专题03数列与概率专题篇2019年高考数学理走出题海之黄金100题系列

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2019年高考数学“概率与统计”专题复习(真题+答案)

2019年高考数学“概率与统计”专题复习(真题+答案)

2019年高考数学“概率与统计”专题复习(名师精选重点试题+实战真题演练+答案,建议下载保存) (总计65页,涵盖所有知识点,价值很高,可以达到事半功倍的复习效果,值得下载打印练习)1 随机事件的概率基础自测1.下列说法正确的是( )A.某事件发生的频率为P(A)=1.1B.不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1C.小概率事件就是不可能发生的事件,大概率事件就是必然发生的事件D.某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的 答案 B2.在n 次重复进行的试验中,事件A 发生的频率为n m ,当n 很大时,P(A)与n m的关系是 ( )n mB. P(A)<nm>n mD. P(A)=nm答案3.给出下列三个命题,其中正确命题有 ( )①有一大批产品,已知次品率为10%,从中任取100件,必有10件是次品;②做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此正面出现的概率是73;③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率. 个B.1个C.2个D.3个答案4.已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8,0.12,0.05,则这台纺纱机在1 小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为 , . 答案 0.97 0.035.甲、乙两人下棋,两人和棋的概率是21,乙获胜的概率是31,则乙不输的概率是 . 答案656.抛掷一粒骰子,观察掷出的点数,设事件A 为出现奇数点,事件B 为出现2点,已知P (A )=21,P (B ) =61,则出现奇数点或2点的概率之和为答案32例1 盒中仅有4只白球5只黑球,从中任意取出一只球. (1)“取出的球是黄球”是什么事件?它的概率是多少? (2)“取出的球是白球”是什么事件?它的概率是多少? (3)“取出的球是白球或黑球”是什么事件?它的概率是多少?解 (1)“取出的球是黄球”在题设条件下根本不可能发生,因此它是不可能事件,其概率为0. (2)“取出的球是白球”是随机事件,它的概率是94. (3)“取出的球是白球或黑球”在题设条件下必然要发生,因此它是必然事件,它的概率是1. 例2 某射击运动员在同一条件下进行练习,结果如下表所示:(1)计算表中击中10环的各个频率;(2)这位射击运动员射击一次,击中10环的概率为多少?解 (1)击中10环的频率依次为0.8,0.95,0.88,0.93,0.89,0.906. (2)这位射击运动员射击一次,击中10环的概率约是0.9.例3 (12分)国家射击队的某队员射击一次,命中7~10环的概率如下表所示:求该射击队员射击一次(1)射中9环或10环的概率; (2)至少命中8环的概率; (3)命中不足8环的概率.解 记事件“射击一次,命中k 环”为A k (k ∈N ,k≤10),则事件A k 彼此互斥.2分(1)记“射击一次,射中9环或10环”为事件A ,那么当A 9,A 10之一发生时,事件A 发生,由互斥事件的加法公式得P (A )=P (A 9)+P (A 10)=0.32+0.28=0.60.5分(2)设“射击一次,至少命中8环”的事件为B ,那么当A 8,A 9,A 10之一发生时,事件B 发生.由互斥事件概率的加法公式得P (B )=P (A 8)+P (A 9)+P (A 10) =0.18+0.28+0.32=0.78.9分(3)由于事件“射击一次,命中不足8环”是事件B :“射击一次,至少命中8环”的对立事件:即B 表示事件“射击一次,命中不足8环”,根据对立事件的概率公式得 P ()=1-P (B )=1-0.78=0.22.12分1.在12件瓷器中,有10件一级品,2件二级品,从中任取3件. (1)“3件都是二级品”是什么事件? (2)“3件都是一级品”是什么事件? (3)“至少有一件是一级品”是什么事件?解 (1)因为12件瓷器中,只有2件二级品,取出3件都是二级品是不可能发生的,故是不可能事件. (2)“3件都是一级品”在题设条件下是可能发生也可能不发生的,故是随机事件.(3)“至少有一件是一级品”是必然事件,因为12件瓷器中只有2件二级品,取三件必有一级品. 2.某企业生产的乒乓球被08年北京奥委会指定为乒乓球比赛专用球.日前有关部门对某批产品进行了抽样检测,检查结果如下表所示:(1)计算表中乒乓球优等品的频率;(2)从这批乒乓球产品中任取一个,质量检查为优等品的概率是多少?(结果保留到小数点后三位) 解 (1)依据公式p=nm,可以计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.(2)由(1)知,抽取的球数n 不同,计算得到的频率值虽然不同,但随着抽取球数的增多,却都在常数0.950的附近摆动,所以抽取一个乒乓球检测时,质量检查为优等品的概率为0.950. 3.玻璃球盒中装有各色球12只,其中5红、4黑、2白、1绿,从中取1球. 求:(1)红或黑的概率; (2)红或黑或白的概率.解 方法一 记事件A 1:从12只球中任取1球得红球; A 2:从12只球中任取1球得黑球; A 3:从12只球中任取1球得白球; A 4:从12只球中任取1球得绿球,则 P (A 1)=125,P (A 2)=124,P (A 3)=122,P (A 4)=121. 根据题意,A 1、A 2、A 3、A 4彼此互斥, 由互斥事件概率加法公式得 (1)取出红球或黑球的概率为 P (A 1+A 2)=P (A 1)+P (A 2)=125+124=43. (2)取出红或黑或白球的概率为P (A 1+A 2+A 3)=P (A 1)+P (A 2)+P (A 3) =125+124+122=1211. 方法二 (1)取出红球或黑球的对立事件为取出白球或绿球,即A 1+A 2的对立事件为A 3+A 4, ∴取出红球或黑球的概率为P (A 1+A 2)=1-P (A 3+A 4)=1-P (A 3)-P (A 4) =1-122-121=129=43.(2)A 1+A 2+A 3的对立事件为A 4. P (A 1+A 2+A 3)=1-P (A 4)=1-121=1211.一、选择题1.已知某厂的产品合格率为90%,抽出10件产品检查,则下列说法正确的是( )合格产品少于9件 合格产品多于9件 合格产品正好是9件D.合格产品可能是9件答案2.某入伍新兵的打靶练习中,连续射击2次,则事件“至少有1次中靶”的互斥事件是( )至多有1次中靶 B.2次都中靶 次都不中靶D.只有1次中靶答案3.甲:A 1、A 2是互斥事件;乙:A 1、A 2是对立事件,那么( ).甲是乙的充分条件但不是必要条件甲是乙的必要条件但不是充分条件甲是乙的充要条件甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件答案4.将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数1,2,3,4,5,6的正方体玩具)先后抛掷3次,至少出现一次6点向上的概率是 ( )A.2165 B.21625C.21631D.21691答案 D5.一个口袋内装有一些大小和形状都相同的白球、黑球和红球,从中摸出一个球,摸出红球的概率是0.3,摸出白球的概率是0.5,则摸出黑球的概率是( )D.0.答案6.在第3、6、16路公共汽车的一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公共汽车),有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里,他可乘3路或6路公共汽车到厂里,已知3路车、6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60,则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为( )B.0.60答案 二、填空题7.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为73,乙夺得冠军的概率为41,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 . 答案2819 8.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率是40%,甲不输的概率是90%,则甲、乙二人下成和棋的概率为 . 答案 50% 三、解答题9.某射手在一次射击训练中,射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28,计算这个射手在一次射击中:(1)射中10环或9环的概率; (2)不够7环的概率.解 (1)设“射中10环”为事件A ,“射中9环”为事件B ,由于A ,B 互斥,则 P (A+B )=P (A )+P (B )=0.21+0.23=0.44. (2)设“少于7环”为事件C ,则P (C )=1-P (C )=1-(0.21+0.23+0.25+0.28)=0.03.10.某医院一天派出医生下乡医疗,派出医生人数及其概率如下:求:(1)派出医生至多2人的概率; (2)派出医生至少2人的概率. 