平行四边形的专题应用
平行四边形在日常生活中的应用
平行四边形在日常生活中的应用平行四边形，听起来是不是有点儿高深？别担心，其实它在我们的日常生活中可是无处不在呢。
想象一下，你的书桌上，放着一张平行四边形的桌布，四个边都是平行的，真是既美观又实用呀！这桌布的设计不仅让人看着顺眼，吃饭的时候也不会让碗碟滑来滑去，稳稳当当地坐在那里，简直是个小帮手呢。
再说说建筑，很多时候那些高楼大厦的外形其实也有平行四边形的元素。
你有没有注意过那些大玻璃窗，咱们的城市里，那些现代建筑都用上了平行四边形的设计，真是大气得不得了。
建筑师可是花了不少心思，把这些几何形状用得淋漓尽致。
平行四边形不仅让建筑看起来更有层次感，还能有效利用空间，真是设计中的“万里挑一”呢。
说到平行四边形，肯定要提到窗帘。
很多窗帘的剪裁和设计中，也有平行四边形的影子。
你看，窗帘拉开时，那些褶皱就像是平行四边形在舞动一样，增添了房间的层次感。
晚上关上窗帘，外面的灯光透过，形成一幅美丽的画面，真是温馨得让人心醉，谁不想在这样浪漫的环境里小憩呢？再来聊聊咱们日常穿的衣服，嘿！你可能不知道，很多时尚的衣服设计里也用了平行四边形的元素。
比如那些不规则的裙摆，有时就像是被剪成了平行四边形，穿上去立马让人觉得时尚感爆棚。
走在大街上，回头率蹭蹭往上涨，朋友们都忍不住夸赞，你说是不是让人倍儿有面子？咱们常用的手机壳，很多设计师也爱用平行四边形的图案，简单又不失个性。
拿着这样的手机，时不时展示给朋友看，那种感觉简直是“走在时尚的尖端”，谁不想在社交场合中吸引目光呢？再加上那些色彩鲜艳的设计，真是让人眼前一亮。
哎，说到平行四边形，不能忘了咱们吃的披萨。
那种切成八片的披萨，有时就像被分成了几个平行四边形，吃起来真是过瘾！每一口都满满的幸福，仿佛连平行四边形都在为美食助阵。
和朋友们一起分享，一边享受美味，一边聊天，简直是快乐的源泉。
再说运动器材，像是一些健身器械，它们的形状设计里也常常有平行四边形的元素。
你在健身房看到的那些哑铃、杠铃，有些底座就像平行四边形，稳稳当当地放在那里，给人一种安全感，使用起来也很放心。
生活中运用到平行四边形的例子
生活中运用到平行四边形的例子《生活中的平行四边形，妙趣横生的存在》嘿，大家好呀！今天咱就来聊聊生活中那些运用到平行四边形的例子。
这平行四边形啊，可真是无处不在，给我们的生活带来了不少乐趣和便利呢！你说那晾衣架，不就是个活脱脱的平行四边形嘛！把衣服往上面一挂，嘿，齐活！它能伸缩自如，就像个会变魔术的小机灵鬼。
晴天的时候，把它往外一拉，晒晒太阳；雨天了或者晚上不用的时候，再给它收回来，不占地方。
这平行四边形的晾衣架可真是贴心小宝贝，把咱的衣服照顾得好好的。
还有学校的电动伸缩门，那也是平行四边形在大显神威呢！每天早上看着它缓缓打开，就好像在迎接我们进入知识的大门。
晚上又看着它慢慢关上，守护着校园的安全。
它就像个敬业的保安大叔，尽职地站在那里。
有时候我都在想，这平行四边形的伸缩门是不是也有它的小脾气呀，比如开关的时候会哼哼唧唧地抱怨两句。
再说说我们常见的升降梯吧，那也是利用了平行四边形的原理呢！它能带着我们上上下下，就像个会飞的小房子。
坐电梯的时候，我老是会想，要是这电梯突然变成了一个超级大的平行四边形，带着我们在城市的高楼大厦间飞来飞去，那该多好玩呀！虽然这只是我的胡思乱想，但想想也挺有意思的嘛。
其实啊，平行四边形不仅给我们的生活带来了便利，还让我们的生活变得更有趣了呢！记得有一次，我和小伙伴玩游戏，我们用几根小木棍搭了个平行四边形，然后就开始比谁能让它变形得更快。
哈哈，那场面真是欢乐极了。
生活中这些运用平行四边形的例子，真的是充满了智慧和创意。
它们让我们的生活变得更加便捷、丰富多彩。
我想，以后说不定还会有更多更神奇的平行四边形的应用出现呢！到时候，我们的生活又会发生什么样的奇妙变化呀？所以呀，我们可不能小瞧了这些生活中平凡的东西。
它们就像一个个小精灵，用它们的魔法给我们带来惊喜和欢乐。
让我们一起珍惜这些小小的平行四边形，在它们的陪伴下，开开心心地过好每一天！。
平行四边形的性质和识别的应用
平行四边形的性质和识别的应用河北王建立凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．平行四边形的知识运用包括：（1）直接运用平行四边形的性质去解决某些问题，例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍、分等；（2）判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；（3）先判定一个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的性质去解决某些问题．例1.在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下六个说法：（1）如果再加上条件“AD∥BC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（2）如果再加上条件“AB＝CD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（3）如果再加上条件“∠DAB＝∠DCB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（4）如果再加上条件“BC＝AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（5）如果再加上条件“AO＝CO”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（6）如果再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形．其中正确的说法有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个分析：本题是一道给出结论和部分条件，让学生探索附加条件的各种可能性的开放性题目，解答这类选择题，一定要严格按照平行四边形的定义及判定定理，认真考查六种说法．说法（1）符合平行四边形的定义；说法（2）符合平行四边形的判定定理4；说法（3）由AB∥CD和∠DAB＝∠DCB，可推断出AB＝CD或AD∥BC，也正确；说法（4）可举出反例；说法（5）能证出BO＝DO，符合平行四边形的判定定理3；说法（6）不符合平行四边形的判定定理．答案：B例2.如图，已知AD为△ABC的中线，E为AC上一点，连结BE交AD于F，且AE＝FE．则BF＝A C．说明理由分析：延长AD到N，使DN＝AD，构造出平行四边形ABN C．解：延长AD到N，使DN＝AD，连结BN、CN，则四边形ABNC为平行四边形．∴BN＝AC，BN∥AC，∴∠1＝∠4．∵AE＝FE，∴∠1＝∠2．∵∠2＝∠3，∠1＝∠4，∴∠3＝∠4．∴BN＝BF，∴BF＝A C．说明：当题目中有三角形中线时，常利用加倍中线构造平行四边形，然后再应用平行四边形的知识证题，用这种方法比利用加倍中线构造全等三角形要方便、简捷。
