第三节 基本不等式-高考状元之路

第三节 基本不等式
预习设计 基础备考
知识梳理
1．基本不等式2
b a ab +≤ (1)基本不等式成立的条件：
(2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号．
2．几个重要的不等式
22(1)a b +≥ ).,(R b a ∈
≥+
b
a a
b )
2( b a ,(同号）． ab )3( ).,()
2(2R b a b a ∈+
2)4(22b a + ).,()2
(2R b a b a ∈+ 3．算术平均数与几何平均数
设,0,0>>b a 则a ，b 的算术平均数为 ，几何平均数为 基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知,0,0>>y x 则
(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当 ，时，x+y 有最 值是 （简记：积定和最小）
(2)如果和y x +是定值p ，那么当且仅当 时，xy 有最 值是 （简记：和定积最大）
典题热身
1．下列结论中不正确的是 ( )
0.>a A 时，21≥+a a 2.≥+b
a a
b B ab b a C 2.22≥+ 2)(.222b a b a D +≥+ 答案：B
2．若),2
lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=⋅=>>则( ) Q P R A <<. R Q p B <<. R p Q c <<. Q R P D <<.
答案：B
3．若,45>x 则5
414)(-+=x x x f 的最小值为 ( ) 3.-A 2.B 5.c 7.D
答案：D
4．(2011．天津高考)已知,1log log 22≥+b a 则b a 93+的最小值为
答案：18
5．(2011．吉林长春调研)若正数a 、b 满足
,241=+b a 则+a b 的最小值为 答案：2
9 课堂设计 方法备考
题型一 利用基本不等式求最值
【例1】(1)已知,0,0>>b a 且,14=+b a 求ab 的最大值；
(2)已知,2>x 求2
4-+x x 的最小值； (3)已知,0,0>>y x 且,1=+y x 求y
x 94+的最小值， 题型二 利用基本不等式证明不等式
【例2】已知,0,0,0>>>c b a 且,1=++c b a 求证：
;8)11)(11)(11)(1(≥---c
b a .9111)2(≥++c
b a 题型三 利用基本不等式解应用题
【例3】某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6t ，每吨面粉的价格为l 800元，面粉的保
管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．
(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210 t 时，其价格可享受9折优惠，问：该厂是否
考虑利用优惠条件？请说明理由，
技法巧点
1．恒等变形
为了利用基本不等式，有时对给定的代数式要进行适当变形，比如：
(1)当2>x 时，.42222
1)2(21=+≥+-+-=-+
x x x x (2)当380<<x 时，⋅=-+≤-=-3
16)2383(31)38)(3(31)38(2x x x x x x 2．常用不等式 以下不等式在解题时使用更直接，
),,0(21)1(R a a a
a ∈>≥+
当且仅当1=a 时等号成立． ),,,0(2)2(R b a ab b
a a
b ∈>≥+当且仅当b a =时等号成立． 3．二次配方
任意,,0R a a ∈>应用不等式21≥+a a 可解决部分分式不等式的最值问题．比如：当2>x 时， 2
1)2(2)2(212)1(22-+-+-=-+-x x x x x x
.42222
1)2(=+≥+-+-=x x ⋅≤+-+-=-+-=--41221)2(12
121)1(2)2(22x x x x x x x 失误防范
使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在对前提“一正、二定、三相等”的忽视，要利用基本不等式求最这三个条件缺一不可．
(1) 确保“一正”．对于负数，很多不等关系就不一定成立.
如：当x<0时，21≥+
x
x 显然不再成立． 事实上，此时.2)]1()[(1-≤-+--=+x x x x (2)要使ab b a ≥+2中等号成立，必须使b a =成立．如：,21111
22≥+++=+⋅+x x x x 且0=x 时，
122++x x 的最小值是2．
随堂反馈
1．设.1,1,,>>∈b a R y x 若,32,3=+==b a b a y x 则+x 1y
1的最大值为( ) 2.A 23.B 1.C 2
1.D 答案：C
2．(2011．山东苍山模拟)已知,2lg 8lg 2lg ,0,0=+>>y x y x 则y
x 311+的最小值是( ) 2.A 22.B 4.C 32.D
答案：C
3．设函数),0(112)(<-+=x x
x x f 则)(x f ( ) A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数
答案：A
4．当点（xy ）在直线023=-+y x 上移动时，表达式1273++y
x 的最小值为( ) 3.A 5.B 1.C 7.D
答案：D
5．(2010·1重庆高考)已知,822,0,0=++>>xy y x y x 则y x 2+的最小值是( )
3.A
4.B 29.c 2
11.D 答案：B
高效作业 技能备考
一、选择题
1．若,0,0>>y x 且,141=+y
x 则y x +的最小值是 ( ) 3.A 6.B 9.C 12.D
答案：C
2．若,10<<x 则)34()(x x x f -=取得最大值时，x 的值为( )
31.A 21.B 43.c 3
2.D 答案：D
3．已知函数)545lg()(m x f x
x ++=的值域为R ，则m 的取值范围是( ) ),4.(+∞-A ),4.[+∞-B )4,.(--∞c ]4,.(--∞D
答案：D
4．(2010．北京模拟)若,0,0>>b a 且,0)ln(=+b a 则+a 1b
1的最小值是( ) 4
1.A 1.B 4.C 8.D 答案：C
5．（2011．福州模拟）已知不等式9)1)((≥+
+y a x y x 对任意正实数勘y 恒成立，则正实数a 的最小值为 ( )
2.A 4.B 9.C 16.D
答案：B
6．(2010．四川高考)设,0>>>c b a 则--++)
(1122b a a ab a 22510c ac +的最小值是( ) 2.A 4.B 52.C 5.D
答案：B
二、填空题
7．（2011．湖南高考）设,R y x ∈、且,0=/xy 则)41)(1(2222y x
y x ++的最小值为 答案：9
8．（2011．聊城模拟）经观测，某公路段在某时段内的车流量y （千辆／小时）与汽车的平均速度v （千米／小时）之间有函数关系：),0(1600
39202>++=v xJ v v y 在该时段内，当车流量y 最大时，汽车的平均速度=v 千米／小时．
答案：40
9．（2011．台州调研）若实数a ，b 满足---b a ab 4),1(>a 则)2)(1(++b a 的最小值为
答案：27
三、解答题
10．已知,0,0,0>>>z y x 且.1=++z y x 求证：.36941≥++z
y x 11.某学校拟建一块周长为400 m 的操场如图所示，操场头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安
排在区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何矩形的长和宽．
12.已知x ，y 都是正实数，且.053=+-+xy y x
(1)求xy 的最小值；
(2)求y x +的最小值．。