自动控制原理课件17 5-3对数频率特性

2
§ 5-3对数频率特性
(2)若n个积分环节串联则
W ( j)
1
( j)n
1
n
jn
e2
L() 20n lg
() n
2
L() 与0dB线交于 n 1 1 。 L() 是斜率为-20ndB/dec的直线。
() 是 90的n水平直线。
§ 5-3对数频率特性
L(w)
20dB/del
（四） 微分环节
§ 5-3对数频率特性
*与非周期环节幅频关于odB线 相频关于0度
线镜向对称。
L(w)
20dB/del
低频渐近线 odB
1/T 0
高频渐近线 过
1 T
90°
Ψ
斜率为 20dB/dec.
ω ω
45°
(五) 振荡环节 （1）
0°
W ( j)
1
1
e j arctan122TT2
T 2 2 2T j 1 (1 2T 2 )2 (2T )2
§ 5-3对数频率特性
（二）非周期环节 (惯性环节)
W ( j) 1
1
e j arctanT
1 jT 1 2T 2
(1) L() 20lg 12T 2 T 1 时即 时1T
L() 0dB
T 1 时即
（2）
令
1
1
当T
程有
时1T
时 即2 与101
L() 20lg T
相差10倍2 频1
§ 5-3对数频率特性
两条渐近线交点
1（交点频率是交接频率）
T
§ 5-3对数频率特性
（3） 渐近线表示的最大误差：发生在 1T处，
此时
L() 20 lg 11 3.03dB
最大误差为3 dB，所以用渐近线表示已基本合乎要
求，除非精度有特殊要求时，才需要在 近加以修正.
1附
T
（4）相频特性可用描点法绘制。
Lm
0
-20dB/del
分别如图 ，写出对应的传递函数；
作业1
• 画出传递函数的对数频率特性曲线
G(s)
50
s 2 (s 2 s 1)(6s 1)
例5.19（作业）
• 某最小相位系统开环对数频率特性如图所示，要求： • 1）写出系统开环传递函数
• 2）求得截止频率（穿越频率）c
§ 5-3对数频率特性
例5 绘制 特性。
6.25
Wk (s) (5s 1)(2s 1对)(s数1幅) 相频率
W（k j）
(5
j
6.25
1)(2 j 1)(
j
1)
解：
①各交接频率为 1 0.2 2 0.5 3 1
② 在 处 1，
20lg K 20lg 6.25 15.9dB
③系统属零型系统，过 A( 1, L() 15.9dB) 做斜率为0的渐近线。
• 穿越频率（截止频率）Wc求法 •例
48( s 1)
G(s) s(
s
10 1)(
s
1)
20 100
20 20
lg lg
48 1
48 10
10 10
20
L(
)
20
lg
48
10
20 100
20
20
lg
48 10
20
100
100
• 求得L（w）=1的解即为所求 96
L(2 ) L(1) 20lg 2T (20lg 1T ) 20(lg2T lg 1T )
20 lg
2 1
20lg10
20dB dec
为一斜率为-20dB/dec的直线。
这样其对数幅频特性可用两条渐近线近似表示
一条是低频渐近线
0
1零分贝线，
T
一条是高频渐近线
1 T
斜 率 为-20dB/dec
§ 5-3对数频率特性
n
n
Wk ( j) Wi ( j) Ai ()e ji () A()e j ()
i 1
i 1
式中
A() A1() A2 () An ()
() 1() 2() n ()
对幅频特性取对数
得： lg A() lg A1() lg A2 () lg An ()
0
-20
ω=1
ω
（1） 理想微分
90° Ψ(ω)
0
ω
W ( j)
jT
Te
j
2，L(
)
20
lg
T
,
(
)
2
幅频是一斜率为20dB/dec的直线，与0dB线交于
1 T
相频特性是90度的水平线。
(2) 比例微分环节 W ( j) 1 jT 1 2T 2 e jarctanT
L() 20lg 1 2T 2 () arctanT
0
-45° -90°
66°/del
§ 5-3对数频率特性
L(ω)
20
-20dB/del
0
ω=1
ω
（三） 积分环节 Ψ(ω) 0
ω
-90°
（1）
W ( j)
1
1
j
e2
j
L() 20lg 1 20lg
()
2
L(与)0dB线交于ω=1.