平行四边形和梯形的高级应用问题解决
平行四边形和梯形的高级应用问题解决平行四边形和梯形是几何学中的基本概念，它们不仅具有广泛的应用，还可以用来解决一些高级数学问题。
本文将探讨平行四边形和梯形的一些高级应用问题，并提供解决方法。
一、平行四边形的高级应用问题解决1. 平行四边形的边长比例问题假设有一个平行四边形ABCD，已知其中一条边AD的长度为a，我们需要求出其他各边的长度。
解决方法：由于平行四边形的对边是平行且相等的，我们可以利用这一特性来求解。
根据这个特性，我们知道BC的长度也为a。
此外，平行四边形的对角线互相平分，所以对角线AC和BD的长度是相等的。
因此，我们可以得出以下结论：AB = CD = aAC = BD2. 平行四边形的面积问题已知平行四边形ABCD的两条对角线AC和BD分别为m和n，我们需要求解平行四边形的面积。
解决方法：我们可以利用平行四边形的面积公式，即S = 底 ×高。
在平行四边形中，对角线AC和BD互相平分，所以可以将平行四边形划分为两个相等的三角形。
设三角形ADC的高为h1，三角形BDC的高为h2，则平行四边形的面积为S = （AD + BC） × h1 或 S = （AB + CD） × h2。
根据勾股定理，我们可以得到以下关系：h1² + （m/2）² = AD²h2² + （n/2）² = BC²通过解这两个方程组，我们可以得到h1和h2的值，进而求出平行四边形的面积S。
二、梯形的高级应用问题解决1. 梯形的面积问题已知梯形ABCD的上底长为a，下底长为b，高为h，我们需要求解梯形的面积。
解决方法：梯形的面积可以通过上底和下底的平均值乘以高来计算，即S = （a + b）/ 2 × h。
2. 梯形的边长比例问题已知梯形ABCD的上底长为a，下底长为b，我们需要求解斜边AD的长度。
解决方法：根据梯形的性质，斜边AD可以表示为斜边两段的和，即AD = AB + DC。
全等平行四边形在实际生活中的应用
全等平行四边形在实际生活中的应用全等平行四边形是指四边形的对边互相平行且对应边相等。
虽然在日常生活中可能并不经常遇到全等平行四边形，但它们在不同领域中有着各种应用。
以下是一些实际生活中应用了全等平行四边形的例子：地质学中的应用全等平行四边形在地质学中有着重要的应用。
地质学家使用全等平行四边形原理来推断地球的构造和历史变化。
例如，当测量地质构造的角度和距离时，地质学家可以应用全等平行四边形的原理进行推导，从而得出地球的地壳运动历史以及岩石进行变形的情况。
建筑学中的应用建筑设计中也应用了全等平行四边形的原理。
建筑师利用全等平行四边形来设计建筑物的外观和内部布局。
通过应用全等平行四边形原理，建筑师可以确保建筑物的各个部分的比例和对称性。
例如，在设计房间的家具布局时，建筑师可以利用全等平行四边形原理确保家具摆放的位置和比例协调一致。
工程学中的应用在工程学领域中，全等平行四边形也有很多应用。
工程师通常使用全等平行四边形原理来解决各种测量和设计问题。
例如，在建设道路或铁路时，工程师可以利用全等平行四边形的原理来确定地面的高度和坡度，以确保道路或铁路的平稳和安全。
数学教育中的应用全等平行四边形在数学教育中也有着重要的应用。
通过教授学生如何应用全等平行四边形原理，教师可以帮助学生发展空间思维和解决问题的能力。
全等平行四边形是几何学中的一个基本概念，通过研究和应用全等平行四边形的原理，学生可以理解和应用更高级的几何概念。
产品设计中的应用全等平行四边形在产品设计中也有着广泛的应用。
设计师可以利用全等平行四边形的原理来设计各种产品的外观和结构。
例如，在设计电子产品时，设计师可以运用全等平行四边形原理确保产品的外观美观且结构稳定。
全等平行四边形的应用可以帮助设计师实现产品的平衡和比例的最佳效果。
全等平行四边形虽然在实际生活中可能不是常见的概念，但它们在地质学、建筑学、工程学、数学教育和产品设计等领域中有着广泛的应用。
通过理解和应用全等平行四边形原理，我们可以更好地解决问题和创造出优秀的设计。
平行四边形生活中的应用
平行四边形生活中的应用
平行四边形在生活中有着广泛的应用，它们可以用来做很多有趣的事情。
首先，平行四边形可以用来做装饰。
它们可以用来装饰房间，比如在墙上画上一些平行四边形，可以给房间增添一些色彩，使房间更加漂亮。
此外，它们还可以用来做装饰品，比如制作一些平行四边形的挂件，可以把它们挂在墙上，也可以把它们放在桌子上，以增加室内的装饰效果。
其次，平行四边形也可以用来做游戏。
比如，可以用它们来玩拼图游戏，把一些平行四边形拼成一个大图案，这样可以让孩子们在玩游戏的同时学习数学知识。
此外，它们还可以用来玩棋类游戏，比如四子棋，这样可以让孩子们在玩游戏的同时学习思考问题的能力。
最后，平行四边形也可以用来做实验。
比如，可以用它们来做光学实验，把一些平行四边形放在一起，观察它们的反射和折射现象，这样可以让孩子们在实验的同时学习物理知识。
此外，它们还可以用来做几何实验，比如观察平行四边形的对称性，这样可以让孩子们在实验的同时学习几何知识。
总之，平行四边形在生活中有着广泛的应用，它们可以用来做装饰、游戏和实验，可以让孩子们在玩游戏和实验的同时学习数学、物理和几何知识，从而提高孩子们的学习兴趣和能力。
平行线与平行四边形的应用
平行线与平行四边形的应用平行线与平行四边形是几何学中非常重要的概念，它们在实际生活中有着广泛的应用。
本文将从不同领域中的具体例子，来说明平行线与平行四边形在实际应用中的作用。
1. 建筑设计领域在建筑设计领域中，平行线与平行四边形的性质经常被用于设计房屋的各种构件。
平行线的性质使得建筑师能够合理地安排各个房间的设计，使其在外观上呈现出均衡和谐的感觉。
而平行四边形的性质则可以应用于墙壁、地板等结构的设计，使其更加稳定和坚固。
2. 地理测量领域在地理测量领域中，平行线与平行四边形的应用尤为广泛。
例如，在测量地球上的经纬度时，经线是平行线，纬线则是平行四边形。
这些平行线和平行四边形的性质，为地理测量提供了便利。
