排列组合

排列、组合、二项式定理

【开心自测】

1、将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有（）

A、81

B、64

C、12

D、14

2、用1，2，3，4四个数字可以组成数字不重复的自然数的个数（）

A、64

B、60

C、24

D、256

3、3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则有不同分法的种数是（）

A、2160

B、120

C、240

D、720

4、要排一张有5个独唱和3个合唱的节目表，如果合唱节目不能排在第一个，并且合唱节目不能相邻，则不同排法的种数是（）

A、 B、 C、 D、

5、某班有30名男生，20名女生，现要从中选出5人组成一个宣传小组，其中男、女学生均不少于2人的选法为（）

A、 B、C、 D、

6、空间有10个点，其中5点在同一平面上，其余没有4点共面，则10个点可以确定不同平面的个数是（）A、206 B、205 C、111 D、110

7、6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，不同的分法种数是（）

A、 B、 C、 D、

【典型例题解析】

题型1：计数原理

例1．完成下列选择题与填空题

（1）有三个不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，则不同的投法有种。

A．81 B．64 C．24 D．4

（2）四名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是（）

A．81 B．64 C．24 D．4

（3）有四位学生参加三项不同的竞赛，

①每位学生必须参加一项竞赛，则有不同的参赛方法有；

②每项竞赛只许有一位学生参加，则有不同的参赛方法有；

③每位学生最多参加一项竞赛，每项竞赛只许有一位学生参加，则不同的参赛方法有。

例2．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有种不同的方法（用数字作答）

题型2：排列问题

例3．（1）在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（）

（A）36个（B）24个（C）18个（D）6个

（2）从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（）

（A）108种（B）186种（C）216种（D）270种

（3）在数字1,2，3与符号＋，－五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是（）

A．6 B. 12 C. 18 D. 24

（4）高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（）

（A）1800 （B）3600 （C）4320 （D）5040

例4．（1）用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有个（用数字作答）；

（2）电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必

须播放公益广告，则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）.

题型三：组合问题

例5．（1）将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有（）

（A）３０种（B）９０种（C）１８０种（D）２７０种

（2）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）

A．10种B．20种C．36种D．52种

例6．（1）某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有种；

（2）5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（）（A）150种(B)180种(C)200种(D)280种

题型4：排列、组合的综合问题

例7．平面上给定10个点，任意三点不共线，由这10个点确定的直线中，无三条直线交于同一点（除原10点外），无两条直线互相平行。求：（1）这些直线所交成的点的个数（除原10点外）。

例8．已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{－3,－2,－1,0,1,2,3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，求符合这些条件的直线的条数。

（2）这些直线交成多少个三角形。

【拓展提高】有限制条件的排列与组合问题

一、特殊元素优先处理

例1、5人排成一排照相

（1）甲不能站在中间,有多少种不同的的排法?

（2）甲必须站在中间,有多少种不同的的排法?

例2用五种不同的颜色给图中A,B,C,D,E五个平面区域染色,要求每个区域只染一种颜色,且相邻区域不能染相同颜色,求不同的染色方法总数。

四块区域均相邻先给A染色，种方法,

其余各块依次(分布)染色的染色方法种

例3、在30000和60000

二、定序序问题无序处理

例4 从1到9这九个数字中任取4个不同的数作为函数y=ax3 +bx2 +cx+d的系数，且要求a＜b ＜c＜d，这样的函数共有多少个？

例5 10个人坐成一排，其中甲在乙的左边，甲乙不一定相邻的坐法有多少种？

三、多排问题直排处理

例6、 8个人排成前后两排，每排4人

（1）共有多少种排法？

（2）若甲、乙2人要排在前排，丙要排在后排，共有多少种不同的排法？

四、相邻问题“粘合”处理

例7 有8本互不相同的书，其中数学书3本，外文书2本，其它书3本。若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在在一起，外文书恰好排在一起的排法共有种。

例8 计划展出10幅不同的，其中1幅水彩画，4幅油幅，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（）种。

A A44A55

B A33A44A55

C C31A44A55

D A22A44A55

五、隔离问题“插入”处理

例9 由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字1与2不相邻的五位数，求这种五位数的个数。（高考题）

例10 马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的9盏路灯，为节约用电，可以把其中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯办法有多