相似三角形专题训练-----23题几何训练

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华东师大版初三数学23章相似三角形典型例题(含答案)-学习文档

初三数学相似三角形（一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是：1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。

2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。

3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。

4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。

本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。

相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。

（二）重要知识点介绍：1. 比例线段的有关概念：b、d叫后项，d叫第四比例项，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中项。

把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。

2. 比例性质：3. 平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1∥l2∥l3。

②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

4. 相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似5. 相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方【典型例题】例1. （1）在比例尺是1：8000000的《中国行政区》地图上，量得A 、B 两城市的距离是7.5厘米，那么A 、B 两城市的实际距离是__________千米。

专题27.35 相似三角形几何模型-一线三等角(培优篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级数

专题27.35 相似三角形几何模型-一线三等角（培优篇）（专项练习）一、单选题1．如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB 上取点P ，使得△PAD 与△PBC 相似，则这样的P 点共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，P 是BC 边上一动点（与B ，C 不重合）连接AP ，作PE ∠AP 交∠BCD 的外角平分线于E ，设BP =x ，∠PCE 的面积为y ，则y 与x 的函数关系式是（）A ．24y x x =-+B ．2122y x x =- C ．2122y x x =-+D ．24y x x =-3．如图，在平面直角坐标系中，直线12y x m =+不经过第四象限，且与x 轴，y 轴分别交于,A B 两点，点P 为OA 的中点，点C 在线段OB 上，其坐标为(0,2)，连结BP ，CP ，若BPC BAO =∠∠，那么m 的值为（）A ．B ．4C ．5D ．64．将矩形OABC 如图放置，O 为坐标原点，若点A （﹣1，2），点B 的纵坐标是72，则点C 的坐标是（）A．（4，2）B．（3，32）C．（3，94）D．（2，32）二、填空题5．如图，将等边三角形ABC折叠，使得点C落在边AB上的点D处，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上．若AC＝8，AD＝2，则CECF＝_______________．6．如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝8，点E为DC上一个动点，把∠ADE沿AE折叠，若点D的对应点D′，连接D′B，以下结论中：∠D′B的最小值为3；∠当DE＝52时，∠ABD′是等腰三角形；∠当DE＝2是，∠ABD′是直角三角形；∠∠ABD′不可能是等腰直角三角形；其中正确的有_____．（填上你认为正确结论的序号）7．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B，点E为AB边的中点，∠DEC=∠A．有下列结论：∠DE平分∠AEC；∠CE平分∠DEB；∠DE平分∠ADC；∠EC平分∠BCD．其中正确的是_______________.（把所以正确结论的序号都填上）三、解答题8．如图，四边形ABCD 是正方形，点E 是BC 边上动点(不与,B C 重合)．连接,AE 过点E 作,EF AE ⊥交DC 于点F ．()1求证：ABE ECF ；()2连接AF ，试探究当点E 在BC 什么位置时，BAE EAF ∠=∠，请证明你的结论．9．如图，在ABC 中，点D E 、分别在边BC AC 、上，连接AD DE 、，且B ADEC ∠=∠=∠．（1）证明：BDA CED △∽△；（2）若45,2B BC ∠=︒=，当点D 在BC 上运动时（点D 不与B C 、重合），且ADE 是等腰三角形，求此时BD 的长．10．如图，已知∠ABC 是边长为12的正三角形，AD 是边BC 上的高线，CF 是外角ACE的平分线，点P是边BC上的一个动点（与点B，C不重合），∠APQ＝60°，射线PQ分别与边AC，射线CF交于点N，Q．（1）求证：∠ABP∠∠PCN；（2）不管点P运动到何处，在不添辅助线的情况下，除第（1）小题中的一对相似三角形外，请写出图中其它的所有相似三角形；（3）当点P从BD的中点运动到DC的中点时，点N都随着点P的运动而运动．在此过程中，试探究：能否求出点N运动的路径长？若能，请求出这个长度；若不能，请说明理由．11．如图，已知直线y=-34x+b与y轴相交于点B（0，3），与x轴交于点A，将△AOB沿y轴折叠，使点A落在x轴上的点C．（1）求点C的坐标；（2）设点P为线段CA上的一个动点，点P与点A、C不重合．联结PB．以点P为端点作射线PM交AB于点M，使∠BPM=∠BAC．∠求证：△PBC∽△MPA．∠是否存在点P，使△PBM为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图∠,在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与A,B重合),分别连接ED,EC,可以把四边形ABCD分成三个三角形,如果其中有两个三角形相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”;如果这三个三角形都相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”.【试题再现】如图∠,在∠ABC中,∠ACB=90°,直角顶点C在直线DE上,分别过点A,B作AD∠DE于点D,BE∠DE于点E.求证:∠ADC∠∠CEB．【问题探究】在图∠中,若∠A=∠B=∠DEC=40°,试判断点E是否是四边形ABCD的边AB 上的相似点,并说明理由.【深入探究】如图∠,AD∠BC,DP平分∠ADC,CP平分∠BCD交DP于点P,过点P作AB∠AD于点A,交BC于点B．(1)请证明点P是四边形ABCD的边AB上的一个强相似点.(2)若AD=3,BC=5,试求AB的长.13．如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点(不与A、C重合)，连接PB ，过点P 作PE PB ⊥，交射线DC 于点E ，已知3AD =，4AB =.(1)求PEPB的值； (2)当PCE ∆是以PC 为底的等腰三角形时.请求出AP 的值;14．（1）【问题情境】八上《伴你学》第138页有这样一个问题：如图1，把一块三角板（,90AB BC ABC =∠=︒）放入一个“U ”形槽中，使三角形的三个顶点A 、B 、C 分别在槽的两壁及底边上滑动，已知90D E ∠=∠=︒，在滑动过程中，你发现线段AD 与BE 有什么关系？试说明你的结论；（2）【变式探究】小明在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型；如图2，在ABC ∆中，点D 、E 、F 分别在边BC 、AC 、AB 上，若B FDE C ∠=∠=∠，则这三个相等的角之间的联系又会使图形中出现其他的一些等角．请你写出其中的一组，并加以说理；（3）【拓展应用】如图3，在ABC ∆中，BA BC =，45B ∠=︒，点D 、F 分别是边BC 、AB 上的动点，且2AF BD =．以DF 为腰向右作等腰DEF ∆，使得DE DF =，45EDF ∠=︒，连接CE ．∠试判断线段DC 、BD 、BF 之间的数量关系，并说明理由；∠如图4，已知2AC =，点G 是AC 的中点，连接EA 、EG ，直接写出EA EG +的最小值．15．感知∠（1）数学课上，老师给出了一个模型∠如图1，∠BAD =∠ACB =∠AED =90°，由∠1+∠+2+∠BAD =180°，∠2+∠D +∠AED =180°，可得∠1=∠D ；又因为∠ACB =∠AED =90°，可得∠ABC ∠∠DAE ，进而得到BCAC= ．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型．应用∠（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在∠ABC 中，点D 在边BC 上，并且DA=DE ，∠B =∠ADE =∠C ．若BC =a ，AB=b ，求CE 的长度（用含a ，b 的代数式表示）．拓展∠（3）创新组突发奇想，将此模型迁移到平行四边形中，如图3，在平行四边形ABCD 中，E 为边BC 上的一点，F 为边AB 上的一点．若∠DEF =∠B ．求证∠AB ·FE =BE ·DE ．16．[模型建立](一线三等角)（1）如图1，等腰Rt ABC 中，90,,ACB CB CA ∠=︒=直线ED 经过点C ，过点A 作AD ED ⊥于点,D 过点B 作BE ED ⊥于点,E 求证：BEC CDA ≌；[模型应用]（2）如图2，直线14:43l y x =+与坐标轴交于点,A B 、直线2l 经过点A 与直线1l 垂直，求直线2l 的函数表达式．（3）如图3，平面直角坐标系内有一点()6,8,B -过点B 作BA x ⊥轴于点A BC y ⊥、轴于点,C 点P 是线段AB 上的动点，点D 是直线22y x =-+上的动点且在第四象限内．若CPD △成为等腰直角三角形，请直接写出点D 的坐标．参考答案1．C解：设AP=x ，则BP=7-x ，然后根据对应关系，分情况为：∠当∠ADP∠∠BCP 时，可得AD APBC BP =，即237x x =-，解得x=145，这时有一个P点；∠当∠ADP∠∠BPC 时，可得AD APBP BC =，即273x x =-，解得x=1或x=6，因此这样的点有两个；因此符合条件的P 点共有3个. 故选C【点拨】此题主要考查了相似三角形的性质，解题时，先根据相似三角形的性质，和相似三角形的对应关系，列出相应的比例式，求解即可.2．C解：过点E 作EH ∠BC 的延长线于点H ,因为∠APB+∠EPC=90°, ∠BAP+∠APB=90°,所以∠BAP=∠EPH ,因为∠B=∠H,所以∠ABP ∠∠PHE ,设EH =a ,因为∠ECH=45°,∠H=90°,所以CH =EH =a ,因为BP =x ,所以CP =4-x ,根据相似三角形的性质,可知AB PHBP EH=,即 44x ax a-+=,整理得:()()40x a x --=,解得()124,x x a ==不符合题意,所以y 与x 的函数关系式为:()211142222y PC EH x x x x =⨯⨯=⨯-⨯=-+,故选C.3．D 【分析】典型的“一线三等角”，构造相似三角形△AOB∠∠DPC,即可证明△PCD∠∠BPA ，由相似比求得边的相应关系，从而求解．解：在x 轴上找点D （4,0），连接CD.由12y x m =+可得A(-2m ，0 )，B(0，m )，直线12y x m =+不经过第四象限，所以m>0,所以OA=2m ，OB=m ；因为C 坐标为()0,2，点D （4,0）所以OC=2，OD=4, 因为12OB OC OA OD ==,∠AOB=∠DOC=90° ,所以△AOB∠∠DPC,所以∠CDO=∠BAO. 又因为BPC BAO ∠=∠，所以根据三角形内角和和平角定义可得：∠APB+∠1=∠APB+∠CPD所以∠1=∠CPD ，又因为∠CDO=∠BAO ，所以△PCD∠∠BPA ，所以AB APDP DC= , 因为点P 为OA 的中点，所以AP=OP=m ，PD=m+4，Rt △AOB 中，由勾股定理得m ，同理得AB APDP DC ==，解得m=6. 故选D.【点拨】本题考查一次函数综合题．需要掌握待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，三角形面积的求法等知识点，4．B 【分析】首先构造直角三角形，利用相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质得出CM ＝32=，MO ＝3，进而得出答案．解：如图，过点A 作AE ∠x 轴于点E ，过点B 作BF ∠x 轴于点F ，过点A 作AN ∠BF 于点N ，过点C 作CM ∠x 轴于点M ．∠∠EAO +∠AOE =90°，∠AOE +∠MOC =90°， ∠∠EAO =∠COM ，又∠∠AEO =∠CMO =90°，∠∠AEO ∠∠OMC ， ∠OE AE CM OM=， ∠∠BAN +∠OAN =90°，∠EAO +∠OAN =90°，∠∠BAN =∠EAO =∠COM ，在△ABN 和△OCM 中，BNA CMO BAN COM AB OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABN ∠∠OCM （AAS ），∠BN =CM ．∠点A （﹣1，2），点B 的纵坐标是72， ∠BN 32=， ∠CM 32=， ∠1232OM =，∠MO =3，∠点C 的坐标是：（3，32）．故选：B ．【点拨】本题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质等知识.构造直角三角形，正确得出CM 的长是解题的关键.5．75解：∠∠ABC 是等边三角形，∠∠A =∠B =∠C =60°，AB =AC =BC =8，∠AD =2，∠DB =6，由折叠的性质可知，∠EDF =∠C =60°，EC =ED ，FC =FD ，∠∠AED +∠EDA =120°，∠EDA +∠BDF =120°，∠∠AED =∠BDF ，∠∠AED ∠∠BDF ，∠DF DE =BD DF BF AE AD DE ++++=BD BC AD AC ++=1410=75，∠CF CE =DF DE =75，故答案为75．点睛：本题考查的是翻转变换的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、翻转变换的性质是解题的关键．6．∠∠∠【分析】当D′落在线段AB 上时，D′B 的值最小，此时D′B ＝AB ﹣AD ＝3，得出∠正确；过D′作MN∠AB 交AB 于点N ，交CD 于点M ，设AN ＝x ，则EM ＝x ﹣2.5，证出∠ED′M ＝∠D′AN ，因此△EMD′∠∠D′NA ，得出对应边成比例ED EM AD D N ='''，求出x ＝4，得出AN ＝BN ，因此AD′＝D′B ，得出∠正确；当DE ＝2时，假设△ABD′是直角三角形，则E 、D′、B 在一条直线上，作EF∠AB 于点F ，由勾股定理求出D′B 、EB ，得出∠不正确；当AD′＝D′B 时，由勾股定理的逆定理得出△ABD′不是直角三角形，当△ABD′是直角三角形时，由勾股定理求出D′B ，得出AD′≠D′B ，因此△ABD′不可能是等腰直角三角形，得出∠正确．解：当D′落在线段AB 上时，D′B 的值最小，如图1所示：此时D′B ＝AB ﹣AD ＝8﹣5＝3，∠∠正确；过D′作MN∠AB 交AB 于点N ，交CD 于点M ，如图2所示：设AN ＝x ，则EM ＝x ﹣2.5，∠∠AD′N ＝∠DAD′，∠ED′M ＝180°﹣∠AD′E ﹣∠AD′N ＝180°﹣90°﹣∠AD′N ＝90°﹣∠AD′N ，∠∠ED′M ＝90°﹣∠DAD′，∠∠D′AN ＝90°﹣∠DAD′，∠∠ED′M ＝∠D′AN ，∠MN∠AB ，∠∠EMD′＝∠AND′，∠∠EMD′∠∠D′NA ， ∠ED EM AD D N='''，即，2.55=解得：x ＝4，∠AN ＝BN ，∠AD′＝D′B ，即△ABD′是等腰三角形，∠∠正确；当DE＝2时，假设△ABD′是直角三角形，则E、D′、B在一条直线上，作EF∠AB于点F，如图3所示：D′B==∠2∠∠不正确；当AD′＝D′B时，52+52≠82，∠∠ABD′不是直角三角形，当△ABD′是直角三角形时，D′B=∠AD′≠D′B，∠∠ABD′不可能是等腰直角三角形，∠∠正确；故答案为∠∠∠．【点拨】本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握矩形的性质和翻折变换的性质是解决问题的关键．7．∠∠解：试题分析：在∠ADE中，∠ADE+∠AED+∠A=180°，又∠AED+∠DEC+∠BEC=180°，可得∠ADE+∠AED+∠A =∠AED+∠DEC+∠BEC，由∠A=∠DEC，可得∠ADE=∠BEC，又∠A=∠B，根据两角对应相等的两三角形相似，可得∠ADE∠∠BEC，可得DE AEEC BC=，又AE=BE，得到DE BEEC BC=，又∠DEC=∠B，根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可知∠CDE∠∠CEB，然后根据相似三角形的对应角相等，可得∠DCE=∠BCE，因此EC平分∠BCD，即∠成立；同理∠ADE∠∠EDC，因此DE平分∠ADC；即∠成立；而∠DE平分∠AEC 不一定成立；∠CE平分∠DEB不一定成立．故答案为：∠∠.8．（1）证明见分析；（2）点E在BC中点位置时，BAE EAF∠=∠，证明见分析．【分析】（1）先根据正方形的性质可得90B C∠=∠=︒，再根据直角三角形的性质、角的和差可得BAE CEF∠=∠，然后根据相似三角形的判定即可得证；（2）如图（见分析），先根据正方形的性质、平行线的性质可得,B ECH BAE H∠=∠∠=∠，再根据三角形全等的判定定理与性质可得AE HE=，然后根据等腰三角形的判定与性质可得EAF H∠=∠，最后根据等量代换即可得．解：（1）四边形ABCD是正方形，90B C∴∠=∠=︒，90BAE BEA∴∠+∠=︒，EF AE⊥，90AEF∴∠=︒，90BEA CEF ∴∠+∠=︒，BAE CEF ∴∠=∠，在ABE △和ECF △中，B C BAE CEF ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ABE ECF ∴；（2）点E 在BC 中点位置时，BAE EAF ∠=∠，证明如下：如图，连接AF ，延长AE 于DC 的延长线相交于点H ， E 为BC 中点，BE CE ∴=，四边形ABCD 是正方形，//AB DH ∴，,B ECH BAE H ∴∠=∠∠=∠，在ABE △和HCE 中，BAE H B ECH BE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE HCE AAS ∴≅，AE HE ∴=，EF AH ⊥，AFH ∴是等腰三角形，EAF H ∴∠=∠，BAE EAF ∴∠=∠，故当点E 在BC 中点位置时，BAE EAF ∠=∠．【点拨】本题考查了相似三角形的判定、正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形和等腰三角形是解题关键．9．(1)理由见详解；（2）2BD =1，理由见详解．【分析】（1）根据题目已知条件易得：180ADE ADB EDC ∠+∠+∠=︒，180B ADB DAB ∠+∠+∠=︒，所以得到DAB EDC ∠=∠，问题得证．（2）由题意易得ABC 是等腰直角三角形，所以90BAC ∠=︒，当ADE 是等腰三角形时，根据分类讨论有三种情况：∠AD=AE ，∠AD=DE ，∠AE=DE ；因为点D 不与B C 、重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质“等边对等角”及45B ADE ∠=∠=︒，求出问题即可．解：（1）如图可知：180ADE ADB EDC ∠+∠+∠=︒在ABD △中，∴ 180B ADB DAB ∠+∠+∠=︒ 又B ADE C ∠=∠=∠∴EDC DAB ∠=∠∴BDA CED △∽△．（2）B ADE C ∠=∠=∠，45B ∠=︒∴ABC 是等腰直角三角形∴90BAC ∠=︒BC=2，∴AB=AC=2∠当AD=AE 时，∴ADE AED ∠=∠45B ∠=︒，∴=45B ADE AED ∠=∠∠=︒∴90DAE ∠=︒∴90DAE BAC ∠=∠=︒点D 在BC 上运动时（点D 不与B C 、重合）,点E 在AC 上∴此情况不符合题意．∠当AD=DE 时，∴DAE DEA ∠=∠∴由（1）结论可知：BDA CED ≌∴∴2BD =∠当AE=DE 时，45ADE DAE ∠=∠=︒∴AED 是等腰直角三角形45B ∠=︒，∴==45B C DAE ∠∠∠=︒∴90ADC ∠=︒，即AD BC ⊥ ∴1=12BD BC =．综上所诉：2BD =1．【点拨】本题主要考查相似三角形的判定及等腰三角形的存在性问题，关键是利用“K”型相似模型及根据“等边对等角”、等腰直角三角形的性质得到线段的等量关系，进而求解问题．10．（1）详见分析；（2）△ABD ∠∠ACD ；△APN ∠∠ACP ；△APN ∠∠QCN ；△ACP ∠∠QCN ；（3）1.5．【分析】（1）根据等边三角形性质得到∠ABP ＝∠PCN ＝60°，利用角的和差证明∠BAP ＝∠CPN ，根据相似三角形的判定定理证明结论；（2）因为△ABC 是正三角形，AD 是边BC 上的高线，由三线合一可证△ABD ∠∠ACD ；因为∠APN=∠ACP=60°，∠PAN=∠CAP,所以△APN ∠∠ACP ；因为∠APN=∠NCQ=60°，∠PNA=∠CNQ,所以△APN∠∠QCN ；因为△APN ∠∠ACP ，△APN∠∠QCN ，所以△ACP ∠∠QCN ；（3）当点P 在BD 的中点运动到DC 的中点时，利用相似三角形性质，设PB ＝x ，CN ＝y ，则3≤x ≤9，由第（1）题利用相似三角形性质可得：1212y x x -=，解得2112y x x =-+，又利用函数图象可知：当x ＝3或9时，y ＝94，当x ＝6时，y 最大＝3，所以点N 运动的路径长为：（3－94）×2＝1.5．解：（1）在正三角形ABC 中，∠ABP ＝∠PCN ＝60°，∠∠BAP +∠BP A ＝120°，又∠∠APQ ＝60°，∠∠CPN +∠BP A ＝120°， ∠∠BAP ＝∠CPN ，∠∠ABP ∠∠PCN ；（2）△ABD ∠∠ACD ；△APN ∠∠ACP ；△APN ∠∠QCN ；△ACP ∠∠QCN ；理由：∠△ABC 是正三角形，AD ∠BC ，由三线合一可证△ABD ∠∠ACD ；∠∠APN=∠ACP=60°，∠PAN=∠CAP ，∠△APN ∠∠ACP ；∠∠APN=∠NCQ=60°，∠PNA=∠CNQ,∠△APN∠∠QCN ；∠△APN ∠∠ACP ，△APN∠∠QCN ，∠△ACP ∠∠QCN ；（3）能，设PB ＝x ，CN ＝y ，由第（1）题可得：1212y x x -=， ∠2112y x x =-+，又3≤x ≤9，利用函数图象可知：当x ＝3或9时，y ＝94，当x ＝6时，y 最大＝3； ∠点N 运动的路径长为：（3－94）×2＝1.5．【点拨】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正三角形的性质，掌握相关的性质定理、灵活运用所学知识是解题的关键．11．（1）C （-4，0）；（2）∠证明见分析，∠存在．使△PBM 为直角三角形的点P 有两个P1（-94，0），P2（0，0）．【分析】（1）根据B 点坐标求得直线解析式，再求得A 点坐标，然后根据A 与C 关于y 轴对称，据此即可确定C 的坐标；（2）∠根据点C 与点A 关于y 轴对称，即可得到BC=BA ，则∠BCP=∠MAP ，再根据三角形的外角的性质即可证得∠PMA=∠BPC ，从而证得两个三角形相似；∠首先求得B 的坐标，当∠PBM=90°时，则有∠BPO∠∠ABO ，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得PO 的长，求得P 的坐标；当∠PMB=90°时，则∠PMA═90°时，BP∠AC ，则此时点P 与点O 重合．则P 的坐标可以求得．（1）解：∠直线y=-34x+b与y轴相交于点B（0，3），∠b=3，∠直线的解析式为y=-34x+3，令y=0，得到x=4，∠A（4，0），∠点C与点A关于y轴对称，∠C（-4，0）；（2）∠证明：∠∠BPM=∠BAC，且∠PMA=∠BPM+∠PBM，∠BPC=∠BAC+∠PBM，∠∠PMA=∠BPC，又∠点C与点A关于y轴对称，且∠BPM=∠BAC，∠∠BCP=∠MAP，∠∠PBC∠∠MPA；∠解：存在．由题意：A（4，0），B（0，3），C（-4，0）当∠PBM=90°时，则有∠BPO∠∠ABO，∠POBO=BOAO，即PO3=34，∠PO=94，即：P1（-94，0）．当∠PMB=90°时，则∠PMA═90°，∠∠PAM+∠MPA=90°，∠∠BPM=∠BAC，∠∠BPM+∠APM=90°，∠BP∠AC．∠过点B只有一条直线与AC垂直，∠此时点P与点O重合，即：符合条件的点P2的坐标为：P2（0，0）．∠使∠PBM为直角三角形的点P有两个P1（-94，0），P2（0，0）．【点拨】本题是属于一次函数综合题，考查了相似三角形的判定和性质、待定系数法、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．12．【试题再现】见分析；【问题探究】点E是四边形ABCD的边AB上的相似点. 理由见分析；【深入探究】(1) 点P是四边形ABCD的边AB上的一个强相似点，见分析；(2)解：试题分析：【试题再现】易证∠BCE=∠CAD，又∠ADC=∠CEB=90°，故得∠ADC∠∠CEB.【问题探究】要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明∠ADE∠∠BEC，所以问题得解．【深入探究】（1）分别证明∠ADP∠∠PDC,∠BPC∠∠PDC,从而∠ADP∠∠PDC∠∠BPC,故点P是四边形ABCD的边AB上的一个强相似点.（2）过点P作PE∠DC于点E,过点D作DF∠BC于点F,则四边形ABFD是矩形,通过证明∠ADP∠∠EDP和∠CBP∠∠CEP得DC =8，再求出CF=2，在Rt∠CDF中,由勾股定理,得解：【试题再现】∠∠ACB=90°,∠∠ACD+∠BCE=90°,∠AD∠DE,∠∠ACD+∠CAD=90°,∠∠BCE=∠CAD,∠∠ADC=∠CEB=90°,∠∠ADC∠∠CEB.【问题探究】点E是四边形ABCD的边AB上的相似点.理由如下:∠∠DEC=40°,∠∠DEA+∠CEB=140°.∠∠A=40°,∠∠ADE+∠AED=140°,∠∠ADE=∠CEB,又∠∠A=∠B,∠∠ADE∠∠BEC,∠点E 是四边形ABCD 的边AB 上的相似点.【深入探究】(1)∠AD∠BC,∠∠ADC+∠BCD=180°,∠DP 平分∠ADC,CP 平分∠BCD, ∠∠CDP+∠DCP=12(∠ADC+∠BCD)=90°, ∠DA∠AB,DA∠BC,∠CB∠AB,∠∠DPC=∠A=∠B=90°,∠∠ADP=∠CDP,∠∠ADP∠∠PDC,同理∠BPC∠∠PDC,∠∠ADP∠∠PDC∠∠BPC,即点P 是四边形ABCD 的边AB 上的一个强相似点.(2)过点P 作PE∠DC 于点E,过点D 作DF∠BC 于点F,则四边形ABFD 是矩形,∠DF=AB,在∠ADP 与∠EDP 中,ADP EDP,DAP DEP 90,DP DP,∠∠∠∠=⎧⎪==︒⎨⎪=⎩∠∠ADP∠∠EDP,∠AD=DE,同理∠CBP∠∠CEP,∠BC=EC,∠DC=AD+BC=8.在Rt∠CDF 中,CF=BC -BF=BC -AD=5-3=2,由勾股定理,得13．(1)34;(2)75. 分析：（1）如图，过点P 作CD 的垂线，分别交AB 、CD 于M 、N ，易证△PNE∠∠BMP,从而证得PE 3tan PB 4PN PN ACD BM CN ===∠= （2）首先证明BP=BC,再过点B 作BF 垂直AC 得PF=CF,由cos ,BC FC FCB AC BC ∠==得9,5FC PF == 根据AP=AC -PC 即可求解.解：（1）P CD AB CD M N 过点作的垂线，分别交、于点、，90PNE ∴∠︒＝．ABCD 四边形是矩形，//90,AB CD ABC BCD ，∴∠=∠=︒BCMN 四边形是矩形，∴90,BMP BM CN ∴∠=︒=90,90,PNE BPE ∠=︒∠=︒90,90,NPE PCN MPB MPE ∴∠+∠=︒∠+∠=︒,90PEN MPB PNE BMP ∴∠=∠∠=∠=︒又~,PNE BMP ∴∆∆PE 3tan .PB 4PN PN ACD BM CN ∴===∠= 34PE PB ∴的值为（2）.PE CE EPC ECP =∠=∠当，则 ABCD 四边形是矩形，90,BCD ∴∠=︒,PE PB ⊥90.BPE ∴∠=︒BPC BCP ∴∠=∠.BP BC ∴=B BF AC F PF CF.⊥=过点作于点，则cos ,BC FC FCB AC BC∠== 3,53FC ∴= 9,5FC ∴= 9.5PF ∴= 187555AP AC PC ∴=-=-= 【点拨】本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质以及解直角三角形，正确作出辅助线、灵活运用相关的定理是解题的关键．14．【小问1】AD BE =，说明见分析【小问2】BED FDC ∠=∠，EDB DFC ∠=∠；说理见分析【小问3】∠BD BF CD +=，理由见分析；∠AE EG +【分析】（1）【问题情境】证明()ABD BCE AAS ∆≅∆，即可求解．（2）【变式探究】利用等量代换即可求解．（3）【拓展应用】∠等量代换即可求解；∠在CD 上截取DM BF =，连接EM ，作点G 关于CE 的对称点N ，连接CN ，AN ，先证明()BDF MED SAS ∆≅∆，得到EM ＝CM ，在求出22.5ECM MEC ∠=∠=︒，即可确定E 点在射线CE 上运动，当A 、E 、N 三点共线时，EA ＋EG 的值最小，最小值为AN ，在Rt ANC 中求出AN 即可．解：（1）【问题情境】AD BE =，理由如下：90ABC ∠=︒，90ABD CBE ∴∠+∠=︒，90BAD ABD ∠+∠=︒，BAD CBE ∴∠=∠，AB BC =，()ABD BCE AAS ∴∆≅∆，AD BE ∴=；（2）【变式探究】BED FDC ∠=∠，EDB DFC ∠=∠；理由如下：B FDEC ∠=∠=∠，180EDB BED EDB FDC FDC DFC EDF ∴∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒-∠，BED FDC ∴∠=∠，EDB DFC ∠=∠；（3）【拓展应用】∠AB BC =，AF BF BD CD ∴+=+，2AF BD =，2BD BF BD CD ∴+=+，BD BF CD ∴+=；∠在CD 上截取DM BF =，连接EM ，作点G 关于CE 的对称点N ，连接CN ，AN ， 45B ∠=︒，45EDF ∠=︒，BFD EDM ∴∠=∠，DF DE =，()BDF MED SAS ∴∆≅∆，BD EM ∴=，EM BD =，45B DME ∠=∠=︒，CD BD BF =+，CM BD ∴=，EM CM ∴=，MCE MEC ∴∠=∠，45EMD ∠=︒，22.5ECM MEC ∴∠=∠=︒，E ∴点在射线CE 上运动， G 点与N 的关于CE 对称，EG EN∴=，EA EG EA EN AN∴+=+，∴当A、E、N三点共线时，EA EG+的值最小，最小值为AN，45B∠=︒，AB BC=，67.5ACB∴∠=︒，45ACE∴∠=︒，由对称性可知，ACE ECN∠=∠，90ACN∴∠=︒，点G是AC的中点，2AC=，1CG∴=，1CN∴=，在Rt ANC中，ANAE EG∴+【点拨】本题是三角形的综合题，熟练掌握三角形全等的判定及性质，轴对称求最短距离的方法是解题的关键．15．（1）AEDE；（2）CE=a-b；（3）见分析【分析】（1）根据相似三角形的性质即可求得结果；（2）由已知易证∠ADB∠∠DEC，从而由全等三角形的性质即可求得CE的长度；（3）作CG//FE交DE于点G，易证得∠FBE∠∠EGC，从而可得BEFE=CGEC；可证得∠DGC∠∠DCE，可得DCDE=CGEC，即有BEFE=DCDE，再由AB=CD即可得要证的结论．解：（1）∠∠ABC∠∠DAE∠BC AE AC DE故答案为：AE DE；（2）∠∠B=∠ADE=∠C，∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC，∠∠EDC=∠BAD又∠DA=DE∠∠ADB∠∠DEC∠EC=BD，AB=DC=b∠BD=BC-DC=a-b．即：CE=a-b．（3）∠∠DEF=∠B∠∠BFE+∠BEF=∠BEF+∠DEC∠∠BFE=∠DEC．作CG//FE交DE于点G，如图3．∠∠DEF=∠EGC∠∠B=∠EGC∠∠FBE∠∠EGC∠BEFE=CGEC∠四边形ABCD是平行四边形∠∠B+∠BCD=180°∠∠EGC+∠DGC=180°，且∠B=∠EGC ∠∠DGC=∠BCD又∠∠EDC=∠CDG ∠∠DGC∠∠DCE∠DCDE=CGEC∠BEFE=DCDE∠DC·FE=BE·DE又∠四边形ABCD是平行四边形∠AB=DC∠AB·FE=BE·DE【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，（3）问中作辅助线是难点，灵活运用这些知识是重点．16．（1）答案见分析；（2）直线l2的函数表达式为：y＝3944x--；（3）点D的坐标为2238,33⎛⎫-⎪⎝⎭或(8，﹣14)或1626,33⎛⎫-⎪⎝⎭【分析】（1）由垂直的定义得∠ADC=∠CEB=90°，平角的定义和同角的余角的相等求出∠DAC=∠ECB，最后由角角边证明：∠BEC∠∠CDA；（2）如图2，仿照（1）作辅助线，构建三角形全等，同理证明∠BOA∠∠AED，求出点D的坐标为（-7，3），最后利用待定系数法可得直线l2的函数表达式；（3）分三种情况：∠如图3，∠CPD=90°时，∠如图4，∠PCD=90°，此时P与A重合，∠如图5，∠CDP=90°，分别作辅助线，构建三角形全等，根据全等三角形的性质可得点D 的坐标．解：（1）如图1所示：∠AD∠ED，BE∠ED，∠∠ADC=∠CEB=90°，又∠∠ACD+∠ACB+∠BEC=180°，∠ACB=90°，∠∠ACD+∠BEC=90°，又∠∠ACD+∠DAC=90°，∠∠DAC=∠ECB ，在∠CDA 和∠BEC 中，ADC CEB DAC ECB AC BC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∠∠CDA∠∠BEC （AAS ）；（2）如图2，在l 2上取D 点，使AD=AB ，过D 点作DE∠OA ，垂足为E ，∠直线y=43x+4与坐标轴交于点A 、B ， ∠A （-3，0），B （0，4），∠OA=3，OB=4，由（1）得∠BOA∠∠AED ，∠DE=OA=3，AE=OB=4，∠OE=7，∠D （-7，3）设l 2的解析式为y=kx+b ，∠3703k b k b-+⎧⎨-+⎩＝＝解得3494k b ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＝＝ ∠直线l 2的函数表达式为：y ＝3944x --；（3）点D 的坐标为223833⎛⎫- ⎪⎝⎭，或（8，﹣14）或162633⎛⎫- ⎪⎝⎭，分三种情况：∠如图3，∠CPD=90°时，过P作MH∠x轴，过D作DH∠y轴，MH和DH交于H，∠∠CPD是等腰直角三角形，∠CPD=90°，∠CP=PD，同理得∠CMP∠∠PHD（AAS），∠DH=PM=6，PH=CM，设PH=a，则D（6+a，a-8-6），∠点D是直线y=-2x+2上的动点且在第四象限内．∠a-8-6=-2（6+a）+2，解得：a=43，∠D（2238,33）；∠如图4，∠PCD=90°，此时P与A重合，过D作DE∠y轴于E，∠∠CPD是等腰直角三角形，同理得∠AOC∠∠CED，∠OA=CE=6，OC=DE=8，∠D（8，-14）；∠如图5，∠CDP=90°，过点D作MQ∠x轴，延长AB交MQ于Q，则∠Q=∠DMC=90°，∠∠CDP是等腰直角三角形，同理得∠PQD∠∠DMC，∠PQ=DM，DQ=CM，设CM=b，则DM=6-b，AQ=8+b，∠D（6-b，-8-b），∠点D是直线y=-2x+2上的动点且在第四象限内，∠-8-b=-2（6-b）+2，解得：b=23，∠D（1626,33-）；综上，点D的坐标为223833⎛⎫-⎪⎝⎭，或（8，﹣14）或162633⎛⎫-⎪⎝⎭，【点拨】本题是一次函数和四边形的综合题，综合考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，一次函数上点的坐标的特点等知识点，重点是运用类比的方法，作辅助线，构建全等三角形依次解决问题．。

专题训练(七)-相似三角形的基本模型

专题训练(七) 相似三角形的基本模型下面仅以X 字型、A 字型、双垂型、M 字型4种模型设置练习，帮助同学们认识基本模型，并能从复杂的几何图形中分辨出相似三角形，进而解决问题．模型1 X 字型及其变形(1)如图1，对顶角的对边平行，则△ABO ∽△DCO ； (2)如图2，对顶角的对边不平行，则△ABO ∽△CDO.1．(恩施中考)如图，在ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，则DF ∶FC 等于( )A ．1∶4B ．1∶3C ．2∶3D ．1∶2第1题第2题2．(黔东南中考)将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BEEC的值是________．3．已知：如图，∠ADE ＝∠ACB ，BD ＝8，CE ＝4，CF ＝2，求DF 的长．模型2 A 字型及其变形(1)如图1，公共角所对应的边平行，则△ADE ∽△ABC ；(2)如图2，公共角的对边不平行，且有另一对角相等，两个三角形有一条公共边，则△ACD ∽△ABC.4．如图，已知菱形ABCD 的边长为3，延长AB 到E ，使BE ＝2AB ，连接EC 并延长交AD 的延长线于点F ，求AF 的长．5．(泰安中考改编)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，AC 与BD 交于点E ，∠ADB ＝∠ACB.求证：AB AE ＝ACAD.6.如图，AD 与BC 相交于E ，点F 在BD 上，且AB ∥EF ∥CD ，求证：1AB ＋1CD ＝1EF.模型3 双垂型直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD ∽△ABC ∽△CBD.7．如图，在Rt △ABC 中，CD ⊥AB ，D 为垂足，且AD ＝3，AC ＝35，则斜边AB 的长为( ) A ．3 6 B ．15C ．9 5D ．3＋3 58．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的高，AD ＝9，BD ＝4, 那么CD ＝________， AC ＝________.模型4 M 字型Rt △ABD 与Rt △BCE 的斜边互相垂直，则有△ABD ∽△CEB.9．如图，已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是线段BD 的中点，且AC ⊥CE ，ED ＝1，BD ＝4，求AB 的长．10．(常州中考改编)如图，在正方形ABCD 中，E 为边AD 上的点，点F 在边CD 上，且CF ＝3FD ，∠BEF ＝90°. (1)求证：△ABE ∽△DEF ；(2)若AB ＝4，延长EF 交BC 的延长线于点G ，求BG 的长．参考答案 1．D 2.333.∵∠ADE ＝∠ACB ，∴180°－∠ADE ＝180°－∠ACB ，即∠BDF ＝∠ECF.又∵∠BFD ＝∠EFC ，∴△BDF ∽△ECF.∴BD CE ＝DF CF ，即84＝DF2.∴DF ＝4. 4.∵BE ＝2AB ，AB ＝3，∴BE ＝6，AE ＝9.∵四边形ABCD 是菱形，∴BC ∥AF.∴△EBC ∽△EAF.∴BE AE ＝BC AF .∴AF ＝AE ·BC BE ＝9×36＝92. 5.证明：∵AB ＝AD ，∴∠ADB ＝∠ABE.又∵∠ADB ＝∠ACB ，∴∠ABE ＝∠ACB.又∵∠BAE ＝∠CAB ，∴△ABE ∽△ACB.∴AB AC ＝AE AB .又∵AB ＝AD ，∴AB AC ＝AE AD .∴AB AE ＝ACAD. 6.证明：∵AB ∥EF ，∴△DEF ∽△DAB.∴EF AB ＝DF BD .又∵EF ∥CD ，∴△BEF ∽△BCD.∴EF CD ＝BF BD .∴EF AB ＋EF CD ＝DF BD ＋BF BD ＝BD BD ＝1.∴1AB ＋1CD ＝1EF. 7.B 8.6 313 9.∵AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，∴∠B ＝∠D ＝90°，∠ACB ＋∠A ＝90°.∵AC ⊥CE ，∴∠ACB ＋∠ECD ＝90°.∴∠A ＝∠ECD.∴△ABC ∽△CDE.∴AB CD ＝BC ED .又∵C 是线段BD 的中点，ED ＝1，BD ＝4，∴BC ＝CD ＝2.∴AB2＝21.∴AB ＝4. 10.(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠A ＝∠D ＝90°.∴∠ABE ＋∠AEB ＝90°.又∵∠BEF ＝90°，∴∠AEB ＋∠DEF ＝90°.∴∠ABE ＝∠DEF.∴△ABE ∽△DEF.(2)∵AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝4，CF ＝3FD ，∴DF ＝1，CF ＝3.∵△ABE ∽△DEF ，∴AE DF ＝AB DE ，即4－DE 1＝4DE .∴DE ＝2.又∵ED ∥CG ，∴△EDF ∽△GCF.∴ED GC ＝DF CF ，即2GC ＝13.∴GC ＝6.∴BG ＝BC ＋CG ＝4＋6＝10.Welcome To Download !!!欢迎您的下载，资料仅供参考！。

