第三节 基本不等式-高考状元之路
基本不等式 高考数学满分秘诀
高考数学秘诀-基本不等式【知识梳理】12a b +≤(1)基本不等式成立的条件：0,0a b ≥≥.(2)等号成立的条件：当且仅当a b =时取等号.(3)其中2a b+称为正数a ，b a ，b 的几何平均数.2、几个重要的不等式（1）222222a b a b ab ab ++≥⇒≤，当且仅当a ＝b 时取等号.（2）2()2a b a b ab ++≥≤，当且仅当a ＝b 时取等号.（3）222()22a b a b ++≤.（4）熟悉一个重要的不等式链：211a b+2a b+≤≤≤222b a +总结：基本不等式重点就是体现一个“定”的思想，所以在学习过程中要感悟配凑技巧。
拓展：若+∈R c b a ,,，3a b c ++≥c b a ==时等号成立；【技巧大全】技巧1：直接法技巧2：“添项”配凑法技巧3：“系数”配凑法技巧4：常数代换法技巧5：待定系数法技巧6：涉及a b +和ab 的处理方法技巧7：一次、二次问题处理方法技巧8：齐次化法技巧9：化为单变量法技巧10：整体配凑法【典例分析】--部分摘录技巧1：直接法例1、已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为________。
【答案】3【解析】因为x >0，y>0，所以34x y +≥(当且仅当34x y =，即x=6，y=8时取等号)，于1≤， 3.xy ∴≤，故xy 的最大值3.例2、已知+∈R y x ,若16=xy ，求11x y+的最小值.并求y x 、的值【答案】12【解析】1112x y +≥=，当且仅当4==y x 时等号成立例3、若实数,a b 满足221ab+=，则a b +的最大值是．【答案】-2当1a b ==-时取等号。
例4、若实数a ，b满足12a b+=，则ab 的最小值为__________．【答案】由题意可知可以利用基本不等式，12a b =+≥=，当且仅当122b a a b =⇒=时取等号，化简后可得：ab =145422a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩技巧2：“添项”配凑法例1、已知函数1(0)y x x x=+>，求y 的最小值.【答案】2例2、已知函数3(2)2y x x x =+>-，求y 的最小值.【答案】2+例3、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
【高考数学状元之路——最新高考数学名师讲解专题】专题复习课件【1】不等式、函数和导数
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C. D .
【解析】 y=x2 与 y=t2 的交点( t,t2), 第一部分面积为
S1=
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∴函数 f( x)=ln(x2-x) 的定义域为 ( -∞, 0) ∪(1, + ∞) .
【答案】 C
2.已知 x>0, y>0, 若 + >m2+ 2m 恒成立, 则实数 m 的取
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值范围是 (
) .
A.m≥4 或 m≤ -2 B.m≥2 或 m≤-4 C.-2<m<4 D.-4<m<2 【解析】 因为 x>0, y>0, 所以 + ≥2 ������������=8, 要使原不等Fra bibliotek) .
【解析】由题意得函数 f(x) 在区间 [ 1, + ∞)上单调递增, 在区间 ( -∞, 1) 上单调递增, 又在 x=1 处 , 两端的函数值相等, 故函数 f( x)在(-∞, + ∞) 上是单调递增函数 .所以 f( m2+ 1) ≥
f(tm-1)对任意实数 m 恒成立, 等价于 m2+ 1≥ tm-1 对任意实
第一篇 知 识 专 题
【考情报告】
年份 题型 考点
2012 年
2013 年 第 2 题: 集合与不等式 结合 第 7 题: 定积分应用题 第 10 题: 导数的综合题 ( 含参函数的极值点, 涉 及切线、单调性) 第 13 题: 柯西不等式
《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习：必修部分 开卷速查36 基本不等式
开卷速查(三十六) 基本不等式A 级 基础巩固练1．下列命题正确的是( )A ．若x ≠k π，k ∈Z ，则sin 2x ＋1sin 2x ≥4 B ．若a ＜0，则a ＋4a ≥－4C ．若a ＞0，b ＞0，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg bD ．若a ＜0，b ＜0，则a b ＋a b ≥2解析：当sin 2x ＝1时，1＋1＝2＜4，所以A 错； 若a ＜0，则a ＋4a ≤－4，B 错； 因为lg a ，lgb 可以小于零，C 错；由a ＜0，b ＜0，所以b a ，ab 都大于零，D 正确． 答案：D2．若正实数x ，y 满足x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，则x ＋y 的最大值是( ) A ．2 B ．3C ．4 D.5 解析：∵xy ≤(x ＋y )24，x ＞0，y ＞0， ∴1xy ≥4(x ＋y )2，x ＋y xy ≥4x ＋y. ∴x ＋y ＋4x ＋y≤5.设x ＋y ＝t ，即t ＋4t ≤5，得到t 2－5t ＋4≤0，解得1≤t ≤4，∴x ＋y 的最大值是4.答案：C3．已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2abB.a b ＋b a ≥2C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ≥2 D.a 2＋b 2＞2ab 解析：当a ，b 都是负数时，A 不成立，当a ，b 一正一负时，B 不成立，当a ＝b 时，D 不成立，因此只有C 是正确的．答案：C4．若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值为( )A ．1 B.6 C ．9 D.16解析：方法一：因为1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ⇒(a －1)(b －1)＝1，所以1a －1＋9b －1≥21a －1·9b －1＝2×3＝6. 方法二：因为1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ，1a －1＋9b －1＝b －1＋9a －9ab －a －b ＋1＝b ＋9a －10＝(b ＋9a )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b －10≥16－10＝6.方法三：因为1a ＋1b ＝1，所以a －1＝1b －1，所以1a －1＋9b －1＝(b －1)＋9b －1≥29＝2×3＝6.答案：B5．设a ＞0，b ＞0.若3是3a与32b的等比中项，则2a ＋1b 的最小值为( )A ．8 B.4 C ．1D.14解析：由题意可知3＝3a 32b ＝3a ＋2b ，即a ＋2b ＝1. 因为a ＞0，b ＞0，所以2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (a ＋2b )＝a b ＋4ba ＋4≥2a b ·4ba＋4＝8，当且仅当a b ＝4b a ，即a ＝2b ＝12时取“＝”．答案：A6．若x ，y ∈(0,2]且xy ＝2，使不等式a (2x ＋y )≥(2－x )(4－y )恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．a ≤12 B.a ≤2 C ．a ≥2 D.a ≥12 解析：由x ，y ∈(0,2]，xy ＝2，得a ≥(2－x )(4－y )2x ＋y ＝10－2(2x ＋y )2x ＋y ＝102x ＋y －2.又由2x ＋y ≥22xy ＝4，∴a ≥12. 答案：D7．已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝2，则x ＋8yxy 的最小值为__________．解析：由已知得x ＋2y2＝1，则x ＋8y xy ＝1y ＋8x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋8x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋2y 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋x y ＋16y x ≥12(10＋216)＝9，当且仅当x ＝43，y ＝13时取等号．答案：98．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3＞0}，B ＝{x |ax 2＋bx ＋c ≤0}，若A ∩B ＝{x |3＜x ≤4}，A ∪B ＝R ，则b 2a ＋ac 2的最小值为__________．解析：∵x 2－2x －3＞0，∴x ＜－1或x ＞3. ∵A ∩B ＝{x |3＜x ≤4}，A ∪B ＝R ， ∴B ＝{x |－1≤x ≤4}．∴－1和4是ax 2＋bx ＋c ＝0的根． ∴－1＋4＝－b a ，(－1)×4＝ca . ∴b ＝－3a ，c ＝－4a ，且a ＞0. ∴b 2a ＋a c 2≥2b 2c 2＝2b c ＝－6a －4a ＝32，当且仅当b 2a ＝ac 2取等号． 答案：329．若实数a ，b ，c 满足2a ＋2b ＝2a ＋b,2a ＋2b ＋2c ＝2a ＋b ＋c ，则c 的最大值是__________．