高中数学6.3.1平面向量基本定理人教A版必修第二册

平面向量基本定理的应用
如图，在△ABC 中，点 M 是 BC 的中点，点 N 在 AC 上，且 AN＝2NC，AM 与 BN 相交于点 P，求 AP∶PM 与 BP∶PN.
【解】 设B→M＝e1，C→N＝e2， 则A→M＝A→C＋C→M＝－3e2－e1，B→N＝B→C＋C→N＝2e1＋e2. 因为 A，P，M 和 B，P，N 分别共线， 所以存在实数 λ，μ 使得A→P＝λA→M＝－λe1－3λe2， B→P＝μB→N＝2μe1＋μe2. 故B→A＝B→P＋P→A＝B→P－A→P＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.
第六章 平面向量及其应用
6．3 平面向量基本定理及坐标表示
6．3.1 平面向量基本定理
第六章 平面向量及其应用
考点
学习目标
核心素养
理解平面向量基本定
平面向量基本定理 理及其意义，了解向量
数学抽象
基底的含义
平面向量基本 定理的应用
掌握平面向量基本定 理，会用基底表示平面 数学抽象、数学运算 向量
问题导学 预习教材 P25－P27 的内容，思考以下问题： 1．基底中两个向量可以共线吗？ 2．平面向量基本定理的内容是什么？
故B→A＝B→P＋P→A＝B→P－A→P＝(λ＋2μ)e1＋(2λ＋μ)e2. 而B→A＝B→C＋C→A＝2e1＋2e2，由平面向量基本定理， 得2λ＋λ＋2μμ＝＝22，， 解得μλ＝＝2323，. 所以A→P＝23A→M，B→P＝23B→N， 所以 AP∶PM＝2，BP∶PN＝2.
作为基底向量，O→A与C→D不共线，可作为基底向量．
用基底表示平面向量
如图所示，在▱ABCD 中，点 E，F 分别为 BC，DC 边 上的中点，DE 与 BF 交于点 G，若A→B＝a，A→D＝b，试用基底 {a，b}表示向量D→E，B→F.
【解】 D→E＝D→A＋A→B＋B→E ＝－A→D＋A→B＋12B→C ＝－A→D＋A→B＋12A→D＝a－12b. B→F＝B→A＋A→D＋D→F ＝－A→B＋A→D＋12A→B＝b－12a.
x＋y＝2.
3.如图，在平行四边形 ABCD 中，设A→C＝a，B→D＝ b，试用基底{a，b}表示A→B，B→C. 解：法一：设 AC，BD 交于点 O，则有A→O＝O→C＝12A→C＝12a，B→O ＝O→D＝12B→D＝12b. 所以A→B＝A→O＋O→B＝A→O－B→O＝12a－12b， B→C＝B→O＋O→C＝12a＋12b.
③因为 e1－2e2＝－12(4e2－2e1)， 所以 e1－2e2 与 4e2－2e1 共线， 即 e1－2e2 与 4e2－2e1 不能作为一组基底． ④设 e1＋e2＝λ(e1－e2)，则(1－λ)e1＋(1＋λ)e2＝0，则11＋－λλ＝＝00，，无 解，所以 e1＋e2 与 e1－e2 不共线，即 e1＋e2 与 e1－e2 能作为一组基 底． 【答案】 ③
法二：设A→B＝x，B→C＝y，则A→D＝B→C＝y， 又AA→ →BD＋－BA→→CB＝＝AB→→CD，， 所以yx－＋xy＝＝ba，，解得 x＝12a－12b，y＝12a＋12b， 即A→B＝12a－12b，B→C＝12a＋12b.
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1．设点 O 是▱ABCD 两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个
平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是( )
①A→D与A→B；②D→A与B→C；③C→A与D→C；④O→D与O→B.