几何推理练习题相似三角形的旁切线与角平分线

几何推理练习题相似三角形的旁切线与角平分线几何推理练习题：相似三角形的旁切线与角平分线相似三角形是几何学中常见的概念，它们之间具有一些特殊的性质和关系。

本文将探讨有关相似三角形的旁切线和角平分线的推理练习题。

1. 问题描述：在平面直角坐标系中，已知直线L1：2x-7y-6=0和直线L2：x-2y-10=0，判断L1和L2所确定的三角形ABC与直线y=x的交点是否构成一个等腰直角三角形。

2. 解题分析：首先，我们需要找到直线L1和直线L2的交点点A、B、C。

由于上述两条直线已经给出了方程，我们可以通过联立这两个方程求得交点坐标。

解得L1和L2的交点坐标为A(-2, -1)，B(4, 7)，C(-2, -1)。

接下来，我们需要计算三角形ABC的边长，判断它是否是等腰直角三角形。

根据两点之间的距离公式：AB的长度为√[(4-(-2))^2 + (7-(-1))^2] = √[(6)^2 + (8)^2] = √(36 + 64) = √(100) = 10。

BC的长度为√[(4-(-2))^2 + (7-(-1))^2] = √[(6)^2 + (8)^2] = √(36 + 64) = √(100) = 10。

AC的长度为√[(4-(-2))^2 + (7-(-1))^2] = √[(6)^2 + (8)^2] = √(36 + 64) = √(100) = 10。

由此可见，AB = BC = AC = 10，三角形ABC的三边长度相等，因此是等腰三角形。

另外，由于直线y=x为直角坐标系中的对称轴，所以三角形ABC的锐角A等于直角，因此它是一个等腰直角三角形。

3. 结论：根据计算结果，直线L1和直线L2所确定的三角形ABC与直线y=x的交点构成一个等腰直角三角形。

在这个等腰直角三角形中，旁切线和角平分线的性质也成立。

相似三角形的旁切线和角平分线是几何学中的重要概念，在求解几何问题时经常需要用到。

通过练习题的推理和分析，我们可以更加熟练地掌握相似三角形的性质和运用。

苏教版初中数学相似三角形专题--有答案有解释

苏教版初中数学相似三角形专题一．填空题（共7小题）1．已知△ABC在坐标平面内三顶点的坐标分别为A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）．以B为位似中心，画出与△ABC相似（与图形同向），且相似比是3的三角形，它的三个对应顶点的坐标分别是．2．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．（Ⅰ）△ABC的面积等于；（Ⅱ）若四边形DEFG是△ABC中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图方法（不要求证明）．3．如图是两张大小不同的4×4方格纸，它们均由16个小正方形组成，其中图①与图②中小正方形的面积比为5：4，请在图②中画出格点正方形EFGH，使它与图①中格点正方形ABCD的面积相等．4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为D，AD=8，DB=2，则CD的长为．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，CD=2，BD=1，则AD的长是，AC的长是．6．如图，若CD是Rt△ABC斜边CD上的高，AD=3cm，CD=4cm，则BC的长等于cm．7．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB=1.5，则DE=．二．解答题（共23小题）8．如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求边x、y的长度和角α的大小．9．已知矩形ABCD中，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，且四边形EFDC与矩形ABCD相似．（1）求证：四边形ABEF是正方形；（2）求证：F点是AD的黄金分割点．10．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD是△ABC的完美分割线；（2）如图②，在△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD 是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．11．如图，BD∥AC，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，=，OB=4，求AO和AB的长．12．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB，求∠APB的度数．13．已知：如图，D是BC上一点，△ABC∽△ADE，求证：∠1=∠2=∠3．14．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s 的速度向点C移动，动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，如果动点P、Q同时出发，要使△CPQ与△CBA相似，所需要的时间是多少秒？15．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．16．如图，点C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，连结AE，BD，设AE交CD于点F．（1）求证：△ACE≌△DCB；（2）求证：△ADF∽△BAD．17．如图：已知AB⊥DB于B点，CD⊥DB于D点，AB=6，CD=4，BD=14，在DB 上取一点P，使以CDP为顶点的三角形与以PBA为顶点的三角形相似，则DP的长．18．如图，在△ABC中，∠C=90°，DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，交AB于点E．求证：△DME∽△BCA．19．在矩形ABCD中，点E是AD的中点，BE垂直AC交AC于点F，求证：△DEF ∽△EBD．20．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，过点A作AM的垂线，交CB的延长线于点D．求证：△DBA∽△DAC．21．如图，已知AC∥BD，AB和CD相交于点E，AC=6，BD=4，F是BC上一点，S△BEF：S△EFC=2：3．（1）求EF的长；（2）如果△BEF的面积为4，求△ABC的面积．22．如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，E为边CB延长线上一点，联结DE 交边AB于点F，联结AC交DE于点G，且=．（1）求证：AB∥CD；（2）如果AD2=DG•DE，求证：=．23．已知：如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠CDA，AB=DC=，CE=a，AC=b，求证：（1）△DEC≌△ADC；（2）AE•AB=BC•DE．24．已知：如图，菱形ABCD，对角线AC、BD交于点O，BE⊥DC，垂足为点E，交AC于点F．求证：（1）△ABF∽△BED；（2）=．25．某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM 上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米．如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．26．小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．（1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A′B，D′C的长度和为6cm．那么灯泡离地面的高度为．（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子A′B，D′C的长度和为多少？（3）有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子A′B，D′C的长度和为b，求灯泡离地面的距离．（写出解题过程，结果用含a，b，n的代数式表示）27．如图，一位同学想利用树影测量树高（AB），他在某一时刻测得高为1m的竹竿影长为0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上（CD），他先测得留在墙上的影高（CD）为1.2m，又测得地面部分的影长（BC）为2.7m，他测得的树高应为多少米？28．如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞．工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1千米、AN=1.8千米，AB=54米、BC=45米、AC=30米，求M、N两点之间的直线距离．29．如图，要在宽为22米的大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，求路灯的灯柱BC高度．30．如图，以原点O为位似中心，把△OAB放大后得到△OCD，求△OAB与△OCD 的相似比．苏教版初中数学相似三角形专题参考答案与试题解析一．填空题（共7小题）1．（2014•黄冈模拟）已知△ABC在坐标平面内三顶点的坐标分别为A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）．以B为位似中心，画出与△ABC相似（与图形同向），且相似比是3的三角形，它的三个对应顶点的坐标分别是（﹣6，0）、（3，3）、（0，﹣3）．【考点】作图—相似变换．【专题】作图题．【分析】根据把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形，在改变的过程中保持形状不变（大小可变）即可得出答案．【解答】解：把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．所画图形如下所示：它的三个对应顶点的坐标分别是：（﹣6，0）、（3，3）、（0，﹣3）．故答案为：（﹣6，0）、（3，3）、（0，﹣3）．【点评】本题考查了相似变换作图的知识，注意图形的相似变换不改变图形中每一个角的大小；图形中的每条线段都扩大（或缩小）相同的倍数．2．（2013•天津）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．（Ⅰ）△ABC的面积等于6；（Ⅱ）若四边形DEFG是△ABC中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图方法（不要求证明）取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求．【考点】作图—相似变换；三角形的面积；正方形的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）△ABC以AB为底，高为3个单位，求出面积即可；（Ⅱ）作出所求的正方形，如图所示，画图方法为：取格点P，连接PC，过点A 画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求【解答】解：（Ⅰ）△ABC的面积为：×4×3=6；（Ⅱ）如图，取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求．故答案为：（Ⅰ）6；（Ⅱ）取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求．【点评】此题考查了作图﹣位似变换，三角形的面积，以及正方形的性质，作出正确的图形是解本题的关键．3．（2012•鼓楼区一模）如图是两张大小不同的4×4方格纸，它们均由16个小正方形组成，其中图①与图②中小正方形的面积比为5：4，请在图②中画出格点正方形EFGH，使它与图①中格点正方形ABCD的面积相等．【考点】作图—相似变换．【专题】压轴题．【分析】根据图①与图②中小正方形的面积比为5：4，求出图①中正方形ABCD 的面积为8，进而得出正方形EFGH的面积即可．【解答】解：根据图①与图②中小正方形的面积比为5：4，图①中正方形ABCD的面积为8，使它与图①中格点正方形ABCD的面积相等，则图②中正方形EFGH的面积为10，如图所示：【点评】此题主要考查了图形相似的性质，根据图①与图②中小正方形的面积比为5：4得出两个大正方形面积之比是解题关键．4．（2016春•苏州期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为D，AD=8，DB=2，则CD的长为4．【考点】射影定理．【分析】根据射影定理得到：CD2=AD•BD，把相关线段的长度代入计算即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为D，AD=8，DB=2，∴CD2=AD•BD=8×2，则CD=4．故答案是：4．【点评】本题考查了射影定理．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：①AD2=BD•DC；②AB2=BD•BC；AC2=CD•BC．5．（2015春•成都校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，CD=2，BD=1，则AD的长是4，AC的长是2．【考点】射影定理．【分析】由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，根据同角的余角相等，可得∠ACD=∠B，又由∠CDB=∠ACB=90°，可证得△ACD∽△CBD，然后利用相似三角形的对应边成比例，即可求得AD，然后根据勾股定理即可求得AC．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDB=∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠B=90°，∴∠ACD=∠B，∴△ACD∽△CBD，∴，∵CD=2，BD=1，∴，∴AD=4，在Rt△ACD中，AC===2，故答案为：4，2．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度不大，解题的关键是掌握有两角对应相等的三角形相似与相似三角形的对应边成比例定理的应用．6．（2015秋•太原校级期末）如图，若CD是Rt△ABC斜边CD上的高，AD=3cm，CD=4cm，则BC的长等于cm．【考点】射影定理．【分析】根据射影定理求出BD的长，再根据射影定理计算即可．【解答】解：∵CD是Rt△ABC斜边CD上的高，∴CD2=AD•DB，∴BD=，则AB=AD+BD=，∵BC2=BD•BA=×，∴BC=，故答案为：．【点评】本题考查的是射影定理的应用，射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．7．（2016•三明）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC 与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB=1.5，则DE= 4.5．【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】根据位似图形的性质得出AO，DO的长，进而得出==，求出DE 的长即可．【解答】解：∵△ABC与DEF是位似图形，它们的位似中心恰好为原点，已知A 点坐标为（1，0），D点坐标为（3，0），∴AO=1，DO=3，∴==，∵AB=1.5，∴DE=4.5．故答案为：4.5．【点评】此题主要考查了位似图形的性质以及坐标与图形的性质，根据已知点的坐标得出==是解题关键．二．解答题（共23小题）8．（2016秋•长春期中）如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求边x、y的长度和角α的大小．【考点】相似多边形的性质．【分析】直接根据相似多边形的性质即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∴，∠C=α，∠D=∠D′=140°．∴x=12，，α=∠C=360°﹣∠A﹣∠B﹣∠D=360°﹣62°﹣75°﹣140°=83°．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，熟知相似多边形的对应边成比例，对应角相等是解答此题的关键．9．（2015秋•萧县校级月考）已知矩形ABCD中，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，且四边形EFDC与矩形ABCD相似．（1）求证：四边形ABEF是正方形；（2）求证：F点是AD的黄金分割点．【考点】相似多边形的性质；黄金分割．【分析】（1）根据题意证明四边形ABEF是矩形，根据折叠的性质得到AB=AF，证明结论；（2）根据相似多边形的性质得到AB2=FD•AB，根据正方形的性质得到答案．【解答】证明：（1）∵∠B=∠BAF=∠AFE=90°，∴四边形ABEF是矩形，由折叠的性质可知AB=AF，∴四边形ABEF是正方形；（2）∵四边形EFDC与矩形ABCD相似∴=，又AB=CD，∴AB2=FD•AB，又AB=AF，∴AF2=FD•AB，∴F点是AD的黄金分割点．【点评】本题考查的是相似多边形的性质和黄金分割的概念，掌握相似多边形的性质为：对应角相等；对应边的比相等是解题的关键，注意把线段分成两条线段，且使较长是已知线段和较短的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．10．（2016秋•滦南县期中）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD是△ABC的完美分割线；（2）如图②，在△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD 是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．【考点】相似三角形的性质；等腰三角形的判定与性质．【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ACB=80°，根据角平分线的定义得到∠ACD=40°，证明△BCD∽△BAC，证明结论；（2）根据△BCD∽△BAC，得到，设BD=x，解方程求出x，根据相似三角形的性质定理列式计算即可．【解答】解：（1）∵∠A=40°，∠B=60°，∴∠ACB=80°，∴△ABC不是等腰三角形，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°，∴∠ACD=∠A=40°，∴△ACD是等腰三角形，∵∠BCD=∠A=40°，∠CBD=∠ABC∴△BCD∽△BAC，∴CD是△BAC的完美分割线；（2）∵△BCD∽△BAC，∴，∵AC=AD=2，BC=，设BD=x，则AB=4+x，∴，解得x=﹣1±，∵x＞0，∴BD=x=﹣1+，∵△BCD∽△BAC，∴，∵AC=2，BC=，BC=﹣1+∴CD==﹣．【点评】本题考查的是相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．11．（2016秋•莲都区校级月考）如图，BD∥AC，AB与CD相交于点O，△OBD ∽△OAC，=，OB=4，求AO和AB的长．【考点】相似三角形的性质．【分析】由相似比可求得OA的长，再利用线段的和可求得AB长．【解答】解：∵△OBD∽△OAC，∴==，∴=，解得OA=6，∴AB=OA+OB=4+6=10．【点评】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．12．（2015秋•佛山期末）如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB，求∠APB的度数．【考点】相似三角形的性质．【分析】根据等边三角形的性质得到∠PCD=60°，根据相似三角形的判定定理证明△ACP∽△ABP，根据相似三角形的性质得到答案．【解答】解：∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD=60°，∴∠ACP=120°，∵△ACP∽△PDB，∴∠APC=∠B，又∠A=∠A，∴△ACP∽△ABP，∴∠APB=∠ACP=120°．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．13．（2015秋•延庆县期末）已知：如图，D是BC上一点，△ABC∽△ADE，求证：∠1=∠2=∠3．【考点】相似三角形的性质．【分析】由相似三角形的性质易证∠1=∠2，再由三角形内角和定理易证∠2=∠3，进而可证明∠1=∠2=∠3．【解答】证明：∵△ABC∽△ADE，∴∠C=∠E，∠BAC=∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠1=∠2，在△AOE和△DOC中，∠E=∠C，∠AOE=∠DOC（对顶角相等），∴∠2=∠3，∴∠1=∠2=∠3．【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的各种性质是解题关键．14．（2015秋•泗县期中）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P 从点B出发以2cm/s的速度向点C移动，动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A 移动，如果动点P、Q同时出发，要使△CPQ与△CBA相似，所需要的时间是多少秒？【考点】相似三角形的性质；一元一次方程的应用．【专题】动点型；分类讨论．【分析】若两三角形相似，则由相似三角形性质可知，其对应边成比例，据此可解出两三角形相似时所需时间．【解答】解：设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，①若Rt△ABC∽Rt△QPC则，即解之得t=1.2；②若Rt△ABC∽Rt△PQC则，解之得t=；由P点在BC边上的运动速度为2cm/s，Q点在AC边上的速度为1cm/s，可求出t的取值范围应该为0＜t＜2，验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件．所以可知要使△CPQ与△CBA相似，所需要的时间为1.2或秒．【点评】本题综合考查了相似三角形的性质以及一元一次方程的应用问题，并且需要用到分类讨论的思想，解题时应注意解答后的验证．15．（2016•兴化市校级二模）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD 上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．【考点】相似三角形的判定；正方形的性质；平行线分线段成比例．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长．【解答】（1）证明：∵ABCD为正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，∵AE=ED，∴，∵DF=DC，∴，∴，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵ABCD为正方形，∴ED∥BG，∴，又∵DF=DC，正方形的边长为4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10．【点评】此题考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用．解题的关键是数形结合思想的应用．16．（2016•萧山区模拟）如图，点C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，连结AE，BD，设AE交CD于点F．（1）求证：△ACE≌△DCB；（2）求证：△ADF∽△BAD．【考点】相似三角形的判定；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得结论；（2）利用（1）中全等三角形的对应角相等，平行线的判定与性质以及两角法证得结论．【解答】解：（1）∵△ACD和△BCE都是等边三角形，∴AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60°∴∠ACE=∠DCB=120°．∴△ACE≌△DCB（SAS）；（2）∵△ACE≌△DCB，∴∠CAE=∠CDB．∵∠ADC=∠CAD=∠ACD=∠CBE=60°，∴DC∥BE，∴∠CDB=∠DBE，∴∠CAE=∠DBE，∴∠DAF=∠DBA．∴△ADF∽△BAD．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．有两组边对应相等，并且它们所夹的角也相等，那么这两个三角形全等；有两组角分别相等，且其中一组角所对的边对应相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等，对应角相等．17．（2016•厦门校级模拟）如图：已知AB⊥DB于B点，CD⊥DB于D点，AB=6，CD=4，BD=14，在DB上取一点P，使以CDP为顶点的三角形与以PBA为顶点的三角形相似，则DP的长．【考点】相似三角形的判定．【分析】根据已知可以分△PDC∽△ABP或△PCD∽△PAB两种情况进行分析．【解答】解：∵AB⊥DB，CD⊥DB∴∠D=∠B=90°，设DP=x，当PD：AB=CD：PB时，△PDC∽△ABP，∴=，解得DP=2或12，当PD：PB=CD：AB时，△PCD∽△PAB，∴=，解得DP=5.6∴DP=5.6或2或12．【点评】此题考查了相似三角形的判定，①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．18．（2016•云南模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，DM⊥AB于点M，DN⊥BC 于点N，交AB于点E．求证：△DME∽△BCA．【考点】相似三角形的判定．【专题】证明题．【分析】先证明∠DEM=∠A，再由∠C=∠DME=90°，根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可证明△DME∽△BCA．【解答】证明：∵∠C=90°，DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，∴∠C=∠ENB=∠DME=90°，∴AC∥DN，∴∠BEN=∠A，∵∠BEN=∠DEM，∴∠DEM=∠A．在△DME与△BCA中，，∴△DME∽△BCA．【点评】本题考查了相似三角形的判定，方法有（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．19．（2016•厦门校级模拟）在矩形ABCD中，点E是AD的中点，BE垂直AC交AC于点F，求证：△DEF∽△EBD．【考点】相似三角形的判定；矩形的性质．【专题】证明题．【分析】根据已知结合相似三角形的判定与性质得出=，进而得出△DEF∽△BED．【解答】证明：∵AC⊥BE，∴∠AFB=∠AFE=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE=90°，又∵∠AEF=∠BEA，∴△AEF∽△BEA，∴=，∵点E是AD的中点，∴AE=ED，∴=，又∵∠FED=∠DEB，∴在△DEF和△BED中=﹛∠FED=∠DEB∴△DEF∽△BED．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及矩形的性质，正确得出=是解题关键．20．（2016春•昌平区期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，过点A作AM的垂线，交CB的延长线于点D．求证：△DBA∽△DAC．【考点】相似三角形的判定．【专题】证明题．【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质求出AM=CM，推出∠C=∠CAM，求出∠DAB=∠CAM，求出∠DAB=∠C，根据相似三角形的判定得出即可．【解答】证明：∵∠BAC=90°，点M是BC的中点，∴AM=CM，∴∠C=∠CAM，∵DA⊥AM，∴∠DAM=90°，∴∠DAB=∠CAM，∴∠DAB=∠C，∵∠D=∠D，∴△DBA∽△DAC．【点评】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形斜边上的中线性质的应用，能求出∠DAB=∠C是解此题的关键．21．（2017•松江区一模）如图，已知AC∥BD，AB和CD相交于点E，AC=6，BD=4，F是BC上一点，S△BEF：S△EFC=2：3．（1）求EF的长；（2）如果△BEF的面积为4，求△ABC的面积．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）先根据S△BEF ：S△EFC=2：3得出CF：BF的值，再由平行线分线段成比例定理即可得出结论；（2）先根据AC∥BD，EF∥BD得出EF∥AC，故△BEF∽△ABC，再由相似三角形的性质即可得出结论．【解答】解：（1）∵AC∥BD，∴∵AC=6，BD=4，∴∵△BEF和△CEF同高，且S△BEF ：S△CEF=2：3，∴，∴．∴EF∥BD，∴，∴，∴（2）∵AC∥BD，EF∥BD，∴EF∥AC，∴△BEF∽△ABC，∴．∵，∴．∵S△BEF=4，∴，∴S△ABC=25．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．22．（2017•闵行区一模）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，E为边CB延长线上一点，联结DE交边AB于点F，联结AC交DE于点G，且=．（1）求证：AB∥CD；（2）如果AD2=DG•DE，求证：=．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）由AD∥BC，得到△ADG∽△CEG，根据相似三角形的性质即可得到结论；（2）根据平行线的性质得到，根据等式的性质得到=，等量代换即可得到结论．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，∴△ADG∽△CEG，∴，∵=，∴，∴AB∥CD；（2）∵AD∥BC，∴△ADG∽△CEG，∴，∴=，∴=，∵AD2=DG•DE，∴=，∵AD∥BC，∴=，∴=．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．23．（2017•普陀区一模）已知：如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠CDA，AB=DC=，CE=a，AC=b，求证：（1）△DEC≌△ADC；（2）AE•AB=BC•DE．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，据此进行证明即可；（2）先根据相似三角形的性质，得出∠BAC=∠EDA，=，再根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行证明即可．【解答】证明：（1）∵DC=，CE=a，AC=b，∴CD2=CE×CA，即=，又∵∠ECD=∠DCA，∴△DEC≌△ADC；（2）∵△DEC≌△ADC，∴∠DAE=∠CDE，∵∠BAD=∠CDA，∴∠BAC=∠EDA，∵△DEC≌△ADC，∴=，∵DC=AB，∴=，即=，∴△ADE∽△CAB，∴=，即AE•AB=BC•DE．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．24．（2017•奉贤区一模）已知：如图，菱形ABCD，对角线AC、BD交于点O，BE⊥DC，垂足为点E，交AC于点F．求证：（1）△ABF∽△BED；（2）=．【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的性质．【分析】（1）由菱形的性质得出AC⊥BD，AB∥CD，得出△ABF∽△CEF，由互余的关系得：∠DBE=∠FCE，证出△BED∽△CEF，即可得出结论；（2）由平行线得出，由相似三角形的性质得出，即可得出结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB∥CD，∴△ABF∽△CEF，∵BE⊥DC，∴∠FEC=∠BED，由互余的关系得：∠DBE=∠FCE，∴△BED∽△CEF，∴△ABF∽△BED；（2）∵AB∥CD，∴，∴，∵△ABF∽△BED，∴，∴=．【点评】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理；熟练掌握菱形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．25．（2016•陕西）某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米．如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度。

相似三角形几何题(含答案)

相似三角形几何题(WORD 版，有答案）1、如图，AD 是圆O 的直径，BC 切圆O 于点D ，AB 、AC 与圆O 相交于点E 、F 。

求证：AC AF AB AE ⋅=⋅；F O E DBA2为了加强视力保护意识，小明想在长为3.2米，宽为4.3米的书房里挂一张测试距离为5米的视力表．在一次课题学习课上，小明向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙、丙位同学设计方案新颖，构思巧妙．(10分)（1）甲生的方案：如图1，将视力表挂在墙ABEF 和墙ADGF 的夹角处，被测试人站立在对角线AC 上，问：甲生的设计方案是否可行？请说明理由．（2）乙生的方案：如图2，将视力表挂在墙CDGH 上，在墙ABEF 上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可计算得到：测试线应画在距离墙ABEF 米处．（3）丙生的方案：如图3，根据测试距离为5m 的大视力表制作一个测试距离为3m 的小视力表．如果大视力表中“E ”的长是3.5cm ，那么小视力表中相应“E ”的长是多少cm ？3、如图，四边形ABCD 中，AD ＝CD ，∠DAB ＝∠ACB ＝90°，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为F ，DE 与AB 相交于点E ．(12分)（1）求证：AB ·AF ＝CB ·CD ；（2）已知AB ＝15 cm ，BC ＝9 cm ，P 是射线DE 上的动点．设DP ＝x cm （0x >），四边形BCDP 的面积为y cm 2．①求y 关于x 的函数关系式；②当x 为何值时，△PBC 的周长最小，并求出此时y 的值．HH（图1）（图2）（图3）3.5㎝ACF3mB5mDA B CD EF P ·4已知，如图，△ABC中，AB＝2，BC＝4，D为BC边上一点，BD＝1．(1)求证：△ABD∽△CBA；(2)作DE∥AB交AC于点E，请再写出另一个与△ABD相似的三角形，并直接写出DE的长．5．已知：如图，AB是半圆O的直径，CD⊥AB于D点，AD＝4cm，DB＝9cm，求CB的长．6．如图所示，在由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC，试在这个网格上画一个与△ABC相似，且面积最大的△A1B1C1(A1，B1，C1三点都在格点上)，并求出这个三角形的面积．7．如图所示，在5×5的方格纸上建立直角坐标系，A(1，0)，B(0，2)，试以5×5的格点为顶点作△ABC 与△OAB相似(相似比不为1)，并写出C点的坐标．8．如图所示，⊙O的内接△ABC中，∠BAC＝45°，∠ABC＝15°，AD∥OC并交BC的延长线于D点，OC 交AB 于E 点．(1)求∠D 的度数；(2)求证：AC 2＝AD ·CE ．9．已知：如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝1，点D 是BC 边上的一个动点(不与B ，C 点重合)，∠ADE ＝45°．(1)求证：△ABD ∽△DCE ；(2)设BD ＝x ，AE ＝y ，求y 关于x 的函数关系式； (3)当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．10．已知：如图，△ABC 中，AB ＝4，D 是AB 边上的一个动点，DE ∥BC ，连结DC ，设△ABC 的面积为S ，△DCE 的面积为S ′．(1)当D 为AB 边的中点时，求S ′∶S 的值； (2)若设,,y SS x AD ='=试求y 与x 之间的函数关系式及x 的取值范围．11．已知：如图，抛物线y ＝x 2－x －1与y 轴交于C 点，以原点O 为圆心，OC 长为半径作⊙O ，交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于另一点D ．设点P 为抛物线y ＝x 2－x －1上的一点，作PM ⊥x 轴于M 点，求使△PMB ∽△ADB 时的点P 的坐标．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知关于x 的二次函数y ＝x 2＋(k －1)x ＋2k －1的图象与x 轴交于A ，B两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C (0，－3)．求这个二次函数的解析式及A ，B 两点的坐标．13．如图所示，在平面直角坐标系xOy 内已知点A 和点B 的坐标分别为(0，6)，(8，0)，动点P 从点A开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P ，Q 移动的时间为t 秒．(1)求直线AB 的解析式；(2)当t 为何值时，△APQ 与△ABO 相似? (3)当t 为何值时，△APQ 的面积为524个平方单位?14．已知：如图，□ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，∠BAD ＝120°，E 为BC 上一动点(不与B 点重合)，作EF ⊥AB 于F ，FE ，DC 的延长线交于点G ，设BE ＝x ，△DEF 的面积为S ．(1)求证：△BEF ∽△CEG ；(2)求用x 表示S 的函数表达式，并写出x 的取值范围； (3)当E 点运动到何处时，S 有最大值，最大值为多少?15、已知：如图，在平面直角坐标系中，ABC△是直角三角形，90ACB∠=，点A C，的坐标分别为(30)A-，，(10)C，，43=ACBC．(13分)（1）求过点A B，的直线的函数表达式；（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得ADB△与ABC△相似（不包括全等），并求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，如P Q，分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP DQ m==，问是否存在这样的m使得APQ△与ADB△相似，如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．16．如图，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距墙80cm，梯上点D距墙70cm，BD长55cm．求梯子的长．17．如图，已知AC⊥AB，BD⊥AB，AO＝78cm，BO＝42cm，CD＝159cm，求CO和DO．18．如图，已知∠ACB＝∠CBD＝90°，AC＝b，CB＝a，当BD与a、b之间满足怎样的关系式时，△ACB∽△CBD?A COBxy19．(本题10分)正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直，（1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△；（2）设BM x =，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；（3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求此时x 的值．20．(本题10分)如图1，在Rt ABC △中，90BAC ∠=°，AD BC ⊥于点D ，点O 是AC 边上一点，连接BO 交AD 于F ，OE OB ⊥交BC 边于点E ．（1）求证：ABF COE △∽△；（2）当O 为AC 边中点，2ACAB=时，如图2，求OF OE 的值；（3）当O 为AC 边中点，ACn AB=时，请直接写出OF OE 的值．21（6分）一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为3.5cm ×3.5cm ，放映的银幕规格为2m ×2m ，若影机的光源距胶片20cm 时，问银幕应在离镜头多远的地方，放映的图像刚好布满整个银幕？DMA BCNBBA A C OE D DE C O F图1 图2 F22．（6分）如图13，四边形ABCD 、CDEF 、EFGH 都是正方形. （1）⊿ACF 与⊿ACG 相似吗？说说你的理由. （2）求∠1+∠2的度数.23．（6分）如图13，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 分别是OA 、OB 的中点．（1）试问：△ADE 与△BCF 全等吗？请说明理由;（2）若AD = 4cm ，AB = 8cm ，求CF 的长．24（6分）已知：如图14，在△ABC 中，AB=AC=a ，M 为底边BC 上任意一点，过点M 分别作AB 、AC 的平行线交AC 于P ，交AB 于Q. （1）求四边形AQMP 的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；BACPQ MBCDOFF E O CBAAA A BBBCCCD DDOE FGPMN⑴⑵⑶25（6分）如图15，已知△ABC 、△DCE 、△FEG 是三个全等的等腰三角形，底边BC 、CE 、EG 在同一直线上，且AB=3，BC=1.连结BF ，分别交AC 、DC 、DE 于点P 、Q 、R.（1）求证：△BFG ∽△FEG ，并求出BF 的长；（2）观察图形，请你提出一个与点．．P ．相关．．的问题，并进行解答（根据提出问题的层次和解答过程评分）．26（6分）（1）如图16（1），在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，易知AC ⊥BD ，AC CO =21；（2）如图16（2），若点E 是正方形ABCD 的边CD 的中点，即21=DC DE ，过D 作DG ⊥AE ，分别交AC 、BC 于点F 、G.求证：31=AC CF ；（3）如图16（3），若点P 是正方形ABCD 的边CD 上的点，且nDC DP 1=（n 为正整数），过点D 作DN ⊥AP ，分别交AC 、BC 于点M 、N ，请你先猜想CM 与AC 的比值是多少？然后再证明你猜想的结论.27（8分）如图17，已知矩形ABCD 的边长3cm 6cm AB BC ==，．某一时刻，动点M 从A 点出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向B 点匀速运动；同时，动点N 从D 点出发沿DA 方向以2cm /s 的速度向A 点匀速运动，问：（1）经过多少时间，AMN △的面积等于矩形ABCD 面积的19？（2）是否存在时刻t ，使以A M N ，，为顶点的三角形与ACD △相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．28．如图，已知⊙O 的弦CD 垂直于直径AB ，点E 在CD 上，且EC = EB .（1）求证：△CEB ∽△CBD ；（2）若CE = 3，CB=5 ，求DE 的长.29．如图，把菱形ABCD 沿着BD 的方向平移到菱形A /B /C /D /′的位置， (1)求证：重叠部分的四边形B /EDF /是菱形(2)若重叠部分的四边形B /EDF /面积是把菱形ABCD 面积的一半,且BD=2，求则此菱形移动的距离．30．如图，在Rt ABC △中，90C =∠，12BC AC ==，，把边长分别为123n x x x x ，，，，的n 个正方形依次放入ABC △中，请回答下列问题：（1n1 2 3 n x（2）第n 个正方形的边长n = ；（3）若m n p q ，，，是正整数，且m n p q x x x x =，试判断m n p ，，，的关系．AB C DMF E /CB/A/DB BC A2x3x1x答案1．方法１：连接ＥＤ，ＤＦ，证⊿ＡＤＥ∽⊿ＡＢＤ，得AB AE AD •=2同理可证⊿ＡＤＦ∽⊿ＡＣＤ，得AC AF AF •=2故，ＡＥ·ＡＢ＝ＡＦ·ＡＣ方法２：连接ＥＦ，ED证⊿ＡＥＦ∽⊿ＡＣＢ2．⑴在Ｒt ⊿ＡＢＣ中，ＡＣ＝22CD AD +＝223.42.3+＞5故，可行；⑵ 1.8；⑶利用⊿ＡＥＤ∽⊿ＡＣＢ可求得ＦＤ＝2.1m3．(1)证⊿DA Ｆ∽⊿ＡBC(2) )0(273〉+=x x y(3)当点P 运动到点E 的位置,即x ＝12.5时,△PBC 的周长最小，此时y 的值为64.54．(1)4943+=x y（2）过点Ｂ作AB 的垂线交x 轴于点D ， D 点的坐标为（3.25,0） (3)存在,m ＝925或36125 5．(1),BABDCB AB =CBA ABD ∠=∠，得△HBD ∽△CBA ； (2)△ABC ∽△CDE ，DE ＝1.5．6．.cm 133提示：连结AC ．7．提示：.52,10,25111111===C B B A C A △A 1B 1C 1的面积为5． 8．C (4，4)或C (5，2)．9．提示：(1)连结OB ．∠D ＝45°．(2)由∠BAC ＝∠D ，∠ACE ＝∠DAC 得△ACE ∽△DAC ．A C OBxyD10．(1)提示：除∠B ＝∠C 外，证∠ADB ＝∠DEC ．(2)提示：由已知及△ABD ∽△DCE 可得.22x x CE -=从而y ＝AC －CE ＝x 2－ .12+x (其中20<<x )．(3)当∠ADE 为顶角时：.22-=AE 提示：当△ADE 是等腰三角形时，△ABD ≌△DCE ．可得.12-=x当∠ADE 为底角时：⋅=21AE 11．(1)S ＇∶S ＝1∶4； (2)).40(41162<<+-=x x x y 12．提示：设P 点的横坐标x P ＝a ，则P 点的纵坐标y P ＝a 2－a －1．则PM ＝｜a 2－a －1｜，BM ＝｜a －1｜．因为△ADB 为等腰直角三角形，所以欲使△PMB ∽△ADB ，只要使PM ＝BM .即｜a 2－a －1｜＝｜a －1｜．不难得a 1＝0．.2.2.2432-===a a a∴P 点坐标分别为P 1(0，－1)．P 2(2，1)．).21,2().21,2(43+--P P13．(1)y ＝x 2－2x －3，A (－1，0)，B (3，0)； (2))49,43(-D 或D (1，－2)．14．(1);643+-=x y (2)1130=t 或;1350 (3)t ＝2或3．15．(1)略； (2));30(8311832≤<+-=x x x S 16.梯子长为cm 440 17.cm DO cm CO 65.55,35.103==（提示：设xcm DO =，则()cm x CO -=159，因为AB BD AB AC ⊥⊥,，︒=∠=∠90B A ，BOD AOC ∠=∠，所以△AOC ∽△BDO ，所以DO CO BO AO =即x x -=1594278，所以65.55=x ） 18.b a BD 2=（提示：由△ACB ∽△CBD ，得BC a a b BD CB CD AC ==,，所以b a BD 2=） (3)当x ＝3时，S 最大值33=．19．解：（1）在正方形ABCD 中，490AB BC CD B C ===∠=∠=，°，AM MN ⊥，90AMN ∴∠=°，90CMN AMB ∴∠+∠=°，在Rt ABM △中，90MAB AMB ∠+∠=°，CMN MAB ∴∠=∠，Rt Rt ABM MCN ∴△∽△，（2）Rt Rt ABM MCN △∽△，44AB BM x MC CN x CN∴=∴=-，，244x x CN -+∴=， ()222141144282102422ABCN x x y S x x x ⎛⎫-+∴==+=-++=--+ ⎪⎝⎭梯形·，当2x =时，y 取最大值，最大值为10．（3）90B AMN ∠=∠=°，∴要使ABM AMN △∽△，必须有AM AB MN BM=，由（1）知AM AB MN MC=，BM MC ∴=， ∴当点M 运动到BC 的中点时，ABM AMN △∽△，此时2x =．20．解：（1）AD BC ⊥，90DAC C ∴∠+∠=°．90BAC BAF C ∠=∴∠=∠°，．90OE OB BOA COE ∴∠+∠=⊥，°，90BOA ABF ∠+∠=°，ABF COE ∴∠=∠．ABF COE ∴△∽△；（2）解法一：作OG AC ⊥，交AD 的延长线于G ．2AC AB =，O 是AC 边的中点，AB OC OA ∴==．由（1）有ABF COE △∽△，ABF COE ∴△≌△，BF OE ∴=．90BAD DAC ∠+∠=°，90DAB ABD DAC ABD ∠+∠=∴∠=∠°，，又90BAC AOG ∠=∠=°，AB OA =．ABC OAG ∴△≌△，2OG AC AB ∴==．OG OA ⊥，AB OG ∴∥，ABF GOF ∴△∽△，OF OG BF AB ∴=，2OF OF OG OE BF AB ===．解法二：902BAC AC AB AD BC ∠==°，，⊥于D ， Rt Rt BAD BCA ∴△∽△．2AD AC BD AB ∴==．设1AB =，则2AC BC BO ===，12AD BD AD ∴=== 90BDF BOE BDF BOE ∠=∠=∴°，△∽△，BD BO DF OE∴=．由（1）知BF OE =，设OE BF x ==， BA D E C O FGB ADE C O F5DF x=，x ∴=．在DFB △中2211510x x =+，3x ∴=．OF OB BF ∴=-==322OF OE ∴==．（3）OF n OE=． 21807cm 22．相似，450 23．（1）全等，略；（2）CF ==cm 24．（1） 2a ；（2）△ABC ∽△QBM ∽△PMC ； 25．（1）BF=BG=3；（2）略 26．（1）略；（2）猜想11+=n AC CM ，证明略 27．（1）经过1秒或2秒后；（2）经过32秒或125秒时 28．（1）证明：∵弦CD 垂直于直径AB ∴BC=BD ∴∠C =∠D 又∵EC = EB∴∠C =∠CBE ∴∠D =∠CBE 又∵∠C =∠C ∴△CEB ∽△CBD（2）解：∵△CEB ∽△CBD ∴CE CB CB CD= ∴CD=2252533CB CE == ∴DE = CD －CE =253－3 =163 29．(1)有平移的特征知A ´B ´∥AB,又CD ∥AB ∴A ´B ´∥CD,同理B ´C ´∥AD ∴四边形BEDF 为平行四边形∵四边形ABCD 是菱形 ∴AB=AD ∴∠ABD=∠ADB 又∠A ´B ´D=∠ABD ∴∠A ´B ´D=∠ADB ∴FB ´=FD∴四边形B ´EDF 为菱形.(2)∵菱形B ´EDF 与菱形ABCD 有一个公共角 ∴此两个菱形对应角相等又对应边成比例 ∴此两个菱形相似∴B D BD '=,∴12B D '== ∴平移的距离BB ´=BD –B ´1 30．（1）2483927，，（2）23n ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（3）m n p q x x x x = 22223333m n p q⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2233m n p q ++⎛⎫⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．m n p q ∴+=+。

