【课件-高等数学】_第二章一元函数的极限及其连续性_2_

合集下载

第2章一元函数的连续性

f ( x 0 + 0), f ( x 0 − 0) 都存在，且有 f ( x 0 + 0) ≤ f ( x 0 ) ≤ f ( x 0 − 0 ) .
+ 由 e x f ( x ) 单调不减知：当 x > x0 时， e x f ( x) ≥ e x0 f ( x 0 ) ，令 x → x0 得
（2）
54
所以， x = kπ , k ∈ Z , 为其第一类间断点，其余点均连续.
例 7 设函数 f ( x ) 在 ( a, b) 内每一点的左右极限都存在，且 ∀x, y ∈ ( a, b) ，都有
f(
证明： f ( x ) 在 ( a, b) 内连续.
x+ y 1 ) ≤ ( f ( x) + f ( y )). 2 2
e x0 f ( x 0 + 0) ≥ e x0 f ( x 0 ) ，
f ( x 0 + 0) ≥ f ( x 0 ) .
结合（2）式知 f ( x 0 + 0) = f ( x 0 ) . 同理可证 f ( x 0 − 0) = f ( x 0 ) ，因此 f ( x) 在 x 0 连续. 由 x 0 的任意性知 f ( x) 在 (0, 1) 连续.
xn −1 的连t; 1, xn −1 ⎪ f ( x) = lim n = ⎨− 1, x < 1, n →∞ x + 1 ⎪ 0, x = 1. ⎩
所以，函数 f ( x ) 在 ( −∞,−1) ∪ ( −1, 1) ∪ (1, + ∞ ) 内都连续， x = ±1 为其第一类间断点. 例 6（湖南大学）设 f ( x) = ⎨ 由于 f ( g ( x)) = ⎨

第7节一元函数的连续性与间断点共38页PPT资料

例6 利用介值定理证明方程
x 3 3 x 2 x 3 0
在区间 2 ,0 ,0 ,2 ,2 ,4 内各有一个实根。
证设 f(x )x 3 3 x 2x 3,f( 2 ) 1 50,
f(0)30, f(2)30, f(4)150,
由介值定理知，存在 12,0, 20,2,
11/22/2019
第2章极限与连续
例3 讨论函数 y 1
性。
x
解由于函数 y 1
x
在点 x 0处无定义，故
函数 y 1 在 x 0
x
处间断。
在点 x 0处的连续
y
y 1 x
O
x
如图所示
11/22/2019
第2章极限与连续
x1 x 0
例4
设函数
f
(
x
)

11/22/2019
第2章极限与连续
例5
设函数
x1
f(x)
1
x1，讨论函
x1
数 f ( x ) 在点 x 1处的连续性。
解由于
lim f ( x) lim(x1)2
x1
x 1
f(1)1
故函数 f ( x ) 在 x 1处
间断。如图所示
y
2
1
1
O
1
x
11/22/2019
【定理】（介值定理）若函数 f ( x ) 在
闭区间 a , b 上连续，m 和 M 分别为 f ( x ) 在 a , b
上的最大值和最小值，则对介于 m 和 M 之间的
任一个实数 c(m cM ),至少存在一点 a,b
使得 f()c 。推论（零点存在定理）若函数 f ( x ) 在闭区

《高等数学一课件——第二章一元函数的极限与连续》

四则运算法则
加减乘除法则让我们能够在计算极限时更加灵活和高效。
复合函数法则
学习如何计算由多个函数构成的复合函数的极限。
连续函数法则
利用连续函数的性质求解极限问题。
极限存在定理
极限存在定理是我们研究极限时常用的工具，它能够帮助我们确定函数极限的存在与计算。
夹逼定理
掌握夹逼定理的原理和应用，用于计算复杂函数的极限。
极限的定义与性质
探索极限的定义，了解极限的性质及其应用。
左极限和右极限
学习左极限和右极限的概念和计算方法。
极限的存在准则
掌握判断极限是否存在的准则和方法。
无穷小和无穷大
理解无穷小与无穷大的概念及其在极限计算中的应用。
极限的运算法则
了解极限运算法则对于处理复杂的极限计算非常有帮助。运用这些法则，可以简化极限的求解过程。
连续函数的运算法则
探索连续函数的运算法则和推论。
介值定理和零点定理
介值定理和零点定理是函数连续性的重要应用，它们能够帮助我们更好地理解函数曲线和解决实际问题。
1
介值定理
了解介值定理的原理和应用，解决函数连续性相关问题。
2
零点定理
掌握零点定理的思想和技巧，寻找函数方程的解。
总结与回顾
本课件回顾了一元函数的极限与连续的重要概念和性质，希望能够为学习者提供全面和深入的理解，并进一步激发对数学的兴趣和热爱。
Stolz定理
学习Stolz定理的使用方法，解决极限问题时提供新的思路。
L'Hopital法则
探索L'Hopital法则在计算极限时的作用和适用条件。
一元函数的连续性
连续性是函数理论中非常重要的概念，它揭示了函数曲线的稳定性与变化规律。

高数上册函数极限与连续课件

定积分及其应用
定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上积分和的极限。
定积分的性质
包括线性性质、区间可加性、常数倍性质、比较性质等。
定积分的几何意义
定积分在几何上表示曲线与x轴所夹的面积。
定积分的计算方法
微积分基本定理
微积分基本定理是计算定积分的基础，它将定积分转化为不定积
高数上册函数极限与连续课件
• 函数的概念与性质 • 极限的概念与性质 • 连续函数 • 导数的概念与性质 • 原函数与不定积分 • 定积分及其应用
目录
函数的概念与性质
函数的性质（奇偶性、周期性、单调性等）
奇偶性
如果对于函数f(x)，对于定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数；如果对于函数f(x)，对于定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。
原函数与不定积分
原函数的概念与性质
总结词
理解原函数的概念和性质是学习高数的重要基础。
详细描述
原函数是指一个函数的导数等于另一个函数，即如果存在一个函数F(x)，使得F'(x)=f(x)，则称F(x)为f(x)的原函数。原函数具有一些重要的性质，例如，如果F(x)是f(x)的原函数，则F(x)+C（C为常数）也是f(x)的原函数。
唯一性
若函数在某点的极限存在，则该极限值是唯一的。
有界性
若函数在某点的极限存在，则该点的函数值是有界的。
局部保号性
若函数在某点的极限大于 0，则该点的函数值也大于0；反之亦然。
无穷小量与无穷大量
无穷小量
在自变量趋近某一值时，函数值趋近于0的量。

高等数学-函数的连续性课件.ppt

(1)在x=1处有定义；
(2)函数在x=1处的左右极限相等，即函数在x=1处的极限存在，且等于2，但不等于f (1)
导致函数图象断开的原因：
1、函数在处没有定义
2、函数在时极限不存在
函数值不等
3、函数在处的极限值和
o
x
y
1
2
1
2
o
x
y
2.5
y
x
o
1
2
在
在
二、函数的间断点
但是由于
x
y
O
1
右极限存在，
因为，如果修改定义 f (0) = 1，
在 x = 0 连续.
则函数
x
y
O
1
内容小结
左连续
右连续
第一类间断点
可去间断点:
跳跃间断点: 左右极限不相等
第二类间断点
无穷间断点:
振荡间断点: 函数值在的去心邻域
(左右极限至少有一个不存在)
在点
间断的类型
在点
连续的等价形式
一、函数连续性的定义
1.变量的增量
设变量从它的一个初值变到终值终值与初
值的差就叫做变量u的增量记作
即
注：
不表示某个变量与u的乘积，而是一个
整体不可分割的记号.
设函数y = f (x)在点的某一个邻域内是有定义的
当自变量在这邻域内从变到时函数y相应
思考题
间断点的类型.
解: 间断点
为无穷间断点;
故
为跳跃间断点.
1. P49 题 5
2. 确定函数
分析所给函数是极限的形式，首先应求出不同区间的极限，给出函数的分段函数表达式，然后再研究间断点及其类型。

高等数学-第2章--极限与连续

第二章极限与连续极限是高等数学中最主要的概念之一，也是研究微积分的重要工具，如导数、定积分、重积分等定义都需要用极限来定义，因此，掌握极限的思想和方法是学好微积分学的基本前提．第一节极限的定义教学目的：1.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。

