第二章作业

2m 2 m 3g a1 = 4 m 1m 2 + (m 1 + m 2 )m 3
2 m 1m 3 g a2 = 4 m 1m 2 + (m 1 + m 2 )m 3
(m 1 + m 2 )m 3 g a3 = 4 m 1m 2 + (m 1 + m 2 )m 3
m 3g − T = m 3a T = m 1a 1 = m 2 a 2 2 a 1 = a + a r a 2 = a − a r
(1)变力 变力F(t)； ； 变力 (2)物体从开始运动到平衡状 物体从开始运动到平衡状 态所需的时间和物体的最大 速度。 速度。
x F a m mg
这是一个已知质量和运动规律，求力的问题。 解 这是一个已知质量和运动规律，求力的问题。 取物体为研究对象，并视为质点， 取物体为研究对象，并视为质点，把物体和绳隔离 开来并分析物体的受力情况得：物体受重力mg和 开来并分析物体的受力情况得：物体受重力 和 向上的拉力F(t)。 向上的拉力 。 (1)若选取竖直向上为坐标轴 的正向，由牛顿第 若选取竖直向上为坐标轴OX的正向 若选取竖直向上为坐标轴 的正向， 二定律得 dv d 2 3 2 F (t ) − mg = m = m ( 2t − t ) dt dt 3 故
v 1 µ 两边积分： - dt = ∫ 2 dv ∫0 R v0 v t
v0R ∴v = R + v 0µt
(2)
v0 v0 v0R R v = 时， = ⇒t= 2 2 R + v 0µt µv 0
ds v = ⇒ ds = vdt dt
v0R ∫0 ds = ∫0 R + v0µt dt
s t
∫
x
5
dx = ∫ 6 t 2 + 4t + 6 dt
0
t
(
)
∴ v = 6t + 4t + 6
2
∴ x = 2t 3 + 2t 2 + 6t + 5
v 3 2 即 x = 2t + 2t + 6t + 5 ˆ m i
v 即 v = 6t 2 + 4t + 6 ˆ m / s i
(
)
(
)
2.9 质量为m的物体，在恒定的牵引力F的作用下运动，若物体受到 2 的阻力 Fr = kv ，它的最大速率为 v m。试计算物体从静止加速 vm 到 所需的时间以及物体经过的路程。 2 F合 F − kv 2 = 且由题知： F = kv 2 解： a = m m m F − kv 2 dv m = ⇒ dt = dv 2 m dt F − kv
一根不伸长的无摩擦的轻绳跨过定滑轮， 一根不伸长的无摩擦的轻绳跨过定滑轮，绳子一端 挂一质量为m的物体 绳的另一端施一变力F(t)(如 的物体， 挂一质量为 的物体，绳的另一端施一变力 如 图)。当F=mg时，此系统处于平衡状态。从某一时 。 时 此系统处于平衡状态。 刻起， 开始运动。试求： 刻起，物体以速度2 − 2 t 3 开始运动。试求： v = 2t 3
−2
v = 2 .7 m ⋅ s
−1
（2）由牛顿第二运动定律 由牛顿第二运动定律
F 3 + 4x a= = = 0 .3 + 0 .4 x m 10 dv dv dx dv =v a= = ⋅ 又由 dt dx dx dt
③
分离变量， 分离变量，两边积分
∫
得
v 0
vdv =
∫
x 0
adx =
∫
x 0
v v ˆ ， a = F = (12t + 4 )ˆ Q F = (12t + 4 )i ∴ i m
dx dv 又Q v = ⇒ dx = (6t 2 + 4t + 6 )dt ∴ = 12t + 4 ⇒ dv = (12t + 4 )dt dt dt
∫
v
6
dv = ∫ (12 t + 4)dt
t 0
F (t ) = mg + 4 mt − 2 mt 2
(2)由题意知，当F=mg时物体处于平衡状态，即 由题意知， 时物体处于平衡状态， 由题意知 时物体处于平衡状态
mg + 4 mt − 2 mt = mg
2
解之， 舍去)； 解之，得t=2 s，t=0(舍去 ；故t=2 s时，物体运动 ， 舍去 时 的速度最大。代入速度方程， 的速度最大。代入速度方程，可得
第二章 动力学