解 记事件A :“不派出医生”, 事件B :“派出1名医生”, 事件C :“派出2名医生”, 事件D :“派出3名医生”, 事件E :“派出4名医生”, 事件F :“派出不少于5名医生”. ∵事件A ,B ,C ,D ,E ,F 彼此互斥, 且P (A )=0.1,P (B )=0.16,P (C )=0.3, P (D )=0.2,P (E )=0.2,P (F )=0.04. (1)“派出医生至多2人”的概率为P (A+B+C )=P (A )+P (B )+P (C ) =0.1+0.16+0.3=0.56.(2)“派出医生至少2人”的概率为P (C+D+E+F )=P (C )+P (D )+P (E )+P (F ) =0.3+0.2+0.2+0.04=0.74. 或1-P (A+B )=1-0.1-0.16=0.74.11.抛掷一个均匀的正方体玩具(各面分别标有数字1、2、3、4、5、6),事件A 表示“朝上一面的数是奇数”,事件B 表示“朝上一面的数不超过3”,求P (A+B ).解 方法一 因为A+B 的意义是事件A 发生或事件B 发生,所以一次试验中只要出现1、2、3、5四个可能结果之一时,A+B 就发生,而一次试验的所有可能结果为6个,所以P (A+B )=64=32. 方法二 记事件C 为“朝上一面的数为2”,则A+B=A+C ,且A 与C 互斥. 又因为P (C )=61,P (A )=21,所以P (A+B )=P (A+C )=P (A )+P (C )=21+61=32. 方法三 记事件D 为“朝上一面的数为4或6”,则事件D 发生时,事件A 和事件B 都不发生,即事件A+B 不发生.又事件A+B 发生即事件A 发生或事件B 发生时,事件D 不发生,所以事件A+B 与事件D 为对立事件.因为P (D )=62=31, 所以P (A+B )=1-P (D )=1-31=32. 袋中有12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率为41,得到黑球或黄球的概率是125,得到黄球或绿球的概率是21,试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少? 解 分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件A 、B 、C 、D.由于A 、B 、C 、D 为互斥事件,根据已知得到⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+++21)()(125)()(1)()()(41D P C P C P B P D P C P B P 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===31)(61)(41)(D P C P B P . ∴得到黑球、黄球、绿球的概率各是41,61,31. §2 古典概型1.从甲、乙、丙三人中任选两名代表,甲被选中的概率为( )A.21 B.31 C.32答案 C2.掷一枚骰子,观察掷出的点数,则掷出奇数点的概率为( )A.31 B.41 C.21D.32答案 C3.袋中有2个白球,2个黑球,从中任意摸出2个,则至少摸出1个黑球的概率是( )A.43 B.65 C.61 D.31答案 B4.一袋中装有大小相同,编号为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球,从中有放回地每次取一个球,共取2次,则取得两个球的编号之和不小于15的概率为 ( )A.321 B.641 C.323D.643答案 D5.掷一枚均匀的硬币两次,事件M :“一次正面朝上,一次反面朝上” ;事件N :“至少一次正面朝上” .则下列结果正确的是( )A.P(M)=31,P(N)=21B.P(M)=21,P(N)=21C.P(M)=31,P(N)=43D.P(M)=21,P(N)=43答案例1 有两颗正四面体的玩具,其四个面上分别标有数字1,2,3,4,下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验:用(x ,y )表示结果,其中x 表示第1颗正四面体玩具出现的点数,y 表示第2颗正四面体玩具出现的点数.试写出:基础自测(1)试验的基本事件;(2)事件“出现点数之和大于3”; (3)事件“出现点数相等”.解 (1)这个试验的基本事件为: (1,1),(1,2),(1,3),(1,4), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4).(2)事件“出现点数之和大于3”包含以下13个基本事件:(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3), (3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4). (3)事件“出现点数相等”包含以下4个基本事件: (1,1),(2,2),(3,3),(4,4).例2 甲、乙两人参加法律知识竞答,共有10道不同的题目,其中选择题6道,判断题4道,甲、乙 两人依次各抽一题.(1)甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少? (2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?解 甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题,先抽的有10种抽法,后抽的有9种抽法,故所有可能的抽法是10×9=90种,即基本事件总数是90.(1)记“甲抽到选择题,乙抽到判断题”为事件A ,下面求事件A 包含的基本事件数: 甲抽选择题有6种抽法,乙抽判断题有4种抽法,所以事件A 的基本事件数为6×4=24. ∴P (A )=n m =9024=154. (2)先考虑问题的对立面:“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的对立事件是“甲、乙两人都未抽到选择题”,即都抽到判断题.记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件B ,“至少一人抽到选择题”为事件C ,则B 含基本事件数为4×3= ∴由古典概型概率公式,得P (B )=9012=152, 由对立事件的性质可得 P (C )=1-P (B )=1-152=1513. 例3 (12分)同时抛掷两枚骰子.(1)求“点数之和为6”的概率; (2)求“至少有一个5点或6点”的概率. 解 同时抛掷两枚骰子,可能的结果如下表:共有36个不同的结果.6分 (1)点数之和为6的共有5个结果,所以点数之和为6的概率p=365.9分(2)方法一 从表中可以得其中至少有一个5点或6点的结果有20个,所以至少有一个5点或6点的概率p=3620=95. 12分方法二 至少有一个5点或6点的对立事件是既没有5点又没有6点,如上表既没有5点又没有6点的结果共有16个,则既没有5点又没有6点的概率p=3616=94, 所以至少有一个5点或6点的概率为1-94=95. 12分1.某口袋内装有大小相同的5只球,其中3只白球,2只黑球,从中一次摸出2只球. (1)共有多少个基本事件?(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少?解 (1)分别记白球为1,2,3号,黑球为4,5号,从中摸出2只球,有如下基本事件(摸到1,2号球用(1,2)表示): (1,2),(1,3),(1,4),(1,5), (2,3),(2,4),(2,5),(3,4), (3,5),(4,5).因此,共有10个基本事件.(2)如下图所示,上述10个基本事件的可能性相同,且只有3个基本事件是摸到2只白球(记为事件A ), 即(1,2),(1,3),(2,3),故P (A )=103.故共有10个基本事件,摸出2只球都是白球的概率为103. 2.(2008·山东文,18)现有8名奥运会志愿者,其中志愿者A 1、A 2、A 3通晓日语,B 1、B 2、B 3通晓俄语,C 1、C 2通晓韩语,从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名,组成一个小组. (1)求A 1被选中的概率; (2)求B 1和C 1不全被选中的概率.解 (1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名,其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={(A 1,B 1,C 1),(A 1,B 1,C 2),(A 1,B 2,C 1),(A 1,B 2,C 2),(A 1,B 3,C 1),(A 1,B 3,C 2),(A 2,B 1,C 1),(A 2,B 1,C 2),(A 2, B 2,C 1),(A 2,B 2,C 2),(A 2,B 3,C 1),(A 2,B 3,C 2),(A 3,B 1,C 1),(A 3,B 1,C 2),(A 3,B 2,C 1),(A 3,B 2,C 2),(A 3,B 3,C 1),(A 3,B 3,C 2)}由18个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等,因此这些基本事件的发生是等 可能的.用M 表示“A 1恰被选中”这一事件,则M={(A 1,B 1,C 1),(A 1,B 1,C 2),(A 1,B 2,C 1),(A 1,B 2,C 2),(A 1,B 3,C 1),(A 1,B 3,C 2)}事件M 由6个基本事件组成,因而P (M )=186=31. (2)用N 表示“B 1、C 1不全被选中”这一事件,则其对立事件N 表示“B 1、C 1全被选中”这一事件,由于N ={(A 1,B 1,C 1),(A 2,B 1,C 1),(A 3,B 1,C 1)},事件N 有3个基本事件组成,所以P (N )=183=61,由对立事件的概率公式得 P (N )=1-P (N )=1-61=65. 