工程力学六 弯曲变形解析
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材料力学 第六章 弯曲变形分析
（3）确定积分常数
w x0 0
w xl 0
EIw ql x q x2 22
D0
C ql3 24
D 0 , C ql3 24
EIw ql x2 q x3 C
4
6
EIw ql x3 q x4 Cx D 12 24
得挠度、转角表达式：
w
1 EI
ql
4
x2
q x3 6
B
ql 3 24EI
ql 3
max
24EI
3、分段积分问题
当梁上的外力将梁分为数段时，由于各段 梁的弯矩方程不同，因而梁的挠曲线近似微分 方程需分段列出。相应地各段梁的转角方程和 挠曲线方程也随之而异。
AC段：
EIy1 M1( x)
积分常数：C、 D
x 0,
两个边界条件：
x l,
连续条件：
说明1：当用轴线图表 示梁时，
挠度是轴线上各点沿铅 垂方向的线位移。
转角则是挠曲线上对应 点的切线的倾角
说明2：挠度以向上为正（与w轴正向一致），反之为负
转角以绕中性轴逆时针转动为正，反之为负。
3、挠曲线近似微分方程
（1）挠曲线方程 挠度随x变化的规律：
w f (x)
（2）转角方程
转角随x变化的规律： f1( x)
ql3
q
24
24EI
l3
6lx2
4x3
w
1 EI
ql 12
x3
q 24
x4
ql3 24
x
qx 24EI
l3 2lx2
x3
（教材173页表6-3序9）
（4）求最大转角和最大挠度
由对称性可知，最大挠度在梁的中点处，将x=l/2代入（f），
工程力学第六章 弯曲变形
荷情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形
状和梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，
就应从上述各种因素入手。
一、增大梁的抗弯刚度EI 二、减小跨度或增加支承 三、改变加载方式 48EI
作 业
1、2、4（a、e)
§6-3 用叠加法计算梁的变形 梁的刚度计算
一、用叠加法计算梁的变形
在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下, 载荷与它所引起的变形成线性关系。 当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引 起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个 载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分 别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。
例： 梁AB，横截面为边长为a的正方形，
弹性模量为E1；杆BC，横截面为直径为d的圆 形，弹性模量为E2。试求BC杆的伸长及AB梁 中点的挠度。
例：用叠加法求图示梁B端的挠度和转角。
解：
二、梁的刚度计算
刚度条件：
max [ ] max [ ]
[w]、[θ]是构件的许可挠度和转角，它们决定
q
B
x
l
由边界条件： x 0时， 0 x l时， 0
ql 3 , D0 得： C 24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
y
q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI
q
B
x
l
A qx (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
ql 3 24 EI
l 2
x
P AC 解： 段：M ( x ) x 2 y P EI " x 2 A P 2 EI ' x C x 4 l 2 P 3 EI x Cx D 12
材料力学课件-6弯曲变形
对称截面形状
对称的截面可以减小弯曲变形和应力。
非对称截面形状
非对称的截面会导致不均匀的弯曲应力分布。
材料的弯曲变形特性
1 弯曲模量衡量材料的抗弯能力，源自 材料的刚度有关。2 弯曲强度
材料能够承受的最大弯曲 应力。
3 弯曲韧度
材料在弯曲变形下能够吸 收的能量。
测量材料的弯曲模量的方法
1
简支梁试验
通过在两个支点上加力，测量梁的挠度
梁的截面形状对弯曲变形的影响
形状对称性