通过测量经纬度，人们能够准确地确定一个地点的位置和方向，这对于导航、航海等活动有着重要的作用。
3. 工程建设领域在工程建设领域中，平行线与平行四边形的应用主要体现在道路、铁路等交通基础设施的设计和施工中。
平行线的性质使得道路和铁路能够按照平行的方式进行规划，保证了交通的顺畅和高效。
而平行四边形的性质则应用于桥梁、隧道等工程结构的设计中，使得这些结构更加稳定和安全。
4. 统计学领域在统计学领域中，平行线与平行四边形的应用主要体现在数据分析和图表绘制中。
例如，在绘制坐标轴时，平行线的性质使得数据的比较和分析更加直观和清晰。
此外，平行四边形的性质还可以应用于统计图表的设计，使其更加美观和易读。
总之，平行线与平行四边形在各个领域的应用是不可忽视的。
无论是建筑设计、地理测量、工程建设还是统计学，平行线与平行四边形的性质都为这些领域中的问题提供了解决方案和优化设计的思路。
因此，深入理解和掌握平行线与平行四边形的知识，将有助于我们更好地应用它们解决实际问题，并推动相关领域的发展与进步。
（字数： 404）。
平行四边形的应用
平行四边形的应用平行四边形是一种特殊的四边形，它具有许多实际应用。
本文将探讨平行四边形在几何学、建筑设计和工程领域中的应用，以及其在解决实际问题中的重要性。
一、几何学中的平行四边形应用在几何学中，平行四边形是研究四边形性质的重要基础。
它具有以下几个应用：1. 平行线判定：利用平行四边形的特性可以方便地判定两条直线是否平行。
当一对对边分别平行且相等时，即可确定两条直线平行。
2. 测量角度：平行四边形的对角线相交处形成的角是等于180度的。
因此，可以利用平行四边形来测量角度并进行准确的角度计算。
3. 计算面积：平行四边形的面积计算简单，可通过底边长度和高度的乘积来计算。
这在计算图形面积时非常实用。
二、建筑设计中的平行四边形应用平行四边形在建筑设计中有广泛的应用，具体包括以下几个方面：1. 地基设计：在房屋或建筑物的地基设计中，平行四边形常用来布置地基块状，以提高地基的稳定性和均匀性。
2. 墙面设计：平行四边形的特殊结构使得其在墙面设计中能够提供相对稳定的支撑，同时具有美观性，常用于建筑物外墙和内部隔墙的设计。
3. 护栏设计：平行四边形可以用于护栏的设计，一方面能够提供有效的防护功能，另一方面也能够赋予护栏更加美观的外观。
三、工程领域中的平行四边形应用平行四边形在工程领域中也具有重要的应用，主要体现在以下几个方面：1. 桥梁设计：在桥梁设计中，平行四边形可用于梁体和支撑结构的设计，能够提高桥梁的承重能力和结构稳定性。
2. 道路规划：平行四边形在道路规划中常用于设计交叉口和平行路段，能够提高交通流畅性和减少车辆拥堵。
3. 水利工程：在水利工程中，平行四边形可用于设计渠道和水坝，配合水流方向优化水流状况，提高水利设施的功能性。
总结：通过以上分析，平行四边形在几何学、建筑设计和工程领域中都有广泛的应用。
对于几何学而言，平行四边形是研究四边形性质的基础；在建筑设计中，平行四边形能够提供稳定的结构和美观的外观；而在工程领域中，平行四边形可以用于桥梁、道路和水利工程的设计，提高各类工程的效能。
平行四边形的应用
平行四边形的应用平行四边形是一种特殊的四边形，它的对边是平行的。
这种几何形状在现实生活中有着广泛的应用，涉及到建筑、设计、物理等各个领域。
本文将探讨平行四边形的一些应用，并举例说明其在实际情境中的应用价值。
一、建筑领域1. 平行四边形的解析几何应用平行四边形在建筑设计中的应用非常广泛。
在建筑平面图中，平行四边形用来表示建筑物的外形和内部空间的布局。
通过分析平行四边形的各个边长和角度，可以推测建筑物的结构、稳定性和美观性。
2. 平行四边形的结构应用平行四边形在建筑结构中也有其独特的应用。
例如，在桥梁设计中，通过将桥面视为平行四边形，可以确定桥梁的跨度和承重能力，确保桥梁的稳定性和安全性。
二、设计领域1. 平行四边形的比例应用在设计中，平行四边形的比例关系常常被用来实现视觉上的平衡和美感。
通过调整平行四边形的边长和角度，设计师可以创造出丰富的空间效果和流线型的外观。
这种设计技巧在建筑、室内设计和产品设计中都可以见到。
2. 平行四边形的色彩应用在平面设计和图形设计中，平行四边形的色彩应用也非常常见。
通过运用不同色彩的平行四边形，设计师可以创造出丰富的图案和层次感，增加设计作品的视觉吸引力和表达力。
三、物理领域1. 平行四边形的力学应用平行四边形在物理学中有着重要的应用。
例如，在力学和结构力学中，平行四边形的力学性质被用来描述物体的受力情况。
通过分析平行四边形的各个边和角的关系，可以推断物体受力情况及其稳定性。
2. 平行四边形的光学应用在光学领域中，平行四边形也有其独特的应用。
例如，在光线的反射和折射过程中，平行四边形的边界条件被用来描述光线的传播规律和位置变化。
这种应用有助于我们理解光的行为和光学相关的现象。
综上所述，平行四边形在建筑、设计和物理等领域中都有着广泛的应用。
通过分析和应用平行四边形的性质和特点，可以帮助人们更好地理解和解决实际问题。
因此，深入研究和应用平行四边形的知识对于相关领域的专业人士和学习者来说都是非常有价值的。
平行四边形在实际生活中的应用
平行四边形在实际生活中的应用平行四边形是一个具有特殊性质的四边形，它的对边是平行的，对角线相等。
在实际生活中，平行四边形的性质和特点被广泛应用于各个领域，为人们的生活和工作带来了便利和效率。
下面将从几个方面介绍平行四边形在实际生活中的应用。
一、建筑设计在建筑设计中，平行四边形的性质经常被用来规划建筑结构和布局。
例如，在设计房屋平面图时，空间的合理利用需要考虑平行四边形的特点，如利用平行四边形的对角线相等特性来设计房间的长宽比。
此外，建筑中的各种构件，如窗户、门等，也常常采用平行四边形的形状，使整体结构更加稳定美观。
二、交通规划在交通规划领域，平行四边形的性质被广泛运用。
例如，在道路设计中，道路网格常常采用平行四边形的布局，便于车辆通行和交通管理。
此外，停车场的停车位也常常按照平行四边形的形状进行规划，使停车更加方便高效。
三、家具制作在家具制作过程中，设计一个坚固美观的家具需要考虑到平行四边形的特性。
例如，书桌、椅子等家具常常采用平行四边形的结构设计，使家具更加稳定结实。
另外，平行四边形的特点也被应用在家具的装饰设计中，如桌面、椅背等部分常采用平行四边形的图案或花纹，使家具更加美观时尚。
四、地理测量在地理测量领域，平行四边形的性质被广泛运用于测量和定位工作中。
例如，在绘制地图时，经纬度网格采用平行四边形的形式，便于准确地标示地球上各个地点的位置。
此外，在航空航天领域，平行四边形的特性也被用来规划飞行路线，确保航行安全和高效。