A．①②
B．①③
C．①④
D．③④
解析：选 B.寻找不共线的向量组即可，在▱ABCD 中，A→D与A→B不共
B.23a＋13b
C.35a＋45b
D.45a＋35b
解析：选 B.因为B→D＝12D→A，C→B＝a，C→A＝b，所以C→D＝a＋B→D
＝a＋13B→A＝a＋13(b－a)＝23a＋13b.
2．如图，已知在梯形 ABCD 中，AD∥BC，E，F 分别是 AD， BC 边上的中点，且 BC＝3AD，B→A＝a，B→C＝b.试以{a，b}为 基底表示E→F，D→F.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)基底中的向量不能为零向量．(√ ) (2)平面内的任何两个向量都可以作为一个基底．(× ) (3)若 a，b 不共线，且 λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则 λ1＝λ2，μ1＝μ2. (√ ) (4)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向 量都可被这个基底唯一表示．(√ )
1．[变问法]本例条件不变，试用基底{a，b}表示A→G.
解：由平面几何知识知 BG＝23BF， 故A→G＝A→B＋B→G＝A→B＋23B→F ＝a＋23b－12a ＝a＋23b－13a＝23a＋23b.
2．[变条件]若将本例中的向量“A→B，A→D”换为“C→E，C→F”， 即若C→E＝a，C→F＝b，试用基底{a，b}表示向量D→E，B→F. 解：D→E＝D→C＋C→E＝2F→C＋C→E＝－2C→F＋C→E＝－2b＋a. B→F＝B→C＋C→F＝2E→C＋C→F ＝－2C→E＋C→F＝－2a＋b.
用基底表示向量的两种方法 (1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用 基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一 性求解．
1．在△ABC 中，点 D 在边 AB 上，且B→D＝12D→A，设C→B＝a，C→A
＝b，则C→D为( )
A.13a＋23b
【解析】 ①设 e1＋e2＝λe1，则1λ＝＝10，，无解， 所以 e1＋e2 与 e1 不共线，即 e1 与 e1＋e2 能作为一组基底． ②设 e1－2e2＝λ(e2－2e1)，则(1＋2λ)e1－(2＋λ)e2＝0， 则12＋＋2λ＝λ＝0，0，无解，所以 e1－2e2 与 e2－2e1 不共线，即 e1－2e2 与 e2－2e1 能作为一组基底．
若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其 与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论， 从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向 量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组， 解方程或方程组即得．
1．设{e1，e2}是平面内的一个基底，且 a＝e1＋2e2，b＝－e1＋ e2，则 e1＋e2＝______a＋______b. 解析：由ab＝ ＝－e1＋e1＋2e2e，2 ，解得ee12＝ ＝1313aa－ ＋2313bb， . 故 e1＋e2＝13a－23b＋13a＋13b＝23a＋－13b.
平面向量基本定理 条件 结论
基底
e1，e2 是同一平面内的两个_不__共__线__向__量____
对于这一平面内的任一向量 a，有且只有 一对实数 λ1，λ2，使_a＝__λ_1_e_1＋__λ_2_e_2 _ 若 e1，e2 不共线，把{e1，e2}叫做表示这一 平面内所有向量的一个基底
■名师点拨 (1)e1，e2 是同一平面内的两个不共线的向量，{e1，e2}的选取不唯一， 即一个平面可以有多个基底． (2)基底{e1，e2}确定后，实数 λ1，λ2 是唯一确定的．
B.12(a＋b)
C.12(b－a)
D.12b＋a
解析：选 B.如图，AD 是△ABC 的中线，则 D 为线段
BC 的中点，从而B→D＝D→C，即A→D－A→B＝A→C－A→D，
从而A→D＝12(A→B＋A→C)＝12(a＋b)．
平面向量基本定理的理解
设 e1，e2 是不共线的两个向量，给出下列四组向量： ①e1 与 e1＋e2；②e1－2e2 与 e2－2e1；③e1－2e2 与 4e2－2e1； ④e1＋e2 与 e1－e2. 其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出 满足条件的序号)．
2．[变条件]若本例中的点 N 为 AC 的中点，其他条件不变，求 AP∶PM 与 BP∶PN. 解：如图，设B→M＝e1，C→N＝e2， 则A→M＝A→C＋C→M＝－2e2－e1，B→N＝B→C＋C→N＝ 2e1＋e2. 因为 A，P，M 和 B，P，N 分别共线， 所以存在实数 λ，μ 使得A→P＝λA→M＝－λe1－2λe2， B→P＝μB→N＝2μe1＋μe2.
