高中数学：两条直线平行与垂直的判定1
高中数学人教A版选择性必修第一册两条直线平行和垂直的判定完整版课件
2.若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条
直线垂直.( × ) 3.若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行.( √ )
2 题型探究
PART TWO
一、两条直线平行的判定
例1 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B(2，－1)，C(4,2)，D(2,3)， 试判断四边形ABCD是否为平行四边形，并给出证明.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
6.若经过点(m，3)和(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是 14
__5___. 解析 由题意可知 kl＝14，又因为 kl＝2m－－m3， 所以2m－－m3＝41，解得 m＝154.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解 由题意直线CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在. kAB＝－5－m－m0＋1＝－6m－m，kCD＝0－5－－34＝21， 由于AB∥CD，所以kAB＝kCD， 即－6m－m＝21，得 m＝－2. 经验证m＝－2时直线AB的斜率存在，所以m＝－2.
二、两条直线垂直的判定
例2 已知△ABC的顶点为A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角 形，求m的值.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
3.直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为
A.(3,0)
B.(－3,0)
C.(0，－3)
√D.(0,3)
解析 设 P(0，y)，因为 l1∥l2，所以0y－＋11＝2， 所以y＝3.即P(0,3).
两条直线平行和垂直的判定-【新教材】人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册课件
作 业
难
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20
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情ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
课
景 导
判断两条不重合直线是否平行的步骤
堂 小
学
结
·
探
提
新
素
知
养
合
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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21
[跟进训练]
·
情 景
1．已知▱ABCD
的三个顶点的坐标分别为
A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，
课 堂
导
小
学 求顶点 D 的坐标．
·
结
探
提
新 知
[解]
设 D(m，n)，由题意，得 AB∥DC，AD∥BC，则有 kAB＝
作
课
探 究
所以 kAC·kAB＝－1，
堂 小
学 探
类型
斜率存在
斜率不存在
·
结 提
新 知
条件 α1＝α2_≠_9_0_°__
α1＝α2_＝__9_0°_
素 养
合
对应关系 l1∥l2⇔_k_1_＝__k2__ l1∥l2⇔两直线斜率都不存在
作
课
探
时
究
图示
分 层
释
作
疑
业
难
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8
·
情
课
景
堂
导 学
思考：如果两条直线平行，那么这两条直线的斜率一定相等吗？
素 养
合 kDC，kAD＝kBC.
作
探 究
释
01－ －10＝43－－mn ，
高二数学两条直线平行与垂直的判定1
即 l1 l2 k1k2 1
例5. 已知A(-6,0),B(3,6),P(0,3),Q(6,-6), 试判断直线AB与PQ的位置关系. 解： 直线AB的斜率k AB
直线PQ的斜率k PQ
2 , 3
3 . 2
k AB kPQ
2 3 1, 6,1、C a,4 三点共线，则a 的值等于多少?
－3
2.点M 1,2 在直线l上的射影是H 1,4 , 求直线的倾斜角? l
3.在平行四边形ABCD中,已知A 3,-2、B 5,2 、C -1,4 ， 求 D的坐标？
45
0
0 －3，
A
kBA kPQ 直线BA // PQ.
x
B
O
例4 .已知四边形ABCD的四个顶点分别为 A(0,0),B(2,-1),C(4,2),D(2,3),试判断四边形 ABCD的形状，并给出证明.
y
解：
D C
1 AB边所在直线的斜率k AB , 2 1 CD边所在直线的斜率kCD , 2 3 BC边所在直线的斜率k BC , 2 3 DA边所在直线的斜率k DA , 2
y
解：若l1 // l2 , 则1 2 tan 1 tan 2 k1 k2
l1 l2
反之，若k1 k2 , 则l1 // l2
（1)对于两条不重合的直线l1, l2，如果斜率存在,则有
1
2
l1 // l2 k1 k2
x
o
(2)直线l1和l2可能重合时，如果斜率存在，则有
x
2 1 90
o
o
1 tan 2 tan 1 90 tan 1
k1k2 1
人教版高中数学必修二课件 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
k2=_______.
解：由斜率定义，直线l的斜率k=tan 30°= 3， 3
因为l1∥l，所以k1=k=
3 3
.
因为l2⊥l,所以k2·k=-1,
所以k 2
=
1 k
=
3.
答案： 3
3
3
16
例3 已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3），Q（6， -6），试判断直线AB与PQ的位置关系.
C.0
D. 1
2
解：选A.l1,l2的斜率分别为2,-a,由l1∥l2，可知
a=-2.
12
思考3 设两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2 ,
l1 ⊥ l2时，k1与k2满足什么关系？
提示：
如图，α2 =α1 + 90o，
tanα2
=
tan(α1
+ 90o
)=
-
1 tanα1
,
即k1k2 = -1.
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
1
平面内两条直线有哪些位置关系？ 平行或相交
2
为了在平面直角坐标系内表示直线的倾斜程度， 我们引入倾斜角的概念，进而又引入了直线的斜率.
y
.
O
x
能否通过斜率来 判断两条直线的
位置关系？
3
1.理解并掌握两条直线平行与垂直的条件. （重点）
2.会运用条件判断两直线是否平行或垂直. （难点）
反之，成立,可得
y l2
l1
α1 α2
O
x
l1 l2 k1k2 = 1.
13
思考4
设两条直线l1的斜率k1 = 0,l2的斜率不存在,
l1 ⊥ l2吗？
高中数学选择性必修一(人教版)《2.1.2两条直线平行和垂直的判定》课件
图示
l1 与 l2 中的一条斜率不
对应 l1 与 l2 的斜率都存在， 存在(倾斜角为 90°)，另
关系 分别为 k1，k2，则 l1⊥ 一条斜率 为零 (倾斜 角
l2⇔ k1·k2＝－1
为 0°)，则 l1 与 l2 的位置
关系是 l1⊥l2
(二)基本知能小试
1．已知直线 l1 的斜率 k1＝2，直线 l2 的斜率 k2＝－12，则 l1 与 l2
故选 A. 答案：A
2．已知定点 A(－1,3)，B(4,2)，以 A，B 为直径作圆，与 x 轴有 交点 C，则交点 C 的坐标是_______．
解析：以线段 AB 为直径的圆与 x 轴的交点为 C， 则 AC⊥BC.设 C(x,0)，则 kAC＝x－＋31，kBC＝x－－24， 所以x－＋31·x－－24＝－1.解得 x＝1 或 2. 所以 C 的坐标为(1,0)或(2,0)． 答案：(1,0)或(2,0)
解得ab＝ ＝－ 6. 1，
所以 D(－1,6)． (2)因为 kAC＝43－ －21＝1，kBD＝－6－1－05＝－1，
所以 kAC·kBD＝－1. 所以 AC⊥BD.故平行四边形 ABCD 为菱形．
二、应用性——强调学以致用 2．如图，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，
已知矩形花园长 AD 为 5 m，宽 AB 为 3 m， 其中一条小路定为 AC，另一条小路过点 D，问如何在 BC 上 找到一点 M，使得两条小路所在直线 AC 与 DM 互相垂直？
解：由题意知 A，B，C，D 四点在坐标平面内的位置如图所示， 由斜率公式可得 kAB＝2－5－－34＝13， kCD＝－0－3－36＝13，kAD＝－30－－3－4＝－3， kBC＝36－ －52＝－12.
垂直和平行线的性质和判定
垂直和平行线的性质和判定垂直和平行线是几何学中常用的概念，它们具有独特的性质和判定条件。
本文将介绍垂直和平行线的一些基本性质，并探讨如何判定两条线是否垂直或平行。
一、垂直线的性质和判定垂直线是指两条直线相互交于一点，且交角为90度的线段。
垂直线的性质如下：1. 垂直线与平面上的任意一条直线相交，所成的角都是90度。
根据这个性质，我们可以通过观察两条线段的交角来判断它们是否垂直。
如果两条线段交角为90度，则它们是垂直线。
2. 垂直线的斜率乘积为-1。
斜率是直线的一个重要属性，可以用斜率来判断两条直线是否垂直。
对于两条直线，如果它们的斜率乘积等于-1，则说明它们是垂直线。
3. 垂直线上的点到另一条直线的距离最短。
这是垂直线的特殊性质之一，垂直线上的任意一点到另一条直线的距离都是最短的。
二、平行线的性质和判定平行线是指在同一个平面内，没有相交点，且永远保持相同的距离的直线。
平行线的性质如下：1. 平行线的斜率相等。
这是判断两条线是否平行的最常用方法。
对于两条直线，如果它们的斜率相等，则说明它们是平行线。
2. 平行线上的对应角相等。
如果两条平行线被一条横截线相交，那么对应角也是相等的。
这是平行线性质中的重要定理之一。
3. 平行线上的任意两点到另一条直线的距离相等。
这是平行线的另一个重要特性，平行线上的任意两点到另一条直线的距离都是相等的。
三、垂直和平行线的判定方法1. 通过斜率判定通过比较两条线的斜率可以判断它们的关系。
如果两条线的斜率乘积为-1，则它们是垂直线；如果两条线的斜率相等且不为无穷大，则它们是平行线。
2. 通过角度关系判定如果两条直线相交的角度为90度，则它们是垂直线。
如果两条直线被一条横截线相交，且对应角相等，则它们是平行线。
3. 通过距离判定如果两条直线上的任意一点到另一条直线的距离相等，则说明它们是平行线。
如果垂直线上的任意一点到另一条直线的距离最短，则说明它们是垂直线。
综上所述，垂直和平行线具有各自独特的性质和判定条件。
第2节 两直线的位置关系
第2节 两直线的位置关系知识梳理1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2．特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2平行． (2)两条直线垂直如果两条直线l 1，l 2斜率都存在，设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直． 2．两直线相交直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应． 相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解． 3．距离公式 (1)两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2|＝特别地，原点O (0，0)与任一点P (x ，y )的距离|OP | (2)点到直线的距离公式平面上任意一点P0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d(3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝4．对称问题(1)点P (x 0，y 0)关于点A (a ，b )的对称点为P ′(2a －x 0，2b －y 0)．(2)设点P (x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点为P ′(x ′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y ′－y 0x ′－x 0·k ＝－1，y ′＋y 02＝k ·x ′＋x 02＋b ，可求出x ′，y ′.1．两直线平行的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． 2．两直线垂直的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0.3．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)当直线l 1和l 2的斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( ) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．( ) (4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ 解析 (1)两直线l 1，l 2有可能重合．(2)如果l 1⊥l 2，若l 1的斜率k 1＝0，则l 2的斜率不存在．2．两条平行直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0之间的距离为( )A.235B.2310 C ．7 D.72 答案 D解析 由题意知a ＝6，直线3x ＋4y －12＝0可化为6x ＋8y －24＝0，所以两平行直线之间的距离为|11＋24|36＋64＝72.3．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________． 答案 －9解析 由⎩⎨⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2.∴点(1，2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0， 即m ×1＋2×2＋5＝0，∴m ＝－9.4．(2021·武汉联考)若直线ax ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋b ＝0垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b ＋c ＝( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8 答案 B解析 ∵直线ax ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋b ＝0垂直，∴－a 4×25＝－1， ∴a ＝10，∴直线ax ＋4y －2＝0的方程即为5x ＋2y －1＝0. 将点(1，c )的坐标代入上式可得5＋2c －1＝0， 解得c ＝－2.将点(1，－2)的坐标代入方程2x －5y ＋b ＝0得2－5×(－2)＋b ＝0，解得b ＝－12.∴a ＋b ＋c ＝10－12－2＝－4.故选B.5．(2020·淮南二模)设λ∈R ，则“λ＝－3”是“直线2λx ＋(λ－1)y ＝1与直线6x ＋(1－λ)y ＝4平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 A解析 当λ＝－3时，两条直线的方程分别为6x ＋4y ＋1＝0，3x ＋2y －2＝0，此时两条直线平行；若两条直线平行，则2λ×(1－λ)＝－6(1－λ)，所以λ＝－3或λ＝1，经检验，两者均符合，综上，“λ＝－3”是“直线2λx ＋(λ－1)y ＝1与直线6x ＋(1－λ)y ＝4平行”的充分不必要条件，故选A.6．