3.袋中有6个球,其中4个白球,2个红球,从袋中任意取出两球,求下列事件的概率: (1)A:取出的两球都是白球;(2)B :取出的两球1个是白球,另1个是红球.解 设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个小球中任取两个的方法为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共15个.(1)从袋中的6个球中任取两个,所取的两球全是白球的总数,即是从4个白球中任取两个的方法总数,共有6个,即为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4).∴取出的两个球全是白球的概率为P (A )=156=52. (2)从袋中的6个球中任取两个,其中1个为红球,而另1个为白球,其取法包括(1,5),(1,6), (2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)共8个. ∴取出的两个球1个是白球,另1个是红球的概率 P (B )=158.一、选择题1.盒中有1个黑球和9个白球,它们除颜色不同外,其他方面没有什么差别.现由10人依次摸出1个球.设第1个人摸出的1个球是黑球的概率为P 1,第10个人摸出黑球的概率是P 10,则( )10=101P 1B.P 10=91P 1 10=010=P 1答案2.采用简单随机抽样从含有n 个个体的总体中抽取一个容量为3的样本,若个体a 前2次未被抽到,第3次被抽到的概率等于个体a 未被抽到的概率的31倍,则个体a 被抽到的概率为 ( )A.21B.31C.41D.61 答案3.有一个奇数列1,3,5,7,9,…,现在进行如下分组,第一组有1个数为1,第二组有2个数为3、5,第三组有3个数为7、9、11,…,依此类推,则从第十组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为( )A.101B.103 C.51 D.53 答案4.从数字1,2,3中任取两个不同数字组成两位数,该数大于23的概率为( )A.31B.61 C.81D.41 答案5.设集合A={1,2},B={1,2,3},分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ,确定平面上的一个点P (a ,b ),记“点P (a,b )落在直线x+y=n 上”为事件C n (2≤n≤5,n ∈N ),若事件C n 的概率最大,则n 的所 有可能值为 ( )C.2和D.3和答案6.(2008·温州模拟)若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标,则点P 在直线x+y=5下方的概率是( )A.31B.41C.61D.121 答案二、填空题7.(2008·江苏,2)一个骰子连续投2次,点数和为4的概率为 . 答案121 8.(2008·上海文,8)在平面直角坐标系中,从五个点:A (0,0)、B (2,0)、C (1,1)、D (0,2)、 E (2,2)中任取三个,这三点能构成三角形的概率是 (结果用分数表示). 答案54三、解答题9.5张奖券中有2张是中奖的,首先由甲然后由乙各抽一张,求: (1)甲中奖的概率P (A ); (2)甲、乙都中奖的概率; (3)只有乙中奖的概率; (4)乙中奖的概率.解 (1)甲有5种抽法,即基本事件总数为5.中奖的抽法只有2种,即事件“甲中奖”包含的基本事件数为2,故甲中奖的概率为P 1=52. (2)甲、乙各抽一张的事件中,甲有五种抽法,则乙有4种抽法,故所有可能的抽法共5×4=20种,甲、乙都中奖的事件中包含的基本事件只有2种,故P 2=202=101. (3)由(2)知,甲、乙各抽一张奖券,共有20种抽法,只有乙中奖的事件包含“甲未中”和“乙中”两种情况,故共有3×2=6种基本事件,∴P 3=206=103. (4)由(1)可知,总的基本事件数为5,中奖的基本事件数为2,故P 4=52. 10.箱中有a 个正品,b 个次品,从箱中随机连续抽取3次,在以下两种抽样方式下:(1)每次抽样后不放回;(2)每次抽样后放回.求取出的3个全是正品的概率解 (1)若不放回抽样3次看作有顺序,则从a+b 个产品中不放回抽样3次共有A 3b a +种方法,从a 个正品中不放回抽样3次共有A 3a种方法,可以抽出3个正品的概率p=33A A ba a +.若不放回抽样3次看作无顺序,则从a+b 个产品中不放回抽样3次共有C 3b a +种方法,从a 个正品中不放回抽样3次共有C 3a 种方法,可以取出3个正品的概率p=33C C ba a +.两种方法结果一致(2)从a+b 个产品中有放回的抽取3次,每次都有a+b 种方法,所以共有(a+b)3种不同的方法,而3个全是正品的抽法共有a 3种,所以3个全是正品的概率p=333)(⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+b a a b a a . 11.袋中装有黑球和白球共7个,从中任取两个球都是白球的概率为71.现有甲、乙两人从袋中轮流摸球,甲先取,乙后取,然后甲再取……取后不放回,直到两人中有1人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.(1)求袋中原有白球的个数; (2)求取球2次终止的概率; (3)求甲取到白球的概率.解 (1)设袋中有n 个白球,从袋中任取2个球是白球的结果数是2)1(-n n . 从袋中任取2个球的所有可能的结果数为276⨯=21. 由题意知71=212)1(-n n =42)1(-n n , ∴n (n-1)=6,解得n=3(舍去n=-2). 故袋中原有3个白球.(2)记“取球2次终止”为事件A ,则P (A )=6734⨯⨯=72. (3)记“甲取到白球”的事件为B , “第i 次取到白球”为A i ,i=1,2,3,4,5,因为甲先取,所以甲只有可能在第1次,第3次和第5次取球. 所以P (B )=P (A 1+A 3+A 5). 因此A 1,A 3,A 5两两互斥,∴P (B )=P (A 1)+P (A 3)+P (A 5)=73+567334⨯⨯⨯⨯+3456731234⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =73+356+351=3522. (2008·海南、宁夏文,19)为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况,调查部门对某校6名学生进行问卷调查,6人得分情况如下: 5,6,7,8,9,10.把这6名学生的得分看成一个总体. (1)求该总体的平均数;(2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名,他们的得分组成一个样本.求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率. 解 (1)总体平均数为61(5+6+7+8+9+10)=7.5. (2)设A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”. 从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有:(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(5,10),(6,7),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),(7,10),(8,9),(8,10),(9,10),共15个基本结果.事件A 包括的基本结果有:(5,9),(5,10),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),共有7个基本结果.所以所求的概率为P (A )=157. §3 几何概型基础自测1.质点在数轴上的区间[0,2]上运动,假定质点出现在该区间各点处的概率相等,那么质点落在区间 [0,1]上的概率为( )4131C.21D.以上都不对答案2.某人向圆内投镖,如果他每次都投入圆内,那么他投中正方形区域的概率为 ( )A.π2 B.π1C.32D.31答案3.某路公共汽车每5分钟发车一次,某乘客到乘车点的时刻是随机的,则他候车时间不超过3分钟的概率是 ( )A.53B.54 C.52 D.51答案4.设D 是半径为R 的圆周上的一定点,在圆周上随机取一点C ,连接CD 得一弦,若A 表示“所得弦的长大于圆内接等边三角形的边长”,则P (A )= . 答案315.如图所示,在直角坐标系内,射线OT 落在30°角的终边上,任作一条射线OA , 则射线OA 落在∠yOT 内的概率为 . 答案 61例1 有一段长为10米的木棍,现要截成两段,每段不小于3米的概率有多大?解 记“剪得两段都不小于3米”为事件A ,从木棍的两端各度量出3米,这样中间就有10-3-3=4(米).在中间的4米长的木棍处剪都能满足条件, 所以P (A )=103310--=104=0.4. 例2 街道旁边有一游戏:在铺满边长为9 cm 的正方形塑料板的宽广地面上,掷一枚半径为1 cm 的小 圆板,规则如下:每掷一次交5角钱,若小圆板压在正方形的边,可重掷一次;若掷在正方形内,须再交5角钱可玩一次;若掷在或压在塑料板的顶点上,可获1元钱.