相似三角形(压轴必刷30题专项训练)(解析版)--初中数学专项训练

相似三角形(压轴必刷30题专项训练)一．填空题(共9小题)1(2020秋•虹口区校级月考)一张等腰三角形纸片，底边长为15cm ，底边上的高长22.5cm ．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第6张．【分析】设第x 张为正方形，如图，△ADE ∽△ABC ，则DE BC =AM AN，从而计算出x 的值即可．【解答】解：如图，设第x 张为正方形，则DE =3(cm )，AM =(22.5-3x )(cm )，∵△ADE ∽△ABC ，∴DE BC =AM AN ，即315=22.5-3x 22.5，解得x =6．故答案为：6．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质以及正方形的性质，注：相似三角形的对应边之比等于对应边上的高之比．2(2019秋•浦东新区校级月考)如图，在平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ，如果BE BC=23，那么BF FD =23．【分析】由平行四边形的性质可证△BEF ∽△DAF ，再根据相似三角形的性质得BE ：DA =BF ：DF 即可解．【解答】解：ABCD 是平行四边形，∴BC ∥AD ，BC =AD∴△BEF ∽△DAF∴BE ：DA =BF ：DF∵BC =AD∴BF ：DF =BE ：BC =2：3．【点评】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定定理和性质．3(2017秋•虹口区校级月考)如图，直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，AB =10，BC =6，在线段AB上取一点D ，作DF ⊥AB 交AC 于点F ，现将△ADF 沿DF 折叠，使点A 落在线段DB 上，对应点记为A 1；AD 的中点E 的对应点记为E 1，若△E 1FA 1∽△E 1BF ，则AD =165．【分析】利用勾股定理列式求出AC ，设AD =2x ，得到AE =DE =DE 1=A 1E 1=x ，然后求出BE 1，再利用相似三角形对应边成比例列式求出DF ，然后利用勾股定理列式求出E 1F ，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解得到x 的值，从而可得AD 的值．【解答】解：∵∠ACB =90°，AB =10，BC =6，∴AC =AB 2-BC 2=102-62=8，设AD =2x ，∵点E 为AD 的中点，将△ADF 沿DF 折叠，点A 对应点记为A 1，点E 的对应点为E 1，∴AE =DE =DE 1=A 1E 1=x ，∵DF ⊥AB ，∠ACB =90°，∠A =∠A ，∴△ABC ∽△AFD ，∴AD AC =DF BC ，即2x 8=DF 6，解得DF =32x ，在Rt △DE 1F 中，E 1F =DF 2+DE 12=3x 22+x 2=13x 2，又∵BE 1=AB -AE 1=10-3x ，△E 1FA 1∽△E 1BF ，∴E 1F A 1E 1=BE 1E 1F ，∴E 1F 2=A 1E 1•BE 1，即(13x 2)2=x (10-3x )，解得x =85，∴AD 的长为2×85=165．故答案为：165．【点评】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形对应边成比例，综合题，熟记性质并准确识图是解题的关键．4(2021秋•普陀区校级月考)如图，在△ABC 中，4AB =5AC ，AD 为△ABC 的角平分线，点E 在BC 的延长线上，EF ⊥AD 于点F ，点G 在AF 上，FG =FD ，连接EG 交AC 于点H ．若点H 是AC 的中点，则AG FD的值为43．【分析】解题关键是作出辅助线，如解答图所示：第1步：利用角平分线的性质，得到BD =54CD ；第2步：延长AC ，构造一对全等三角形△ABD ≌△AMD ；第3步：过点M 作MN ∥AD ，构造平行四边形DMNG ．由MD =BD =KD =54CD ，得到等腰△DMK ；然后利用角之间关系证明DM ∥GN ，从而推出四边形DMNG 为平行四边形；第4步：由MN ∥AD ，列出比例式，求出AG FD的值．【解答】解：已知AD 为角平分线，则点D 到AB 、AC 的距离相等，设为h ．∵BD CD =S △ABD S △ACD =12AB ⋅h 12AC ⋅h =AB AC =54，∴BD =54CD ．如图，延长AC ，在AC 的延长线上截取AM =AB ，则有AC =4CM ．连接DM ．在△ABD 与△AMD 中，AB =AM ∠BAD =∠MAD AD =AD ∴△ABD ≌△AMD (SAS )，∴MD =BD =54CD ．过点M 作MN ∥AD ，交EG 于点N ，交DE 于点K ．∵MN ∥AD ，∴CK CD =CM AC =14，∴CK =14CD ，∴KD =54CD ．∴MD =KD ，即△DMK 为等腰三角形，∴∠DMK =∠DKM ．由题意，易知△EDG 为等腰三角形，且∠1=∠2；∵MN ∥AD ，∴∠3=∠4=∠1=∠2，又∵∠DKM =∠3(对顶角)∴∠DMK =∠1，∴DM ∥GN ，∴四边形DMNG 为平行四边形，∴MN =DG =2FD ．∵点H 为AC 中点，AC =4CM ，∴AH MH=23．∵MN ∥AD ，∴AG MN =AH MH ，即AG 2FD =23，∴AG FD =43．故答案为：43．方法二：如图，有已知易证△DFE ≌△GFE ，故∠5=∠B +∠1=∠4=∠2+∠3，又∠1=∠2，所以∠3=∠B ，则可证△AGH ∽△ADB设AB =5a ，则AC =4a ，AH =2a ，所以AG /AD =AH /AB =2/5，而AD =AG +GD ，故GD /AD =3/5，所以AG ：GD =2：3，F 是GD 的中点，所以AG ：FD =4：3．【点评】本题是几何综合题，难度较大，正确作出辅助线是解题关键．在解题过程中，需要综合利用各种几何知识，例如相似、全等、平行四边形、等腰三角形、角平分线性质等，对考生能力要求较高．5(2022秋•普陀区校级月考)如图，点A 1，A 2，A 3，A 4在射线OA 上，点B 1，B 2，B 3在射线OB 上，且A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，A 2B 1∥A 3B 2∥A 4B 3．若△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为10.5．【分析】已知△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1，4，且两三角形相似，因此可得出A 2B 2：A 3B 3=1：2，由于△A 2B 2A 3与△B 2A 3B 3是等高不等底的三角形，所以面积之比即为底边之比，因此这两个三角形的面积比为1：2，根据△A 3B 2B 3的面积为4，可求出△A 2B 2A 3的面积，同理可求出△A 3B 3A 4和△A 1B 1A 2的面积．即可求出阴影部分的面积．【解答】解：△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1，4，又∵A 2B 2∥A 3B 3，A 2B 1∥A 3B 2，∴∠OB 2A 2=∠OB 3A 3，∠A 2B 1B 2=∠A 3B 2B 3，∴△B 1B 2A 2∽△B 2B 3A 3，∴B 1B 2B 2B 3=12=A 2B 2A 3B 3，∴A 2A 3A 3A 4=12．∵S △A 2B 2A 3S △B 2A 3B3=12，△A 3B 2B 3的面积是4，∴△A 2B 2A 3的面积为=12×S △A 2B 2B 3=12×4=2(等高的三角形的面积的比等于底边的比)．同理可得：△A 3B 3A 4的面积=2×S △A 3B 2B 3=2×4=8；△A 1B 1A 2的面积=12S △A 2B 1B 2=12×1=0.5．∴三个阴影面积之和=0.5+2+8=10.5．故答案为：10.5．【点评】本题的关键是利用平行线证明三角形相似，再根据已给的面积，求出相似比，从而求阴影部分的面积．6(2017秋•徐汇区校级月考)设△ABC 的面积为1，如图①，将边BC 、AC 分别2等分，BE 1、AD 1相交于点O ，△AOB 的面积记为S 1；如图②将边BC 、AC 分别3等分，BE 1、AD 1相交于点O ，△AOB 的面积记为S 2；⋯，依此类推，则S n 可表示为　12n +1　．(用含n 的代数式表示，其中n 为正整数)【分析】连接D 1E 1，设AD 1、BE 1交于点M ，先求出S △ABE 1=1n +1，再根据AB D 1E 1=BM ME 1=n +1n 得出S △ABM ：S △ABE 1=(n +1)：(2n +1)，最后根据S △ABM ：1n +1=(n +1)：(2n +1)，即可求出S n ．【解答】解：如图，连接D 1E 1，设AD 1、BE 1交于点M ，∵AE1：AC =1：(n +1)，∴S △ABE 1：S △ABC =1：(n +1)，∴S △ABE 1=1n +1，∵AB D 1E 1=BM ME 1=n +1n ，∴BM BE 1=n +12n +1，∴S △ABM ：S △ABE 1=(n +1)：(2n +1)，∴S △ABM ：1n +1=(n +1)：(2n +1)，∴S n =12n +1．故答案为：12n +1．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、三角形的面积，关键是根据题意作出辅助线，得出相似三角形．7(2018秋•南岗区校级月考)已知菱形ABCD 的边长是6，点E 在直线AD 上，DE =3，连接BE 与对角线AC 相交于点M ，则MC AM的值是　2或23　．【分析】由菱形的性质易证两三角形相似，但是由于点E 的位置未定，需分类讨论．【解答】解：分两种情况：(1)点E 在线段AD 上时，△AEM ∽△CBM ，∴MC AM =BC AE=2；(2)点E在线段AD的延长线上时，△AME∽△CMB，∴MCAM =BCAE=23．【点评】本题考查了相似三角形的性质以及分类讨论的数学思想；其中由相似三角形的性质得出比例式是解题关键．注意：求相似比不仅要认准对应边，还需注意两个三角形的先后次序．8(2020秋•虹口区校级月考)如图，在△ABC中，∠ACB的内、外角平分线分别交BA及其延长线于点D、E，BC=2.5AC，则ABAD+ABAE=5．【分析】根据CD平分∠ACB，可得ABDA=BCAC，根据CE平分∠ACB的外角，可得DEAE=BCAC，进而可得结果．【解答】解：∵CD平分∠ACB，∴AB DA =BC AC，∴BD+DADA =BC+ACAC，∴AB DA =BC+ACAC，①∵CE平分∠ACB的外角，∴DE AE =BC AC，∴BE-AEAE =BC-ACAC，∴AB AE =BC-ACAC，②①+②得，AB AD +ABAE=BC+ACAC+BC-ACAC=2BCAC=2×2.5=5．故答案为：5．【点评】主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用相似三角形的性质来分析、判断、推理或解答．9(2022秋•黄浦区校级月考)如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点P在BA的延长线上，PA=1 4AB，点D在BC边上，PD=PC，则CDBC的值是　34　．【分析】过点P 作PE ∥AC 交DC 延长线于点E ，根据等腰三角形判定与性质，平行线的性质可证PB =PE ，再证△PCE ≌△PDB ，可得BD =CE ，再利用平行线分线段成比例的PA AB=CE BC ，结合线段的等量关系以及比例的性质即可得出结论．【解答】解：如图，过点P 作PE ∥AC 交DC 延长线于点E ，∵AB =AC ，∴∠B =∠ACB ，∵AC ∥PE ，∴∠ACB =∠E ，∴∠B =∠E ，∴PB =PE ，∵PC =PD ，∴∠PDC =∠PCD ，∴∠BPD =∠EPC ，∴在△PCE 和△PDB 中，PC =PD ∠BPD =∠EPC PB =PE，∴△PCE ≌△PDB (SAS )，∴BD =CE ，∵AC ∥PE ，∴PA AB =CE BC ，∵PA =14AB ，∴CE BC =14，∴BD BC =14，∴CD BC =34．故答案为：34．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，以及全等三角形的判定，解决问题的关键是正确作出辅助线，列出比例式．二．解答题(共21小题)10(2017秋•虹口区校级月考)在△ABC 中，∠CAB =90°，AD ⊥BC 于点D ，点E 为AB 的中点，EC 与AD交于点G ，点F 在BC 上．(1)如图1，AC ：AB =1：2，EF ⊥CB ，求证：EF =CD ．(2)如图2，AC ：AB =1：，EF ⊥CE ，求EF ：EG 的值．【分析】(1)根据同角的余角相等得出∠CAD =∠B ，根据AC ：AB =1：2及点E 为AB 的中点，得出AC =BE ，再利用AAS 证明△ACD ≌△BEF ，即可得出EF =CD ；(2)作EH ⊥AD 于H ，EQ ⊥BC 于Q ，先证明四边形EQDH 是矩形，得出∠QEH =90°，则∠FEQ =∠GEH ，再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ ∽△EGH ，得出EF ：EG =EQ ：EH ，然后在△BEQ 中，根据正弦函数的定义得出EQ =12BE ，在△AEH 中，根据余弦函数的定义得出EH =32AE ，又BE =AE ，进而求出EF ：EG 的值．【解答】(1)证明：如图1，在△ABC 中，∵∠CAB =90°，AD ⊥BC 于点D ，∴∠CAD =∠B =90°-∠ACB ．∵AC ：AB =1：2，∴AB =2AC ，∵点E 为AB 的中点，∴AB =2BE ，∴AC =BE ．在△ACD 与△BEF 中，∠CAD =∠B ∠ADC =∠BFE =90°AC =BE，∴△ACD ≌△BEF ，∴CD =EF ，即EF =CD ；(2)解：如图2，作EH ⊥AD 于H ，EQ ⊥BC 于Q ，∵EH ⊥AD ，EQ ⊥BC ，AD ⊥BC ，∴四边形EQDH 是矩形，∴∠QEH =90°，∴∠FEQ =∠GEH =90°-∠QEG ，又∵∠EQF =∠EHG =90°，∴△EFQ ∽△EGH ，∴EF ：EG =EQ ：EH ．∵AC ：AB =1：3，∠CAB =90°，∴∠B =30°．在△BEQ 中，∵∠BQE =90°，∴sin B =EQ BE =12，∴EQ =12BE ．在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，∴cos∠AEH=EHAE =32，∴EH=32AE．∵点E为AB的中点，∴BE=AE，∴EF：EG=EQ：EH=12BE：32AE=1：3=3：3=33．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，解直角三角形，综合性较强，有一定难度．解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，并且证明四边形EQDH是矩形．11(2021秋•杨浦区校级月考)如图，已知在菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，连接EF、ED、DF，DE交AF于点G，且DE⊥EF．(1)求证：AE2=EG•ED；(2)求证：BC2=2DF•BF．【分析】(1)根据直角三角形的性质得到AE=FE，根据菱形的性质得到AD∥BC，求得∠DAG=∠AFB =90°，然后证明△AEG∽△DEA，即可得到结论；(2)由AE=EF，AE2=EG•ED，得到FE2=EG•ED，推出△FEG∽△DEF，根据相似三角形的性质得到∠EFG=∠EDF，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】证明：(1)∵AF⊥BC于点F，∴∠AFB=90°，∵点E是AB的中点，∴AE=FE，∴∠EAF=∠AFE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠DAG=∠AFB=90°，∵DE⊥EF，∴∠FEG=90°，∴∠DAG=∠FEG，∵∠AGD=∠FGE，∴∠EFG=∠ADG，∴∠EAG=∠ADG，∵∠AEG=∠DEA，∴△AEG∽△DEA，∴AE DE =EG AE，∴AE2=EG•ED；(2)∵AE=EF，AE2=EG•ED，∴FE2=EG•ED，∴EF DE =EGEF，∵∠FEG=∠DEF，∴△FEG∽△DEF，∴∠EFG=∠EDF，∴∠BAF=∠EDF，∵∠DEF=∠AFB=90°，∴△ABF∽△DFE，∴AB DF =BF EF，∵四边形ACBD是菱形，∴AB=BC，∵∠AFB=90°，∵点E是AB的中点，∴FE=12AB=12BC，∴BC DF =BF12BC，∴BC2=2DF•BF．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．12(2021秋•杨浦区校级月考)如图，已知在平行四边形ABCD中，AE：ED=1：2，点F为DC的中点，连接BE、AF，BE与AF交于点H．(1)求EH：BH的值；(2)若△AEH的面积为1，求平行四边形ABCD的面积．【分析】(1)延长AF，BC交于点G，证明△ADF≌△GCF(AAS)，可得AD=CG=BC，所以BG=2BC，根据AE：ED=1：2，可得AE：AD=1：3，AE：BG=1：6，，证明△AEH∽△GBH，即可解决问题；(2)在△AEH中，设AE=x，AE边上的高为h，△BGH中，BG边上的高为h′，可得平行四边形ABCD的高为h+h′，BC=3x，根据△AEH的面积为1，可得x•h=2，所以h′=6h，进而可以求平行四边形ABCD 的面积．【解答】解：(1)如图，延长AF，BC交于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD =BC ，∴∠D =∠DCG ，∠DAF =∠G ，∵点F 为DC 的中点，∴DF =CF ，在△ADF 和△GCF 中，∠D =∠FCG ∠DAF =∠G DF =CF，∴△ADF ≌△GCF (AAS )，∴AD =CG ，∴AD =CG =BC ，∴BG =2BC ，∵AE ：ED =1：2，∴AE ：AD =1：3，∴AE ：BG =1：6，∵AD ∥BC ，∴△AEH ∽△GBH ，∴EH ：BH =AE ：BG =1：6；(2)在△AEH 中，设AE =x ，AE 边上的高为h ，△BGH 中，BG 边上的高为h ′，∴平行四边形ABCD 的高为h +h ′，BC =3x ，∵△AEH 的面积为1，∴12x •h =1，∴x •h =2∵△AEH ∽△GBH ，∴h ：h ′=1：6，∴h ′=6h ，∴h +h ′=7h ，∴平行四边形ABCD 的面积=BC •(h +h ′)=3x •7h =21xh =42．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平行线分线段成比例等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．13(2021春•徐汇区校级月考)如图，在菱形ABCD 中，点E 在对角线AC 上，点F 在BC 的延长线上，EF =EB ，EF 与CD 相交于点G ；(1)求证：EG •GF=CG •GD ；(2)联结DF ，如果EF ⊥CD ，那么∠FDC 与∠ADC 之间有怎样的数量关系？证明你的结论．【分析】(1)先证明△BCE ≌△DCE ，得∠EDC =∠EBC ；利用此条件再证明∠DGE ∽△FGC ，即可得到EG •GF =CG •GD．(2)利用第(1)题的结论，可证明△DGE ∽△FGC ，再利用三角形内角外角关系，即可得到∠ADC 与∠FDC 的关系．【解答】解：(1)证明：∵点E 在菱形ABCD 的对角线AC 上，∴∠ECB =∠ECD ，∵BC =CD ，CE =CE ，∴△BCE ≌△DCE ，∴∠EDC =∠EBC ，∵EB =EF ，∴∠EBC =∠EFC ；∴∠EDC =∠EFC ；∵∠DGE =∠FGC ，∴△DGE ∽△FGC ；∴EGCG =GD FG∴EG •GF =CG •GD ；(2)∠ADC =2∠FDC ．证明：∵EG CG =GD FG ，∴EG DG =CG FG，又∵∠DGF =∠EGC ，∴△CGE ∽△FGD ，∵EF ⊥CD ，DA =DC ，∴∠DAC =∠DCA =∠DFG =90°-∠FDC ，∴∠ADC =180°-2∠DAC =180°-2(90°-∠FDC )=2∠FDC ．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、菱形的性质等知识点的综合应用，解题时注意：相似三角形的对应角相等，对应边成比例．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．14(2021秋•宝山区校级月考)如图，四边形DEFG 是△ABC 的内接正方形，AB =BC =6cm ，∠B =45°，则正方形DEFG 的面积为多少？【分析】过A 作AH ⊥BC 于H ，交GF 于M ，于是得到△ABH 是等腰直角三角形，求得AH =BH =2222AB =32cm ，由△AGF ∽△ABC ，得到GF BC =AM AH，求得GF =(62-6)cm ，即可得到结论．【解答】解：过A 作AH ⊥BC 于H ，交GF 于M ，∵∠B =45°，∴AH =BH =22AB =32cm ，∵GF ∥BC ，∴△AGF ∽△ABC ，∴GF BC =AM AH，即GF 6=32-GF 32，∴GF =(62-6)cm ，∴正方形DEFG 的面积=GF 2=(62-6)2=(108-722)cm ．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的四条边都相等的性质，利用相似的性质：对应边的比值相等求出正方形的边长是解答本题的关键．15(2021秋•松江区月考)如图，在平行四边形ABCD 中，点E 为边BC 上一点，联结AE 并延长AE 交DC 的延长线于点M ，交BD 于点G ，过点G 作GF ∥BC 交DC 于点F ．求证：DF FC =DM CD．【分析】由GF ∥BC ，根据平行线分线段成比例定理，可得DF FC，又由四边形ABCD 是平行四边形，可得AB =CD ，AB ∥CD ，继而可证得DM AB =DG BG ，则可证得结论．【解答】证明：∵GF ∥BC ，∴DF FC =DG BG，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB ∥CD ，∴DM AB =DG BG ，∴DF FC =DM CD．【点评】此题考查了平行分线段成比例定理以及平行四边形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．16(2021秋•松江区月考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点，DE 的延长线与BC 的延长线交于点F ．(1)求证：FD FC =BD DC ；(2)若BC FC =54，求BD DC的值．【分析】(1)根据直角三角形斜边上中线性质求出DE =EC ，推出∠EDC =∠ECD ，求出∠FDC =∠B ，根据∠F =∠F 证△FBD ∽△FDC ，即可；(2)根据已知和三角形面积公式得出S △BDC S △FDC =54，S △BDF S △FDC =94，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得出S △BDFS △FDC =BD DC 2=94，即可求出BD DC．【解答】(1)证明：∵CD ⊥AB ，∴∠ADC =90°，∵E 是AC 的中点，∴DE =EC ，∴∠EDC =∠ECD ，∵∠ACB =90°，∠BDC =90°∴∠ECD +∠DCB =90°，∠DCB +∠B =90°，∴∠ECD =∠B ，∴∠FDC =∠B ，∵∠F =∠F ，∴△FBD ∽△FDC ，∴FD FC =BD DC(2)解：∵BC FC =54，∴S △BDCS △FDC =54，∴S △BDFS △FDC =94，∵△FBD ∽△FDC ，∴S △BDF S △FDC =BD DC2=94，∴BD DC=32．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的面积，注意：相似数据线的面积比等于相似比的平方，题目比较好，有一定的难度．17(2021春•黄浦区校级月考)如图，四边形ABCD 是矩形，E 是对角线AC 上的一点，EB =ED 且∠ABE =∠ADE ．(1)求证：四边形ABCD 是正方形；(2)延长DE 交BC 于点F ，交AB 的延长线于点G ，求证：EF •AG =BC •BE ．【分析】(1)根据邻边相等的矩形是正方形即可证明；(2)由AD ∥BC ，推出EF DE =EC EA ，同理DC AG =EC EA，由DE =BE ，四边形ABCD 是正方形，推出BC =DC，可得EFBE =BCAG解决问题；【解答】(1)证明：连接BD．∵EB=ED，∴∠EBD=∠EDB，∵∠ABE=∠ADE，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形．(2)证明：∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC，∴EF DE =EC EA，同理DCAG=ECEA，∵DE=BE，四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∴EF BE =BC AG，∴EF•AG=BC•BE．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、正方形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18(2021秋•浦东新区校级月考)如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，求证：AD2=AF•AB．【分析】由DE∥BC，EF∥CD，可得△ADE∽△ABC，△AFE∽△ADC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论．【解答】证明：∵DE∥BC，EF∥CD，∴△ADE∽△ABC，△AFE∽△ADC，∴AD：AB=AE：AC，AF：AD=AE：AC，∴AD：AB=AF：AD，∴AD2=AF•AB．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意掌握相似三角形的对应边成比例．19(2020秋•浦东新区月考)在△ABC中，D是BC的中点，且AD=AC，DE⊥BC，与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若DE=3，BC=8，求△FCD的面积．【分析】(1)由DE⊥BC，D是BC的中点，根据线段垂直平分线的性质，可得BE=CE，又由AD=AC，易得∠B=∠DCF，∠FDC=∠ACB，即可证得△ABC∽△FCD；(2)首先过A作AG⊥CD，垂足为G，易得△BDE∽△BGA，可求得AG的长，继而求得△ABC的面积，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得△FCD的面积．【解答】(1)证明：∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴BE=CE，∴∠B=∠DCF，∵AD=AC，∴∠FDC=∠ACB，∴△ABC∽△FCD；(2)解：过A作AG⊥CD，垂足为G．∵AD=AC，∴DG=CG，∴BD：BG=2：3，∵ED⊥BC，∴ED∥AG，∴△BDE∽△BGA，∴ED：AG=BD：BG=2：3，∵DE=3，∴AG=92，∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，∴S△FCDS△ABC=(CDBC)2=14．∵S△ABC=12×BC×AG=12×8×92=18，∴S△FCD=14S△ABC=92．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．20(2021春•静安区校级月考)已知：如图，在菱形ABCD中，点E在边BC上，点F在BA的延长线上，BE=AF，CF∥AE，CF与边AD相交于点G．求证：(1)FD=CG；(2)CG2=FG•FC．【分析】(1)根据菱形的性质得到∠FAD =∠B ，根据全等三角形的性质得到FD =EA ，于是得到结论；(2)根据菱形的性质得到∠DCF =∠BFC ，根据平行线的性质得到∠BAE =∠BFC ，根据全等三角形的性质得到∠BAE =∠FDA ，等量代换得到∠DCF =∠FDA ，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】证明：(1)∵在菱形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠FAD =∠B ，在△ADF 与△BAE 中，AF =BE ∠FAD =∠B AD =BA，∴△ADF ≌△BAE ，∴FD =EA ，∵CF ∥AE ，AG ∥CE ，∴EA =CG ，∴FD =CG ；(2)∵在菱形ABCD 中，CD ∥AB ，∴∠DCF =∠BFC ，∵CF ∥AE ，∴∠BAE =∠BFC ，∴∠DCF =∠BAE ，∵△ADF ≌△BAE ，∴∠BAE =∠FDA ，∴∠DCF =∠FDA ，又∵∠DFG =∠CFD ，∴△FDG ∽△FCD ，∴FD FC=FG FD ，FD 2=FG •FC ，∵FD =CG ，∴CG 2=FG •FC ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．21(2021秋•浦东新区校级月考)如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC =2AD ，点E 为边DC 的中点，BE 交AC 于点F ．求：(1)AF ：FC 的值；(2)EF ：BF 的值．【分析】(1)延长BE 交直线AD 于H ，如图，先由AD ∥BC 得到△DEH ∽△CEB ，则有DH BC =DE CE，易得DH =BC ，加上BC =2AD ，所以AH =3AD ，然后证明△AHF ∽△CFB ，再利用相似比可计算出AF ：FC 的值；(2)由△DEH ∽△CEB 得到EH ：BE =DE ：CE =1：1，则BE =EH =12BH ，由△AHF ∽△CFB 得到FH ：BF =AF ：FC =3：2；于是可设BF =2a ，则FH =3a ，BH =BF +FH =5a ，EH =52a ，接着可计算出EF =FH -EH =12a ，然后计算EF ：BF 的值．【解答】解：(1)延长BE 交直线AD 于H ，如图，∵AD ∥BC ，∴△DEH ∽△CEB ，∴DH BC =DE CE，∵点E 为边DC 的中点，∴DE =CE ，∴DH =BC ，而BC =2AD ，∴AH =3AD ，∵AH ∥BC ，∴△AHF ∽△CFB ，∴AF ：FC =AH ：BC =3：2；(2)∵△DEH ∽△CEB ，∴EH ：BE =DE ：CE =1：1，∴BE =EH =12BH ，∵△AHF ∽△CFB ，∴FH ：BF =AF ：FC =3：2；设BF =2a ，则FH =3a ，BH =BF +FH =5a ，∴EH =52a ，∴EF =FH -EH =3a -52a =12a ，∴EF ：BF =12a ：2a =1：4．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系．22(2021秋•浦东新区校级月考)已知：如图，在△ABC 中，BD 是∠ABC 的平分线，过点D 作DE ∥CB ，交AB 于点E ，AD DC =13，DE =6．(1)求AB 的长；(2)求S △ADE S △BCD．【分析】(1)由∠ABD =∠CBD ，DE ∥BC 可推得∠EDB =∠CBD ，进而推出∠ABD =∠EDB ，由此可得BE =DE =6，由DE ∥BC 可得AE EB =AD DC=13，进而证得AE =2，于是可得结论；(2)△ADE 看成以DE 为底，高为h 1，△BCD 看成以BC 为底，高为h 2，由平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质可得h 1h 2=AD DE =13，DE BC =14，进而证得结论．【解答】解：(1)BD 平∠ABC ，∴∠ABD =∠CBD ，∵DE ∥BC ，∴∠EDB =∠CBD ，∴∠ABD =∠EDB ，∴BE =DE =6，∵DE ∥BC ，∴AE EB =AD DC =13，∴AE 6=13，∴AE =2，∴AB =AE +BE =8；(2)△ADE 看成以DE 为底，高为h 1，△BCD 看成以BC 为底，高为h 2，∵DE ∥CB ，∴△AED ∽△ABC ，∴h 1h 2=AD DE =13，DE BC =14，∴S △ADE S △BCD =12DE ⋅h 112BC ⋅h 2=112．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质，三角形的面积等知识，熟练应用平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质是解决问题的关键．23(2022春•长宁区校级月考)已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AC 、DB 交于点E ，点F 在BC 的延长线上，联结EF 、DF ，且∠DEF =∠ADC ．(1)求证：EFBF =AB DB；(2)如果BD 2=2AD •DF ，求证：平行四边形ABCD 是矩形．【分析】(1)由已知条件和平行四边形的性质易证△ADB ∽△EBF ，再由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可证明：EF BF =AB DB；(2)由(1)可得BD 2=2AD •BF ，又因为BD 2=2AD •DF ，所以可证明BF =DF ，再由等腰三角形的性质可得∠DEF =90°，所以∠ADC =∠DEF =90°，进而可证明平行四边形ABCD 是矩形．【解答】解：(1)证明：∵平行四边形ABCD ，∴AD ∥BC ，AB ∥DC∴∠BAD +∠ADC =180°，又∵∠BEF +∠DEF =180°，∴∠BAD +∠ADC =∠BEF +∠DEF ，∵∠DEF =∠ADC ，∴∠BAD =∠BEF ，∵AD ∥BC ，∴∠EBF =∠ADB ，∴△ADB ∽△EBF ，∴EF BF =AB DB；(2)∵△ADB ∽△EBF ，∴AD BD =BE BF，在平行四边形ABCD 中，BE =ED =12BD ，∴AD •BF =BD •BE =12BD 2，∴BD 2=2AD •BF ，又∵BD 2=2AD •DF ，∴BF =DF ，∴△DBF 是等腰三角形，∵BE =DE ，∴FE ⊥BD ，即∠DEF =90°，∴∠ADC =∠DEF =90°，∴平行四边形ABCD 是矩形．【点评】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判断和性质以及矩形的判断，其中(2)小题证明△DBF 是等腰三角形是解题的关键．24(2021秋•宝山区校级月考)已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=6，点P是射线AD上的点，BP交AC于点E，∠CBP的角平分线交AC于点F，且CF=13AC时．求AP+BP的值．【分析】延长BF交射线AP于M，根据AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM，从而得到∠M=∠PBM，根据等角对等边可得BP=PM，求出AP+BP=AM，再根据AC=13CF求出AE=2CF，然后根据△MAF和△BCF相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．【解答】解：如图，延长BF交射线AP于M，∵AD∥BC，∴∠M=∠CBM，∵BF是∠CBP的平分线，∴∠PBM=∠CBM，∴∠M=∠PBM，∴BP=PM，∴AP+BP=AP+PM=AM，∵CF=13AC，则AF=2CF，由AD∥BC得，△MAF∽△BCF，∴AMBC =AFCF=2，∴AM=2BC=2×6=12，即AP+BP=12．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BF构造出相似三角形，求出AP+BP=AM并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．25(2020秋•虹口区校级月考)已知：如图，已知△ABC与△ADE均为等腰三角形，BA=BC，DA= DE．如果点D在BC边上，且∠EDC=∠BAD．点O为AC与DE的交点．(1)求证：△ABC∽△ADE；(2)求证：DA•OC=OD•CE．【分析】(1)根据三角形的外角的性质和角的和差得到∠B=∠ADE，由于BABC=DADE=1，根据得到结论；(2)根据相似三角形的性质得到∠BAC=∠DAE，于是得到∠BAD=∠CAE=∠CDE，证得△COD∽△EOA，根据相似三角形的性质得到OCOE =ODOA，由∠AOD=∠COE，推出△AOD∽△COE，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：(1)∵∠ADC =∠ABC +∠BAD =∠ADE +∠EDC ，∴∠B =∠ADE ，∵BA BC=DA DE =1，∴△ABC ∽△ADE ；(2)∵△ABC ∽△ADE ，∴∠BAC =∠DAE ，∴∠BAD =∠CAE =∠CDE ，∵∠COD =∠EOA ，∴△COD ∽△EOA ，∴OC OE =OD OA，∵∠AOD =∠COE ，∴△AOD ∽△EOC ，∴DA ：CE =OD ：OC ，即DA •OC =OD •CE ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．26(2021秋•金山区校级月考)已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在边AD 上，CE 与BD 相交于点F ，AD =4，AB =5，BC =BD =6，DE =3．(1)求证：△DFE ∽△DAB ；(2)求线段CF 的长．【分析】(1)AD ∥BC ，DE =3，BC =6，DF FB =DE BC=36=12，DF DA =DE DB ．又∠EDF =∠BDA ，即可证明△DFE ∽△DAB ．(2)由△DFE ∽△DAB ，利用对应边成比例，将已知数值代入即可求得答案．【解答】证明：(1)∵AD ∥BC ，DE =3，BC =6，∴DF FB =DE BC =36=12，∴DF BD =12，∵BD =6，∴DF =2．∵DA =4，∴DF DA =24=12，DE DB =36=12．∴DF DA=DE DB ．又∵∠EDF =∠BDA ，∴△DFE ∽△DAB ．(2)∵△DFE ∽△DAB ，∴EF AB =DE DB ．∵AB =5，∴EF 5=36，∴EF =52=2.5．∵DE ∥BC ，∴CFEF =BC DE ．∴CF 2.5=63，∴CF =5．(或利用△CFB ≌△BAD )．【点评】此题考查学生对梯形和相似三角形的判定与性质的理解和掌握，第(2)问也可利用△CFB ≌△BAD 求得线段CF 的长，不管学生用了哪种方法，只要是正确的，就要积极地给予表扬，以此激发学生的学习兴趣．27(2020秋•宝山区月考)如图，正方形DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，已知△ABC 的边BC =15，高AH =10，求正方形DEFG 的边长和面积．【分析】高AH 交DG 于M ，如图，设正方形DEFG 的边长为x ，则DE =MH =x ，所以AM =10-x ，再证明△ADG ∽△ABC ，则利用相似比得到x 15=10-x 10，然后根据比例的性质求出x ，再计算x 2的值即可．【解答】解：高AH 交DG 于M ，如图，设正方形DEFG 的边长为x ，则DE =MH =x ，∴AM =AH -MH =10-x ，∵DG ∥BC ，∴△ADG ∽△ABC ，∴DG BC =AM AH，即x 15=10-x 10，∴x =6，∴x 2=36．答：正方形DEFG 的边长和面积分别为6，36．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；也考查了正方形的性质．28(2021秋•闵行区校级月考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，M 是CD 上的点，DH ⊥BM 于H ，DH 的延长线交AC 的延长线于E ．求证：(1)△AED ∽△CBM ；(2)AE •CM =AC •CD ．【分析】(1)由于△ABC 是直角三角形，易得∠A +∠ABC =90°，而CD ⊥AB ，易得∠MCB +∠ABC =90°，利用同角的余角相等可得∠A =∠MCB ，同理可证∠1=∠2，而∠ADE =90°+∠1，∠CMB =90°+∠2，易证∠ADE =∠CMB ，从而易证△AED ∽△CBM ；(2)由(1)知△AED ∽△CBM ，那么AE ：AD =CB ：CM ，于是AE •CM =AD •CB ，再根据△ABC 是直角三角形，CD 是AB 上的高，易知△ACD ∽△CBD ，易得AC •CD =AD •CB ，等量代换可证AE •CM =AC •CD ．【解答】证明：(1)∵△ABC 是直角三角形，∴∠A +∠ABC =90°，∵CD ⊥AB ，∴∠CDB =90°，即∠MCB +∠ABC =90°，∴∠A =∠MCB ，∵CD ⊥AB ，∴∠2+∠DMB =90°，∵DH ⊥BM ，∴∠1+∠DMB =90°，∴∠1=∠2，又∵∠ADE =90°+∠1，∠CMB =90°+∠2，∴∠ADE =∠CMB ，∴△AED ∽△CBM ；(2)∵△AED ∽△CBM ，∴AE BC =AD CM，∴AE •CM =AD •CB ，∵△ABC 是直角三角形，CD 是AB 上的高，∴△ACD ∽△CBD ，∴AC ：AD =CB ：CD ，∴AC •CD =AD •CB ，∴AE •CM =AC •CD ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的高所分成的两个三角形与这个直角三角形相似．解题的关键是证明∠A =∠MCB 以及∠ADE =∠CMB ．29(2022秋•徐汇区校级月考)如图，在直角坐标平面内有点A (6，0)，B (0，8)，C (-4，0)，点M 、N 分别为线段AC 和射线AB 上的动点，点M 以2个单位长度/秒的速度自C 向A 方向做匀速运动，点N 以5个单位长度/秒的速度自A 向B 方向做匀速运动，MN 交OB 于点P ．(1)求证：MN ：NP 为定值；(2)若△BNP 与△MNA 相似，求CM 的长；(3)若△BNP 是等腰三角形，求CM 的长．【分析】(1)过点N 作NH ⊥x 轴于点H ，然后分两种情况进行讨论，综合两种情况，求得MN ：NP 为定值53．(2)当△BNP 与△MNA 相似时，当点M 在CO 上时，只可能是∠MNB =∠MNA =90°，所以△BNP ∽△MNA ∽△BOA ，所以AM AN =AB AO ，所以10-2k 5k =106，k =3031，即CM =6031；当点M 在OA 上时，只可能是∠NBP =∠NMA ，所以∠PBA =∠PMO ，根据题意可以判定不成立，所以CM =6031．(3)由于等腰三角形的特殊性质，应分三种情况进行讨论，即BP =BN ，PB =PN ，NB =NP 三种情况进行讨论．【解答】证明：(1)过点N 作NH ⊥x 轴于点H ，设AN =5k ，得：AH =3k ，CM =2k ，①当点M 在CO 上时，点N 在线段AB 上时：∴OH =6-3k ，OM =4-2k ，∴MH =10-5k ，∵PO ∥NH ，∴MN NP =MH OH=10-5k 6-3k =53，②当点M 在OA 上时，点N 在线段AB 的延长线上时：∴OH =3k -6，OM =2k -4，∴MH =5k -10，∵PO ∥NH ，∴MN NP =MH OH=5k -103k -6=53；解：(2)当△BNP 与△MNA 相似时：①当点M 在CO 上时，只可能是∠MNB =∠MNA =90°，∴△BNP ∽△MNA ∽△BOA ，∴AMAN =AB AO，。