(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的一个动点，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________． 答案 4解析 法一 由题意可设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋4x 0(x 0>0)， 则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋x 0＋4x 02＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＋4x 02≥22x 0·4x 02＝4，当且仅当2x 0＝4x 0，即x 0＝2时取等号．故所求最小值是4.法二 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，4x 0＋x 0(x 0>0)，则曲线在点P 处的切线的斜率为k ＝1－4x 20.令1－4x 20＝－1，结合x 0>0得x 0＝2，∴P (2，32)，曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的点P 到直线x ＋y ＝0的最短距离即为此时点P 到直线x ＋y ＝0的距离，故d min ＝|2＋32|2＝4.考点一 两直线的平行与垂直【例1】已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. (1)试判断l 1与l 2是否平行； (2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．解 (1)法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2； 当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2； 当a ≠1且a ≠0时，两直线方程可化为l 1：y ＝－a2x －3， l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)， l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧－a2＝11－a ，－3≠－（a ＋1），解得a ＝－1，综上可知，当a ＝－1时，l 1∥l 2. 法二 由A 1B 2－A 2B 1＝0，得a (a －1)－1×2＝0，由A 1C 2－A 2C 1≠0，得a (a 2－1)－1×6≠0，∴l 1∥l 2⇔⎩⎨⎧a （a －1）－1×2＝0，a （a 2－1）－1×6≠0⇔⎩⎨⎧a 2－a －2＝0，a （a 2－1）≠6，可得a ＝－1， 故当a ＝－1时，l 1∥l 2.(2)法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0， l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不垂直于l 2，故a ＝0不成立； 当a ≠1且a ≠0时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2·11－a＝－1，得a ＝23. 法二 由A 1A 2＋B 1B 2＝0，得a ＋2(a －1)＝0，可得a ＝23.感悟升华 1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．2．在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．【训练1】 (1)经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( )A ．6x －4y －3＝0B ．3x －2y －3＝0C ．2x ＋3y －2＝0D ．2x ＋3y －1＝0(2)(多选题)(2021·重庆调研)已知直线l 1：x ＋my －1＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋3＝0，则下列说法正确的是( ) A ．若l 1∥l 2，则m ＝－1或m ＝3 B ．若l 1∥l 2，则m ＝3 C ．若l 1⊥l 2，则m ＝－12 D ．若l 1⊥l 2，则m ＝12 答案 (1)A (2)BD解析 (1)因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32，所以所求直线l 的方程为y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为一般式，得6x －4y －3＝0.(2)若直线l 1∥l 2，则3－m (m －2)＝0，解得m ＝3或m ＝－1，但m ＝－1时，两直线方程分别为x －y －1＝0，－3x ＋3y ＋3＝0即x －y －1＝0，两直线重合，只有m ＝3时两直线平行，A 错误，B 正确；若l 1⊥l 2，则m －2＋3m ＝0，m ＝12，C 错误，D 正确．考点二 两直线的交点与距离问题【例2】 (1)(2021·淮南模拟)已知直线kx －y ＋2k ＋1＝0与直线2x ＋y －2＝0的交点在第一象限，则实数k 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪(－1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12 (2)(2021·广州模拟)已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________． 答案 (1)D (2)[0，10]解析 (1)联立⎩⎨⎧kx －y ＋2k ＋1＝0，2x ＋y －2＝0，解得x ＝1－2k 2＋k ，y ＝2＋6k 2＋k (k ≠－2)．∵直线kx －y ＋2k ＋1＝0与直线2x ＋y －2＝0的交点在第一象限， ∴1－2k 2＋k >0，且2＋6k2＋k >0. 解得－13<k <12.故选D.(2)由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解之得0≤a ≤10， 所以a 的取值范围是[0，10]．感悟升华 1.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．2．利用距离公式应注意：(1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数分别化为对应相等．【训练2】 (1)(多选题)(2020·济宁调研)已知直线l 1：2x ＋3y －1＝0和l 2：4x ＋6y －9＝0，若直线l 到直线l 1的距离与到直线l 2的距离之比为1∶2，则直线l 的方程为( )A ．2x ＋3y －8＝0B ．4x ＋6y ＋5＝0C ．6x ＋9y －10＝0D ．12x ＋18y －13＝0(2)求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程为________________． 答案 (1)BD (2)5x ＋3y －1＝0解析 (1)设直线l ：4x ＋6y ＋m ＝0，m ≠－2且m ≠－9，直线l 到直线l 1和l 2的距离分别为d 1，d 2，由题知：d 1＝|m ＋2|16＋36，d 2＝|m ＋9|16＋36，因为d 1d 2＝12，所以2|m ＋2|16＋36＝|m ＋9|16＋36，即2|m ＋2|＝|m ＋9|，解得m ＝5或m ＝－133，即直线l 为4x ＋6y ＋5＝0或12x ＋18y －13＝0. (2)先解方程组⎩⎨⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1，l 2的交点坐标为(－1，2)， 再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－53， 于是由直线的点斜式方程求出l ： y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0. 考点三 对称问题角度1 点关于点对称【例3】过点P (0，1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________． 答案 x ＋4y －4＝0解析 设l 1与l 的交点为A (a ，8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a ，2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4，0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.感悟升华 1.点关于点的对称：点P (x ，y )关于M (a ，b )对称的点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎨⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y . 2．直线关于点的对称：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决，也可考虑利用两条对称直线是相互平行的，并利用对称中心到两条直线的距离相等求解．角度2 点关于线对称【例4】一束光线经过点P (2，3)射在直线l ：x ＋y ＋1＝0上，反射后经过点Q (1，1)，则入射光线所在直线的方程为________． 答案 5x －4y ＋2＝0解析 设点Q (1，1)关于直线l 的对称点为Q ′(x ′，y ′)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ′－1x ′－1＝1，x ′＋12＋y ′＋12＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ′＝－2，y ′＝－2，即Q ′(－2，－2)，由光学知识可知，点Q ′在入射光线所在的直线上，又k PQ ′＝3－（－2）2－（－2）＝54，∴入射光线所在直线的方程为y －3＝54(x －2)，即5x －4y ＋2＝0.感悟升华 1.若点A (a ，b )与点B (m ，n )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ≠0，B ≠0)对称，则直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直平分线段AB ，即有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n 2＋C ＝0.2．几个常用结论(1)点(x ，y )关于x 轴的对称点为(x ，－y )，关于y 轴的对称点为(－x ，y )． (2)点(x ，y )关于直线y ＝x 的对称点为(y ，x )，关于直线y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )．(3)点(x ，y )关于直线x ＝a 的对称点为(2a －x ，y )，关于直线y ＝b 的对称点为(x ，2b －y )．角度3 线关于线对称【例5】 (1)(2021·成都诊断)与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线的方程是( )A ．3x －4y ＋5＝0B ．3x －4y －5＝0C ．3x ＋4y －5＝0D ．3x ＋4y ＋5＝0(2)直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是________________． 答案 (1)D (2)x －2y ＋3＝0解析 (1)设所求直线上点的坐标(x ，y )，则关于x 轴的对称点(x ，－y )在已知的直线3x －4y ＋5＝0上，所以所求对称直线方程为3x ＋4y ＋5＝0，故选D. (2)设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－（y －y 0），得⎩⎨⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0.感悟升华 求直线l 1关于直线l 对称的直线l 2有两种处理方法：(1)在直线l 1上取两点(一般取特殊点)，利用点关于直线的对称的方法求出这两点关于直线l 的对称点，再用两点式写出直线l 2的方程．(2)设点P (x ，y )是直线l 2上任意一点，其关于直线l 的对称点为P 1(x 1，y 1)(P 1在直线l 1上)，根据点关于直线对称建立方程组，用x ，y 表示出x 1，y 1，再代入直线l 1的方程，即得直线l 2的方程．【训练3】已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A 对称的直线l ′的方程．解(1)设A ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1·23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，即A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.(2)在直线m 上取一点，如M (2，0)，则M (2，0)关于直线l 的对称点必在m ′上．设对称点为M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝613，b ＝3013，即M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎨⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0， 得N (4，3)．又m ′经过点N (4，3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.(3)法一 在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如P (1，1)，N (4，3)，则P ，N 关于点A 的对称点P ′，N ′均在直线l ′上．易知P ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0. 法二 设Q (x ，y )为l ′上任意一点，则Q (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为 Q ′(－2－x ，－4－y )，∵Q ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0.活用直线系方程具有某些共同特点的所有直线的全体称为直线系，直线系方程问题是高中数学中的一类重要问题，在解题中有着重要的应用．在直线方程求解中，可以由特定条件设出直线系方程，再结合题目中其他条件求出具体直线，这个解题思路在解决许多问题时，往往能起到化繁为简，化难为易的作用．一、相交直线系方程【例1】已知两条直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点为P ，求过点P 且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．解 法一 解l 1与l 2组成的方程组得到交点P (0，2)，因为k 3＝34，所以直线l 的斜率k ＝－43，方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.法二 设所求直线l 的方程为4x ＋3y ＋c ＝0，由法一可知P (0，2)，将其代入方程，得c ＝－6，所以直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0.法三 设所求直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0，因为直线l 与l 3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0.二、平行直线系方程【例2】已知直线l 1与直线l 2：x －3y ＋6＝0平行，l 1与x 轴、y 轴围成面积为8的三角形，请求出直线l 1的方程．