试问: (1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少? (2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少?解 (1)考虑圆心位置在中心相同且边长分别为7 cm 和9 cm 的正方形围成的区域内,所以概率为22979-=8132. (2)考虑小圆板的圆心在以塑料板顶点为圆心的41圆内,因正方形有四个顶点,所以概率为819ππ=. 例3 (12分)在1升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子,从中随机取出10毫升,含有麦锈病 种子的概率是多少?从中随机取出30毫升,含有麦锈病种子的概率是多少? 解 1升=1 000毫升,2分记事件A :“取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子”. 4分 则P (A )=000110=0.01,即取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子的概率为0.01. 7分记事件B :“取30毫升种子含有带麦锈病的种子”.9分 则P (B )=000130=0.03,即取30毫升种子含有带麦锈病的种子的概率为0.03.12分 例4 在Rt △ABC 中,∠A=30°,过直角顶点C 作射线CM 交线段AB 于M ,求使|AM|>|AC|的概率. 解 设事件D“作射线CM ,使|AM|>|AC|”.在AB 上取点C′使|AC′|=|AC|,因为△ACC′是等腰三角形, 所以∠ACC′=230180-=75°, A μ=90-75=15,Ωμ=90,所以,P (D )=9015=61. 例5 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一人一刻钟,过时即可离 去.求两人能会面的概率.解 以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间,则两人能够会面的充要条件是|x-y|≤15.在如图所示平面直角坐标系下,(x,y )的所有可能结果是边长为60的正方形区域,而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示.由几何概型的概率公式得:P (A )=S S A =222604560-=600302526003-=167.所以,两人能会面的概率是167.1.如图所示,A 、B 两盏路灯之间长度是30米,由于光线较暗,想在其间再随意安装两盏路灯C 、D ,问A 与C ,B 与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少?解 记E :“A 与C ,B 与D 之间的距离都不小于10米”,把AB 三等分,由于中间长度为30×31=10(米),∴P (E )=3010=31. 2.(2008·江苏,6)在平面直角坐标系xOy 中,设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域,E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域,向D 中随机投一点,则落入E 中的概率为 .答案16π 3.如图所示,有一杯2升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升水,求小杯水中含有这个细菌的概率.解 记“小杯水中含有这个细菌”为事件A ,则事件A 的概率只与取出的水的体积有关,符合几何概型的条件.∵A μ=0.1升,Ωμ=2升, ∴由几何概型求概率的公式, 得P (A )=ΩA μμ=21.0=201=0.05. 4.在圆心角为90°的扇形AOB 中,以圆心O 为起点作射线OC ,求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率.解 如图所示,把圆弧 三等分,则∠AOF=∠BOE=30°,记A 为“在扇形AOB 内作一射线OC ,使∠AOC 和∠BOC 都不小于30°”,要使∠AOC 和∠BOC 都不小于30°,则OC 就落在∠EOF 内, ∴P (A )=9030=31. 5.将长为l 的棒随机折成3段,求3段构成三角形的概率.解 设A=“3段构成三角形”,x,y 分别表示其中两段的长度,则第3段的长度为l-x-y. 则试验的全部结果可构成集合Ω={(x ,y )|0<x <l,0<y <l,0<x+y <l},要使3段构成三角形,当且仅当任意两段之和大于第3段,即x+y>l-x-y ⇒x+y >2l,x+l-x-y >y⇒y <2l ,y+l-x-y >x ⇒x <2l . 故所求结果构成集合A=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<>+2,2,2|),(l x l y l y x y x . 由图可知,所求概率为P (A )=的面积的面积ΩA =22212l l ⎪⎭⎫ ⎝⎛∙=41.一、选择题1.在区间(15,25]内的所有实数中随机取一个实数a,则这个实数满足17<a <20的概率是( )A.31 B.21 C.103 D.107答案2.在长为10厘米的线段AB 上任取一点G ,用AG 为半径作圆,则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是( )A.259 B.2516C.103D.51答案3.当你到一个红绿灯路口时,红灯的时间为30秒,黄灯的时间为5秒,绿灯的时间为45秒,那么你看到黄灯的概率是( ) A.121B.83C.161D.65答案4.如图为一半径为2的扇形(其中扇形中心角为90°),在其内部随机地撒一粒黄豆,则它落在阴影部分的概率为()A.π2B.π1 C.21 D.1-π2答案5.在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ,则△PBC 的面积大于4S的概率是 ( ) A.41 B.21 C.43 D.32答案6.已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内有一个内切球O,则在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内任取点M ,点M 在球O 内的概率是( )A.4πB.8πC.6πD.12π答案二、填空题7.已知下图所示的矩形,其长为12,宽为5.在矩形内随机地撒1 000颗黄豆,数得落在阴影部分的黄豆数为550颗,则可以估计出阴影部分的面积约为 .答案 338.在区间(0,1)中随机地取两个数,则事件“两数之和小于56”的概率为 . 答案2517 三、解答题9.射箭比赛的箭靶涂有5个彩色的分环,从外向内白色、黑色、蓝色、红色,靶心为金色, 金色靶心叫“黄心”,奥运会的比赛靶面直径是122 cm ,靶心直径2 cm,运动员在70米 外射箭,假设都能中靶,且射中靶面内任一点是等可能的,求射中“黄心”的概率. 解 记“射中黄心”为事件A ,由于中靶点随机的落在面积为π41×1222 cm 2的大圆 内,而当中靶点在面积为π41×22 cm 2的黄心时,事件A 发生,于是事件A 发生 的概率P (A )=2212242.1241⨯⨯ππ=0.01,所以射中“黄心”的概率为0.01.10.假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6∶30至7∶30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7∶00至8∶00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A )的概率是多少?解 设事件A“父亲离开家前能得到报纸”.在平面直角坐标系内,以x 和y 分别表示报纸送到和父亲离开家的时间,则父亲能得到报纸的充要条件是x≤y,而(x,y)的所有可能结果是边长为1的正方形,而能得到报纸的所有可能结果由图中阴影部分表示,这是一个几何概型问题,A μ=12-21×21×21=87,Ωμ =1, 所以P (A )=ΩμμA =87. 11.已知等腰Rt △ABC 中,∠C=90°.(1)在线段BC 上任取一点M ,求使∠CAM <30°的概率; (2)在∠CAB 内任作射线AM ,求使∠CAM <30°的概率. 解 (1)设CM=x ,则0<x <a.(不妨设BC=a ). 若∠CAM <30°,则0<x <33a , 故∠CAM <30°的概率为P (A )=的长度区间的长度区间),0(33,0a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=33. (2)设∠CAM=θ,则0°<θ<45°. 若∠CAM <30°,则0°<θ<30°, 故∠CAM <30°的概率为 P (B )=的长度的长度)45,0()30,0( =32.设关于x 的一元二次方程x 2+2ax+b 2=0.(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,b 是从0,1,2三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率.(2)若a 是从区间[0,3]任取的一个数,b 是从区间[0,2]任取的一个数,求上述方程有实根的概率.解 设事件A 为“方程x 2+2ax+b 2=0有实根”.当a≥0,b≥0时,方程x 2+2ax+b 2=0有实根的充要条件为a≥b. (1)基本事件共有12个:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1), (3,2).其中第一个数表示a 的取值,第二个数表示b 的取值.。

