同的排法.
AnmCnm•Am m
C
m n
A
m n
A
m m
.
10
组合数公式
C n m A A m n m mn n 1 n 2 m !n m 1
n,m∈N*,并且m≤n.
Anm
n!
n m!
规定：Cn0 =1
Cnm
n!
m!nm!
.
11
＝ m1
n!
＝ n!
(m1)! (nm)(nm1)! m !( n m ) !
∴
Cmnnmm1Cm n1
.
12
组合数的两个性质：
性质1： Cnm Cnnm 性质2： Cn m 1Cn mCn m1
例3 计算：（1）C
4 7
和
C
3 7
（2）C
3 100
和
C939
C929
（3）C86 C84 2C85
法2 100件中抽3件减98件合格品中抽3件
C 1 30 0 C 9 38 96种 04
.
19
练习. 在产品检验中，常从产品中抽出一部分 进行检查.现有100件产品，其中3件次品，97件 正品.要抽出5件进行检查，根据下列各种要求， 各有多少种不同的抽法？
(1)无任何限制条件； (2)全是正品；
C
1 2
从98件合格品中抽出2件的抽法有
C
2 98
C21 •C9289506
.
18
例题4. 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件 产品中任意抽出3件
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
法1 含1件次品或含2件次品
C 2 1• C 9 2 8C 2 2• C 9 1 896 种 04
1.2 排列与组合
(二)
.
1
1.2.2 组 合
教学目标：
1.理解组合的意义，掌握组合数的计算公式； 2.能正确认识组合与排列的联系与区别. 3.通过本节的学习，培养学生是辩证唯物主义观点. 重 点：理解组合的意义. 难 点：掌握组合数的计算公式.
.
2
情境创设
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某
影响，则是组合问题，即与顺. 序无关的是组合.
6
组合数的定义：
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取 出m个元素的组合数
记 作Cmn
例如从4个不同元素中取出3个元素的组合数表
示为
CБайду номын сангаас
3 4
那么，如何计算呢？前面已经提到，组合与排
列有相互联系，能否利用这种关系，通过排列
25
5 “名额分配”问题：
例1．有10个参加数学竞赛的名额,要分给7所学校, 每校至少一个名额,有多少种不同的名额分配方法？
解：先将10个名额中的7个名额分给7个学校每校一个，
则转化为剩下的三个名额如何分配的问题，可分三类方法.
第一类:选三个学校,每个学校一个名额,分配方法数
abc acb
abd adb
acd adc
bcd bdc
排列
b排a c列 c a b bca cba bad dab bda dba
cad dac cda dca
cbd dbc cdb dcb
C
3 4
×
A
3 3
=
A
3 4
.
9
求从n个不同元素中取出m个元素的排列数, 可看作以下2个步骤得到: 第1步,从这n个不同元素中取出m个元素,共有Cnm 种不同的取法;
或, 原式 C 9 6(C 9 6C 9 5)C 9 50
(5)原式 C 9 9 6 3 C 9 9 6 4 C 9 9 7 5 C 9 9 8 6 C 9 9 9 7 C 9 9 6 3 C 9 9 7 4 C 9 9 7 5 C 9 9 8 6 C 9 9 9 7 C 9 9 6 3
天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学
参加下午的活动，有多少种不同的选法？
A
2 3
6
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某
天一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙；
甲、丙； 共3种
乙、丙.
.
3
两个问题有什么联系和区别？
问题一：
从已知的3个不同元素中每次取出2个元 素,按照一定的顺序排成一列. 有是顺序的， 是排列.
例1．计算：（1）C
4 7
C74
765435 4!
（2）C33n8nC23n1n
3n 38 n 21 n 3n
9.5n1.5 0,
nN,n10
原式= C 3 20 8 C 3 31 0 C 3 20 C 3 11 466
例2．求证：Cmnnmm1Cm n1
Cmn
n! m!(n
m)!
n m m 1Cn m 1n m m 1(m 1 )!(n n !m 1 )!
(2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守 门员,那么教练员有多少种方式做这件事情?
(1)由于上场球员没有角色差异，故有C1 17 1123种 76
(2)分两步完成这件事
第1步,从17名学员中选出11人上场 有C1171种
第2步,从上场的11人中选1名守门员 有C111种
共有 C 1 17 1C 1 11 .136种 136 15
数来求组合数呢？
.
7
下面我们还是先分析一下从a, b, c, d这4个元素 中选3个元素的组合与排列的关系：
从“元素相同顺序不同的两个组合相同”， 以及“元素相同顺序不同的两个排列不同” 得到启发，我们以“元素相同”为标准将排 列分类，并建立其排列与组合之间的如下对 应关系：
.
8
组合
ab c ab d ac d bc d
有 C63 20为所求．
例2．某仪表显示屏上一排７个小孔，每个小孔可 显示红与黄两种颜色信号，若每次有三个小孔同时给出 信号，但相邻的两孔不能同时给出信号，求此显示屏可 显示多少种不同的信号？
解：有４孔不显示信号,其空有５,选三空显示信号,有
C
3 5
种，
每孔都有红、黄两种颜色有
2 3 种，
可显示 C5323 80.（种）．
C73 35
.
21
例2 按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？
（（（（（12345）））））甲甲甲 甲 甲、 、、 必 、乙 乙乙 须 乙、 当 、、 、丙 丙丙 选 丙三 ， 三三三人乙人人人不至必、只能多须丙有当不一2当人选选能人当；；当当选选选C；3；；3CCC921131CC94943C613032C76985 126
.
16
例3 (1)有4本不同的书，一个人去借，有多少种不 同的借法？
(2) 有13本不同的书，其中小说6本，散文4本，诗 歌3本，某人借6本，其中有3本小说，2本散文，1本诗 歌，问有几种借法？
(1)此人所借的书可以是一本，二本，三本，四本
C 4 1C 4 2C 4 3C 4 41（5 本）
(2)解：分三个步骤完成，共有
（4）C96 C160 C95
（5）C 9 96 4C 9 97 5C 9 98 6C 9 99 7
解:原式 (C 8 6C 8 5)(C 8 5C 8 4)= C9 6C9 5C 1 60C 1 40210
(4)原式 (C 9 6 C 9 5 ) C 1 6 0 C 1 6 0 C 1 6 0 0
方 法 二 ： C 1 5 2 C 3 0 C . 9 56 6 6
22
2 某些特殊元素有特殊归类问题：
例1．有划船运动员10人，其中３人会划右舷，２人 会划左舷，其余５人都会划，现要从中选出６人，平均 分配在船的两舷，有多少种选法？ 解： ：按左舷分三类：
（1）只会划左舷２人都被选 （2）只会划有左舷１人被选：
解：原方程化为：C n 23C n 21C n 11C n 2
C n 22C n 12C n 22C n 2 Cn12 Cn2
n4
.
14
组合的简单应用： 例1 一位教练的足球队共有17名初级学员,他们中
以前没有一人参加过比赛,按照足球比赛规则,比赛时一 个足球队的上场队员是11人.问:
(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员 上场方案?
2 97
C
3 3
.
20
含有附加条件的组合问题：
1 某些特殊元素包含在(或不包含在)所要求的组合中：
例1．一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球，
⑴从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
C83 56
或
C72
C
3 7
⑵从口袋内取出3个球,含有1个黑球,有多少种取法?
C72 21
⑶从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法？