2.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

教学重难点：1.极限的概念和左极限与右极限概念及应用；2.无穷小及无穷小的比较；本节将在中学学习过的数列的极限的基础上学习函数的极限、极限性质、无穷小的定义及性质、无穷大的定义及其与无穷小的关系．一、数列的极限定义对于数列{}n x ，如果当n 无限增大时)(∞→n ，n x 无限趋近于一个确定的常数A ，则称A 为数列{}n x 的极限．记作=∞→n n x lim A 或 A x n →（n ∞→）．亦称数列{}n x 收敛于A ；如果数列{}n x 没有极限，就称数列{}n x 是发散的．数列极限的运算法则为：如果∞→n lim =n x A , ∞→n lim =n y B ，那么法则1 ∞→n lim (n x ±n y ) ∞→=n lim n x ±∞→n lim =n y A ±B ；法则2 ∞→n lim (nx n y ) ⋅=∞→n n x lim n n y ∞→lim AB =；法则3 ∞→n lim lim n n n Cx C x →∞==CA (C 是常数)；法则4∞→n lim B A y x y x nn n n n n ==∞→∞→lim lim ()0≠B ．以上法则1，法则2可以推广到有限个数列的和与积的情形．二、函数的极限1．当∞→x 时，函数)(x f 的极限定义如果当x 的绝对值无限增大（即∞→x ）时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那么A 称为函数)(x f 当∞→x 时的极限，记为 A x f x =∞→)(lim 或当∞→x 时，A x f →)(．如图1－5（b ）所示, 函数xx f 1)(=当x 的绝对值无限增大时, 函数xx f 1)(=的图象无限接近于x 轴．也就是，当∞→x 时，)(x f 无限地接近于常数零，即01lim=∞→xx ．在上述定义中，自变量x 的绝对值无限增大指的是既取正值无限增大（记为+∞→x ），同时也取负值而绝对值无限增大（记为-∞→x ）．但有时自变量的变化趋势只能或只需取这两种变化的一种情形，为此有下面的定义：定义如果当+∞→x (或-∞→x )时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那么A 称为函数)(x f 当+∞→x (或-∞→x )时的极限，记为 lim ()x f x A →+∞=或当x →+∞时，()f x A →； lim ()x f x A →-∞=或当x →-∞时，()f x A →．由图1－5（b ）可以看出，01lim=+∞→xx 及01lim =-∞→x x ，这两个极限与01lim =∞→x x 相等，都是0．由图1－11（b ）可以看出，2arctan lim π=+∞→x x ，2arctan lim π-=-∞→x x ．由于当+∞→x 和-∞→x 时，函数x y arctan =不是无限趋近于同一个确定的常数，所以x x arctan lim ∞→不存在．由上面的讨论，我们得出下面的定理：定理 A x f x =∞→)(lim 的充要条件是： )(lim x f x +∞→A x f x ==-∞→)(lim ．（证明略）2．当0x x →时，函数)(x f 的极限定义设函数()y f x =在点0x 的某个近旁（点0x 本身可以除外）内有定义，如果当x 趋于0x （但0x x ≠）时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那么A 称为函数)(x f 当0x x →时的极限，记为A x f xx =→)(lim 0或当0x x →时，A x f →)(．例1 考察极限C x x 0lim → (C 为常数)和x xx 0lim →．解因为当0x x →时，)(x f 的值恒为C ，所以=→)(lim 0x f x x C C xx =→0lim ．因为当0x x →时，()x ϕx=的值无限接近于x ，所以lim ()x x x ϕ→=00lim x x xx =→． 3．当0x x →时，)(x f 的左、右极限因为0x x →有左右两种趋势，而当x 仅从某一侧趋于0x 时，只需讨论函数的单边趋势，于是有下面的定义：定义如果当x 从0x 左侧趋近0x （记为0x x -→）时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那末A 称为函数)(x f 当0x x →时的左极限，记为 0lim ()x x f x A -→=．如果当x 从0x 右侧趋近0x （记为0x x +→）时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那末A 称为函数)(x f 当0x x →时的右极限，记为 0lim ()x x f x A +→=定理 A x f xx =→)(lim 0的充要条件是： 0lim ()lim ()x x x x f x f x A -+→→==．（证明略）例2 讨论函数10()0010x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩当0→x 时的极限．解观察图2－1可知：0lim ()x f x -→1)1(lim 0-=-=-→x x ，0lim ()x f x +→1)1(lim 0=+=+→x x ．因此，当0→x 时，)(x f 的左右极限存在但不相等，由定理2知，极限 )(lim 0x f x →不存在．例3 研究当x →0时, x x f =)(的极限．解观察图2－2可知：⎩⎨⎧≥<-==0)(x x x x x x f 由于)(lim 0x f x -→0)(lim 0=-=-→x x ,=+→)(lim 0x f x 0lim 0=+→x x ．所以当x 0→时，)(x f 的左, 右极限都存在且相等．由定理2知x →0时, x x f =)(的极限存在，且等于0．三、无穷小量实际问题中，常有极限为零的变量．例如，电容器放电时，其电压随着时间的增加而逐渐减小并趋近于零．对于这样的变量，有下面的定义：1．无穷小量的定义定义极限为零的变量称为无穷小量，简称为无穷小．如果0lim ()0x x x α→=，则变量()x α是0x x →时的无穷小，如果lim ()0x x β→∞=，则称()x β是x →∞时的无穷小，类似的还有0x x +→，0x x -→，x →+∞，x →-∞等情形下的无穷小．根据定义可知，无穷小是一种变化状态，而不是一个量的大小，无论多么小的一个数都不是无穷小，只有零是唯一的一个可作为无穷小的常数，无穷小是有极限变量中最简单而最重要的一类，在数学史上，很多数学家都致力于“无穷小分析”．2．无穷小量的性质定理有限个无穷小的代数和为无穷小．（证明略）注意，无穷个无穷小之和未必是无穷小，如n →∞时，21n ，22n ，2nn 都是无穷小，但是222212(1)2n n n n n n n +++⋅⋅⋅+=，当n →∞时2(1)122n n n +→，所以不是无穷小．定理有界函数与无穷小的积为无穷小．（证明略）推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小. （证明略）图2－1图2－2推论2 有限个无穷小的积为无穷小．（证明略）例4 求极限01lim sin x x x→．解因为x 是当0→x 时的无穷小，而x1sin 是一个有界函数，所以1lim sin0x x x→=． 3．函数极限与无穷小的关系设A x f xx =→)(lim 0，即0x x →时()f x 无限接近于常数A ，有()f x A -就接近于零，即()f x A -是0x x →时的无穷小，若记()()x f x A α=-，于是有定理 3 （极限与无穷小的关系）A x f xx =→)(lim 0的充分必要条件是()()f x A x α=+，其中()x α是0x x →的无穷小．例如11x x +→当()x →∞时，有111x x x +=+，其中1x就是()x →∞时的无穷小．四、无穷大量 1．无穷大的定义定义 6 若当0x x →（x →∞）时，函数()f x 的绝对值无限增大，则称函数()f x 为当0x x →(或x →∞)时的无穷大.函数()f x 当0x x →（或x →∞）时为无穷大，它的极限是不存在的，但为了便于描述函数的这种变化趋势，我们也说“函数的极限为无穷大”，并记为lim ()x x f x →=∞ 或 lim ()x f x →∞=∞．例如，当0→x 时，x1是一个无穷大，又例如，当x →+∞时，x e 是一个无穷大．注意，说一个函数()f x 是无穷大，必须指明自变量x 的变化趋向；无穷大是一个函数，而不是一个绝对值很大的常数．2．无穷大与无穷小的关系我们知道，当2x →时，2x -是无穷小，12x -是无穷大；当x →∞时，x 是无穷大，1x是无穷小．一般地，在自变量的同一变化过程中，如果)(x f 为无穷大，则)(1x f 是无穷小；反之，如果)(x f 为无穷小，且)(x f 0≠，则)(1x f 是无穷大．利用这个关系，可以求一些函数的极限．例5 求极限13lim1-+→x x x ．解因为031lim1=+-→x x x ，由无穷大与无穷小的关系，所以∞=-+→13lim 1x x x ．五、无穷小量比较由无穷小的性质，我们知道两个无穷小的和、差及乘积仍是无穷小．但两个无穷小的商却会出现不同的情况．例如，当0x →时， x 2、2x 、x sin 均为无穷小，而02lim 20=→x x x ，∞=→202lim x x x ，1sin lim 0=→xx x ．两个无穷小之比的极限的不同情况，反映了不同的无穷小趋向于零的“快慢”程度．一般地，对于两个无穷小之比有下面定义：定义设α和β都是同一过程的两个无穷小量，即lim 0α=，lim 0β=，1．若lim0αβ=，则称α是β的高阶无穷小量；记作()o αβ=，此时也称β是α的低阶无穷小量．2．若lim 0C αβ=≠，则称α与β是同阶的无穷小量．记作()O αβ=．3．若lim 1αβ=，则称α与β是等价无穷小量．记作βα~．例16 当1x →时，比较无穷小1x -与31x -的阶．解由于 0)1(lim 1=-→x x ，0)1(lim 31=-→x x ，且 3111limx x x --→3111lim 21=++=→x x x ，所以当1x →时，1x -与31x -是同阶无穷小．例17 当0→x 时，证明x cos 1-与22x 等价．解由于 0)cos 1(lim 0=-→x x ，02lim20=→x x ，且=-→2cos 1lim 20xx x 122sin 2lim 220=→x xx ．所以，当0→x 时，x cos 1-与22x 为等价无穷小．习题训练1．利用函数图像，观察函数的变化趋势，并写出其极限：（1）21limx x →∞；（2）lim 2x x →-∞；（3）1lim ()10x x →+∞；（4）1lim(2)x x→∞+；（5）2lim(45)x x →-；（6）2lim sin x x π→． 2．设2,1()1,1x x f x x ⎧≥-=⎨<-⎩，作出它的图象，求出当1-→x 时，()f x 的左极限、右极限，并判断当1-→x 时，()f x 的极限是否存在？3．设1()1x f x x -=-，求(10)f -和 (10)f +，并判断()f x 在1→x 时的极限是否存在？4．设21()1x f x x-=-，求0lim ()x f x →，1lim ()x f x →． 5．下列函数在自变量怎样变化时是无穷小？无穷大？（1）31y x = ；（2）211y x=+；（3） ln y x =；（4）y =6．求下列函数的极限：（1） sin limx x x →∞；（2）01lim cos x x x→；（3） 1lim1x xx →-；（4）32222lim (2)x x x x →+-．第二节极限的运算教学目的：1.掌握极限的性质及四则运算法则;2.掌握利用两个重要极限求极限的方法。