对称的截面形状可以减小弯曲变形。
截面面积
较大的截面面积可降低弯曲应力和变形。
截面离心率
截面离心率越小，弯曲变形越小。
欧拉公式的介绍
欧拉公式描述了弯曲梁的变形和应力之间的关系。它是弯曲变形的经典理论基础，广泛应用于工程设计和结构 分析中。
对称性在弯曲变形中的应用
三点弯曲试验
2
来计算弯曲模量。
在梁的中间施加力，测量梁的挠度和应
力来计算弯曲模量。
3
四点弯曲试验
在梁的两端和中间分别施加力，测量梁 的挠度和应力来计算弯曲模量。
弯曲变形在工程设计中的应用
桥梁设计
弯曲变形是桥梁结构中常见的变形，需要考虑材料 的弯曲特性。
建筑设计
梁在建筑中承担重要的结构作用，需要考虑弯曲变 形。
材料力学课件ppt-6弯曲 变形
本节将介绍弯曲变形的定义和原理，讨论梁的截面形状对弯曲变形的影响， 以及欧拉公式的应用。还将探讨对称性在弯曲变形中的重要性，介绍材料的 弯曲变形特性，并介绍测量材料弯曲模量的方法。最后，我们将探讨弯曲变 形在工程设计中的应用。
弯曲变形的定义和原理
弯曲变形是指材料在承受外部力矩作用下产生的曲线形变。这种变形是由梁 的纵向拉伸和压缩引起的。
工程力学-材料力学第六章弯曲变形
3、梁的刚度条件为： 、梁的刚度条件为： 解得
Fl 3 l ≤ 48EI z 500
500 Fl 2 500 × 35 ×103 × 4 2 Iz ≥ = = 2.92 × 10 −5 m 4 48 E 48 × 200 × 109
由型钢表中查得， 工字钢的弯曲截面系数Wz＝ 由型钢表中查得，22a工字钢的弯曲截面系数 ＝3.09×l0-4m3 ，惯性 工字钢的弯曲截面系数 × 可见．选择.22a工字钢作梁将同时满足强度和刚度要求。 工字钢作梁将同时满足强度和刚度要求。 矩Iz=3.40×10-5m4，可见．选择 × 工字钢作梁将同时满足强度和刚度要求
解： 1、作出梁的弯矩图 、
得： M max
Fl 35 × 103 × 4 = = = 35 ×103 N ⋅ m 4 4
35 ×103 = = 2.19 × 10 − 4 m 3 160 × 106
2、根据弯曲正应力强度条件，要求 、根据弯曲正应力强度条件， NhomakorabeaM图 图
Fl / 4
Wz ≥
M max
[σ ]
§6–4 用叠加法求梁的变形
从上节可知， 从上节可知 ， 梁的转角和挠度都与梁上的荷载成线性关 于是，可以用叠加法来计算梁的变形。 系 。于是 ， 可以用叠加法来计算梁的变形。 几个荷载共同作 用下梁任意横截面上的变形， 用下梁任意横截面上的变形， 等于每个荷载单独作用时该截 面的变形的叠加。 面的变形的叠加。 即梁在几个荷载同时作用时，其任一截面处的转角或挠 即梁在几个荷载同时作用时 ， 度等于各个荷载分别单独作用时梁在该截面处的转角或挠度 的代数和。 的代数和。 梁在简单荷载作用下的转角和挠度可从表中查得。 梁在简单荷载作用下的转角和挠度可从表中查得。
工程力学第6章 弯曲变形_gs
1
M (x) EI
z
[1 (
d y dx dy dx
2 3
2
数学公式
以上两式消去
1
(x)
) ]2
2
，得：
[1 ( d
2
y
2 3
dx dy dx
M (x) EI
z
) ]
2
2
材料力学
弯曲变形/挠曲线的近似微分方程 小挠度情形下：
d
2
dy dx
1
[1 (
x L 代入得：
B 2
材料力学
xL
Fab ( L a ) 6 LEI
弯曲变形/用积分法求梁的变形 5、求 y max 。
由 dy dx
A
Fb ( L b )
2 2
0 求得 y max 的位置值x。
0,
C 1
6 LEI
xa
Fab ( a b ) 3 LEI
弯曲变形/变形的基本概念
连续光滑曲线；铰支座对位移的限制
材料力学
弯曲变形/变形的基本概念
连续光滑曲线；固定端对位移的限制
材料力学
弯曲变形/变形的基本概念
对于拉伸（压缩)、扭转变形定积分 对于梁的位移不定积分
材料力学
弯曲变形/挠曲线的近似微分方程
二、挠曲线的近似微分方程
力学公式
1
(x)
11 ql
4
384 EI
材料力学
48 EI
384 EI
弯曲变形/梁的刚度校核 提高梁弯曲刚度的措施 四、梁的刚度校核 提高梁弯曲刚度的措施 刚度条件：
M (x) EI
z
[1 (
d y dx dy dx
2 3
2
数学公式
以上两式消去
1
(x)
) ]2
2
，得：
[1 ( d
2
y
2 3
dx dy dx
M (x) EI
z
) ]
2
2
材料力学