解 设直线l 1的方程为x －3y ＋c ＝0(c ≠6)，令y ＝0，得x ＝－c ；令x ＝0，得y ＝c 3，依照题意有12×|－c |×⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 3＝8，c ＝±4 3.所以l 1的方程是x －3y ±43＝0. 【例3】已知直线方程3x －4y ＋7＝0，求与之平行且在x 轴、y 轴上的截距和是1的直线l 的方程．解 法一 设存在直线l ：x a ＋y b ＝1，则a ＋b ＝1和－b a ＝34组成的方程组的解为a＝4，b ＝－3.故l 的方程为x 4－y 3＝1，即3x －4y －12＝0.法二 根据平行直线系方程可设直线l 为3x －4y ＋c ＝0(c ≠7)，则直线l 在两坐标轴上截距分别对应的是－c 3，c 4，由－c 3＋c 4＝1，知c ＝－12.故直线l 的方程为3x －4y －12＝0.三、垂直直线系方程【例4】求经过A (2，1)，且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程．解 因为所求直线与直线2x ＋y －10＝0垂直，所以设直线方程为x －2y ＋c ＝0，又直线过点A (2，1)，所以有2－2×1＋c ＝0，解得c ＝0，即所求直线方程为x －2y ＝0.思维升华 直线系方程的常见类型1．过定点P (x 0，y 0)的直线系方程是y －y 0＝k (x －x 0)(k 是参数，直线系中未包括直线x ＝x 0)；2．平行于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是Ax ＋By ＋λ＝0(λ是参数且λ≠C )；3．垂直于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是Bx －Ay ＋λ＝0(λ是参数)；4．过两条已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程是A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)．A级基础巩固一、选择题1．已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝() A. 2 B．2－ 2 C.2－1 D.2＋1答案C解析由题意得|a－2＋3|1＋1＝1.解得a＝－1＋2或a＝－1－ 2.∵a>0，∴a＝－1＋ 2.2．已知直线l过点(0，7)，且与直线y＝－4x＋2平行，则直线l的方程为() A．y＝－4x－7 B．y＝4x－7C．y＝4x＋7 D．y＝－4x＋7答案D解析过点(0，7)且与直线y＝－4x＋2平行的直线方程为y－7＝－4x，即直线l 的方程为y＝－4x＋7，故选D.3．已知b>0，直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0垂直，则ab的最小值为()A．1 B．2 C．2 2 D．23答案B解析由已知两直线垂直可得(b2＋1)－ab2＝0，即ab2＝b2＋1，又b>0，所以ab＝b＋1 b.由基本不等式得b＋1b≥2b·1b＝2，当且仅当b＝1时等号成立，所以(ab)min＝2.故选B.4．坐标原点(0，0)关于直线x－2y＋2＝0对称的点的坐标是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，85B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，－85 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－85 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，85 答案 A解析 设对称点的坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 02－2×y 02＋2＝0，y 0＝－2x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－45，y 0＝85，即所求点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，85. 5．(2020·豫西五校联考)过点P (1，2)作直线l ，若点A (2，3)，B (4，－5)到它的距离相等，则直线l 的方程为( )A ．4x ＋y －6＝0或x ＝1B ．3x ＋2y －7＝0C ．4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝0D ．3x ＋2y －7＝0或x ＝1答案 C解析 若A ，B 位于直线l 的同侧，则直线l ∥AB .k AB ＝3＋52－4＝－4，∴直线l 的方程为y －2＝－4(x －1)，即4x ＋y －6＝0；若A ，B 位于直线l 的两侧，则直线l 必经过线段AB 的中点(3，－1)，∴k l ＝2－（－1）1－3＝－32，∴直线l 的方程为y －2＝－32(x －1)，即3x ＋2y －7＝0. 综上，直线l 的方程为4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝0，故选C.6．(多选题)(2021·泰安调研)已知直线l ：(a 2＋a ＋1)x －y ＋1＝0，其中a ∈R ，则下列说法正确的是( )A ．当a ＝－1时，直线l 与直线x ＋y ＝0垂直B ．若直线l 与直线x －y ＝0平行，则a ＝0C ．直线l 过定点(0，1)D ．当a ＝0时，直线l 在两坐标轴上的截距相等答案 AC解析 对于A 项，当a ＝－1时，直线l 的方程为x －y ＋1＝0，显然与x ＋y ＝0垂直，所以正确；对于B 项，若直线l 与直线x －y ＝0平行，可知(a 2＋a ＋1)·(－1)＝1·(－1)，解得a ＝0或a ＝－1，所以不正确；对于C 项，当x ＝0时，有y ＝1，所以直线过定点(0，1)，所以正确；对于D 项，当a ＝0时，直线l 的方程为x －y ＋1＝0，在两轴上的截距分别是－1，1，所以不正确．7．(2021·宝鸡模拟)光线沿着直线y ＝－3x ＋b 射到直线x ＋y ＝0上，经反射后沿着直线y ＝ax ＋2射出，则有( )A ．a ＝13，b ＝6B ．a ＝－3，b ＝16C ．a ＝3，b ＝－16D ．a ＝－13，b ＝－6答案 D解析 由题意，直线y ＝－3x ＋b 与直线y ＝ax ＋2关于直线y ＝－x 对称， 所以直线y ＝ax ＋2上的点(0，2)关于直线y ＝－x 的对称点(－2，0)在直线y ＝ －3x ＋b 上，所以(－3)×(－2)＋b ＝0，所以b ＝－6，所以直线y ＝－3x －6上的点(0，－6)关于直线y ＝－x 的对称点(6，0)在直线y ＝ax ＋2上，所以6a ＋2＝0，所以a ＝－13.8．(多选题)(2021·长沙模拟)已知直线l ：3x －y ＋1＝0，则下列结论正确的是( )A ．直线l 的倾斜角是π6B ．若直线m ：x －3y ＋1＝0，则l ⊥mC ．点(3，0)到直线l 的距离是2D ．过(23，2)与直线l 平行的直线方程是3x －y －4＝0答案 CD解析 对于A ，直线l ：3x －y ＋1＝0的斜率k ＝tan θ＝3，故直线l 的倾斜角是π3，故A 错误；对于B ，因为直线m ：x －3y ＋1＝0的斜率k ′＝33，kk ′＝1≠－1，故直线l 与直线m 不垂直，故B 错误；对于C ，点(3，0)到直线l 的距离d ＝|3·3－0＋1|（3）2＋（－1）2＝2，故C 正确；对于D ，过(23，2)与直线l 平行的直线方程是y －2＝3(x －23)，整理得： 3x －y －4＝0，故D 正确．二、填空题9．(2020·南昌重点中学联考)已知直线l 1：y ＝2x ，则过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心且与直线l 1垂直的直线l 2的方程为________．答案 x ＋2y －3＝0解析 由题意可知圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，所以圆的圆心坐标为(－1，2)，由已知得直线l 2的斜率k ＝－12，所以直线l 2的方程为y －2＝－12(x ＋1)，即x ＋2y －3＝0.10．直线x －2y －3＝0关于定点M (－2，1)对称的直线方程是________． 答案 x －2y ＋11＝0解析 设所求直线上任一点(x ，y )，则关于M (－2，1)的对称点(－4－x ，2－y )在已知直线上，∴所求直线方程为(－4－x )－2(2－y )－3＝0，即x －2y ＋11＝0.11．若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则PQ 的最小值为________．答案 2910解析 因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910. 12．以点A (4，1)，B (1，5)，C (－3，2)，D (0，－2)为顶点的四边形ABCD 的面积为________．答案 25解析 因为k AB ＝5－11－4＝－43，k DC ＝2－（－2）－3－0＝－43. k AD ＝－2－10－4＝34，k BC ＝2－5－3－1＝34. 则k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，所以四边形ABCD 为平行四边形．又k AD ·k AB ＝－1，即AD ⊥AB ，故四边形ABCD 为矩形．故S四边形ABCD ＝|AB |·|AD |＝（1－4）2＋（5－1）2×（0－4）2＋（－2－1）2＝25.B 级 能力提升13．设△ABC 的一个顶点是A (3，－1)，∠B ，∠C 的平分线的方程分别是x ＝0，y ＝x ，则直线BC 的方程是( )A ．y ＝3x ＋5B ．y ＝2x ＋3C ．y ＝2x ＋5D ．y ＝－x 2＋52答案 C解析 A 关于直线x ＝0的对称点是A ′(－3，－1)，关于直线y ＝x 的对称点是A ″(－1，3)，由角平分线的性质可知，点A ′，A ″均在直线BC 上，所以直线BC 的方程为y ＝2x ＋5.故选C.14．(多选题)(2021·南京调研)已知直线l 1：ax －y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，a ∈R ，以下结论正确的是( )A ．不论a 为何值，l 1与l 2都互相垂直B ．当a 变化时，l 1与l 2分别经过定点A (0，1)和B (－1，0)C ．不论a 为何值，l 1与l 2都关于直线x ＋y ＝0对称D ．如果l 1与l 2交于点M ，则|MO |的最大值是2答案 ABD解析 对于A ，a ×1＋(－1)×a ＝0恒成立，l 1与l 2都互相垂直恒成立，故A 正确；对于B ，直线l 1：ax －y ＋1＝0，当a 变化时，x ＝0，y ＝1恒成立，所以l 1恒过定点A (0，1)；l 2：x ＋ay ＋1＝0，当a 变化时，x ＝－1，y ＝0恒成立，所以l 2恒过定点B (－1，0)，故B 正确；对于C ，在l 1上任取点(x ，ax ＋1)，关于直线x ＋y ＝0对称的点的坐标为(－ax －1，－x )，代入l 2：x ＋ay ＋1＝0，则等式左边不恒等于0，故C 不正确；对于D ，联立⎩⎨⎧ax －y ＋1＝0，x ＋ay ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a －1a 2＋1，y ＝－a ＋1a 2＋1，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －1a 2＋1，－a ＋1a 2＋1， 所以|MO |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －1a 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋1a 2＋12＝2a 2＋1≤2，所以|MO |的最大值是2，故D 正确．15．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点，若点A (5，0)到直线l 的距离为3，则l 的方程为________．答案 x ＝2或4x －3y －5＝0解析 法一 两直线交点为(2，1)，当斜率不存在时，所求直线方程为x －2＝0，此时A 到直线l 的距离为3，符合题意；当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －1＝k (x －2)，即kx －y ＋(1－2k )＝0.由点到线的距离公式得d ＝|5k ＋1－2k |k 2＋1＝3，解得k ＝43，故所求直线方程为4x －3y －5＝0.综上知，所求直线方程为x －2＝0或4x －3y －5＝0.法二 经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，所以|10＋5λ－5|（2＋λ）2＋（1－2λ）2＝3，解得λ＝2或λ＝12. 所以l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.16．已知点A (4，－1)，B (8，2)和直线l ：x －y －1＝0，动点P (x ，y )在直线l 上，则|P A |＋|PB |的最小值为________．答案 65解析 设点A 1与A 关于直线l 对称，P 0为A 1B 与直线l 的交点，∴|P 0A 1|＝|P 0A |，|P A 1|＝|P A |.在△A 1PB 中，|P A 1|＋|PB |>|A 1B |＝|A 1P 0|＋|P 0B |＝|P 0A |＋|P 0B |，∴|P A |＋|PB |≥|P 0A |＋|P 0B |＝|A 1B |.当P 点运动到P 0时，|P A |＋|PB |取得最小值|A 1B |.设点A 关于直线l 的对称点为A (x 1，y 1)，则由对称的充要条件知⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋1x 1－4·1＝－1，x 1＋42－y 1－12－1＝0，解得⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝3，∴A 1(0，3)． ∴(|P A |＋|PB |)min ＝|A 1B |＝82＋（－1）2＝65.。
高中数学选修一《两条直线平行和垂直的判定》教案与导学案和同步练习
《2.1.2 两条直线平行和垂直的判定》教案【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习两条直线平行和垂直的判定。
直线的平行和垂直是两条直线的重要位置关系，它们的判定在初中运用几何法已经进行了学习，而在坐标系下，运用代数方法即坐标法，是一种新的观点和方法，需要学生理解和感悟。