解析：由基本不等式得2a＋2b≥22a 2b＝2×2a ＋b2，即2a ＋b≥2×2a ＋b2，所以2a ＋b ≥4.令t ＝2a ＋b ，由2a ＋2b ＋2c ＝2a ＋b ＋c 可得2a＋b ＋2c ＝2a ＋b ·2c ，所以2c＝t t －1＝1＋1t －1，由t ≥4，得1＜tt －1≤43，即1＜2c≤43，所以0＜c ≤log 243＝2－log 23，故答案为2－log 23.答案：2－log 2310．设关于x 的不等式|x －2|＜a (a ∈R )的解集为A ，且32∈A ，－12∉A .(1)∀x ∈R ，|x －1|＋|x －3|≥a 2＋a 恒成立，且a ∈N ，求a 的值； (2)若a ＋b ＝1，求13|b |＋|b |a 的最小值，并指出取得最小值时a 的值．解析：(1)∵32∈A ，－12∉A ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－2＜a ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12－2≥a ，即12＜a ≤52.∵|x －1|＋|x －3|≥|(x －1)－(x －3)|＝2， ∴a 2＋a －2≤0，∴－2≤a ≤1，∴12＜a ≤1.又a ∈N ，∴a ＝1.(2)∵12＜a ≤52，∴13|b |＋|b |a ＝a ＋b 3|b |＋|b |a ＝b 3|b |＋a 3|b |＋|b |a ≥－13＋2a 3|b |×|b |a ＝23－13.当且仅当⎩⎨⎧b ＜0，a 2＝3b 2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝33－1，b ＝－13－1时上式取等号．又∵12＜33－1＝3＋32≤52，∴13|b |＋|b |a 的最小值是23－13，取最小值时a ＝3＋32.B 级 能力提升练11．已知正实数a ，b 满足a ＋2b ＝1，则a 2＋4b 2＋1ab 的最小值为( )A.72 B.4 C.16136D.172解析：因为1＝a ＋2b ≥22ab ，所以ab ≤18，当且仅当a ＝2b ＝12时取等号．又因为a 2＋4b 2＋1ab ≥2a 2·4b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab .令t ＝ab ，所以f (t )＝4t ＋1t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18单调递减，所以f (t )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝172.此时a ＝2b ＝12. 答案：D12．已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x ＞－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b ＝( )A ．－3 B.2 C ．3D.8解析：y ＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5，由x ＞－1，得x ＋1＞0，9x ＋1＞0，所以由基本不等式得y ＝x ＋1＋9x ＋1－5≥2(x ＋1)×9x ＋1－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即(x ＋1)2＝9，所以x ＋1＝3，即x ＝2时取等号，所以a ＝2，b ＝1，a ＋b ＝3.答案：C13．[2015·武汉模拟]经观测，某公路段在某时段内的车流量y (万辆/小时)与汽车的平均速度v (千米/小时)之间有函数关系y ＝92vv 2＋3v ＋1 600(v ＞0)．(1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时车流量y 最大？最大车流量为多少？(2)为保证在该时段内车流量至少为1万辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？解析：(1)y ＝92v v 2＋3v ＋1 600＝92v ＋1 600v ＋3≤922v ·1 600v ＋3＝9283≈1.108.当v ＝1 600v ，即v ＝40千米/小时，车流量最大，最大值约为1.108万辆/小时．(2)据题意有92vv 2＋3v ＋1 600≥1，化简得v 2－89v ＋1 600≤0，即(v －25)(v －64)≤0，所以汽车的平均速度应控制在[25,64](千米/小时)这个范围内． 14．为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y (单位：毫克/立方米)随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为y ＝⎩⎨⎧168－x－1，0≤x ≤4，5－12x ，4＜x ≤10.若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？ (2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a (1≤a ≤4)个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a 的最小值(精确到0.1，参考数据：2取1.4)．解析：(1)因为一次喷洒4个单位的净化剂， 所以浓度f (x )＝4y ＝⎩⎪⎨⎪⎧648－x －4，0≤x ≤4，20－2x ，4＜x ≤10.则当0≤x ≤4时，由648－x－4≥4，解得0≤x ≤8， 所以此时0≤x ≤4.当4＜x ≤10时，由20－2x ≥4，解得x ≤8，综合得0≤x ≤8，若一次投放4个单位的净化剂，则有效净化时间可达8天．(2)设从第一次喷洒起，经x (6≤x ≤10)天，浓度g (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12x ＋a ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤168－(x －6)－1＝10－x ＋16a 14－x －a ＝(14－x )＋16a14－x－a －4≥2(14－x )·16a14－x－a －4＝8a －a －4.因为14－x∈[4,8]，而1≤a ≤4，所以4a ∈[4,8]，故当且仅当14－x ＝4a 时，y 有最小值为8a －a －4.令8a －a －4≥4，解得24－162≤a ≤4，所以a 的最小值为24－162≈1.6.。
基本不等式ppt课件
利用均值不等式证明
对于任意实数a和b，$a^2 + b^2 \geq 2ab$，即$(a-b)^2 \geq 0$。
利用导数证明
对于任意实数a和b，设f(x) = x^2 - 2x(a+b) + (a+b)^2，则f'(x) = 2x - 2(a+b) = 2(x-ab)，当x≥a+b时，f'(x) ≥0；当x ≤ a+b时， f'(x) ≤0。故f(x)在区间[a+b, +\infty)上单调 递增，在区间(-\infty, a+b]上单调递减。于 是有f(x) ≥ f(a+b) = a^2 - 2ab + b^2 ≥0 。
02
基本不等式的应用
几何意义
直线和圆
利用基本不等式可以判断直线和圆的 位置关系，以及求解圆中弦长等几何 问题。
面积和体积
利用基本不等式可以求解一些涉及面 积和体积的问题，例如在给定周长的 条件下，求矩形或立方体的最大面积 或体积等。
代数意义
方程
利用基本不等式可以求解一些涉及方程的问题，例如利用基本不等式求根，判 断方程解的个数等。
证明方法
利用代数公式和实数的性质进行 证明。
基本不等式的性质
非负性
对于任意实数a和b，总有$(a-b)^2 \geq 0$，即$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
等号成立条件
当且仅当a=b时，基本不等式取等号。
传递性
若a≥b，c≥d，则ac≥bd。
基本不等式的证明
基本不等式 课件
[解析] (1)因为 a>2，所以 a－2>0，又因为 m＝a＋a－1 2＝
(a－2)＋a－1 2＋2，所以 m≥2 a－2·a－1 2＋2＝4，由 b≠0， 得 b2≠0，所以 2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知 m>n.
(2)因为 a>b>1，所以 lg a>lg b>0， 所以 Q＝12(lg a＋lg b)> lg a·lg b＝P； Q＝12(lg a＋lg b)＝lg a＋lg b＝lg ab<lg a＋2 b＝R. 所以 P<Q<R. [答案] (1)A (2)P<Q<R
∴xy＋9yx＋10≥2 xy·9yx＋10＝16， 当且仅当3x， 由1x＋9y＝1，
得xy＝＝142，，
即当 x＝4，y＝12 时，x＋y 取得最小值 16.
(1)应用基本不等式需注意三个条件：即一正、二定、三相 等．在具体的题目中，“正数”条件往往易从题设中获得解决，“相 等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一 个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧．因此，“定值”条件决 定着基本不等式应用的可行性，这是解题成败的关键．
2 时，等号成立．
(3)变形：ab≤a＋2 b2≤a2＋2 b2，a＋b≥2 ab(其中 a＞0，b ＞0，当且仅当 a＝b 时等号成立)．
[点睛] 基本不等式成立的条件：a＞0 且 b＞0；其中等
号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号，即若 a≠b 时，
则 ab≠a＋2 b，即只能有 ab＜a＋2 b.