专题03 数列与概率(专题篇)-2019年高考数学(理)走出题海之黄金100题系列(解析版)

专题03 数列与概率(专题篇)-2019年高考数学(理)走出题海之黄金100题系列(解析版)


.
(2)设
,若 是递增数列,求实数 a 的取值范围.
【答案】(1)an=n;(2)(-1,+∞). 【解析】
解:(1)

=Sn-1+Sn-2,(n≥3).
相减可得:
,∵an>0,an-1>0,∴an-an-1=1,(n≥3).
n=2 时, =a1+a2+a1,∴ =2+a2,a2>0,∴a2=2.因此 n=2 时,an-an-1=1 成立.
.
故答案为: 0.4
12.已知数列 的首项
为数列 的前 项和 若 恒成立,则 的
最小值为______. 【答案】 [来源:] 【解析】
数列 的首项

则:
常数
故数列 是以
为首项,3 为公差的等差数列.
则:
首项符合通项 .
故:


, 由于数列 的前 n 项和 恒成立, 故: ,
则:t 的最小值为 ,
学生对 12 个选择题中每个题的四个选择项都没有把握,最后选择题的得分为 分, 学生对 12 个选择题中
每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的,对其它三个选项都没有把握,选择题的得分为 分,

的值为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】
设 学生答对题的个数为 ,则得分
(分),

,所以
பைடு நூலகம்
,同理设 学生答对题的个数为 ,可知
∴数列{an}是等差数列,公差为 1.∴an=1+n-1=n.
(2)
=(n-1)2+a(n-1),
∵{bn}是递增数列,∴bn+1-bn=n2+an-(n-1)2-a(n-1)=2n+a-1>0, 即 a>1-2n 恒成立,∴a>-1. ∴实数 a 的取值范围是(-1,+∞).

2019年高考必备必考-统计与概率大题汇总_(理科解答含答案)

2019年高考必备必考-统计与概率大题汇总_(理科解答含答案)

一对一个性化辅导教学设计任课老师:关sir统计与概率解答题好比数学题中阅读理解,文字多,需要有一定的文字理解能力和结合实际进行数据分析的能力。

文档题目分三档,A 组是必须要掌握题目,因为这道题目在高考大题中是处于基础性的地位,所以要多做,争取拿满分。

A组1、(本小题满分12分)(F37,2017全国2卷理科)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下:(3)根据箱产量的频率分布直方图,对求新养殖法产量的中位数的估计值(精确到0.01). 附:(1)0.4092;(2)有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关;(3)52.352、(本小题满分12分)(B06理)传统文化就是文明演化而汇集成的一种反映民族特质和风貌的民族文化,是民族历史上各种思想文化、观念形态的总体表征. 教育部考试中心确定了2017年普通高考部分更注重传统文化考核. 某校为了了解高二年级中国数学传统文化选修课的教学效果,进行了一次阶段检测,并从中随机抽取80名同学的成绩,然后就其成绩分为E D C B A ,,,,五个等级进行数据统计如下:根据以上抽样调查数据,视频率为概率.(1)若该校高二年级共有1000名学生,试估算该校高二年级学生获得成绩为B 的人数; (2)若等级E D C B A ,,,,分别对应100分、80分、60分、40分、20分,学校要求“平均分达60分以上”为“教学达标”,请问该校高二年级此阶段教学是否达标?(3)为更深入了解教学情况,将成绩等级为B A ,的学生中,按分层抽样抽取7人,再从中任意抽取3名,求抽到成绩为A 的人数X 的分布列与数学期望.(1)150(2)59,未达标(3)9/7随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;4、(本小题满分12分)(F32,2015全国2卷理科)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,根据用户对产品的满意度评分如下:A地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可)(1)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”,假设两地区用户的评价结果相互独立。

专题13数列与概率2019年高考数学文走出题海之黄金100题系列

专题13数列与概率2019年高考数学文走出题海之黄金100题系列
的排名来划分等级并以此打分得到最后得分.假定 省规定:选考科目按考生成绩从高到低排列,按照占
总体
的,以此赋分 分、 分、 分、 分.为了让学生们体验“赋分制”计算成绩的方
法, 省某高中高一( )班(共 人)举行了以此摸底考试(选考科目全考,单科全班排名,每名学生选
C.
D.
【答案】B 【解析】
设正方形 DEFC 的边长为 ,则
,因此所求概率为
,选 B.
6.已知等差数列 中,
A.10
B.9
【答案】A
【解析】
因为在等差数列 中,
所以
,前 10 项的和等于前 5 的和,若
C.8
D.2
, ,
,则
(),



故选 【解析】 设公差为 d, ∵3a3=7a7,项 a1=1, ∴3(1+2d)=7(1+6d), 解得 d=- ,
∴an=1- (n-1)=

令 an≥0,解得 n=10,
∴数列{an}的前 n 项和的最大值为 S10=10+
故答案为:5
三、解答题
13. 已知数列 的前 项和为 ,满足
参考公式:线性回归方程
,其中