两直线平行和垂直都是由相应的斜率之间的关系来确定的，并且研究讨论的手段和方法也相类似，因此，在教学时采用对比方法，以便弄清平行与垂直之间的联系与区别.值得注意的是，当两条直线中有一条不存在斜率时，容易得到两条直线垂直的充要条件，这也值得略加说明.【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A. 理解两条直线平行与垂直的条件.B.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.C.能利用两直线平行或垂直的条件解决问题.1.数学抽象：两条直线平行与垂直的条件2.逻辑推理：根据斜率判定两条直线平行或垂直3.数学运算：利用两直线平行或垂直的条件解决问题4.直观想象：直线斜率的几何意义，及平行与垂直的几何直观【教学重点】：理解两条直线平行或垂直的判断条件【教学难点】：会利用斜率判断两条直线平行或垂直【教学过程】教学过程教学设计意图一、情境导学过山车是一项富有刺激性的娱乐项通过生活中的现实情境，提出问题，明确研究问题运用代数方法探究两直线判断两直线是否平行的步骤例2(1)直线l 1经过点A (3,2),B (3,-1),直线l 2经过点M (1,1),N (2,1),判断l 1与l 2是否垂直;(2)已知直线l 1经过点A (3,a ),B (a-2,3),直线l 2经过点C (2,3),D (-1,a-2),若l 1⊥l 2,求a 的值.思路分析:(1)若斜率存在,求出斜率,利用垂直的条件判断;若一条直线的斜率不存在,再看另一条直线的斜率是否为0,若为0,则垂直. (2)当两直线的斜率都存在时,由斜率之积等于-1求解;若一条直线的斜率不存在,由另一条直线的斜率为0求解.解:(1)直线l 1的斜率不存在,直线l 2的斜率为0,所以l 1⊥l 2.(2)由题意,知直线l 2的斜率k 2一定存在,直线l 1的斜率可能不存在. 当直线l 1的斜率不存在时,3=a-2,即a=5,此时k 2=0,则l 1⊥l 2,满足题意.当直线l 1的斜率k 1存在时,a ≠5,由斜率公式,得k 1=3-aa -2-3=3-a a -5,k 2=a -2-3-1-2=a -5-3.由l 1⊥l 2,知k 1k 2=-1,即3-aa -5×a -5-3=-1,解得a=0. 综上所述,a 的值为0或5.两直线垂直的判定方法两条直线垂直需判定k 1k 2=-1,使用它的前提条件是两条直线斜率都存在,若其中一条直线斜率不存在,另一条直线斜率为零,此时两直线也垂直.跟踪训练1 已知定点A (-1,3),B (4,2),以AB 为直径作圆,与x 轴有交点P ,则交点P 的坐标是 . 解析:设以AB 为直径的圆与x 轴的交点为P (x ,0).∵k PB≠0,k PA≠0,∴k PA·k PB=-1,即0-3x+1·0-2x -4=-1,∴(x+1)(x-4)=-6,即x 2-3x+2=0,解得x=1或x=2.故点P 的坐标为(1,0)或(2,0). 答案:(1,0)或(2,0)例3 如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为O (0,0),P (1,t ),Q (1-2t ,2+t ),R (-2t ,2),其中t>0.试判断四边形OPQR 的形状.思路分析:利用直线方程的系数关系,或两直线间的斜率关系,判断两直线的位置关系.解:由斜率公式得k OP =t -01-0=t ,k RQ =2-(2+t )-2t -(1-2t )=-t -1=t ,k OR =2-0-2t -0=-1t , k PQ =2+t -t 1-2t -1=2-2t =-1t .所以k OP =k RQ ,k OR =k PQ ,从而OP ∥RQ ,OR ∥PQ.所以四边形OPQR 为平行四边形. 又k OP·k OR=-1,所以OP ⊥OR ,故四边形OPQR 为矩形.延伸探究1 将本例中的四个点,改为“A (-4,3),B (2,5),C (6,3),D (-3,0),顺次连接A ,B ,C ,D 四点,试判断四边形ABCD 的形状.” 由斜率公式可得k AB =5-32-(-4)=13,k CD =0-3-3-6=13,k AD =0-3-3-(-4)=-3,k BC =3-56-2=-12. 所以k AB=k CD,由图可知AB 与CD 不重合,所以AB ∥CD ,由k AD≠k BC,所以AD 与BC 不平行.又因为k AB ·k AD =13×(-3)=-1,所以AB ⊥AD ,故四边形ABCD 为直角梯形.解:由题意A ,B ,C ,D 四点在平面直角坐标系内的位置如图, 延伸探究2 将本例改为“已知矩形OPQR 中四个顶点按逆时针顺序依次为O (0,0),P (1,t ),Q (1-2t ,2+t ),试求顶点R 的坐标.” 解:因为OPQR 为矩形,所以OQ 的中点也是PR 的中点.设R (x ,y ),则由中点坐标公式知{0+1-2t2=1+x 2,0+2+t2=t+y 2,解得{x =-2t ,y =2.所以R 点的坐标是(-2t ,2).利用两条直线平行或垂直来判断图形形状的步骤 描点→在坐标系中描出给定的点 ↓猜测→根据描出的点，猜测图形的形状 ↓求斜率→根据给定点的坐标求直线的斜率 ↓结论→由斜率之间的关系判断形状点睛：利用平行、垂直关系式的关键在于正确求解斜率，特别是含参数的问题，必须要分类讨论；其次要注意的是斜率不存在并不意味着问题无解．金题典例 已知点A (0,3),B (-1,0),C (3,0),且四边形ABCD 为直角梯形,求点D 的坐标.思路分析:分析题意可知,AB 、BC 都不可作为直角梯形的直角边,所以要考虑CD 是直角梯形的直角边和AD 是直角梯形的直角边这两种情况;设所求点D 的坐标为(x ,y ),若CD 是直角梯形的直角边,则BC ⊥CD ,AD ⊥CD ,根据已知可得k BC=0,CD 的斜率不存在,从而有x=3;接下来再根据k AD=k BC即可得到关于x 、y 的方程,结合x 的值即可求出y ,那么点D 的坐标便不难确定了,同理再分析AD 是直角梯形的直角边的情况.解:设所求点D 的坐标为(x ,y ),如图所示,由于k AB=3,k BC=0,则k AB·k BC=0≠-1,即AB 与BC 不垂直,故AB 、BC 都不可作为直角梯形的直角边.①若CD 是直角梯形的直角边,则BC ⊥CD ,AD ⊥CD ,∵k BC=0,∴CD 的斜率不存在,从而有x=3.又∵k AD =k BC ,∴y -3x=0,即y=3.此时AB 与CD 不平行.故所求点D 的坐标为(3,3).②若AD 是直角梯形的直角边,则AD ⊥AB ,AD ⊥CD ,k AD =y -3x,k CD =yx -3.由于AD ⊥AB ,则y -3x·3=-1.又AB ∥CD ,∴y x -3=3.解上述两式可得{x =185,y =95,此时AD 与BC 不平行.故所求点D 的坐标为185,95.综上可知,使四边形ABCD 为直角梯形的点D 的坐标可以为(3,3)或185,95.反思感悟：先由图形判断四边形各边的关系,再由斜率之间的关系完成求解.特别地,注意讨论所求问题的不同情况.四、小结【教学反思】本课通过探究两直线平行或垂直的条件，力求培养学生运用已有知识解决新问题的能力,以及数形结合能力.通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养了学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣.组织学生充分讨论、探究、交流，使学生自己发现规律，自己总结出两直线平行与垂直的判定依据，教师要及时引导、及时鼓励. 教师的授课的想办法降低教学难度，让学生能轻易接受《2.1.2 两条直线平行和垂直的判定》导学案【学习目标】1.理解两条直线平行与垂直的条件.2.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.3.能利用两直线平行或垂直的条件解决问题. 【重点和难点】重点：理解两条直线平行或垂直的判断条件 难点：会利用斜率判断两条直线平行或垂直 【知识梳理】 一、自主导学（一）、两条直线平行与斜率之间的关系设两条不重合的直线l 1,l 2,倾斜角分别为α1,α2,斜率存在时斜率分别为k 1,k 2.则对应关系如下:前提条件 α1=α2≠90° α1=α2=90°对应关系l 1∥l 2⇔k 1=k 2l 1∥l 2⇔两直线斜率都不存在图 示点睛：若没有指明l 1,l 2不重合,那么k 1=k 2⇔{l 1∥l 2,或l 1与l 2重合,用斜率证明三点共线时,常用到这一结论.（二）、两条直线垂直与斜率之间的关系对应关系l 1与l 2的斜率都存在,分别为k 1,k 2,则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2=-1l 1与l 2中的一条斜率不存在,另一条斜率为零,则l 1与l 2的位置关系是l 1⊥l 2.图示点睛：“两条直线的斜率之积等于-1”是“这两条直线垂直”的充分不必要条件.因为两条直线垂直时,除了斜率之积等于-1,还有可能一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在.二、小试牛刀1.对于两条不重合的直线l 1,l 2,“l 1∥l 2”是“两条直线斜率相等”的什么条件?2.已知直线l 1经过两点(-1,-2),(-1,4),直线l 2经过两点(2,1),(x ,6),且l 1∥l 2,则x= .3．思考辨析(1)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行．( ) (2)若l 1∥l 2，则k 1＝k 2.( )(3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．( )(4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．( )4.若直线l 1,l 2的斜率是方程x 2-3x-1=0的两根,则l 1与l 2的位置关系是 .【学习过程】 一、情境导学过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.实际上,过山车的运动包含了许多数学和物理学原理.过山车的两条铁轨是相互平行的轨道,它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着,为了使设备安全,柱子之间还有一些小的钢筋连接,这些钢筋有的互相平行,有的互相垂直,你能感受到过山车中的平行和垂直吗?两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢?二、典例解析例1 判断下列各小题中的直线l 1与l 2是否平行:(1)l 1经过点A (-1,-2),B (2,1),l 2经过点M (3,4),N (-1,-1);(2)l 1的斜率为1,l 2经过点A (1,1),B (2,2);(3)l 1经过点A (0,1),B (1,0),l 2经过点M (-1,3),N (2,0);(4)l 1经过点A (-3,2),B (-3,10),l 2经过点M (5,-2),N (5,5).延伸探究 已知A (-2,m ),B (m ,4),M (m+2,3),N (1,1),若AB ∥MN ,则m 的值为 . 判断两直线是否平行的步骤例2(1)直线l 1经过点A (3,2),B (3,-1),直线l 2经过点M (1,1),N (2,1),判断l 1与l 2是否垂直;(2)已知直线l 1经过点A (3,a ),B (a-2,3),直线l 2经过点C (2,3),D (-1,a-2),若l 1⊥l 2,求a的值.两直线垂直的判定方法条直线垂直需判定k 1k 2=-1,使用它的前提条件是两条直线斜率都存在,若其中一条直线斜率不存在,另一条直线斜率为零,此时两直线也垂直.跟踪训练1 已知定点A (-1,3),B (4,2),以AB 为直径作圆,与x 轴有交点P ,则交点P 的坐标是 .例3 如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为O (0,0),P (1,t ),Q (1-2t ,2+t ),R (-2t ,2),其中t>0.试判断四边形OPQR 的形状.延伸探究1 将本例中的四个点,改为“A (-4,3),B (2,5),C (6,3),D (-3,0),顺次连接A ,B ,C ,D 四点,试判断四边形ABCD 的形状.”延伸探究2 将本例改为“已知矩形OPQR 中四个顶点按逆时针顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),试求顶点R的坐标.”利用两条直线平行或垂直来判断图形形状的步骤描点→在坐标系中描出给定的点↓猜测→根据描出的点，猜测图形的形状↓求斜率→根据给定点的坐标求直线的斜率↓结论→由斜率之间的关系判断形状点睛：利用平行、垂直关系式的关键在于正确求解斜率，特别是含参数的问题，必须要分类讨论；其次要注意的是斜率不存在并不意味着问题无解．金题典例已知点A(0,3),B(-1,0),C(3,0),且四边形ABCD为直角梯形,求点D的坐标.反思感悟：先由图形判断四边形各边的关系,再由斜率之间的关系完成求解.特别地,注意讨论所求问题的不同情况.【达标检测】1．下列说法正确的是( )A．若直线l1与l2倾斜角相等，则l1∥l2B．若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1C．若直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y轴D．若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行2.若直线l1的斜率为a,l1⊥l2,则直线l2的斜率为()A.1a B.a C.-1aD.-1a或不存在3.已知直线l1的倾斜角为45°,直线l1∥l2,且l2过点A(-2,-1)和B(3,a),则a的值为.4.已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2),B(0,1),C(4,3),点D(m,1)在边BC的高所在的直线上,则实数m= .5.顺次连接A (-4,3),B (2,5),C (6,3),D (-3,0)四点,判断四边形ABCD 形状. 【课堂小结】【参考答案】 知识梳理 二、小试牛刀1.答案:必要不充分条件,如果两不重合直线斜率相等,则两直线一定平行;反过来,两直线平行,有可能两直线斜率均不存在.2.解析:由题意知l 1⊥x 轴.又l 1∥l 2,所以l 2⊥x 轴,故x=2. 答案:23．答案： (1)× 也可能重合．(2)× l 1∥l 2，其斜率不一定存在． (3)× 不一定垂直，只有另一条直线斜率为0时才垂直．(4)√ 4.解析:由根与系数的关系,知k 1k 2=-1,所以l 1⊥l 2. 答案:l 1⊥l 2 学习过程例1 思路分析: 斜率存在的直线求出斜率,利用l 1∥l 2⇔k 1=k 2进行判断,若两直线斜率都不存在,可通过观察并结合图形得出结论.解:(1)k 1=1-(-2)2-(-1)=1,k 2=-1-4-1-3=54,k 1≠k 2,l 1与l 2不平行. (2)k 1=1,k 2=2-12-1=1,k 1=k 2, 故l 1∥l 2或l 1与l 2重合.(3)k 1=0-11-0=-1,k 2=0-32-(-1)=-1,则有k 1=k 2.又k AM =3-1-1-0=-2≠-1,则A ,B ,M 不共线.故l 1∥l 2.(4)由已知点的坐标,得l 1与l 2均与x 轴垂直且不重合,故有l 1∥l 2.延伸探究 解析:当m=-2时,直线AB 的斜率不存在,而直线MN 的斜率存在,MN 与AB 不平行,不合题意;当m=-1时,直线MN 的斜率不存在,而直线AB 的斜率存在,MN 与AB 不平行,不合题意; 当m ≠-2,且m ≠-1时,k AB =4-mm -(-2)=4-mm+2,k MN =3-1m+2-1=2m+1.因为AB ∥MN ,所以k AB =k MN , 即4-m m+2=2m+1,解得m=0或m=1.当m=0或1时,由图形知,两直线不重合. 综上,m 的值为0或1. 答案:0或1例2思路分析:(1)若斜率存在,求出斜率,利用垂直的条件判断;若一条直线的斜率不存在,再看另一条直线的斜率是否为0,若为0,则垂直.(2)当两直线的斜率都存在时,由斜率之积等于-1求解;若一条直线的斜率不存在,由另一条直线的斜率为0求解.解:(1)直线l 1的斜率不存在,直线l 2的斜率为0,所以l 1⊥l 2.(2)由题意,知直线l 2的斜率k 2一定存在,直线l 1的斜率可能不存在.当直线l 1的斜率不存在时,3=a-2,即a=5,此时k 2=0,则l 1⊥l 2,满足题意.当直线l 1的斜率k 1存在时,a ≠5,由斜率公式,得k 1=3-a a -2-3=3-a a -5,k 2=a -2-3-1-2=a -5-3.由l 1⊥l 2,知k 1k 2=-1,即3-aa -5×a -5-3=-1,解得a=0.综上所述,a 的值为0或5.跟踪训练1 解析:设以AB 为直径的圆与x 轴的交点为P (x ,0).∵k PB≠0,k PA≠0,∴k PA·k PB=-1,即0-3x+1·0-2x -4=-1,∴(x+1)(x-4)=-6,即x 2-3x+2=0,解得x=1或x=2.故点P 的坐标为(1,0)或(2,0). 答案:(1,0)或(2,0)例3 思路分析:利用直线方程的系数关系,或两直线间的斜率关系,判断两直线的位置关系.解:由斜率公式得k OP =t -01-0=t ,k RQ =2-(2+t )-2t -(1-2t )=-t -1=t ,k OR =2-0-2t -0=-1t , k PQ =2+t -t 1-2t -1=2-2t =-1t .所以k OP =k RQ ,k OR =k PQ ,从而OP ∥RQ ,OR ∥PQ.所以四边形OPQR 为平行四边形. 又k OP·k OR=-1,所以OP ⊥OR ,故四边形OPQR 为矩形. 延伸探究1 由斜率公式可得k AB =5-32-(-4)=13,k CD =0-3-3-6=13,k AD =0-3-3-(-4)=-3,k BC =3-56-2=-12. 