专题4.38+相似三角形几何模型-一线三等角(基础篇)(专项练习)

专题4.38 相似三角形几何模型－一线三等角（基础篇）（专项练习）一、单选题1. 如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 上一点（点P 不与点B ，C 重合），连接AP ．作PE ⊥AP ，PE 交CD 于点E ．若AB ＝6，点P 为BC 的中点，则DE ＝（）A. 32 B. 92 C. 12 D. 532. 如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 、DC 上，ABE DEF △△∽，AB ＝6，DE ＝2，DF ＝3，则BE 的长是（）A. 12B. 15C.D. 3. 如图，在等边三角形ABC 中，AB ＝4，P 是边AB 上一点，BP ＝32，D 是边BC 上一点（点D 不与端点重合），作∠PDQ ＝60°，DQ 交边AC 于点Q ．若CQ ＝a ，满足条件的点D 有且只有一个，则a 的值为（）A. 52 B. 83 C. 2 D. 34. 如图，在 ABC 中，AB ＝AC ，D 在AC 边上，E 是BC 边上一点，若AB ＝3，AE ＝2，∠AED ＝∠B ，则AD 的长为（）A. 35 B. 32 C. 43 D. 345. 如图，在ABC 中，AB AC =，点D 是边BC 上一点，且ADE B ∠=∠，下列说法错误的是（）A. AD CE BD DE⋅=⋅ B. ADE ACD C. ABD DCE △△ D. AD DE=6. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 在AC 边上，E 是BC 边上一点，若AB ＝6，AE ＝，∠AED ＝∠B ，则AD 的长为（）A. 3B. 4C. 5D. 5.57. 如图，在等边三角形ABC 中，P 为边BC 上一点，D 为边AC 上一点，且∠APD =60°，BP =1，CD =23，则ΔABC 的边长为（）A. 3B. 4C. 5D. 68. 如图，D 是等边三角形ΔABC 边上的点，AD ＝3，BD ＝5，现将ΔABC 折叠，使点C 与点D 重合，折痕为EF ，且点E 点F 分别在边AC 和BC 上，则CE CF的值为( )A. 1113 B. 35 C. 45 D. 899. 如图，在矩形ABCD 中，E ，F ，G 分别在AB ，BC ，CD 上，DE ⊥EF ，EF ⊥FG ，BE ＝3，BF ＝2，FC ＝6，则DG 的长是（）A. 4B. 133 C. 143 D. 510. 如图，在测量旗杆高度的数学活动中，小达同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面 1.5AB =米，同时量得2BC =米，10CD =米，则旗杆高度DE 为（）A. 7.5米B. 403米C. 7米D. 9.5米二、填空题11. 如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 上的点，点F 在CD 上，要使ABE ∆与CEF ∆相似，需添加的一个条件是_______(填一个即可)．12. 如图，在边长为a 的正方形中，E 、F 分别为边BC 和CD 上的动点，当点E 和点F 运动时， AE 和EF 保持垂直．则①△ABE ∽△FCE ；②当12BE a =时、梯形ABCF 的面积最大；③当点E 运动到BC 中点时Rt ABE ∽Rt △AEF ；④当Rt ABE ∽Rt △AEF 时cos ∠AFE =12其中正确结论的序号是．13. 如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且:1:4CF CD =，给出下列结论：①ABE ECF ∽；②ABE AEF ∽；③AE EF ⊥；④ADF ECF ∽．其中正确结论的序号为________．14. 如图，四边形ABCD 是正方形，6AB =，E 是BC 中点，连接DE ，DE 的垂直平分线分别交AB DE CD 、、于M 、O 、N ，连接EN ，过E 作EF EN ⊥交AB 于F ，则AF =______．15. 如图，在矩形ABCD 中，E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，4AB =，8AD =，3CF =，若ABE △与以E ，C ，F 为顶点的三角形相似，则BE 的长为______．16. 如图，在等边三角形ABC 中，点D 、点E 分别在BC ，AC 上，且∠ADE ＝60°，（1）写出和∠CDE 相等的角：______；（2）若AB ＝3，BD ＝1，则CE 长为______．17. 如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 、DC 上，△ABE ∽△DEF ，AB =3，AE =4，DE =1.2，则EF =_____．18. 如图，D是等边三角形ABC的边AB上一点，且AD：1DB=：2，现将折叠，使点C与点D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上，且ABCCE：CF的值为______．⊥交19. 如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点E作EF AEDC于点F．若4BC=，则DF的长为______．AB=，620. 如图，将长方形纸片ABCD沿MN折叠，使点A落在BC边上点A′处，点D的对应点为D′，连接A'D′交边CD于点E，连接CD′，若AB＝9，AD＝6，A'点为BC 的中点，则线段ED'的长为_____．三、解答题21. 如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°．求证：△EBF∽△FCG．22. 如图，等边三角形△ACB的边长为3，点P为BC上的一点，点D为AC上的一点，连接AP、PD，∠APD=60°．（1）求证：△ABP∽△PCD；（2）若PC=2，求CD的长．23. 如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E是边AC上一点，且满足ADE B∠=∠．（1）证明：ADB AED ∆∆ ；（2）若3AE =，5AD =，求AB 的长．24. 如图，在ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且30ADE ∠=︒，求证：ABD DCE ∽△△．25. 在矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，将矩形折叠，使点A 落在点P 处，折痕为DE ．（1）如图①，若点P 恰好在边BC 上，连接AP ，求AP DE的值；（2）如图②，若E 是AB 的中点，EP 的延长线交BC 于点F ，求BF 的长．26. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：（1）如图1，点A 在直线l 上，90,BAD AB AD ∠=︒=，过点B 作BC l ⊥于点C ，过点D 作DE l ⊥交于点E ．由12290D ∠+∠=∠+∠=︒，得1D ∠=∠．又90BCA AED ∠=∠=︒，可以推理得到()ABC DAE AAS ≌．进而得到结论：AC =_____，BC =_____．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三直角”模型；（2）如图2，90,,,BAD MAN AB AD AM AN BM l ∠=∠=︒==⊥于点C ，NG l ⊥于点G ，由（1）易知NG =_______，ND 与直线l 交于点P ，求证：NP DP =．专题4.38相似三角形几何模型－一线三等角（基础篇）（专项练习）一、单选题【1题答案】【答案】B【解析】【分析】根据正方形的性质，余角，可证明出△ABP∽△PCE，再根据相似三角形的性质即可求出CE的值，最后根据线段的和差关系即可求解．【详解】解：在正方形ABCD中，AB=BC=CD=6，∠B=∠C=90°，∵P为BC中点，∴BP=PC=12AB=3，∵AP⊥PE，∴∠APE=90°=∠APB+∠EPC，∵∠B=90°，∴∠APB+∠BAP=90°，∴∠BAP=∠EPC，∵∠B=∠C=90°，∴△ABP∽△PCE，∴AB PCBP CE=，即633CE=，∴32 CE=，∴DE=CD-CE=39622 -=，故选：B．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，证得△ABP∽△PCE是解答本题的关键．【2题答案】【答案】C【解析】【分析】利用相似三角形的性质求出AE的长，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：∵ABE DEF ∽，∴AB AE DE DF=，∴623AE =，∴9AE =，∵矩形ABCD 中，∠A =90°，∴BE ===故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质、勾股定理，解题关键是求出AE 的长后利用勾股定理求解．【3题答案】【答案】B【解析】【分析】先证明△BPD ∽△CDQ ，利用相似三角形的性质得出比例式，进而建立关于BD 的一元二次方程，再判别式为0，建立方程求解，即可得出结论．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠B =∠C =60°，∴∠BPD +∠BDP =180°-∠B =120°，∵∠PDQ =60°，∴∠BDP +∠CDQ =120°，∴∠BPD =∠CDQ ，∵∠B =∠C =60°，∴△BPD ∽△CDQ ，∴BP BD CD CQ=，∴324BD BD a=-，∴2BP 2-8BP +3a =0，∵满足条件的点P 有且只有一个，∴方程2BP 2-8BP +3a =0有两个相等的实数根，∴△=82-4×2×3a =0，∴a =83．故选：B ．【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了等式的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．【4题答案】【答案】C【解析】【分析】由等边对等角可得∠B =∠C ，即得出∠C =∠AED ．再结合题意易证△EAD ∼△CAE ，即得出AD AE AE AC=，代入数据即可求出AD 的长．【详解】根据题意可知AB =AC =3，∴∠B =∠C ，∵∠B =∠AED ，∴∠C =∠AED ，又∵∠EAD =∠CAE ，∴△EAD ∼△CAE ，∴AD AE AE AC =，即223AD =，解得：43AD =,故选C ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质．掌握相似三角形的判定方法是解题关键．【5题答案】【答案】D【解析】【分析】根据AB AC =和ADE B ∠=∠，可证得△ABD ∽△DCE ，△ADE ∽△ACD ，再逐项判断即可求解．【详解】解：∵AB AC =，∴∠B =∠C ，∵∠ADC =∠B +∠BAD ，∠ADC =∠ADE +∠CDE ，ADE B ∠=∠，∴∠BAD =∠CDE ，∴△ABD ∽△DCE ，故C 正确，不符合题意；∴AD BD DE CE=，∴AD CE BD DE ⋅=⋅，故A 正确，不符合题意；∵AB AC =，∴∠B =∠C ，∵ADE B ∠=∠，∴∠ADE =∠C ，∵∠DAE =∠CAD ，∴△ADE ∽△ACD ，故B 正确，不符合题意；∴AD DE AC CD=，∠AED =∠ADC ，∵点D 是边BC 上一点，∴AC 不一定等于CD ，∴∠ADC 不一定等于∠DAC ，∴∠AED 不一定等于∠DAC ，∴AD 不一定等于DE ，故D 错误，符合题意；故选：D ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质定理．【6题答案】【答案】A【解析】【分析】由等边对等角可得B C ∠=∠，即得出C AED ∠=∠．再结合题意易证EAD CAE ，即得出AD AE AE AC=，代入数据即可求出AD 的长．【详解】根据题意可知6AB AC ==，∴B C ∠=∠．∵B AED ∠=∠，∴C AED ∠=∠．又∵EAD CAE∠=∠，∴EAD CAE，∴AD AEAE AC==解得：3AD=．故选A【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质．掌握三角形相似的判定方法是解题关键．【7题答案】【答案】A【解析】【分析】根据等边三角形性质求出AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，推出∠BAP=∠DPC，证△BAP∽△CPD，得出AB BPCP CD=，代入求出即可．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，∴∠BAP+∠APB=180°-60°=120°，∵∠APD=60°，∴∠APB+∠DPC=180°-60°=120°，∴∠BAP=∠DPC，即∠B=∠C，∠BAP=∠DPC，∴△BAP∽△CPD，∴AB BP CP CD=∵23CD=，CP=BC-BP=x-1，BP=1，∴1213 xx= -解得：AB=3．故选A．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△BAP∽△CPD，主要考查了学生的推理能力和计算能力．【8题答案】【答案】A【解析】【分析】根据等边三角形的性质、相似三角形的性质得到∠AED=∠BDF，根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=3+5=8，由折叠的性质可知，∠EDF=∠C=60°，EC=ED，FC=FD，∴∠AED=∠BDF，∴△AED∽△BDF，∴1113 DE AE AD DEDF BD DF BF++==++，∴1113 CE DECF DF==，故选A．【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、翻转变换的性质是解题的关键．【9题答案】【答案】B【解析】【分析】先运用勾股定理可求得EF, 过G作GH⊥DE垂足为H，则四边形EFGH 是矩形可得HG=EF,再说明△EBF∽△DAE、△DAE∽△GHD，进一步可得△EBF∽△GHD，最后运用相似三角形的性质解答即可.【详解】解：∵在Rt△BEF中，BF=2,BE=3∴EF==如图：过G作GH⊥DE垂足为H，∵DE⊥EF，EF⊥FG∴四边形EFGH是矩形∴HG=EF∵矩形ABCD∴∠A =∠B =90°∴∠AED +∠ADE =90°∵DE ⊥EF∴∠AED +∠BEF =90°∴∠BEF =∠ADE又∵∠A =∠B =90°∴△EBF ∽△DAE同理：△DAE ∽△GHD∴△EBF ∽△GHD∴DG HG EF BE =,=,解得DG =133. 故选B .【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、运用勾股定理解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.【10题答案】【答案】A【解析】【分析】由平面镜反射可得：,ACB DCE ∠=∠ 再证明,ABC EDC ∽再利用相似三角形的性质可得答案.【详解】解：由平面镜反射可得：,ACB DCE ∠=∠90,ABC EDC ∠=∠=︒,ABC EDC ∴ ∽,AB BC DE CD∴= 1.5AB =米，2BC =米，10CD =米，1.52,10DE ∴= 解得：7.5DE =，经检验：符合题意，∴ 旗杆高度DE 为7.5米.故选A【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，掌握“利用相似三角形的性质列方程求解”是解本题的关键.二、填空题【11题答案】【答案】AE EF ⊥或∠BAE ＝∠CEF ，或∠AEB ＝∠EFC （任填一个即可）【解析】【分析】根据相似三角形的判定解答即可．【详解】∵矩形ABCD ，∴∠ABE ＝∠ECF ＝90︒，∴添加∠BAE ＝∠CEF ，或∠AEB ＝∠EFC ，或AE ⊥EF ，∴△ABE ∽△ECF ，故答案为：∠BAE ＝∠CEF ，或∠AEB ＝∠EFC ，或AE ⊥EF ．【点睛】此题考查相似三角形的判定，关键是根据相似三角形的判定方法解答．【12题答案】【答案】①②③【解析】【分析】如图，证明∠B ＝∠C ，∠BAE ＝∠CEF ，得到①正确；证明S 梯形ABCF22111222,a a λλ=-++由12-＜0，得到当λ＝﹣1212()2a ⨯-＝12a 时，梯形ABCF 的面积最大，得到②正确；证明AB AE BE EF=，由∠B ＝∠AEF ＝90°，得到Rt △ABE ∽Rt △AEF ，故③正确；证明cos ∠AFE ＝cos ∠AEB ＝12BE AE ≠，故④不正确．【详解】解：如图，∵四边形ABCD 为正方形，且AE ⊥EF ，∴∠B ＝∠AEF ＝∠C ＝90°，∴∠BAE +∠AEB ＝∠AEB +∠CEF ，∴∠BAE ＝∠CEF ，∴△ABE ∽△FCE ，故①正确；设BE ＝λ，则EC ＝a ﹣λ；∵△ABE ∽△ECF ，∴AB BE CE CF =，故2,CF aλλ=-+∴S 梯形ABCF ＝21()2a a aλλ-++22111222,a a λλ=-++∵12-＜0，∴当λ＝﹣1212()2a ⨯-＝12a 时，梯形ABCF 的面积最大．故②正确．∵△ABE ∽△ECF ，∴AB AE CE EF=；若点E 为BC 的中点，则BE ＝CE ，∴AB AE BE EF =，而∠B ＝∠AEF ＝90°，∴Rt △ABE ∽Rt △AEF ，故③正确；∴∠AFE ＝∠AEB ，∴cos ∠AFE ＝cos ∠AEB ＝12BE AE ≠，故④不正确．故答案为①②③．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理，灵活运用勾股定理是解本题的关键【13题答案】【答案】①②③【解析】【分析】容易证明①△ABE ∽△ECF ；利用①可得90AEB FEC ∠+∠= ，，可得③AE ⊥EF ；且可得2AE AB EF EC ==，可证得②△ABE ∽△AEF ，而AD DF CE CF ≠，所以④不正确．【详解】∵E 为BC 中点，CF :CD =1:4，∴2AB BE CE CF==，且∠B =∠C ，∴△ABE ∽△ECF ，∴①正确；∴∠BAE =∠FEC ,且90BAE AEB ∠+∠= ，∴90AEB FEC ∠+∠= ，∴90AEF ∠= ，∴AE ⊥EF ，∴③正确；由①可得2AE AB EF EC ==， ∴AB EC BE AE EF EF==,且90ABE AEF ∠=∠= ， ∴△ABE ∽△AEF ，∴②正确；∵2,3DA DF CE CF==， ∴AD DF CE CF ≠， ∴△ADF 和△ECF 不相似，∴④不正确，综上可知正确的为：①②③，故答案为①②③.【点睛】考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.【14题答案】【答案】2【解析】【分析】MN 垂直平分DE ，得出NE ND =，利用6DN NC +=，在ΔRt NCE 中利用勾股定理求得CN 的长，再证明FBE ECN ∆∆ ，利用相似比求得BF 的长度，进而求得AF 的长度．【详解】设CN x =，则6DN x=- MN 垂直平分DE∴6NE ND x==-在ΔRt NCE 中，222CN CE NE +=又∵E 是BC 中点∴3CE =2223(6)x x ∴+=-解得94x =又∵EF EN⊥90NEC FNB ∴∠+∠=,NEC EFB CNE FEB∴∠=∠∠=∠Δ~ΔFBE ECN∴FB CE BE CN∴=3934FB ∴=4FB ∴=642AF AB FB ∴=-=-=故答案为：2．【点睛】本题考查线段垂直平分线的应用，勾股定理及相似三角形的应用，解决本题的关键是各知识点的综合应用．【15题答案】【答案】26，或327【解析】【分析】设BE =x ，当ABE △∽△ECF 时，AB BE EC CF =即483x x =-，当ABE △∽△FCE 时，AB BE FC EC =即438x x=-，解方程即可．【详解】解：设BE =x ，当ABE △∽△ECF 时，AB BE EC CF =即483x x =-整理得28120x x -+=，解得1226x x ==，，经检验都符合题意，当ABE △∽△FCE 时，AB BE FC EC =即438x x =-，解得327x =．经检验符合题意，故答案为26，或327．【点睛】本题考查三角形相似性质，列分式方程，正确三角形相似性质，列分式方程是解题关键．【16题答案】【答案】 ①. ∠BAD ②. 23【解析】【分析】(1) 根据△ABC 是等边三角形,得到∠B =∠C = 60°， AB = BC ；又因为∠ADC =∠B +∠BAD ，∠EDC +∠ADE = ∠B +∠BAD 就得到∠EDC =∠BAD(2) 因为∠EDC =∠BAD ，∠C =∠B 得到△ABD ~△DCE ，得到AB BD CD EC= ，即可求出EC ；【详解】(1) 证明: ∵△ABC 是等边三角形,∠B =∠C = 60°， AB = BC ；又∵∠ADC =∠B +∠BAD∠EDC +∠ADE = ∠B +∠BAD又∵∠ADE =∠B =60°∴∠EDC =∠BAD所以和∠CDE 相等的角为：∠BAD故答案为：∠BAD(2) ∵∠EDC =∠BAD∴∠C =∠B△ABD ~△DCE ，AB BD CD EC ∴= 3,1BC AB BD ===又312CD BC BD =-=-=312EC∴= 解得：EC =23故答案为：23；【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，能够证得△ABD ~△DCE 是解答此题的关键．【17题答案】【答案】2【解析】【分析】由勾股定理，求出BE=5，由△ABE∽△DEF，得ABDE=BEEF，进而求出EF的长．【详解】解：在矩形ABCD中∠A=90°∵AB=3，AE=4∴BE=5∵△ABE∽△DEF∴ABDE=BEEF∴31.2=5EF解得EF=2故答案为：2．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，借助于矩形的性质和勾股定理求边长，熟练掌握以上性质是解题的关键．【18题答案】【答案】4 5【解析】【分析】设AD＝k，则DB＝2k，得到AB＝AC＝BC=3k，∠A＝∠B＝∠C＝∠EDF ＝60°，进而证明△AED∽△BDF，得到△AED与△BDF的相似比为4：5，即可求出CE：CF＝DE：DF＝4：5，问题得解．【详解】解：设AD＝k，则DB＝2k，∵△ABC为等边三角形，△CEF折叠得到△DEF，∴AB＝AC＝BC=3k，∠A＝∠B＝∠C＝∠EDF＝60°，∴∠EDA+∠FDB＝120°，∠EDA+∠AED＝120°，∴∠FDB＝∠AED，∴△AED∽△BDF，由△CEF折叠得到△DEF，得CE＝DE，CF＝DF，∴△AED的周长为4k，△BDF的周长为5k，∴△AED 与△BDF 的相似比为4：5，∴CE ：CF ＝DE ：DF ＝4：5．故答案为：45．【点睛】本题主要考查了相似的性质与判定、等边三角形的性质、翻折变换的性质及其应用等知识，熟知等边三角形、翻折变换的性质，借助相似三角形的判定与性质（用含有k 的代数式表示）将两条线段的比转化为相似比是解题的关键．【19题答案】【答案】74【解析】【分析】结合矩形的性质证明BAE CEF ∆∆ 可求得CF 的长，再利用DF CD DF =-可求解．【详解】解：四边形ABCD 为矩形，90B C ∴∠=∠=︒，4CD AB ==，90BAE AEB ∴∠+∠=︒，EF AE ⊥ ，90AEF ∴∠=︒，90AEB CEF ∴∠+∠=︒，BAE CEF ∴∠=∠，BAE CEF ∴∆∆ ，::AB CE BE CF ∴=，E 是BC 的中点，6BC =，3BE CE ∴==，4AB = ，4:33:CF ∴=，解得94CF =，97444DF CD DF ∴=-=-=．故选：74．【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，证明BAE CEF ∆∆ 是解题的关键．【20题答案】【答案】94【解析】【分析】根据折叠的性质可得'AM A M =，''90MA D A ∠=∠=︒，设'AM A M x ==，则9BM x =-，由线段中点可得''11322A B AC BC AD ====，在'Rt A BM 中，利用勾股定理可得'5A M =，4MB =，利用相似三角形的判定定理及性质可得''A BM ECA ，'''A E AC A M BM =，代入求解，同时根据线段间的数量关系即可得出结果．【详解】解：将长方形纸片ABCD 沿着MN 折叠，使点A 落在BC 边上点'A 处，∴'AM A M =，''90MA D A ∠=∠=︒，设'AM A M x ==，则9BM x =-，∵'A 是BC 的中点，∴''11322A B AC BC AD ====，在'Rt A BM 中，'22'2A B BM A M +=，即()22239+-=x x ，解得：5x =，∴'5A M =，4MB =，∵''90MA B EAC ∠+∠=︒，''90A EC EAC ∠+∠=︒，∴''MA B A EC ∠=∠，∵'90B ACE ∠=∠=︒，∴''A BM ECA ，∴'''A E ACA M BM=，即'354A E=，∴'15 4A E=，∴'''''159 644ED A D A E AD A E=-=-=-=，故答案为：9 4【点睛】题目主要考查长方形中的折叠问题，包括勾股定理，相似三角形的判定及性质等，结合图形，熟练掌握运用折叠的性质及相似三角形的性质是解题关键．三、解答题【21题答案】【答案】见解析【解析】【分析】根据正方形的性质得∠B＝∠C＝90°，再利用等角的余角相等得∠BEF=∠CFG，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得到△EBF∽△FCG．【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BEF＋∠BFE＝90°，∵∠EFG＝90°，∴∠BFE＋∠CFG＝90°，∴∠BEF＝∠CFG，∴△EBF∽△FCG．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，解的关键是掌握相似三角形的判定定理．【22题答案】【答案】（1）见解析（2）CD的长为2 3【解析】【分析】（1）由等边三角形和∠APD=60°得，∠B=∠C=∠APD=60°，∠APB+∠CPD=120°，在△APB中，∠APB+∠BAP=120°，由此可得∠BAP=∠CPD．因此△ABP∽△PCD；（2）由（1）的结论△ABP∽△PCD可得BP ABCD PC=，从而可以求出线段CD的长．【小问1详解】证明：∵等边三角形ABC，∴∠B=∠C=60°，∵∠APD=60°，∴∠APB+∠CPD=120°，在△APB中，∠APB+∠BAP=120°，∴∠BAP=∠CPD，∴△ABP∽△PCD；【小问2详解】解：等边三角形边长为3，PC=2，由（1）得△ABP∽△PCD，BP ABCD PC=，∴132 CD=，∴CD=23．答：CD的长为23．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△ABP∽△PCD．【23题答案】【答案】（1）见解析（2）25 3【解析】【分析】（1）证出∠BAD=∠EAD．根据相似三角形的判定可得出结论；（2）由相似三角形的性质可得出AD ABAE AD=，则可得出答案．【小问1详解】∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠EAD．∵∠ADE=∠B，∴△ADB∽△AED．【小问2详解】∵△ADB∽△AED，∴AD AB AE AD=，∵AE=3，AD=5，∴535AB =，∴253 AB=．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．【24题答案】【答案】见解析【解析】【分析】利用三角形的外角性质证明∠EDC=∠DAB，即可证明△ABD∽△DCE．【详解】证明：∵AB=AC，且∠BAC=120°，∴∠ABD=∠ACB=30°，∵∠ADE=30°，∴∠ABD=∠ADE=30°，∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，∴∠EDC=∠DAB，∴△ABD∽△DCE．【点睛】本题考查了三角形相似的判定、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，利用三角形的外角性质证明∠EDC=∠DAB是解题的关键．【25题答案】【答案】（1）2 3（2）3 2【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得∠BAD =∠ABC =90°，再由折叠的性质可得APB AED ∠=∠．可证得ABP △∽DAE △．即可求解；（2）过点E 作EH DP ∥交AD 于H ，由折叠的性质可得HED HDE ∠=∠，从而得到EH DH =．然后设EH DH x ==，则6AH x =-，由勾股定理可得103DH =，从而得到83AH =．再证得AEH △∽BFE △，即可求解．【小问1详解】解：在矩形ABCD 中，∠BAD =∠ABC =90°，∴90BAP APB ∠+∠=︒，由折叠性质得：AP DE ⊥，∴90BAP AED ∠+∠=︒，∴APB AED ∠=∠．∵90EAD ABP ∠=∠=︒，∴ABP △∽DAE △．∴4263AP AB DE AD ===．【小问2详解】解：过点E 作EH DP ∥交AD 于H ，∵EH DF ∥，∴HED EDP ∠=∠．∵由折叠性质得HDE EDP ∠=∠，∠DPE =∠A =90°，∴HED HDE ∠=∠，∴EH DH =．设EH DH x ==，则6AH x =-，∵E 是AB 的中点，∴2AE =，∵AE 2+AH 2=EH 2，∴()22226x x +-=，解得：103x =，即103DH =，∴83AH =．∵EH DF ∥，∴∠HEP =90°，∴∠AEH +∠BEF =90°，∵∠A =∠B =90°，∴∠AEH +∠AHE =90°，∴∠AHE =∠BEF ，∴AEH △∽BFE △，∴AE AH BF BE =，即8232BF =，解得32BF =，∴BF 的长为32．【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，相似三角形的判定和性质，熟练掌握矩形与折叠的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．【26题答案】【答案】（1）DE ，AE ；（2）AC ．证明见详解．【解析】【分析】（1）根据(AAS)≌ABC DAE ，得出AC =DE ，BC =AE 即可；（2）过D 作DE ⊥直线l 于E ，先证△MCA ≌△AGN （AAS ），得出AC =NG ，由（1）知(AAS)≌ABC DAE ，得出AC =DE ，再证△NGP ≌△DEP （AAS ）即可．【小问1详解】解：∵(AAS)≌ABC DAE ，∴AC =DE ，BC =AE ，故答案为DE ，AE ；【小问2详解】证明：过D 作DE ⊥直线l 于E ，∵90MAN ∠=︒，∴∠CAM +∠NAG =90°，∵BM ⊥l ，∴∠MCA =90°，∴∠M +∠CAM =90°，∴∠M =∠NAG ，∵NG l ⊥，∴∠AGN =90°，在△MCA 和△AGN 中，MCA AGN M GAN MA AN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MCA ≌△AGN （AAS ），∴AC =NG ，由（1）知(AAS)≌ABC DAE ，∴AC =DE ，∴NG =DE ，在△NGP 和△DEP 中，90NGP DEP GPN EPDNG DE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△NGP ≌△DEP （AAS ）∴NP =DP ，故答案为AC ．【点睛】本题考查一线三直角全等问题，掌握余角性质，三角形全等判定与性质是解题关键．。

九年级数学相似三角形经典题(含答案)

相似三角形经典习题教师版例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．例2 已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ∆与CDF ∆的周长的比，如果2cm 6=∆AEF S ，求CDF S ∆．例3 如图，已知ABD ∆∽ACE ∆，求证：ABC ∆∽ADE ∆．例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似．（2）所有的等腰三角形都相似．（3）所有的等腰直角三角形都相似．（4）所有的等边三角形都相似．例5 如图，D 点是ABC ∆的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ∆的边上，并且点D 、点E 和ABC ∆的一个顶点组成的小三角形与ABC ∆相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE 的画法．例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．例7 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）．例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由．例9 根据下列各组条件，判定ABC ∆和C B A '''∆是否相似，并说明理由：（1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ．（2）︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A ．（3）︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ．例10 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．例11 已知：如图，在ABC ∆中，BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ⋅=2．例12 已知ABC ∆的三边长分别为5、12、13，与其相似的C B A '''∆的最大边长为26，求C B A '''∆的面积S ．例13 在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处（如图），然后沿BC 方向走到D 处，这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上，又测得C 、D 两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．例14．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选点B 和C ，使BC AB ⊥，然后再选点E ，使BC EC ⊥，确定BC 与AE 的交点为D ，测得120=BD 米，60=DC 米，50=EC 米，你能求出两岸之间AB 的大致距离吗？例15．如图，为了求出海岛上的山峰AB 的高度，在D 和F 处树立标杆DC 和FE ，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB 、CD 和EF 在同一平面内，从标杆DC 退后123步的G 处，可看到山峰A 和标杆顶端C 在一直线上，从标杆FE 退后127步的H 处，可看到山峰A 和标杆顶端E 在一直线上．求山峰的高度AB 及它和标杆CD 的水平距离BD 各是多少？（古代问题）例16 如图，已知△ABC 的边AB ＝32，AC ＝2，BC 边上的高AD ＝3．（1）求BC 的长；（2）如果有一个正方形的边在AB 上，另外两个顶点分别在AC ，BC 上，求这个正方形的面积．相似三角形经典习题答案例1．解 ①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似例2．解 ABCD 是平行四边形，∴CD AB CD AB =,//，∴AEF ∆∽CDF ∆，又2:1:=EB AE ，∴3:1:=CD AE ，∴AEF ∆与CDF ∆的周长的比是1：3．又)cm (6,)31(22==∆∆∆AEF CDF AEF S S S ，∴)cm (542=∆CD F S ．例3 分析由于ABD ∆∽ACE ∆，则CAE BAD ∠=∠，因此DAE BAC ∠=∠，如果再进一步证明AECAAD BA =，则问题得证．证明 ∵ABD ∆∽ACE ∆，∴CAE BAD ∠=∠．又DAC BAD BAC ∠+∠=∠ ，∴CAE DAC DAE ∠+∠=∠， ∴DAE BAC ∠=∠．∵ABD ∆∽ACE ∆，∴AEACAD AB =．在ABC ∆和ADE ∆中，∵AEACAD AB ADE BAC =∠=∠,，∴ABC ∆∽ADE ∆ 例4．分析（1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同．（2）也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同．（3）正确．设有等腰直角三角形ABC 和C B A '''，其中︒='∠=∠90C C ，则︒='∠=∠︒='∠=∠45,45B B A A ，设ABC ∆的三边为a 、b 、c ，C B A '''∆的边为c b a '''、、，则a c b a a c b a '=''='==2,,2,，∴a ac c b b a a '=''=',，∴ABC ∆∽C B A '''∆．（4）也正确，如ABC ∆与C B A '''∆都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此ABC ∆∽C B A '''∆．答：（1）、（2）不正确．（3）、（4）正确．例5．解：画法略．例6．分析本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形，即60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=CE 米，求BC ．由于ADF ∆∽ACAF EC DF AEC =∆,，又ACF ∆∽ABC ∆，∴BC GFEC DF =，从而可以求出BC 的长．解 EC DF EC AE //,⊥ ，∴EAC DAF AEC ADF ∠=∠∠=∠,，∴ADF ∆∽AEC ∆．∴ACAFEC DF =．又EC BC EC GF ⊥⊥,，∴ABC AGF ACB AFG BC GF ∠=∠∠=∠,,//， ∴AGF ∆∽ABC ∆，∴BC GF AC AF =，∴BCGFEC DF =．又60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=EC 米，∴6=BC 米．即电线杆的高为6米．例7．分析根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，BCA ∆与MNA ∆的相似关系就明确了．解因为MAN BAC AN MN CA BC ∠=∠⊥⊥,,，所以BCA ∆∽MNA ∆．所以AC AN BC MN ::=，即5.1:206.1:=MN ．所以3.215.1206.1≈÷⨯=MN （m ）．说明这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪器测量的麻烦．例8．分析这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的．实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度．解在格点中BC AB EF DE ⊥⊥,，所以︒=∠=∠90B E ，又4,2,2,1====AB BC DE EF ．所以21==BC EF AB DE ．所以DEF ∆∽ABC ∆．说明遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏．例9．解（1）因为7128cm 4cm ,7117.5cm 2.5cm ,7124.5cm 3.5cm ==''==''==''A C CA C B BC B A AB ，所以ABC ∆∽C B A '''∆；（2）因为︒=∠-∠-︒=∠41180B A C ，两个三角形中只有A A '∠=∠，另外两个角都不相等，所以ABC ∆与C B A '''∆不相似；（3）因为12,=''='''∠=∠C B BC B A AB B B ，所以ABC ∆相似于C B A '''∆．例10．解（1）ADE ∆∽ABC ∆ 两角相等；（2）ADE ∆∽ACB ∆ 两角相等；（3）CDE ∆∽CAB ∆ 两角相等；（4）EAB ∆∽ECD ∆ 两边成比例夹角相等；（5）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等；（6）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等．例11．分析有一个角是65°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD 是底角的平分线，∴︒=∠36CBD ，则可推出ABC ∆∽BCD ∆，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．证明 AC AB A =︒=∠,36 ，∴︒=∠=∠72C ABC ．又BD 平分ABC ∠，∴︒=∠=∠36CBD ABD ．∴BC BD AD ==，且ABC ∆∽BCD ∆，∴BC CD AB BC ::=，∴CD AB BC ⋅=2，∴CD AC AD ⋅=2．说明（1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．（2）要说明线段的乘积式cd ab =，或平方式bc a =2，一般都是证明比例式，b dc a =，或caa b =，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式．例12分析由ABC ∆的三边长可以判断出ABC ∆为直角三角形，又因为ABC ∆∽C B A '''∆，所以C B A '''∆也是直角三角形，那么由C B A '''∆的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出C B A '''∆的两条直角边长，再求得C B A '''∆的面积．解设ABC ∆的三边依次为，13,12,5===AB AC BC ，则222AC BC AB += ，∴︒=∠90C ．又∵ABC ∆∽C B A '''∆，∴︒=∠='∠90C C ．212613==''=''=''B A AB C A AC C B BC ，又12,5==AC BC ，∴24,10=''=''C A C B ． ∴12010242121=⨯⨯=''⨯''=C B C A S ．例13．分析判断方法是否可行，应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高．按这种测量方法，过F作AB FG ⊥于G ，交CE 于H ，可知AGF ∆∽EHF ∆，且GF 、HF 、EH 可求，这样可求得AG ，故旗杆AB 可求．解这种测量方法可行．理由如下：设旗杆高x AB =．过F 作AB FG ⊥于G ，交CE 于H （如图）．所以AGF ∆∽EHF ∆．因为3,30327,5.1==+==HF GF FD ，所以5.1,25.15.3-==-=x AG EH ．由AGF ∆∽EHF ∆，得HF GF EH AG =，即33025.1=-x ，所以205.1=-x ，解得5.21=x （米）所以旗杆的高为21.5米．说明在具体测量时，方法要现实、切实可行．例14. 解：︒=∠=∠∠=∠90,ECD ABC EDC ADB ，∴ABD ∆∽ECD ∆，1006050120,=⨯=⨯==CD EC BD AB CD BD EC AB （米），答：两岸间AB 大致相距100米．例15. 答案：1506=AB 米，30750=BD 步，（注意：AK FEFHKE AK CD DG KC ⋅=⋅=,．）例16. 分析：要求BC 的长，需画图来解，因AB 、AC 都大于高AD ，那么有两种情况存在，即点D 在BC 上或点D 在BC 的延长线上，所以求BC 的长时要分两种情况讨论．求正方形的面积，关键是求正方形的边长．解：（1）如上图，由AD ⊥BC ，由勾股定理得BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD ＋DC ＝3＋1＝4．如下图，同理可求BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD －CD ＝3－1＝2．（2）如下图，由题目中的图知BC ＝4，且162)32(2222=+=+AC AB ，162=BC ，∴222BC AC AB =+．所以△ABC 是直角三角形．由AE G F 是正方形，设G F ＝x ，则FC ＝2－x ， ∵G F ∥AB ，∴AC FC AB GF =，即2232xx -=． ∴33-=x ，∴3612)33(2-=-=AEG F S 正方形．如下图，当BC ＝2，AC ＝2，△ABC 是等腰三角形，作CP ⊥AB 于P ，∴AP ＝321=AB ，在Rt △APC 中，由勾股定理得CP ＝1， ∵GH ∥AB ，∴△C GH ∽△CBA ，∵x x x -=132，32132+=x ∴121348156)32132(2-=+=GFEH S 正方形因此，正方形的面积为3612-或121348156-．相似三角形一，比例线段 1，成比例线段对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如b a =dc（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