【答案】(1) ;(2)
【解析】






则从 5 名学生中,任取 2 名学生的所有取法为 、 、 、 、 、 、 、 、 、
,共有 10 种情况,
其中至少有一人的物理成绩高于 90 分的情况是 、 、 、 、 、 、 ,共计 7
种,因此选中的学生中至少有一人的物理成绩高于 90 分的概率为 ;
【答案】(1)

2019届理科数学高考中的数列问题(2021年整理)

2019届理科数学高考中的数列问题(2021年整理)

2019届理科数学高考中的数列问题(word版可编辑修改)编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(2019届理科数学高考中的数列问题(word版可编辑修改))的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉,前进的动力。

本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步,以下为2019届理科数学高考中的数列问题(word版可编辑修改)的全部内容。

2019届理科数学高考中的数列问题一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知等差数列{a n}的公差不为0,前n项和S n满足=9S2,S4=4S2,则a2=()A。

B。

C。

D。

2。

[数学文化题]《九章算术》中有一题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗.羊主曰:“我羊食半马。

”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?其意:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿五斗粟。

羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半。

”打算按此比例偿还,问牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟?在这个问题中,牛主人比羊主人多赔偿()A。

斗粟 B。

斗粟 C。

斗粟 D。

斗粟3.已知S n是等比数列{a n}的前n项和,S4=5S2,则的值为()A。

—2或-1 B。

1或2C.±2或—1 D。

±1或±24.已知数列{a n}是公比为2的等比数列,满足a6=a2·a10,设等差数列{b n}的前n项和为S n,若b 9=2a7,则S17=()A。

34 B.39 C。

51 D.68二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知数列{a n}满足2a n·a n+1+a n+1—a n=0,且a1=1,则数列{a n}的通项公式为. 6。

专题3量词的应用跳出题海之高中数学必做黄金100题(原卷版)

专题3量词的应用跳出题海之高中数学必做黄金100题(原卷版)
注意:
(1)全称命题(特称命题)的否定与命题的否定是不同的.全称命题(特称命题)的否定是其全称量词改为存在量词(或存在量词改为全称量词),并把结论否定,而命题的否定是只否定结论即可.从命题形式上看,全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.
(2)含有逻辑联结词的命题的否定是一个难点,其原理是: , .
C. , D. ,
【温馨提醒】全称命题的否定是全称量词变为存在量词,后面否定;特称命题的否定为存在量词变为全称量词,后面否定。
考向2判断全称命题、特称命题的真假性
【2019·山东高考模拟(文))若命题 : , ,命题 : , .则下列命题中是真命题的是()
A. B. C. D.
【温馨提醒】全称命题、特称命题真假判断可以采用举反例和证明。本题是考查与全称命题、特称命题有关的符合命题真假的判断,应先判断全称命题、特称命题的真假。
三.理论基础·解题原理
考点一全称命题、特称命题的否定
1.全称量词与全称命题:
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“ ”表示.常见的全称量词有:“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等.含有全称量词的命题,叫做全称命题.
2.存在量词与特称命题:
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“ ”表示.常见的存在量词有:“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“命题.
考点二判断全称命题、特称命题的真假性
全称命题与特称命题真假的判断方法:
命题名称
真假
判断方法一
判断方法二
全称命题

所有对象使命题真
否定为假

存在一个对象使命题假
否定为真
特称命题

2019年高考数学(理)真题汇编:专题03 导数及其应用

2019年高考数学(理)真题汇编:专题03 导数及其应用

专题03 导数及其应用1、【2019高考全国Ⅲ理数】已知曲线e ln xy a x x =+在点(1,e)a 处的切线方程为2y x b =+,则( )A .e,1a b ==-B .e,1a b ==C .1e 1,a b -==D .1,e 1b a -==-2、【2019高考全国Ⅲ理数】设函数()sin()(0)5f x x ωωπ=+>,已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点,下述四个结论: ①()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点 ②()f x 在(0,2)π有且仅有2个极小值点 ③()f x 在(0,)10π单调递增 ④ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭其中所有正确结论的编号是( ) A .①④B .②③C .①②③D .①③④3、【2019高考天津卷理数】已知R a ∈,设函数222,1()ln ,1x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立,则a 的取值范围为( ) A.[]0,1B.[]0,2C.[]0,eD.[]1,e4、【2019高考全国Ⅰ理数】曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为_______. 5、【2019高考浙江卷】已知R a ∈,函数3()f x ax x =-,若存在R t ∈,使得2|(2)()|3f t f t +-≤,则实数a 的最大值是____. 6、【2019高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中,P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点,则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是__________7、【2019高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中,点A 在曲线ln y x =上,且该曲线在点A 处的切线经过点(e,1)--(e 为自然对数的底数),则点A 的坐标是_________8、【2019高考北京卷理数】设函数f (x )=e x+a e −x(a 为常数).若f (x )为奇函数,则a =________;若f (x )是R 上的增函数,则a 的取值范围是___________.9、【2019高考全国Ⅰ理数】已知函数()sin ln(1)f x x x =-+,()f x '为()f x 的导数.证明:1.()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点; 2.()f x 有且仅有2个零点.10、【2019高考全国Ⅱ理数】已知函数()11ln x f x x x -=-+.1.讨论()f x 的单调性,并证明()f x 有且仅有两个零点;2.设0x 是()f x 的一个零点,证明曲线ln y x =在点00l (,)n A x x 处的切线也是曲线exy =的切线.11、【2019高考全国Ⅲ理数】已知函数32()2f x x ax b =-+. 1.讨论()f x 的单调性;2.是否存在,a b ,使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1?若存在,求出,a b 的所有值;若不存在,说明理由.12、【2019高考天津卷理数】设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数.1.求()f x 的单调区间;2.当,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣π⎦π时,证明()()02f x g x x ⎛⎫π+-≥ ⎪⎝⎭;3.设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242m m ⎛⎫+π+π ⎝π⎪⎭内的零点,其中N n ∈,证明20022sin cos n n n x x e x -ππ+-π<-.13、【2019高考浙江卷】已知实数0a ≠,设函数()=ln 0.f x a x x +>1.当34a =-时,求函数()f x 的单调区间;2.对任意21[,)e x ∈+∞均有()f x ≤ 求a 的取值范围. 注:e 2.71828=⋯为自然对数的底数.14、【2019高考江苏卷】设函数()()()(),,,R f x x a x b x c a b c =---∈、()f 'x 为()f x 的导函数.1.若a b c ==,(4)8f =,求a 的值;2.若,a b b c ≠=,且()f x 和'()f x 的零点均在集合{3,1,3}-中,求()f x 的极小值;3.若0,01,1a b c =<≤=,且()f x 的极大值为M ,求证:427M ≤. 15、【2019高考北京卷理数】已知函数321()4f x x x x =-+. (Ⅰ)求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程; (Ⅱ)当[2,4]x ∈-时,求证:6()x f x x -≤≤;(Ⅲ)设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ,记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M (a ),当M (a )最小时,求a 的值.答案以及解析1答案及解析: 答案:D解析:详解:'ln 1,xy ae x =++1'|12x k y ae ===+= 1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-,故选D .2答案及解析: 答案:D解析:()sin (0)5f x wx w π⎛⎫=+> ⎪⎝⎭,在[0,2]π有且仅有5个零点.02x ∴≤≤π,12555wx w ππ≤+≤π+,1229510w ≤<,④正确.如图213,,x x x 为极大值点为3个,①正确;极小值点为2个或3个.∴②不正确.当010x π<<时,5105w wx f πππ<+<+π,当2910w =时,2920491051001001002w +=+=<ππππππ. ∴③正确,故选D .3答案及解析: 答案:C解析:首先(0)0f ≥,即0a ≥, 当01a ≤≤时,2222()22()22(2)0f x x ax a x a a a a a a a =-+=-+-≥-=->,当1a <时,(1)10f =>,故当0a ≥时,2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立; 若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成立,即ln xa x≤在(1,)+∞上恒成立, 令()ln xg x x =,则2ln 1'()(ln )x g x x -=,易知x e =为函数()g x 在(1,)+∞唯一的极小值点、也是最小值点, 故max()()g x g e e ==,所以a e ≤。