所以k AB=k CD,由图可知AB 与CD 不重合,所以AB ∥CD ,由k AD≠k BC,所以AD 与BC 不平行.又因为k AB ·k AD =13×(-3)=-1,所以AB ⊥AD ,故四边形ABCD 为直角梯形.解:由题意A ,B ,C ,D 四点在平面直角坐标系内的位置如图, 延伸探究2 解:因为OPQR 为矩形,所以OQ 的中点也是PR 的中点.设R (x ,y ),则由中点坐标公式知{0+1-2t2=1+x 2,0+2+t2=t+y 2,解得{x =-2t ,y =2.所以R 点的坐标是(-2t ,2).金题典例 思路分析:分析题意可知,AB 、BC 都不可作为直角梯形的直角边,所以要考虑CD 是直角梯形的直角边和AD 是直角梯形的直角边这两种情况;设所求点D 的坐标为(x ,y ),若CD 是直角梯形的直角边,则BC ⊥CD ,AD ⊥CD ,根据已知可得k BC=0,CD 的斜率不存在,从而有x=3;接下来再根据k AD=k BC即可得到关于x 、y 的方程,结合x 的值即可求出y ,那么点D 的坐标便不难确定了,同理再分析AD 是直角梯形的直角边的情况. 解:设所求点D 的坐标为(x ,y ),如图所示,由于k AB=3,k BC=0,则k AB·k BC=0≠-1,即AB 与BC 不垂直,故AB 、BC 都不可作为直角梯形的直角边.①若CD 是直角梯形的直角边,则BC ⊥CD ,AD ⊥CD ,∵k BC=0,∴CD 的斜率不存在,从而有x=3.又∵k AD =k BC ,∴y -3x=0,即y=3.此时AB 与CD 不平行.故所求点D 的坐标为(3,3).②若AD 是直角梯形的直角边, 则AD ⊥AB ,AD ⊥CD ,k AD =y -3x,k CD =yx -3.由于AD ⊥AB ,则y -3x·3=-1.又AB ∥CD ,∴y x -3=3.解上述两式可得{x =185,y =95,此时AD 与BC 不平行.故所求点D 的坐标为185,95.综上可知,使四边形ABCD 为直角梯形的点D 的坐标可以为(3,3)或185,95.达标检测1． 解析：A 中，l 1与l 2可能重合；B 中，l 1，l 2可能存在其一没斜率；C 中，直线也可能与y 轴重合；D 正确，选D.答案 D2. 解析:若a ≠0,则l 2的斜率为-1a ;若a=0,则l 2的斜率不存在.答案:D3.解析:由题意,得a -(-1)3-(-2)=1,即a=4. 答案:44.解析:设直线AD ,BC 的斜率分别为k AD ,k BC ,由题意,得AD ⊥BC , 则有k AD ·k BC =-1,所以有1-2m -2·3-14-0=-1,解得m=52. 答案:525.解:k AB =13,k BC =-12,k CD =13,k AD =-3, 所以直线AD 垂直于直线AB 与CD ,而且直线BC 不平行于任何一条直线,所以四边形ABCD 是直角梯形.《2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 -基础练》同步练习一、选择题1．下列说法中正确的是( ) A ．若直线与的斜率相等，则 B ．若直线与互相平行，则它们的斜率相等C ．在直线与中，若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则与定相交D ．若直线与的斜率都不存在，则2．过点和点的直线与轴的位置关系是（ ） A ．相交但不垂直B ．平行C ．重合D ．垂直3．已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（ ） A ．垂直B ．平行C ．重合D ．相交但不垂直4．已知的三个顶点坐标分别为，，，则其形状为( ) A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．无法判断5．（多选题）下列说法错误．．的是（ ） A ．平行的两条直线的斜率一定存在且相等 B ．平行的两条直线的倾斜角一定相等 C ．垂直的两条直线的斜率之积为一1 D ．只有斜率都存在且相等的两条直线才平行6．（多选题）已知A(m ，3)，B(2m ，m+4)，C(m+1，2)，D(1，0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为 ( )A ．1B ．0C ．2D ．-1 二、填空题7．已知直线l 1的斜率为3，直线l 2经过点A (1,2)，B (2，a )，若直线l 1∥l 2，则a ＝_____；若直线l 1⊥l 2，则a ＝_______1l 2l 12l l //1l 2l 1l 2l 1l 2l 1l 2l 12l l //(1,2)A ()3,2B -x 1l ()3,4A -()8,1B --2l 1351l 2l ABC ∆()5,1A -()1,1B ()2,3C8．直线的倾斜角为，直线过，，则直线与的位置关系为______.9.已知点A （－2，－5），B （6,6），点P 在y 轴上，且∠APB ＝90°，则点P 的坐标为 . 10．已知，，，点满足，且，则点的坐标为______ 三、解答题11．判断下列各小题中的直线l 1与l 2的位置关系． (1)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(2)l 1过点A (3,4)，B (3,100)，l 2过点M (－10,40)，N (10,40)； (3)l 1过点A (0,1)，B (1,0)，l 2过点M (－1,3)，N (2,0)； (4)l 1过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2过点M (5，－2)，N (5,5)． 12．已知在平行四边形ABCD 中，. （1）求点D 的坐标；（2）试判断平行四边形ABCD 是否为菱形.《2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 -基础练》同步练习答案解析一、选择题1．下列说法中正确的是( ) A ．若直线与的斜率相等，则 B ．若直线与互相平行，则它们的斜率相等C ．在直线与中，若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则与定相交D ．若直线与的斜率都不存在，则 【答案】C【解析】对于A, 若直线与的斜率相等，则或与重合；对于B ，若直线与互相平行，则它们的斜率相等或者斜率都不存在；对于D ，若与的斜率都不存在，则1l 452l ()2,1A --()3,4B 1l 2l 1,0A ()3,2B ()0,4C D AB CD ⊥//AD BC D (1,2),(5,0),(3,4)A B C 1l 2l 12l l //1l 2l 1l 2l 1l 2l 1l 2l 12l l //1l 2l 12l l //1l 2l 1l 2l 1l 2l 12l l //或与重合.2．过点和点的直线与轴的位置关系是（ ） A ．相交但不垂直 B ．平行C ．重合D ．垂直【答案】B【解析】两点的纵坐标都等于 直线方程为：直线与轴平行.3．已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（ ） A ．垂直 B ．平行C ．重合D ．相交但不垂直【答案】A 【解析】直线经过，两点 直线的斜率： 直线的倾斜角为 直线的斜率：，，.4．已知的三个顶点坐标分别为，，，则其形状为( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．无法判断【答案】A【解析】由题意得：；,, , 为直角三角形.5．（多选题）下列说法错误．．的是（ ） A ．平行的两条直线的斜率一定存在且相等 B ．平行的两条直线的倾斜角一定相等 C ．垂直的两条直线的斜率之积为一1 D ．只有斜率都存在且相等的两条直线才平行 【答案】ACD【解析】当两直线都与轴垂直时，两直线平行，但它们斜率不存在．所以A 错误．由直线倾斜角定义可知B 正确，当一条直线平行轴，一条平行轴，两直线垂直，但斜率之积不为-1，所以C 错误，当两条直线斜率都不存在时，两直线平行，所以D 错误，故选B ． 6．（多选题）已知A(m ，3)，B(2m ，m+4)，C(m+1，2)，D(1，0)，且直线AB 与直线CD 平行，1l 2l (1,2)A ()3,2B -x ,A B 2∴AB 2y =∴AB x 1l ()3,4A -()8,1B --2l 1351l 2l 1l ()3,4A -()8,1B --∴1l 141138k +==-+2l 135∴2l 2tan1351k ==-121k k ∴⋅=-12l l ∴⊥ABC ∆()5,1A -()1,1B ()2,3C 111152AB k +==--31221BC k -==-1AB BC k k ∴⋅=-AB BC ∴⊥ABC ∆∴x x y则m 的值为 ( )A ．1B ．0C ．2D ．-1 【答案】AB【解析】 当AB 与CD 斜率均不存在时， 故得m=0，此时两直线平行；此时AB ∥CD ，当k AB =k CD 时，，得到m=1，此时AB ∥CD.故选AB ． 二、填空题7．已知直线l 1的斜率为3，直线l 2经过点A (1,2)，B (2，a )，若直线l 1∥l 2，则a ＝_____；若直线l 1⊥l 2，则a ＝_______ 【答案】5；. 【解析】直线l 2的斜率k==a ﹣2．（1）∵l 1∥l 2，∴a ﹣2=3，即a ＝5 （2）∵直线l 1⊥l 2，∴3k=﹣1，即3（a ﹣2）=﹣1，解得a=．8．直线的倾斜角为，直线过，，则直线与的位置关系为______.【答案】平行或重合【解析】倾斜角为， 的斜率，过点， ， 的斜率，， 与平行或重合. 9.已知点A （－2，－5），B （6,6），点P 在y 轴上，且∠APB ＝90°，则点P 的坐标为 . 【答案】（0，－6）或（0,7）【解析】设点P 的坐标为（0，y ）．因为∠APB ＝90°，所以AP ⊥BP ，又k AP ＝，k BP ＝，k AP ·k BP ＝－1，所以·＝－1，解得y ＝－6或y ＝7.所以点P 的坐标为（0，－6）或（0,7）．10．已知，，，点满足，且，则点的坐标为______ 【答案】2,11m m m =+=12m m m+=53221a --531l 452l ()2,1A --()3,4B 1l 2l 1l 451l ∴11k =2l ()2,1A --()3,4B 2l ∴241132k +==+12k k =1l ∴2l 1,0A ()3,2B ()0,4C D AB CD ⊥//AD BC D ()10,6-【解析】设，则，，， ，，解得：，即： 三、解答题11．判断下列各小题中的直线l 1与l 2的位置关系． (1)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(2)l 1过点A (3,4)，B (3,100)，l 2过点M (－10,40)，N (10,40)； (3)l 1过点A (0,1)，B (1,0)，l 2过点M (－1,3)，N (2,0)； (4)l 1过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2过点M (5，－2)，N (5,5)． 【解析】 (1)k 1＝－10，k 2＝＝，∵k 1k 2＝－1，∴l 1⊥l 2.(2)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴，k 2＝＝0，则l 2∥x 轴，∴l 1⊥l 2. (3)k 1＝＝－1，k 2＝＝－1，∴k 1＝k 2.又k AM ＝＝－2≠k 1，∴l 1∥l 2.(4)∵l 1与l 2都与x 轴垂直，∴l 1∥l 2.12．已知在平行四边形ABCD 中，. （1）求点D 的坐标；（2）试判断平行四边形ABCD 是否为菱形.【解析】(1)设D (a ，b )，∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，∴，解得.∴D (－1,6)．(2)∵k AC ＝＝1，k BD ＝＝－1，∴k AC ·k BD ＝－1.∴AC ⊥BD .∴▱ABCD 为菱形．(),D x y 2131AB k ==-422033BC k -==--4CD y k x -=1AD y k x =-AB CD ∵⊥//AD BC 411213AB CD AD BCy k k xy k k x -⎧⋅=⨯=-⎪⎪∴⎨⎪===-⎪-⎩106x y =⎧⎨=-⎩()10,6D -(1,2),(5,0),(3,4)A B C《2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 -提高练》同步练习一、选择题1．下列各对直线不互相垂直的是 ( )A ．l 1的倾斜角为120°，l 2过点P(1，0)，Q(4)B ．l 1的斜率为-，l 2过点P(1，1)，QC．l 1的倾斜角为30°，l2过点P(3，Q(4，D ．l 1过点M(1，0)，N(4，-5)，l 2过点P(-6，0)，Q(-1，3)2．已知，过A (1,1)、B (1，－3)两点的直线与过C (－3，m )、D (n,2)两点的直线互相垂直，则点(m ，n )有 ( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个3．过点和点的直线与过点和点的直线的位置关系是（ ）A ．平行B ．重合C ．平行或重合D ．相交或重合4．已知的顶点，，其垂心为，则其顶点的坐标为( )A ．B ．C ．D ．5．（多选题）下列命题中正确的为( ) A.若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行； B.若两直线平行，则它们的斜率相等； C.若两直线的斜率之积为，则它们垂直； D.若两直线垂直，则它们的斜率之积为.6.（多选题）设点，给出下面四个结论，其中正确结论的是（ ）A. B. C. D. 二、填空题7．已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (2，4)，B (1，2)，C (－2，3)，则BC 边上的高AD2310,2⎛⎫- ⎪⎝⎭(1,1)E (1,0)F -,02k M ⎛⎫- ⎪⎝⎭0,(0)4k N k ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭ABC ∆()2,1B ()6,3C -()3,2H -A ()19,62--()19,62-()19,62-()19,621-1-(4,2),(6,4),(12,6),(2,12)P Q R S --//SR PQ PQ PS ⊥//PS QS RP QS ⊥所在直线的斜率为________．8．已知直线l 1经过点A (0，－1)和点B (－，1)，直线l 2经过点M (1,1)和点N (0，－2)，若l 1与l 2没有公共点，则实数a 的值为________．9．（1）已知点M(1，-3)，N(1，2)，P(5，y)，且∠NMP=90°，则l og 8(7+y)=_________. （2）若把本题中“∠NMP=90°”改为“log 8(7+y)=”，其他条件不变，则∠NMP=_____. 10．若点，，点C 在坐标轴上，使，则点C 的坐标为__________．三、解答题11．已知，，三点，若直线AB 的倾斜角为，且直线，求点A ，B ，C 的坐标．12．已知四边形ABCD 的顶点A (m ，n )、B (5，－1)、C (4,2)、D (2,2)，求m 和n 的值，使四边形ABCD 为直角梯形.《2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 -提高练》同步练习答案解析一、选择题1．下列各对直线不互相垂直的是 ( )A ．l 1的倾斜角为120°，l 2过点P(1，0)，Q(4) B ．l 1的斜率为-，l 2过点P(1，1)，QC．l 1的倾斜角为30°，l2过点P(3，Q(4，D ．l1过点M(1，0)，N(4，-5)，l 2过点P(-6，0)，Q(-1，3) 【答案】C【解析】A ．l 1的倾斜角为120°，l 2过点P(1，0)，Q(4，，k PQ =B ．l 2过点P(1，1)，Q ，k PQ =。
人教A版数学必修二课件：3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
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α2tan α1=-1,
1
所以 tan α2=-tan
1
.