《函数的极限与连续》课件

示例
考虑函数$f(x) = x^2$，在区间 $[0, 1]$上连续且单调增加。如果 $f(0) < c < f(1)$，则可以证明$c < frac{f(0) + f(1)}{2}$。
利用连续性求函数的零点
要点一
总结词
利用函数的连续性可以找到函数的零点。
要点二
详细描述
如果函数在某区间上连续，且在该区间上从正变负或从负变正，则可以利用函数的连续性找到函数的零点。这是因为函数在这一点上从增加变为减少或从减少变为增加，的定义
函数在某点连续的定义
如果函数在某点的左右极限相等且等于该点的函数值，则函数在该点连续。
函数在区间上连续的定义
如果函数在区间内的每一点都连续，则函数在该区间上连续。
连续性的性质
连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数。
复合函数在复合点连续的定义：如果一个复合函数在某点的极限等于该点的函数值，则复合函数在该点连续。
与其他数学知识的联系
探讨函数极限与连续性与中学数学、微积分等其他数学知识的联系，理解其在数学体系中的地位。
理论严谨性
深入思考函数极限与连续性理论的严谨性和完备性，理解数学严密性的重要性。
对后续学习的展望
导数与微分
预告后续将学习函数的导数与微分概念，了解它们与极限和连续性的关系。
级数与积分
简要介绍级数和积分的基本概念，理解其在数学中的重要性和应用。
01
和差运算性质
若$lim f(x)=A$且$lim g(x)=B$ ，则$lim [f(x)pm g(x)]=Apm B$。
02
03
乘积运算性质
幂运算性质
若$lim f(x)=A$且$lim g(x)=B$ ，则$lim [f(x)cdot g(x)]=Acdot B$。

