九年级上册数学知识要点

第21章 一元二次方程考点1．一元二次方程的判断标准： （1）方程是整式方程（2）只有一个未知数——（一元）（3）未知数的最高次数是2——（二次） 三个条件同时满足的方程就是一元二次方程 练习：1、下面关于x 的方程中：①ax 2+bx+c=0；②3x 2-2x=1；③x+3=1x；④x 2-y=0；④（x+1）2= x 2-1．一元二次方程的个数是 .2、若方程kx 2+x=3x 2+1是一元二次方程，则k 的取值范围是_________．3、若关于x 的方程05122=+-+-x k x k是一元二次方程，则k 的取值范围是_________．、若方程（m-1）x |m|+1-2x=4是一元二次方程，则m=______．2．一元二次方程一般形式及有关概念一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成一元二次方程的一般形式20 (0)ax bx c a ++=≠ 2ax 是二次项，a 为二次项系数，bx 是一次项，b 为一次项系数，c 为常数项。

注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号 练习：1、将一元二次方程3(1)5(2)x x x -=+化成一般形式为_____________，其中二次项系数a =________，一次项系数b=__________，常数项c=__________3．完全平方式a 2+2ab+b 2 a 2-2ab+b 2 练习：1、说明代数式2241x x --总大于224x x --2、已知1a a+求1a a-的值.3、若x 2+mx+9是一个完全平方式，则m= ，若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是 。

若942++kx x 是完全平方式，则k = 。

4．整体运算思路：把一个代数式看成一个整体来求值，然后代入去求另一个代数式的值。

练习：1、已知x 2+3x+5的值为11，则代数式3x 2+9x+12的值为2、已知实数x 满足210x x +-=则代数式2337x x ++的值为____________5．方程的解 练习：1、已知关于x 的方程x 2+3x+k 2=0的一个根是x=-1，则k=_ __．2、求以12x 1x 3=-=-，为两根的关于x 的一元二次方程 。

6．方程的解法⑴ 方 法：①接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法；⑤十字相乘法；⑵关键点：降次 aac b b x 242-±-=练习：1、直接开方解法方程(x-6)2 -3=0 21(3)22x -=2、用配方法解方程2210x x +-= 2430x x -+=3、用公式法解方程03722=+-x x 210x x --=4、用因式分解法解方程3(2)24x x x -=- 22(24)(5)x x -=+5、用十字相乘法解方程2900x x --= 22100x x +-=7．一元二次方程根的判别式：2b 4ac ∆=- 练习：1、关于x 的一元二次方程012)2(2=-+++m x m x . 求证：方程有两个不相等的实数根2、若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 。

3、关于x 的方程()0212=++-m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是8．韦达定理1212,b c x x x x a a+=-=(a ≠0, Δ=b 2-4ac ≥0)使用的前提：（1）不是一般式的要先化成一般式；（2）定理成立的条件0∆≥ 练习：1、已知方程25x mx 6=0+-的一个根为x=3,求它的另一个根及m 的值。

2、已知22x 4x 30+-=的两根是x 1 ,x 2 ，利用根于系数的关系求下列各式的值1211x x + 2212x x + 12(1)(1)x x ++ 212()x x - 3、已知关于x 的一元二次方程x 2－（m+2）x+14m 2－2=0．（1）当m 为何值时，这个方程有两个的实数根．（2）如果这个方程的两个实数根x 1，x 2满足x 12+x 22=18，求m 的值．9．一元二次方程与实际问题1、病毒传播问题2、树干问题3、握手问题（单循环问题）4、贺卡问题（双循环问题）5、围栏问题6、几何图形（道路、做水箱）7、增长率、折旧、降价率问题8、利润问题（注意减少库存、让顾客受惠等字样） 9、数字问题 10、折扣问题第22章 二次函数考点 1、二次函数的定义定义： y=ax2＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0 ） 定义要点：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式 练习：1、y=-x ²，y=2x ²-2/x ，y=100-5 x ²，y=3 x ²-2x ³+5,其中是二次函数的有____个。

2.当m_______时,函数y=(m+1)χ - 2χ+1 是二次函数？2、二次函数的图像及性质表达式、对称轴、顶点坐标、位置、增减性、最值、 练习：1、已知二次函数（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M 的坐标。

（2）设抛物线与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，求C ，A ，B 的坐标。

（3）x 为何值时，y 随的增大而减少，x 为何值时，y 有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？（4）x 为何值时，y<0？x 为何值时，y>0？2、直线y ＝ax ＋c 与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系内大致的图象是……m m -223212-+=x x y（）考点3、求抛物线解析式的三种方法1、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式y=ax2+bx+c(a≠0)2,顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设抛物线解析式y=a(x-h)2+k(a ≠0)3,交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)练习：1、根据下列条件，求二次函数的解析式。

(1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点；(2)、图象的顶点(2，3)，且经过点(3，1) ；(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点的纵坐标是3 。

2、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。

求a、b、c。

4、a，b，c符号的确定抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：(1)a的符号：上正下负（2）b的符号：左同右异（3）C的符号：上正下负原点零（4）b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定（5）a+b+c的符号：因为x=1时,y=a+b+c,所以a+b+c的符号由x=1时，对应的y值决定。

