2019年全国中考数学真题汇编——专题19几何探究性问题

专题19几何探究型问题

1．(2019•重庆B卷)在ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E．

(1)如图1，若∠D=30°，AB，求△ABE的面积；

(2)如图2，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，且AB=AF．求证：

ED-AG=FC．

【解析】(1)作BO⊥AD于O，如图1所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，∠ABC=∠D=30°，

∴∠AEB=∠CBE，∠BAO=∠D=30°，

∴BO AB，

∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，

∴∠ABE=∠AEB，

∴AE=AB，

∴△ABE的面积AE×BO．

(2)作AQ⊥BE交DF的延长线于P，垂足为Q，连接PB、PE，如图2所示：

∵AB=AE，AQ⊥BE，

∴∠ABE=∠AEB，BQ=EQ，

∴PB=PE，

∴∠PBE=∠PEB，

∴∠ABP=∠AEP，

∵AB∥CD，AF⊥CD，

∴AF⊥AB，

∴∠BAF=90°，

∵AQ⊥BE，

∴∠ABG=∠FAP，

在△ABG和△FAP中，，

∴△ABG≌△AFP，

∴AG=FP，

∵AB∥CD，AD∥BC，

∴∠ABP+∠BPC=180°，∠BCP=∠D，

∵∠AEP+∠PED=180°，

∴∠BPC=∠PED，

在△BPC和△PED中，，

∴△BPC≌△PED，

∴PC=ED，

∴ED-AG=PC-AG=PC-FP=FC．

【名师点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．

2．(2019•山西)综合与实践

动手操作：

第一步：如图1，正方形纸片ABCD沿对角线AC所在的直线折叠，展开铺平．在沿过点C的直线折叠，使点B，点D都落在对角线AC上．此时，点B与点D重合，记为点N，且点E，点N，点F三点在同一条直线上，折痕分别为CE，CF．如图2．

第二步：再沿AC所在的直线折叠，△ACE与△ACF重合，得到图3．

第三步：在图3的基础上继续折叠，使点C与点F重合，如图4，展开铺平，连接EF，FG，GM，ME．如图5，图中的虚线为折痕．

问题解决：

(1)在图5中，∠BEC的度数是__________，的值是__________．

(2)在图5中，请判断四边形EMGF的形状，并说明理由；

(3)在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形(正方形除外)，并写出这个菱形：__________．

【解析】(1)由折叠的性质得：BE=EN，AE=AF，∠CEB=∠CEN，∠BAC=∠CAD，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠EAF=90°，

∴∠AEF=∠AFE=45°，

∴∠BEN=135°，

∴∠BEC=67.5°，

∴∠BAC=∠CAD=45°，

∵∠AEF=45°，

∴△AEN是等腰直角三角形，

∴AE EN，

∴，

故答案为：67.5°，．

(2)四边形EMGF是矩形．理由如下：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B=∠BCD=∠D=90°，

由折叠的性质得：∠BCE=∠ECA=∠ACF=∠FCD，CM=CG，∠BEC=∠NEC=∠NFC=∠DFC，

∴∠BCE=∠ECA=∠ACF=∠FCD22.5°，∠BEC=∠NEC=∠NFC=∠DFC=67.5°，

由折叠可知：MH、GH分别垂直平分EC、FC，

∴MC=ME=CG=GF，

∴∠MEC=∠BCE=22.5°，∠GFC=∠FCD=22.5°，

∴∠MEF=90°，∠GFE=90°，

∵∠MCG=90°，CM=CG，

∴∠CMG=45°，

∵∠BME=∠BCE+∠MEC=22.5°+22.5°=45°，

∴∠EMG=180°-∠CMG-∠BME=90°，

∴四边形EMGF是矩形．

(3)连接EH、FH，如图所示：

∵由折叠可知：MH、GH分别垂直平分EC、FC，同时EC、FC也分别垂直平分MH、GH，

∴四边形EMCH与四边形FGCH是菱形，

故答案为：菱形EMCH或菱形FGCH．

【名师点睛】本题是几何变换综合题，考查了正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定、菱形的判定、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握折叠的性质、矩形与菱形的判定是解题的关键．

3．(2019•河北)如图1和2，ABCD中，AB=3，BC=15，tan∠DAB．点P为AB延长线上一点，过点A作⊙O切CP于点P，设BP=x．

(1)如图1，x为何值时，圆心O落在AP上？若此时⊙O交AD于点E，直接指出PE与BC的位置关

系；

(2)当x=4时，如图2，⊙O与AC交于点Q，求∠CAP的度数，并通过计算比较弦AP与劣弧长度的大小；

(3)当⊙O与线段AD只有一个公共点时，直接写出x的取值范围．

【解析】(1)AP经过圆心O，

∵CP与⊙O相切于P，∴∠APC=90°，

∵ABCD，∴AD∥BC，

∴∠PBC=∠DAB，

∴tan∠PBC=tan∠DAB，设CP=4k，BP=3k，由CP2+BP2=BC2，

得(4k)2+(3k)2=152，解得k1=-3(舍去)，k2=3，

∴x=BP=3×3=9，

故当x=9时，圆心O落在AP上，

∵AP是⊙O的直径，∴∠AEP=90°，

∴PE⊥AD，

∵ABCD，∴BC∥AD，

∴PE⊥BC．

(2)如图2，过点C作CG⊥AP于G，

∵ABCD，∴BC∥AD，