第2章一元函数的连续性

第二章一元函数的连续性一.基本内容1.函数)(x f 在点0x 处连续的定义：)1(极限形式：)()(lim 00x f x f x x =→)2(增量形式：0lim 0=∆→∆y x)3(“δε-”语言：0>∀ε，0>∃δ，当δ<-0x x 时，有ε<-)()(0x f x f )4(左右连续性：)()0()0(000x f x f x f =-=+2．函数)(x f 在区间I 上连续的定义 3．间断点及其类型间断点（不连续点）：第一类间断点（左右极限均存在）；第二类间断点（左右极限中至少有一个不存在）4．)(x f 在区间I 上一致连续：0>∀ε，0>∃δ，∀1x ,2x I ∈,当δ<-21x x 时，总有ε<-)()(21x f x f ，则称)(x f 在I 上一致连续． 5．)(x f 在点0x 处连续的局部性质局部有界性，局部保号性，四则运算保持连续性和复合保持连续性． 6．闭区间上连续函数的整体性质)1(反函数的存在连续性：若函数)(x f 在[]b a ,上严格单调且连续，则其反函数在以)(a f ,)(b f 为端点的闭区间上也是严格单调并且连续．)2(有界性：若函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上有界．)3(取最值性若函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上能取到最大，最小值．)4(根的存在性若函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，且0)()(<⋅b f a f ,则),(b a c ∈∃，使0)(=c f ．)5(界值性设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，μ介于)(a f 与)(b f 之间，则),(b a c ∈∃使得μ=)(c f ．)6(若函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，则在[]b a ,上一致连续．7．一切初等函数在其定义区间上连续二．难点解析与重要结果1.函数)(x f 在点0x 处连续的归结原则任一趋于0x 的数列{n x }其对应的函数值组成的数列均收敛．【注】函数极限的归结原则中要求→n x 0x ，这是由于与函数极限中)(x f 有可能没定义，而在连续的定义中要求函数)(x f 于0x 的某邻域内有定义，在0x 处必有定义，特别地{0x }即为趋于0x 的一个数列． 2. 0x 为)(x f 的间断点的正面刻画∃00>ε，∀δ0>, ∃δx , 满足δδ<-0x x ,但有)()(0x f x f -δ≥0ε．特别地,取δ=n 1,则得数列{n x }⊂)(0x U ,使n x x n 10<-,但)()(0x f x f n -≥0ε.3. 函数)(x f 在区间I 上连续∀0x ∈I ，∀0>ε, ∃0>δ，当δ<-0x x 时，有ε<-)()(0x f x f .函数)(x f 在区间I 上一致连续：∀0>ε, ∃0>δ, ∀0x I ∈, 当δ<-0x x 时, 有ε<-)()(0x f x f .这两者的区别在于，对同一个ε，前者对于不同的0x ，可找到不同的δ，δ既依赖于0x ，又依赖于ε.事实上，δ对0x 的依赖程度更高（为什么？），后者对同一个ε，总可找到一个δ，该δ对所有的0x 均适用. 4. 一致连续与一致收敛之间的区别与联系⇒)(x f n )(x f )(D x ∈，可看成是给定一批极限{∞→n lim )(x f n ︱D x ∈}.对每个数列极限而言，对给定的0>ε,由不同的数列可找到不一定相同的N ，当N n >时，有ε<-)()(x f x f n 是否一致收敛.就看是否有共用的N 的问题.)(x f 在I 上一致连续可看成是给了一批函数极限{)()(lim x f y f xy =→︱x ∈I}.对每一个函数的极限而言，对给定的0>ε，由不同的函数极限可找到不一定相同的δ.当δ<-x y 时，有ε<-)()(x f y f 是否一致连续，就看是否有共用的δ的问题.5.一致连续的判定与性质)1( 设)(x f 在有限开区间),(b a 内连续，则)(x f 在),(b a 内一致连续的充分必要条件是)(lim x f ax +→与)(lim x f bx -→均存在且有限.)2( 设)(x f 在),[+∞a 上连续，且)(lim x f x +∞→存在，则)(x f 在),[+∞a 上一致连续.)3(设)(x f 在),[+∞a 上连续,)(x ϕ在),[+∞a 上一致连续，且0))()((lim =-+∞→x x f x ϕ,则)(x f 在),[+∞a 上一致连续，此结论在)(x f 有斜渐近线时很有用.)4(若)(x f ，)(x g 均在有限开区间),(b a 上一致连续，则)(x f )(x g ±，⋅)(x f )(x g 均在),(b a 上一致连续,若),(b a 为无限开区间,则⋅)(x f )(x g 不一定一致连续.如=)(x f x x g =)(，在),(+∞-∞上.)5( 若)(x f 导数)(x f '在I 上有界，则)(x f 在I 上一致连续.)6(若)(x f 在],(b a 与),[c b 上均一致连续，则)(x f 在),(c a 上一致连续.)7(若)(u f y =在R 上一致连续，)(x g u =在I 上一致连续，则))((x g f y =在I 上一致连续.6. )(x f 在I 上非一致连续的肯定刻画I x x ∈'''∃>∀>∃δδδε,,0,00,且δδδ<''-'x x ，但有0)()(εδδ≥''-'x f x f ．特别地,取n1=δ,则设两点列I x x n n⊆'''}{},{,满足)(0∞→→''-'n x x n n ,但有0)()(ε≥''-'n nx f x f ．三．基本题型与方法 1.证明连续性和一致连续性要证明一个函数在某点或某个范围内连续，绝大部分是通过连续性的定义直接证明．例1．按定义证明：)1(⎪⎩⎪⎨⎧=∈==+内的无理数和，互质)1,0(1,00),,,(,1)(x q p N q p q p x qx R 在所有的无理点处连续．在)1,0(中的有理点处不连续．)2(xx x x f 1sin 12)(⋅++=在),1[+∞上一致连续,在)1,0(上非一致连续．证明：)1(]1,0[0∈∀x ,0>∀ε,ε≤-0)(x R . 显然当x 为)1,0(中的无理数时，不等式成立.当q p x =时,ε<=q x R 1)(,即ε1>q . 而ε1≤q 的正整数只有有限个，这些数为分母构成的]1,0[中的有理数也仅为有限个，设为n x x x ,,,21 ，取}}0{\},,min{{001x x x x n --= δ,则n x x x ,,,21 均落在),(00δx U 之外，即当δ<-<00x x 时.若x 为有理数，则将其表示成既约分数时的分母必大于ε1.此时ε>>qx R 1)(.若x 为无理数则ε<=0)(x R . 即当δ<-<00x x 时，总有ε<-0)(x R ,所以0)(lim 0=→x R x x .故)(x R 在)1,0(中的无理点处连续，有理点处不连续.)2(),1(,,0+∞∈'''∀>∀x x ε,由于 x x x x x x x f x f ''⋅+''+''-'⋅+'+'=''-'1sin 121sin 12)()(x x x x x x x x x x x x ''⋅+''+''-''⋅+'+'+''⋅+'+'-'⋅+'+'=1sin 121sin 121sin 121sin 12 12121sin 1sin 1sin 12+''+''-+'+'''+''-'+'+'≤x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ''-'≤+''+'''-'+'''''-'⋅'''''+'≤2)1)(1(2222,故可取=δ2ε，当x x ''',∈),1[+∞且δ<''-'x x 时,有ε<''-')()(x f x f ,所以)(x f 在),1[+∞上一致连续.取221ππ-='n x n,221ππ+='n x n, ,2,1=n , 显然nx 'n x '')1,0(∈,则 )(0441442222∞→→-=-=''-'n n n x x n nπππππ,但2122222)1(122222)()(>++++--+-+-=''-'ππππππππn n n n x f x f n n, 所以)(x f 在)1,0(上非一致连续.[注])1(Riemann 函数是一个重要的反例，其解法与一般的求解不等式ε<-A x f )(不同，它解的是其互补不等式ε≥-A x f )(.)2(第二小题的解法上，有一定的代表性，当遇到由两种不同的基本初等函数一起构成的某一初等函数时，常用到此插项方法. )3(狄立克雷函数在构造反例中的作用. )4(第2小题中由于∞→A lim12++x x x1sin =0,且)(x f 在),1(+∞上连续，据前面的结论即证一致连续性.例2 设)(x f 为),(+∞-∞上的单调函数，令)(lim )(0y f x g x y +→=,证明：)(x g 在),(+∞-∞上右连续.证明：),(0+∞-∞∈∀x ，由于)0()(lim )(000+==+→x f y f x g x y ,故0>∀ε, 0>∃δ, 当δ+<<00x x x 时有ε<-)()(0x g y f .由于)(x f 在R 上单调，故在任一点处的左、右极限均存在，所以，),(00δ+∈∀x x x ,令+→x y ,有ε≤-+→)()(lim 00x g y f x y ,即ε≤-)()(0x g x g ,所以，)()(lim 00x g x g x x =+→.故)(x g 在0x 右连续,由0x 的任意性,即)(x g 在),(+∞-∞上右连续.例3 设)(x f 在),a +∞⎡⎣上连续，lim ()x f x →+∞存在，则)(x f 在),a +∞⎡⎣上一致连续.证明：由于lim ()x f x →+∞存在，故ε∀0>，∃M ，当M x x >''',时，有ε<''-')()(x f x f . 又)(x f 在),a +∞⎡⎣上连续，所以在]1,[+M a 上连续，故)(x f 在]1,[+M a 上一致连续.所以对上述0>ε,01>∃δ,当]1,[,+∈'''M a x x 且1δ<''-'x x 时，有ε<''-')()(x f x f .取11min ,2δδ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，当],[,+∞∈'''a x x 且1δ<''-'x x 时,()i 若21+≤'M x ,则21+≤+'<''M x x δ,即]1,[,+∈'''M a x x ,且δ<''-'x x 1δ≤,故有ε<''-')()(x f x f .()ii 若21+>'Mx ,则M M x x =-+≥-'>''2121δ，即M x x >''',,故有ε<''-')()(x f x f .即当δ<''-'x x 时，总有ε<''-')()(x f x f .所以)(x f 在),a +∞⎡⎣上一致连续. 【注】此题的方法具有很强的代表性，望注意体会掌握，特别是将区间叠起的一段的技巧.2．连续函数性质的证明一般地，连续函数性质的证明特别是闭区间上连续函数性质的证明，与实数的完备性理论是紧密联系的.例4 试分别用闭区间套定理、聚点定理、和有限覆盖定理证明闭区间上连续函数的有界性定理.证明设)(x f 在闭区间],[b a 上连续,证明)(x f 在闭区间],[b a 上有界. (1) 用闭区间套定理假设)(x f 在闭区间],[b a 上无界,中分],[b a 为两个子闭区间,则)(x f 至少在其中的一个子闭区间上无界,记其为],[11b a ;中分],[11b a 为两个子闭区间,则)(x f 至少在其中的一个子闭区间上无界,记其为],[22b a ;如此下去则得一闭区间列]},{[n n b a 满足：① ],[],[11++⊇n n n n b a b a , ,3,2,1=n ② )(,02∞→→-=-n ab a b nn n ③)(x f 在闭区间],[n n b a 上无界, ,2,1=n .由①, ②及闭区间套定理知 ,2,1],,[!=∈∃n b a n n ξ.又)(x f 在ξ连续,故)(x f 在ξ的某邻域),(δξU 内有界.由闭区间套定理的推论知,存在N ,当N n >时,有),(],[δξU b a n n ⊂,而)(x f 在],[n n b a 上无界,故)(x f 在),(δξU 上无界,矛盾.所以)(x f 在闭区间],[b a 上有界.(2)用聚点定理假设)(x f 在闭区间],[b a 上无界,则],[,0b a x M M ∈∃>∀,使得M x f M >)(. 取],,[,11b a x M ∈∃=使得1)(1>x f ；],,[,22b a x M ∈∃=使得2)(2>x f ；,],,[,b a x n M n ∈∃=使得n x f n >)(；如此下去则得数列}{n x ],[b a ⊆，使得 ,2,1,)(=>n n x f n .由于}{n x 有界,由致密性定理, }{n x 由收敛子列}{k n x ，设)(,0∞→→k x x k n ，由于)(x f 在0x 连续，所以)(),()(0∞→→k x f x f k n ，而由}{n x 的选取知)(,)(∞→∞→k x f k n ，矛盾. 