综上所述，平行四边形在实际生活中有着广泛的应用领域，为各个行业带来了便利和效率。
正是因为平行四边形这种简单而重要的几何形状，在现代社会中扮演着不可替代的角色，发挥着重要的作用。
希望人们在日常生活和工作中能够更加关注和利用平行四边形的特性，从而获得更多的实际收益和便利。
特殊的平行四边形在生活中的应用
特殊的平行四边形在生活中的应用特殊的平行四边形，在生活中有着广泛的应用。
平行四边形是指四条边两两平行的四边形，其中包括方形、长方形、菱形和正方形。
它们在我们的日常生活中发挥着重要的作用，不仅美化了我们的环境，还在各个领域中提供了指导和参考。
首先，平行四边形的应用在建筑和设计领域中非常常见。
长方形和方形的形状常被用作建筑物的基本设计，例如房屋和办公楼。
它们稳定的结构形状和较大的内部空间使其成为建筑设计中的理想选择。
而菱形则经常被运用在装饰和建筑立面的设计上，给建筑物增加了独特的美感和艺术性。
其次，在制图和工程领域中，平行四边形的应用也非常广泛。
平行四边形的属性使得它能够方便地进行测量和计算。
利用平行四边形的对角线相等和对边平行的性质，工程师和建筑设计师可以准确地测量和计算距离、面积和体积等参数。
这对于工程建设、道路规划和地图绘制等都具有重要的指导意义。
此外，平行四边形的应用还延伸到数学教育领域。
在数学教学中，平行四边形是学生学习平面几何的基础概念之一。
通过对平行四边形的研究和理解，学生不但能掌握几何形状的性质，还可以培养逻辑思维和解决问题的能力。
因此，在课堂中引入生活中实际的平行四边形例子，可以提高学生的学习兴趣和应用能力。
最后，平行四边形在家居装饰和家具设计中也有着重要的应用。
方形和长方形的形状是家具设计中常见的选择，例如桌子、书架和沙发等。
这些具有平行四边形形状的家具不仅能够为我们提供实用的功能，还能够与其他家居装饰相搭配，营造和谐的室内环境。
总的来说，特殊的平行四边形在生活中有着广泛的应用。
从建筑和设计到制图和工程，从数学教育到家居装饰，平行四边形都发挥着重要的作用。
通过理解和应用平行四边形的属性，我们可以提高效率、美化环境、培养学生的能力，并为我们的生活带来更多的便利和乐趣。
让我们一起在平行四边形的世界中探索、学习和创造！。
平行四边形在实际生活中的应用
平行四边形在实际生活中的应用学习的目的在于应用，所以，同学们在学习的过程当中，要时刻注重自己身边的一切事物，要善于用数学的思想解决现实生活当中的问题，只有这样才能提升自己的数学水平，为自己今后走上工作岗位打下牢固的基石。
下面，以平行四边形为例，给同学们说明如下：一、比较路线的长短例1如图，是某城市街道示意图，AF∥BC，EC⊥BC，BA∥DE，BD∥AE。
甲、乙两人同时从B站乘车到F站，甲乘1路车，路线B→A→E→F；乙乘2路车，路线是B→D→C→F。
假设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F站？请说明理由。
分析：要判断甲、乙两人谁先到达F站，就是要判断二人所行走的路径哪大哪小，即要比较两条线路的长短。
首先我们能够把本题的实际问题构建成数学模型——比较两条线段的大小的问题，其次，把线路1、2用线段分别表示为：BA+AE+EF和BD+DC+CF，最后，再比较BA+AE+EF和BD+DC+CF大小关系。
解：甲、乙两人同时到达。
理由如下：延长ED交BC与G，因为，BA∥DE，AF∥BC，所以，四边形ABGD是平行四边形所以，AB=DG因为，BA∥DE，BD∥AE所以，四边形ABDE是平行四边形所以，BD=AE ，AB=DE ，所以，DE=DG因为，EC ⊥BC ，所以，CD 是直角三角形ECG 的中线，所以，CD=DE因为，AF ∥BC ，所以，F 是EC 的中点，所以，FC=EF ，所以，DE=DG=AB= CD故，BA+AE+EF=BD+DC+CF ，即B→A→E→F 与B→D→C→F 相等，所以，甲、乙两人同时到达。
二、 说明理由例2如图，某村有一个四边形池塘，在它四个角A 、B 、C 、D 处均有一棵桃数，该村准备扩池塘建养鱼池，既想使池塘的面积扩大一倍，有想保留原来的四棵桃树不动，使挖过的池塘更美观，想挖成一个平行四边形，请问能否实现。
若能请设计，若不能，请说明理由。
分析：因为四棵桃树分别在四边形的顶点上，所以要想把池塘想挖成一个平行四边形，并且使池塘的面积扩大一倍，那么，这四棵桃树应在平行四边形的边上，且应该每个边上都有一棵桃树，所以，我们能够经过四个顶点分别做对角线的平行线，如图所示，就能够解决此问题。
平行四边形在生活中的例子
平行四边形在生活中的例子
平行四边形在生活中的
应用1：有一种衣架就是根据平行四边形的不稳定性设置的，可以用根据需要改变挂钩之间的距离，美观又实用。
应用2：还有电动伸缩门，也是利用平行四边形的不稳定性。
应用3：有很多地板砖是就平行四边形的，铺上地面无缝隙也无重叠，而且铺成后缝线也是很整齐的。
应用4：利用平行四边形的容易变形性，生活中的楼梯扶手、折叠椅子、庭院的竹篱笆、载重汽车的防护栏和手工编的篮子等都利用了这一特性。
应用5：比如桌凳、橱柜床、门窗、书本、报刊、电视机、电脑、手机等。
生活中利用平行四边形的例子
生活中利用平行四边形的例子
平行四边形是一种特殊的四边形，其对边平行且长度相等。
在生活中，平行四边形有很多实际应用，以下是一些例子：
一、建筑设计
1.某些大型建筑物如商场、办公楼等，在设计时可能会采用平行四边形的结构，使其更加稳定和美观。
2.某些建筑物的室内设计中，也会运用到平行四边形的形状。
例如室内隔断等。
二、地理几何
1.地图坐标系是一种平行四边形坐标系。
在地图上我们需要表示一个地区的位置，就需要用到坐标系。
例如，在使用GPS 等导航软件时，需要获取所在位置的坐标，在地图上显示出当前位置。
2.在测量一些不规则物体时，可能会通过平行四边形的面积计算，用于计算几何体积和面积。
三、家居装修
1.为装修房屋增加美感和空间感，平行四边形是一种很好的家居设计元
素。
例如，利用平行四边形的采光窗户设计，可以让光线更好地透过玻璃，让房间看起来更大。
2.平行四边形地面铺砖是一种常见的装修方式。
不仅美观，而且可以制造出一种独特的几何效果。
四、数学教育
平行四边形是初等数学中的几何概念，通过对平行四边形的学习，有助于加深学生对几何概念的理解和操作技能。
以上展现了平行四边形在生活中的一些应用，可以看出它在现实中有着广泛的用途和重要性。
分析平行四边形在现实生活中的应用：面积教案实践
平行四边形是初中数学中一个非常重要的概念，它不仅是几何学中的基础知识，也广泛应用于日常生活中。