弯曲变形/挠曲线的近似微分方程 小挠度情形下：
d
2
dy dx
1
[1 (
x L 代入得：
B 2
材料力学
xL
Fab ( L a ) 6 LEI
弯曲变形/用积分法求梁的变形 5、求 y max 。
由 dy dx
A
Fb ( L b )
2 2
0 求得 y max 的位置值x。
0,
C 1
6 LEI
xa
Fab ( a b ) 3 LEI
弯曲变形/变形的基本概念
连续光滑曲线；铰支座对位移的限制
材料力学
弯曲变形/变形的基本概念
连续光滑曲线；固定端对位移的限制
材料力学
弯曲变形/变形的基本概念
对于拉伸（压缩)、扭转变形定积分 对于梁的位移不定积分
材料力学
弯曲变形/挠曲线的近似微分方程
二、挠曲线的近似微分方程
力学公式
1
(x)
11 ql
4
384 EI
材料力学
48 EI
384 EI
弯曲变形/梁的刚度校核 提高梁弯曲刚度的措施 四、梁的刚度校核 提高梁弯曲刚度的措施 刚度条件：
《材料力学》课程讲解课件第六章弯曲变形
成为一条曲线，这条曲线称为挠曲线。
F
q
M
轴线
弯曲后梁的轴线 （挠曲线）
纵向对称面
2. 梁变形的度量—挠度、转角
挠曲线
转角
(1) 挠度w：截面形心在y方
y
C’
向的位移。 向上为正
w 挠度 (2)挠曲线：变形后梁的轴线
x
C
x
F
挠曲线方程： w f (x)
⑶ 转角θ：截面绕中性轴转过的角度。（挠曲线法线与y轴的
是上面求得的 B，由此引起的A端挠度w1= B·a应叠加到图
b所示悬臂梁的A端挠度w2上去才是原外伸梁的A端挠度wA ：
wA w1 w2
1 3
qa3 EI
a
2q a4
8EI
7 qa4 12 EI
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
边界条件： A 0
wA 0
连续条件： B左 B右 wB左 wB右
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
wA 0
解：边界条件：A 0
wC 0
wD左 wD右
连续条件：D左 D右
wB左 wB右
例题6.1 求梁的转角和挠曲线方程， w
并求最大转角、最大挠度，EI已知。 A
已知结果，先将均布载荷延长至
梁的全长；
为不改变原载荷的作用效果，
在AB 段加上集度相同、方向相 反的均布载荷。
wC1
⑵ 计算两种载荷下的wC和C 。
wC1
ql 4 8EI
C1
ql 3 6EI
wB 2
wC 2
wB 2
B2
l 2
C 2
ql 3 48EI
wC 2
ql 4 ql3 l 128EI 48EI 2
F
q
M
轴线
弯曲后梁的轴线 （挠曲线）
纵向对称面
2. 梁变形的度量—挠度、转角
挠曲线
转角
(1) 挠度w：截面形心在y方
y
C’
向的位移。 向上为正
w 挠度 (2)挠曲线：变形后梁的轴线
x
C
x
F
挠曲线方程： w f (x)
⑶ 转角θ：截面绕中性轴转过的角度。（挠曲线法线与y轴的
是上面求得的 B，由此引起的A端挠度w1= B·a应叠加到图
b所示悬臂梁的A端挠度w2上去才是原外伸梁的A端挠度wA ：
wA w1 w2
1 3
qa3 EI
a
2q a4
8EI
7 qa4 12 EI
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
边界条件： A 0
wA 0
连续条件： B左 B右 wB左 wB右
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
wA 0
解：边界条件：A 0
wC 0
wD左 wD右
连续条件：D左 D右
wB左 wB右
例题6.1 求梁的转角和挠曲线方程， w
并求最大转角、最大挠度，EI已知。 A
已知结果，先将均布载荷延长至
梁的全长；
为不改变原载荷的作用效果，
在AB 段加上集度相同、方向相 反的均布载荷。
wC1
⑵ 计算两种载荷下的wC和C 。
wC1
ql 4 8EI
C1
ql 3 6EI
wB 2
wC 2
wB 2
B2
l 2
C 2
ql 3 48EI
wC 2
ql 4 ql3 l 128EI 48EI 2
工程力学课件-第6章弯曲变形
§6.1 工程中的弯曲变形问题
一、工程实例
F
F
2
2
F F
§6.1 工程中的弯曲变形问题
§6.2 挠曲线的微分方程
二、基本概念
1、挠度
y
横截面形心 C 在垂直于 x
A
轴方向的线位移. 用w表示.