所以)(x f 在闭区间],[b a 上有界.(3) 用有限覆盖定理由于)(x f 在闭区间],[b a 上连续,即],[0b a x ∈∀,)(x f 在0x 连续,故在0x 处局部有界,即0,0],,[000>∃>∃∈∀x x M b a x δ,使得当),(00x x U x δ∈时,0|)(|x M x f <. 显然,]},[|),({b a x x U x ∈δ覆盖],[b a ,由有限覆盖定理,必可从中选出有限个它们也能覆盖],[b a ,设为),(11δx U ,,),,(22 δx U ),(n n x U δ. 取},,,m ax {21n M M M M =,则],[b a x ∈∀,有M x f <|)(|. 所以)(x f 在闭区间],[b a 上有界.3．连续函数性质的应用)1(连续性在有界和最值性方面的应用例5 设函数)(x f 在有有限或无穷区间(),a b 内连续，且lim ()lim ()x ax bf x f x A +-→→==, (A 为有限数，+∞或-∞).证明)(x f 在(),a b 内能取到最大或最小值. 证明：若A 为有限数，且(),x a b ∀∈均有A x f =)(.则结论显然成立.若0x ∃(),a b ∈,使0()f x A ≠，若0()f x A >，由于lim ()lim ()x ax bf x f x A +-→→==，由极限的保号性，故δ∃0>,当δ+<<a x a 或b x b <<-δ时，有)()(0x f x f <，又)(x f 在[],a b δδ+-上连续，所以)(x f 在[],a b δδ+-上有最大值M 存在,且≥M 0()f x ，此时最大值M 显然也是)(x f 在(),a b 上的最大值.若0()f x A <，则有最小值存在.若+∞=A ，任取0x (),a b ∈，由于lim ()lim ()x ax bf x f x +-→→==+∞，故∃δ0>,当δ+<<a x a 或b x b <<-δ时有)()(0x f x f >，又)(x f 在[],a b δδ+-上连续，故有最小值m 存在，且)(0x f m ≤，显然m 为)(x f 在(),a b 上的最小值.当-∞=A 时有最大值存在.当(),a b 为无穷区间，类似地可证.例6 设)(x f 在],[b a 上连续，且有唯一的最值点],[0b a x ∈.若数列],[}{b a x n ⊆且)()(lim 0x f x f n n =∞→,证明：0lim x x n n =∞→.证明：假设0lim x x n n ≠∞→．则N ∀，N n N >∃使00ε≥-x x n ．取11=N 则11>∃n 使001ε≥-x x n .取12n N =，则12n n >，使002ε≥-x x n .如此下去，则设}{n x 的子列}{i n x 使得ε≥-0x x i n .由],[}{b a x i n ⊆，由致密性定理,}{i n x ∃的收敛子列}{ki n x ,设)(∞→→k c x ki n ,则0x c ≠．又由f 的连续性，知)()(lim c f x f ki n k =∞→．而由子列的性质知，)()(lim )(lim 0x f x f x f n n n k k i ==∞→∞→.所以)()(0x f c f =为f 的最值点矛盾．)2(连续性介值方面的应用例7 设)(x f 在],[b a 上连续，且有反函数存在．证明)(x f 在],[b a 上严格单调．证明：假设)(x f 在],[b a 上非严格单调,则321x x x <<,使得)()()(321x f x f x f ≥≤或)()(21x f x f ≥且)()(32x f x f ≤.由于)(x f 有反函数存在,故上不等式中的等号不能成立．即有)()()(321x f x f x f ><.取M 介于)(2x f 与)}(),(m ax {31x f x f 之间,由)(x f 在],[21x x 上连续,),(21x x ∈∃ξ 使M f =)(ξ.又)(x f 在],[32x x 上连续, ),(32x x ∈∃η使M f =)(η.且ηξ≠,这与)(x f 有反函数矛盾）．【注】有反函数存在．则对应必为一对一的，反过来一对一再加上介值性，必可推出严格单调和连续性.例8 设函数],[],[:)(b a b a x f →是连续函数．证明：],[b a ∈∃ξ,使ξξ=)(f . 证明：若a a f =)(或b b f =)(,则结论成立．否则有a a f >)(，b b f <)(．令x x f x F -=)()(,则)(x F 在],[b a 上连续,且0)(,0)(<>b F a F ,由介值性定理即得.【注】此题即为不动点定理．例9 设函数)(x f 在]1,0[上连续，且0)1()0(==f f ,证明：+∈∀Z n ，]1,0[∈∃ξ，有)()1(ξξf nf =+．证明：当1=n 时，取0=ξ，则结论成立.否则令)()1()(x f nx f x F -+=,则有)1()1()0(nn F n F F -+++)1()1()1()2()0()1(nn f f n f n f f n f --++-+-=0)0()1(=-=f f .若上式中的每一项均为0，则结论成立.若不全为0，则必既有正项，又有负项出现，由介值性定理,在正负项之间0)(=ξF ,即)()1(ξξf nf =+.【注】上面的两例给出了用介值性定理或根的存在定理的一般方法.引入辅助函数，将待证的等式转化为考察辅助函数的根的存在性问题，最后，只要找到辅助函数的两个点处的函数值异号.)3(一致连续的性质的应用例10设函数)(x f 在),(+∞a 上一致连续,且无穷积分⎰∞+adx x f )(收敛.证明：0)(lim =∞→x f x .证明：假设0)(lim ≠∞→x f x ，即00>∃ε,M ∀，M x M >∃,但有0)(ε≥x f .又)(x f 在[)0,+∞上一致连续，故对上述0ε0>,∃δ0>,当12x x -≤δ时,有12()()f x f x -<2ε. 故对0ε,δ0>，M ∀，∃A '=M x ，A ''=M x +δM >,但有δεδδ0)()(≥=⎰⎰++M MM Mx x x x dx x f dx x f .由Cauchy 收敛准则知⎰∞→AaA dx x f )(lim 不存在,矛盾. 四.综合举例例11 设函数)(x f 在[],a b 上连续，],[b a x ∈∀,记)(sup )(],[t f x M x a t ∈=,证明：)(x M 在[],a b 上连续.证明：由于)(x f 在[],a b 上连续，则在[],a b 上一致连续,即0ε∀>,0δ∃>, 当1x ,2x ∈[],a b ,且12x x -≤δ时有12()()f x f x -<ε.所以0x ∀∈[],a b ,当δ<∆<x 0, 0x x ∆+∈[],a b 时，有)0[][]0000,,()()sup ()sup ()t a x x t a x M x x M x f t f t ∈∆+∈≤∆+-=-))()((sup )()(sup0],[0],[00x f t f x f t f x a t x x a t ---=∈+∆∈))()((sup )))()((sup )),()((sup m ax (0],[0],[0],[000x f t f x f t f x f t f x a t x x a t x a t ----=∈+∆∈∈ε<.同理，当0<∆<-x δ时，有ε-00()()M x x M x ≤∆+-,故)(x M 在[],a b 上连续. 例12 设函数)(x f 在),(b a 内每一点的左，右极限都存在，且),(,b a y x ∈∀,都有2)()()2(y f x f y x f +≤+.证明)(x f 在),(b a 内连续. 证明：),(0b a x ∈∀,则),(b a y ∈∀,有2)()()2(00y f x f y x f +≤+, 令i x y +→0,)0(21)(21)0(000++≤+x f x f x f ,即有)()0(00x f x f ≤+. 令0x y →,有))0(21)((21)0(000-+≤-x f x f x f ,即有)()0(00x f x f ≤-.在2)()()2(y f x f y x f +≤+中令h x x +=0,h y y -=0,且令i h +→0, ))0()0((21)(000-++≤x f x f x f ,所以有))0()0(()(000--+≤x f x f x f ,即)(x f 连续.由0x 的任意性即有)(x f 在),(b a 内连续.【注】要证明函数的连续性，绝大部分情况下均直接从连续的定义出发. 例13 证明：非常值的连续周期函数必有最小正周期.证明：设}{的正周期为f t t S =.下证S 的下确界S T inf =属于S ，即证：T 仍为f 的周期，且0>T ，显然0T ≥.由于S T inf =,故由定义,S t n ⊆∃}{,使得T t n n =∞→lim .又由)(x f 的连续性，有R x ∈∀,)()(lim )(x f t x f T x f n n =+=+∞→,即T 为一个周期.假设S T ∉=0,则存在严格递减数列S T ∉=0,且)(0∞→→n t n .则R x ∈∀，N n ∈∀,Z k n ∈∃使n t k x n n +=0,其中n n t k <≤0,故)(0∞→→n k n .所以,))(0()()()(∞→→=+=n f n f n t k f x f n n ,即)0()(f x f =.这与)(x f 非常数矛盾.所以0≠T ,即0>T ，故S S T ∈=inf . 例14 设)(x f 对R 上一切x 均有)()(2x f x f =，且)(x f 在0=x 处连续.证明：)(x f 在R 上为常数.证明：由于)()())(()(22x f x f x f x f ==-=-,即)(x f 为偶函数，故可仅考察0≥x 这一侧.当0>x 时，由已知，有：=====)()()()(214121nx f x f x f x f ,由于)(121∞→→n xn及f 在1=x 处的连续性,故有()=x f ()1lim 21f x f nn =⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞→, 又()+→=0lim 0x f ()()1f x f =.即当0≥x 时,有()()1f x f =.所以,R x ∈∀,有()f x f ≡()1.例15 设)(x f 在),0[+∞上连续且有界，又设R l ∈∀方程l x f =)(在),0[+∞至多只有有限个解，证明)(lim x f x ∞→存在.证明由于)(x f 在),0[+∞上有界，设M x f M <<-)(,对0=l ,由于方程l x f =)(在),0[+∞至多只有有限个解，设其最大解为1M ,则当1M x >时, )(x f 全落在],0[M 或]0,[M -中,记其为],[b a ；对2ba l +=，由于方程l x f =)(在),0[+∞至多只有有限个解，设其最大解为2M ,则当2M x >时, )(x f 全落在]2,[b a a +或],2[b ba +中,记其为],[11b a ； , 如此下去，则得一闭区间列]},{[n n b a 满足： ① ],[],[11++⊇n n n n b a b a , ,3,2,1=n ② )(,02∞→→-=-n ab a b nn n③ 0,>∃∀n M n ，当n M x >时，有 ,2,1],,[)(11=∈--n b a x f n n由①, ②及闭区间套定理知 ,2,1],,[!=∈∃n b a n n ξ.由闭区间套定理的推论知，,,0N ∃>∀ε当N n >时，),(],[εξU b a n n ⊆.故可取1+=N M G ,当G x >时,有),(],[)(11εξU b a x f N N ⊆∈++.所以ξ=∞→)(lim x f x .例16 设)(),(x g x f 在],[b a 上连续,],[}{b a x n ⊆,满足 ,2,1),()(1==+n x f x g n n 证明存在],[0b a x ∈,使得)()(00x g x f =. 证明令)()()(x g x f x h -=,则)(x h 在],[b a 上连续.若)}({n x h 中有零项或异号的项，由根的存在性定理,0x 的存在性显然. 若若)}({n x h 中所有项均为正项或负项,不妨设0)(>n x h ,于是,,,2,1,0)()()()()(1 =>=-=-+n x h x g x f x f x f n n n n n即数列)}({n x f 为单调递减有界数列,故收敛,设)(,)(∞→→n x f n ξ,又,2,1),()(1==+n x f x g n n ,故)(,)(∞→→n x g n ξ.注意到}{n x 有界,由致密性定理}{n x 有收敛子列}{k n x ,设)(,0∞→→k x x k n ,由)(),(x g x f 在0x 的连续性知,)(),()(0∞→→k x f x f k n ,)(),()(0∞→→k x g x g k n ,而)(,)(∞→→k x f k n ξ,,由极限的唯一性有ξ==)()(00x g x f .