又0°≤α1<180°,0°≤α2<180°,
所以tan α2=tan(90°+α1),
则α2=90°+α1,所以l1⊥l2.
3.对任意两条直线,如果l1⊥l2,一定有k1·k2=-1吗?为什么?
提示:不一定,因为如果直线l1和l2分别平行于x,y轴,则k2不存在,所
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综上所述,a的值为0或5.
反思感悟反思感悟两直线垂直的判定方法
两条直线垂直需判定k1k2=-1,使用它的前提条件是两条直线斜率
都存在,若其中一条直线斜率不存在,另一条直线斜率为零,此时两
直线也垂直,注意讨论的全面性.
-14-
3.1.2
两条直线平行与垂直的判定
探究一
探究二
2022-2023学年高一数学：两条直线平行和垂直的判定
k AB k BC 1，
ABC是直角三角形.
B
O
x
A
练一练
1.已知△ABC的顶点为A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，
求m的值.
解
m＋1 1＋1
若∠A为直角，则AC⊥AB，∴kAC·kAB＝－1， 即 2－5 ·1－5＝－1，解得 m＝－7；
1＋1 m－1
1
A.
1
B.a
C.-
1
)
1
D.- 或不存在
解析:若 a≠0,则 l2 的斜率为-;若 a=0,则 l2 的斜率不存在.
答案:D
3.已知直线l1的倾斜角为45°,直线l1∥l2,且l2过点A(-2,-1)和B(3,a),则a的值为
-(-1)
=1,即
3-(-2)
解析:由题意,得
.
a=4.
答案:4
(3)当两条直线的斜率都存在时，若有两条直线的垂直关系，则
可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率.
典例4
已知A(－6，0)，B(3，6)，P(0，3)，Q(6，－6)，试判断直线AB与PQ
的位置关系.
解：直线AB的斜率k AB
2
3
, 直线PQ的斜率k PQ .
3
2
y
2 3
4.已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2),B(0,1),C(4,3),点D(m,1)在边BC的高所在的直线上,
则实数m=
.
解析:设直线 AD,BC 的斜率分别为 k ,k ,由题意,得 AD⊥BC,
AD
则有 k ·k =-1,
AD
所以有
高中数学两条直线平行与垂直的判定
3.1.2两条直线平行与垂直的判定【知识提炼】1.两条直线平行与斜率之间的关系类型斜率存在斜率不存在条件α1=α2≠90°α1=α2=90°对应关系l1∥l2⇔k1=k2l1∥l2⇔两直线斜率都不存在图示2.两条直线垂直与斜率之间的关系图示对应关l1⊥l2(两直线斜率都存在, l1的斜率不存在,l2的斜率系且都不为零)⇔k ·k =-1 为0⇒ l ⊥l 21 2 1【即时小测】1.思考下列问题:(1)如果两条直线平行,则这两条直线的斜率一定相等吗?提示:不一定.只有在两条直线的斜率都存在的情况下,斜率才相等.(2)如果两条直线垂直,则它们的斜率的积一定等于-1吗?提示:不一定.若两条直线的斜率都存在,它们垂直时斜率之积是-1,但若两条直线垂直时还可能它们的斜率一个是0,另一个不存在.2.若两条直线的斜率都不存在,那么这两条直线都与x轴()A.垂直B.相交C.平行D.答案不确定【解析】选A.当两条直线的斜率都不存在时,这两条直线都垂直于x 轴.3.若直线l1的斜率为,直线l2的倾斜角为60°,则两直线的位置关系为()A.平行B.垂直C.相交D.重合【解析】选A.由于直线l2的倾斜角为60°,则该直线的斜率为,故两直线的斜率相等,所以两直线平行.4.已知点A(2,-1),B(3,2),则线段AB的垂直平分线的斜率为. 【解析】直线AB的斜率为k AB==3,由于线段AB的垂直平分线与直线AB垂直,故两直线的斜率乘积等于-1,则线段AB的垂直平分线的斜率为答案:5.已知直线l1经过两点(-1,-2),(-1,4),直线l2经过两点(2,1),(x,6), 且l1∥l2,则x=.【解析】由于直线l1经过两点(-1,-2),(-1,4),所以l1垂直于x轴,又因为l1∥l2,故x=2.答案:2【知识探究】知识点1 两条直线平行的判定观察如图所示内容,回答下列问题:问题1:两条直线平行与两条直线的斜率有什么关系? 问题2:利用斜率判定两条直线平行有什么前提条件?【总结提升】1.判定两条直线平行的理论依据(1)依据直线的倾斜角的定义可知:若两条不重合的直线的倾斜角相等,则这两条直线平行.(2)依据直线的斜率的定义可知:①若不重合的两条直线l1,l2的斜率都存在,分别为k1,k2,倾斜角分别为α1,α2,则l1∥l2⇔α1=α2⇔k1=k2;②当不重合的两条直线的斜率都不存在时,由于它们的倾斜角都是90°,故它们也互相平行.2.对两条直线平行的判定条件的理解l1∥l2⇔k1=k2成立的前提条件有两个:(1)两条直线的斜率都存在.(2)这两条直线不重合.知识点2 两条直线垂直的判定观察如图所示内容,回答下列问题:问题1:两条直线垂直与两条直线的斜率有什么关系? 问题2:判定两条直线垂直应注意哪些问题?【总结提升】两条直线垂直的判定必须注意的三个问题(1)利用l1⊥l2⇔k1·k2=-1判断两条直线垂直的前提是这两条直线的斜率都存在,且都不为0.(2)如果k1·k2≠-1,则两条直线一定不会垂直.(3)若两条直线中,一条直线斜率不存在,同时另一条直线斜率等于零, 则两条直线垂直.这样,两条直线垂直的判定的条件就可叙述为:l1⊥l2⇔k1·k2=-1或一条直线斜率不存在,同时另一条直线斜率等于零.【知识拓展】求直线斜率的四种常用方法(1)设α为直线的倾斜角(α≠90°),则k=tanα.(2)已知两点A(x1,y1),B(x2,y2),则k=(x1≠x2),此时k的大小与两点顺序无关.(3)利用两斜率存在的直线平行的条件:k1=k2.(4)利用两斜率存在的直线垂直的条件:k1k2=-1.【题型探究】类型一两直线平行【典例】1.下列直线l1与直线l2平行的有.(1)l1经过点A(2,1),B(-3,5),l2经过点C(3,-3),D(8,-7).(2)l1经过点E(0,1),F(-2,-1),l2经过点G(3,4),H(2,3).(3)l1的倾斜角为60°,l2经过点M(1,),N(-2,-2).(4)l1平行于y轴,l2经过点P(0,-2),Q(0,5).2.(2015·通辽高一检测)已知P(-2,m),Q(m,4),M(m+2,3),N(1,1),若直线PQ∥直线MN,求m的值.【解题探究】1.典例1中判断直线l1与直线l2是否平行要从哪两个方面分析?提示:一是判断两条直线的斜率是否相等,二是判断两条直线是否重合.2.典例2中由直线PQ∥直线MN,需要讨论直线PQ,MN斜率的存在性吗?如何讨论?提示:分当m=-2或m=-1以及m≠-2且m≠-1时进行讨论.【解析】1.(1)由题意知,所以直线l1与直线l2平行或重合, 又k BC=故l1∥l2.(2)由题意知,所以直线l1与直线l2平行或重合,k FG=故直线l1与直线l2重合.(3)由题意知,k1=tan60°=,k2=k1=k2,所以直线l1与直线l2平行或重合.(4)由题意知l1的斜率不存在,且不是y轴,l2的斜率也不存在,恰好是y轴,所以l1∥l2.答案:(1)(4)2.当m=-2时,直线PQ的斜率不存在,而直线MN的斜率存在,MN与PQ不平行,不合题意;当m=-1时,直线MN的斜率不存在,而直线PQ的斜率存在,MN与PQ不平行,不合题意;当m≠-2且m≠-1时,因为直线PQ∥直线MN,所以k PQ=k MN,即解得m=0或m=1. 综上,m的值为0或1.【方法技巧】判断两条直线是否平行的步骤【拓展延伸】在证明两直线平行时应注意的特殊情况在证明两直线平行时,要区分平行与重合,必须强调不共线才能确定平行.因为斜率相等也可以推出两条直线重合.【补偿训练】试确定m的值,使过点A(m+1,0),B(-5,m)的直线与过点C(-4,3),D(0,5)的直线平行.【解析】由题意得:k AB=k CD=由于AB∥CD,即k AB=k CD,所以所以m=-2.类型二两条直线垂直【典例】1.下列直线l1与直线l2垂直的有.(1)l1经过点A(-1,-2),B(1,2),l2经过点M(-2,-1),N(2,1).(2)l1经过点A(3,4),B(3,-20),l2经过点M(5,-10),N(-5,-10).(3)l1过点A(),B(0,3),l2过点M(),N(2,0).2.(2015·大同高一检测)已知定点A(-1,3),B(4,2),以A,B为直径作圆,与x轴有交点C,求交点C的坐标.【解题探究】1.典例1中如何由两点的坐标求直线的斜率? 提示:k=(x1≠x2).2.典例2中点C的坐标有何特点?直线AC,BC有何位置关系? 提示:点C的纵坐标为0,直线AC与BC垂直.【解析】1.(1)k1=k2=k1k2=1,所以直线l1与直线l2不垂直.(2)l1的倾斜角为90°,则l1⊥x轴, k2=则l2平行于x轴,所以l1⊥l2.(3)k1=则k1·k2==-1,所以l1⊥l2. 答案:(2)(3)2.以线段AB为直径的圆与x轴交点为C.则AC⊥BC,设C(x,0),则所以所以x=1或2,所以C(1,0)或(2,0).【延伸探究】(改变问法)判断本例1(1)中直线AM和直线BM是否垂直?【解题指南】利用斜率公式求出直线AM和直线BM的斜率,再利用两直线垂直的条件判断.【解析】由斜率公式可得k AM=k BM=因为k AM·k BM=-1,所以直线AM和直线BM垂直.【方法技巧】1.两条直线垂直的判定条件(1)如果两条直线的斜率都存在且它们的积为-1,则两条直线一定垂直.(2)两条直线中,如果一条直线的斜率不存在,同时另一条直线的斜率为0,那么这两条直线也垂直.2.使用斜率公式判定两直线垂直的步骤(1)一看:就是看所给两点的横坐标是否相等,若不相等,则直线的斜率不存在,若不相等,则进行第二步.(2)二代:就是将点的坐标代入斜率公式.(3)求值:计算斜率的值,进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时,应用斜率公式对参数进行讨论.【变式训练】已知A(-m-3,2),B(-2m-4,4),C(-m,m),D(3,3m+2),若直线AB⊥CD,求m的值.【解析】因为A,B两点纵坐标不等,所以AB与x轴不平行或重合.因为AB⊥CD,所以CD与x轴不垂直,所以-m≠3,m≠-3.当AB与x轴垂直时,-m-3=-2m-4,解得m=-1.此时,C,D纵坐标均为-1,所以CD与x轴平行,所以AB⊥CD满足题意.当AB与x轴不垂直时,由斜率公式因为AB⊥CD,所以k AB·k CD=-1,即解得m=1. 综上,m的值为1或-1.【误区警示】解答本题易漏掉直线斜率不存在的情况.【补偿训练】直线l1的斜率k1=,直线l2经过点A(3a,2),B(0,a),且l1⊥l2,求实数a的值.【解析】由l1⊥l2可知k1k2=-1,即解得a=类型三垂直与平行的综合应用【典例】(2015·衡水高一检测)已知矩形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四个顶点D的坐标.【解题探究】典例中由矩形可得哪些平行和垂直关系?如何建立等量关系?提示:可得邻边垂直,对边平行,利用斜率关系建立等式求解.【解析】设第四个顶点D的坐标为(x,y),因为AD⊥CD,AD∥BC,所以k AD·k CD=-1,且k AD=k BC.所以解得所以第四个顶点D的坐标为(2,3).【延伸探究】1.(变换条件)若在本例中假设点D的坐标为(3,2),求点C的坐标.【解析】设点C的坐标为(x,y),因为AD⊥CD,AD∥BC,所以k AD·k CD=-1,且k AD=k BC.所以即解得故点2.(变换条件)若将本题中的矩形改为平行四边形ABCD,其三个顶点的坐标分别变为A(1,5),B(-1,1),C(3,2),求顶点D的坐标.【解析】因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB∥DC,AD∥BC,即k AB=k DC,k AD=k BC,设D(x,y),则解得x=5,y=6,故点D(5,6).【方法技巧】利用两条直线平行或垂直来判定图形形状的步骤(1)描点:在坐标系中描出给定的点.(2)猜测:根据描出的点,猜测图形的形状.(3)求斜率:根据给定点的坐标求直线的斜率.(4)结论:由斜率之间的关系,判断形状.【补偿训练】△ABC的顶点A(5,-1),B(1,1),C(2,m),若△ABC是以点A为直角顶点的直角三角形,求m的值.【解析】因为∠A为直角,则AC⊥AB,所以k AC·k AB=-1,即=-1,得m=-7.【延伸探究】1.(变换条件)本例中若改为∠A为锐角,其他条件不变,如何求解m的值. 【解析】由于∠A为锐角,故∠B或∠C为直角.若∠B为直角,则AB⊥BC,所以k AB·k BC=-1,即=-1,得m=3;若∠C为直角,则AC⊥BC,所以k AC·k BC=-1,即=-1,得m=±2.综上可知,m=3或m=±2.2.(变换条件)若将本例中的条件“点A为直角顶点”去掉,改为若△ABC为直角三角形,如何求解m的值.【解析】若∠A为直角,则AC⊥AB,所以k AC·k AB=-1, 即=-1,得m=-7;若∠B为直角,则AB⊥BC,所以k AB·k BC=-1,即=-1,得m=3;若∠C为直角,则AC⊥BC,所以k AC·k BC=-1,即=-1,得m=±2.综上可知,m=-7或m=3或m=±2.规范解答由两条直线平行、垂直的条件求参数的值【典例】(12分)已知直线l1经过A(3,m),B(m-1,2),直线l2经过点C(1,2),D(-2,m+2).(1)若l1∥l2,求m的值.(2)若l1⊥l2,求m的值.【审题指导】(1)直线l2的斜率存在,当l1∥l2时,则有k1=k2,列等式求解m.(2)由l1⊥l2,要分情况讨论k2=0或k2≠0,再由k1·k2=-1列出等式求得m的值.。
高中数学 两条直线平行与垂直的判定 PPT课件 图文
【解析】1.根据题中的条件及斜率公式得 (1)kl15 4,kl2 2,所 以 kl1kl2,所以直线l1与l2不平行. (2)kl1 3kl2,所以l1∥l2或l1与l2重合. (3)l1斜率不存在，且直线l1与y轴不重合，而l2的斜率也不存 在，且恰好是y轴，所以l1∥l2． 答案：(3)
2.“练一练”尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线上).