求实际问题中最值的解题 4 步骤 (1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式． (2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑 基本不等式，当基本不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数 的单调性． (4)正确写出答案．
2021年高考数学高分套路 基本不等式(解析版)
mn
2
3．已知
a
1, b
0, a
b
2
，则
a
1 1
1 2b
的最小值为（
）
A． 3 2 2
B． 3 2 42
C． 3 2 2
D． 1 2 23
【答案】A
【解析】由题意知 a 1,b 0, a b 2 ，可得： (a 1) b 1, a 1 0 ，
则
a
1 1
1 2b
[(a
1)
b](
∴ ＋ ＝ [(x＋2)＋(y＋1)] x＋2 y＋1 ＝ y＋1 x＋2 ≥
x＋2 y＋1 4
4
4
x＋2 4y＋1
·
9
y＋1 x＋2 ＝ ，
4
41
2
＋
9
当且仅当 x＝2y＝ 时， x＋2 y＋1 ＝ min .
3
4
【套路总结】 在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数 1”的替换，或构造不等式 求解．
2 的最大值为 .
4
2
1
(2)因为 x<5，所以 5－4x>0，则 f(x)＝4x－2＋
1
5－4x＋
＝－
5－4x ＋3
4
4x－5
1
1
≤－2 （5－4x）· ＋3＝－2＋3＝1.当且仅当 5－4x＝ ，即 x＝1 时，等号成立.
5－4x
5－4x
1 故 f(x)＝4x－2＋ 的最大值为 1.
4x－5 x2＋2
1
1
【解析】 x(4－3x)＝ ·(3x)(4－3x)≤ ·
2
2＝4，
3
3
3
(word完整版)基本不等式高考数学知识点总结高考数学真题复习,推荐文档
§7.4 基本不等式【2014高考会这样考】1•利用基本不等式求最值、证明不等式；2•利用基本不等式解决实际问题.【复习备考要这样做】1•注意基本不等式求最值的条件；2•在复习过程中注意转化与化归思想、分类讨论思想的应用.基础知识・自主学习I要点榇理丨a + b1. 基本不等式.ab w 一厂(1) 基本不等式成立的条件：a>0, b>0.(2) 等号成立的条件：当且仅当a= b时取等号.2. 几个重要的不等式(1) a2+ b2>2ab(a, b€ R).(2) b+ 2(a, b 同号).a b _a +b 2(3) ab w 厂2 (a, b€ R).a2+ b2 a + b 2⑷厂(a，b € R).3. 算术平均数与几何平均数设a>0 , b>0,则a, b的算术平均数为，几何平均数为,ab,基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.4. 利用基本不等式求最值问题已知x>0, y>0,则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x^y时，x+ y有最小值是2 . p.(简记：积定和最小)⑵如果和x+ y是定值P,那么当且仅当x^y时，xy有最大值是^.(简记：和定积最大)［难点正本疑点清源］1 .在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正一一各项均为正；二定一一积或和为定值；三相等一一等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误.2. 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2+ b2>2ab逆用a? + b? a + b .—a+ b n就是ab w 2—；~2~》ab (a, b>0)逆用就是ab< ——2 (a, b>0)等.还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等.3. 对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y = x+ m(m>0)的单调性.I基础自测I1. 若x>0, y>0,且x+ y= 18,贝U xy的最大值是___________答案81解析由于x>0, y>0,则x+ y>2 xy,所以xy w也2= 81,2当且仅当x= y= 9时，xy取到最大值81.t2—4t + 12. 已知t>0,则函数y= 的最小值为答案—2解析七2—4t + 1 1-t>0, • • y t —t+ t —4 上2—4——2，且在t—1 时取等号.^flifiwww^xstkwxom免卷聆商名师教门解題1 2x>°, y>0，且2x + y = 1，则x + y 的最小值是（2012浙江）若正数x , y 满足x + 3y = 5xy ,则3x + 4y 的最小值是 24A 飞 答案 C1 1 3解析••• QO , y>0,由 x + 3y = 5xy 得石 + 匚=1.• 3x + 4y =蠢+ 4y) 4+ 35' " y x 1 3x12y57+4+ 9+ x已知 答案解析 因为1+y =(2x +y) x +yx 孕8,等号当且仅当y = 1 x =4时成立.28 C . 5=4 + ^+ 齐 4 +2=5（当且仅当x = 2y 时取等号）,••• 3x + 4y 的最小值为5.x 2+ y 2 + 2x — 4y + 1 = 0关于直线2ax — by + 2= 0 (a , b € R)对称，则ab 的取值范围是A. 1——OO1B.0，4C. D —O -D. ，4答案 Aa +b 解析 由题可知直线2ax — by + 2 = 0过圆心（—1,2）,故可得a + b = 1,又因ab <— 2 23x 12y 「x=勺+ 13x +他》鱼+ 1X 25 + 5 y x 5 +5^flifiwww^xstkwxom免卷聆商名师教门解題=4 （a = b 时取等号）.故ab 的取值范围是 —g, 4 .题型分类・深度剖折题型一 利用基本不等式证明简单不等式 【例 1 已知 x>0, y>0, z>0.思维启迪：由题意，先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质即可得证.证明 ■/ x>0 , y>0 , z>0,y z x z x y + + '+x x y y z z 当且仅当x = y = z 时等号成立.探究提高 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从 已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推 理最后转化为需证问题. 变式训射 已知a>0, b>0, c>0，且a + b + c = 1.求证：1+ 1 +9.求证：y + Zy +yx y-+丄 >8.xyz证明■/ a>0 , b>0 , c>0 ,且a+ b+ c= 1,1 i i a+ b + c a+ b + c a+ b+ c a + b+c=~a~~b~~厂c a c b + a+c + b+ c当且仅当a= b = c=3时，取等号题型二利用基本不等式求最值1 1【例2】⑴已知x>0, y>0,且2x+ y= 1,则；+ y的最小值为____________2x(2)当x>0时，贝U f(x)= x^1的最大值为 _________ •思维启迪：利用基本不等式求最值可以先对式子进行必要的变换•如第1 1⑴问把；+ -中的1 ”代换为“2x+ y”，展开后利用基本不等式；第⑵问把函数式中分子分母同除“x”,再利用基本不等式.答案(1)3 + 2.2 (2)1解析(1) T x>0, y>0，且2x+ y= 1,1 1 2x+ y 2x + y•••_+_=+ _x y x y=3+y+鈔3+2・2.当且仅当y=号时，取等号f(x)=2xx2+ 122=11当且仅当x = -，即卩x = 1时取等号.X变式训练2⑴已知x>0, y>0, x + 2y + 2xy = 8,则 x + 2y 的最小值是9 11 A . 3 B . 4C.qD.y16⑵已知a>b>0,则a 2+ ------- 的最小值是 _________ .b a - b 答案 (1)B⑵16解析 (1)依题意，得(x + 1)(2y + 1) = 9,•••(x + 1) + (2y + 1) > 2 x + 1 2y + 1 = 6,即 x + 2y >4.• x + 2y 的最小值是4.当且仅当a = 2b 时等号成立.>2a 2隽=16,当且仅当a = 2.2时等号成立.