平行四边形的专题应用

专题平行四边形中的简单证明

一、平行四边形的性质

∆沿AC对折，使点B落在B’处，AB’和CD相交于点1．在平行四边形ABCD中，将ABC

O，求证：OD=OB’。

∠=∠

2．如图，在ABCD中，点E、F是AC上两点，且AE=CF，求证：EBF FDE

3．如图，在ABCD的纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处。

（1）求证：AE=AF；

∆≅∆

（2）求证：ABE AGF

二、平行四边形的判定

4．如图，在ABCD中，E，F分别为AD，BC上两点，且BF=DE，连AF、CE、BE、DF、AF与BE相交于M点，DF与CE相交于N点，求证：四边形FMEN为平行四边形。

5．如图，AF 与BE 互相平分，EC 与DF 互相平分，求证：四边形ABCD 为平行四边形。

6．如图所示，已知E 为ABCD 中DC 边延长线上一点，且CE=DC ，连AE 分别交BC ，BD 于F ，G ，连AC 交BD 于O 点，连OF 。

（1）求证：AF=EF ； （2）DE=4OF

专题 平行四边形中的面积问题

【方法归纳】：充分利用平行四边形的性质及常用的数学思维方法解决与面积有关的问题

一、方程的思想

1． 如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AF CD ⊥于F ，已知AE=4，AF=6，ABCD

的周长为40，求

ABCD 的面积。

2． 如图，E 是ABCD 内任一点，若6ABCD S =，则ABE CDE S S ∆∆+=______

二、分类讨论的思想

3．在面积为15的平行四边形ABCD 中，过点A 作AE 垂直于直线BC 于点E ，作AF 垂直于CD 于点F ，若AB=5，BC=6，则CE+CF 的值为（ ）

A ．113112+

B ．113112-

C ．113112+或113112-

D ．113112+或312

+

三、数形结合的思想

4．基本图形：如图，在

ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，过点O 任作直线分别交AD ，BC

于E ，F 。

基本结论：（1）图中的全等三角形有：____________

（2）图中相等的线段有：____________

（3）与四边形ABEF 周长相等的四边形是_____________

（4）过平行四边形对角线交点的直线将平行四边形分成面积相等的两部分，

即ABFE S =四_____

应用：如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为平行四边形，A （5,0），C （1,4），

过点P （0，-2）的直线分别交于OA ，BC 于M 、N ，且将

OABC 的面积分成

相等的两部分，求点M 、N 的坐标。

专题 构造三角形中位线

【方法归纳】：中点问题的处理方法较多，构造三角形中位线是常用方法之一

一、连接两点构造三角形中位线

1．如图，E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 四边的中点，试判断四边形EFGH 的形状并予 以证明。

2．如图，在ABC ∆中，2B A ∠=∠，CD AB ⊥于D ，E 、F 分别为AB 、BC 的中点。求证：DE=DF 。

3．如图，点P 是四边形ABCD 的对角线BD 的中点，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD=BC ，45CBD ∠=︒，105ADB ∠=︒，探究EF 与PF 之间的数量关系，并证明。

4．如图，点B 为AC 上一点，分别以AB 、BC 为边在AC 同侧作等边ABD ∆和等边BCE ∆，点P 、M 、N 分别为AC 、AD 、CE 的中点。

（1）求证：PM=PN ；（2）求MPN ∠的度数

二、利用角平行线+垂直构造中位线

5．如图，在ABC ∆中，点M 为BC 的中点，AD 为ABC ∆的外角平分线，且AD BD ⊥，若AB=12，AC=18，求MD 的长。

6．如图，在ABC ∆中，AB=BC ，90ABC ∠=︒，F 为BC 上一点，M 为AF 的中点，BE 平分ABC ∠，且EF BE ⊥，求证：CF=2ME

三、倍长构造三角形中位线

7．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，BA=BC ，BEF ∆为等腰直角三角形，90BEF ∠=︒，M 为AF 的中点，求证：ME=12

CF 。

四、取中点构造三角形中位线

8．如图，四边形ABCD 中，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，连BD ，若AB=10，CD=8，求MN 的取值范围。

9．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，CA=CB ，E 、F 分别为CA 、CB 上一点，CE=CF ，M 、N 分别为AF 、BE 的中点，求证：AE=2MN 。

10．如图，点P 为ABC ∆的边BC 的中点，分别以AB 、AC 为斜边作Rt ABD ∆和Rt ACE ∆，且BAD CAE ∠=∠，求证：PD=PE 。

专题矩形中的折叠与勾股定理

1．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB 上，将DAE

∆沿DE折叠，使点A落在BD上的A’处，求AE的长。

2．将一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E、F 均在BD上），折叠分别为BH、DG。

（1）求证：BHE DGF

∆≅∆

（2）若AB=6，BC=8，求FG的长。

3．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，沿EF折叠，折痕为EF，使点C落在A点处，点D落在点G处。

（1）求证：AE=AF；（2）求AE的长；（3）求EF的长。

4．（1）操作发现：如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将ABE

∆沿BE折叠后得到GBE

∆，且点G在矩形ABCD内部，小明将BG延长交DC于边F，认

为GF=DF，你同意吗？请说明理由。

（2）问题解决：保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求AD

AB

的值；

（3）类比探究：保持（1）中的条件不变，若DC=nDF，直接写出AD

AB

的值：______