解析几何的经典结论
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有关解析几何的经典结论
一、椭 圆
1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.
2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.
4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5.
若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是002
21x x y y
a b +=. 6.
若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1
、P 2
，则切点弦P 1
P 2
的直线方程是002
21x x y y
a b
+=. 7.
椭圆22
221x y a b
+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1
，F 2
，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为
122tan
2
F PF S b γ
∆=.
8. 椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：
10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).
9.
设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.
10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.
11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2
2
OM AB b k k a ⋅=-，
即0
20
2y a x b K AB -=。
12.
若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是
2200002222x x y y x y a b a b +=+.
13.
若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y
x y a b a b
+=
+. 二、双曲线
1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.
2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.
4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）
5.
若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是002
21x x y y
a b -=. 6.
若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1
、P 2
，则切点弦P 1P 2
的直线
方程是00221x x y y
a b
-=.
7.
双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1
，F 2
，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角
形的面积为1
2
2t
2
F PF
S b co γ
∆=.
8.
双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c
当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.
当00(,)M x y 在左支上时，10
||MF ex a =-+,20||MF ex a =--
9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.
10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，
则MF ⊥NF. 11.
AB 是双曲线22
221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则02
02y a x b K K AB OM =⋅，即
2
2y a x b K AB
=。
12.
若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002
222x x y y x y a b a b -=-.
13.
若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是2200222
2x x y y
x y a b a b
-=-. 椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）
椭 圆
1.
椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2
时A 1
P 1
与A 2
P 2
交点的
轨迹方程是22
221x y a b -=.
2.
过椭圆22
221x y a b += (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向
且20
20
BC b x k a y =（常数）.
3. 若P
为椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1
, F
2
是焦点, 12
PF F α
∠=, 21
PF F β
∠=，则
tan t 22
a c co a c αβ-=+.
4.
设椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1
、F 2
,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2
中，记12F PF α∠=,
12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有
sin sin sin c
e a
αβγ==+.