•••当 a = 2/2, b = ,2时，a 2+ 16 取得最小值 16.b a — b题型三基本不等式的实际应用x + 1 = 2y + 1,当且仅当x + 2y + 2xy = 8,x = 2,即时等号成立.y = 1⑵•/ a>b>0,b + a — b 2• b(a ― b) wa 2 4,• a 2+16b a — b64孑1【例3某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5 m.房屋正面的造价为400元/m2,房屋侧面的造价为150元/m 2,屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ,且不计房屋背面的费用•当侧面的长度为多少时，总造价最低？思维启迪：用长度x 表示出造价，利用基本不等式求最值即可.还应注意定义域0<x < 5;函数取最小值时的 x 是否在定义域内，若不在定义域内，不能用基本不等式求最值，可以考虑单调性.12由题意可得，造价 y = 3(2x x 150+ — x 400) + 5 800 x=900 x + 16 + 5 800 (0<x w 5)，16900 x + — + 5 800入故当侧面的长度为 4米时，总造价最低.变式训塚：*（2011北京）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为 800元•若每批生产x 件，则平均仓储时间为x 天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每8 件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 （）A . 60 件B . 80 件C . 100 件D . 120 件答案 B解析 设每件产品的平均费用为 y 元，由题意得当且仅当800 = ；（x>0），即x = 80时成立，故选B.易错警示系列R则y = 2 x x 乎 + 5 800=13 000(元)，当且仅当16即x = 4时取等号.800+x咛20.x 8典例：（12分）已知a、b均为正实数，且a + b = 1,求y= a +丄b + £的最小值.a b易错分析在求最值时两次使用基本不等式，其中的等号不能同时成立，导致最小值不能取到.审题视角（1）求函数最值问题，可以考虑利用基本不等式，但是利用基本不等式，必须保证“正、定、等”，而且还要符合已知条件.（2）可以考虑利用函数的单调性，但要注意变量的取值范围.规范解答解方法一y=a+a b+ti ■，一ab+王+a+b》ab+不+ 24 ab Jb-3%宁2 3 225 八4—2 =亍」10分］当且仅当a= b = *时，y= a+ 1 25b + 取最小值，最小值为—.[12分]方法1 1 ~y= a+a b+b =ab+=+「+—1 a?+ b? 1 a + b 2—2ab=ab+爲+甘=ab+ab+ab a2；+ ab —2.［6分］令t = ab w a^b 1 2 3= 4，即t€ 0, 1 .2 4，42 1又f(t) = - +1在o, 4上是单调递减的，［io分］1 33 i•••当t= 4时，f(t)min =—，此时，a= b = 21 25•••当a= b= 2时，y有最小值—.［12分］温馨提醒(1)这类题目考生总感到比较容易下手•但是解这类题目却又常常出错. ⑵禾U用基本不等式求最值，一定要注意应用条件：即一正、二定、三相等•否则求解时会出现等号成立、条件不具备而出错. ⑶本题出错的原因前面已分析，关键是忽略了等号成立的条件.方法与技巧1 •基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.2 •恒等变形：为了利用基本不等式，有时对给定的代数式要进行适当变形.比如：1 12 当x>2 时，x+ = (x—2) + + 2 > 2 + 2 = 4.x—2 x—28 13 0< x<3, x(8 —3x) = 3(3x)(8—3x)1 3x+ 8—3x2 16w =3 2 3.失误与防范思想方法・感悟提高1 •使用基本不等式求最值， 其失误的真正原因是对其前提 “一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可.2 •在运用重要不等式时，要特别注意 “拆” “拼” “凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正” “定” “等”的条件.3 •连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致.A 组专项基础训练（时间：35分钟，满分：57分）、选择题（每小题5分，共20分）1 • （2011陕西）设0<a<b ，则下列不等式中正确的是答案 Ba + b解析 •/ 0<a<b, •••A 、C 错误;.ab — a = . a( . b — . a)>0，即.ab>a , D 错误，故选 B.2 • （2012福建）下列不等式一定成立的是A • lg x 2 +1 >lg x(x>0)B • sin x + 丄》2(X M k n, k € Z) sin xC • x 2+ 1 >2|x|(x € R)—a + bA • a<b< , ab<~2_a + bB • a< , ab<~^<b— a + b C• a< ab<b<~2_ a + bD. . ab<a<—^<b答案C1 1解析当x>0时，x2+寸》2 x = x,1所以Ig x2+ 4 > lg x(x>0)，故选项A不正确;而当X M k n, k€ Z时，sin x的正负不定，故选项B不正确;由基本不等式可知，选项C正确；1当x= 0时，有一 =1,故选项D不正确.x2+ 11 13.设x, y€ R, a>1, b>1，若a x= b y= 3, a+ b= 2 3，则~+ "y的最大值为()3 1A. 2B.?C. 1D.~答案C+ log 3b = log3ab< Iog3 a^^b 2= 1，当且仅当a= b={3时"=”成立，则巳+片的最大值为1.4.已知0<x<1,则x(3 —3x)取得最大值时x的值为1132B.2C.3D・2答案B解析•/0<x<1 , .1 —x>0.x(3- 3x) = 3x(1 —x)< 3 x+ 1—x 2= 32 4解析由a x= b y= 3，得:x = log a3, y= log b3，由a>1, b>1 知x>0, y>0,1当x = 1 — x ,即x = 2时取等号. 二、填空题（每小题5分，共15分）已知x , y € R 十，且满足3 + y = 1,贝V xy 的最大值为答案 31 1 （2011湖南）设x , y € R ，且xy z 0，贝U x2 +孑•=+ 4y 2的最小值为 答案 9解析 x 2 + 1占+ =5+诺+ 4x 2y 2次应购买该种货物 20吨.三、解答题洪22分）8. （10 分）已知 a>0, b>0, a + b = 1,求证:5. ,••• xy w 3•当且仅当3= 4时取等号.1 当且仅当x 2y 2=成立.某公司一年需购买某种货物 200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为元，一年的总存储费用数值（单位：万元）恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是 答案20解析 设每次购买该种货物 x 吨，则需要购买200次，则一年的总运费为2 = 400,xxx一年的总存储费用为 x ,所以一年的总运费与总存储费用为400+ x >入且仅当 400x = x ,即x = 20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每 解析「QO , y>0 且 1= 3 + x = 40，当(1)a+IV+ A 8; a b ab证明“、1 1111 a + b⑴a+b+ab=a+b+石1=2I+F■/ a + b = 1, a>0, b>0.••丄+ b =吐+ 譽2+ b+ °> 2+ 2= 4, a b a b b aIV +1= 1+1+ 7+ 9.b a b ab• 1 + 1 + — > 8( 当且仅当 ab ab1a =b = 1时等号成立).a +b b〒=2+a ，a 2+a1>9(当且仅当a = b = 2时等号成立).1 1 + 一 + a + b +ab(2)方法•/ a>0, b>0, 方法1+1 = 1+1+1+-?.b a b ab同理,1 ― 1+b =2+F由(1)知,9. （12分）为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2 m 的无盖长方体沉淀箱（如图所示），污水从A 孔流入，经沉淀后从 B 孔流出，设 箱的底长为a m ,高度为b m .已知流出的水中该杂质的质量分别与 a , b 的乘积成反比，现有制箱材料60 m 2.