积分环节在整个频率范围内是一条斜率为 20dB dec 的直线，其相频特性是一条 () 的水 平线。
§ 5-3对数频率特性
§ 5-3对数频率特性
一 .对数频率特性
为了便于计算和绘图，可将幅相频率特性分成幅 频特性和相频特性两部分。幅频特性采用对数表 示形式，而相频特性仍采用线性刻度。则原来的 幅值相乘（除）运算便转化为相加（减）运算。 从而给计算和作图带来极大的方便。
1．表示方法 设系统开环频率特性
⑤相频特性：() arctan5 arctan2 arctan。
0 0.2 0.5 1
() 0 78.5 139.8 187.1 270
§ 5-3对数频率特性
2、系统类型与开环对数频率特性
m
K (Ti j 1)
Wk ( j)
i 1 nN
( j)N (Tj j 1)
j 1
对数幅频特性：
• 0dB/dec------0
• -20dB/dec-----I
• ..............
系统开环对数频率特性的特点(1)
• 1）开环对数频率特性在低频段的形状（对于最小相位系 统而言），只与系统的开环增益K和积分环节的个数有关。
• 0dB/dec------0型，相角从-900开始 • -20dB/dec-----I型，相角从-2*900开始 • .......... • 开环对数幅频特性在低频段的高度由开环增益K决定
1． 绘制开环对数频率特性的步骤 （1）将开环传函写成各基本环节的乘积，确定交接频 率ω1，ω2，…，ωn，标在频率轴上。 (2)低频段过点 A( 1, L() 20lg K（) K为开环放大 系数）
（3）通过A点过一条斜率为 20 N dB dec 的直线， 其中N为系统的类型，直到遇到第一个交接频率 ，
L1 ( )
0
0.1 0.2
0.5 1
10
1
-1 -0.7
2 3
-0.3 0
L4 () L3 ()
1
L2 ()
L（） L1()L2 ()L3()L4 ()L5 ()
L1() 20lg 6.25
L2
(
)
20
lg
1 s
6.25 Wk (s) s(5s 1)(2s 1)(s 1)
L3
(
)
20
lg
1 5s
（4）相频特性绘制可先分别给出各环节的相频特性 再叠加。但通常都用解析法描点绘制。
• 低频段：开环对数幅频特性在第一个转折频率前 的部分
• 中频段：开环对数幅频特性在和0dB交点处的频 率wc附近的频段。
• 高频段：最后一个转折频率后的频段。 • 中频段与低频段和高频段没有明显的界限。 • 低频段斜率可以确定系统型号
自动控制系统分析中常将上式放大20倍，
即
n
20 lg A() 20 lg Ai ()
i 1
§ 5-3对数频率特性
n
记作 L() Li () 20 lg A() i 1
单位为分贝（dB）它与幅值的对应关系可如下求： 若A(ω)＝２ 则 L(w) 20lg 2 6dB
❖坐标选取如下：采用半对数坐标纸，横坐标w用 对数刻度，纵坐标幅值 L() 和相角 用(线) 性刻度 。幅值和相角分画在两个坐标平面上。
所以低频段过点 A( 1, L() 20lg K) 或 ( N K , L() 0)
系统开环对数频率特性的特点(2)
• 2）开环对数幅频特性经过一个转折频率，其斜率要发生 变化，其高频段最终的斜率为-20*(n-m)dB/dec，开环对 数相频特性最终相角为-（n-m）*900。 3）开环对数幅频特性曲线与横坐标轴的交点频率，称为 截止频率或穿越频率，用wc表示。 即在该频率下，L（w）=0
L() 20lg (1 2T 2 )2 (2T )2
(
)
arc
tan 1
2T 2T
2
§ 5-3对数频率特性
（2） 低频段
T 1，时，1
T
L() 20lg1 0dB