对于学生来说，深入理解并掌握平行四边形的概念和相关的公式，不仅可以提高他们的数学技能，还可以帮助他们理解现实生活中的应用。
一、平行四边形在现实生活中的应用：1.建筑设计建筑设计中的一些结构和图样都涉及到平行四边形的概念。
例如，设计师往往使用平行四边形来表示房子的侧面或屋顶的形状。
为了确保建筑结构的稳定性，建筑师还需要计算出平行四边形的面积和周长等重要参数。
2.运输和物流平行四边形还广泛应用于运输和物流行业中。
例如，货车的运输容量往往以平行四边形的形状来计算。
此外，物流公司通常需要估算货物的总体积，包括袋装货物和箱装货物等。
在这种情况下，平行四边形的面积计算公式就非常有用。
3.商业和网站设计商业和网站设计行业也需要使用平行四边形的概念和公式。
例如，在设计服装展示架或网站页面时，平行四边形可以帮助设计师更好地管理空间和布局。
平行四边形也可以在商业报表和数据分析中使用，帮助分析师更好地可视化和呈现数据。
4.地图和地球形状地图制图过程中，平行四边形的概念和计算公式也会经常用到。
地球的自转导致地球不是正球形，而是近似于椭球形。
地图制图过程中需要使用大量的三角学和平行四边形的概念来确定地球上各种地理特征的准确位置和大小。
5.三维建模在三维建模中，平行四边形同样有很多应用。
例如，在设计和制作建筑模型、雕塑和3D打印时，平行四边形是一个非常重要的概念。
它可以帮助设计师更好地定义对象的外形和几何结构，确保模型的形状和结构得到准确的表示。
二、面积教案的实践：1.教学目标通过本次课程，学生将理解平行四边形的概念和相关定义，可以正确计算面积和周长。
同时，他们将了解平行四边形在现实生活中的应用，从而更好地掌握和应用数学知识。
2.教学内容（1）平行四边形的定义和性质，包括对角线、高、面积和周长的计算公式；（2）平行四边形在现实生活中的应用案例，如建筑、运输、商业和地图制图等领域；（3）练习平行四边形面积和周长的计算，多角形的定理和公式，以及综合应用实例。
专题8 平行四边形的性质及应用
专题8 平行四边形的性质及应用知识要点1．平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（注意定义的双向性）2．平行四边形的性质，如图8－1所示．3．证明平行四边形的边、角、对角线的性质时，我们常用的策略是构造全等三角形．4．平行四边形与等腰三角形的知识联系，如图8－2所示．典例精析例1如图8－3，在□ABCD中，AB＝4 cm，AD＝7 cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF的长度是多少？【分析】通过平行四边形与平分线的条件，可以找到题中的“知二得一”，利用这个结论即可证明．【解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝4 cm，BC＝AD＝7 cm．∴AB∥CD．∴∠ABF＝∠F．∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠FBC．∴∠FBC＝∠F．∴BC＝CF＝7cm．∴DF＝CF －CD＝3 cm．【点评】角平分线，平行线与等腰三角形的“知二得一”是非常重要的基本图形，是解决很多带有这种模型的关键突破口．我们要能在各种背景下识别这样的基本图形．拓展与变式1如图8－4，四边形ABCD是平行四边形，AE＝3，BE平分∠ABC且交AD于点E，DF∥BE且交BC于点F．求CD＋CF的长．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC＝∠AEB．∴AB＝AE＝3，CD＝3．∵BE∥DF，∴四边形EBFD是平行四边形．∴ED＝BF．∴CF＝AE＝3．∴CD＋CF＝6．拓展与变式2 如图8－5，在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的平分线，F是AB 的中点，AB＝6，BC＝4，则AE∶EF∶FB为（）．A．1∶2∶3 B．2∶1∶3 C．3∶2∶1 D．3∶1∶2解：B【反思】正确识别和应用基本图形是提高解题效率的基本能力要求．例2□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＋BD＝34，AB＝11，求△OCD 的周长．【分析】本题没有图形，我们要根据题意先将图形画出来，再利用平行四边形的对角线互相平分来解决问题．【解】如图8－6，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OC＝12AC，OD＝12BD．∴OC＋OD＝12（AC＋BD）＝17．∵CD＝AB＝11，∴△OCD的周长为OC＋OD＋CD＝28．【点评】根据题意画出正确的图形是三种语言转化的基本要求，而平行四边形的对角线互相平分的性质又是在遇到平行四边形带有对角线时的首要解题策略．拓展与变式3 □ABCD的顶点A，C在□DEBF的对角线EF上．求证：AE＝CF．证明：如图D8－1，连接BD交AC于点O．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO．∵四边形DEBF是平行四边形，∴EO＝FO．∴EO－AO＝FO－CO．∴AE＝CF．拓展与变式4□ABCD的周长为26 cm，AC与BD相交于点O，△AOB的周长比△OBC的周长大4 cm，那么AB等于___________．解：8.5 cm拓展与变式5如图8－7，在周长是12 cm的□ABCD中，AB≠AD，AC与BD相交于点O，点E在AD边上，且OE⊥BD，则△ABE的周长是___________．解：6 cm【反思】灵活运用平行四边形的对角线互相平分的性质对于更好地理解平行四边形的性质是很重要的．例3在□ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于点E，DF平分∠ADC交边BC于点F．若AD＝11，EF＝5，则AB的长为多少？【分析】本题依然需要根据题意画出图形，但这里点E和点F的顺序不能确定，所以本题要分类讨论．【解】分两种情况讨论：①如图8－8，当AE与DF相交时，在□ABCD中，BC∥AD，∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠CFD．∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF．∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF．∴AB＝BE，CF＝CD．∴BE＝AB＝CD＝CF．∵EF＝5，BC＝AD＝11，∴BC＝BE＋CF－EF＝2AB－EF＝2AB－5＝11．∴AB＝8．②如图8－9，当AE与DF不相交时，同理可得BC＝BE＋CF＋EF＝2AB＋EF＝2AB＋5＝11，∴AB＝3．【点评】分类讨论是重要的思想方法，而在题目没有给出确定的图形时，一定要有分类讨论的意识，才能正确并完整地解决问题．拓展与变式6若以A（－2，0），B（1，0），C（0，1）三点为顶点画平行四边形，那么第四个顶点不可能在第________象限．解：四拓展与变式7在面积为15的□ABCD中，过点A作AE垂直BC于点E，作AF垂直CD于点F．若AB＝5，BC＝6，求CE＋CF的长．解：①如图D8－2，当∠BAD是钝角时，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴S□ABCD＝AE·BC＝15．∴AE＝2.5．同理AF＝3．∵∠AEB＝90°，∴BE DF∵＞56，∴DF＞DC，BE＜BC．∴点E在BC上，点F在DC延长线上．∴CE＋CF＝BC－BE＋DF－DC．∴CE＋CF＝1．②如图D8－3，当∠BAD为锐角时，同①理，BE DF＝，点E，F均在□ABCD的外部，∴CE＋CF＝CB＋BE＋CD＋DF．∴CE＋CF＝11．综上所述，CE＋CF的长为111．【反思】分类讨论是贯穿于数学学习的重要思想方法，我们在解决需要自行画图的问题时，应特别注意这种思想方法的应用．专题突破1．如图8－10，在□ABCD中，已知AD＝8 cm，AB＝6 cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于____________．解：2 cm2．如图8－11，在□ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，AC⊥BC，且AB＝10 cm，AD＝6 cm，则AO＝__________cm．解：43．如图8－12，在□ABCD中，对角线AC和BD交于点O．若AC＝8，AB＝6，BD ＝m，那么m的取值范围是________________．解：4＜m＜204．BD为□ABCD的对角线，O为BD的中点，EF⊥BD于点O，与AD，BC分别交于点E，F．求证：DE＝DF．证明：如图D8－4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠EDO＝∠FBO．∵O为BD的中点，∴OB＝OD．∴∠EOD＝∠FOB，∴△EOD≌△FOB．∴EO＝FO．又EF⊥BD，∴DE＝DF．5．已知□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠AOB＝120°，AC＝6．当△ADC是直角三角形时，求AD的长．解：分三种情况讨论：①如图D8－5，当∠CAD＝90°时，若A在C上方，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝12AC＝3．∵∠AOB＝120°，∴∠ADO＝30°．∴OD＝2AO＝6．∴AD．②如图D8－6，当∠ACD＝90°时，若A在C下方，同理可以求出CD＝，∴AD③如图D8－7，当∠ADC＝90°时，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC．∴∠ADC＋∠BCD＝180°，∴∠ADC＝∠BCD．∵CD＝CD，∴△BCD≌△ADC．∴BD＝AC．∴AO＝OC＝OB＝OD．∴∠ACD＝30°．∴AD＝12AC＝3．综上所述，AD的长是或3．。
用平行四边形原理的应用
用平行四边形原理的应用什么是平行四边形原理平行四边形原理，又称为平行四边形定理，是一种几何学原理，描述了在一个平行四边形中，对角线互相平分以及副对角线互相垂直的关系。
平行四边形原理的应用平行四边形原理在实际生活和工程中有着广泛的应用。
下面列举了一些常见的应用场景：1.结构设计：平行四边形原理在结构设计中起到了重要的作用。
例如，在桥梁设计中，通过利用平行四边形原理，工程师可以确定桥梁的稳定性和承载能力，确保桥梁能够经受各种力的作用。
2.力学分析：平行四边形原理也被广泛用于力学分析中。
在静力学和动力学中，利用平行四边形原理可以帮助工程师计算物体所受的力以及力的作用方向，从而进行结构的合理设计和优化。
3.电子电路设计：在电子电路设计中，平行四边形原理可以用于确定电流和电压的分配。
通过利用平行四边形原理，工程师可以设计出性能稳定、功耗平衡的电子电路。
4.光学设计：在光学设计中，平行四边形原理可以用于光线的反射和折射的计算。
利用平行四边形原理，工程师可以优化光学系统的结构，提高光学器件的性能。
5.土地测量：平行四边形原理在土地测量中也有广泛应用。
通过测量平行四边形的边长和角度，测量员可以计算出地块的面积和边界。
6.建筑设计：在建筑设计中，平行四边形原理可以用于确定建筑物内部空间的布局和设计。
通过利用平行四边形原理，建筑师可以合理分配空间，提高空间的利用率。
7.计算机图形学：在计算机图形学中，平行四边形原理可以用于进行图像变换和投影。
通过利用平行四边形原理，计算机图形学可以实现图像的旋转、缩放和平移等操作。
8.金融分析：在金融领域，平行四边形原理可以用于分析市场趋势和投资回报。
通过利用平行四边形原理，金融分析师可以预测未来的市场走势，指导投资决策。
结论平行四边形原理作为一种几何学原理，具有广泛的应用领域。
无论是在工程设计、土地测量还是金融分析等领域，平行四边形原理都发挥着重要的作用。
通过合理应用平行四边形原理，可以提高设计的质量和效率，进而推动各行各业的发展。
平行四边形的实际应用案例
平行四边形的实际应用案例平行四边形在我们日常生活中有着许多实际应用案例，它们不仅存在于几何学中的理论知识中，更是在各个领域发挥着重要作用。
在本文中，我们将探讨平行四边形在不同场合下的实际应用案例。
一、建筑设计在建筑设计中，平行四边形常常被用来设计房屋的平面布局。
例如，一个长方形的房间可以被看作是两个平行四边形的结合，其中墙壁和地板可以被视为平行四边形的边。
通过对平行四边形的理解，建筑设计师可以更好地规划房屋的结构和布局，确保房屋的稳定和美观。
二、城市规划在城市规划中，平行四边形也扮演着重要的角色。
道路、街区和建筑物的规划往往需要考虑到平行四边形的概念，以确保整个城市布局的合理性和协调性。
例如，城市中的街道网格往往是由平行四边形和直角形成的，这种规划可以有效地提高城市的交通效率和便利性。