问：当a , b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A , B 孔的面积忽略不计）?解 方法一 设y 为流出的水中该杂质的质量分数，根据题设，有 4b + 2ab + 2a = 60 (a>0 , b>0),30 — a解得 b = (0<a<30).①2+ ak 30a —a 2—a + 32 —34 —64a + 2a + 2 十-64-a + 218,k则戸ab ，其中k>0为比例系数，依题意，求使y 值最小的a , b 的值.即a+ 2b + ab= 30 (a>0 , b>0).因为a+ 2b>2 ,2ab，所以 2 ,2 • ab + ab< 30,当且仅当a= 2b时，上式取等号.由a>0 , b>0,解得0<ab< 18,即当a= 2b时，ab取得最大值，其最大值为18.所以2b2= 18,解得b = 3，进而求得a= 6.故当a为6 m, b为3 m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.B组专项能力提升（时间：25分钟，满分：43分）一、选择题（每小题5分，共15分）1. 不等式a2+ b2>2|ab|成立时，实数a, b - -定是（）A .正数B .非负数C.实数 D .不存在答案C解析原不等式可变形为a2+ b2- 2|ab|= |a|2+ |b|2- 2|ab|= （|a|- |b|）2>0,对任意实数都成立.,1a+ b 亠1 1 1 11 卄，，，2. 如果0<a<b<1, P = logy厂,Q= ^(log^a + log^b), M = 2log?(a + b)，那么P, Q, M 的大小顺序是()A . P>Q>MB . Q>P>MC. Q>M>PD. M>Q>P答案B11 a + b 一 I ------------- a + b 一a + bM = 2log2(a + b),所以只需比较 ~2~, ■. ab , a + b 的大小，显然一厂〉.ab.又因为一尹a +b 2a +b ------ a + b< a + b(因为a + b> 4，也就是一厂<1)，所以，a + b>—^> , ab ，而对数函数当底数大于0且小于1时为减函数，故 Q>P>M. 3.函数y = log a (x + 3)— 1 (a>0,且a ^ 1)的图象恒过定点 A ,若点A 在直线 mx + ny + 1 = 0 1 2上，其中m , n 均大于0,则-+2的最小值为 ( )' ' ' m n A . 2 B . 4C . 8D . 16答案 C解析点 A(— 2, — 1)，所以 2m + n = 1.1 2 1 2 n 4m 1 1 所以一+ 2= (2m + n)二+ - = 4 + - + — >8，当且仅当n = 2m ,即卩m = -, n =1时等号成 mn'^mnmn 4’ 2 立.二、填空题(每小题5分，共15分)4. _______________________________________________________ 若正实数x , y 满足2x + y + 6=xy ,则xy 的最小值是 ____________________________________________ .答案 18解析 由 x>0, y>0,2x + y + 6 = xy ,得xy > 2 . 2xy + 6(当且仅当 2x = y 时，取“=”)， 即(xy)2— 2 .2 xy — 6>0, ••• ( xy — 3 2) ( xy + 2) > 0.又■/ ,xy>0 , •• .xy > 3.2，即 xy > 18. • xy 的最小值为18. 5.已知m 、n 、s 、t € R +, m + n = 2, m + n = 9，其中m 、n 是常数，且s + t 的最小值是-,s t 9满足条件的点（m , n ）是圆（x — 2）2 + （y — 2）2= 4中一弦的中点，则此弦所在的直线方程为解析 因为P = log1a + b2 21 1 1Q = 2(log^a + log?b),答案x+ y— 2 = 0m n tm s n解析因(s+1) + = m+ n + + —st s t>m + n + 2 mn, 所以m+ n+ 2Jmn= 4,从而mn= 1，得m= n= 1，即点(1,1), 而已知圆的圆心为(2,2)，所求弦的斜率为一1,从而此弦的方程为x+ y — 2 = 0.6. 定义"*”是一种运算，对于任意的x, y,都满足x*y= axy + b（x+ y）,其中a, b为正实数，已知1] .答案12解析•/ 1] V2a+ 3b>2.6ab, /• ab<3.当且仅当2a = 3b，即a = 1时等号成立，所以当a = 1时，ab取最大值2.三、解答题7. （13分）甲、乙两地相距s千米，一船由甲地逆水匀速行驶至乙地，水速为常量p（单位：千米/小时），船在静水中的最大速度为q千米/小时（q>p）.已知船每小时的燃料费用（单位：元）与船在静水中的速度v（单位：千米/小时）的平方成正比，比例系数为k.（1）把全程燃料费用y（单位：元）表示为船在静水中的速度v的函数，并求出这个函数的定义域；（2）为了使全程燃料费用最小，船的实际前进速度应为多少？解（1）由题意，知船每小时的燃料费用是kv2，全程航行时间为一匚,v —p时，船的实际前进速度应为(q —p)千米/小时.s于是全程燃料费用y= kv2•(p<v w q).v —p2 s(2)由(1),知y= kv2^v—p=ks^—= ks[v + p + 斗v—p v—p=ks[v —p+於 + 2p]v —p> ks[2 v —p - p+ 2p] = 4ksp(当且仅当v —p = ~^，即v= 2p 时等号成立). V v—p v—p ①当2p € (p, q］，即2p w q时，y min = 4ksp,此时船的前进速度为2p—p= p;S q2②当2p?(p, q]，即2p>q时，函数y= kv2•在(p, q]内单调递减，所以y min = ks =v —p q —p 此时船的前进速度为q - p.故为了使全程燃料费用最小，当2p w q时，船的实际前进速度应为p千米/小时；当2p>q时，船的实际前进速度应为(q —p)千米/小时.=ab+ 1ab2=64当且仅当a+ 2 = 旦时等号成立，y取得最小值.a+ 2这时a= 6或a =—10（舍），将其代入①式，得b = 3.故当a为6 m, b为3 m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. 方法二依题意，求使ab值最大的a, b的值.由题设，知4b + 2ab+ 2a = 60 (a>0, b>0),。
2013《状元之路》高三数学总复习课件7-1不等关系与不等式
考情分析 1．不等关系与不等式以考查不等式的性质为重点， 同时考查不等关系，常与函数、数列、几何、实 际问题等相结合进行综合命题．常以选择题的形 式考查不等式的性质，主要在其他知识交汇点处 命题． 2．一元二次不等式及其解法以考查一元二次不等 式的解法为主，并兼顾二次方程的判别式，根的 存在性等一元二次不等式经常与数列、函数、解 析几何相结合考查参数的取值范围．以选择题、 填空题为主，解答题中也会出现．
∵f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)， 且 1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4，∴6≤f(－2)≤10.
方法二(待定系数法)： 设 m(a＋b)＋n(a－b)＝f(－2)＝4a－2b，
m＋n＝4， ∴ m－n＝－2， m＝1， ∴ n＝3，
∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)． ∵1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4，∴6≤f(－2)≤10.
失误防范 1．a＞b⇒ac＞bc，或 a＜b⇒ac＜bc，当 c≤0 时不成立． 1 1 1 1 2．a＞b⇒ ＜ ，或 a＜b⇒ ＞ ，当 ab≤0 时不成立． a b a b 3．a＞b⇒an＞bn，对于正数 a，b 才成立． a 4. ＞1⇔a＞b，对于正数 a，b 才成立． b 5．注意不等式性质“⇒”与“⇔”区别，如： a＞b，b＞c⇒a＞c，其中
(2)x3－(x2－x＋1)＝x3－x2＋x－1 ＝x2(x－1)＋(x－1)＝(x－1)(x2＋1)， ∵x＞1，∴x3－(x2－x＋1)＞0， ∴当 x＞1 时，x3＞x2－x＋1. (3)∵ 7＋ 10＞0,2＋ 13＞0， ∴( 7＋ 10)2－(2＋ 13)2 ＝2 70－4 13＝2 70－2 52＞0， ∴ 7＋ 10＞2＋ 13.