相似三角形几何模型-一线三等角(巩固篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级数学

专题4.39 相似三角形几何模型－一线三等角（巩固篇）（专项练习）一、单选题1. 如图，矩形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝5，在边CD 上取一点P ，使得△PAD 与△PBC 相似，则这样的点P 共有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 如图，已知矩形ABCD 中，点E 是边AD 上的任一点，连接BE ，过E 作BE 的垂线交BC 延长线于点F ，交边CD 于点P ，则图中共有相似三角形（）A. 6对B. 5对C. 4对D. 3对3. 如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 中点，3DF FC ．联结AE AF EF 、、．那么下列结果错误的是( )A. ABE △与ECF 相似B. ABE △与AEF 相似C. ABE △与ADF 相似D. AEF 与ECF 相似4. 如图，已知△ABC 和△ADE 均为等边三角形，点D 在BC 边上，DE 与AC 相交于点F ，图中相似的三角形有（）对．A. 3B. 4C. 5D. 65. 如图，在矩形ABCD 中，点,E F 分别在,BC CD 边上，,EF AE BH AC ⊥⊥于点H ，EF 与AC 交于点M ，BH 与AE 交于点N ，则下列结论错误的是A. EFC AEB ∆∆B. ECM ABN ∆∆C. CFM BEN ∆∆D. ANH EFC ∆∆ 6. 如图，已知矩形ABCD 中，点E 是边AD 上的任一点，连接BE ，过E 作BE 的垂线交BC 延长线于点F ，交边CD 于点P ，则图中共有相似三角形（）A. 6对B. 5对C. 4对D. 3对7. 如图，E 是正方形ABCD 的边BC 上一点，下列条件中：①BAE CEF ∠∠=；②AEB EFC ∠∠=；③AE EF ⊥；④AB BE EC CF =；⑤AE AB EF EC=．其中能使ABE ECF ∽的有（）A. ①②B. ①②③C. ①②③④D. ①②③④⑤8. 如图，在矩形ABCD 中，点E 为AD 上一点，且AB ＝8，AE ＝3，BC ＝4，点P为AB 边上一动点，连接PC 、PE ，若△PAE 与△PBC 是相似三角形，则满足条件的点P 的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 49. 如图，已知矩形AOBC 的顶点O 在坐标原点，点A 的坐标是（－2，1），点B 的纵坐标是3，则点C 的坐标是（）A. 1,42⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 2,43⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 1,2⎛- ⎝D. 2,3⎛- ⎝10. 如图，矩形ABCO ，点A 、C 在坐标轴上，点B 的坐标为()2,4-．将△ABC 沿AC 翻折，得到△ADC ，则点D 的坐标是（）A. 612,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 65,52⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 312,25⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 35,22⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题11. 如图，在矩形ABCD 中，AB =10，AD =4，P 是CD 边上的一个动点，则当△ADP 与△BCP 相似时，DP =__________．12. 如图，将边长为6cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在AB 边的中点E 处，折痕为FH ，点C 落在点Q 处，EQ 与BC 交于点G ，则EBG 的周长是________cm ．13. 如图，将矩形纸片ABCD 沿AE 折叠，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，再沿EG 折叠，使点C 落在矩形内的点H 处，且E 、F 、H 在同一直线上，若6AB =，8BC =，则CF =______，CG = ______．14. 如图，AB ＝4，射线BM 和AB 互相垂直，点D 是AB 上的一个动点，点E 在射线BM 上，BE ＝12DB ，作EF ⊥DE ，并截取EF ＝DE ，连接AF 并延长交射线BM 于点C ，设BE ＝x ，BC ＝y ，则y 关于x 的函数解析式为_____．15. 如图，在边长为7的正方形ABCD 中放入四个小正方形后形成一个中心对称图形，其中两顶点E ，F 分别在边BC ，AD 上，则放入的四个小正方形的面积之和为___ ．16. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P为射线BC上的一个动点，过点P的直线PQ垂直于AP与直线CD相交于点Q，当BP＝5时，CQ＝_____．17. 如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于点F，AD交PC于点G，则图中相似三角形有_____对．18. 如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，使点D恰好落在BC边上的F点处．已知折痕AE=，且34ECFC=，那么该矩形的周长为______cm．19. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点M是BC边上的一个动点（点M 不与点B、C重合），BM＝x，将△ABM沿着AM折叠，使点B落在射线MP上的点B′处，点E是CD边上一点，CE＝y，将△CME沿ME折叠，使点C也落在射线MP 上的点C ′处，当y 取最大值时，△C ′ME 的面积为_____．20. 如图，在ABC 中，已知4AB AC ==，6BC =，P 是BC 边上的一动点（P 不与点B ，C 重合），连接AP ，B APE ∠=∠，边PE 与AC 交于点D ，当APD △为等腰三角形时，PB 的长为____.三、解答题21. 如图，,,6,4,14AB BD CD BD AB CD BD ⊥⊥===，点P 在BD 上移动，当以P ，C ，D 为顶点的三角形与ABP △相似时，求BP 的长．22. 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，连接AD 、DE ．且∠B ＝∠ADE ＝∠C ．（1）证明：△BDA ∽△CED ；（2）若∠B ＝45°，BC ＝6，当点D 在BC 上运动时（点D 不与B 、C 重合）．且△ADE 是等腰三角形，求此时BD 的长．23. 如图，在ABC 中，AB AC =，点E 在边BC 上，满足DEF B ∠=∠，且点D ，F 分别在边AB ，AC 上．求证：BDE ∽CEF △．24. 如图，已知AB BD ⊥，CD BD ⊥.（1）若9AB =，4CD =，10BD =，请问在BD 上是否存在点P ，使以P ，A ，B 三点为顶点的三角形与以P ，C ，D 三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP 的长；若不存在，请说明理由；（2）若9AB =，4CD =，12BD =，请问在BD 上存在几个点使以三点为顶点的三角形与以P ，C ，D 三点为顶点的三角形相似？并求BP 的长.25. 如图1，两个全等的等边三角形如图放置，AC 与DE 交于点G ，点D 是AB 的中点，BC 与DF 交于点K ，连接GK.（1）写出两对相似（不含全等）三角形；（2）求证：GKD BKD ∠=∠；（3）若将条件中的两个全等的等边三角形改为两个全等的等腰三角形（DF EF AC BC ===），如图2，其余条件不变，直接判断（1）（2）中的结论是否依然成立.26. 感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A 在直线DE 上，且90BDA BAC AEC ∠=∠=∠=︒，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角”模型．（1）如图2，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CB CA =，直线ED 经过点C ，过A 作AD ED ⊥于点D ，过B 作BE ED ⊥于点E ．求证：BEC CDA ≌；（2）如图3，在ABC 中，D 是BC 上一点，90CAD ∠=︒，AC AD =，DBA DAB ∠=∠，AB =C 到AB 边的距离；（3）如图4，在ABCD 中，E 为边BC 上的一点，F 为边AB 上的一点．若DEF B ∠=∠，10AB =，6BE =，求EF DE 的值．专题4.39 相似三角形几何模型－一线三等角（巩固篇）（专项练习）一、单选题【1题答案】【答案】C【解析】【分析】如图，以AB 为直径作⊙O 交CD 于点P 1，P 2，连接AP 1，BP 1，AP 2，BP 2．则△ADP 1∽△△P 1CB ，，△ADP 2∽△△P 2CB ，取CD 的中点P 3，连接AP 3，BP 3，则△ADP 3∽△P 3CB ，由此可得结论．【详解】解：如图，以AB 为直径作⊙O 交CD 于点P 1，P 2，连接AP 1，BP 1，AP 2，BP 2．∵AB 为⊙O 直径，∴190∠=︒APB ，∴1190APD BPC ∠+∠=︒ ，ABCD 为矩形，90ADC ∠=︒ ，∴1190DAP APD ∠+∠=︒ ，∴11DAP BPC ∠=∠ ，∴△ADP 1∽△P 1CB ，同理△ADP 2∽△P 2CB ，取CD 的中点P 3，连接AP 3，BP 3，则同理△ADP 3∽△P 3CB ，故选：C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定，矩形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【2题答案】【答案】A【解析】【分析】根据矩形的性质，得到直角和平行线，利用相似三角形的判定和性质进行推理判断即可．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠EDP=∠FCP=90°，∵∠EPD=∠FPC，∴△EDP∽△FCP；∵∠FEP=∠FCP=90°，∵∠F=∠F，∴△FEB∽△FCP；∴△FEB∽△EDP；∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°，∵∠BEF=90°，∴∠AEB+∠DEP=90°，∠AEB+∠ABE=90°，∴∠DEP=∠ABE，∴△EDP∽△BAE；∴△FCP∽△BAE；∴△FEB∽△BAE；共有6对，故选A．【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，互余原理，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键．【3题答案】【答案】C【解析】【分析】根据正方形的性质及勾股定理逆定理可以判断△AEF 是直角三角形，再根据三角形相似的判定可以选出结果错误的选项．【详解】解：设正方形边长为1 ，则由已知可得：54AE EF AF ======，∴222552541616AE EF AF +=+==，∴△AEF 是直角三角形，∴在RT △ABE 、RT △ECF 、RT △ADF 、RT △AEF 中，∠B=∠C=∠AEF=∠D ，42,3AB EC AE AD BE CF EF DF ====，∴RT △ABE 、RT △ECF 、RT △AEF 两两相似，但是△ABE 与 △ADF 不相似，∴A 、B 、D 正确，C 错误，故选C ．【点睛】本题考查正方形与三角形相似的综合应用，灵活运用正方形的性质和三角形相似的判定是解题关键．【4题答案】【答案】C【解析】【分析】由等边三角形的性质得出∠BAC ＝∠B ＝∠C ＝∠DAE ＝∠ADE ＝∠E ＝60°，得出△ABC ∽△ADE ，再证出∠BAD ＝∠FAE ，得出△ABD ∽△AEF ；由∠AFE ＝∠DFC ，∠E ＝∠C ，证出△AEF ∽△DCF ，得出△ABD ∽△DCF ；由∠DAF ＝∠CAD ，∠ADF ＝∠C ，即可得出△ADF ∽△ACD ．【详解】解：图中的相似三角形有△ABC ∽△ADE ，△ABD ∽△AEF ，△AEF ∽△DCF ，△ABD ∽△DCF ，△ADF ∽△ACD ；理由如下：∵△ABC 和△ADE 均为等边三角形，∴∠BAC ＝∠B ＝∠C ＝∠DAE ＝∠ADE ＝∠E ＝60°，∴△ABC ∽△ADE ；∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠FAE ，∴△ABD ∽△AEF ；∵∠AFE ＝∠DFC ，∠E ＝∠C ，∴△AEF ∽△DCF ，∴△ABD ∽△DCF ；∵∠DAF ＝∠CAD ，∠ADF ＝∠C ，∴△ADF ∽△ACD ，故选：C ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．【5题答案】【答案】D【解析】【分析】根据矩形四个角都是直角，又,EF AE BH AC ⊥⊥，利用等角的余角相等，逐个判别可以得出结论.【详解】如图：A. 在EFC AEB ∆∆、中，∵四边形ABCD 是矩形，且,EF AE BH AC⊥⊥∴1290∠+∠︒＝，4290∠+∠︒＝41∴∠=∠，且90ECF ABE ∠+∠︒＝EFC AEB ∆∆ ，A 正确；B. 在ECM ABN ∆∆、中，∵四边形ABCD 是矩形，且,EF AE BH AC⊥⊥∴1290∠+∠︒＝，190BAN ∠+∠=︒，则2BAN∠=∠∵390BAH ∠+∠︒＝，90ABH ABH ∠+∠=︒，则3ABN∠=∠ECM ABN ∆∆ ，B 正确；C. 在CFM BEN ∆∆、中由前面知：3ABN ∠=∠，又390MCF ∠+∠︒＝，90ABN NBE ∠+∠=︒, 则MCF NBE ∠=∠,又∵14∠∠＝，CFM BEN ∆∆ ，C 正确；D.在ANH EFC ∆∆、中已经知道：2BAN ∠=∠，而AE 并不是BAC ∠的角平分线，∴2NAH ∠≠∠,ANH EFC ∆∆ ,错误.故选D ．【点睛】本题考查了矩形的性质，同角或等角的余角相等，相似三角形的证明，熟练掌握相似三角形的证明方法是解题的关键.【6题答案】【答案】A【解析】【分析】根据矩形的性质，得到直角和平行线，利用相似三角形的判定和性质进行推理判断即可．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠EDP =∠FCP =90°，∵∠EPD =∠FPC ，∴△EDP ∽△FCP ；∵∠FEP =∠FCP =90°，∵∠F =∠F ，∴△FEB ∽△FCP ；∴△FEB ∽△EDP ；∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =∠D =90°，∵∠BEF =90°，∴∠AEB +∠DEP =90°，∠AEB +∠ABE =90°，∴∠DEP =∠ABE ，∴△EDP ∽△BAE ；∴△FCP ∽△BAE ；∴△FEB ∽△BAE ；共有6对，故选A ．【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，互余原理，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键．【7题答案】【答案】D【解析】【分析】对于①②④，直接利用相似三角形的判定方法判断即可；对于③，先利用同角的余角相等转化为①，即可进行判断，对于⑤，利用比例的性质和勾股定理进行判断.【详解】解：∵∠B =∠C =90°，∴只要满足BAE CEF ∠=∠或AEB EFC ∠=∠，均可判定△ABE ∽△ECF ，所以①②都正确；③中，当AE EF ⊥时，∵∠AEB +∠BAE =90°，∠AEB +∠CEF =90°，∴∠BAE =∠CEF ，∴△ABE ∽△ECF ，故③正确；④中对应边成比例，且夹角均为90°，∴△ABE ∽△ECF ，故④正确；⑤中，当AE AB EF EC =时，则AE EF AB EC =，即2222AE EF AB EC=，∴222222AE AB EF EC AB EC =--，∴2222BE CF AB EC =，∴BE CF AB EC =，又∵∠B =∠C =90°，∴△ABE ∽△ECF ，∴⑤正确；综上，故选D.【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、比例的性质和勾股定理等知识，熟知相似三角形的判定与性质是判断①②③④的关键，对于⑤，则需综合运用比例的性质和勾股定理进行判断.【8题答案】【答案】C【解析】【分析】设AP ＝x ，则BP ＝8﹣x ，分△PAE ∽△PBC 和△PAE ∽△CBP 两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【详解】解：设AP ＝x ，则BP ＝8﹣x ，当△PAE ∽△PBC 时，AE PA BC PB =，即348x x =-，解得，247x =，当△PAE ∽△CBP 时，AE PA PB BC=，即384x x =-，解得，x ＝2或6，可得：满足条件的点P 的个数有3个．故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解答时，注意分情况讨论思想的灵活运用．【9题答案】【答案】A【解析】【分析】作BD x ⊥轴于点D ，过点A 作FE x ⊥轴于点E ，过点C 作FG y ⊥轴于点G ，先通过角度等量代换证明EAO DOB ∆∆ ，求出32OD =，再证明DBO FAC ∆≅∆，求出FC ，AF ，则CG OE CF =-，EF AE FA =+，由此可解．【详解】解：如图，作BD x ⊥轴于点D ，过点A 作FE x ⊥轴于点E ，过点C 作FG y ⊥轴于点G ，∵点A 的坐标是（－2，1），点B 的纵坐标是3，∴1AE =，2OE =，3BD =，∵BD x ⊥轴，FE x ⊥轴，FG y ⊥轴，∴90AFC OEA BDO ∠=∠=∠=︒，∵ 四边形AOBC 是矩形，∴90CAO AOB ∠=∠=︒，∴=90EAO EOA DOB EOA ∠+∠=∠+∠︒，∴EAO DOB ∠=∠，∴EAO DOB ∆∆ ，∴OD BD AE OE =，即312OD =，∴32OD =．∵ 四边形AOBC 是矩形，∴AC OB =，∵=90EAO EOA FAC EAO ∠+∠=∠+∠︒，∴EOA FAC ∠=∠，又∵EAO DOB ∆∆ ，∴EOA DBO ∠=∠，∴DBO FAC ∠=∠，在DBO ∆和FAC ∆中，DBO FAC ODB CFA AC OB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DBO FAC ∆≅∆，∴32FC OD ==，3AF BD ==，∴31222CG OE CF =-=-=，134EF AE FA =+=+=，∵点C 在第二象限，∴点C 的坐标是1,42⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选A ．【点睛】本题考查矩形的性质、平面直角坐标系内点的坐标，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线构造全等及相似三角形是解题的关键．【10题答案】【答案】A【解析】【分析】如图，过D 作DE x ⊥轴于点E ，延长BC 交DE 于F ，由题意知，四边形ABFE 是矩形，由翻折的性质可知90ADC ∠=︒，4AD AB ==，2CD BC ==，则2AE CF =+，4DF DE =-，证明ADE DCF △∽△，则AD DE AE DC CF DF ==，即4224DE CF CF DE+==-，计算求出CF 、DE 的长，进而可得D 点坐标．【详解】解：如图，过D 作DE x ⊥轴于点E ，延长BC 交DE 于F ，由题意知，四边形ABFE 是矩形，由翻折的性质可知90ADC ∠=︒，4AD AB ==，2CD BC ==，∴2AE CF =+，4DF DE =-，∵90DAE ADE ∠+∠=︒，90ADE CDF ∠+∠=︒，∴DAE CDF ∠=∠，∴ADE DCF △∽△，∴AD DE AE DC CF DF ==，即4224DE CF CF DE+==-，解得65CF =，125DE =，∴612,55D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选A ．【点睛】本题考查了翻折的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于构造ADE 、DCF ，利用相似的判定与性质求出线段CF 、DE 的长．二、填空题【11题答案】【答案】2或8或5【解析】【分析】需要分类讨论：△APD ∽△PBC 和△PAD ∽△PBC ，分别根据相似三角形的对应边成比例求得DP 的长度即可．【详解】解：在矩形ABCD 中，AB =CD =10，AD =BC =4，①当△APD ∽△PBC 时，可得AD PD PC BC=，即4104PD PD =-，解得：PD ＝2或PD ＝8；②当△PAD ∽△PBC 时，可得AD PD BC PC=，即4410PD PD =-，解得：DP ＝5．综上所述，DP 的长度是2或8或5．故答案为：2或8或5．【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质．熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．【12题答案】【答案】12【解析】【分析】首先根据翻折的性质可得DF =EF ，设EF =x cm ，表示出AF ，然后利用勾股定理列方程求出x ，从而得到AF 、EF 的长，再证出△AEF 和△BGE 相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出BG 、EG ，然后根据三角形周长的定义列式计算即可得解．【详解】解：由翻折的性质得，DF =EF ，设EF =x cm ，则AF =(6−x )cm ，∵点E 是AB 的中点，∴()1632AE BE cm ==⨯=，在Rt △AEF 中，AE 2+AF 2=EF 2，即32+(6−x )2=x 2，解得154x =，∴154EF =，()159644AF cm =-=，∵∠FEG =∠D =90°，∴∠AEF +∠BEG =90°，∵∠AEF +∠AFE =90°，∴∠BEG =∠AFE ，又∵∠B =∠A =90°，∴△BGE ∽△AEF ，∴BE BG EG AF AE FE==，即3915344BG EG ==，∴BG =4cm ，EG =5cm ，∴△EBG 的周长=3+4+5=12(cm)．故答案为：12．【点睛】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟记性质并求出△AEF 的各边的长，利用相似三角形的性质求出△EBG 各边的长是解题的关键．【13题答案】【答案】①. 4 ②. 52##2.5【解析】【分析】根据折叠的性质得到BE =EF ，AF AB =，利用勾股定理求出AC ，进而求出CF ，设BE x =，则EF x =，8CE x =-，在Rt CEF 中，由勾股定理得222EF CF EC +=，即()22248x x +=-，解方程求出BE ，进而求出CE ，再证ABE ECG ∽，即有BE AB CG EC=，则问题得解．【详解】根据折叠的性质有BE =EF ，AF AB =，∵8BC =，6AB =，则设BE x =，则EF x =，8CE x =-，6AF AB ==，在Rt ABC 中，由勾股定理得10AC ==，∴1064CF AC AF =-=-=，根据折叠的性质有∠B =∠AFE =90°,则有∠EFC =90°，在Rt CEF 中，由勾股定理得222EF CF EC +=，即()22248x x +=-，解得3x =，∴3BE =，5CE =，由折叠的性质得，12AEF BEF ∠=∠，12GEF CEF ∠=∠，∴90AEG ∠=︒，∴90CEG AEB ∠+∠=︒，又∵90BAE AEB ∠+∠=︒，∴BAE CEG ∠∠=，又∵90B ECG ∠=∠=︒，∴ABE ECG ∽，∴BE AB CG EC=，即365CG =，∴52CG =．故答案为：4，52．【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，证得ABE ECG ∽进而得到BE AB CG EC =是解答本题的关键．【14题答案】【答案】y ＝124x x -（0＜x ≤2）【解析】【分析】作FH ⊥BC 于H ．证明△DBE ≌△EHF ，则FH ＝BE ＝x ，EH ＝BD ＝2BE ＝2x ，由0BD AB <≤求得自变量的范围，根据FH ∥AB ，得FH AB ＝CH CB，即可求解．【详解】解：作FH ⊥BC 于H ．∵∠DBE ＝∠DEF ＝∠EMF ＝90°，∴∠DEB +∠BDE ＝90°，∠DEB +∠FEH ＝90°，∴∠BDE ＝∠FEH ．在△DBE 和△EHF 中，BDE FEH B EHF DE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DBE ≌△EHF，BE ＝12DB ，∴FH ＝BE ＝x ，EH ＝BD ＝2BE ＝2x ，0BD AB <≤ , AB ＝4，024x ∴<≤，即02x <≤∵FH ∥AB ，CFH CAB∴ ∽∴FH AB ＝CH CB，∴4x ＝3y x y -，∴y ＝124x x-（0＜x ≤2）．故答案为：y ＝124x x -（0＜x ≤2）．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，函数关系式，证明CFH CAB ∽是解题的关键．【15题答案】【答案】22【解析】【分析】作GH ⊥BC ，证明△GHE ∽△EMN ，根据相似三角形的性质得到GH =2EM ，HE =2MN ，根据正方形的性质列方程求出MN ，根据勾股定理、正方形的面积公式计算，得到答案.【详解】解：如图，作GH ⊥BC ，则∠HGE +∠HEG =∠HEG +∠MEN =90°,∴∠HGE =∠MEN ，∵∠GHE =∠EMN =90°，∴△GHE ∽△EMN ，∴12HE HG EG MN EM EN ===，∴2,2GH EM HE MN ==，设MN x =，则2HE x =，∴74EM x =-，∴()2274GH EM x ==-，∴()274AB x x =+-，即：()7274x x =+-，解得：1x =，∴743EM x =-=，∴EN ===，∴2GE EN ==∴四个小正方形的面积之和22122=⨯+=.故答案为：22.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、中心对称图形的概念，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键.【16题答案】【答案】53【解析】【分析】通过证明△ABP ∽△PCQ ，可得AB BP CP CQ= ，即可求解．【详解】解：如图，∵BP＝5，BC＝4，∴CP＝1，∵PQ⊥AP，∴∠APQ＝90°＝∠ABC，∴∠APB+∠BAP＝90°＝∠APB+∠BPQ，∴∠BAP＝∠BPQ，又∵∠ABP＝∠PCQ＝90°，∴△ABP∽△PCQ，∴AB BP CP CQ=，∴35 1CQ =∴CQ＝53，故答案为：53．【点睛】本题考查相似三角形、矩形的性质．根据题意找相似的条件是关键．利用相似比计算线段的长度是常用的方法．【17题答案】【答案】3【解析】【分析】先根据条件证明△PCF∽△BCP，利用相似三角形的性质：对应角相等，再证明△APD∽△PGD，进而证明△APG∽△BFP再证明时注意图形中隐含的相等的角．【详解】解：∵∠CPD＝∠B，∠C＝∠C，∴△PCF∽△BCP．∵∠CPD＝∠A，∠D＝∠D，∴△APD∽△PGD．∵∠CPD＝∠A＝∠B，∠APG＝∠B+∠C，∠BFP＝∠CPD+∠C∴∠APG＝∠BFP，∴△APG∽△BFP．则图中相似三角形有3对，故答案为：3．【点睛】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角．【18题答案】【答案】72【解析】【分析】根据矩形的性质可得AB=CD，AD=BC，∠B=∠D=90°，再根据翻折变换的性质可得∠AFE=∠D=90°，AD=AF，然后根据同角的余角相等求出∠BAF=∠EFC，然后根据34ECFC=，设CE=3k，CF=4k，推出EF=DE=5k，AB=CD=8k，利用相似三角形的性质求出BF，再在Rt△ADE中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【详解】解：在矩形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠B=∠D=90°，∵△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，∴∠AFE=∠D=90°，AD=AF，∵∠EFC+∠AFB=180°-90°=90°，∠BAF+∠AFB=90°，∴∠BAF=∠EFC，∵34 ECFC=，∴设CE=3k，CF=4k，∴58 EF DE k AB CD k =====，，∵∠BAF=∠EFC ，且∠B=∠C=90°∴△ABF ∽△FCE ，∴AB BF FC CE =，即843k BF k k=，∴BF=6k ，∴BC=BF+CF=10k=AD ，∵AE 2=AD 2+DE 2，∴500=100k 2+25k 2，∴k=2∴AB=CD =16cm ，BC=AD=20cm ，∴四边形ABCD 的周长=72cm故答案为72.【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．【19题答案】【答案】2732．【解析】【分析】由折叠的性质得：∠AMB '＝∠AMB ，∠EMC '＝∠EMC ，得出∠AME ＝90°，∠AMB +∠EMC ＝90°，得出∠BAM ＝∠EMC ，证出△ABM ∽△MCE ，得出2,3BM AB x CE CM y x ==-即，求出221313922228y x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，当x ＝32时，y 取最大值98，即CE ＝98，由三角形面积公式即可得出△C 'ME 的面积．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C ＝90°，∴∠AMB +∠BAM ＝90°，由折叠的性质得：∠AMB '＝∠AMB ，∠EMC '＝∠EMC ，∵∠AMB '+∠AMB +∠EMC '+∠EMC ＝180°，∴∠AME ＝90°，∠AMB +∠EMC ＝90°，∴∠BAM ＝∠EMC ，∴△ABM ∽△MCE ，∴2,3BM AB x CE CM y x==-即∴221313922228y x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，当x ＝32时，即CE ＝98即BM ＝32，CM ＝BC ﹣BM ＝32时，y 取最大值98，即CE ＝98，此时△C 'ME 的面积＝△CME 的面积1392722832=⨯⨯=，故答案为2732．【点睛】本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．【20题答案】【答案】2或103【解析】【分析】分三种情况进行讨论：①当AP=PD 时，易得△ABP ≌△PCD ．②当AD=PD 时，根据等腰三角形的性质，勾股定理以及三角形的面积公式求得答案．③当AD=AP 时，点P 与点B 重合．【详解】∵4AB AC ==，∴B C∠=∠∵B APE ∠=∠，APC B BAP APE CPE∠=∠+∠=∠+∠∴BAP CPE∠=∠①当AP PD =时，ABP PCD ≌，则4PC AB ==，故2PB =．②当AD PD =时，∴PAD APD ∠=∠．∵B APD C ∠=∠=∠，∴PAD C ∠=∠，∴PA PC =．如图，过P 作PH AC ⊥于H ，过A 作AG BC ⊥于G ，∴3CG =，AG ∴===，∴2CH =．设PC x =，∴1122APC S AG PC AC PH ∆=⋅=⋅，4PH =，PH x ∴=．∵222PC PH CH =+，∴224x ⎫=+⎪⎭，解得83x =（负值舍去），∴83PC =，∴103PB =．③当AD AP =时，点P 与点B 重合，不合题意．综上所述，PB 的长为2或103.【点睛】此题考查了勾股定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．三、解答题【21题答案】【答案】当BP 为8.4或2或12时，以C 、D 、P 为顶点的三角形与以P 、B 、A 为顶点的三角形相似．【解析】【分析】设DP =x ，则BP =BD -x =14-x ，根据垂直的定义得到∠B =∠D =90°，再根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当AB BP CD DP =时，△ABP ∽△CDP ，即6144x x -=；当AB BP DP DC=时，△ABP ∽△PDC ，即6144x x -=；然后分别解方程求出x 即可．【详解】解：设DP =x ，则BP =BD -x =14-x ，∵AB ⊥BD 于B ，CD ⊥BD 于D ，∴∠B =∠D =90°，∴当AB BP CD DP =时，△ABP ∽△CDP ，即6144x x-=，解得2828148.455x BP ==-=，；当AB BP DP DC =时，△ABP ∽△PDC ，即6144x x -=，整理得x 2-14x +24=0，解得x 1=2，x 2=12，BP =14-2=12，BP =14-12=2，∴当BP 为8.4或2或12时，以C 、D 、P 为顶点的三角形与以P 、B 、A 为顶点的三角形相似．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．【22题答案】【答案】（）见解析；（2）6-或3．【解析】【分析】（1）根据题目已知条件可知180ADE ADB EDC ∠+∠+∠=︒，180B ADB DAB ∠+∠+∠=︒，所以得到DAB EDC ∠=∠，即可得证．（2）由题意易得ABC 是等腰直角三角形，所以90BAC ∠=︒，当ADE 是等腰三角形时，根据分类讨论有三种情况：①AD =AE ，②AD =DE ，③AE =DE ；因为点D 不与B C 、重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质“等边对等角”及45B ADE ∠=∠=︒，求出问题即可．【详解】（1） 180ADE ADB EDC ∠+∠+∠=︒在ABD △中，180B ADB DAB ∠+∠+∠=︒B ADE∠=∠∴EDC DAB∠=∠又B C∠=∠ ∴BDA CED △∽△；（2） B ADE C ∠=∠=∠，45B ∠=︒∴ABC 是等腰直角三角形∴90BAC ∠=︒BC =6，∴AB =AC BC ①当AD =AE 时，则ADE AED∠=∠ 45B ∠=︒，∴=45B ADE AED ∠=∠∠=︒∴90DAE ∠=︒∴90DAE BAC ∠=∠=︒点D 在BC 上运动时（点D 不与B C 、重合）,点E 在AC 上∴此情况不符合题意．②当AD =DE 时，如图，∴DAE DEA∠=∠∴由（1）可知EDC DAB∠=∠又B C∠=∠ ：BDA CED≌∴AB =DC =∴6BD =-③当AE =DE 时，如图45B ∠=︒，∴==45B C DAE ADE ∠∠∠=∠=︒∴AD 平分BAC ∠,AD BC⊥∴1=32BD BC =．综上所述：BD =6-或3．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及等腰三角形的存在性问题，解题的关键是利用“K ”型相似模型及根据“等边对等角”、等腰直角三角形的性质得到线段的等量关系，进而求解问题．【23题答案】【答案】见详解．【解析】【分析】由等边对等角得B C ∠=∠，由三角形的内角和定理，得到EDB FEC ∠=∠，即可得到结论成立．【详解】证明：∵AB AC =，∴B C ∠=∠，∵180,180,B BED EDB BED DEF FEC DEF B ∠+∠+∠=︒∠+∠+∠=︒∠=∠，∴EDB FEC ∠=∠，∵B C ∠=∠，∴BDE CEF △∽△．【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理：两个角对应相等，则这两个三角形相似．【24题答案】【答案】（1）存在，9013BP =，见解析；（2）存在2个点P 点，6BP =或10813，见解析.【解析】【分析】（1）存在1个P 点，设BP=x ，根据∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出当AB BP PD DC=或AB BP CD DP =时，使以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似，代入求出即可；（2）存在两个P 点，设BP=x ，根据∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出当AB BP PD DC =或AB BP CD DP=时，使以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似，代入求出即可.【详解】解：（1)存在1个P 点.设BP x =，则10PD x =-.∵AB BD ⊥，CD BD ⊥，∴B D ∠=∠.当ABP PDC ∆∆∽时，AB BP PD DC =，即9104x x =-.整理，得210360x x -+=，∵2(10)4136440∆=--⨯⨯=-<，∴此方程没有实数解；②当ABP CDP ∆∆∽时，AB BP CD DP=，即9410x x =-，解得9013x =.综上所述，BP 的长为9013；(2)存在2个点P.设BP x =，则12PD x =-.∵AB BD ⊥，CD BD ⊥，∴B D ∠=∠.①当ABP PDC ∆∆∽时，AB BP PD DC =，即9124x x =-，解得126x x ==；②当ABP CDP ∆∆∽时，即AB BP CD DP =，即9412x x=-，解得10813x =.综上所述，BP 的长为6或10813.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及解一元二次方程，根据题意进行分类讨论是解题关键．【25题答案】【答案】（1）DAG KBD ∽△△，DGK BDK ∽△△；（2）见解析；（3）成立.【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质得出∠A=∠B=∠EDF=60°，再由三角形的外角性质得出∠AGD=∠BDK ，证出△DAG ∽△KBD ，得出对应边成比例AD DG BK DK =，证出AD=BD=2，得出BD DG BK DK=，证出△KDG ∽△KBD 即可；（2）由（1）知：△KDG ∽△KBD ，根据相似三角形的对应角相等可得出结论；（3）解法同（1）（2）.【详解】解：（1）DAG KBD ∽△△，DGK BDK ∽△△.理由如下：∵△ABC 和△DEF 是两个全等的等边三角形，∴∠A=∠B=∠EDF=60°，∵∠BDG=∠A+∠AGD ，∠BDG=∠BDK+∠EDF ，∴∠AGD=∠BDK ，∴△DAG ∽△KBD ，∴AD DG BK DK=，∵点D 是AB 的中点，∴AD=BD ，∴BD DG BK DK=，又∵∠B=∠GDK=60°，∴DGK BDK ∽△△；（2）∵DGK BDK ∽△△，∴GKD BKD ∠=∠.（3）解：（1）（2）中的结论依然成立；理由如下：∵△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰三角形，DF=EF=AC=BC ，∴∠A=∠B=∠EDF ，∵∠BDG=∠A+∠AGD ，∠BDG=∠BDK+∠EDF ，∴∠AGD=∠BDK ，∴△DAG ∽△KBD ，∴ AD DG BK DK=，∵点D 是AB 的中点，∴AD=BD ，∴BD DG BK DK=， ∴△KDG ∽△KBD ，∴∠GKD=∠BKD.【点睛】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质等知识.熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.【26题答案】【答案】（1）见解析（2（3）35【解析】【分析】（1）根据“AAS ”证明BEC CDA ≌即可；（2）过D 作DF AB ⊥于点F ，过C 作CE AB ⊥交BA 延长线于点E ，可根据“AAS”证≌ CAE ADF 即可求解；（3）过D 作DM CD =交BC 的延长线于点M ，可得DCM M ∠=∠，由平行四边形ABCD 易证DEC BFE ∠=∠，故BFE MED ∽ ，由相似三角形的性质可求．【小问1详解】证明：∵90ACB ∠=︒，180BCE ACB ACD ∠+∠+∠=︒，∴90BCE ACD ∠+∠=︒．∵AD ED ⊥，BE ED ⊥，∴90BEC CDA ∠=∠=︒，90EBC BCE ∠+∠=︒，∴ACD EBC ∠=∠．又∵CB CA =，∴()BEC CDA AAS ≌．【小问2详解】解：如图，过D 作DF AB ⊥于点F ，过C 作CE AB ⊥交BA 延长线于点E ．∵DBA DAB ∠=∠，∴AD BD =，∴12AF BF AB ===．∵90CAD ∠=︒，∴90DAF CAE ∠+∠=︒．∵90DAF ADF ∠∠=+︒，∴CAE ADF ∠=∠．在CAE 和ADF 中，==90==CEA AFD CAE ADF AC AD ∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴()CAE ADF AAS ≌，∴CE AF ==，即点C 到AB【小问3详解】解：如图，过D 作DM CD =交BC 的延长线于点M ，∴DCM M ∠=∠．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴10DM CD AB ===，AB CD ∥，∴B DCM M ∠=∠=∠．∵FEC DEF DEC B BFE ∠=∠+∠=∠+∠，B DEF ∠=∠，∴DEC BFE ∠=∠，∴BFE MED ∽ ，∴63105EF BE DE DM ===．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．。