(1)直线l1,l2满足l1⊥l2,若直线l1的倾斜角为30°,则直线l2的斜
率为
.
(2)直线l1过点A(0,3),B(4,-1),直线l2的倾斜角为45°,则直
线l1与l2的位置关系是
.
(3)直线l1过A(-2,m)和B(m,4),直线l2的斜率为-2,且l1∥l2,则
所以C点坐标为 (0,5 17)或(0， 5 17).
2
2
【技法点拨】使用斜率公式判定两直线垂直的步骤 (1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直 线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步. (2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式. (3)求值：计算斜率的值，进行判断.尤其是点的坐标中含有 参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论.
【解析】1.直线PQ的斜率kPQ= 2 ，当m≠-1时，直线AB的斜率
7
kAB
3m2 ． 22m
(1)因为AB∥PQ，所以kAB=kPQ,
即 3m 2 2 ,
2 2m 7
解得 m
2. 5
(2)因为AB⊥PQ,所以kAB·kPQ=-1,
即 3m2 21,
22m 7
解得 m 9 .
【探究提升】两条直线垂直的等价条件
(1)直线的斜率存在时,l1⊥l2则
高中数学知识点总结(第九章 平面解析几何 第二节 两直线的位置关系)
第二节 两直线的位置关系一、基础知识1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在， 设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 3．三种距离公式 (1)两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(2)点到直线的距离公式点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两平行直线间的距离公式两条平行直线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0 间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.二、常用结论(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直或平行的直线方程可设为： ①垂直：Bx －Ay ＋m ＝0；②平行：Ax ＋By ＋n ＝0. (2)与对称问题相关的四个结论：①点(x ，y )关于点(a ，b )的对称点为(2a －x,2b －y )．②点(x ，y )关于直线x ＝a 的对称点为(2a －x ，y )，关于直线y ＝b 的对称点为(x,2b －y )． ③点(x ，y )关于直线y ＝x 的对称点为(y ，x )，关于直线y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )． ④点(x ，y )关于直线x ＋y ＝k 的对称点为(k －y ，k －x )，关于直线x －y ＝k 的对称点为(k ＋y ，x －k )．考点一 两条直线的位置关系[典例] 已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m ，n 的值，使 (1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8＋n ＝0，2m －m －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝7.即m ＝1，n ＝7时，l 1与l 2相交于点P (m ，－1)．(2)∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－16＝0，－m －2n ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.即m ＝4，n ≠－2或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2. (3)当且仅当2m ＋8m ＝0， 即m ＝0时，l 1⊥l 2. 又－n8＝－1，∴n ＝8.即m ＝0，n ＝8时，l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.[解题技法]1．．由一般式确定两直线位置关系的方法[题组训练]1．已知直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直，垂足为(t,1)，则n的值为() A．7B．9C．11 D．－7解析：选A由直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直得，20－2m＝0，m＝10.直线4x＋10y－6＝0过点(t,1)，所以4t＋10－6＝0，t＝－1.点(－1,1)又在直线5x－2y＋n＝0上，所以－5－2＋n＝0，n＝7.2．(2019·保定五校联考)直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C由l1∥l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1∥l2”的充要条件，故选C.考点二距离问题[典例](1)过点P(2,1)且与原点O距离最远的直线方程为()A．2x＋y－5＝0B．2x－y－3＝0C．x＋2y－4＝0 D．x－2y＝0(2)若两平行直线l1：x－2y＋m＝0(m＞0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是5，则m ＋n＝()A ．0B ．1C ．－2D ．－1[解析] (1)过点P (2,1)且与原点O 距离最远的直线为过点P (2,1)且与OP 垂直的直线，因为直线OP 的斜率为1－02－0＝12，所以所求直线的斜率为－2，故所求直线方程为2x ＋y －5＝0.(2)因为l 1，l 2平行，所以1×n ＝2×(－2)，1×(－6)≠2×m ，解得n ＝－4，m ≠－3，所以直线l 2：x －2y －3＝0.又l 1，l 2之间的距离是 5，所以|m ＋3|1＋4＝5，解得m ＝2或m ＝－8(舍去)，所以m ＋n ＝－2，故选C.[答案] (1)A (2)C[解题技法]1．点到直线的距离的求法可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式． 2．两平行线间的距离的求法(1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．(2)利用两平行线间的距离公式． [题组训练]1．已知点P (2，m )到直线2x －y ＋3＝0的距离不小于25，则实数m 的取值范围是________________．解析：由题意得，点P 到直线的距离为|2×2－m ＋3|22＋12≥25，即|m －7|≥10，解得m ≥17或m ≤－3，所以实数m 的取值范围是(－∞，－3]∪[17，＋∞)．答案：(－∞，－3]∪[17，＋∞)2．如果直线l 1：ax ＋(1－b )y ＋5＝0和直线l 2：(1＋a )x －y －b ＝0都平行于直线l 3：x －2y ＋3＝0，则l 1，l 2之间的距离为________．解析：因为l 1∥l 3，所以－2a －(1－b )＝0，同理－2(1＋a )＋1＝0，解得a ＝－12，b ＝0，因此l 1：x －2y －10＝0，l 2：x －2y ＝0，d ＝|－10－0|12＋－22＝2 5.答案：25考点三 对称问题[典例] 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)． (1)求点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程． [解] (1)设A ′(x ，y )，再由已知得 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413，所以A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在m ′上．设对称点为M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又因为m ′经过点N (4,3)，所以由两点式得直线m ′方程为9x －46y ＋102＝0.[变透练清] 1.变结论在本例条件下，则直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程为________________．解析：法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点， 如M (1,1)，N (4,3)，则M ，N 关于点A 的对称点M ′，N ′均在直线l ′上． 易知M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)， 由两点式可得 l ′的方程为2x －3y －9＝0. 法二：设P (x ，y )为l ′上任意一点， 则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为 P ′(－2－x ，－4－y )，∵P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0. 答案：2x －3y －9＝02．(2019·合肥四校联考)已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －－3＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0.答案：6x －y －6＝0[解题技法]1．中心对称问题的两个类型及求解方法 (1)点关于点对称若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1进而求解．(2)直线关于点对称①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程； ③轨迹法，设对称直线上任一点M (x ，y )，其关于已知点的对称点在已知直线上． 2．轴对称问题的两个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称， 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ×x 1＋x 22＋B ×y 1＋y22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1×⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)．(2)直线关于直线的对称一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．[课时跟踪检测]1．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0垂直的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选C 因为直线x －2y －2＝0的斜率为12，所以所求直线的斜率k ＝－2.所以所求直线的方程为y －0＝－2(x －1)， 即2x ＋y －2＝0.2．已知直线l 1：2ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0和l 2：(a ＋1)x ＋(a －1)y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝( ) A ．2或12B.13或－1 C.13D ．－1解析：选B 因为直线l 1⊥l 2，所以2a (a ＋1)＋(a ＋1)(a －1)＝0，解得a ＝13或－1.3．若点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则点P 的坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2) 解析：选C 设P (x,5－3x )，则d ＝|x －5＋3x －1|12＋－12＝2，化简得|4x －6|＝2，即4x －6＝±2，解得x ＝1或x ＝2，故P (1，2)或(2，－1)．4．(2018·揭阳一模)若直线l 1：x －3y ＋2＝0与直线l 2：mx －y ＋b ＝0关于x 轴对称，则m ＋b ＝( )A.13 B ．－1 C ．－13D ．1解析：选B 直线l 1：x －3y ＋2＝0关于x 轴对称的直线为x ＋3y ＋2＝0.由题意知m ≠0. 因为mx －y ＋b ＝0，即x －y m ＋bm＝0，且直线l 1与l 2关于x 轴对称，所以有⎩⎨⎧－1m＝3，bm ＝2，解得⎩⎨⎧m ＝－13，b ＝－23，则m ＋b ＝－13＋⎝⎛⎭⎫－23＝－1. 5．点A (1,3)关于直线y ＝kx ＋b 对称的点是B (－2,1)，则直线y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距是( )A ．－32B.54 C ．－65D.56解析：选D 由题意，知⎩⎨⎧3－11＋2·k ＝－1，2＝k ·⎝⎛⎭⎫－12＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝－32，b ＝54.∴直线方程为y ＝－32x ＋54，它在x 轴上的截距为－54×⎝⎛⎭⎫－23＝56.故选D. 6．(2019·成都五校联考)已知A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．2x ＋y －7＝0B ．x ＋y －5＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x －y －1＝0解析：选B 由|P A |＝|PB |得点P 一定在线段AB 的垂直平分线上，根据直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，可得A (－1,0)，将x ＝2代入直线x －y ＋1＝0，得y ＝3，所以P (2，3)，所以B (5,0)，所以直线PB 的方程是x ＋y －5＝0，选B.7．若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A ．3 2B ．22C ．3 3D ．42解析：选A 依题意知AB 的中点M 的集合为与直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0距离都相等的直线，则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式得|m ＋7|2＝|m ＋5|2⇒|m ＋7|＝|m ＋5|⇒m ＝－6，即l ：x ＋y －6＝0.根据点到直线的距离公式，得M 到原点的距离的最小值为|－6|2＝3 2. 8．已知点A (1,3)，B (5，－2)，在x 轴上有一点P ，若|AP |－|BP |最大，则P 点坐标为( )A ．(3.4,0)B ．(13,0)C ．(5,0)D ．(－13,0)解析：选B 作出A 点关于x 轴的对称点A ′(1，－3)，则A ′B 所在直线方程为x －4y －13＝0.令y ＝0得x ＝13，所以点P 的坐标为(13,0)．9．经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________．解析：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0得x ＝0，y ＝2，即P (0,2)．因为l ⊥l 3，所以直线l 的斜率k ＝－43，所以直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.答案：4x ＋3y －6＝010．已知点P 1(2,3)，P 2(－4,5)和A (－1,2)，则过点A 且与点P 1，P 2距离相等的直线方程为________．解析：当直线与点P 1，P 2的连线所在的直线平行时，由直线P 1P 2的斜率k ＝3－52＋4＝－13，得所求直线的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线过线段P 1P 2的中点时，因为线段P 1P 2的中点坐标为(－1,4)，所以直线方程为x ＝－1.综上所述，所求直线方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.答案：x ＋3y －5＝0或x ＝－111．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是________．解析：由题意得直线x －2y ＋1＝0与直线x ＝1的交点坐标为(1,1)．又直线x －2y ＋1＝0上的点(－1,0)关于直线x ＝1的对称点为(3,0)，所以由直线方程的两点式，得y －01－0＝x －31－3，即x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝012．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________．解析：设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，把B 点坐标代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上， 所以由两点式得直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 答案：x ＋4y －4＝013．已知△ABC 的三个顶点是A (1,1)，B (－1,3)，C (3,4)． (1)求BC 边的高所在直线l 1的方程；(2)若直线l 2过C 点，且A ，B 到直线l 2的距离相等，求直线l 2的方程．解：(1)因为k BC ＝4－33＋1＝14，又直线l 1与BC 垂直，所以直线l 1的斜率k ＝－1k BC ＝－4，所以直线l 1的方程是y ＝－4(x －1)＋1，即4x ＋y －5＝0.(2)因为直线l 2过C 点且A ，B 到直线l 2的距离相等， 所以直线l 2与AB 平行或过AB 的中点M ， 因为k AB ＝3－1－1－1＝－1，所以直线l 2的方程是y ＝－(x －3)＋4，即x ＋y －7＝0. 因为AB 的中点M 的坐标为(0,2)， 所以k CM ＝4－23－0＝23，所以直线l 2的方程是y ＝23(x －3)＋4，即2x －3y ＋6＝0. 综上，直线l 2的方程是x ＋y －7＝0或2x －3y ＋6＝0.。
两条直线平行和垂直的判定ppt课件
6. 过 Am,1 与 B(1, m) 的 直 线 与 过 点 P(1,3) ， Q(5,0) 的 直 线 垂 直 ， 则
-3 m _____________.