2019版高考数学一轮复习第七章不等式第三节基本不等式
[答案]
1 (1)2
(2)1
[方法技巧] 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数 是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以 及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
通过消元法利用基本不等式求最值
[例 3] 已知正实数 x，y 满足 xy＋2x＋y＝4，则 x＋y 的 最小值为________．
[解析] 因为 xy＋2x＋y＝4，所以 x＝4y＋－2y.由 x＝4y＋－2y＞ 0，得－2＜y＜4，又 y＞0，则 0＜y＜4，所以 x＋y＝4y＋－2y＋y ＝y＋6 2＋(y＋2)－3≥2 6－3，当且仅当y＋6 2＝y＋2(0＜y＜4)， 即 y＝ 6－2 时取等号．
2.[考点一]已知函数 y＝x－4＋x＋9 1(x＞－1)，当 x＝a 时，y 取 得最小值 b，则 a＋b＝________. 解析：y＝x－4＋x＋9 1＝x＋1＋x＋9 1－5，因为 x＞－1，所以 x ＋1＞0，x＋9 1＞0.所以由基本不等式，得 y＝x＋1＋x＋9 1－5≥2 x＋1·x＋9 1－5＝1，当且仅当 x＋1＝x＋9 1，即(x＋1)2＝9， 即 x＝2 时取等号，所以 a＝2，b＝1，a＋b＝3. 答案：3
4.[考点二]已知 a＞0，b＞0，a＋b＝1，则1＋1a1＋1b的最小 值为________． 解析：1＋1a1＋1b＝1＋a＋a b1＋a＋b b＝2＋ba·2＋ab＝5＋ 2ba＋ab≥5＋4＝9.当且仅当 a＝b＝12时，取等号． 答案：9
5.[考点二]实数 x，y 满足 x＋2y＝2，则 3x＋9y 的最小值是 ________． 解 析 ： 利 用 基 本 不等式 可 得 3x ＋ 9y＝ 3x ＋32y≥2 3x·32y＝ 2 3x＋2y .∵x＋2y＝2，∴3x＋9y≥2 32＝6，当且仅当 3x＝32y，
高考总数学(文)一轮总复习课件：第六章 第三节 基本不等式
∵a＋b＝1，a>0，b>0，
∴1a＋1b＝a＋a b＋a＋b b＝2＋ba＋ba≥2＋2＝4，
∴
1 a
＋
1 b
＋
1 ab
≥8(当且仅当a＝b＝
1 2
时等号成
立)．
(2)法一 ∵a>0，b>0，a＋b＝1， ∴1＋1a＝1＋a＋a b＝2＋ba，同理1＋1b＝2＋ba，
∴(1＋1a)(1＋1b)＝(2＋ba)(2＋ba) ＝5＋2(ba＋ba)≥5＋4＝9. ∴(1＋1a)(1＋1b)≥9(当且仅当a＝b＝12时等号成 立)． 法二 (1＋1a)(1＋1b)＝1＋1a＋1b＋a1b， 由(1)知，1a＋1b＋a1b≥8， 故(1＋1a)(1＋1b)＝1＋1a＋1b＋a1b≥9.
________件．
【解析】 设每件产品的平均费用为y元，由
题意得y＝80x0＋x8≥2 80x0·x8＝20.
当且仅当
800 x
＝
x 8
(x＞0)，当且仅当x＝80时，
“＝”成立．
【答案】 80
(1)已知0＜x＜
2 5
，则y＝2x－5x2的最大值为
________．
(2)(2012·浙江高考)若正数x，y满足x＋3y＝
高考总数学（文）一轮总复习课件：第六章 第三节 基本不等式
2021/4/23 星期五
1
第三节 基本不等式
1．基本不等式 ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件：_a_＞__0_，__b_＞__0__． (2)等号成立的条件：当且仅当___a_＝__b___时等 号成立．
(3)其中a＋2 b称为正数a，b的_算__术__平__均__数_， ab 称为正数a，b的__几__何__平__均__数___．
状元之路高中数学新课标A版必修5课时作业：3-4-30《基本不等式(三) 不等式的实际应用》
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第三章 3.4 课时作业（30）
状元之路 新课标A版·高中数学·必修5
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8．某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买 x 吨，运费 为 4 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元，要使一年的总运费 与总存储费用之和最小，则 x＝__________吨．
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第三章 3.4 课时作业（30）
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(1)将 y 表示为 x 的函数； (2)试确定 x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出 最小总费用．
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第三章 3.4 课时作业（30）
状元之路 新课标A版·高中数学·必修5
答案：A
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第三章 3.4 课时作业（30）
状元之路 新课标A版·高中数学·必修5
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5．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反
比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距
离车站 10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为 2 万元和
8 万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
A．5 km 处
B．4 km 处
C．3 km 处
D．2 km 处
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第三章 3.4 课时作业（30）
状元之路 新课标A版·高中数学·必修5
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解析：设仓库建在离车站 x km 处，则土地费用 y1＝kx1(k1≠0)， 运输费用 y2＝k2x(k2≠0)，把 x＝10，y1＝2 代入得 k1＝20，把 x＝ 10，y2＝8 代入得 k2＝45，故总费用 y＝2x0＋45x≥2 2x0·45x＝8，当 且仅当2x0＝45x，即 x＝5 时等号成立．
§9.3 基本不等式
点拨：在利用基本不等式求最值时,必须满足三个条件:
①各项均为正数;②含变数的各项的和(或积)必须是定值;③当含变数的各项
均相等时取得最值,即一正、二定、三相等.这三个条件极易忽略而导致解
题失误,应引起足够的重视.
【追踪训练 1】(1)函数 y=���������2���-+12(x>1)的最小值为
(2)(2020 届南昌市模拟)已知函数 y=x+���������-���2(x>2)的最小值为 6,则正数 m
的值为 4 .
(3)(2020 届安徽天长模拟)已知正数 a、b 满足 a2+b2=6,则 b ������2 + 4的最
5 大值为
.
答案 解析
【解析】(1)由题知 a-3b=-6,因为 2a>0,8b>0,
C 2.下列不等式一定成立的是( ).
A.lg
������2 + 1
4
>lg x(x>0)
B.sin x+sin1 ������≥2
C.x2+1≥2|x|(x∈R)
D.������ 21+1>1(x∈R)
【解析】对于选项 A,当 x>0 时,x2+14-x=
������-
1 2
2
≥0,∴lg
������2 + 1
+1)+2(������ ������ -1
-1)+3=x-1+������3-1+2≥2
(������-1)·������3-1+2=2
3+2,
当且仅当 x-1=������3-1,即 x= 3+1 时,等号成立.