高频段 T 1，时， 1
T
L() 20 lg 2T 2 40 lg T
两条渐近线交点
1 T
n
（自然振荡角频率）
（3）我们知道ξ〈0.707时，A（ω）将出现一个峰 值，ξ越小 峰值越大，因此当ξ较小时采用渐近线 法会出现较大误差，必要时要修正。
§ 5-3对数频率特性
(4)相频特性
0 时，渐近于0度
Lm
时，渐近于-180度。
1 T
n时
(n ) 90 0
整个相频特性斜对称于-90度。 -90°
（六）延迟环节
-180°
W ( j) e j L() 0,()
0.1
00..53 0.7 ξ=1
§ 5-3对数频率特性
三．开环系统的对数频率特性
G( j)
G( j)
G( j)
相频特性
§ 5-3对数频率特性
3．对数频率特性的优点 （1） 简化了频率特性的绘制工作
（乘除运算化为加减运算） 可用分段渐近线代替精确曲线绘制对数幅频特性 和相频特性，稍加修正就可达到足够的精度。 (2) 缩小了频率比例尺，便于研究频率较宽范围的系 统频率特性。 (3) 最小相位系统的频率特性与传函之间存在一一对 应的关系，便于用实验方法确定系统的传函。 (4) 可以迅速直观的判断出环节或参数对系统瞬态性 能指标和稳态特性的影响。（时域法不能） 因此频率特性法是工程上最常用的系统分析和设计方 法。
m
n
L() 20 lg K 20 N lg 20 lg 1 (Ti )2 20 lg 1 (Tj )2
i 1
j 1
低频段 Ti 1 Tj 1 L() 20lg K 20N lg
所以低频段过点 A( 1, L() 20lg K)
或 ( N K , L() 0)
例 最小相角系统传递函数的近似对数幅频特性曲线
幅频特性和相频特性曲线合成的图为频率特性的 对数坐标图或波特图（Bode）。
2 伯德图 （Bode图，由两幅图组成）
一幅是对数幅频特性图，横坐标是对数频率，纵坐标是幅值的分贝值，即
20lg G( j) 。另一幅是对数相频率特性图，横坐标是对数频率，纵坐标是相角
20 lg G( j) 。
幅频特性
20 lg G( j)
§ 5-3对数频率特性
二．典型环节的对数频率特性
（一）比例环节 W ( j) K Ke j0 L() 20lg K,() 0
0.1 1 Ψ(ω)
10 ω ω
L(w是) 一条等高度等于 的20直lg线k
Ｋ＞１时 L() ；0 Ｋ＜１时， L(；) 0
Ｋ＝１时 L() 0
相频特性是一条 () 直0线0 。
④遇到 1 0.2 斜率变为
20dB dec
L（） L1()L2 ()L3 ()L4 () L1() 20lg 6.25
6.25 Wk (s) (5s 1)(2s 1)(s 1)
L2
()
20
lg
1 5s
1
L3 ()
20 lg
1 2s 1
L4 ()
20 lg
s
1 1
1 0.2 2 0.5 3 1
如 ,则1 低频渐近1 线1的延长线经过A点。
§ 5-3对数频率特性
（3） 在⑴⑵基础上之后每遇到一个交换频率斜 率改变一次，
1
当遇到 jTi 环1 节时，斜率增加 当遇到 jTi 1环节时，斜率增加
20dB dec 20dB dec
当遇到振荡环节时，斜率增加 40dB dec
当遇到一重基本环节时，斜率增加k倍（k为重数）
1
L4
()
20 lg
1 2s 1
L5 ()
20 lg
s
1 1
1 0.2 2 0.5 3 1
L2 ()
L1 ( )
0
0.1 0.2
0.5 1
10
1
-1 -0.7
2 3
-0.3 0
L4 () L3 ()Leabharlann Baidu
1
L2 ()
§ 5-3对数频率特性
遇到2 0.5 斜率变为 遇到 3 1 斜率变为
40 dB dec 60dB dec