2019年高考真题概率统计专题总结与突破(可下载) 附详细答案解析

2019年高考真题概率统计专题总结与突破(可下载) 附详细答案解析
10
2.【答案解析】
(1)由调查数据,男顾客中对该商场服务满意的比率为 40 0.8 ,因此男顾 50
客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8.
女顾客中对该商场服务满意的比率为 30 0.6 ,因此女顾客对该商场服务满 50
意的概率的估计值为0.6.
(ii)求 p4 ,并根据 p4 的值解释这种试验方案的合理Байду номын сангаас.
5.(2019 年全国卷 2,文数 4 题,满分 5 分)生物实验室有 5 只兔子,其中只有 3
只测量过某项指标,若从这 5 只兔子中随机取出 3 只,则恰有 2 只测量过该指标
的概率为
A.
2 3
B.
3 5
C.
2 5
D.
1 5
6.(2019 年全国卷 2,文数 14、理数 13 题,满分 5 分)我国高铁发展迅速,技术
D . 11 16
4.(2019 年全国卷 1,理数 21 题,满分 12 分)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两
种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮
选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一
只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的
10 人
14 人
1人
(Ⅰ)从全校学生中随机抽取 1 人,估计该学生上个月 A,B 两种支付方式
都使用的概率;
(Ⅱ)从样本仅使用 A 和仅使用 B 的学生中各随机抽取 1 人,以 X 表示这 2
人中上个月支付金额大于 1000 元的人数,求 X 的分布列和数学期望;
(Ⅲ)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用 A
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专题3 数列与概率一、单选题1.某位教师2017年的家庭总收入为80000元,各种用途占比统计如下面的折线图.2018年收入的各种用途占比统计如下面的条形图,已知2018年的就医费用比2017年增加了4750元,则该教师2018年的家庭总收入为()A.100000元B.95000元C.90000元D.85000元【答案】D【解析】由已知得,2017年的就医费用为元,故2018年的就医费用为12750元,所以该教师2018年的家庭总收入为元.故选D2.下图为国家统计局发布的2018年上半年全国居民消费价格指数(CPI)数据折线图,(注:同比是今年第n个月与去年第n个月之比,环比是现在的统计周期和上一个统计周期之比)下列说法错误的是()A.2018年6月CPI环比下降0.1%,同比上涨1.9%B.2018年3月CPI环比下降1.1%,同比上涨2.1%C.2018年2月CPI环比上涨0.6%,同比上涨1.4%D.2018年6月CPI同比涨幅比上月略微扩大0.1个百分点【答案】C【解析】观察表中数据知A,B,D正确,对选项C,2018年2月CPI环比上涨2.9%,同比上涨1.2%,故C错误故选:C3.某所学校在一个学期的开支分布的饼图如图1所示,在该学期的水、电、交通开支(单位:万元)如图2所示,则该学期的电费开支占总开支的百分比为()A.B.C.D.【答案】B【解析】由图1,图2可知:该学期的电费开支占总开支的百分比为×20%=11.25%,故选:B.4.在等比数列中,已知,且,,成等差数列则的前5项和为A.31 B.62 C.64 D.128【答案】B【解析】设等比数列的公比为q,,,,解得.又,,成等差数列,,,解得的前5项和为,故选:B.5. 设为等差数列的前项和,若,,则的最小值为()A.-343 B.-324 C.-320 D.-243【答案】A【解析】∵解得∴设当0<x<7时,当x>7时,,故的最小值为f(7)=-343.故选:A.6.某次考试共有12个选择题,每个选择题的分值为5分,每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的,学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握,最后选择题的得分为分,学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的,对其它三个选项都没有把握,选择题的得分为分,则的值为()A.B.C.D.【答案】A【解析】设学生答对题的个数为,则得分(分),,,所以,同理设学生答对题的个数为,可知,,所以,所以.故选A.二、填空题7.在递增的等比数列中,,,则__________.【答案】【解析】由等比数列的性质可得,所以,,又因为为递增的等比数列,所以,即,所以又,所以,所以8.的展开式中的系数为__________.【答案】40【解析】(2x﹣y)5展开式的通项公式为:T r+1=•(2x)5﹣r(﹣y)r=25﹣r(﹣1)r x5﹣r y r.令5﹣r=2,得r=3;令5﹣r=3,得r=2;∴(x+y)(2x﹣y)5的展开式中x3y3系数为:22×(﹣1)3×+23×(﹣1)2×=40.故答案为:40.9.若已知随机变量,则____.【答案】【解析】随机变量,则.故答案为:.10. 设等差数列的前项和为.若,则______.【答案】65【解析】在等差数列中,由,可得,即,即,,故答案为65.11.体育课上定点投篮项目测试规则:每位同学有次投篮机会,一旦投中,则停止投篮,视为合格,否则一直投次为止.每次投中与否相互独立,某同学一次投篮投中的概率为,若该同学本次测试合格的概率为,则_______.【答案】【解析】由题意可得:,整理可得:,即,该方程存在唯一的实数根.故答案为: 0.412.已知数列的首项为数列的前项和若恒成立,则的最小值为______.【答案】【解析】数列的首项,则:常数故数列是以为首项,3为公差的等差数列.则:首项符合通项.故:,,,由于数列的前n项和恒成立,故:,则:t的最小值为,故答案为:.三、解答题13. 已知数列的前项和为,且.(1)求,;(2)若,的前项和为,求.【答案】(1);(2)【解析】(1)令,得,,得,所以,即.当时,,当时,适合上式,所以.(2)当为偶数时,,当为奇数时,,综上所述,14.已知正数数列{a n}的前n项和为Sn,满足,. (1)求数列{a n}的通项公式;(2)设,若是递增数列,求实数a的取值范围.【答案】(1)a n=n;(2)(-1,+∞).【解析】解:(1),=S n-1+S n-2,(n≥3).相减可得:,∵a n>0,a n-1>0,∴a n-a n-1=1,(n≥3).n=2时,=a1+a2+a1,∴=2+a2,a2>0,∴a2=2.因此n=2时,a n-a n-1=1成立.∴数列{a n}是等差数列,公差为1.∴a n=1+n-1=n.(2)=(n-1)2+a(n-1),∵{b n}是递增数列,∴b n+1-b n=n2+an-(n-1)2-a(n-1)=2n+a-1>0,即a>1-2n恒成立,∴a>-1.∴实数a的取值范围是(-1,+∞).15.已知数列的前项和为,且,(其中为常数),又. (1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.【答案】(1);(2).