符号: 挠度向上为正，向下 为负. 2、转角 横截面对其原来位置的角位
移. 用 表示
C Bx
w
C' B
⒉使集中力分散
d 2v dx 2
M EI z
f max
Pl 3 48EI
f max
5ql 4 384EI
5Pl 3 384EI
⒊使跨度L减小
f max
Pl 3 48EI
⒋当跨度不能变时，可改善支承条件。
㈡选择合理的截面形状，增大惯性矩 ⒈工字形、槽形、T字形等比矩形圆形好。 ⒉波形板比平板好。
x3
Fl 2
x2
⑷最大挠度、最大转角
y
F
A
Bx
w
l
EI
F 2
x2
Flx C
EIw
F 6
x3
1 2
Flx2
Cx
D
max
B
Fl 2 2EI
wmax
wB
Fl 3 3EI
§6.3 用积分法求弯曲变形
已知:如图，EI，求：θ(x)，w(x)，最大挠度、最大转角。
解： (1) 求支反力
C1
Fb 2l
一、工程实例
F
F
2
2
F F
§6.1 工程中的弯曲变形问题
§6.2 挠曲线的微分方程
二、基本概念
1、挠度
y
横截面形心 C 在垂直于 x
A
轴方向的线位移. 用w表示.
符号: 挠度向上为正，向下 为负. 2、转角 横截面对其原来位置的角位
移. 用 表示
C Bx
w
C' B
⒉使集中力分散
d 2v dx 2
M EI z
f max
Pl 3 48EI
f max
5ql 4 384EI
5Pl 3 384EI
⒊使跨度L减小
f max
Pl 3 48EI
⒋当跨度不能变时，可改善支承条件。
㈡选择合理的截面形状，增大惯性矩 ⒈工字形、槽形、T字形等比矩形圆形好。 ⒉波形板比平板好。
x3
Fl 2
x2
⑷最大挠度、最大转角
y
F
A
Bx
w
l
EI
F 2
x2
Flx C
EIw
F 6
x3
1 2
Flx2
Cx
D
max
B
Fl 2 2EI
wmax
wB
Fl 3 3EI
§6.3 用积分法求弯曲变形
已知:如图，EI，求：θ(x)，w(x)，最大挠度、最大转角。
解： (1) 求支反力
C1
Fb 2l
工程力学c材料力学部分第六章 弯曲变形
q
A l/2
C l
B
解：此梁上的荷载可视为 正对称和反对称荷载的叠加， 正对称和反对称荷载的叠加， 如图所示。 如图所示。 正对称荷载作用下：
q/2
5(q / 2)l 4 5ql 4 wC1 = − =− 384 EI 768 EI
B
(q / 2)l 3 ql 3 θ A1 = −θ B1 = =− 24 EI 48EI
w P A a D
a
A C a H a B
EI
Pl 3 wB = − 3 EI
P
B
l
Pl 2 θB = − 2 EI
P A a 2a 2a C B
P/2
P/2 B
P/2
=
A
+
P/2
力分解为关于中截面的对称和反对称力( )之和的形式。 解：将P力分解为关于中截面的对称和反对称力(P/2)之和的形式。 力分解为关于中截面的对称和反对称力 显然，在反对称力( / )作用下， 显然，在反对称力(P/2)作用下，wc=0 对称力作用的简支梁， 对称力作用的简支梁，可以等效为悬臂梁受到两个力的作用 的问题。 的问题。
wA=0 θA=0
B
②、变形连续条件 变形连续条件： 连续条件
P A C θC左 wC左= wC右， =θ C右 B
