工程力学六 弯曲变形解析

平面曲线(挠曲线) w f (x)
上任意点的曲率公式。
对于小挠度情形有
dw 2 dx
1
d2w M (x)
dx2
EI
d2w M (x)
dx2
EI
d 2w dx 2
0
d2w M (x) dx2 EI
——挠曲线的近似微分方程
d 2w dx 2
0
d2w M (x) dx2 EI
d2w M (x) dx2 EI
x
挠曲线方程： w f (x)
转角方程： tan f (x) dw
四、画绕曲线近似形状的方法 1、考虑支座的约束特点
固定端：w = 0,θ = 0
铰支座：w
=
A
0,w =
B
0
2、考虑弯矩的变化
弯矩为正，下凸
A
弯矩为负，上凸
弯矩为O的线段，直线 M 弯矩为O的点，拐点
P
P
B
x
例：
M
PL 2
b2
3x22 )
3l b
( x2
a)
2
Pb
C
x
x2
B
l
RB
EIw2
Pb 6l
(l 2
b2
3x22 )x2
l b
(
x2
a)3
5.求最大转角和最大挠度 对简支梁受集中力，最大转角一般在
两端截面上:
A
w1
x1 0
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
Px (x 2l)
2 EI w Px2 (x 3l)
6EI
max
B
Pl 2 2 EI
wmax
wB
Pl3 3EI
例：试求图示简支梁的弯曲变形（抗弯刚度:EIz） y
a
Pb
解：1.求支反力、写出弯矩方程；
AC段： M1 RPlAbxx11
CB段： M2 PRlbAxx22 PP((xx22aa) )
最大转角和最大挠度分别为：
wk.baidu.com
得：
ql 3 C ,
D0
24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
q (6lx2 4x3 l 3 )
24 EI
w qx (2lx2 x3 l3) 24EI
max
A
B
ql 3 24EI
wmax
w
x l 2
5ql 4 384EI
例： 已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集中力P作用下的转角方
程、挠曲线方程，并确定θmax和wmax。
解：EIw M (x) EIw Px Pl
M(x) P(l x)
y
P
EIw P x2 Plx C 2
EIw P x3 Pl x2 Cx D 62
A
x l
B
x
由边界条件： x 0时，w 0,w 0 CD0
最大转角和最大挠度分别为：
方程、挠曲线方程，并确定θmax和wmax。
EIw M (x) 解： EIw ql x q x2
y
22
EIw ql x2 q x3 C 46
EIw ql x3 q x4 Cx D
x
12 24
M (x) ql x q x2 22
q
x l
由边界条件： x 0时，w 0 x l时，w 0
三、弯曲变形的基本概念
纵向对称面
1、挠曲线
对称轴 轴线
梁在平面弯曲时，其轴线在载荷作用平面（纵向对称面） 内，变成了一条曲线，该曲线称为挠曲线。
特点： 连续光滑 表示： w=f(x)，它是坐标x的连续函数。
2.挠度和转角 : 是度量弯曲变形的两个基本量
y
规定：向上的挠度为正 逆时针的转角为正
w x
第六章 弯曲变形
§6.1 概述
一、工程中的弯曲实例
在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外，还要求 变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正常工作。
摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度， 甚至会出现废品。
桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难，出现爬坡现象。
当x1 x2 a时,
w1 w2 (1 2 )
w1 w2
EIw2
Pb l
x2
P( x2
a)
CB段：
EIw2
EI2
Pb l
x22 2
P
( x2
a)2 2
C2
EIw2
Pb l
x23 6
P
( x2
a)3 6
C2 x2
D2
由连续性条件，可求得
C1 C2
D1 D2
由边界条件，可求得
C1
C2
Pb 6l
(l 2
b2)
D1 D2 0
最后得转角方程和挠曲线方程为：
AC段： (0 x1 a)
EIw1 EIw1
EIz1
Pbx1 (l 2 6l
Pb (l 2 6l b2
b2 x12 )
3x12
)
CB段： (a x2 l)
ya
A
x1
RA
EIw2
EI z 2
Pb 6l
(l 2
0 x1 a a x2 l
2.列出挠曲线微分方程，并积分；
C
A
x1
x2
l
RA
Pb l
3.列出边界条件；
x
B
RB
Pa l
EIw M (x) AC段：
EIw1
Pb l
x1
EIw1
EI z1
Pb l
x12 2
C1
EIw1
Pb l
x13 6
C1x1
D1
x1 0时, w1 0
x2 l时, w2 0 4.连续性条件；
二、积分法求弯曲变形
由挠曲线近似微分方程，
dw dx
M ( x) EI
d
x
C
d2w M (x) dx2 EI
得：
w
M ( x) EI
d
x
C
d
x
D
对于等截面直梁，有：
EI M(x)d x C
EIw M (x)d x d x Cx D
说明：
（1）若M（x）方程 或 EI有变化，则应分段。 （2）C、D为积分常数，由边界条件和连续性条件确定。
确定积分常数： （1）边界条件
固定端：w = 0,θ = 0
铰支座：w
=
A
0,w =
B
0
（2）连续性条件
梁的挠曲线是一条连续而光滑的曲线，因此在挠曲线的
任一点处（如：弯矩方程的分界处，截面的突变处）左右 两截面的转角和挠度均相等。
A
例： 已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均布载荷q作用下的转角
M pa
P PL
2
PL 2
x
P
qa2
2
q
M
qa
x qa 2 2
x
pa
§6.2 挠曲线近似微分方程及其积分
一、挠曲线近似微分方程的导出
力学公式 数学公式
1 M z (x)
EIz
d 2w
1
dx2
[1 ( dw)2 ]3/2
dx
纯弯曲梁变形后中性层的曲率 公式，对于横力弯曲（l>5h） 可近似使用。EIZ称为梁的抗 弯刚度。
但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足 特定的工作需要。
例如，车辆上的叠板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的 冲击和振动作用。
P
P
2
2
P
二、计算弯曲变形的目的
1、研究刚度 控制变形：齿轮轴，镗刀杆 使用变形：叠板弹簧，跳水板
2、解静不定问题 3、确定梁弯曲的动载系数。