例14 设定义在R 上的函数()x f 满足：)1(()x f 在0=x 处连续.)2(R y x ∈∀.,有()()()y f x f y x f +=+.证明：()ax x f =.证明：由f ()()()()()0000000=⇒+==+f f f f .又()x f 在0=x 处连续, 故有()()00lim 0==→f x f x .所以,R x ∈∀,有()()()()()x f x f x f x x f x x =∆+=∆+→∆→∆0lim lim ,即()x f 在R 上连续.由已知,有()()()21112⋅=+=f f f , ()()()n f f n f ⋅=+++=1111 , 又()()()0=+=+-n n f n f n f ,故有()()()n f f n f -⋅=-1. 即对一切整数x 有()()x f x f ⋅=1.又由 ()()2112121212121⋅=⎪⎭⎫⎝⎛⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅==⎪⎭⎫ ⎝⎛+f f f f f ,()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅==⎪⎭⎫ ⎝⎛+n f n f n nf 1111, ()n f n f 111⋅=⎪⎭⎫⎝⎛,故有, ()n m f n mf n m f ⋅=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛11 , N m n ∈..所以, ()⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-n m f n m f n m f 1,即对一切有理数x ,有()()x f x f ⋅=1.R x ∈∀,{Q r n ⊆∃}使得()∞→→n x r n .由f 在R 上的连续性,有()()()()x f r f r f x f n n n n ⋅=⋅==∞→∞→11lim lim .例15 设()x f 在[)b a ,上连续且无上界,()[)b a d c ,,⊂∀,()x f 在()d c ,上不取最小值，证明()x f 在[)b a ,上严格递增（陕师大）.证明：由()x f 在[)b a ,上连续，且无上界，知()x f 只能在b 的左邻域内无上界. 假设[)b a x x ,,21∈∃,且<1x 2x ,但有()()21x f x f ≥.由于()x f 在b 的左邻域内无上界.故b x x x <<∃323,.使()()23x f x f >.由于()x f 在[]31,x x 上连续,故有最小值()0x f 存在.又()312,x x x ∈且()()()()3212,x f x f x f x f <≤,故最小值点()310,x x x ∈.即()x f 在()[)b a x x ,,31⊂内取到最小值()0x f .矛盾.例16 设()x f 在[]1,0上非负连续,且()()010==f f ，则[]1,0∈∀l ,[]1,00∈∃x ,使得()()l x f x f +=00.（上海交大）证明：[]1,0∈∀l 作辅助函数()()()x f l x f x F -+=.则()x F 在[]l -1,0上连续,且()()()000≥-=f l f F ,()()().0111≤--=-l f f l F由F 的连续性，知[]l x -∈∃1,00,使得()00=x F ,即()()00x f l x f =+. 例17 设() 3,2,2=+++=n x x x x f n n ,证明：)1(方程()1=x f n 在[)+∞,0上有唯一实根n x ,)2(数列{}n x 有极限存在，并求n n x ∞→lim .（北师大）证明：)1(2≥∀n ,令()()[)+∞∈-+++=-=-,0,111x x x x x f x F n n n ,则(),10-=F 当1≥x 时,有()0>x F .从而在[]1,0上至少有一个实根,又()()1121++-+='-- n n x n nx x F ,当0≥x 时,有()0>'x F ,即()x F 在[)+∞,0上严格递增.所以()x F 在[)+∞,0上有且仅有一个实根n x .即()1=x f n 在[)+∞,0上有唯一实根n x .)2(2≥∀n .由于n x 与1+n x 分别满足：n n n n x x x ++2=1, 1111211=+++++++++n n n n n n x x x x .若01>>+n n x x ,则1=1111+++++++n n nn n x x x >1111112>+=++++++++n n n n n n n n x x x x x ,矛盾，所以1+≤n n x x .即数列{}n x 单调递减且有下界0，所以数列{}n x 收敛，设()∞→→n l x n ,由()111=--=++nnn nnnn x x x x x ,在上式中令∞→n ,得()1101=--ee . 即,21-1=⇒=e e e . 例18 设函数()x f 在[)+∞,0上连续,在()∞+，0内可导,且()A x f x ='+∞→lim .证明：当且仅当+∞<A 时，()x f 在()∞+，0上一致连续. 证明：)1(若()0lim ,>∃='+∞<+∞→M A x f A x ，故则由，当M x >时，有()M x f ≤'，所以当M x x >2,时，有()()()121212x x M x x f x f x f -≤-'=-ξ.即()x f 在[)+∞,M 上满足李普斯基条件，故)(x f 在[)∞+，M 上一致连续,又f 在[]M ，0上连续,故()x f 在上[]M ,0一致连续,所以()x f 在[)+∞,0上一致连续.)2(设()x f 在[)+∞,0上一致连续，假设+∞=A .则对0,0>∀>δε，由()+∞=='∞→A x f x lim ,知0>∃M ，当M x >时，有()δ1>'x f ,取21,121δ++=+=M x M x ，则δδ<=-221x x ,但有()()()21211212=⋅>-⋅'=-δδξx x f x f x f .这与)(x f 在[)+∞,0上一致连续矛盾.例19：设)(x f 在),[+∞a 上连续，)(x ϕ在),[+∞a 上一致连续，且0))()((lim =-∞→x x f x ϕ,则)(x f 在),[+∞a 上一致连续.证明：由于)(x ϕ在),[+∞a 上一致连续，故0>∀ε，01>∃δ，当x x ''',∈),[+∞a ，且1δ<''-'x x 时，有εϕϕ<''-')()(x x .又0))()((lim=-+∞→x x f x ϕ,故0>∃M ,当M x >时,有εϕ<-)()(x x f .所以,当M x x >''',,且1δ<''-'x x 时，有εϕϕϕϕ3)()()()()()()()(<''-''+''-'+'-'<''-'x f x x x x x f x f x f .又)(x f 在]1,[+M a 上连续，故一致连续.对上述0>ε,02>∃δ，当]1,[,+∈'''M a x x 且2δ<''-'x x 时，有ε<''-')()(x f x f .取}21,,min{21δδδ=,则当],[,b a x x ∈'''且δ<''-'x x 时，总有ε<''-')()(x f x f .例20设函数()[)+∞,0在x f 上一致连续，且0>∀x 有()0lim =++∞→n x f n ,证明：()0lim =+∞→x f x .证明：由于()[)+∞,0在x f 上一致连续，故0,0>∃>∀δε,[)+∞∈∀,,21a x x ,当δ<-21x x 时,有()()ε<-21x f x f .取δ1>k ,将[]k 10，等分,记分点为k i kix i ...2,1,==,则每个小区间的长度均小于δ,对每个i x ,由于()0lim =++∞→n x f i n ,故i N ∃,i N n >时,有()k i n x f i ...2,1,=<+ε.取{}K N N N N ,...,m ax 21=，则当N n >时，有()k i n x f i ...2,1,=<+ε.取1+=N M ，当M x >时，则[]N N x n >+≥=1，[)1,0∈-n x .故{}k i ,...2,1∈∃，使得 ()()δ<+-=--i i x n x x n x ，故有, ()()ε<+-n x f x f i .从而有, ()()()()εεε2=+<+++-≤n x f n x f x f x f i i ，所以()0lim =+∞→x f x .例21设函数()()+∞∞-,在x f 上一致连续，则存在正数B A ,,使得x ∀有()B x A x f +≤.证明：由于()x f 在R 上一致连续，故0,0>∃>∀δε，R x x ∈'''∀,且δ≤-'''x x 时，有 ()()ε<''-'x f x f .固定δε,，则Z n R x ∈∃∈∀,，0x n x +=δ，其中()δδ,0-∈x ，由于()(]δδ,-在x f 上连续，故有界，即0>∃M ，当()δδ,-∈x 时，有()M x f ≤. 又()()()()()()()()()0000211x n f x n f x n f x n f x f +--+-++--+=δδδδ()()()000...x f x f x f +-+++δ.故有, ()()()()()M n x f x k f x k f x f nk +⋅≤++--+≤∑=εδδ01001⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤+-=00x M x M x x δεδεδε ()εδε++≤M x . 取εδε+==M B A ,,则有()B x A x f R x +≤∈∀,. 练习题1．用“δε-”定义证明()2sin x x f =在R 上连续，但不一致连续.2．证明：xx y 1sin ⋅=在()+∞,0内一致连续.3．设()y x f ,在[]b a ,上连续，定义()()[]{}b a y y x f x g ,|,m ax ∈=,证明()x g 在[]b a , 上连续.4.设函数()x f 在[]b a ,上单调，且值域充满区间()()[]b f a f ,或()()[]a f b f ,，则()x f 在[]b a ,上连续.5.设函数()x f 在[)+∞,a 上连续，且有斜渐近线b ax y +=，则()x f 在[)+∞,a 上一致连续.6.设()x f 在(]b a ,可导，且()x f ax '+→lim 存在，证明)1(()x f ax +→lim 存在.)2(()x f 在(]b a ,上一致连续.7.证明：设()x f 在R 上一致连续，()t g 在区间I 上一致连续，则复合函数()()t g f 在区间I 上一致连续.8.设函数()x f 在[)+∞,1上可导，且()+∞=+∞→x f x lim ，证明()x f 在[)+∞,1上非一致连续.9.设()x f 在()+∞∞-,内连续，且()+∞∞-∈∀,,y x ，都有()()22y f x f y x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，则()R x x f ∈+=βαβα,,.10.设()x f 在()+∞∞-,上非负连续，()+∞∞-∈∀,,y x ,都有()()()y f x f y x f ⋅=+，求()x f .11.设()x f 在()b a ,内连续，()x f 2在()b a ,内一致连续，证明()x f 在()b a ,内一致连续.12.设()x f 在区间I 上有定义，则()x f 在I 上一致连续，()0lim 0=⋅+→δωδf iff ,其中()()()x f x f x x fx x f ''-'=<''-'∈'''',sup χδω称为f 的连续模.13.设函数()x f 在()1,0上有定义，且函数()x f e x 和()x f e -在()1,0都单调不减，证明()x f 在()1,0连续.14.设()x f 为R 上的周期函数，其周期小于任意小的正数，证明若()x f 在R 上连续，则()x f 为常值函数.15.设I 为有限区间，()x f 在其上有定义，证明()x f 在I 上一致连续的充要条件是函数()x f 把柯西列映成柯西列. 16.若函数()x f 在[)+∞,1上一致连续，求证()xx f 在[)+∞,1上有界. 17.证明()x f 在R 上连续的充要条件是任何开集的原像是开集.21 18.设函数()x f 在R 上连续，且()()x f f =x ，证明：在R 内至少存在一点0x 使()00x x f =.19.设()x f 在R 上连续，()x g 在R 一致连续且有界，证明()()x g f 在R 上一致连续.20.设()x f 在R 上连续，且()()∞=∞→x f f x lim ，证明()∞=∞→x f x lim . 21.设函数()x f ，()x g 均在[]b a ,上连续，{}[]b a x n ,⊆且对N n ∈∀有()()1+=n n x f x g ，证明至少存在一点[]b a x ,0∈，使()()00x g x f =.22.设()x f 在[)+∞,0上具有二阶连续导数，且()()()0,00,00<''<'>x f f f ，[)()+∞∈,0x ,则()()⎥⎦⎤ ⎝⎛'-∈∃00,0f f ξ,使得()0=ξf .。