解析：过点
Am,1
与
B(1,
m)
的直线的斜率为
m 1 1 m
,
过点 P(1,3) ， Q(5,0) 的直线的斜率为 3 0 1 , 15 2
l1 l2 k1k2 1 .
直线斜率 对应关系
图示
k1，k2 都存在 若 l1⊥l2 ⇔ k1·k2 = – 1
y
l1
l2
x
O
一条斜率不存在，另一条斜率为零
l1与l2的位置关系是 l1⊥l2
y
l2
l1
O
x
注意：“两条直线的斜率之积等于–1”是“这两条直线垂直”的充 分不必要条件；因为两条直线垂直时，除了斜率之积等于 –1，还有 可能一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为 0.
值范围及正切函数的单调性可知，1 2 ，因此l1 l2 .
y l1 l2
α2 α1
O
x
对于斜率分别为 k1 ， k2 的两条直线l1 ，l2 ，有 l1 l2 k1 k2 .
注意:当1 2 90 时，直线的斜率不存在，此时l1 l2 . 若直线 l1 ，l2 重合，此时仍然有 k1 k2 .用斜率证明三点共线时，常常用到这个结论.
不存在，下面对 a 进行讨论：当 a 2 3 ，即 a 5 时，l1 的斜率不存在，l2 的斜率
为 0，此时满足 l1 l2 .当 a 2 3，即 a 5 时，直线l1 ，l2 的斜率均存在.设直线l1 ，
l2
的斜率分别为 k1
，k 2
高一数学两条直线平行与垂直的判定1
；
/ 猫先生电竞
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起来，哽咽着说：“好娃儿，义父今日能有你们，是我三生的福分啊！只是，义父没有什么可以送给你们的东西„„”尚文激 动地说：“义父您已经给了我们很多很多了，您教我们如何做人„„”尚英流着泪接着说：“还教了我们那么多文化知识„„” 尚武被扶起来后直接就扑在了耿老爹的怀里，动情地说：“您还给了我第二次生命！”李长善激动地对妻子说：“你快去准备 酒菜，咱们大家一起喝杯认亲的喜酒啊！”当晚，在热泪和欢笑中，大家请华老郎中坐在正位，李长善和耿老爹左右相陪，李 妻坐在丈夫旁边，李尚武坐在耿老爹旁边，尚文和尚英坐在华老郎中对面，高高兴兴地喝了认亲酒。次日晚饭后，华老郎中继 续为耿老爹进行后续。半个月后，耿老爹终于把被洪水卷走的瞬间所采取的自救措施、两年半之前在青松山上小寺庙里的经历， 以及那日午后为寻找“小直子”而胡乱转悠到山镇外遇到小尚武„„也全部记起来了。直到这个时候，华老郎中才确认，耿老 爹终于彻底清醒了。当耿老爹把在小寺庙里的经历讲给李长善和华老郎中之后，李长善也将当初王郎中见到小沙弥着急寻找他 的事情说了一遍。耿老爹听着听着就流下了眼泪，听完了以后，他心情复杂地说：“小沙弥是我第一个认作‘小直子’的娃儿。 他也就武儿当年的那个年龄，非常聪明善良，任凭我怎么追着他喊‘小直子’，爹长爹短的缠着他，不让他离开半步，他都从 来没有不耐烦过我。问他哥哥和姐姐哪里去了，他就换着法子哄着我„„小寺庙里的长老还为我采药治病扎针的，费了不少心 呢！还有啊，那个憨憨的大徒弟和二徒弟对我也很不错！我想过些日子咱地里的活儿不太忙了的时候，去看看这师徒四人，谢 谢人家当初救了我！”李长善说：“耿大哥真是有情有义的人，但你不必去了。听后来给你看病的几位郎中说，那个小寺庙里 一年多之前就空无一人了！”耿老爹不解：“为什么啊？那位长老的年龄是大了一些，但他的三个徒弟还小呢！尤其那个小沙 弥，我一闭上眼就会看到他机灵可爱的样子，很想再见见他！”李长善说：“听几位郎中都说，老和尚圆寂以后，三个徒弟都 不愿意再辛苦维持，就各自回家还俗了。也是的，那个小寺庙香火不旺，维持很难的。三个徒弟年龄都不大，还俗了也未尝不 是一件好事情！”耿老爹问：“郎中们可说过这三个徒弟都是哪方人氏，我想再见见那个小沙弥。还有，哪天了我想去给圆寂 的老和尚烧烧纸！”李长善叹口气说：“唉，三个徒弟是哪方人氏有谁会知道呢！至于给老和尚烧纸也是没有必要的。据说， 圆寂后的和尚们本不兴这个呢！”耿老爹听了，不断地摇头叹息。李长善就劝他，说：“这就是他们出家人常说的‘缘’啊！ 凡事皆是缘。有缘就聚，缘尽了就散。这人哪，随缘就最好
人教版高中数学必修2(A版) 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 PPT课件
O
α1
α2
x
结论：如果两条直线l1、l2都有斜率，且分别为 k1、k2，则有 l ⊥l k k =-1
1 2 1 2 .
例题精讲
例3、已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3） Q（6，-6），判断直线AB与PQ的位置关系。
解 : k AB k PQ
63 2 3 (6) 3 63 3 60 20y源自C BOx
A
课堂练习
1、已知直线l 的倾斜角是α ，且450≤α ≤1350, 求直线的斜率k的取值范围。
2、已知直线l 的斜率是k，且0≤k≤1,求直线l 的倾斜角α 的取值范围。
3、 若三点A（5，1），B（a，3），C（-4，2） 在同一条直线上，确定常数a的值.
作业布置
课本89页，习题3.1 A组 6、7题
k AB kPQ -1 BA PQ
例题精讲
例4、已知A（5，-1），B（1，1），C（2，3）三 点，试判断△ABC的形状。
1 ( 1) 1 解: k AB 1 5 2 3 1 k BC 2 2 1 k AB k BC 1 AB BC 即ABC 90 因此ABC是直角三角形 .
y
D C
A
∥ DA AB∥CD, BC
因此四边形ABCD是平行四边形 .
O
B
x
探究：当两条垂直直线有一条直线的斜率不存在， 则另外一条直线的斜率呢？
结论：另外一条直线的斜率是零
探究：当两条直线l1、l2的斜率都存在，分别为k1、k2.
当l1与l2 垂直时 ，k1与k2满足什么关系？ y
l2 l1
例题精讲
例1、已知A（2，3），B（-4，0），P（-3，1）， Q（-1，2），试判断直线BA与PQ的位置关系，并 证明你的结论。
3[1].1.2nbsp两条直线平行与垂直的判定1
![3[1].1.2nbsp两条直线平行与垂直的判定1](https://img.taocdn.com/s3/m/bb9816f87c1cfad6195fa77a.png)
tan 0 0
tan tan(180 )
tan120 tan 60 3 tan135 tan 45 1
3 tan 30 3 tan 45 1
tan 60 3
3 tan150 tan 30 3
tan 90不存在
当0< 90时， tan 0 当90< 180时， tan 0
思考：l1// l2时，k1与k2满足什么关系？
y
解：若l1 // l2 , 则1 2 tan 1 tan 2 k1 k2
l1 l2
反之，若k1 k2 , 则l1 // l2
y
解：
D C
1 AB边所在直线的斜率k AB , 2 1 CD边所在直线的斜率kCD , 2 3 BC边所在直线的斜率k BC , 2 3 DA边所在直线的斜率k DA , 2
x
A
O
B
k AB kCD , kBC kDA ,
AB // CD, BC // DA
四边形ABCD是平行四边形.
直线AB PQ.
例4 已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3)三点， 试判断三角形ABC的形状.
y
C
1 解： AB边所在直线的斜率k AB 2 , BC边所在直线的斜率kBC 2,
k AB kBC 1
B
O
0 AB BC , 即 ABC 90 x
A
ABC是直角三角形.
l1 l2 k1 k2 1或l1 , l2一斜率不存在另一斜率 为0
作业设计：
P 3.1 A组6, 7,8 89 习题 B组1,2,3,4,5,6
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或k1,k2都不存在 两条直线平行,它们的斜率相等吗？
前提:两条直线不重合,斜率都存在
L1// L2 k1=k2
例题：
已知A（2，3），B（-4，0），P（-3，1），
Q（-1，2），试判断直线BA与PQ的位置关系，
并证明你的结论.
y
Q
A
P
B
0
x
练习：已知四边形ABCD的四个顶点分别为
已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3），Q（6，n） (或Q（m，6）)直线BA与直线PQ垂直,请确定Q点的坐标.
练习：
已知A（-6，0），B（3，6），P（m，3），Q（6，6）， 直线BA与直线PQ垂直,请确定P点的坐标.
已知A（-6，0），B（3，6），P（m，3）(或P（0，n）)， Q（6，6），直线BA与直线PQ垂直,请确定P点的坐标.
2
所以直线AB PQ.
练习
试确定m的值,使过点A（m，1），B（-1，m）的直线 与过点P（1，2），Q（-5，0）的直线 (1)平行 (2)垂直
练习
已知A（1，-1），B（2，2），C（3，0）， 三点，求点D，使直线CD AB，且CB //AD.
学完一节课或一个内容,
应当及时小结,梳理知识
A（0，0），B（2，-1），C(4,2),D（2，3）， 试判断四边形ABCD的形状,并给出证明.
y
D
C
OA
x
B
当L1// L2时,有k1=k2。 L1⊥ L2时,
k1与k2满足什么关系？
y
1
2
x
(1) 1 450
2 1350
k1 1 k 2 1
Y
(2) 1 300
2 1200
k1
3 3
前提条件：两条直线都有斜率,并且都 不等于零.
L1⊥ L2 k1k2= -1
练习：
已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3）， Q（6，6），试判断直线BA与PQ的位置关系.
k 解：直线AB的斜率 2 ,
AB 3
k 直线PQ的斜率 3 .
PQ
2
k k 由于
2 （ 3） 1
3 AB PQ
一、知识内容上
L1// L2 k1=k2 （前提:两条直线不重合,斜率都
存在）
L1⊥
L2
k1k2=
-1 （前提：两条直线都有斜率,
并且都不等于零.）
二、思想方法上
（1）运用代数方法研究几何性质及其相互位置关系
（2）数形结合的思想
练习：
已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3），Q（m，6）， 直线BA与直线PQ垂直,请确定Q点的坐标.
两条直线平行与垂直的判定
复习
倾斜角 斜率
经过P1 (x1 , y1 ) , P2 (x2 , y 2 ) 的直线斜率公式k源自y2 x2y1 x1
(x1
x2 )
平面上两条直线位置关系
y
o x
有平行,相交两种
如果两条直线互相平行,它们的倾斜 角满足什么关系？它们的斜率呢？
y
L1 L2
o
x
前提:两条直线不重合 L1// L2← → 直线倾斜角相等
k2 3 Y
(3) 1 600
2 1500
k
k
1 2
3 3
3
Y
1
2 X
(1)
1
2X
(2)
1
2 X
(3)
当L1// L2时,有k1=k2。 L1⊥ L2时,
k1与k2满足什么关系？
y
1
2
x
L1 ⊥ L2 ←→
K1k2= -1
或直线L1 与 L2中有 一条斜率为零,另一条 斜率不存在
两条直线垂直,一定是它们的斜率 乘积为-1这种情况吗？