2.5、有一半径为R的圆环被固定在光滑的水平面上，一物体 、有一半径为 的圆环被固定在光滑的水平面上 的圆环被固定在光滑的水平面上， 紧切环的内侧做圆周运动，物体与环的摩擦因数为µ， 紧切环的内侧做圆周运动，物体与环的摩擦因数为 ，设物 体的初速率为v ：（1） 时刻物体的速率；（2） 时刻物体的速率；（ 体的初速率为 0，求：（ ）t时刻物体的速率；（ ）物体 的速率减小为v 时所经历的时间和经过的路程 时所经历的时间和经过的路程。 的速率减小为 0/2时所经历的时间和经过的路程。 解： (1) f = − ma = − m dv µ τ dt µ 1 v2 ⇒ - dt = 2 dv N = ma n = m R v R f µ = µN
v max
2 3 = ( 2 t − t ) t = 2 ≈ 2 .67 m / s 3
2
一质量为10kg的物体沿 轴无摩擦地运动， 的物体沿x轴无摩擦地运动 一质量为 的物体沿 轴无摩擦地运动， 设t=0时，物体位于原点，速度为零（即初始条件： 时 物体位于原点，速度为零（即初始条件： x0=0，v0=0），问： ），问 ， ）， （1）物体在力F=3+4t（SI）的作用下运动了3s， ）物体在力 （ ）的作用下运动了 ， 它的速度、加速度为多大？ 它的速度、加速度为多大？ （2）物体在力 ）物体在力F=3+4x（SI）的作用下移动了 ， （ ）的作用下移动了3m， 它的速度、加速度为多大？ 它的速度、加速度为多大？
(
Baidu Nhomakorabea
)
m F x= ln 2 2k F − kv
vm m 4 x ln = 2 2k 3
质量为m 的物体置于水平光滑桌面上，它们与跨过滑轮的绳相连。 质量为 1和m2的物体置于水平光滑桌面上，它们与跨过滑轮的绳相连。 此滑轮中心又通过另一滑轮的绳与质量为m 的物体相连。 此滑轮中心又通过另一滑轮的绳与质量为 3的物体相连。不计滑轮和 绳的质量，不计轴摩擦，不计绳的伸长。求各物体的加速度。 绳的质量，不计轴摩擦，不计绳的伸长。求各物体的加速度。
vm 2
F − kv 2 dv dv dx =a= = m dt dx dt
即
F − kv 2 m
1 2 dv dx vdv 1 d F − kv 2 = = 2 =− 2 2 2 m F − kv F − kv 2k F − kv
dv =v dx
(
)
两边积分： ∫
x
0
1 1 v d F − kv 2 dx = − ∫ m 2k 0 F − kv 2
F 3 + 4t a= = = 0 .3 + 0 .4 t m 10
解 （1）由牛顿第二运动定律 ）
①
dv a= 又由 得 dt
v=
∫
v 0
dv =
∫
t 0
adt =
∫
t 0
( 0 .3 + 0 .4 t ) dt = 0 .3t + 0 .2 t 2
②
代入① 把t=3s代入①，②式得 ， 代入
a = 1 .5 m ⋅ s
m m v2m 1 ∫0 dt = ∫ F − kv 2 dv = k ∫0 v 2m − v 2 dv 1 1 a+x 利用积分公式： 2 ∫ a − x 2 dx = 2a ln a − x + c
t
vm 2 0
(x < a )
可得
m 1 vm + v m t= ln = ln 3 k 2v m v m − v 0 2kvm
1 R R + v 0µt s = v0R ln(R + v 0µt ) = ln µv 0 µ R 0
R R ∴t = 时，s = ln 2 µv 0 µ
t
的速度和位置。 v 解：
v i 2.7 质量为1kg的物体在外力 F = (12t + 4)ˆ 的作用下作直线运 动。若t=0时， x 0 = 5.0m , v 0 = 6.0m / s , 求质点在任意时刻
( 0 .3 + 0 .4 x) dx x)
2 ( 0 .3 x + 0 .2 x )
2
1 2 v = 0 .3 x + 0 .2 x 2 2
，
v=
④
代入③ 把x=3m代入③，④式，得： 代入
a = 1 .5 m ⋅ s
−2
v = 2 .3m ⋅ s
−1