【解析】(1)由得,,解得,即,----①当时, ----②①-②得,即,∵ 不满足上式,∴(2)依题意得当时,,当时,两式相减得:.显然当时,符合上式∴16.高考改革是教育体制改革中的重点领域和关键环节,全社会极其关注.近年来,在新高考改革中,打破文理分科的“”模式初露端倪.其中“”指必考科目语文、数学、外语,“”指考生根据本人兴趣特长和拟报考学校及专业的要求,从物理、化学、生物、历史、政治、地理六科中选择门作为选考科目,其中语、数、外三门课各占分,选考科目成绩采用“赋分制”,即原始分数不直接用,而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分.假定省规定:选考科目按考生成绩从高到低排列,按照占总体的,以此赋分分、分、分、分.为了让学生们体验“赋分制”计算成绩的方法,省某高中高一()班(共人)举行了以此摸底考试(选考科目全考,单科全班排名,每名学生选三科计算成绩),已知这次摸底考试中的物理成绩(满分分)频率分布直方图,化学成绩(满分分)茎叶图如下图所示,小明同学在这次考试中物理分,化学多分.(1)求小明物理成绩的最后得分;(2)若小明的化学成绩最后得分为分,求小明的原始成绩的可能值;(3)若小明必选物理,其他两科在剩下的五科中任选,求小明此次考试选考科目包括化学的概率.【答案】(1)70分 (2) (3)【解析】(1),此次考试物理成绩落在内的频率依次为,概率之和为小明的物理成绩为分,大于分.小明物理成绩的最后得分为分.(2)因为40名学生中,赋分分的有人,这六人成绩分别为89,91,92,93,93,96;赋分分的有人,其中包含80多分的共10人,70多分的有4人,分数分别为;因为小明的化学成绩最后得分为分,且小明化学多分,所以小明的原始成绩的可能值为;(3)记物理、化学、生物、历史、地理、政治依次为,小明的所有可能选法有:共种,其中包括化学的有共种,若小明必选物理,其他两科在剩下的五科中任选,所选科目包括化学的概率为.17.某中学共有名学生,为调查该校学生每周平均参加体育运动的时间,按性别采用分层抽样的方法,收集了名学生每周平均参加体育运动的时间(单位:小时),分组如下:,,,,,,得到的频率分布直方图如图所示:(Ⅰ)已知这名学生中,有的女生每周平均参加体育运动的时间不足小时,且每周平均参加体育运动的时间不足小时的男生人数与女生人数之比为.请将下面的列联表补充完整,并判断是否有的把握认为“该校学生每周平均参加体育运动的时间与性别有关”;男生女生合计每周平均参加体育运动的时间不足小时每周平均参加体育运动的时间不低于小时合计(Ⅱ)该校决定从每周平均参加体育运动的时间在和内的学生中,采用分层抽样的方法抽取名学生进行问卷调查,然后再从这名学生中随机抽取名学生进行面谈,用表示抽取的名学生中每周平均参加体育运动的时间在内的学生人数,求随机变量的分布列和数学期望.参考公式及数据:,.【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析.【解析】(Ⅰ)由题可得,这名学生中,有名学生每周平均参加体育运动的时间不足小时,其中男生有名,女生有名,每周平均参加体育运动的时间不低于小时的女生有名,由此可得补充完整的列联表如下:男生女生合计每周平均参加体育运动的时间不足小时每周平均参加体育运动的时间不低于小时合计所以的观测值.所以没有的把握认为“该校学生每周平均参加体育运动的时间与性别有关”.(Ⅱ)由题意可知,每周平均参加体育运动的时间在内的有名学生,在内的有名学生,则在内的学生中应抽取名,在内的学生中应抽取名,所以的所有可能取值为,,,因为,,,所以的分布列为所以.18.近年来,随着互联网技术的快速发展,共享经济覆盖的范围迅速扩张,继共享单车、共享汽车之后,共享房屋以“民宿”、“农家乐”等形式开始在很多平台上线.某创业者计划在某景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”,为了确定未来发展方向,此创业者对该景区附近六家“农家乐”跟踪调查了天.得到的统计数据如下表,为收费标准(单位:元/日),为入住天数(单位:),以频率作为各自的“入住率”,收费标准与“入住率”的散点图如图x 50 100 150 200 300 400t 90 65 45 30 20 20(1)若从以上六家“农家乐”中随机抽取两家深入调查,记为“入住率”超过的农家乐的个数,求的概率分布列;(2)令,由散点图判断与哪个更合适于此模型(给出判断即可,不必说明理由)?并根据你的判断结果求回归方程.(结果保留一位小数)(3)若一年按天计算,试估计收费标准为多少时,年销售额最大?(年销售额入住率收费标准)参考数据:【答案】(1)见证明;(2)(3)最大值约为元【解析】(1)的所有可能取值为.则,的分布列(2)由散点图可知更适合于此模型.其中,所求的回归方程为(3)令若一年按天计算,当收费标准约为元/日时,年销售额最大,最大值约为元.19.今有9所省级示范学校参加联考,参加人数约5000人,考完后经计算得数学平均分为113分.已知本次联考的成绩服从正态分布,且标准差为12.(1)计算联考成绩在137分以上的人数.(2)从所有试卷中任意抽取1份,已知分数不超过123分的概率为0.8.①求分数低于103分的概率.②从所有试卷中任意抽取5份,由于试卷数量较大,可以把每份试卷被抽到的概率视为相同,表示抽到成绩低于103分的试卷的份数,写出的分布列,并求出数学期望.参考数据:,,.【答案】(1)114人;(2)①② .【解析】(1)设本次联考成绩为,由题意知在正态分布中,,,因为,所以,故所求人数为(人).(2)①.②由题意易知故,,,,,,0 1 2 3 4 5.20.随着小汽车的普及,“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试,要顺利地拿到驾驶证,他需要通过四个科目的考试,其中科目二为场地考试.在一次报名中,每个学员有5次参加科目二考试的机会(这5次考试机会中任何一次通过考试,就算顺利通过,即进入下一科目考试;若5次都没有通过,则需重新报名),其中前2次参加科目二考试免费,若前2次都没有通过,则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试进行了统计,得到下表:考试情况男学员女学员第1次考科目二人数1200 800第1次通过科目二人数960 600第1次未通过科目二人数240 200若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率,且每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试,在本次报名中,若这对夫妻参加科目二考试的原则为:通过科目二考试或者用完所有机会为止.(1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率;(2)若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过,记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为元,求的分布列与数学期望.【答案】(1);(2)见解析.【解析】事件表示男学员在第次考科目二通过,事件表示女学员在第次考科目二通过(其中).(1)事件表示这对夫妻考科目二都不需要交补考费..(2)的可能取值为400,600,800,1000,1200.,,,,.则的分布列为:400 600 800 1000 1200故 (元).。

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