第三节 基本不等式-高考状元之路

第三节 基本不等式

预习设计 基础备考

知识梳理

1．基本不等式2

b a ab +≤ (1)基本不等式成立的条件：

(2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号．

2．几个重要的不等式

22(1)a b +≥ ).,(R b a ∈

≥+

b

a a

b )

2( b a ,(同号）． ab )3( ).,()

2(2R b a b a ∈+

2)4(22b a + ).,()2

(2R b a b a ∈+ 3．算术平均数与几何平均数

设,0,0>>b a 则a ，b 的算术平均数为 ，几何平均数为 基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数．

4．利用基本不等式求最值问题

已知,0,0>>y x 则

(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当 ，时，x+y 有最 值是 （简记：积定和最小）

(2)如果和y x +是定值p ，那么当且仅当 时，xy 有最 值是 （简记：和定积最大）

典题热身

1．下列结论中不正确的是 ( )

0.>a A 时，21≥+a a 2.≥+b

a a

b B ab b a C 2.22≥+ 2)(.222b a b a D +≥+ 答案：B

2．若),2

lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=⋅=>>则( ) Q P R A <<. R Q p B <<. R p Q c <<. Q R P D <<.

答案：B

3．若,45>x 则5

414)(-+=x x x f 的最小值为 ( ) 3.-A 2.B 5.c 7.D

答案：D

4．(2011．天津高考)已知,1log log 22≥+b a 则b a 93+的最小值为

答案：18

5．(2011．吉林长春调研)若正数a 、b 满足

,241=+b a 则+a b 的最小值为 答案：2

9 课堂设计 方法备考

题型一 利用基本不等式求最值

【例1】(1)已知,0,0>>b a 且,14=+b a 求ab 的最大值；

(2)已知,2>x 求2

4-+x x 的最小值； (3)已知,0,0>>y x 且,1=+y x 求y

x 94+的最小值， 题型二 利用基本不等式证明不等式

【例2】已知,0,0,0>>>c b a 且,1=++c b a 求证：

;8)11)(11)(11)(1(≥---c

b a .9111)2(≥++c

b a 题型三 利用基本不等式解应用题

【例3】某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6t ，每吨面粉的价格为l 800元，面粉的保

管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．

(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？

(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210 t 时，其价格可享受9折优惠，问：该厂是否

考虑利用优惠条件？请说明理由，

技法巧点

1．恒等变形

为了利用基本不等式，有时对给定的代数式要进行适当变形，比如：

(1)当2>x 时，.42222

1)2(21=+≥+-+-=-+

x x x x (2)当380<

16)2383(31)38)(3(31)38(2x x x x x x 2．常用不等式 以下不等式在解题时使用更直接，

),,0(21)1(R a a a

a ∈>≥+

当且仅当1=a 时等号成立． ),,,0(2)2(R b a ab b

a a

b ∈>≥+当且仅当b a =时等号成立． 3．二次配方

任意,,0R a a ∈>应用不等式21≥+a a 可解决部分分式不等式的最值问题．比如：当2>x 时， 2

1)2(2)2(212)1(22-+-+-=-+-x x x x x x

.42222

1)2(=+≥+-+-=x x ⋅≤+-+-=-+-=--41221)2(12

121)1(2)2(22x x x x x x x 失误防范

使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在对前提“一正、二定、三相等”的忽视，要利用基本不等式求最这三个条件缺一不可．

(1) 确保“一正”．对于负数，很多不等关系就不一定成立.

如：当x<0时，21≥+

x

x 显然不再成立． 事实上，此时.2)]1()[(1-≤-+--=+x x x x (2)要使ab b a ≥+2中等号成立，必须使b a =成立．如：,21111

22≥+++=+⋅+x x x x 且0=x 时，

122++x x 的最小值是2．

随堂反馈

1．设.1,1,,>>∈b a R y x 若,32,3=+==b a b a y x 则+x 1y

1的最大值为( ) 2.A 23.B 1.C 2

1.D 答案：C

2．(2011．山东苍山模拟)已知,2lg 8lg 2lg ,0,0=+>>y x y x 则y

x 311+的最小值是( ) 2.A 22.B 4.C 32.D

答案：C

3．设函数),0(112)(<-+=x x

x x f 则)(x f ( ) A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数

答案：A

4．当点（xy ）在直线023=-+y x 上移动时，表达式1273++y

x 的最小值为( ) 3.A 5.B 1.C 7.D

答案：D

5．(2010·1重庆高考)已知,822,0,0=++>>xy y x y x 则y x 2+的最小值是( )

3.A

4.B 29.c 2

11.D 答案：B

高效作业 技能备考

一、选择题