专题训练——相似三角形几何模型中的旋转相似(含解析)

相似三角形几何模型--旋转相似//,DE BC ∆旋转相似模型：已知：如图一，现将ADE 绕点A 旋转一定角度得到如图二得到//ADE AD E ABC ABD ACE ''∆∆∆∆∆和图一图二一、单选题1．如图，△ABC中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AC D 、E 分别在边AC 、BC 上，CD ＝1，DE ∥AB ，将△CDE绕点C 旋转，旋转后点D 、E 对应的点分别为D ′、E ′，当点E ′落在线段AD ′上时，连接BE ′，此时BE ′的长为（）A ．B ．C ．D ．2．如图，把ABC 绕点A 旋转得到ADE ，当点D 刚好落在BC 上时，连接CE ，设AC 、DE 相交于点F ，则图中相似三角形的对数是（）．A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对二、填空题 3．已知正方形DEFG 的顶点F 在正方形ABCD 的一边AD 的延长线上，连结AG ，CE 交于点H ，若3AB =，DE =则CH 的长为________.4．如图，正方形ABCD 的边长为8，线段CE 绕着点C 逆时针方向旋转，且3CE =，连接BE ，以BE 为边作正方形BEFG ，M 为AB 边的中点，当线段FM 的长最小时，tan ECB ∠=______．三、解答题5．如图1，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，1BC=，点D，E 分别为AC ，BC 的中点．CDE △绕点C 顺时针旋转，设旋转角为α（0360α︒≤≤︒，记直线AD 与直线BE 的交点为点P ．（1）如图1，当0α=︒时，AD 与BE 的数量关系为_________，AD 与BE 的位置关系为_______；（2）当0360α<≤︒︒时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由；（3）CDE △绕点C 顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中P 点运动轨迹的长度和P 点到直线BC 距离的最大值．6．如图1，点O 为正方形ABCD 的中心，E 为AB 边上一点，F 为BC 边上一点，△EBF 的周长等于BC 的长. （1）求∠EOF 的度数.（2）连接OA 、OC （如图2）.求证：△AOE ∽△CFO .（3）若OF ，求AE CF的值.7．如图，已知点E 在ABC 内，ABC EBD α∠=∠=，60ACB EDB ∠=∠=︒，150AEB ∠=︒，90BEC ∠=︒．（1）当60α=︒时，求证：BD =；（2）当90α=︒时，求BDAE的值．8．如图1，Rt ABC △中，90C ∠=︒，34AC AB =，点E 、F 、D 分别在三条边上，EF AB ∥，ED AC ．（1）如图2，将FCE △绕点C 逆时针旋转，点P 、G 分别为EF 、AB 的中点，若9AF =，求PG 的长；（2）如图3，将DEB 绕点B 顺时针旋转，点H 、G 为AB 、DB 的中点，直接写出GHCE的值．9．已知ABC 中90,ABC =∠点D E 、分别在边BC 、边AC 上，连接,,DE DF DE ⊥点F 、点C 在直线DE 同侧，连接,FC 且AB DEk BC DF==．（1）点D 与点B 重合时，①如图1，1k =时，AE 和FC 的数量关系是；位置关系是；②如图2，2k =时，猜想AE 和FC 的关系，并说明理由；（2）2BD CD =时，③如图3，1k =时，若26,CDF AE S ==,求FC 的长度；④如图4，2k =时，点M N 、分别为EF 和AC 的中点，若10AB =，直接写出MN 的最小值．10．在Rt ABC 和Rt DEF △中，30ABC EDF ∠=∠=︒，90BAC DEC ∠=∠=︒，BC 与DF 在同一条直线上，点C 与点F 重合，2AC =，如图为将CED 绕点C 顺时针旋转30后的图形，连接BD ，AE ，若12E F A C =，求B D C 和AEC 的面积．11．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．（1）如图1，在四边形ABCD 中，80ABC ∠=︒，140ADC ∠=︒，对角线BD 平分ABC ∠．求证：BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”；（2）如图2，已知FH 是四边形EFGH 的“相似对角线”，30EFH HFG ∠=∠=︒．连接EG ，若EFG ∆的面积为求FH 的长．12．将ABC 绕点A 逆时针方向旋转θ，并使各边长变为原来的n 倍，得到AB C ''△，我们将这种变换记为[],n θ．（1）问题发现如图①，对ABC 作变换60⎡︒⎣得AB C ''△，则:AB C ABC S S ''=△△______；直线BC 与直线B C ''所夹的锐角度数为______．（2）拓展探究如图②，ABC 中，35BAC ∠=︒且:AB AC BB '，CC '．对ABC 作变换60⎡︒⎣得AB C ''△，求:ABB ACC S S ''△△的值及直线BB '与直线CC '相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由．（3）问题解决如图③，ABC 中，30BAC ∠=︒，90ACB ∠=︒，对ABC 作变换[],n θ得AB C ''△，使点B 、C 、C '在同一直线上，且四边形ABB C ''为矩形，请直接写出n 的值．13．尝试：如图①，ABC 中，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转一定角度得到AB C ''，点B 、C 的对应点分别为B ′、C '，连接BB '、CC '，直接写出图中的一对相似三角形_______；拓展：如图②，在ABC 中，90C ∠=︒，AC BC =，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转一定角度得到AB C ''，点B 、C 的对应点分别为B ′、C '，连接BB '、CC '，若8BB '=，求CC '的长；应用：如图③，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，2AB =，30ABC ∠=︒，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，当点B 的对应点B ′恰好落在Rt ABC △的边所在的直线上时，直接写出此时点C 的运动路径长．14．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，点M 是AB 的中点，连接MC ，点P 是线段BC 延长线上一点，且PC ＜BC ，连接MP 交AC 于点H ．将射线MP 绕点M 逆时针旋转60°交线段CA 的延长线于点D ．（1）找出与∠AMP 相等的角，并说明理由．（2）若CP =12BC ，求AD BC的值．15．在ABC 和ADE 中，BA BC =，DA DE =，且ABC ADE α∠=∠=，点E 在ABC 的内部，连接EC ，EB ，EA 和BD ，并且90ACE ABE ∠+∠=︒．（观察猜想）（1）如图①，当60α=︒时，线段BD 与CE 的数量关系为__________，线段EA ，EB ，EC 的数量关系为__________．（探究证明）（2）如图②，当90α=︒时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（拓展应用）（3）在（2）的条件下，当点E 在线段CD 上时，若BC =BDE 的面积． 16．一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E 、A 、D 在同一条直线上），发现BE DG =且BE DG ⊥．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：（1）将正方形AEFG 绕点A 按逆时针方向旋转（如图1），还能得到BE DG =吗？若能，请给出证明，请说明理由；（2）把背景中的正方形分别改成菱形AEFG 和菱形ABCD ，将菱形AEFG 绕点A 按顺时针方向旋转（如图2），试问当EAG ∠与BAD ∠的大小满足怎样的关系时，BE DG =；（3）把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG 和矩形ABCD ，且23AE AB AG AD ==，2AE a =，2AB b =（如图3），连接DE ，BG ．试求22DE BG +的值（用a ，b 表示）．17．在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝α，点P 是△ABC 外一点，连接BP ，将线段BP 绕点P 逆时针旋转α得到线段PD ，连接BD ，CD ，AP ．观察猜想：（1）如图1，当α＝60°时，CDAP的值为，直线CD 与AP 所成的较小角的度数为 °；类比探究：（2）如图2，当α＝90°时，求出CDAP的值及直线CD 与AP 所成的较小角的度数；拓展应用：（4）如图3，当α＝90°时，点E ，F 分别为AB ，AC 的中点，点P 在线段FE 的延长线上，点A ，D ，P 三点在一条直线上，BD 交PF 于点G ，CD 交AB 于点H . 若CD ＝2BD 的长．18．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：（1）问题发现：如图1，在等边ABC 中，点P 是边BC 上任意一点，连接AP ，以AP 为边作等边APQ ，连接CQ ，BP 与CQ 的数量关系是________；（2）变式探究：如图2，在等腰ABC 中，AB BC =，点P 是边BC 上任意一点，以AP 为腰作等腰APQ ，使AP P Q =，APQ ABC ∠=∠，连接CQ ，判断ABC ∠和ACQ ∠的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图3，在正方形ADBC 中，点P 是边BC 上一点，以AP 为边作正方形APEF ，Q 是正方形APEF的中心，连接CQ ．若正方形APEF 的边长为5，CQ =ADBC 的边长．19．如图，以ABC 的两边AB 、AC 分别向外作等边ABD △和等边ACE △，BE 与CD 交于点P ，已知3PA =，4PB =，5PC =．（1）求证：ADC ABE ≅；（2）求DPB ∠的度数及BE 的长；（3）若点Q 、R 分别是等边ABD △和等边ACE △的重心（三边中线的交点），连接AQ 、AR 、QR ，作出图象，求QR 的长．20．如图1，在Rt ABC 中，90ACB AC BC ︒∠==，，在斜边AB 上取一点D ，过点D 作//DE BC ，交AC 于点E ．现将ADE 绕点A 旋转一定角度到如图2所示的位置（点D 在ABC 的内部），使得90ABD ACD ︒∠+∠=．（1）①求证：ABD ACE ∽；②若1,CD BD ==AD 的长；（2）如图3，将原题中的条件“AC BC =”去掉，其它条件不变，AC AEk AB AD==设，若13CD BD ==，，4=AD ，求k 的值；（3）如图4，将原题中的条件“90ACB ︒∠=”去掉，其它条件不变，若23AC AE AB AD ==，设C D m =，BD n AD p ==，，试探究m n p ，，三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程） 21．（1）观察猜想：如图1，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，45BAC DAE ∠=∠=︒，DE AE =，将A D E绕点A 逆时针旋转到如图2所示的位置，连接BD ，交AC 于点G ，连接CE 交BD 于点F ，则BDCE值为______，BFC ∠的度数为_____．（2）类比探究：如图3，当90ACB AED ∠=∠=︒，30BAC DAE ∠=∠=︒时，请求出BDCE的值及BFC ∠的度数．（3）拓展应用：如图4，在四边形ABDC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，45BDC ∠=︒．若8CD =，6BD =，请直接写出A ，D 两点之间的距离．22．如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 都是正方形，C ，F ，G 三点在一直线上，连接AF 并延长交边CD 于点M ．（1）求证：△MFC ∽△MCA ；（2）求证△ACF ∽△ABE ；（3）若DM =1，CM =2，求正方形AEFG 的边长．23．（问题发现）（1）如图1，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 边上一点（不与点B 、C 重合）将线段AD 绕点A 顺时针旋转90°得到AE ，连结EC ，则线段BD 与CE 的数量关系是，位置关系是；（探究证明）（2）如图2，在Rt △ABC 和Rt △ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，将△ADE 绕点A 旋转，当点C ，D ，E 在同一直线时，BD 与CE 具有怎样的位置关系，并说明理由；（拓展延伸）（3）如图3，在Rt △BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝2CD ＝4，将△ACD 绕顺时针旋转，点C 对应点E ，设旋转角∠CAE 为α（0°＜α＜360°），当点C ，D ，E 在同一直线时，画出图形，并求出线段BE 的长度． 24．（1）尝试探究：如图①，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，点E 、F 分别是边BC 、AC 上的点，且EF ∥AB ． ①AF BE的值为_________；②直线AF 与直线BE 的位置关系为__________；（2）类比延伸：如图②，若将图①中的CEF ∆绕点C 顺时针旋转，连接AF ，BE ，则在旋转的过程中，请判断AF BE的值及直线AF 与直线BE 的位置关系，并说明理由；（3）拓展运用：若3BC =，2CE =，在旋转过程中，当,,B E F 三点在同一直线上时，请直接写出此时线段AF 的长．25．已知，ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝2α°，点D 为BC 边中点，连接AD ，点E 为线段AD 上一动点，把线段CE 绕点E 顺时针旋转2α°得到线段EF ，连接FG ，FD ．（1）如图1，当∠BAC ＝60°时，请直接写出BFAE的值；（2）如图2，当∠BAC ＝90°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；（3）如图3，当点E 在AD 上移动时，请直接写出点E 运动到什么位置时DFDC的值最小．最小值是多少？（用含α的三角函数表示）26．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝2，BC ＝1，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE ．将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）①当α＝0°时，AE BD =； ②当α＝180°时，AEBD=；（2）试判断：当0°≤α＜360°时，AEBD的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．（3）当△EDC 旋转至A 、B 、E 三点共线时，直接写出线段BD 的长．27．在ABC ∆中，90,2ACB BC AC ︒∠===，将ABC ∆绕点A 顺时针方向旋转α角0180()α︒<<︒至''AB C ∆的位置．（1）如图1，当旋转角为60︒时，连接'C C 与AB 交于点M ，则'C C =．（2）如图2，在（1）条件下，连接'BB ，延长'CC 交'BB 于点D ，求CD 的长．（3）如图3，在旋转的过程中，连线'','CC BB CC 、所在直线交'BB 于点D ，那么CD 的长有没有最大值?如果有，求出CD 的最大值：如果没有，请说明理由．28．问题背景：如图（1），已知A ABC DE ∽△△，求证：ABD ACE ∽；尝试应用：如图（2），在ABC 和ADE 中，90BAC DAE ︒∠=∠=，30ABC ADE ︒∠=∠=，AC 与DE 相交于点F ．点D 在BC 边上，AD BD=DFCF 的值；拓展创新：如图（3），D 是ABC 内一点，30BAD CBD ︒∠=∠=，90BDC ︒∠=，4AB =，AC =直接写出AD 的长．参考答案1．B 【分析】如图，作CH ⊥BE ′于H ，设AC 交BE ′于O ．首先证明∠CE ′B ＝∠D ′＝60°，解直角三角形求出HE ′，BH 即可解决问题．解：如图，作CH ⊥BE ′于H ，设AC 交BE ′于O ． ∵∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°， ∴∠CAB ＝60°， ∵DE ∥AB ， ∴CD CA ＝CECB ，∠CDE ＝∠CAB ＝∠D ′＝60°∴'CD CA ＝'CE CB， ∵∠ACB ＝∠D ′CE ′， ∴∠ACD ′＝∠BCE ′， ∴△ACD ′∽△BCE ′，∴∠D ′＝∠CE ′B ＝∠CAB ，在Rt △ACB 中，∵∠ACB ＝90°，AC ABC ＝30°，∴AB ＝2AC ＝BC ∵DE ∥AB ， ∴CD CA ＝CE CB ，∴CE∵∠CHE ′＝90°，∠CE ′H ＝∠CAB ＝60°，CE ′＝CE∴E ′H ＝12CE ′CH ′＝32，∴BH∴BE ′＝HE ′+BH ＝故选：B ．【点拨】本题考查了相似三角形的综合应用题，涉及了旋转的性质、平行线分线段成比例、相似三角形的性质与判定等知识点，解题的关键是灵活运用上述知识点进行推理求导． 2．B解：如解图，∵把ABC 绕点A 旋转得到ADE ，∴ABC ADE △≌△，21∠=∠，∴34∠=∠，A ABC DE ∽△△，∴AFE DFC ∽△△，∴AF EFDF FC=，∵AFD EFC ∠=∠，∴AFD EFC ∽△△， ∵BAC DAE ∠=∠，AB AD =，AC AE =，∴35∠=∠，∴ABD AEC ∽△△．3【分析】连接EG ，与DF 交于N ，设CD 和AH 交于M ，证明△ANG ∽ADM ，得到DM ADNG AN=，从而求出DM 的长，再通过勾股定理算出AM 的长，通过证明△ADG ≌△CDE 得到∠DAG=∠DCE ，从而说明△ADM ∽△CHM ，得到AD AMCH CM=，最后算出CH 的长.解：连接EG ，与DF 交于N ，设CD 和AH 交于M ， ∴∠GNA=90°，DN=FN=EN=GN ，∵∠MAD=∠GAN ，∠MDA=∠GNA=90°， ∴△ANG ∽ADM ， ∴DM ADNG=， ∵DE ∴DF=EG=2, ∴DN=NG=1， ∵AD=AB=3， ∴3131DM =+，解得：DM=34，∴MC=94，，∵∠ADM+∠MDG=∠EDG+∠CDG ， ∴∠ADG=∠EDC ，在△ADG 和△CDE 中，AD CD ADG CDE DG DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADG ≌△CDE （SAS ）， ∴∠DAG=∠DCE ， ∵∠AMD=∠CMH ， ∴∠ADM=∠CHM=90°， ∴△ADM ∽△CHM ，∴AD AMCH CM=，即3494CH=，解得：【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，综合性较强，解题的关键是找到合适的全等三角形和相似三角形，通过其性质计算出CH 的长.4．13【分析】连接BD ，BF ，FD ，证明△EBC ∽△FBD ，根据题意，知道M ，F ，D 三点一线时，FM 最小，然后过点M 作MG ⊥BD ，垂足为G ，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理分别求出MG 和DG 的长，再根据正切的定义计算即可．解：连接BD ，BF ，FD ，如图，∵BD BFBC BE = ∴BD BCBF BE=， ∵∠FBD+∠DBE=45°，∠EBC+∠DBE=45°， ∴∠FBD=∠EBC ， ∴△EBC ∽△FBD ，∴∠FDB=∠ECB ，DF BDCE BC=∴=由题意知：FM 、DF 、DM 三条线段满足FM+DF≥MD ，其中DM 、DF 的值一定， ∴当M ，F ，D 三点一线时，FM 最小，过点M 作MN ⊥BD ，垂足为G ， ∵∠MBN=45°，BM=12AB=4，∴∵∴∴tan tan MG ECB FDG=DG ∠=∠=13，故答案为：13．【点拨】本题考查了正方形的性质，手拉手相似模型，锐角三角函数，勾股定理，三角形面积，线段最值模型，熟练构造相似模型，准确确定线段最小值的条件是解题的关键．5．（1）,AD AD BE =⊥；（2）依然成立，证明见解析；（3）23π．【分析】（1）分别求出AD ，BE 的长，即可求解；（2）通过证明△BCE ∽△ACD ，可得AD ACBE BC==CBO=∠CAD ，可得结论；（3）利用锐角三角函数可求∠EBC=30°，由弧长公式可求P 点运动轨迹的长度，由直角三角形的性质可求P 点到直线BC 距离的最大值．解：（1）∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，∴AB=2BC=2，AD ⊥BE ， ∵点D ，E 分别为AC ，BC 的中点，∴AD=CD=12BE=EC=12BC=12，∴，故答案为：，AD ⊥BE ；（2）结论仍然成立，理由如下：∵BC=1，EC=12，∴33BC AC ，EC CD =∴BC ECAC DC=， ∵△CDE 绕点C 顺时针旋转， ∴∠BCE=∠ACD ， ∴△BCE ∽△ACD ，∴AD ACBE ==CBO=∠CAD ，∴，∵∠CBO+∠BOC=90°， ∴∠CAD+∠AOP=90°， ∴∠APO=90°， ∴BE ⊥AD ；（3）∵∠APB=90°，∴点P 在以AB 为直径的圆上，如图3，取AB 的中点G ，作⊙G ，以点C 为圆心，CE 为半径作⊙C ，当BE 是⊙C 切线时，点P 到BC 的距离最大，过点P 作PH ⊥BC ，交BC 的延长线于H ，连接GP ，∵BE 是⊙C 切线， ∴CE ⊥BE ，∵sin ∠EBC=12EC BC =， ∴∠EBC=30°， ∴∠GBP=30°， ∵GB=GP ，∴∠GBP=∠GPB=30°， ∴∠BGP=120°，∵点P 的运动轨迹为点C→点P→点C→点B→点C ，∴P 点运动轨迹的长度=120121803ππ︒⨯⨯=︒， ∵∠ABP=30°，BP ⊥AP ，∴AP=12AB=1， ∵∠CBP=30°，PH ⊥BH ，∴PH=12∴P 点到直线BC 【点拨】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，锐角三角函数等知识，确定点P 的运动轨迹是本题的关键．6．（1）45°；（2）证明见解析；（3）54【分析】(1).在BC 上取一点G ，使得CG=BE ，连接OB 、OC 、OG ，然后证明△OBE 和△OCG 全等，从而得出∠BOE ＝∠COG ，∠BEO ＝∠CGO ，OE ＝OG ，根据三角形的周长得出EF=GF ，从而得出△FOE 和△GOF 全等，得出∠EOF的度数；(2)、连接OA ，根据点O 为正方形ABCD 的中心得出∠OAE=∠FCO=45°，结合∠BOE=∠COG 得出∠AEO=∠COF ，从而得出三角形相似；(3)、根据相似得出线段比，根据相似比求出AE 和CO 的关系，CF 和AO 的关系，从而得出答案．解：(1).如图，在BC 上取一点G ，使得CG=BE ，连接OB 、OC 、OG. ∵点O 为正方形ABCD 的中心， ∴ OB=OC ，∠BOC ＝90°，∠OBE ＝∠OCG ＝45°． ∴△OBE ≌△OCG （SAS ）.∴∠BOE ＝∠COG ，∠BEO ＝∠CGO ，OE ＝OG. ∴∠EOG ＝90°，∵△BEF 的周长等于BC 的长， ∴ EF ＝GF.∴△EOF ≌△GOF （SSS ）. ∴∠EOF ＝∠GOF ＝45°．(2).连接OA ．∵ 点O 为正方形ABCD 的中心， ∴∠OAE ＝∠FCO ＝45°．∵∠BOE ＝∠COG ， ∠AEO ＝∠BOE ＋∠OBE ＝∠BOE ＋45°， ∠COF ＝∠COG ＋∠GOF ＝∠COG ＋45°． ∴ ∠AEO ＝∠COF ，且∠OAE ＝∠FCO ． ∴ △AOE ∽△CFO ． (3).∵△AOE ∽△CFO ， ∴AO CF ＝ OE FO＝AE CO ．即AE ＝OE FO ×CO ，CF ＝AO÷OEFO．∵OE OF ，∴ OE FO．∴AECO ，CF ． ∴AE CF ＝54．点睛：本题主要考查的是正方形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定与性质，综合性非常强，难度较大．熟练掌握正方形的性质是解决这个问题的关键．7．(1)见解析;(2) 16.【分析】（1）连结DC ，易证ABE CBD ∆≅∆，然后得到90EDC ∠=︒，30CED ∠=︒，然后利用直角三角形性质得到BD （2）连结DC ，易证ABC EBD ∆∆，设BD x =在直角三角形EBD 中由相似比可直接得到答案解：如图所示图1，（1）连结DC ，易证ABE CBD ∆≅∆，∴AE CD =，证90EDC ∠=︒，30CED ∠=︒，∴BD ED === （2）如图所示图2， ∴AB EBBC BD=∴~ABE CBD ∆∆， ∴BCD BAD ∠=∠∴CD AD ⊥ 又∵60CED ∠=︒，设BD x =，则2DE x =，CD =∵AE AB CD BC ==6AE x =，∴16BD AE =【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质，能够知道相似三角形对应边成比例是求线段比的常用方法是本题关键8．（1）7.5；（2）58.【分析】（1）连结PC ，GC ，易得~PCG FCA ∆∆，得到比例线段计算即可（2）运用三角形相似得到比例线段，计算即可解：（1）连结PC ，GC ，可证~PCG FCA ∆∆，::PG AF PG FC =，7.5=PG（2）58【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握基础知识是本题关键9．（1）①AE =FC ；AE ⊥FC ；②AE =2FC ；AE ⊥FC ；理由见解析；（2）③FC =6；④MN 的最小值为53．【分析】（1）①利用SAS 证出△ABE ≌△CDF ，从而证出AE=FC ，∠A=∠DCF ，然后证出∠ACF=90°即可得出结论；②根据相似三角形的判定证出△ABE ∽△CDF ，从而得出∠A =∠DCF ，2AECF=，然后证出∠ACF=90°即可得出结论；（2）③作GD ⊥BC 于点D ，交AC 于点G ；作GH ⊥AB 于点H ，交AB 于点H ；DM ⊥AC ，利用SAS 证出△EDG ≌△FDC ，从而得出EG =FC ，令DC =a ，BD =2a ，根据三角形的面积公式即可求出a 值，从而求出结论；④连接MD 和MC ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DM=CM=12EF ，从而得出点M 的运动轨迹为是CD 的垂直平分线的一部分，作CD 的垂直平分线MH 交BC 于H ，然后证出四边形NMHG 为平行四边形，从而求出结论．解：（1）①解：∵90,ABC =∠,⊥DF DE∴∠ABC=∠EDF=90°，∠A ＋∠BCA=90°∴∠ABE ＋∠EDC=∠CDF ＋∠EDC ∴∠ABE=∠CDF ∵=1==AB DEk BC DF∴AB=CB ，DE=DF ∴△ABE ≌△CDF∴AE=FC ，∠A=∠DCF∴∠DCF ＋∠BCA=90°∴∠ACF=90°∴AE ⊥FC故答案为：AE =FC ；AE ⊥FC ； ②证明：AE =2FC ；AE ⊥FC ∵DF ⊥DE∴∠EDF =∠ABC =90° ∴∠ABE =∠CDF ·∵2AB DEBC DF== ∴△ABE ∽△CDF∴∠A =∠DCF ，2AECF = ∵∠A +∠ACB =90° ∴∠DCF +∠ACB =90°∴∠ACF =90°；即FC ⊥AE ·（2）③解：作GD ⊥BC 于点D ，交AC 于点G ；作GH ⊥AB 于点H ，交AB 于点H ；DM ⊥AC ．∴四边形BDGH 为矩形 ∴DB =HG∵∠ABC =90°，1AB DEBC DF== ∴∠A =∠HGA =∠ACB =45°∴DC =DG ∵DE ⊥DF∴∠EDG =∠FDC∴△EDG ≌△FDC （SAS ） ∴EG =FC ∵BD =2CD∴令DC =a ，BD =2a∴AG =∴EG =2-，MD · ∵6CDF S ∆=∴(11262CDF S EG MD ∆=⋅=-=解得1a =2a =∴FC = EG =6④∵=2==AB DEk BC DF ，AB=10 ∴BC=5∵2BD CD =∴CD=13=BC 53由③易证∠ECF=90°在Rt △EDF 和Rt △ECF 中，点M 为EF 的中点，连接MD 和MC∴DM=CM=12EF∴点M 的运动轨迹为是CD 的垂直平分线的一部分，作CD 的垂直平分线MH 交BC 于H∴当NM ⊥MH 时，MN 的最小，易知MN ∥BC ，MH ∥AB ，CH=12CD =56取BC 的中点G ，连接NG ，则CG=12BC =52∴NG 为△ABC 的中位线 ∴NG ∥AB ∴MH ∥NG∴四边形NMHG 为平行四边形∴此时MN=GH=CG －CH=53即MN 的最小值为53．【点拨】本题主要考查几何变换综合题、相似三角形的判定及性质和全等三角形的判定及性质，解题关键是熟练掌握三角形的中位线的性质、相似三角形的判定及性质和全等三角形的判定及性质．10．BDC 和AEC 的面积分别为2和12．【分析】过点D 作DM ⊥BC 于点M ，根据30°所对直角边为斜边一半，分别求出BC 、DC 的长度，且证BDC ∽AEC ，在Rt △DMC 中，可得DM=1，即BDC 的面积可求，且2AEC BDC 1124S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△，即AEC 的面积可求．解：如图所示，过点D 作DM ⊥BC 于点M ，∵AC=2，1EF=AC 2，∴EC=1，又∵ABC=30∠︒，EDC=30∠︒，∴在Rt △BAC 和Rt △DEC 中，BC=2AC=4，DC=2EC=2，由旋转性质知，BCD ACE 30∠=∠=︒，BC CD==2AC EF， ∴BDC ∽AEC ，故BD BC==2AE AC，在Rt △DMC 中，BCD=30∠︒，DC=2， ∴DM=1，∴BDC BC DM 41222S ⋅⨯===△， ∵BDC ∽AEC ，∴2AEC BDC1124S S⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴AEC 11242S ⨯==△，∴BDC 和AEC 的面积分别为2和12．【点拨】本题主要考察了含30°角的直角三角形、旋转的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键在于证明BDC ∽AEC ，且相似三角形的面积之比为边长之比的平方．11．（1）见解析；（2）【分析】（1）根据所给的相似对角线的证明方法证明即可；（2）由题可证的FEH FHG ∆∆∽，得到FE FHFH FG=，过点E 作EQ FG ⊥，可得出EQ ，根据2FH FE FG =⋅即可求解；解：（1）证明：∵80ABC ∠=，BD 平分ABC ∠， ∴40ABD DBC ∠=∠=， ∴140A ADB ∠+∠=． ∵140ADC ∠=，∴140BDC ADB ∠+∠=．A BDC ∠=∠， ∴ABD DBC ∆∆∽∴BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”．（2）∵FH 是四边形EFGH 的“相似对角线”， ∴三角形EFH 与三角形HFG 相似．又EFH HFG ∠=∠， ∴FEH FHG ∆∆∽， ∴FE FHFH FG=， ∴2FH FE FG =⋅．过点E 作EQ FG ⊥，垂足为Q ．则3sin 602EQ FE =⨯=．∵12FG EQ ⨯=∴12FG = ∴8FG FE ⋅=，∴28FH FE FG =⋅=， ∴FH =【点拨】本题主要考查了四边形综合知识点，涉及了相似三角形，解直角三角形等知识，准确分析并能灵活运用相关知识是解题的关键． 12．（1）3:1，60；（2）35︒，理由见解析；（3）2n =．【分析】（1）利用新定义得出[],n θ的意义，利用旋转的性质得到AB C ''△∽ABC ，60BAB '∠=︒，进而求出面积比，通过外角的性质得到DEB '∠即可求出直线BC 与直线B C ''所夹的锐角度数；（2）利用新定义得出[],n θ的意义，得到::AB AB AC AC ''==35BAC B AC ''∠=∠=︒，进而可以得到BAB CAC ''∠=∠，下证BAB '△∽CAC '△，通过题中给的相似比即可求出面积之比，延长CC '交BB '于D ，通过DEB AEC ''∠=∠，BB A CC A ''∠=∠，可以证得DEB '△∽AEC '，从而得到C DB ''∠的度数，即可得直线BB '与直线CC '相交所成的较小角的度数；（3）由四边形ABB C ''为矩形，得到90BAC '∠=︒，进而求出CAC '∠的度数，利用含30角的直角三角形的性质即可得到AC AC'的值，进而求出n 的值．解：（1）由题意可知：对ABC 作变换60⎡︒⎣得AB C ''△，∴AB C ''△∽ABC ，60BAB '∠=︒，∴B B '∠=∠，∴()2:3:1AB C ABCSS''==，ADE B BAB '∠=∠+∠，ADE B DEB ''∠=∠+∠，∴60DEB BAB ''∠=∠=︒，即直线BC 与直线B C ''所夹的锐角度数为：60︒．故答案为：3:1，60．（2）根据题意得：::AB AB AC AC ''==35BAC B AC ''∠=∠=︒， ∴BAC B AC B AC B AC ''''∠+∠=∠+∠， ∴BAB CAC ''∠=∠， ∴BAB '△∽CAC '△，∴相似比ABk AC=，BB A CC A ''∠=∠，:AB AC∴2:2ABB ACC SS''==，延长CC '交BB '于D ，如图，设CC '交AB '于E ．DEB AEC ''∠=∠，BB A CC A ''∠=∠，∴DEB '△∽AEC '，∴35C DB B AC ''''∠=∠=︒，∴:2ABB ACC S S ''=△△，直线BB '与直线CC '相交所成的较小角的度数为35︒．（3）四边形ABB C ''为矩形， ∴90BAC '∠=︒， 30BAC ∠=︒，∴60CAC BAC BAC ''∠=∠-∠=︒， 90ACB ∠=︒，∴90ACC '∠=︒，在Rt ACC '△中，12AC AC '=， ∴21AC AC '=， ∴2AC n AC'==，即n 的值为2．【点拨】本题考查了图形的旋转，相似三角形的判定和性质，新定义运算，三角形的外角性质以及含30角的直角三角形的性质，解题的关键是根据题意得出[],n θ的意义．13．尝试：''ABB ACC △△；拓展：'CC =3π或43π或23π或π或2π.解：尝试：''ABB ACC △△；【解法提示】∵''ABC AB C ≅△△，∴'AB AB =，'AC AC =，''BAC B AC ∠=∠，∴''BAB CAC ∠=∠，''AB AB AC AC =，∴''ABB ACC △△.拓展：∵在ABC 中，90C ∠=︒，AC BC =， ∴45ABC ∠=︒，∴sin 45AC AB ︒==''ABB ACC △△，∴CC'AC BB'AB ==. 又∵'8BB =，∴'CC =应用：3π或43π或23π或π或2π.【解法提示】在Rt ABC 中，2AB =，30ABC ∠=︒，∴1AC =，60BAC ∠=︒，当点'B 落在AC 所在直线上时，有两种情况：①若点'B 在AC 延长线上时，如解图①，'60CAC BAC ∠=∠=︒，∴弧60'11803CC ππ⨯==；②若点'B 在CA 的延长线上时，如解图②，此时点B ，'C ，'B 三点共线，∴旋转角360260240=︒-⨯=︒，∴弧240141803'CC ππ⨯==；当点'B 落在边BC 所在直线上时，如解图③，'260120CAC ∠=⨯︒=︒，∴弧120121803CC'ππ⨯==；当点'B 落在边AB 所在直线上时，如解图④，此时点C ，A ，'C 三点共线，旋转角为180︒，∴弧1801180CC'ππ⨯==. 当点'B 与点B 重合时，点C 旋转一周，∴弧'22CC AC ππ=⨯=.∴当点B 的对应点'B 恰好落在Rt ABC 的边所在直线上时，点C 的运动路径长为3π或43π或23π或π或2π.图① 图② 图③ 图④14．（1）∠D =∠AMP ，理由见解析；（2【分析】（1）由旋转的性质可得∠PMD =60°，即可得到∠AMD +∠AMP =60°，只需要找到一个角与角∠AMD 的度数和为60度即可得到答案；（2）过点C 作CG ∥BA 交MP 于点G ，证明△MDA ≌△MGC ，△CGP ∽△BMP ，然后计算求解即可得到答案. 解：（1）∠D =∠AMP ，理由如下： ∵∠ACB =90°，∠B =30°， ∴∠BAC =60°，∴∠D +∠DMA =∠BAC =60°由旋转的性质知，∠DMA +∠AMP =∠PMD =60°， ∴∠D =∠AMP ；（2）如图，过点C 作CG ∥BA 交MP 于点G ， ∵CG ∥BA∴∠GCP =∠B =30°，∠BCG =180°-∠B =150°．∵∠ACB =90°，点M 是AB 的中点，∠B =30°∴∠BAC =60° ∴12CM AB BM AM ===，∴∠MCB =∠B =30°， ∴∠MCG =120°， ∵∠MAD =180°﹣∠BAC =120°， ∴∠MAD =∠MCG ．由旋转的性质得∠PMD =60° ∵∠AMC =∠MCB +∠B =60°∴∠AMG =∠PMD∵∠DMG ﹣∠AMD =∠AMG =∠AMC ﹣∠GMC ，∴∠DMA =∠GMC ．在△MDA 与△MGC 中，MAD MCG AMD CMG MC MA ∠=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MDA ≌△MGC （ASA ），∴AD =CG ．∵CP =12BC ，∴CP =13BP ． ∵∠GCP =∠B ，∠GPC =∠MPB∴△CGP ∽△BMP ， ∴13CG CP BM BP == ∴3BM CG =设CG =AD =t ，则BM =3t ，AB =6t ．在Rt △ABC 中，cos cos 3033BC AB B AB ===∠∠，∴AD BC ==【点拨】本题主要考查了旋转的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，三角函数等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.15．（1）BD CE =，222EB EC EA +=；（2）不成立，理由见解析；（3）2【分析】（1）由△DAB ≌△EAC （SAS ），可得BD =EC ，∠ABD =∠ACE ，由∠ACE +∠ABE =90°，推出∠ABD +∠ABE =90°，可得∠DBE =90°，由此即可解决问题；（2）结论：EA 2=EC 2+2BE 2．由题意△ABC ，△ADE 都是等腰直角三角形，想办法证明△DAB ∽△EAC ，推出DB AB EC AC=，∠ACE =∠ABD ，可得∠DBE =90°，推出DE 2=BD 2+BE 2，即可解决问题；（3）首先证明AD =DE =EC ，设AD =DE =EC =x ，在Rt △ADC 中，利用勾股定理即可解决问题；解：（1）如图①中，∵BA =BC ，DA =DE ．且∠ABC=∠ADE =60°，∴△ABC ，△ADE 都是等边三角形，∴AD =AE ，AB =AC ，∠DAE =∠BAC =60°，∴∠DAB =∠EAC ，∴△DAB ≌△EAC （SAS ），∴BD =EC ，∠ABD =∠ACE ，∵∠ACE +∠ABE =90°，∴∠ABD +∠ABE =90°，∴∠DBE =90°，∴DE 2=BD 2+BE 2，∵EA =DE ，BD =EC ，∴EA 2=BE 2+EC 2．故答案为：BD =EC ，EA 2=EB 2+EC 2．（2）结论：EA 2=EC 2+2BE 2．理由：如图②中，∵BA =BC ，DA =DE ．且∠ABC =∠ADE =90°，∴△ABC ，△ADE 都是等腰直角三角形，∴∠DAE =∠BAC =45°，∴∠DAB =∠EAC ，∵ADAE =2，ABAC =2， ∴ADABAE AC =，∴△DAB ∽△EAC ，∴DBABEC AC =，∠ACE =∠ABD ，∵∠ACE +∠ABE =90°，∴∠ABD +∠ABE =90°，∴∠DBE =90°，∴DE 2=BD 2+BE 2，∵EA ，BD EC ， ∴12EA 2=12EC 2+BE 2，∴EA 2=EC 2+2BE 2．（3）如图③中，∵∠AED =45°，D ，E ，C 共线，∴∠AEC =135°，∵△ADB ∽△AEC ，∴∠ADB =∠AEC =135°，∵∠ADE =∠DBE =90°，∴∠BDE =∠BED =45°，∴BD =BE ，∴DE，∵EC，∴AD =DE =EC ，设AD =DE =EC =x ，在Rt △ABC 中，∵AB =BC∴AC，在Rt △ADC 中，∵AD 2+DC 2=AC 2，∴x 2+4x 2=40，∴x，∴AD =DE∴BD =BE =2，∴S △BDE =12×2×2=2．【点拨】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．16．（1）见解析；（2）当EAG BAD ∠=∠时，BE DG =，理由见解析；（3）221313a b +．【分析】（1）由正方形的性质得出AE AG =，90EAG ∠=︒，AB AD =，90BAD ∠=︒，得出EAB GAD ∠=∠，则可证明()AEB AGD SAS ≌△△，从而可得出结论；（2）由菱形的性质得出AE AG =，AB AD =，则可证明()AEB AGD SAS ≌△△，由全等三角形的性质可得出结论；（3）设BE 与DG 交于Q ，BE 与AG 交于点P ，证明EAB GAD ∽△△，得出EBA GDA ∠=∠，得出GD EB ⊥，连接EG ，BD ，由勾股定理可求出答案．解：（1）∵四边形AEFG 为正方形，∴AE AG =，90EAG ∠=︒，又∵四边形ABCD 为正方形，∴AB AD =，90BAD ∠=︒，∴EAG BAG BAD BAG ∠-∠=∠-∠∴EAB GAD ∠=∠，在△AEB 和△AGD 中，AE AG EAB GAD AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AEB AGD SAS ≌△△，∴BE DG =；（2）当EAG BAD ∠=∠时，BE DG =，理由如下：∵EAG BAD ∠=∠，∴+EAG BAG BAD BAG ∠∠=∠+∠∴EAB GAD ∠=∠，又∵四边形AEFG 和四边形ABCD 均为菱形，∴AE AG =，AB AD =，在△AEB 和△AGD 中，AE AG EAB GAD AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AEB AGD SAS ≌△△，∴BE DG =；（3）设BE 与DG 交于Q ，BE 与AG 交于点P ，由题意知，2AE a =， ∵23AE AB AG AD ==，90EAB GDA GAB ∠=∠=︒+∠， ∴EAB GAD ∽△△，∴EBA GDA ∠=∠，∵++90ADB ABD GDA QDB ABD ∠+∠=∠∠∠=︒，∴+++90QDB QBD EBA QDB ABD ∠∠=∠∠∠=︒，∴GD EB ⊥，连接EG ，BD ，∴22ED GB +2222EQ QD GQ QB =+++22EG BD =+， ∵23AE AB AG AD ==，2AE a =，2AB b =， ∴3AG a =，3AD b =，在Rt △EAG 中，由勾股定理得：222+EG AE AG =，同理222+BD AB AD =，∴22ED GB +()()()()22222323a a b b =+++221313a b =+．【点拨】本题考查了矩形、菱形、正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握特殊平行四边形的性质是解题的关键．由(3)可得结论：当四边形的对角线相互垂直时，四边形两组对边的平方和相等．17．（1）1，60；（2）CD AP=CD 与AP 所成的较小角的度数为45°；（3）BD 【分析】（1）根据α＝60°时，△ABC 是等边三角形，再证明△PBA ≌△DBC ，即可求解，再得到直线CD 与AP 所成的度数；（2）根据等腰直角三角形的性质证明△PBA ∽△DBC ，再得到CD AP =BC AB，再根据相似三角形的性质求出直线CD 与AP 所成的度数；（3）延长CA ，BD 相交于点K ，根据直角三角形斜边上的中线性质及中位线定理证得∠BCD ＝∠KCD ，由（2）的结论求出AP 的长，再利用在Rt △PBD 中，设PB ＝PD ＝x ，由勾股定理可得BD ＝AD ，再列出方程即可求出x ，故可得到BD 的长．解：（1）∵α＝60°，AB ＝AC ，∴△ABC 是等边三角形，∴AB =CB∵将线段BP 绕点P 逆时针旋转α得到线段PD ，∴△BDP 是等边三角形，∴BP =BD∵∠PBA =∠PBD -∠ABD =60°-∠ABD ，∠DBC =∠ABC -∠ABD =60°-∠ABD ， ∴∠PBA =∠DBC∴△PBA ≌△DBC ，∴AP =CD ∴CD AP=1 如图，延长CD 交AB ，AP 分别于点G ，H ，则∠AHC 为直线CD 与AP 所成的较小角，∵△PBA ≌△DBC∴∠P AB =∠DCB∵∠HGA =∠BGC∴∠AHC ＝∠ABC ＝60°故答案为：1，60；（2）解：如图，延长CD 交AB ，AP 分别于点M ，N ，则∠ANC 为直线CD 与AP 所成的较小角，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝45°.在Rt △ABC 中，AB BC ＝cos ∠ABC ＝cos45°＝2. ∵PB ＝PD ，∠BPD ＝90°，∴∠PBD ＝∠PDB ＝45°.在Rt △PBD 中，PB BD ＝cos ∠PBD ＝cos45°∴AB BC ＝PB BD ，∠ABC ＝∠PBD . ∴∠ABC －∠ABD ＝∠PBD －∠ABD .即∠PBA ＝∠DBC .∴△PBA ∽△DBC .∴CD AP ＝BC AB P AB ＝∠DCB . ∵∠AMN ＝∠CMB ，∴∠ANC ＝∠ABC ＝45°.即CD AP CD 与AP 所成的较小角的度数为45°. (3)延长CA ，BD 相交于点K ，如图.∵∠APB ＝90°，E 为AB 的中点，∴EP ＝EA ＝EB .∴∠EAP ＝∠EP A ，∠EBP ＝∠EPB.∵点E ，F 为AB ，AC 的中点，∴PF //BC .∴∠AFP ＝∠ACB ＝∠PBD ＝45°. ∵∠BGP ＝∠FGK ，∴∠BPE ＝∠K .∴∠K ＝∠EBP ，∵∠EBP ＝∠PEB ，∠PEB=∠DBC ，∴∠K ＝∠CBD .∴CB ＝CK .∴∠BCD ＝∠KCD .由(2)知∠ADC ＝∠PDB ＝45°，△PBA ∽△DBC ，∴∠P AB ＝∠DCB .∴∠BDC ＝180°－45°－45°＝90°＝∠BAC .∵∠BHD ＝∠CHA ，∴∠DBA ＝∠DCA .∴∠DBA ＝∠P AB.∴AD ＝BD .由(2)知DC，∴AP1= 在Rt △PBD 中，PB ＝PD ＝x ，由勾股定理可得BD＝AD .∴AD ＋PD ＝x＝AP ＝1∴x ＝1.∴BD【点拨】此题主要考查四边形综合，解题的关键熟知旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及解直角三角形的方法．18．（1）BP CQ =；（2）ABC ACQ ∠=∠；理由见解析；（3）4．【分析】（1）利用SAS 定理证明BAP CAQ △≌△，根据全等三角形的性质解答；（2）先证明BAC PAQ △∽△，得到AB AP AC AQ=，再证明BAP CAQ △≌△，根据相似三角形的性质解答即可；（3）连接AB 、AQ ，根据相似三角形的性质求出BP ，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．解：（1）问题发现：∵ABC ∆和APQ ∆都是等边三角形，∴A B AC =，AP AQ =，60BAC PAQ ∠=∠=︒，∴BAP CAQ ∠=∠，在BAP △和CAQ ∆中，AB AC BAP CAQ AP AQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，。