《函数的极限与连续》PPT课件

定量刻画之一：远近
刻画远近的工具——距离
x与x0的距离是 | x x0 | （ f x）与A的距离是 | （ f x） A |
计算 | a b | 的大小的“精确值” 几乎是不可能也是不可取的
因此，我们选择用| a b | 的 "精确度"来刻画，即若给定
一个精确度，那么符合这个
精确度要求的数的全体为
极限存在左右极限存在并相等不存在第一类间断点第一类间断点第二类间断点第二类间断点??可去间断点可去间断点??跳跃间断点跳跃间断点??无穷间断点无穷间断点??震荡间断点震荡间断点第一类间断点第二类间断点可去间断点可去间断点无定义无定义值太高值太高值太低值太低跳跃间断点跳跃间断点无穷间断点无穷间断点震荡间断点震荡间断点哎呀哎呀不好不好
第二类间断点
无穷间断点震荡间断点
情形1.1：f (x)在x0处无定义.
x自由地趋于x0
y
注意到：
在这种情形下，
lim f (x) A
x x0
存在，因此如果我们重新定义
f (x)在x0处的值为
●
f (x0 ) A,
那么这个新的 f (x)在x0处连续.
这种间断点称为可去间断点.
O
x
哎呀,不好!有个洞, 还没有支撑，我掉下去了!!!
●
●
●
x0 x
x
情形 3：f ( x)在x0处有或无定义. lim f ( x)
x x0
和 lim f ( x)至少有
x x0
一个为或或. 此时，直线
x x0 称为y f ( x)的渐进线.
这种间断点称为无穷间断点
x x0
y
快救救我，我要跑到未知世

一元函数的极限与连续

特别地，有 (4) lim[c ·f (x)] = c ·limf (x) =c ·A； (5) lim[f (x)]n = [limf (x)]n = An。
例5 求 lim 2x2 3x 4 。 x1
解：lim 2x2 3x 4 lim 2x2 lim 3x lim 4
x1
x1
x1
x1
2lim x2 3lim x lim 4
x1
x1
x1
2343
例6
求
lim
x3
x x
2 2
4x 3。 5x 6
解：lim
x3
x2 x2

4x 5x

3 6

lim
x3
x 1x 3 x 2x 3
x
例如, lim 1 , 所以函数 1 是当x 1时的无穷大。
x1 x 1
x 1
注意： (1)绝对值很大的常数不是无穷大。
(2)无穷大与自变量的变化过程密切相关，自变量的变化过程。
指明无穷大应说明
(3)无穷大借用了极限的符号，示极限不存在。
并不表示极限存在，
而是表
无穷小与无穷大的关系：
则称y是x的函数，记作y = f (x)。
称x为自量,
称y为因变量，称数集D为函数的定义域，
称数集M={y|y=f(x), x∈D}为函数的值域， y之间的对应法则。
y = f (x)中的f 表示x与
函数的表示： y = F (x)，y = g(x)，y =φ(x)，··· 函数值的表示：当x0∈D , 其对应的y值可记为f (x0)或
(2) lim f (x) lim (3x2 1) = 2

高三数学函数的极限函数的连续性PPT优秀课件

函数f(x)在［a，b］上连续的定义：
如果f(x)在开区间(a，b)内连续，在左端
点x=a处有 xlimaf(x)=f(a)，在右端点x=b
处有
lim
xb
f(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区
间［a，b］上连续,或f(x)是闭区间［a，
b］上的连续函数
最大值 f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，如果对于任意x∈［a，b］，f(x1)≥f(x)，那么f(x)在点x1处有最大值f(x1) 最小值 f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，如果对于任意x∈［a，b］，f(x2)≤f(x)，那么f(x)在点x2处有最小值f(x2) 最大值最小值定理如果f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，那么f(x)在闭区间［a，b］上有最大值和最小值
xx0
limCC
xx0
xl im x0 xx0
l i m f ( x ) a l i m f ( x ) l i m f ( x ) a
x x 0
x x 0
x x 0
其趋中近于xl xim 0x0时 f的(x左)极a限表，示当x从左侧
于xxl 0im 时x0的f(右x)极a限表示当x从右侧趋近
变量x取正值并且无限增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于正无穷大时，函数f(x)的极限是a
记作：lim f(x)=a，或者当x→+∞时，f(x)→a x
(2)当自变量x取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f(x)的极限是a
22
例2求下列函数的极限：
lim 3x2 1 x (x 1)3
lim x2 1 x2 x2 x2

高等数学第二章极限与连续

第二节极限的运算法则
一、函数极限的运算法则
设（1）（2）
（3）
则 ;
;
。
第二节极限的运算法则
以上函数极限的四则运算可以推广到有限多个收敛函
数的情形．由积的运算可以得到下面两个结论:
（1）
；
（2）
（m为正整数)。
第二节极限的运算法则
例1 求
。
解
=
=3×32＋2×3＋1 =34
第二节极限的运算法则
或xn→A（n→∞）。
第一节极限的概念
二、函数极限的概念
把数列极限概念中的函数为f（n）而自变量的变化过程为n→∞等特殊性撇开，可以引入函数极限的概念．在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数值，那么这个确定的数值就称为在这一变化过程中函数的极限。由于自变量的变化不同，函数的极限就表现为不同的形式。
（2）
（3）
解（1）因为C为常数，当x无限接近于x0时，C不变，如图2-1-2所示，因此
图2-1-2
第一节极限的概念
（2）因为当x→x0时，x→x0，如图2-1-3所示，因此（3）因为当x无限接近于1时，x＋2就无限接近于3，如图2-1-4所示，因此
图2-1-3
图2-1-4
第一节极限的概念
LOGO
PPT模板下载：/moban/ 节日PPT模板：/jieri/ PPT背景图片：/beijing/ 优秀PPT下载：/xiazai/ Word教程： /word/ 资料下载：/ziliao/ PPT课件下载：/kejian/ 范文下载：/fanwen/
解由函数的图象(如图2-1-5所示)容易看出，当x往左或右无限增大时，f（x）都无限接近于0，所以有