三、地理测量在地理测量领域，平行四边形也有着广泛的应用。
地图的制作和测量工作往往需要使用平行四边形的概念来确定地表上的距离和方向。
通过利用平行四边形的特性，地理学家可以更准确地绘制地图和进行地表测量工作，为人类的探索和发展提供重要的参考依据。
四、工程施工在工程施工中，平行四边形也常常被用来进行设计和测量工作。
例如，在建造桥梁和隧道时，工程师需要考虑到平行四边形的原理来确保工程的精确度和稳定性。
通过对平行四边形的理解，工程师可以更好地设计和施工工程，保障工程的安全和可靠性。
总的来说，平行四边形在各个领域都有着重要的实际应用价值。
通过对平行四边形的理解和应用，我们可以更好地解决实际问题，促进社会的发展和进步。
希望本文能够帮助读者更深入地了解平行四边形的实际应用案例，激发大家对几何学知识的兴趣与热爱。
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专题平行四边形中的简单证明一、平行四边形的性质∆沿AC对折，使点B落在B’处，AB’和CD相交于点1．在平行四边形ABCD中，将ABCO，求证：OD=OB’。
∠=∠2．如图，在ABCD中，点E、F是AC上两点，且AE=CF，求证：EBF FDE3．如图，在ABCD的纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处。
（1）求证：AE=AF；∆≅∆（2）求证：ABE AGF二、平行四边形的判定4．如图，在ABCD中，E，F分别为AD，BC上两点，且BF=DE，连AF、CE、BE、DF、AF与BE相交于M点，DF与CE相交于N点，求证：四边形FMEN为平行四边形。
5．如图，AF 与BE 互相平分，EC 与DF 互相平分，求证：四边形ABCD 为平行四边形。
6．如图所示，已知E 为ABCD 中DC 边延长线上一点，且CE=DC ，连AE 分别交BC ，BD 于F ，G ，连AC 交BD 于O 点，连OF 。
（1）求证：AF=EF ； （2）DE=4OF专题 平行四边形中的面积问题【方法归纳】：充分利用平行四边形的性质及常用的数学思维方法解决与面积有关的问题一、方程的思想1． 如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AF CD ⊥于F ，已知AE=4，AF=6，ABCD的周长为40，求ABCD 的面积。
2． 如图，E 是ABCD 内任一点，若6ABCD S =，则ABE CDE S S ∆∆+=______二、分类讨论的思想3．在面积为15的平行四边形ABCD 中，过点A 作AE 垂直于直线BC 于点E ，作AF 垂直于CD 于点F ，若AB=5，BC=6，则CE+CF 的值为（ ）A ．113112+B ．113112-C ．113112+或113112-D ．113112+或312+三、数形结合的思想4．基本图形：如图，在ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，过点O 任作直线分别交AD ，BC于E ，F 。
基本结论：（1）图中的全等三角形有：____________（2）图中相等的线段有：____________（3）与四边形ABEF 周长相等的四边形是_____________（4）过平行四边形对角线交点的直线将平行四边形分成面积相等的两部分，即ABFE S =四_____应用：如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为平行四边形，A （5,0），C （1,4），过点P （0，-2）的直线分别交于OA ，BC 于M 、N ，且将OABC 的面积分成相等的两部分，求点M 、N 的坐标。
专题 构造三角形中位线【方法归纳】：中点问题的处理方法较多，构造三角形中位线是常用方法之一一、连接两点构造三角形中位线1．如图，E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 四边的中点，试判断四边形EFGH 的形状并予 以证明。
2．如图，在ABC ∆中，2B A ∠=∠，CD AB ⊥于D ，E 、F 分别为AB 、BC 的中点。
求证：DE=DF 。
3．如图，点P 是四边形ABCD 的对角线BD 的中点，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD=BC ，45CBD ∠=︒，105ADB ∠=︒，探究EF 与PF 之间的数量关系，并证明。
4．如图，点B 为AC 上一点，分别以AB 、BC 为边在AC 同侧作等边ABD ∆和等边BCE ∆，点P 、M 、N 分别为AC 、AD 、CE 的中点。
（1）求证：PM=PN ；（2）求MPN ∠的度数二、利用角平行线+垂直构造中位线5．如图，在ABC ∆中，点M 为BC 的中点，AD 为ABC ∆的外角平分线，且AD BD ⊥，若AB=12，AC=18，求MD 的长。
6．如图，在ABC ∆中，AB=BC ，90ABC ∠=︒，F 为BC 上一点，M 为AF 的中点，BE 平分ABC ∠，且EF BE ⊥，求证：CF=2ME三、倍长构造三角形中位线7．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，BA=BC ，BEF ∆为等腰直角三角形，90BEF ∠=︒，M 为AF 的中点，求证：ME=12CF 。
四、取中点构造三角形中位线8．如图，四边形ABCD 中，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，连BD ，若AB=10，CD=8，求MN 的取值范围。
9．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，CA=CB ，E 、F 分别为CA 、CB 上一点，CE=CF ，M 、N 分别为AF 、BE 的中点，求证：AE=2MN 。
10．如图，点P 为ABC ∆的边BC 的中点，分别以AB 、AC 为斜边作Rt ABD ∆和Rt ACE ∆，且BAD CAE ∠=∠，求证：PD=PE 。
专题矩形中的折叠与勾股定理1．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB 上，将DAE∆沿DE折叠，使点A落在BD上的A’处，求AE的长。
2．将一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E、F 均在BD上），折叠分别为BH、DG。