相似三角形练习题

相似三角形练习题题目一已知三角形ABC中，∠A = 60°，AC = 6 cm，BC = 8 cm。

将三角形ABC沿着边BC剪开，使得三角形ABD与三角形ACD相似，连接BD。

求BD的长度。

解答一由已知条件可知∠A = ∠ADC = 60°，而∠ABD与∠ACD互为对应角，故∠ABD = ∠ACD = 60°，说明三角形ABD与三角形ACD相似。

根据相似三角形的性质，相似三角形中对应边的比例相等，即有：BD/AD = AC/CD将已知数值代入，得到：BD/AD = 6/8进一步化简，可得：BD/AD = 3/4将上式两侧同乘以AD，可得：BD = (3/4) * AD由直角三角形ADC中，利用三角函数可得AD的值：AD = AC * sin(60°) = 6 * √3 / 2 = 3√3 cm代入上式，可得：BD = (3/4) * 3√3 = 9√3 / 4 cm所以，BD的长度为9√3 / 4 cm。

题目二已知∆ABC与∆DEF相似，∠B = 40°，∠E = 20°，AB = 5 cm，FE = 3 cm。

求BC、DE的长度。

解答二由已知条件可知∠B = ∠F，即∠B = 40°。

而∆ABC与∆DEF相似，根据相似三角形的性质，相似三角形中对应边的比例相等，即有：AB/FE = BC/DE将已知数值代入，得到：5/3 = BC/DE进一步化简，可得：5DE = 3BC根据已知条件，我们还可以得到∠E = ∠C。

联立上述两个条件，可以列出方程组：{5DE = 3BC∠E = ∠C}要求BC和DE的长度，需要求解以上方程组。

我们可以通过求解方程组来得到BC和DE的长度。

题目三AG和EK是∆ABC和∆EFD的高，点G和点K分别位于边BC和边DE上，且∆AGK和∆EKG相似。

已知∠B = 45°，AB = 12 cm，BC = 10 cm，ED = 8 cm。

动态平衡-相似三角形法练习题

动态平衡-相似三角形法一、单选题1. 如图所示，轻质硬杆一端与固定在地面上的光滑铰链O相连，另一端固定一定质量的小球，站在地面上的某人用轻绳绕过处在铰链正上方的小定滑轮拉住小球。

若该人拉住轻绳缓慢向左移动，不计轻绳与滑轮之间的摩擦，则在轻杆到达竖直位置之前的过程中，下列说法正确的是（）A．绳子拉力逐渐增大B．硬杆对小球的支持力增大C．地面对人的摩擦力逐渐增大D．地面对人的支持力逐渐增大2.如图所示，质量为m的小球套在竖直固定的光滑圆环上，在圆环的最高点有一个光滑小孔，一根轻绳的下端系着小球，上端穿过小孔用力拉住，开始时绳与竖直方向夹角为θ，小球处于静止状态，现缓慢拉动轻绳，使小球沿光滑圆环上升一小段距离，则下列关系正确的是（）A．小球沿光滑圆环上升过程中，轻绳拉力先变大后变小B．小球沿光滑圆环上升过程中，轻绳拉力逐渐增大C．小球沿光滑圆环上升过程中，小球所受支持力逐渐增大D．小球沿光滑圆环上升过程中，小球所受支持力大小不变3.如图所示，半径为R的光滑圆环竖直固定，轻弹簧一端固定在圆环的最高点A，另一端与套在圆环上的小球相连。

小球的质量为m，静止在B点时弹簧与竖直方向的夹角θ=30∘，重力加速度为g。

若换用原长相同，劲度系数更大的某轻质弹簧，小球能静止于圆环上的C点（图中未画出，但不在圆环最低点）。

下列说法正确的是（）A ．小球静止在B 点时，弹簧的弹力大小为2mgB ．小球静止在B 点时，圆环对小球的作用力指向圆环的圆心C ．换用劲度系数更大的轻弹簧后，弹簧的弹力将变小D ．换用劲度系数更大的轻弹簧后，圆环对小球的作用力将变大4. 如图所示，一半径为R 的光滑14圆形轨道竖直固定在地面上，其圆心为O ，有一光滑的小滑轮在O 点正上方，到轨道上B 点的距离为h ，轻绳的一端系一小球，靠放在光滑圆形轨道上的A 点，另一端绕过小滑轮后用力拉住，使小球静止。

现缓慢地拉绳，在使小球由A 到B 的过程中，关于力的大小的变化叙述正确的是（）A ．圆形轨道对小球的支持力不变，绳对小球的拉力变小B ．圆形轨道对小球的支持力变小，绳对小球的拉力变大C ．圆形轨道对小球的支持力变大，绳对小球的拉力变小D ．圆形轨道对小球的支持力变小，绳对小球的拉力先变小后变大5.两根通电直导线a 、b 相互平行，a 通有垂直纸面向里的电流，固定在O 点正下方的地面上；b 通过一端系于O 点的绝缘细线悬挂，且Oa=Ob ，b 静止时的截面图如图所示。

专题27.38 相似三角形几何模型-双垂线等角(巩固篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级数

专题27.38 相似三角形几何模型-双垂线等角（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．在矩形ABCD 中，AB =3，AD =5，将矩形ABCD 绕点A 沿逆时针方向旋转得矩形AEFG ，连接BE ，当EF 刚好经过点D 时，线段BE 的长是（）A B C D 2．如图，在等腰直角△ABC 中，90ACB ∠=︒，O 是斜边AB 的中点，点D 、E 分别在直角边AC 、BC 上，且90DOE ∠=︒，DE 交OC 于点P ．给出下列结论：（1）AD =CE ；（2）CD CE +=；（3）△ABC 的面积等于四边形CDOE 的面积的2倍；（4）PO PC PD PE ⋅=⋅．其中正确的结论有（）个．A ．4B ．3C ．2D ．13．如图所示，Rt △ABC 中，△ACB ＝90°，CD △AB 于点D ，若AD ＝6，DB ＝2，则CD 的长为（）A ．3B ．C ．D ．44．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是BC 上一点，且BD ＝2CD ，连接AD ，将△ABD 沿AD 翻折，得到△ADE ，DE 与AC 交于点F ．若△DCF ，△AEF 的面积分别为1和16，则AFEF＝（）A ．B ．3C ．72D ．435．如图，正方形ABCD 的边长为O 是对角线AC 、BD 的交点，过点O 作射线OM 、ON 分别交边BC 、CD 于点E 、F ，且90EOF ∠=︒，OC 、EF 交于点G ，EF 中点为H ．给出下列结论：△COE DOF ≌；△OGE FGC ∽；△四边形CEOF 的面积为正方形ABCD 面积的14；△22DF BE OG OC +=⋅；△H 点经过的路程为π其中正确的是（）A ．△△△△△B ．△△△△C ．△△△D ．△△△6．在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为线段BC 上一点，以AD 为一边构造Rt ADE △，90DAE ∠=︒，AD AE =，下列说法正确的个数是（）△图中和BAD ∠相等的角有2个（不含BAD ∠）；△若不添加线段，图中共有5对相似三角形；△2AD OA AC =⋅；△222DE BD CD =+．A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，矩形纸片ABCD 中，6AD =，4AB =，点E ，F 分别在AD ，BC 上，把纸片沿EF 折叠，点A ，B 的对应点分别为A '，B '，连接AA '并延长，交CD 于点G ，则EFAG的值为（）A ．12B ．23C ．34D ．568．如图，在ABC ∆中，AB AC <，将ABC 以点A 为中心逆时针旋转得到ADE ，点D 在BC 边上，DE 交AC 于点F ．下列结论：△AFE DFC △△；△DA 平分BDE ∠；△CDF BAD ∠=∠，其中所有正确结论的序号是（）A ．△△B ．△△C ．△△D ．△△△9．如图，△ABC 和△BDE 都是等边三角形，点D 是AC 上的点，连接AE ，下列相似三角形：△△BCD △△BEO ；△△AOD △△EOB ；△△AOE △△DOB ；△△BOD △△BDA ．成立的有（）A．1对B．2对C．3对D．4对10．如图，等边三角形△ABC的边长为2，点O是△ABC的重心，△FOG＝120°，绕点O旋转△FOG分别交线段AB，BC于D，E两点，连接DE，给出下列四个结论：△OD＝OE；△BD＋BE＝2；△四边形ODBE△△BDE周长的最小值为3，上述结论中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题11．如图，在Rt△ACB中，△ACB=90°，AC=BC，D是AB上的一个动点（不与点A，B 重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接DE，DE与AC相交于点F，连接AE．若AB=3，AD=2BD，则AF=_____．12．如图，ABC中，CD△AB，垂足为D．下列条件中，△△A+△B=90°；△AB2=AC2+BC2；△AC CDAB BD=；△CD 2=AD •BD ．能证明ABC 是直角三角形的有_____（多选、错选不得分）．13．图，正方形ABCD 的边长为2，点O 是对角线AC 、BD 的交点，点E 在CD 边上，且DE =2CE ，过点C 作CF BE ⊥于点F ，连接OF ，则OF =______．14．如图，在Rt △ABC 中，△ACB =90°，CD △AB ，垂足为点D ，如果ADC CDB C C ∆∆＝32，AD =8，那么CD 的长是 _____．15．如图，在Rt ABC 中，90,2∠=︒=BAC AC AB ，将ABC 绕点A 逆时针旋转一定的角度得ADE ，且点D 恰好落在边BC 上，DE 与AC 交于点F ．（1）求BDAD=________；（2）当10AB =时，CF =________．16．如图，已知△1=△2，若再增加一个条件就能使△ABC △△ADE ，则这个条件可以是________（填一个即可）．17．如图，在△ABC 与△AED 中，AB BCAE ED= ,添加一个条件，使△ABC 与△AED 相似，这个条件可以是________．18．已知：如图，在ABC 中，90ACB ∠=，CD AB ⊥，垂足是D ，BC =BD=1．则AD =______．19．如如图，在矩形ABCD 中，AB =12，BC =16，AC 与BD 相交于O ，E 为DC 上的一点，过点O 作OF △OE 交BC 于F ，记d d 的最小值为 _____．20．如图，在等腰直角三角形ABC 和等腰直角三角形ADE 中，90BAC DAE ∠=∠=︒，点D 在BC 边上，DE 与AC 相交于点F ，AH DE ⊥，垂足是G ，交BC 于点H ．下列结论中：△AC CD =；2BC AF =⋅；△若AD =5=DH ，则3BD =；△2AH DH AC =⋅，正确的是______．三、解答题21．如图，在四边形ABCD 中，AC ，BD 交于点F ．点E 在BD 上，且BAE CAD ∠=∠，AB ACAE AD=． (1)求证：ABC AED ∽△△． (2)若20BAE ∠=︒，求△CBD 的度数．22．在△ABC 和△ADE 中，点E 在BC 上，已知△B ＝△D ，△DAB ＝△EAC ． (1) 求证：△ABC △△ADE ；(2) 若AC △DE ，△AEC ＝45°，求△C 的度数．23．如图，在△ABC 和△BED 中，53AB BC AC BD BE DE ===．(1) 若△ABC与△BED的周长差为10cm，求△ABC的周长；(2) 若△ABC与△BED的面积之和为1702cm，求△BED的面积．24．将一副三角尺如图1放置，其中AD为Rt△ABC中BC边上的高，DE，DF分别交AB，AC于点M和N．(1) 求证：△AMD△△CND；(2) 如图2，将Rt△DEF绕点D旋转，此时EF△BC，且E，A，F共线，判断AE AM AD AN＝是否成立，并给出证明．25．如图1，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，△ACB=△AED=90°，直线BD和直线CE交于点F．(1)线段BD与CE具有怎样的数量关系？写出证明过程；(2)若AC=BC=3，AE＝DE，将△ADE绕着点A在平面内旋转，当点D落在线段AC 上时，在图2中补全图形，并求CF的长度．26．如图1，E为正方形ABCD的边BC上一点，F为边BA延长线上一点，且CE=AF．(1)求证：DE△DF；(2)如图2，若点G为边AB上一点，且△BGE＝2△BFE，△BGE的周长为8，求四边形DEBF的面积；(3)如图3，在（2）的条件下，DG与EF交于点H，连接CH且CH＝AG的长．参考答案1．B【分析】连接DG ．由矩形的性质和旋转可得出5EF AG AD ===，3GF AE AB ===，BAE DAG ∠=∠，90AED ∠=︒．利用勾股定理可求出DE =，从而可求出1DF EF DE =-=，进而再次利用勾股定理可求出DG ==53AG AD AE AB ==，即易证BAE DAG ，得出53DG BE =，即可求出BE 的长．解：如图，连接DG ．由旋转和矩形性质可知5390EF AG AD GF AE AB BAE DAG AED ======∠=∠∠=︒，，，，△在Rt AED △中，DE ， △1DF EF DE =-=，△在Rt GDF 中，DG == △53AG AD AE AB ====，， △53AG AD AE AB ==．又△BAE DAG ∠=∠， △BAE DAG ，△53DG BE =53=，△BE =．故选：B ．【点拨】本题考查矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质．正确的作出辅助线构造相似三角形是解题关键．2．A 【分析】由等腰直角三角形和同角的余角相等，易证ADO CEO ≌△△，再由勾股定理即可判断（1）（2）正确，再用面积割补法即可整除（3）正确，再证得OPD EPC ∽，即可判断（4）正确．解：AC AB = ， 90ACB ∠=︒，O 是斜边AB 的中点， 145,2A B AO CO BO AB ，CO AB ⊥， 90COB ∴∠=︒ ， 45COBB ， 45OCEOAD ， 90,90DOF DOC COE AOD DOC ，AOD COE ∴∠=∠ ，在ADO △和CEO 中AO CO OAD OCE AOD COE =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩， ADO CEO ≌ ，AD CE ∴= ，AD =CE ，故（1）正确；,90OA OC AOC， 22222AC OA OC OC ，2AC OC ，2CD CE CD ADAC OC ，故（2）正确； 112222AOC S ABC AB OC OA OC S ， S 四边形CDOE =COE COD AOD COD AOC S S S S S ，△△ABC 的面积等于四边形CDOE 的面积的2倍，故（3）正确．,90OD OE DOE ，45ODE OED ∴∠=∠=︒ ，45,ODP ECP OPD EPC ，OPD EPC∽，PO PDPE PC∴=，PO PC PD PE，故（4）正确；四个答案都正确，故选：A．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及相似三角形的判定与性质，掌握各项性质和判定以及面积的割补法是解题的关键．3．B【分析】证明△ACD△△CBD，根据相似三角形的性质列出比例式，从而求出CD的长度．解：△Rt△ABC中，△ACB＝90°，CD△AB于点D，△90A ACD ACD BCD∠+∠=∠+∠=︒，△A BCD∠=∠，△90ADC CDB∠=∠=︒，△△ACD△△CBD，△AD CD CD BD=，△26212CD AD BD=•=⨯=，△CD=故选：B【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是正确判定△ACD△△CBD，得到AD CDCD BD=，从而进行解题．4．C【分析】根据已知易证△AFE△△DFC，从而求出对应边的比，然后设CD＝a，DF＝x，表示出EF与CF的长，再根据EF＝4CF，求出x＝1415a，最后进行计算即可解答．解：△AB＝AC，△△B ＝△C ，由折叠得：△B ＝△E ，AB ＝AE ，BD ＝DE ，△△C ＝△E ，△△AFE ＝△DFC ，△△AFE △△DFC ，△△DCF ，△AEF 的面积分别为1和16， △4AF EF AE DF CF DC ，△BD ＝2CD ，△设CD ＝a ，BD ＝2a ，△AE ＝4CD ＝4a ，DE ＝BD ＝2a ，△AB ＝AC ＝4a ，设DF ＝x ，则AF ＝4DF ＝4x ，△CF ＝AC ﹣AF ＝4a ﹣4x ，EF ＝DE ﹣DF ＝2a ﹣x ，△EF ＝4CF ，△2a ﹣x ＝4（4a ﹣4x ），△x ＝1415a ， △AF ＝4x ＝5615a ， EF ＝2a ﹣x ＝1615a ， △567162AFEF ，故选：C ．【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，翻折变换，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．5．C【分析】△由正方形证明OC =OD ，△ODF =△OCE =45°，△COM =△DOF ，可得结论；△由全等三角形得OE =OF ，得△OEG =△FCG =45°，再利用对顶角相等，证得△OGE △△FGC ；△先证明S△COE=S△DOF，可得S四边形CEOF=S△OCD=14S正方形ABCD；△证明△OEG△△OCE，得OG•OC=OE2，再证明BE2+DF2=EF2，由EF＞OE，可得结论；△由CH=OH，则点H在OC 的垂直平分线上，可得点H的轨迹是PQ，通过证明△CPQ△△CDB，可求PQ=2，即可得结论．解：△△四边形ABCD是正方形，△OC=OD，AC△BD，△ODF=△OCE=45°，△△MON=90°，△△COM=△DOF，△△COE△△DOF（ASA），故△正确；△△△COE△△DOF，△OE=OF，△△MON=90°，△△OEG=45°=△FCG，△△OGE=△FGC，△△OGE△△FGC，故△正确；△△△COE△△DOF，△S△COE=S△DOF，△S四边形CEOF=S△OCD=14S正方形ABCD，故△正确；△△△COE△△DOF，△OE=OF，又△△EOF=90°，△△EOF是等腰直角三角形，△△OEG=45°=△OCE，△△EOG=△COE，△△OEG△△OCE，△OE：OC=OG：OE，△OG•OC=OE2，△CE=DF，BC=CD，△BE=CF，又△Rt△CEF中，CF2+CE2=EF2，△BE2+DF2=EF2，△EF2＞OE2，△BE2+DF2＞OG•OC，故△错误；△如图，连接OH，CH，作OC的垂直平分线交BC于Q，交CD于点P，△△EOF是等腰直角三角形，点H是EF的中点，△OH=12EF，△△BCD=90°，点H是EF的中点，△CH=12EF，△CH=OH，△点H在OC的垂直平分线上，△点H的轨迹是PQ，△正方形ABCD的边长为△BD=4，△PQ△AC，BD△AC，△PQ△BD，△△CPQ△△CDB，△12 CG PQOC BD＝，△PQ=12BD=2，△H点经过的路程为2，故△错误，故选：C．【点拨】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的综合运用．灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．6．D【分析】根据等腰直角三角形的性质及相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质及勾股定理进行证明即可得出答案．解：在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，在Rt ADE △，90DAE ∠=︒，AD AE =，45B C ∴∠=∠=︒45ADE E =∠=∠=︒，ABC ADE ∴∆∆，BAC DAC DAE DAC ∴∠-∠=∠-∠，即BAD CAE ∠=∠，ABD AEO ∴∆∆，在AOE ∆和DOC ∆中，,E C AOE DOC ∠=∠∠=∠，CAE ODC ∴∠=∠，ODC BAD ∴∠=∠，故图中和BAD ∠相等的角有2个（不含BAD ∠），△正确； AOE DOC ∴∆∆，ABD DCO ∴∆∆，DAO CAD ∠=∠，AOD ADC ∴∆∆，故若不添加线段，图中共有5对相似三角形，△正确；AD AO AC AD∴=，即2AD OA AC =⋅，故△正确；连接CD ，,,AB AC BAD CAE AD AE =∠=∠=，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，,45BD CE B ACE ∴=∠=∠=︒，45ACB =︒∠，90DCE ∴∠=︒，222CD CE DE ∴+=，222DE BD CD =+∴，故△正确；综上，说法正确的由△△△△；故选：D ．【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质及勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．7．B【分析】过点F 作FH △AD 于点H ，设AG 与EF 交于点O ，利用两角对应相等求证△ADG △△FHE ，即可求出EF AG的值．解：过点F 作FH △AD 于点H ，设AG 与EF 交于点O ，如图所示：由折叠A 与A '对应易知：△AOE =90°，△△EAO +△AEO =90°，△EAO +△AGD =90°，△△AEO =△AGD ，即△FEH =△AGD ，又△△ADG =△FHE =90°，△△ADG △△FHE ， △6423EF HF AB AG AD AD ====，故选：B ．【点拨】本题考查翻折变换，矩形性质以及相似三角形判定与性质，本题通过翻折变换推出△AOE =90°进而利用角进行转化求出△ADG △△FHE 是解题的关键．8．D【分析】根据旋转的性质可得对应角相等，对应边相等，进而逐项分析判断即可求解．解：△将ABC 以点A 为中心逆时针旋转得到ADE ，△ADE ABC ≌，E C ∴∠=∠，AFE DFC ∠=∠，∴AFE DFC △△，故△正确；ADE ABC ≌，AB AD ∴=，ABD ADB ∴∠=∠，ADE ABC ∠=∠，ADB ADE ∴∠=∠，∴DA 平分BDE ∠，故△正确；ADE ABC ≌，BAC DAE ∴∠=∠，BAD CAE ∴∠=∠，AFE DFC △△，CAE CDF ∴∠=∠，CDF BAD ∠=∠∴，故△正确故选D【点拨】本题考查了性质的性质，等边对等角，相似三角形的性质判定与性质，全等三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．9．D【分析】根据等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质定理进行推理即可．解：△△ABC 和△BDE 都是等边三角形，△△C =△ABC =△CAB =60°，△EDB =△DBE =△DEB =60°，△△ABC -△ABD =△DBE -△ABD ，△△CBD =△ABE ，△△BCD △△BEO ，故△正确；△△AOD=△BOE，△DAB=△DEB=60°，△△AOD△△EOB，故△正确；△△AOD△△EOB，△AO EO DO BO，△△AOE=△DOB，△△AOE△△DOB，故△正确；△△DBA=△DBO，△DAB=△ODB=60°，△△BOD△△BDA，故△正确，所以，相似三角形成立的有4对．故选：D．【点拨】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键．10．D【分析】根据等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，垂心的意义，垂线段最短计算判断即可．解：连接OB、OC，如图，△△ABC为等边三角形，△△ABC＝△ACB＝60°，△点O是△ABC的中心，△OB＝OC，OB、OC分别平分△ABC和△ACB，△△ABO＝△OBC＝△OCB＝30°△△BOC＝120°，即△BOE＋△COE＝120°，而△DOE＝120°，即△BOE＋△BOD＝120°，△△BOD＝△COE，且BO＝CO，△OBD＝△OCE，△△BOD△△COE（ASA），△BD ＝CE ，OD ＝OE ，所以△正确；△BD ＋BE ＝CE ＋BE ＝BC ＝2，所以△正确；△S △BOD ＝S △COE ，△四边形ODBE 的面积＝211233OBC ABC S S ==△△ 所以△正确；作OH △DE 于H ，如图，则DH ＝EH ，△△DOE ＝120°，△△ODE ＝△OEH ＝30°，△OH ＝12OE ，HE ， △DE，△BD ＝CE ，△△BDE 的周长＝BD ＋BE ＋DE ＝CE ＋BE ＋DE ＝BC ＋DE ＝2＋DE ＝2，当OE △BC 时，OE 最小，△BDE 的周长最小，此时OE △△BDE 周长的最小值＝2＋1＝3，△△正确．故选：D ．【点拨】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，垂心的意义，垂线段最短，熟练掌握等边三角形的性质，垂线段最短是解题的关键． 11．43【分析】先计算出BD =AD ＝BC ＝3，△B ＝△BAC ＝45°，再根据旋转的性质得到△DCE＝90°，CD ＝CE ，则可判断△CDE 为等腰直角三角形，所以△EDC ＝45°，然后证明△ADF △△BCD ，则利用相似比可计算出AF ．解：△AB ＝，AD ＝2BD ，△BD =AD ＝△△ACB ＝90°，AC ＝BC ，△BC =＝3，△B ＝△BAC ＝45°， △CD 绕点C 顺时针旋转90°得到CE ，△△DCE ＝90°，CD ＝CE ，△△CDE 为等腰直角三角形，△EDC ＝45°，△△ADC ＝△B +△BCD ，即△ADF +△EDC ＝△B +△BCD ，△△ADF ＝△BCD ，而△DAF ＝△B ，△△ADF △△BCD ，△AF ADBD BC ==， △AF 43=．故答案为：43．【点拨】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了相似三角形的判定与性质．12．△△△【分析】利用直角三角形的判定直接进行判断即可．解：△△三角形内角和是180°，由△知△A +△B =90°，△△ACB =180°-（△A +△B ）=180°-90°=90°，△△ABC 是直角三角形．故选项△正确．△AB ，AC ，BC 分别为△ABC 三个边，由勾股定理的逆定理可知，△正确．△题目所给的比例线段不是△ACB 和△CDB 的对应边，且夹角不相等，无法证明△ACB 与△CDB 相似，也就不能得到△ACB 是直角，故△错误；△若△ABC 是直角三角形，已知CD △AB ，△90ADC BDC ∠=∠=︒，又△CD 2=AD •BD ，（即=CD BD AD CD）， △△ACD △△CBD ，△△ACD =△B ，△△ACB =△ACD +△DCB =△B +△DCB =90°，△ABC 是直角三角形，△故选项△正确；故答案为：△△△．【点拨】本题考查了直角三角形的判定，勾股定理逆定理，相似三角形的判定和性质的知识，解题的关键是了两锐角互余的三角形是直角三角形、勾股定理逆定理、相似三角形的判定和性质，难度不大．13 【分析】在BE 上截取BG =CF ，连接OG ，证明△OBG △△OCF ，则OG =OF ，△BOG =△COF ，得出等腰直角三角形GOF ，在Rt △BCE 中，根据射影定理求得GF 的长，即可求得OF 的长．解：：如图，在BE 上截取BG =CF ，连接OG ，△Rt △BCE 中，CF △BE ，△△EBC =△ECF ，△△OBC =△OCD =45°，△△OBG =△OCF ，在△OBG 与△OCF 中OB OC OBG OCF BG CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△OBG △△OCF （SAS ）△OG =OF ，△BOG =△COF ，△OG △OF ，在Rt △BCE 中，BC =DC =2，DE =2EC ，△EC =23，△BE == △△BFC =△BCE ，△FBC =△CBE ，△△BFC △△BCE ， △BF BC BC BE= △BC 2=BF •BE ，则22BF =BF△EF =BE -BF= △△BFC =△EFC ，△FBC =△FCE ，△△BFC △△CFE ， △BF CF CF EF= △CF 2=BF •EF25=， △CF△GF =BF -BG =BF -CF= 在等腰直角△OGF 中OF=．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定以及相似三角形的性质及判定、勾股定理的应用．14．163【分析】证明△ADC △△CDB ，根据相似三角形的性质求出CD 、BD ，根据勾股定理求出BC ．解：△△ACB ＝90°，△△ACD ＋△BCD ＝90°，△CD △AB ，△△A ＋△ACD ＝90°，△△A ＝△BCD ，又△ADC ＝△CDB ，△△ADC △△CDB ， △AD CD CD DB=， ADC CDB C AD C CD∆∆=， △32AD CD =，即832CD =，解得，CD ＝163，故答案为：163【点拨】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．15．12011【分析】（1）过点A 作AG BC ⊥于点G ，由旋转的性质知△≌△Rt ABC Rt ADE ，设AB a ，则AC 2a =，,2====AD AB a AE AC a，==BC DE ，由Rt ABC Rt GBA ∽，可得==GB2==BD GB（2）过A 点作∥AM BC 交DE 于点M ，由=AM AF CD CF可解．解：（1）如图，过点A 作AG BC ⊥于点G ．设AB a ，则AC 2a =．由旋转的性质知△≌△Rt ABC Rt ADE ，△,2====AD AB a AE AC a ．在Rt ABC 中，====BC DE ．△90,∠=︒⊥BAC AG BC ，△B =△B△Rt ABC Rt GBA ∽．△AB BC GB BA =，即=a GB ，得==GB △,=⊥AB AD AG BD ，△2==BD GB△5==BD AD a ，（2）如图，过A 点作∥AM BC 交DE 于点M ．由（1）知10,20,=======∠=∠AB AD AC AE BC DE BD ABD ADB ．△=-==DC BC BD△△≌△Rt ABC Rt ADE ，△∠=∠ABD ADM ，△∥AM BC ，△,∠=∠∽MAD ADB AMF CDF ．△∠=∠MAD ADM ．△AM DM =．△90,90︒∠+︒∠=∠+∠=MAD EAM ADM E ，△∠=∠EAM E ．△1122====⨯AM EM DM DE △=AM AF CD CF，20-=CF CF ，解得12011=CF ，故答案为：12011【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．16．△B =△D 或△C =△AED 或AB AD =AC AE（答其中一个即可）【分析】要使△ABC △△ADE ，在这两三角形中，由△1=△2可知△BAC =△DAE ，还需的条件可以是△B =△D 或△C =△AED 或 AB AD =AC AE 解：这个条件为：△B =△D△△1=△2，△△BAC =△DAE△△B =△D ，△△ABC △△ADE（或△C =△AED 或 AB AD =AC AE也可）【点拨】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解答本题的关键．17．△B=△E （答案不唯一）．【分析】根据两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可得添加条件：△B=△E．解：添加条件：△B=△E；△AB BCAE ED=，△B=△E，△△ABC△△AED，故答案为：△B=△E（答案不唯一）．【点拨】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定定理．18．5【分析】根据勾股定理可求出CD的长，由△A+△ACD=90°，△BCD+△ACD=90°可证明△A=△BCD，即可证明△BCD△△ACD，根据相似三角形的性质求出AD即可.解：△BC=BD1=．△△A+△ACD=90°，△BCD+△ACD=90°，△△A=△BCD，△△BDC=△CDA=90°，△△BCD△△ACD，△AD：CD=CD：BD，△AD=2 CDBD=5.故答案为5.【点拨】本题考查相似三角形的判定及性质，两角对应相等，两三角形相似；两三角形相似，对应边成比例，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.19．10【分析】延长EO交AB于G，根据ASA可证△DOE△△BOG，可得BG=DE，则d即为FG的长；过O点作OH△AB于H，OI△BC于I，可得△OHG△△OIF，设BG=x，用x 表示出BF，再根据函数的最值即可求解．解：延长EO 交AB 于G ，连接GF ，△四边形ABCD 是矩形，△OB =OD ，AB △CD ，△△OBG =△ODE ，在△DOE 与△BOG 中，ODE OBG OD OBDOE BOG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△DOE △△BOG （ASA ），△BG =DE ，△d=FG ，过O 点作OH △AB 于H ，OI △BC 于I ，△四边形HBIO 是矩形，△△OHG =△OIB =△HOI =90°，△△OIF =90°=△OHG ，△△EOF =90°，△△GOF =180°-90°=90°，△△HOG =△IOF ，△△OHG △△OIF ， △IF IO HG HO=， △O 为AC 的中点，HO △BC ，△HO =12BC ，同理IO =12AB ， △AB =12，BC =16，△34IF IO HG HO ==，设BG =x ，则HG =6-x ，IF =9324x -， BF =9325382424x x +-=-， d△0≤x ≤6，△当x =6时，d 最小为10，故答案为：10．【点拨】此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是设BG =x ，用x 表示出BF ．20．△△##△△【分析】先证明2,45,,2ABAC BC B ACB ADE AED AD AE ,BAD CAE ≌ 再证明45,,DAG EAG DG EG 若,AC CD = 可得AC 平分,EAH 与题干信息不符，可判断△不符合题意；再证明,ADF ACD ∽ 可得,AD AF AC AD 而2,2AC BC 可判断△符合题意；如图，连接EH ，求解352310,DE 设,,BD CE x CH y 再建立方程组2222225,5310x y x y 可判断△符合题意；证明,HAD HBA ∽ 可得2,AH DH HB若2AH DH AC =⋅，则,HB AC 与题干信息不符，可判断△不符合题意；从而可得答案．解：△90BAC DAE ∠=∠=︒，△,BAD CAE ∠=∠△等腰直角三角形ABC 和等腰直角三角形ADE ， △2,45,,2AB AC BC B ACB ADE AED AD AE,BAD CAE ∴≌△45,90,,ACE BCE BD CE△,,AH DE ADAE △45,,DAGEAG DG EG45,EAC CAH若,AC CD = 11804567.5,2CDA CAD△67.54522.5,CAH CAE △AC 平分,EAH 与题干信息不符，故△不符合题意； △45,,ADE ACB DAF CAD △,ADF ACD ∽ △,ADAF AC AD △2,AD AC AF 而2,2ACBC 2BC AF =⋅，故△符合题意；如图，连接EH ，由,,AHDE DG EG △5,DHEH△,90,AD AE DAE =∠=︒ △352310,DE 设,,BD CEx CH y 2222225,5310x y x y解得：3,4x y 即BD =3，故△符合题意；△45,,DAH B AHD AHB ,HAD HBA ∽,HADH HBAH 2,AH DH HB若2AH DH AC =⋅，则,HBAC 与题干信息不符，故△不符合题意；故答案为：△△ 【点拨】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作出适当的辅助线，构建直角三角形是解本题的关键．21．(1)证明见解析(2)20︒【分析】（1）根据两边对应成比例，且夹角相等，两个三角形相似，即可证明．（2）根据（1）中ABC AED ∽△△，得出ADB ACB ∠=∠，再根据对顶角相等，AFD BFC ∠=∠，证得AFD BFC ∽△△，得出CBD CAD BAE ∠=∠=∠，即可求解．解：（1）△BAE CAD ∠=∠△BAE EAF CAD EAF ∠+∠=∠+∠，△BAC DAE ∠=∠，AB AC AE AD =，△在ABC 和AED 中，AB AC AE AD BAC DAE⎧=⎪⎨⎪∠=∠⎩，△ABC AED ∽△△．（2）△ABC AED ∽△△，△ADB ACB ∠=∠，又△AFD BFC ∠=∠，对顶角相等，△AFD BFC ∽△△，△CBD CAD ∠=∠，△BAE CAD ∠=∠，20BAE ∠=︒，△20CAD ∠=︒，故答案为：20︒．【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．22．(1)见详解(2)67.5°【分析】（1）根据△DAB ＝△EAC ，得△DAE ＝△BAC ，从而证明结论；（2）根据平行线的性质得△AED ＝△EAC ，利用△ABC △△ADE ，得△AED ＝△C ，从而有△EAC ＝△C ，再利用三角形内角和定理可得答案．(1)证明：△△EAC ＝△DAB ，△△BAC ＝△DAE ，△△B ＝△D ，△△ABC △△ADE ；(2)解：△AC △DE ，△△AED ＝△EAC ，△△ABC △△ADE ，△△AED ＝△C ，△△EAC ＝△C ，△△AEC ＝45°，△△C ＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°，△△C 的度数为67.5°．【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，平行线的性质等知识，证明△EAC ＝△C 是解题的关键．23．(1)25cm(2)245cm【分析】（1）先证ABC DBE ，利用相似三角形周长比等于相似比得53ABC BED ∆=∆的周长的周长，设△ABC 的周长为5k cm ，△BED 的周长为3k cm ．再根据两三我周长差为10cm ，列方程求解得出k 值，即可求解；（2）根据ABC DBE ，得252539ABC BED S S ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭，设225cm ABC S p ∆=，29cm BED S p =，再根据两三角形面积之和为1702cm ，列方程求解得出p 值，即可求解；(1)解：△53AB BC AC BD BE DE ===， △ABC DBE ， △53ABC BED ∆=∆的周长的周长．设△ABC 的周长为5k cm ，△BED 的周长为3k cm ．△5310k k -=，解得5k =，△△ABC 的周长为()525cm k =．(2)解：由（1）知：ABC DBE ， △252539ABC BED S S ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭，设225cm ABC S p ∆=，29cm BED S p =，△259170p p +=，解得5p =，△245cm BED S ∆=．【点拨】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方是解题的关键．24．(1)见解析(2)成立，证明见解析【分析】（1）由直角三角形的性质证出△CDN =△ADM ，△MAD =△ACD ，由相似三角形的判定可得出结论；（2）证明△AEM △△ADN ，由相似三角形的性质可得出结论AE AM AD AN=． (1)证明：△AD 为Rt △ABC 中BC 边上的高，△AD △BC ，△△ADC =90°，△△ADN +△CDN =90°，△△ADN +△ADM =90°，△△CDN =△ADM ，又△△BAC =90°，△△MAD +△DAC =90°，△△DAC +△ACD =90°，△△MAD =△ACD ，△△AMD △△CND ；(2)解：成立．证明：△EF △BC ，△△EAD =△ADC =90°，△△BAC =90°，△△EAM =△DAN ，△△EDF 为等腰直角三角形，△△E =45°，△△ADE =△ADF =45°，△△AEM △△ADN ，△AE AM AD AN=．【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，直角三角形的性质，证明△AEM △△ADN 是解题的关键．25．(1)BD CE ，证明见解析(2) 【分析】（1）由△ACB =△AED =90°，AC =BC ，AE =DE ，得到△BAC =△DAE =45°，AB AD AC AE =进一步证得△ABD △△ACE ，得到BD AB CE AC==（2）当点D 落在线段AC 上时，如图3，先求得AD =2，得到CD ＝1，BD ，再证明△BAD △△CAE ，进一步证得△ABD △△FCD ，AB BD CF CD=，由勾股定理求得AB ＝即可求得解：(1)BD CE ．证明：△△ACB =△AED =90°，AC =BC ，AE =DE ，△△BAC =△DAE =45°，AB AD AC AE == △△BAD =△CAE ．△△ABD △△ACE ，△BD AB CE AC= △BD．(2)解：当点D 落在线段AC 上时，如图3，则AD =2，△CD =AC －AD =3-2=1，△BD=，△△BAD =△CAE =45°，AB AD AC AE == △△BAD △△CAE .△△ABD ＝△ACE ，△△BDA ＝△CDF ，△△ABD △△FCD ， △AB BD CF CD=，△AB===△. 【点拨】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键．26．(1)见解析(2)16(3)43【分析】（1）利用SAS 证明△ADF △△CDE ，则△ADF ＝△CDE ，得△FDE ＝△ADC ＝90°；（2）由△BGE ＝2△BFE ，△BGE ＝△BFE +△GEF ，得△GFE ＝△GEF ，则GF ＝GE ，可求出AB ＝4，从而得出答案；（3）过点H 作HP △HC 交CB 的延长线于点P ，证明HDC HEP ≅，进而得出△HCD =△HPE =45°，过点H 作MN //AD ，交AB 于M ，CD 于N ，则HNC △是等腰直角三角形，即可得出HN ＝CN ＝3，MH ＝1，得HD =MH //AD ，得14MH GH AD DG ==，则GD = (1)证明：△四边形ABCD 是正方形，△AD ＝CD ，△DAF ＝△DCE ＝90°，△CE ＝AF ，△△ADF △△CDE （SAS ），△△ADF ＝△CDE ，△△FDE ＝△ADC ＝90°，△DE△DF；(2)解：△△BGE＝2△BFE，△BGE＝△BFE+△GEF，△△GFE＝△GEF，△GF＝GE，△BE+BG+EG＝BE+AB+CE＝2AB＝8，△AB＝4，△S正方形ABCD＝4×4＝16，△△ADF△△CDE，△S△ADF＝S△CDE，△四边形DEBF的面积＝S正方形ABCD＝16；(3)解：过点H作HP△HC交CB的延长线于点P，△DE△DF，DF＝DE，△△DEF是等腰直角三角形，△GE＝GF，DF＝DE，△DG垂直平分EF，△△DHE＝△DCE＝90°，△△DHE-△EHC=△PHC-△EHC，即△DHC=△EHP，△在四边形DHEC中，△HDC+△HEC=180°，△HEC+△HEP=180°,△△HEP=△HDC，,DHC EHP DH EH HDC HEP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩(ASA)HDC HEP ∴≅△PH HC =，△HCD =△HPE ，PHC ∴是等腰直角三角形，∴△HCD =△HPE =45°，过点H 作MN //AD ，交AB 于M ，CD 于N ，则HNC △是等腰直角三角形，△CH ＝△HN ＝CN ＝3，MH ＝1，△HD△MH //AD ，△△GHM △△GDF ， △14MH GH AD DG ==， △GD △AG 43===． △AG 的长为43．【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．。