【状元之路】2020届高中数学 不等式7-3 文 大纲人教版
对应学生书P 223一、选择题1．a 、b 、c 为互不相等的正数，且a 2＋c 2＝2bc ，则下列关系中可能成立的是( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞c ＞a C ．b ＞a ＞cD ．a ＞c ＞b解析：由a 2＋c 2＞2ac ⇒2bc ＞2ac ⇒b ＞a ，可排除A 、D.令a ＝2，c ＝1，可得b ＝52，可知C 可能成立．答案：C2．用反证法证明“如果a ＞b ，那么3a ＞3b ”，假设内容应是( ) A.3a ＝3bB.3a ＜3bC.3a ＝3b ，且3a ＜3bD.3a ＝3b ，或3a ＜3b解析：3a ＞3b 的否定是3a ≤3b ，即3a ＝3b ，或3a ＜3b . 答案：D3．已知a 、b 是非零实数，且a ＞b ，则下列不等式中成立的是( ) A.b a＜1B ．a 2＞b 2C ．|a ＋b |＞|a －b | D.1ab2＞1a 2b解析：b a ＜1⇔b －aa＜0⇔a (a －b )＞0. ∵a ＞b ，∴a －b ＞0.而a 可能大于0，也可能小于0，因此a (a －b )＞0不一定成立，即A 不一定成立；a 2＞b 2⇔(a －b )(a ＋b )＞0，∵a －b ＞0，只有当a ＋b ＞0时，a 2＞b 2成立，故B 不一定成立；|a ＋b |＞|a －b |⇔(a ＋b )2＞(a －b )2⇔ab ＞0，而ab ＜0也有可能，故C 不一定成立；由于1ab2＞1a 2b ⇔a －b a 2b2＞0⇔(a －b )a 2b 2＞0， ∵a 、b 非零，a ＞b ，∴上式一定成立，因此只有D 正确． 答案：D4．设x 、y 、z ∈R ＋，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a 、b 、c 三数( )A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2解析：a ＋b ＋c ＝x ＋1y ＋y ＋1z ＋z ＋1x≥6，因此a 、b 、c 中至少有一个不小于2，故选C.答案：C5．设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是( ) A ．|a －b |≤|a －c |＋|b －c | B ．a 2＋1a 2≥a ＋1aC.a ＋3－a ＋1＜a ＋2－a D ．|a －b |＋1a －b≥2 解析：D 选项成立时需保证a －b ＞0；A 中|a －c |＋|b －c |≥|(a －c )－(b －c )|＝|a －b |；B 作差可证；C 移项平方可证．答案：D6．已知a 、b 、c 、d 都是正实数，且a b ＜c d，则( ) A.a b ＜a ＋cb ＋d ＜cdB.a ＋cb ＋d ＜a b ＜cdC.a b ＜c d ＜a ＋cb ＋dD ．以上均有可能解析：∵a b －a ＋cb ＋d ＝ad －bcb b ＋d，又∵a 、b 、c 、d 都是正实数，且a b ＜c d， ∴ad －bc b b ＋d ＜0，∴a b ＜a ＋cb ＋d .又∵a ＋c b ＋d －c d ＝ad －bcb ＋d d＜0， ∴a ＋cb ＋d ＜cd，故选A. 答案：A7．设c ＞0，M ＝c ＋3－c ＋2，N ＝c ＋2－c ＋1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M ＞N B ．M ＝NC ．M ＜ND ．M 与N 的大小与c 有关解析：M ＝1c ＋3＋c ＋2，N ＝1c ＋2＋c ＋1，∵c ＞0，∴c ＋3＋c ＋2＞c ＋2＋c ＋1＞0. ∴M ＜N ，故选C. 答案：C8．已知a 、b 、c 、d 均为正数，S ＝a a ＋b ＋d ＋b b ＋c ＋a ＋c c ＋d ＋b ＋dd ＋a ＋c，则一定有( )A ．0＜S ＜1B ．1＜S ＜2C ．2＜S ＜3D ．3＜S ＜4解析：∵S ＞aa ＋b ＋c ＋d ＋ba ＋b ＋c ＋d ＋ca ＋b ＋c ＋d ＋da ＋b ＋c ＋d＝1，S ＜aa ＋b ＋ba ＋b＋cc ＋d ＋dc ＋d＝2，∴1＜S ＜2，故选B. 答案：B 二、填空题9．设a ＝2－5，b ＝5－2，c ＝5－25，则a 、b 、c 之间的大小关系是__________． 解析：a ＜0，b ＞0，c ＞0， 又b ＝5－2＝15＋2，c ＝5－25＝55＋25＝11＋255.∵5＞255，2＞1，∴5＋2＞1＋255＞0.∴15＋2＜11＋255，即b ＜c .答案：c ＞b ＞a 10．设A ＝1＋12＋13＋…＋1n ，B ＝n ，则A 与B 的大小关系是__________．解析：A ＝1＋12＋13＋…＋1n≥1n ＋1n ＋1n＋…＋1n＝n ＝B .答案：A ≥B11．有以下四个不等式：①(x ＋1)(x ＋3)＞(x ＋2)2; ②ab －b 2＜a 2； ③1|a |＋1＞0; ④a 2＋b 2≥2|ab |.其中恒成立的为__________(写出序号即可)． 解析：∵(x ＋1)(x ＋3)－(x ＋2)2＝－1＜0， ∴(x ＋1)(x ＋3)＜(x ＋2)2，①错； ∵a 2－(ab －b 2)＝(a －b2)2＋3b24≥0，∴ab －b 2≤a 2，②错； ③显然成立；④由均值不等式，|a |2＋|b |2≥2|ab |，即a 2＋b 2≥2|ab |成立． 答案：③④12．(2020·临沂期末)某商店计划对某种商品进行提价，现有四种方案：方案(Ⅰ)：先提价m %，再提价n %；方案(Ⅱ)：先提价n %，再提价m %； 方案(Ⅲ)：分两次提价，每次提价(m ＋n2)%；方案(Ⅳ)：一次性提价(m ＋n )%.已知m ＞n ＞0，四种提价方案中，提价最多的是方案__________．解析：设提价前的价格为p ，则采取方案(Ⅰ)后价格变为p (1＋m %)(1＋n %)； 采取方案(Ⅱ)后价格变为p (1＋n %)(1＋m %)； 采取方案(Ⅲ)后价格变为p [1＋(m ＋n2)%]2；采取方案(Ⅳ)后价格变为p [1＋(m ＋n )%]． 可知采取方案(Ⅰ)与方案(Ⅱ)后价格相同， 且[1＋(m ＋n2)%]2＝1＋(m ＋n )%＋[(m ＋n2)%]2＞(1＋n %)(1＋m %)＝1＋(m ＋n )%＋m %n %＞1＋(m ＋n )%. 故方案(Ⅲ)提价最多． 答案：(Ⅲ) 三、解答题13．已知a 、b 、c 均为正实数，且ab ＋bc ＋ca ＝1.求证： (1)a ＋b ＋c ≥3；(2)a bc ＋b ac ＋ cab≥3(a ＋b ＋c )． 证明：(1)要证明a ＋b ＋c ≥3， ∵a 、b 、c 为正实数， ∴只需证明(a ＋b ＋c )2≥3，即证明a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ≥3. 又ab ＋bc ＋ac ＝1，∴只需证明a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac . 上式可由ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2证得，∴原不等式成立．(2)∵a bc ＋b ac＋ c ab ＝a ＋b ＋c abc， 又由(1)已证a ＋b ＋c ≥3， ∴只需证明1abc≥a ＋b ＋c ，即证明a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca ， 而a bc ＝ab ·ac ≤ab ＋ac2，b ac ≤ab ＋bc2，c ab ≤ac ＋bc2，∴a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca 成立， ∴原不等式成立．14．(2020·兰州模拟)已知函数f (x )＝log 2(x ＋m )，且f (0)，f (2)，f (6)成等差数列． (1)求f (30)的值；(2)若a 、b 、c 是两两不相等的正数，且a 、b 、c 成等比数列，试判断f (a )＋f (c )与2f (b )的大小关系，并证明你的结论．解析：(1)由f (0)、f (2)、f (6)成等差数列， 得2log 2(2＋m )＝log 2m ＋log 2(6＋m )， 即(m ＋2)2＝m (m ＋6)(m ＞0)． ∴m ＝2，∴f (30)＝log 2(30＋2)＝5. (2)f (a )＋f (c )＝log 2(a ＋2)(c ＋2)， 2f (b )＝log 2(b ＋2)2，∵b 2＝ac ，∴(a ＋2)(c ＋2)－(b ＋2)2＝2(a ＋c )－4b ， ∵a ＋c ＞2ac ＝2b (a ≠c )， ∴2(a ＋c )－4b ＞0，∴log 2(a ＋2)(c ＋2)＞log 2(b ＋2)2， 即f (a )＋f (c )＞2f (b )．15．(1)判断函数f (x )＝a x ＋1＋b x ＋1a x ＋bx (x ∈R ，a ＞0，b ＞0)的单调性；(2)由(1)的结论来证明：若a ＞0，b ＞0，则21a ＋1b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22.解析：(1)由函数f (x )＝a x ＋1＋b x ＋1a x ＋b x (x ∈R ，a ＞0，b ＞0)，可得f (x )＝b a x ＋b x ＋a －b a xa x ＋b x＝b ＋a －b 1＋b ax.当a ＝b 时，f (x )＝b 为常数函数；当a ＞b 时，有a －b ＞0,0＜b a ＜1，g (x )＝(b a )x 是减函数，从而h (x )＝a －b1＋bax是关于x 的增函数，即f (x )在R 上是递增函数；当a ＜b 时，有a －b ＜0，b a ＞1，g (x )＝(b a )x 是增函数，从而h (x )＝a －b1＋bax是关于x的增函数，即f (x )在R 上是递增函数．综上，当a ＝b 时，f (x )是常数函数，无单调性； 当a ＞b 时，f (x )在R 上单调递增； 当a ＜b 时，f (x )在R 上也单调递增．(2)结合(1)可知，若x 1＜x 2，则f (x 1)≤f (x 2)，等号当且仅当a ＝b 时成立． ∵－1＜－12＜0，∴f (－1)≤f (－12)≤f (0)，即21a ＋1b≤ab ≤a ＋b 2.① ∵0＜1，∴f (0)≤f (1)，即a ＋b 2≤a 2＋b 2a ＋b，注意到a ＞0，b ＞0，将上式变形，得a ＋b2≤a 2＋b 22.②综合①②知，不等式21a ＋1b≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22成立．。
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第三节 基本不等式
预习设计 基础备考
知识梳理
1．基本不等式2
b a ab +≤ (1)基本不等式成立的条件：
(2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号．
2．几个重要的不等式
22(1)a b +≥ ).,(R b a ∈
≥+
b
a a
b )
2( b a ,(同号）． ab )3( ).,()
2(2R b a b a ∈+
2)4(22b a + ).,()2
(2R b a b a ∈+ 3．算术平均数与几何平均数
设,0,0>>b a 则a ，b 的算术平均数为 ，几何平均数为 基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知,0,0>>y x 则
(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当 ，时，x+y 有最 值是 （简记：积定和最小）
(2)如果和y x +是定值p ，那么当且仅当 时，xy 有最 值是 （简记：和定积最大）
典题热身
1．下列结论中不正确的是 ( )
0.>a A 时，21≥+a a 2.≥+b
a a
b B ab b a C 2.22≥+ 2)(.222b a b a D +≥+ 答案：B
2．若),2
lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=⋅=>>则( ) Q P R A <<. R Q p B <<. R p Q c <<. Q R P D <<.
