【课件-高等数学】_第二章 一元函数的极限及其连续性_2_

S1
3, 3
Pn
3 ( 4)n 3
Sn
33
3
1
(
4
)n
4 20 9
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Mathematics & Bioinformatics Group
4
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例1,
1 2
,
2 3
,
3 4
,
,
n
n
第二章 一元函数的极限 及其连续性
第一节 函数 第二节 函数的极限 第三节 函数的连续性
f (b) f (a) f '( )(b a)
b
f (x)dx F (b) F (a)
a
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2020年8月11日星期二
ba ba
9
22
性质1. 收敛数列的极限必唯一.
a
ab 2
b
证: 用反证法.
假设
lim
n
xn
a
及
lim
n
xn
b, 且
a b.
取
ba 2
,
因
lim
n
xn
a,
故存在
N1
, 使当 n > N1 时,
xn
a
ba 2
,
从而 xn
ab 2
同理,
因
lim
n
xn
b,
故存在 N2 ,
使当 n > N2 时, 有
2
第二节 函数的极限
一、数列的极限 二、函数的极限 三、极限的四则运算 四、两个重要的极限及其应用 五、无穷小量及其性质
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3
一、数列的极限
引例：柯赫雪花曲线
n=1
n=2
n=3
n=4
周长： P1 4,
面积：
14
1、自变量趋于无穷大时函数的极限
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15
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16
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1
,
5
xn
n n 1
1
(n )
收
2 , 1 , 4 , 3 , , n (1)n1 ,
敛
234
n
xn
n
(1)n1 n
1
(n )
2 , 4 , 8 , , 2n , xn 2n (n ) 发
1 , 1 , 1 , , (1)n1 ,
散
xn (1)n1 趋势不定
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当 n N2 时, zn a
令 N max N1 , N2, 则当 n N 时, 有
a yn a , a zn a , 由条件 (1) a yn xn zn a
即
xn a
,
故
lim
n
xn
a
.
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(一)、自变量趋于无穷大时函数的极限 17
1 .定义 设函数 f (x)当 x 大于某一正数时有定义, 若
0, 0 , 当 x 时,有 f ( x ) A , 则称常数
A 为函数 f (x)当x 时的极限, 记作
lim f (x) A 或 f (x) A (当x )
x
x X 或x X A f (x) A
a xN2
)
a
a xn a
(n N)
即 xn ( a , )
(n N)
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8
收敛数列的基本性质：
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证:
设 lim
n
xn
a,
取
1,
则
N
,
当
n
N
时,
有
xn a 1, 从而有
xn (xn a) a xn a a 1 a
取
M max x1 , x2 , , xN , 1 a
则有
xn M ( n 1 , 2 , ) .
由此证明收敛数列必有界.
说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如,
6
Dn
n 多次注射情况下体内药物浓度：第次注 射后体内药量分布图。如果持续下去体 内药物量将稳恒在某一水平上
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7
0, 正数 N , 当 n > N 时, 总有 xn a
几何解释 :
(
a xN 1
几何解释:
y
A
A
A
X o
X
y f (x) x
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13
二、函数的极限
对 y f (x) , 自变量变化过程的六种形式:
(1) x x0 (2) x x0 (3) x x0
(4) x (5) x (6) x
本节内容 :
1、自变量趋于无穷大时函数的极限
2、自变量趋于有限值时函数的极限
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lim
n
xn
b
(m)
m b xn1 xn
x2 x1
x
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(4) 夹挤准则 (准则2)
(1) (2)
yn xn zn ( n
lim
n
yn
lim
n
zn
1, a
2 , )
lim
n
xn
a
证: 由条件 (2) , 0, N1, N2 , 当n N1 时, yn a
数列 (1 )n1 虽有界但不收敛 .
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(3) 单调有界数列必有极限 ( 准则1 )
x1 x2 xn xn1 M
x1 x2
lim
n
xn
a
(M
)
xn xn1 a
M
x
x1 x2 xn xn1 m
xn
b
ba 2
,
从而
xn
源自文库
ab 2
矛盾取. 故Nb假2a设m a不xxn真Nba1!, 因Nbb222此aa,收则敛当数n列3a>a22的bNb极时x限nx, nx必n3满唯ba22a足b一的. 不等式
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性质2. 有极限的数列必定为有界数列.