(6)a-b+c的符号：因为x=-1时,y=a-b+c,所以a-b+c的符号由x=-1时，对应的y值决定。

(7)4a+2b+c的符号：因为x=2时,y=4a+2b+c,所以4a+2b+c的符号由x=2时，对应的y值决定。

(8)4a-2b+c的符号：因为x=-2时,y=4a-2b+c,所以4a-2b+c的符号由x=-1时，对应的y值决定。

以此类推.练习：１、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则a、b、c的符号为（） A、a<0,b>0,c>0 B、a<0,b>0,c<0C、a<0,b<0,c>0D、a<0,b<0,c<02、二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，则a 、b 、c 的符号为（ ） A 、a>0,b>0,c=0 B 、a<0,b>0,c=0 C 、a<0,b<0,c<0 D 、a>0,b<0,c=03、二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，则a 、b 、c 、 △的符号为（ ） A 、a>0,b=0,c>0,△>0 B 、a<0,b>0,c<0,△=0 C 、a>0,b=0,c<0,△>0 D 、a<0,b=0,c<0,△<0要点：熟练掌握a ，b ， c ，△与抛物线图象的关系(上正、下负）(左同、右异)4.抛物线y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象经过原点和 二、三、四象限， 判断a 、b 、c 的符号情况：a 0,b 0,c 0.5.抛物线y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象经过原点,且它的顶点在第三象限，则a 、b 、c 满足 的条件是：a 0,b 0,c 0.6.二次函数y=ax2+bx+c 中，如果a>0，b<0，c<0，那么这个二次函数 图象的顶点必在第 象限要点：先根据题目的要求画出函数的草图，再根据图象以及性质确定结果（数形结合的思想）7.已知二次函数的图像如图所示，下列结论。

⑴a+b+c=0 ⑵a-b+c ﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a其中正确的结论的个数是（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x 轴、y 轴的交点的位置，注意运用数形结合的思想。

考点5、抛物线的平移左加右减，上加下减；左右平移看自变量，上下平移看常数项。

练习：⑴二次函数y=2x2的图象向 平移 个单位可得到y=2x2-3的图象； 二次函数y=2x2的图象向 平移 个单位可得到y=2(x-3)2的图象。

⑵二次函数y=2x2的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的图象。

引申：y=2(x+3)2-4 y=2(x+1)2+2（3）由二次函数y=x2-5x+6的图象.y=x2-5x+64125(2--=x y=x4125(2--=x y6二次函数与一元二次方程的关系 、一元二次方程根的情况与b ²-4ac 的关系我们知道:代数式b2-4ac 对于方程的根起着关键的作用.2、二次函数y=ax ²＋bx ＋c 的图象和x 轴交点的横坐标，便是对应的一元二次方程ax ²＋bx ＋c=0的解。

3、二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x 轴交点有三种情况: (1)有两个交点– 4ac > 0 (2)有一个交点– 4ac= 0 (3)没有交点– 4ac< 0若抛物线y=ax2+bx+c 与x 轴有交点– 4ac ≥0 练习：(1)如果关于x 的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=＿＿＿＿,此时抛物线 y=x2-2x+m 与x 轴有＿＿＿＿个交点.(2)已知抛物线 y=x2 – 8x +c 的顶点在 x 轴上,则c=＿＿＿＿.(3)一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3 x2+x-10与x 轴的交点坐标是＿＿＿＿.(4)已知函数y ＝x 2－（2m ＋4）x ＋m 2－10与x 轴的两个交点间的距离为22，则m ＝___________．(5)若函数y ＝kx 2＋2（k ＋1）x ＋k －1与x 轴只有一个交点，求k 的值．7二次函数的综合运用 已知抛物线y=ax2+bx+c 与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x 轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式. 解:Θ抛物线y=ax2+bx+c 与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同 ∴ a=1或-1又Θ顶点在直线x=1上,且顶点到x 轴的距离为5, ∴ 顶点为(1,5)或(1,-5) 所以其解析式为:(1) y=(x-1)2+5 (2) y=(x-1)2-5 (3) y=-(x-1)2+5 (4) y=-(x-1)2-5 展开成一般式即可. 练习：1．直线y ＝3 x －1与y ＝x －k 的交点在第四象限，则k 的范围是………………（ ）()有两个不相等的实数根方程时当00,0422≠=++>-a c bx ax ac b ():00,0422有两个相等的实数根方程时当≠=++=-a c bx ax ac b ()没有实数根方程时当00,0422≠=++<-a c bx ax ac b（A ）k ＜31 （B ）31＜k ＜1 （C ）k ＞1 （D ）k ＞1或k＜1 2、若a+b+c=0,a 0,把抛物线y=ax2+bx+c 向下平移 4个单位,再向左平移5个单位所到的新抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式. 分析:(1)由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过(1,0) (2) 新抛物线向右平移5个单位,再向上平移4个单位即得原抛物线3、已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象抛物线G 经过（－5，0），（0，25），（1，6）三点，直线l 的解析式为y ＝2 x －3．（1）求抛物线G 的函数解析式； （2）求证抛物线G 与直线l 无公共点；（3）若与l 平行的直线y ＝2 x ＋m 与抛物线G 只有一个公共点P ，求P 点的坐标． 【分析】（1）略；（2）要证抛物线G 与直线l 无公共点，就是要证G 与l 的解析式组成的方程无实数解； （3）直线y ＝2 x ＋m 与抛物线G 只有一个公共点，就是由它们的解析式组成的二元二次方程组有一个解，求出这组解，就得P 点的坐标．第23章 旋转考点1．旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角. 旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度 练习：1、如图，D 是等腰Rt △ABC 内一点，BC 是斜边，如果将△ABD 绕点A 按逆时针方向旋转到△ACD ′的位置，回答下列问题：（1）旋转中心为 ，旋转角度为 度（2）△AD D ′的形状是 。