答案：B
3．若,45>x 则5
414)(-+=x x x f 的最小值为 ( ) 3.-A 2.B 5.c 7.D
答案：D
4．(2011．天津高考)已知,1log log 22≥+b a 则b a 93+的最小值为
答案：18
5．(2011．吉林长春调研)若正数a 、b 满足
,241=+b a 则+a b 的最小值为 答案：2
9 课堂设计 方法备考
题型一 利用基本不等式求最值
【例1】(1)已知,0,0>>b a 且,14=+b a 求ab 的最大值；
(2)已知,2>x 求2
4-+x x 的最小值； (3)已知,0,0>>y x 且,1=+y x 求y
x 94+的最小值， 题型二 利用基本不等式证明不等式
【例2】已知,0,0,0>>>c b a 且,1=++c b a 求证：
;8)11)(11)(11)(1(≥---c
b a .9111)2(≥++c
b a 题型三 利用基本不等式解应用题
【例3】某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6t ，每吨面粉的价格为l 800元，面粉的保
管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．
(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210 t 时，其价格可享受9折优惠，问：该厂是否
考虑利用优惠条件？请说明理由，
技法巧点
1．恒等变形
为了利用基本不等式，有时对给定的代数式要进行适当变形，比如：
(1)当2>x 时，.42222
1)2(21=+≥+-+-=-+
x x x x (2)当380<<x 时，⋅=-+≤-=-3
16)2383(31)38)(3(31)38(2x x x x x x 2．常用不等式 以下不等式在解题时使用更直接，
),,0(21)1(R a a a
a ∈>≥+
当且仅当1=a 时等号成立． ),,,0(2)2(R b a ab b
a a
b ∈>≥+当且仅当b a =时等号成立． 3．二次配方
任意,,0R a a ∈>应用不等式21≥+a a 可解决部分分式不等式的最值问题．比如：当2>x 时， 2
1)2(2)2(212)1(22-+-+-=-+-x x x x x x
.42222
1)2(=+≥+-+-=x x ⋅≤+-+-=-+-=--41221)2(12
121)1(2)2(22x x x x x x x 失误防范
使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在对前提“一正、二定、三相等”的忽视，要利用基本不等式求最这三个条件缺一不可．
(1) 确保“一正”．对于负数，很多不等关系就不一定成立.
如：当x<0时，21≥+
x
x 显然不再成立． 事实上，此时.2)]1()[(1-≤-+--=+x x x x (2)要使ab b a ≥+2中等号成立，必须使b a =成立．如：,21111
22≥+++=+⋅+x x x x 且0=x 时，
122++x x 的最小值是2．
随堂反馈
1．设.1,1,,>>∈b a R y x 若,32,3=+==b a b a y x 则+x 1y
1的最大值为( ) 2.A 23.B 1.C 2
1.D 答案：C
2．(2011．山东苍山模拟)已知,2lg 8lg 2lg ,0,0=+>>y x y x 则y
x 311+的最小值是( ) 2.A 22.B 4.C 32.D
答案：C
3．设函数),0(112)(<-+=x x
x x f 则)(x f ( ) A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数
答案：A
4．当点（xy ）在直线023=-+y x 上移动时，表达式1273++y
x 的最小值为( ) 3.A 5.B 1.C 7.D
答案：D
5．(2010·1重庆高考)已知,822,0,0=++>>xy y x y x 则y x 2+的最小值是( )
3.A
4.B 29.c 2
11.D 答案：B
高效作业 技能备考
一、选择题
1．若,0,0>>y x 且,141=+y
x 则y x +的最小值是 ( ) 3.A 6.B 9.C 12.D
答案：C
2．若,10<<x 则)34()(x x x f -=取得最大值时，x 的值为( )
31.A 21.B 43.c 3
2.D 答案：D
3．已知函数)545lg()(m x f x
x ++=的值域为R ，则m 的取值范围是( ) ),4.(+∞-A ),4.[+∞-B )4,.(--∞c ]4,.(--∞D
答案：D
4．(2010．北京模拟)若,0,0>>b a 且,0)ln(=+b a 则+a 1b
1的最小值是( ) 4
1.A 1.B 4.C 8.D 答案：C
5．（2011．福州模拟）已知不等式9)1)((≥+
+y a x y x 对任意正实数勘y 恒成立，则正实数a 的最小值为 ( )
2.A 4.B 9.C 16.D
答案：B
6．(2010．四川高考)设,0>>>c b a 则--++)
(1122b a a ab a 22510c ac +的最小值是( ) 2.A 4.B 52.C 5.D
答案：B
二、填空题
7．（2011．湖南高考）设,R y x ∈、且,0=/xy 则)41)(1(2222y x
y x ++的最小值为 答案：9
8．（2011．聊城模拟）经观测，某公路段在某时段内的车流量y （千辆／小时）与汽车的平均速度v （千米／小时）之间有函数关系：),0(1600
39202>++=v xJ v v y 在该时段内，当车流量y 最大时，汽车的平均速度=v 千米／小时．
答案：40
9．（2011．台州调研）若实数a ，b 满足---b a ab 4),1(>a 则)2)(1(++b a 的最小值为
答案：27
三、解答题
10．已知,0,0,0>>>z y x 且.1=++z y x 求证：.36941≥++z
y x 11.某学校拟建一块周长为400 m 的操场如图所示，操场头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安
排在区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何矩形的长和宽．
12.已知x ，y 都是正实数，且.053=+-+xy y x
(1)求xy 的最小值；
(2)求y x +的最小值．。