九年级上册数学知识要点

第21章 一元二次方程考点

1．一元二次方程的判断标准： （1）方程是整式方程

（2）只有一个未知数——（一元）

（3）未知数的最高次数是2——（二次） 三个条件同时满足的方程就是一元二次方程 练习：

1、下面关于x 的方程中：①ax 2+bx+c=0；②3x 2-2x=1；③x+3=

1

x

；④x 2-y=0；④（x+1）2= x 2-1．一元二次方程的个数是 .

2、若方程kx 2+x=3x 2+1是一元二次方程，则k 的取值范围是_________．

3、若关于x 的方程0512

2

=+-+-x k x k

是一元二次方程，则k 的取值范围是

_________．

、若方程（m-1）x |m|+1-2x=4是一元二次方程，则m=______．

2．一元二次方程一般形式及有关概念

一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成一元二次方程的一般形式20 (0)ax bx c a ++=≠ 2ax 是二次项，a 为二次项系数，bx 是一次项，

b 为一次项系数，

c 为常数项。注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号 练习：

1、将一元二次方程3(1)5(2)x x x -=+化成一般形式为_____________，其中二次项系数a =________，一次项系数b=__________，常数项c=__________

3．完全平方式

a 2+2ab+

b 2 a 2-2ab+b 2 练习：

1、说明代数式2241x x --总大于224x x --

2、已知1a a

+求1a a

-的值.

3、若x 2+mx+9是一个完全平方式，则m= ，

若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是 。若942++kx x 是完全平方式，则k = 。

4．整体运算

思路：把一个代数式看成一个整体来求值，然后代入去求另一个代数式的值。 练习：

1、已知x 2+3x+5的值为11，则代数式3x 2+9x+12的值为

2、已知实数x 满足210x x +-=则代数式2337x x ++的值为____________

5．方程的解 练习：

1、已知关于x 的方程x 2+3x+k 2=0的一个根是x=-1，则k=_ __．

2、求以12x 1x 3=-=-，为两根的关于x 的一元二次方程 。

6．方程的解法

⑴ 方 法：①接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法；⑤十字相乘法；

⑵关键点：降次 a

ac b b x 242-±-=

练习：

1、直接开方解法方程

(x-6)2 -3=0 21

(3)22

x -=

2、用配方法解方程

2210x x +-= 2430x x -+=

3、用公式法解方程

03722=+-x x 210x x --=

4、用因式分解法解方程

3(2)24x x x -=- 22(24)(5)x x -=+

5、用十字相乘法解方程

2900x x --= 22100x x +-=

7．一元二次方程根的判别式：2b 4ac ∆=- 练习：

1、关于x 的一元二次方程012)2(2=-+++m x m x . 求证：方程有两个不相等的实数根

2、若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 。

3、关于x 的方程()0212=++-m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是

8．韦达定理

1212,b c x x x x a a

+=-=(a ≠0, Δ=b 2

-4ac ≥0)

使用的前提：（1）不是一般式的要先化成一般式；

（2）定理成立的条件0∆≥ 练习：

1、已知方程25x mx 6=0+-的一个根为x=3,求它的另一个根及m 的值。

2、已知22x 4x 30+-=的两根是x 1 ,x 2 ，利用根于系数的关系求下列各式的值

12

11x x + 22

12

x x + 12(1)(1)x x ++ 212()x x - 3、已知关于x 的一元二次方程x 2－（m+2）x+

14

m 2

－2=0．（1）当m 为何值时，这个方程有两个的实数根．（2）如果这个方程的两个实数根x 1，x 2满足x 12+x 22=18，求m 的值．

9．一元二次方程与实际问题

1、病毒传播问题

2、树干问题

3、握手问题（单循环问题）

4、贺卡问题（双循环问题）

5、围栏问题

6、几何图形（道路、做水箱）

7、增长率、折旧、降价率问题

8、利润问题（注意减少库存、让顾客受惠等字样） 9、数字问题 10、折扣问题

第22章 二次函数考点 1、二次函数的定义

定义： y=ax2＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0 ） 定义要点：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式 练习：

1、y=-x ²，y=2x ²-2/x ，y=100-5 x ²，y=3 x ²-2x ³+5,其中是二次函数的有____个。 2.当m_______时,函数y=(m+1)χ - 2χ+1 是二次函数？

2、二次函数的图像及性质

表达式、对称轴、顶点坐标、位置、增减性、最值、 练习：

1、已知二次函数

（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M 的坐标。

（2）设抛物线与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，求C ，A ，B 的坐标。 （3）x 为何值时，y 随的增大而减少，x 为何值时，y 有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？

（4）x 为何值时，y<0？x 为何值时，y>0？

2、直线y ＝ax ＋c 与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系内大致的图象是……

m m -22

3212-+=x x y