（1）求证：BHE DGF∆≅∆（2）若AB=6，BC=8，求FG的长。
3．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，沿EF折叠，折痕为EF，使点C落在A点处，点D落在点G处。
（1）求证：AE=AF；（2）求AE的长；（3）求EF的长。
4．（1）操作发现：如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将ABE∆沿BE折叠后得到GBE∆，且点G在矩形ABCD内部，小明将BG延长交DC于边F，认为GF=DF，你同意吗？请说明理由。
（2）问题解决：保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求ADAB的值；（3）类比探究：保持（1）中的条件不变，若DC=nDF，直接写出ADAB的值：______专题 构造斜边上的中线【方法归纳】：遇到直角三角形斜边中点时，往往连斜边上的中线基本图形：已知ABD ∆和ABC ∆都是Rt ∆，90ADB ACB ∠=∠=︒基本结论：图1中，若OA=OB ，则OA=OB=OD ，若OA=OD ，则OB=OD ，若OB=OD ，则OA=OD 。
图2中，若OA=OB ，则OA=OD=OC=OB ，图3中，若OA=OB ，则OA=OD=OC=OB 。
1．如图，BCD ∆和BCE ∆中，90BDC BEC ∠=∠=︒，O 为BC 的中点，BD ，CE 交于A ，120BAC ∠=︒，求证：DE=OE2．如图，在ABC ∆中，BD AC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，点M 、N 分别是BC ，DE 的中点，（1）求证：MN DE ⊥； （2）连ME ，MD ，若60A ∠=︒，求MN DE 的值。
3．如图，在ABC ∆中，AB=BC ，90ABC ∠=︒，点E 、F 分别在AB ，AC 上，且AE=EF ，点O ，M 分别为AF ，CE 的中点，求证：（1）OM=12CE ；（2）OB=2OM4．如图，CDE ∆中，135CDE ∠=︒，CB DE ⊥于B ，EA CD ⊥于A ，求证：CE=2AB 。
专题 灵活运用菱形的性质1．如图，菱形ABCD 中，点E 为AC 上一点，且DE BE ⊥（1）求证：ADE ABE ∆≅∆（2）若60DAB ∠=︒，AD=23，求DE 的长。
2．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使顶点B 落在边AD 上的一点，折痕的一段G 点在边BC 上，另一端F 在AD 上，AB=8，BG=10.（1）求证：四边形BGEF 为菱形；（2）求FG 的长。
3．如图，四边形ABCD 与四边形AECF 都是菱形，点EF 在BD 上，已知120BAD ∠=︒，30EAF ∠=︒，求AB AE的值。
4．如图，菱上形ABCD 的边长为2，且120ABC ∠=︒，点E 是BC 的中点，点P 为BD 上一点，且PCE ∆的周长最小、（1）求ADE ∠的度数；（2）在BD 画出点P 的位置，并写出作法；（3）求PCE ∆周长的最小值。
5．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC=4，BC=3，D 为AB 上一点，以CD 、CB 为边作菱形CDEB ，求AD 的长。
专题 灵活运用菱形的判定1．如图，在ABCD 中，E 为BC 上一点，连AE 、BD ，且AE=AB ，（1）求证：ABE EAD ∠=∠（2）若2AEB ADB ∠=∠，求证：四边形ABCD 是菱形2．如图，在ABC ∆中，AD 是边BC 上的中线，AE//BC ，DE//AB ，DE 与AC 交于点O ，连CE.（1）求证：AD=EC ；（2）若90BAC ∠=︒，求证：四边形ADCE 是菱形。
3．如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，CB=CD ，E 是CD 上一点，BE 交AC 于F（1）求证：AFD CFE ∠=∠（2）若AB//CD ，试证明四边形ABCD 是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定E 点的位置，使EFD BCD ∠=∠，并说明理由。
4．如图，点E 为AB 上一点，以AE 、BE 为边在AB 同侧作等边AED ∆和等边BEC ∆，点P 、Q 、M 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点。
（1）判断四边形PNMQ 的形状，并证明；（2）NPQ ∠的度数为________（直接写出结果）专题 正方形中的简单证明【方法归纳】：运用正方形的边、角、对角线的性质进行简单的线段关系、角度关系及位置关系的证明。
1．如图，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别在OA 、OB 上，且 OM=ON 。
（1）求证：① BM=CN ；②CN BM ⊥（2）若M 、N 分别在OA 、OB 的延长线上，则（1）中的两个结论仍成立吗？请说明理由。
2．如图，E 是正方形ABCD 中AD 边上的中点，BD ，CE 相交于点F 。
（1）求证：EB=EC ； （2）求证：DAF DCF ∠=∠（3）求证：AF BE ⊥（4）过F 作FG//BE 交BC 于G ，求证：FG=FC 。
3．如图，已知正方形ABCD ，点P 在对角线BD 上，PE PA ⊥交BC 于E ，PF BC ⊥，垂足为F 点。
（1）求证：PEC BAP ∠=∠（2）求证：EF=FC ；（3）求证：DP=2CF ；4．正方形ABCD 和正方形AEFG 有公共顶点A ，将正方形AEFG 绕点A 按顺时针方向旋转，记旋转角DAG α∠=，其中0180α︒≤≤︒，连DF 、BF ，如图。
（1）若0α=︒，则DF=BF ，请加以证明；（2）试画出一个图形（即反例），说明（1）中命题的逆命题是假命题；（3）对于（1）中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由。
专题 中点四边形【方法归纳】：中点四边形的形状一般通过三角形中位线定理来证明四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、AD 的中点。