《相似三角形》经典练习题(附答案)

《相似三角形》经典练习题(附答案)相似三角形经典练习题(附答案)1. 题目描述：已知∆ABC中，∠ABC = 45°，∠ACB = 90°，D是BC边上的一点，且AD = BC，EF是三角形ABC中点AD上的高线，垂足为H。

求证：∆EFH与∆ABC相似。

2. 题目分析：本题要求证明∆EFH与∆ABC相似。

考察题目中给出的条件，包括∠ABC = 45°，∠ACB = 90°，AD = BC。

通过分析给出的图形，可以发现EF为∆ABC的中位线，并垂直于BC，因此可以猜测∆EFH与∆ABC相似。

接下来，我们将通过推理和证明来验证这一猜想。

3. 解题过程：首先，我们需要证明∆EFH与∆ABC的三个对应角相等。

由于∠ACB = 90°，∠EFH为∆ABC的直角三角形EFH的内角，因此∠EFH = 90°。

我们知道∠ABC = 45°，而∠BAF为∆ABC的直角三角形BAF的内角，因此∠BAF = 90° - ∠ABC = 90° - 45° = 45°。

同理，∠FBH也为∆ABC的直角三角形FBH的内角，∠FBH = 90°- 45° = 45°。

综上，∠EFH = ∠BAF = ∠FBH = 45°。

其次，我们需要证明∆EFH与∆ABC的三个对应边成比例。

根据题目中给出的条件AD = BC，可以得到∆ABC与∆DEF的对应边AD与EF相等。

由于EF为∆ABC的中位线，根据中位线定理可知，EF = 0.5 * BC。

由已知条件AD = BC，可得EF = 0.5 * AD，即EF与AD成比例。

最后，我们可以得出结论，∆EFH与∆ABC相似。

4. 答案验证：为了进一步验证我们的结论，我们可以观察图形，并利用给出的条件进行验证。

根据题目中的图形描述，我们可以画出如下示意图：A/|/ |/ |B───C| |D || |E───F|H根据题目给出的条件：∠ABC = 45°，∠ACB = 90°，AD = BC，我们可以通过实际计算验证∆EFH与∆ABC的相似性。

相似三角形(8大题型)(48道压轴题专练)(原卷版)—2024-2025学年九年级数学上册单元速记巧

相似三角形（8大题型）（48道压轴题专练）压轴题型一相似形压轴题型1．（20-21九年级上·重庆渝中·期末）如图，△ABC 三个顶点的坐标分别是A （－2，2），B （－4，1），C （－1，－1）．以点C 为位似中心，在x 轴下方作△ABC 的位似图形△A'B'C ．并把△ABC 的边长放大为原来的2倍，那么点A'的坐标为( )A ．（1，－6）B ．（1，－7）C ．（2，－6）D ．（2，－7）2．（23-24八年级下·山东淄博·(2)ABCD AD AB AD <<纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，在余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形．若剪去两个菱形后余下的平行四边形与原平行四边形ABCD 相似，则平行四边形ABCD 的相邻两边AD 与AB 的比值是．3．（2024·湖北武汉·一模）如图是由小正方形组成的网格，四边形ABCD的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在所给定的网格中按要求完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．(1)在图1中，先以点A为位似中心，将四边形ABCD缩小为原来的12，画出缩小后的四边形111AB C D，再在AB上画点E，使得DE平分四边形ABCD的周长；(2)在图2中，先在AB上画点F，使得CF BC=，再分别在AD，AB上画点M，N，使得四边形BCMN 是平行四边形．4．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）形状相同（即长与宽之比相等）的矩形是相似矩形，已知一个矩形长为()1a a³，宽为1．一分为二（1）如图1，将矩形分割为一个正方形（阴影部分）和小矩形，小矩形恰与原矩形相似，则a的值为______．（2）如图2，将矩形分割为两个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似，则a的值为______．一分为多（3）有同学说“无论a为何值，该矩形总可以分割为几个小矩形，这几个小矩形都与原矩形相似”，你同意这个说法吗？若同意，在图3中画出一种可行的分割方案；若不同意，举出反例．一分为三（4）将矩形分割为三个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似．画出所有可能的分割方案的示意图，并在每个示意图下方直接写出对应的a 的值．5．（20-21八年级下·山东淄博·期末）如图，四边形ABCD ∽四边形A B C D ¢¢¢¢，且62A Ð=°，75B Ð=°，140D Ð¢=°，9AD =，11A B ¢¢=，6A D ¢¢=，8B C ¢¢=．(1)请直接写出：C Ð= 度；(2)求边AB 和BC 的长．6．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，ABC V 的三个顶点坐标分别为()1,1A ，()3,2B ，()2,3C （每个方格的边长均为1个单位长度），请按下列要求画图：(1)111A B C △与ABC V 关于原点O 成中心对称，画出111A B C △并写出点1A 的坐标；(2)以原点O 为位似中心，相似比为2，在第一象限内将ABC V 放大，画出放大后的222A B C △并写出点2B 的坐标；(3)根据信息回答问题：已知ABC V 的面积为32，AB ，请直接写出222A B C △的面积和22A B 边上的高的值．压轴题型二比例线段压轴题型1．（2020古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底0.618≈，称为黄金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是（）A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm2．（2024·四川乐山·一模）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G 将线段MN 分为两线段MG ，GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与较短的一段GN 的比例中项，即满足MG GN MN MG ==这个数称为“黄金分割”数，把点G 称为线段MN 的“黄金分割”点．如图，在ABC V 中，已知3AB AC ==，4BC =，若D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点，则ADE V 的面积为．3．（23-24八年级下·贵州六盘水·期末）已知a ，b ，c ，d ，e ，f 六个数，如果()0a c e k b d f b d f ===++¹，那么a c e k b d f++=++．理由如下：∵()0a c e k b d f b d f===++¹∴a bk =，c dk =，e fk =（第一步）∴()k b d f a c e bk dk fk k b d f b d f b d f++++++===++++++（第二步）(1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中，()k b d f k b d f ++=++应用了______的基本性质；(2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题：①如果22567a b c ===，则218a b c ++=______；②已知0345x y z ==¹，求23x y z x y z -++-的值．4．（23-24九年级上··的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD 的宽1AB =．(1)黄金矩形ABCD 的长BC = ；(2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB 为边的正方形ABEF ，得到新的矩形DCEF ，猜想矩形DCEF 是否为黄金矩形，并证明你的结论；(3)在图②中，连接AE ，求点D 到线段AE 的距离．5．（22-23九年级上·浙江·周测）若实数a b c ，，满足a b c b c a a c b c a b +-+-+-==，求()()()a b b c a c abc+×+×+的值．6．（23-24九年级下·山东淄博·期末）已知a ，b ，c ，d 为四个不为0的数．(1)如果3a b =，求a b b +与a b a b -+的值；(2)如果(),a c a b c d b d =¹¹，求证a c b a d c =--；(3)如果a c a b d b +=+，求证a c b d=．压轴题型三相似三角形的判定压轴题型1．（21-22九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE ^F ，连接DF ，分析下列四个结论，①AEF CAB △∽△，②CF 2AF =；③DF DC =；④CD AC =．其中正确的结论有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．（2024·广东深圳·二模）如图，在等腰直角ABC V 中，4AB BC ==，D 为BC 上一点，E 为BC 延长线上一点，且45DAE =°∠，2AE AD =，则BD = ．3．（2024·广东梅州·模拟预测）（1）如图1，在矩形ABCD 中，点C ，D 分别在边DC ，BC 上，AB AB ^，垂足为点G ．求证：ADE DCF ∽V V ．【问题解决】（2）如图2，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边DC ，BC 上，AE DF =，延长BC 到点H ，使CH DE =，连接DH ．求证：ADF H Ð=Ð．【类比迁移】（3）如图3，在菱形ABCD 中，E F 分别在边DC ，BC 上，10AE DF ==，7DE =，60AED Ð=°，求CF 的长．4．（2024·山西晋中·二模）综合与实践问题情境：数学活动课上，老师要求同学们以正方形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论．如图1，正方形ABCD 中，4AB =，点E ，F 分别是边AB ，AD 的中点，连接EF ，点G 是线段EF 上的一个动点，连接AG ，将线段AG 绕点A 逆时针方向旋转90°，得到AH ，连接HD ，GB ．猜想证明：（1）针对老师给出的问题背景，“智慧小组”发现GB HD =，请你证明这一结论；操作探究：（2）“善思小组”提出问题：如图2，当点G 为线段EF 的中点时，连接FH ，试判断四边形AGFH 的形状，并说明理由；深入探究：（3）“创新小组”BG 与直线DH 交于点M ，当AHD V 为直角三角形时，请直接写出四边形AGMH 的面积．5．（2024·安徽蚌埠·一模）如图1，在四边形ABCD 中，120ABC Ð=°，60ADC Ð=°，对角线AC ，BD 相交于点O ，且AC AD =，BD 平分ABC Ð．(1)求证：DB AB CB =+；(2)如图2，过点D 作DE AB ∥，使DE BC =，连接AE ，取AE 中点 F ，连接DF ，求证：22AC DF OD =×．6．（23-24九年级上·湖南常德·期中）（1）如图1，在四边形ABCD 中，90BAD BCD Ð=Ð=°，连接AC BD ，，过点A 作AE AC ^交CB 的延长线于点E ，求证：E ACD Ð=Ð．（2）如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，（1）中的其它条件不变，点M ，N 分别是BD EC ，的中点，连接AN AM ，，MN ．①求证：AE AC =﹔②求证：N ABE AM ∽△△．压轴题型四相似三角形的性质压轴题型1．（22-23九年级上·上海长宁·期中）已知点D 在ABC V 的边BC 上，联结AD ，如果ABD △与ACD V 相似，那么下列四个说法：①BAD C Ð=Ð；②AD BC ^；③2AD BD CD =×；④22AB BD AC CD =．一定成立的是（）．A ．②④B ．①③C ．①②③D ．②③④2．（2024·上海浦东新·三模）如图，在ABC V 中，3AC BC ==，90C Ð=°，点D 在边BC 上（不与点B ，点C 重合），连接AD ，点E 在边AB 上，EDB ADC Ð=Ð．已知点H 在射线AC 上，连接EH 交线段AD 于点G ，当1CH =，且AEH BED Ð=Ð时，则BE AB = ．3．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图1，矩形ABCD ，点E ，点F 分别为AD ，BC 上的点，将矩形沿EF 折叠，使点B 的对应点B ¢落在CD 上，连接BB ¢．(1)如图2，当点B ¢与点D 重合时，连接BE ，试判断四边形BEB F ¢的形状，并说明理由；(2)若6AB =，8BC =，求折痕EF 的最大值．4．（23-24八年级下·山东东营·期末）综合与探究(1)如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC CD ，上，且AE BF ^，则线段AE 与BF 的之间的数量关系为_____________；(2)【类比探究】如图2，在矩形ABCD 中，35AB AD ==，，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且AE BF ^，请写出线段AE 与BF 的数量关系，并证明你的结论．(3)【拓展延伸】如图3，在Rt ABC V 中，9046ABC AB BC Ð=°==，，，D 为BC 上一点，且2BD =，连接AD ，过点B 作BE AD ^于点F ，交AC 于点E ，求BE 的长．5．（23-24九年级下·广西南宁·阶段练习）已知等边ABC V ，以AC 为斜边向外作Rt ACD △，定义Rt ACD △为等边ABC V 的“关联直角三角形”，连接BD 交AC 于点E ，下面我们来研究与DE BE的值有关的问题．(1)如图①，当“关联直角三角形”是等腰直角三角形时，DE BE的值为______；(2)如图②，当“关联直角三角形”是含30°的直角三角形时，求DE BE的值；(3)如图③，当“关联直角三角形”是一般的直角三角形时，若16,3DE AB BE ==，求BD 的值．6．（2024·安徽·中考真题）如图1，ABCD Y 的对角线AC 与BD 交于点O ，点M ，N 分别在边AD ，BC 上，且AM CN =．点E ，F 分别是BD 与AN ，CM 的交点．(1)求证：OE OF =；(2)连接BM 交AC 于点H ，连接HE ，HF ．（ⅰ）如图2，若HE AB ∥，求证：HF AD ∥；（ⅱ）如图3，若ABCD Y 为菱形，且2MD AM =，60EHF Ð=°，求AC BD 的值．压轴题型五相似三角形的应用压轴题型1．（2024·浙江温州·三模）图1是《九章算术》中记载的“测井深”示意图，译文指出：“如图2，今有井直径CD 为5尺，不知其深AD ．立5尺长的木CE 于井上，从木的末梢E 点观察井水水岸A 处，测得“入径CF ”为4寸，问井深AD 是多少？（其中1尺10=寸）”根据译文信息，则井深AD 为（）A ．500寸B ．525寸C ．550寸D ．575寸2．（2022·浙江金华·一模）将一本高为17cm （即17cm EF =）的词典放入高（AB ）为16cm 的收纳盒中（如图1）．恰好能盖上盒盖时，测得底部F 离收纳盒最左端B 处8cm ，若此时将词典无滑动向右倒，书角H 的对应点H ¢恰为CD 中点．（1）收纳盒的长BC = ；（2）现将若干本同样的词典放入此有盖的收纳盒中，如图2放置，则最多有本书可与边BC 有公共点．3．（2024·江苏南京·一模）在光学中，由实际光线会聚成的像，称为实像，而光线能会聚的是因为折射．图中，凸透镜EF 的焦距为f ，主光轴l EF ^，A ，B ，C ，D 都在l 上，其中O 是光心，2OB OD f ==，蜡烛PQ l ^（蜡烛可移动，且OQ f >），光线PG l ∥，其折射光线GC 与另一条经过光心的光线PP ¢相交于点P ¢（P Q l ¢¢^）即为蜡烛在光屏上所成的实像．图中所有点都在同一平面内．记物高()PQ 为h ，像高()P Q ¢¢为h ¢，物距()OQ ，像距()OQ ¢为v ．(1)若10cm f =，10cm h =，15cm u =，=v cm ．(2)求证111u v f+=．(3)当f 一定时，画出v 与u 之间的函数图象()u f >，并结合图象描述v 是怎么随着u 的变化而变化的？4．（23-24九年级上·河北邢台·1，小红家的阳台上放置了一个晒衣架，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB 、CD 相交于点O ，B 、D 两点在地面上，经测量得到136cm AB CD ==，51cm OA OC ==，34cm OE OF ==，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF 成一条线段．发现：连接AC ．则AC 与EF 有何位置关系?并说明理由；探究：若32cm EF =，求利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上?5．（22-23九年级上·浙江·单元测试）如图，Rt ABC V 为一块铁板余料，90B Ð=°，6cm BC =，8cm AB =，要把它加工成正方形小铁板，有如图所示的两种加工方案，请你分别计算这两种加工方案的正方形的边长．6．（2022九年级·全国·专题练习）阅读理解：如图1，AD 是△ABC 的高，点E 、F 分别在AB 和AC 边上，且EF //BC ，可以得到以下结论：AH EF AD BC=．拓展应用：(1)如图2，在△ABC 中，BC ＝3，BC 边上的高为4，在△ABC 内放一个正方形EFGM ，使其一边GM 在BC 上，点E 、F 分别在AB 、AC 上，则正方形EFGM 的边长是多少？(2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm ，底边长为160cm 的等腰三角形展台．现需将展台用隔板沿平行于底边，每间隔10cm 分隔出一排，再将每一排尽可能多的分隔成若干个无盖正方体格子，要求每个正方体格子内放置一瓶葡萄酒．平面设计图如图3所示，将底边BC 的长度看作是0排隔板的长度．①在分隔的过程中发现，当正方体间的隔板厚度忽略不计时，每排的隔板长度（单位：厘米）随着排数（单位：排）的变化而变化．请完成下表：排数/排0123…隔板长度/厘米160__________________…若用n 表示排数，y 表示每排的隔板长度，试求出y 与n 的关系式；②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？压轴题型六重心的性质压轴题型1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，点G 是ABC V 的重心，过点G 作MN BC ∥分别交AB AC ，于点M ，N ，过点N 作ND AB ∥交BC 于点D ，则四边形BDNM 与ABC V 的面积之比是（）A ．1:2B ．2:3C ．4:9D ．7:92．（2023·上海·一模）在Rt ABC △中，9030B BAC BC Ð=°Ð=°=，，1，以AC 为边在ABC V 外作等边ACD V ，设点E 、F 分别是ABC V 和ACD V 的重心，则两重心E 与F 之间的距离是．3．（2024·江苏盐城·中考真题）如图1，E 、F 、G 、H 分别是平行四边形ABCD 各边的中点，连接AF CE 、交于点M ，连接AG 、CH 交于点N ，将四边形AMCN 称为平行四边形ABCD 的“中顶点四边形”．(1)求证：中顶点四边形AMCN 为平行四边形；(2)①如图2，连接AC BD 、交于点O ，可得M 、N 两点都在BD 上，当平行四边形ABCD 满足________时，中顶点四边形AMCN 是菱形；②如图3，已知矩形AMCN 为某平行四边形的中顶点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法）4．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）作图．(1)直尺作图：如图1，已知D 、E 分别为AB 、AC 中点，过点A 作AF 平分ABC V 面积；(2)直尺作图：如图2，已知AD BC ∥，在四边形ABCD 中作一点O ，使AOB COD S S =△△；(3)尺规作图：如图3，已知D 为AC 中点，点M 在BC ，在AC 上作点N 使MN 平分ABC V 面积．5．（2024·辽宁丹东·二模）阅读与思考：三角形的重心定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心．三角形重心的一个重要性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的13．下面是小明证明性质的过程．如图，在ABC V 中，D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，AD 、BE 相交于点G ，求证：13GE GD BE AD ==证明：连接ED ，∵D ，E 是边BC ，AC 的中点，∴DE AB ∥，12DE AB =（依据1）∴ABG DEGV V ∽∴12GE GD DE GB GA AB ===（依据2）∴13GE GD BE AD ==(1)任务一，在小明的证明过程中，依据1和依据2的内容分别是：依据1：______________________依据2：______________________(2)应用①如图，在ABC V 中，点G 是ABC V 中的重心，连接AG 并延长交BC 与点E ，若 3.5GE =，求AG 长．②在ABC V 中，中线AD 、BE 相交于点O ，若ABC V 的面积等于30，求BOD V 的面积．6．（2024·河南周口·三模）（1）古往今来，人们在生产和生活中对三角形的应用层出不穷，三角形也是我们平时研究的重点，如图1，已知ABC V 是等边三角形． P 是ABC V 的重心，连接BP CP ，并延长分别交边AC AB ，于点E ，D ．试判断：①BPD Ð的度数为；②线段PB PD PE ，，之间的数量关系：PB PD PE +；（填写“>”“<”或“=”）（2）如图2，若在等边ABC V 中，点E 是射线AC 上一动点（其中点E 不与点A 重合，且12CE AC <），连接BE ，作边BA 关于直线 BE 的对称线段 BD ，直线CD ，BE 相交于点 P ，试探究线段PB PC PD ，，的数量关系，并说明理由．压轴题型七平面向量的线性运算压轴题型1．（23-24九年级上·上海·期中）下列判断不正确的是（）A ．()222a b a b +=+r r r r ；B ．如果向量a r 与b r 均为单位向量，那么a b =r r 或a b =-r r ；C ．如果a b =r r ，那么a b =r r ；D ．对于非零向量b r ，如果()0a k b k =×¹r r ，那么a b r r P ．2．（2024·上海普陀·二模）如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，过点A 作AE DC ∥分别交BD 、BC 于点F 、E ，23BE BC =，设AD a =uuu r r ，AB b =uuu r r ，那么向量FE uuu r 用向量a r 、b r 表示为．3．（23-24八年级下·上海崇明·期末）如图，点E 在平行四边形ABCD 的对角线BD 的延长线上．(1)填空：BA AB +uuu r uuu r ＝，BA AE ED DC +++uuu r uuu r uuu r uuu r ＝；(2)图中与AB uuu r 相等的向量是，与AD uuu r 相反的向量是；(3)求作：DC DE +uuu r uuu r （不写作法，保留作图痕迹，写出结论）．4．（23-24八年级下·上海·期末）如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，点O 是对角线AC 的中点，DO 的延长线与BC 相交于点E ，设AB a uuu r r =，AD b =uuu r r ，BE c =uuu r r ．(1)试用向量a r 、b r 、c r 表示向量：ED =uuu r ______；(2)写出图中所有与AD uuu r 互为相反向量的向量：______；(3)求作：AD OC +uuu r uuu r．（画出所求向量，并直接写出结论）5．（23-24八年级下·上海闵行·期末）如图，已知梯形ABCD 中，AB DC P ，点E 在AB 上，ED BC ∥．(1)填空：BE ED DC CB +++=uuu r uuu r uuu r uuu r ，(2)填空：BA AD DC EA ++-=uuu r uuu r uuu r uuu r ；(3)在图中直接作出AE ED AB +-uuu r uuu r uuu r ．（不写作法，写结论）6．（2022八年级下·上海·专题练习）如图，已知点M 是△ABC 边BC 上一点，设AB uuu r ＝a r ，AC uuu r ＝b r ．(1)当BM MC＝2时，AM uuuu r ＝______；（用a r 与b r 表示）(2)当AM uuuu r ＝4377a b +r r 时，BM MC ＝______；(3)在原图上作出AM uuuu r 在AB uuu r 、AC uuu r 上的分向量．压轴题型八相似三角形的动点问题1．（2020·山西·一模）如图，在ABC V 中，8AB AC ==，6BC =，点P 从点B 出发以1个单位长度/秒的速度向点A 运动，同时点Q 从点C 出发以2个单位长度/秒的速度向点B 运动，其中一点到达另一点即停．当以B ，P ，Q 为顶点的三角形与ABC V 相似时，运动时间为（）A ．2411秒B ．95秒C ．2411秒或95秒D ．以上均不对2．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图，在ABC V 中，90C Ð=°，3AC =，4BC =，动点P 从点B 出发以每秒1个单位长度的速度沿B A ®匀速运动；同时点Q 从点A 出发同样的速度沿A C B ®®匀速运动．当点P 到达点A 时，P 、Q 同时停止运动，设运动时间为t 秒，当t 为时，以B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形．3．（2024·吉林长春·三模）如图，在Rt ABC △中，90ABC Ð=°，8AB =，6BC =，点D 为AC 中点，动点P 从点A 出发，沿边AB 以每秒5个单位长度的速度向终点B 运动，连结DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转90°得线段DE ，连结PE ．设点P 运动的时间为t 秒．(1)用含t 的代数式表示点P 到AC 的距离为________；(2)当点E 落在ABC V 内部（不包括边界）时，求t 的取值范围；(3)当PE 与ABC V 的一边平行时，求线段PE 的长度；(4)当经过点E 与ABC V 的一个顶点的直线平分ABC V 面积时，直接写出t 的值．4．（2024·江苏苏州·二模）如图，矩形ABCD 中，4AB ＝厘米，3BC ＝厘米，点E 从A 出发沿AB BC -匀速运动，速度为1厘米/秒；同时，点F 从C 出发沿对角线CA 向A 匀速运动，速度为1厘米/秒，连接DE DF EF 、、，设运动时间为t 秒．请解答以下问题：(1)当0 2.5t ＜＜时①t 为何值时，EF AD ∥；②设DEF V 的面积为y ，求y 关于t 的函数；5．（2023·吉林松原·模拟预测）已知ABC V 中，90C Ð=°，3cm AC =，4cm CD =，BD AD =．点F 从点A 出发，沿AC CD -运动，速度为1cm/s ，同时点E 从点B 出发，沿BD DA -运动，运动速度为1cm/s ，一个点到达终点，另一点也停止运动．设AEF △ 的面积为S 2cm ，点E ，F 运动时间为t s ．(1)求BD 的长；(2)用含t 的代数式表示DE ；(3)求S 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围．6．（23-24九年级下·河北邯郸·阶段练习）如图1和2，在矩形ABCD 中，6,8AB BC ==，点K 在CD 边上．且73CK =．点M N ，分别在,AB BC 边上，且2AM CN ==．点P 从点M 出发沿折线MB BN -匀速运动，点E 在CD 边上随P 移动，且始终保持^PE AP ；点Q 从点D 出发沿DC 匀速运动，点P Q ，同时出发，点Q 的速度是点P 的一半，点P 到达点N 时停止，点Q 随之停止．设点P 移动的路程为x ．(1)当点Q 与点K 重合时，通过计算确定点P 的位置；(2)若点P 在BN 上，当BP CE =时，如图2，求x 的值；(3)在点P 沿折线MB BN -运动过程中，求点Q ，E 的距离（用含x 的式子表示）；(4)已知点P 从点M 到点B 再到点N 共用时20秒，请直接写出点K 在线段QE 上（包含端点）的总时长．。

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相似三角形专题训练-----23题几何训练
1.已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，BA · BD =BC · BE ．（1）求证： DE · AB =AC · BE
（2）如果AC 2 =AD · AB ，求证：AE=AC .
2.如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒°，CD AB ⊥，M 是CD 边上一点，
DH BM ⊥于点H ，DH 的延长线交AC 的延长线于点E ．
求证：（1）AED CBM ∆∆∽ （2）AE CM AC CD ⋅=⋅．
3.如图，已知正方形ABCD ，点E 在CB 的延长线上，联结AE 、DE ，DE 与边AB 交于点F ，FG//BE 且与AE 交于点G ．（1）求证：GF =BF
（2）在边BC 边上取点M ，使得BM =BE ，联结AM 交DE 于点O ．求证：
EF OD ED FO ⋅=⋅．
E A
B
D
C
B
A
D
C H E
M
F
E
D
C
B
A
G
4.（2012年中考题）已知：如图，在菱形ABCD 中.点E 、F 分别在边BC 、CD 上， ∠BAF=∠DAE ，AE 与BD 交于点G . （1）求证：BE=DF （2）当DF AD
FC DF
=
时，求证：四边形BEFG 是平行四边形.
5.（2014年中考题）已知：如图，梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ＝DC ，对角线AC 、BD 相交于点F ，点E 是边BC 延长线上一点，且∠CDE ＝∠ABD ．（1）求证：四边形ACED 是平行四边形（2）联结AE ，交BD 于点G ，求证：DG DF
GB DB
=
．
6.（2015年中考题）已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 在边BC 的延长线上，且OE ＝OB ，联结DE ．
(1)求证：DE ⊥BE ； (2)如果OE ⊥CD ，求证：BD ·CE ＝CD ·DE ．
O
E
D
C B A
7.已知：如图6，菱形ABCD ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ⊥DC ，垂足为点E ，交AC 于点F ．求证：（1）△ABF ∽△BED （2）DE
BD
BE AC =
．
8.在△ABC 中，点D 在BC 边上，且满足CB CD CA ⋅=2 （1）求证：BC
AC
AB AD =
（2）如图，以点A 为圆心，AB 为半径画弧交AC 的延长线于点E ，联结BE ，延长
AD 交BE 于点F .求证：
BD
AD
BF EF =
A
B
C
D
E F O
A
B
C D E
F
A
B
C
D
图1
9. 如图，已知在四边形ABCD 中，AD // BC ．E 为边CB 延长线上一点，联结DE 交边AB 于点F ，联结AC 交DE 于点G ，且FG AD
DG CE
=
（1）求证：AB // CD
（2）如果2
AD DG DE =⋅，求证：22EG AG
CE AC
=
10. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 是边BC 上的两个点，且BD =DE =EC ，过点C 作CF ∥AB 交AE 延长线于点F ，联结FD 并延长与AB 交于点G ．（1）求证：AC =2CF
（2）联结AD ，如果∠ADG ＝∠B ，求证：CF AC CD ⋅=2
A B
C
D
E
F
G
A
B
C
D
G E
F
11. 已知：如图，在四边形ABCD 中，，AB DC ab ==，CE a =，
AC b =．求证：
（1）△DEC ∽△ADC （2）AE AB BC DE =．
12. 已知：如图，在四边形ABCD 中，AB //CD ，对角线AC 、BD 交于点E ，点F 在边AB 上，联结CF 交线段BE 于点G ，（1）求证：∠ACF =∠ABD
（2）联结EF ，求证：
BAD CDA ∠=∠2CG GE GD =⋅EF CG EG CB ⋅=⋅
G
F
E C
D
A B。