＝λA→B(λ∈R)，则 x，y 满足的关系是( )
A．x＋y－2＝0
B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0 解析：选 A.由P→A＝λA→B，得O→A－O→P＝λ(O→B－O→A)，即O→P＝(1
＋λ)O→A－λO→B.又 2O→P＝xO→A＋yO→B，所以xy＝＝－2＋2λ2，λ，消去 λ 得
线，C→A与D→C不共线；而D→A∥B→C，O→D∥O→B，故①③可作为基底．
2．点 O 为正六边形 ABCDEF 的中心，则可作为基底的一对向量是 ()
A.O→A，B→C
B.O→A，C→D
C.A→B，C→F
D.A→B，D→E
解析：选 B.由题图可知，O→A与B→C，A→B与C→F，A→B与D→E共线，不能
1．如图在矩形 ABCD 中，若B→C＝5e1，D→C＝3e2，则O→C＝( )
A.12(5e1＋3e2)
B.12(5e1－3e2)
C.12(3e2－5e1)
D.12(5e2－3e1)
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解析：选 A.O→C＝12A→C＝12(B→C＋A→B)
＝12(B→C＋D→C)＝12(5e1＋3e2)．
2．已知非零向量O→A，O→B不共线，且 2O→P＝xO→A＋yO→B，若P→A
而B→A＝B→C＋C→A＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理， 得3λ＋λ＋2μμ＝＝32，， 解得μλ＝＝4535，. 所以A→P＝45A→M，B→P＝35B→N， 所以 AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2.
1．[变问法]在本例条件下，若C→M＝a，C→N＝b，试用 a，b 表示 → CP. 解：由本例解析知 BP∶PN＝3∶2，则N→P＝25N→B， C→P＝C→N＋N→P＝C→N＋25N→B＝b＋25(C→B－C→N) ＝b＋45a－25b＝35b＋45a.
对基底的理解 (1)两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线．若 共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以用这 个基底唯一线性表示出来．设向量 a 与 b 是平面内两个不共线的向 量，若 x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则xy11＝＝yx22.， [提醒] 一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表 示，表达式不一样．
设 e1，e2 是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不 能作为基底的是( )
A．2e1，3e2 C．e1，5e2 答案：B
B．e1＋e2，3e1＋3e2 D．e1，e1＋e2
若 AD 是△ABC 的中线，已知A→B＝a，A→C＝b，则以{a，b}为基
底表示A→D＝( )
A.12(a－b)
答案：23 －13
2．在△ABC 中，D 为 AB 上一点，若A→D＝2D→B，C→D＝13C→A＋λC→B， 则 λ＝______． 解析：因为A→D＝2D→B， 所以A→D＝23A→B＝23(C→B－C→A)． 因为在△ACD 中，C→D＝C→A＋A→D＝C→A＋23(C→B－C→A)＝13C→A＋ 23C→B， 所 答案 以：λ＝23 23.
解：连接 FA，DF.因为 AD∥BC，且 AD＝13BC， 所以A→D＝13B→C＝13b，所以A→E＝12A→D＝16b. 因为B→F＝12B→C，所以B→F＝12b，所以F→A＝B→A－B→F＝a－12b. 所以E→F＝E→A＋A→F＝－A→E－F→A＝－16b－a－12b＝13b－a， D→F＝D→A＋A→F＝－(A→D＋F→A)＝－13b＋a－12b＝16b－a.