高数函数极限与连续.ppt

2 7
3
x 4
x
5
x3 1
x3
2. 7
机动目录上页下页返回结束
例4、
求
lim
x1
x
2
x2 1 2x
3
.
( 0型) 0
解：x 1时,分子,分母的极限都是零.
先约去不为零的无穷小因子x 1后再求极限.
lim
x1
x2
x2 1 2x
3
lim
x1
(x (x
1)( x 3)( x
1) 1)
yy y x2 当 x 0 时为减函数;
当 x 0 时为增函数;
o
xx
机动目录上页下页返回结束
(3) 函数的有界性:
若X D, M 0,x X ,有 f ( x) M 成立, 则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
y
y 1 x
在(,0)及(0,)上无界; 在(,1]及[1,)上有界.
2
2
2
机动目录上页下页返回结束
例3、设函数 f ( x) 1 , g( x) x 2
x 1
求 f [g( x)] 和g[ f ( x)] 解：f [g(x)] 1 1 ,
g(x) 1 x 2 1 g[ f (x)] f (x) 2 1 2
x 1
机动目录上页下页返回结束
（或n ）的过程中, 对应函数值 f ( x)无限
趋近于一个确定常数 A.
lim
n
an
A
lim f ( x) A
x
lim f ( x) A
x
lim f ( x) A
x
定理 : lim f ( x) A lim f ( x) A且 lim f ( x) A.

高三数学函数的极限与连续性PPT精品课件

如果 li m f(x)＝a 且 li m f(x)＝a，那么就说当
x→＋∞
x→－∞
x 趋向于无穷大时，函数 f(x)的极限是 a.记作
li m f(x)＝a
___x→_∞__________.也记作当 x→∞时，f(x)→a.
对于常数函数 f(x)＝C(x∈R)，也有 li m f(x)＝C.
x→∞
x→0
x→0
A．1 B．2
C．3 D．4
• 【解析】 ①②正确．
• 【答案】 B
2021/02/25
12
• 3．若f(x)在区间[a，b]上连续，则下列说法中不正确的是( )
• A．在(a，b)内每点都连续
• B．在a点处左连续
• C．在b点处左连续
• D．在[a，b]上有最大值
• 【解析】 f(x)在闭区间[a，b]上连
2021/02/25
7
4．函数的连续性的概念
(1)如果函数 y＝f(x)在点 x＝x0 处及其附近有定义，而且 lix→mx0 f(x)＝__f_(x_0_)_，就说函数 f(x)在点 x0 处连续．
(2)如果函数 f(x)在某一开区间(a，b)内每一点处都连续，就说函数 f(x)在开区间(a，b)内_连___续___．
(3)对于闭区间[a，b]上的函数，如果 f(x)在开区间
(a，b)内连续，在左端点 x＝a 处有 li m f(x)＝f(a)，
x→a＋
在右端点 x＝b 处有 li m f(x)＝__f(_b_)__，就说函数
x→b－
f(x)在闭区间[a，b]上连续．
2021/02/25
8
5．最大值、最小值定理如果函数 f(x)在闭区间[a，b]上是连续函数，那么 f(x) 在闭区间 [a ， b] 上有 ______最__大__值__和__最__小__值__________．

高等数学第二章课件.ppt

x x0
x x0
左极限和右极限统称为单侧极限．
lim f (x) A 成立的充分必要条件是
x x0
lim f (x) lim f (x) A
x x0
x x0
2）自变量趋于无穷大时函数的极限
设函数 f (x) 当 x 大于某一正数时有定义，如
果在 x 的过程中，对应的函数值 f (x) 无限接
也趋于零,即 lim y x0
lim [
x0
f
(x0
x)
f
(x0 )]
0 ，那么
称函数 f (x) 在点 x0 处连续, x0 叫做函数 f (x) 的连
续点．
函数在点 x0 连续必须满足下面三个条件：（1）在点 x0 的某个邻域内有定义；（2）极限 lim f (x) 存在；
x x0
（3）极限
xx0 (x)
穷小，特别地，当 k 1 时，称 (x) 与(x) 等价无穷小，记作 (x) ~ (x), (x x0 ) ．
常用的等价无穷小如下：当 x 0 时，
sin x ~ x ， tan x ~ x ，
1
c os x
~
1 2
x2
， ln(1
x)
~
x
，
ex 1 ~ x ，n 1 x 1~ 1 x． n
几何解释：函数的增量表示当自变量从 x0 变化到 x0 x 时,曲线上对应点的纵坐标的增量.
2）函数的连续性
设函数 y f (x) 在点 x0 的某个邻域内有定
义，如果当自变量 x 在 x0 处的增量 x 趋于零时,
函数 y f (x) 相应的增量 y f (x0 x) f (x0 )

高等数学第-讲极限与连续PPT课件

高等数学第-讲极限与连续ppt 课件
目
CONTENCT
录
• 极限概念与性质 • 连续概念与性质 • 极限与连续关系 • 典型例题解析 • 练习题与答案解析
01
极限概念与性质
极限定义及存在条件
极限定义
当自变量的某个变化过程（如$x to x_0$或$x to infty$）中，函数 $f(x)$无限接近于某个常数$A$，则称$A$为函数$f(x)$在该变化过程中的极限。
Cantor定理：若函数在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上一致连续。
Lipschitz条件：若存在常数K，使得对任意 x1,x2∈I，都有|f(x1)f(x2)|≤K|x1-x2|，则称 f(x)在区间I上满足 Lipschitz条件。满足 Lipschitz条件的函数一定一致连续。
练习题3
求极限 lim(x→1) (x^2-1)/(x-1)。
答案解析
通过运用极限的运算法则、等价无穷小替换等方法，可以求出以上极限的值。
判断函数连续性练习题及答案解析
01
02
03
04
练习题1
判断函数 f(x)={x^2, x>0; 0, x≤0n(1/x) 在 x=0 处是否连续。
若函数f(x)在其定义域内单调且连续，则其反函数f1(x)在其对应域内也单调且连续。
初等函数连续性
初等函数在其定义域内是连续的，即在其定义域内的每一点都满足连续的定义。
初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数以及由这些函数经过有限次四则运算和复合运算所得到的函数。
03
极限与连续关系
练习题3
判断函数 f(x)=e^x 在 R 上的连续性。

函数的极限与连续教学PPT课件

22 记作y arctan x.
定义域是(-,+),值域是(- ， ).
22
单调增加、有界、奇函数
38
第38页/共112页
定义4
余切函数y cot x在区间(0, )上的函数叫作反余切函数，记作y arc cot x.
定义域是(-,+),值域是(0， ).
单调减少、有界函数
39
第39页/共112页
3 22
32
23
(3) [ , ],sin 1 arcsin 1 .
6 22 6 2
26
(4) [ , ],sin( ) 1 arcsin(1) .
2 22
2
2
33
第33页/共112页
一般地，由反正弦函数的定义，可以得到 sin(arcsin x) x, (1 x 1).
(2) arccos( 2 ). 2
(1) [0, ], cos 3 arccos 3 .
6
62
26
(2) 3 [0, ], cos 3 2 arccos( 2 ) 3 一般地，由反余弦函数的定义，可以得到
cos(arccos x) x,(1 x 1).
36
第36页/共112页
24
第24页/共112页
1.4 基本初等函数
• 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，这些都是实际生活中常用的函数，我们把这五类函数统称为基本初等函数．
25
第25页/共112页
1、幂函数
y x (是常数)
y
y x2
1
y x y x
(1,1)
y 1 x
o1
x
26
第26页/共112页

【课件-高等数学】_第二章 一元函数的极限及其连续性_2_

第2章 一元函数的连续性

第7节一元函数的连续性与间断点 共38页PPT资料

《高等数学一课件——第二章 一元函数的极限与连续》

高数上册函数极限与连续课件

高等数学-函数的连续性课件.ppt

高等数学-第2章--极限与连续

《函数的极限与连续》课件

第2章一元函数的连续性

《函数的极限与连续》PPT课件

一元函数的极限与连续

高三数学函数的极限函数的连续性PPT优秀课件

高等数学第二章极限与连续

高数函数极限与连续.ppt

高三数学函数的极限与连续性PPT精品课件

高等数学第二章课件.ppt

高等数学第-讲极限与连续PPT课件

函数的极限与连续教学PPT课件

【课件-高等数学】_第二章一元函数的极限及其连续性_2_

第2章一元函数的连续性

第7节一元函数的连续性与间断点共38页PPT资料

《高等数学一课件——第二章一元函数的极限与连续》