奥数：因式分解

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奥数：因式分解

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;

卷I （选择题）

一、 选择题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ， ）

1. 甲和乙两同学分解因式x 2+mx +n ，甲看错了n ，分解结果为：(x +2)(x +4)，乙看错了m ，分解结果为：(x +1)(x +9).此多项式因式分解的正确结果是：( ) A.(x +1)(x +4) B.(x +2)(x +3) C.(x +3)2 D.(x +4)2

2. 若(5x −6)(2x −3)=ax 2+bx +c ，则2a +b −c 等于( ) A.−25 B.−11 C.4 D.11

3. 关于x 的二次三项式x 2−4x +c 能分解成两个整系数的一次二项式的积，则c 可取下面四个值中的（ ） A.−8 B.−7 C.−6 D.−5

卷II （非选择题）

二、 解答题 （本题共计 17 小题 ，每题 8 分 ，共计136分 ， ）

4. 仔细阅读下面例题，解答问题：

例题：已知二次三项式x 2−4x +m 有一个因式是x +3，求另一个因式以及m 的值． 解：设另一个因式为x +n ，得x 2−4x +m ＝(x +3)(x +n)， 则x 2−4x +m ＝x 2+(n +3)x +3n ，∴ {

n +3=−4

m =3n ， 解得，{

n =−7

m =−21

， ∴ 另一个因式为x −7，m 的值为−21． 仿照例题方法解答：

（1）若二次三项式x 2−9x −22的一个因式为x +2，求另一个因式；

（2）若二次三项式2x 2+bx −5有一个因式是2x −5，求另一个因式以及b 的值．

5. 【知识经验】

我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有很多，下面我们一起再学习三种因式分解的方法吧． 【学习拓展】

(1)分组分解法：将-个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解因式的方法． 例：x 2−2xy +y 2+4x −4y =(x 2−2xy +y 2)+(4x −4y)=(x −y)(x −y +4)． 分组分解法中分组的目的是：分组后小组内及小组之间能提公因式或运用公式．

试卷第2页，总19页

………○…※※题※※

………○…(2)十字相乘法

例：分解因式：2x 2−x −6．

分析：二次项系数2分解成2与1的积；常数项−6分解成−1与6（或−6与1，−2与3，−3与2)的积，但只有当−2与3按如图1所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数−1．

所以：2x 2−x −6=(2x +3)(x −2)．

小结：用十字相乘法分解形如ax 2+bx +c 时，二次项系数a 分解成 a 1与a 2的积，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；常数项c 分解成c 1与c 2的积，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，把a 1，a 2，c 1，c 2按如图2所示方式排列，当且仅当a 1c 2+a 2c 1=6（一次项系数）时，ax 2+bx +c 可分解因式．即ax 2+bx +c =(a 1x +c 1)(a 2x +c 2)．

(3)拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，重新分组，可提公因式或运用公式继续分解的方法． 例：3x 3+7x 2−4

=3x 3−2x 2+9x 2−4（拆项）

=(3x 3−2x 2)+(9x 2−4)（分组分解） =x 2(3x −2)+(3x +2)(3x −2)

=(3x −2)(x 2+3x +2)（十字相乘法）

=(3x −2)(x +1)(x +2)（达到每一个多项式因式不能再分解为止） 【学以致用】利用上面的方法将下列各式分解因式： (1)a 3+2a 2+4a +8；

(2)3x 2+2x −5；

(3)x 3+3x 2−4．

6. (xy +1)(x +1)(y +1)+xy ．

7. 已知关于x 的二次三项式x 2+mx +10有一个因式(x +5)，求另一个因式和m 的值．

8. 两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成

2(x −1)(x −9)，另一位同学因看错了常数项而分解成2(x −2)(x −4)，求出原多项式．

9. 分解因式：x 2−(m 2+n 2)x +mn(m 2−n 2)

10. 已知16x ⋅21y =336，求1

x +1

y 的值．

11. 分解因式：3x 4−28x 3−17x 2+2x ．

12. 因式分解：

（1）x 2−3xy −10y 2+x +9y −2；

（2）x3−11x2+31x−21．

13. 分解因式：(2x−3y)3+(3x−2y)3−125(x−y)3．

14. 已知a+b=2

3

，ab=2，求下列代数式的值

（1）a2b+2a2b2+ab2；

（2）a2+b2

（3）a3+b3．

15. a，b，c是三角形三边长，且a2−16b2−c2+6ab+10bc＝0，求证：a+c＝2b．

16. 分解因式：x4+1997x2+1996x+1997．

17. a，b，c为非负实数，a2+b2+c2=1，a(1

b +1

c

)+b(1

c

+1

a

)+c(1

a

+1

b

)=−3，求

a+b+c的值．

18. (a+b−2ab)(a+b−2)+(1−ab)2．

19. 设a，b是两个不相等的正整数，P为质数，满足b2+a=p2，且a2+b

b2+a

是整数．（1）求证：a>b；

（2）求p的值；

（3）求a，b的值．

20. 根据规律回答问题：

12×18=1×(1+1)×100+2×8=216

23×27=2×(2+1)×100+3×7=621

84×86=8×(8+1)×100+4×6=7224

（1）根据规律计算：952=________．

（2）用含有n和m的式子表示上面的规律并证明．