的悬臂梁， 例1：图示一弯曲刚度为 的悬臂梁，在自由端受一集中力 作 ：图示一弯曲刚度为EI的悬臂梁 在自由端受一集中力F 试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 用，试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 解：① 建立坐标系并写出弯矩方程 ①
在小变形情况下， 曲线弯曲平缓， 在小变形情况下，挠曲线弯曲平缓，
∴ w′ ≪ 1
2
A l/2
C l
B
解：此梁上的荷载可视为 正对称和反对称荷载的叠加， 正对称和反对称荷载的叠加， 如图所示。 如图所示。 正对称荷载作用下：
q/2
5(q / 2)l 4 5ql 4 wC1 = − =− 384 EI 768 EI
B
(q / 2)l 3 ql 3 θ A1 = −θ B1 = =− 24 EI 48EI
w P A a D
a
A C a H a B
EI
Pl 3 wB = − 3 EI
P
B
l
Pl 2 θB = − 2 EI
P A a 2a 2a C B
P/2
P/2 B
P/2
=
A
+
P/2
力分解为关于中截面的对称和反对称力( )之和的形式。 解：将P力分解为关于中截面的对称和反对称力(P/2)之和的形式。 力分解为关于中截面的对称和反对称力 显然，在反对称力( / )作用下， 显然，在反对称力(P/2)作用下，wc=0 对称力作用的简支梁， 对称力作用的简支梁，可以等效为悬臂梁受到两个力的作用 的问题。 的问题。
wA=0 θA=0
B
②、变形连续条件 变形连续条件： 连续条件
P A C θC左 wC左= wC右， =θ C右 B
的悬臂梁， 例1：图示一弯曲刚度为 的悬臂梁，在自由端受一集中力 作 ：图示一弯曲刚度为EI的悬臂梁 在自由端受一集中力F 试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 用，试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 解：① 建立坐标系并写出弯矩方程 ①
在小变形情况下， 曲线弯曲平缓， 在小变形情况下，挠曲线弯曲平缓，
∴ w′ ≪ 1
2
第6章-弯曲变形1
位移边界条件：
位移连续条件：
在 x1 0 处， 1 0 w 在 x1 a 处， 1 0 w
在 x1 x2 a 处， 1 w2 w 在 x1 x2 a 处，
dw1 dw2 dx1 dx 2
本章习题
P196 6.3(c),6.4(b)
Fab(a b) C 3lEI 1.当 a＞b 时—— Fab(l a ) max B 6lEI 当 a＞b 时——最大挠度发生在AC段
wmax l 2 b2 a(a 2b) w 0 x 3 3
x x
Fb 3 F w2 = x2 ( x2 - a )3 6EIl 6EI Fb 2 2 + (b - l ) x2 6EIl
第 6 章 弯曲变形
弯曲变形基本方程 计算梁位移的方法 简单静不定梁分析 梁的刚度条件与设计
弯曲内力－ 在外力作用下，梁的内力沿轴线的变化规律。 弯曲应力— 在外力作用下，梁内应力沿横截面高度的 分布规律。 弯曲变形— 在外力作用下，梁轴线空间位置的变化 规律。
弯曲变形及其特点
4）由位移边界条件确定积分常数
x 0, x 0,
代入求解
A 0
yA 0
1 3 D Fl 6
y
1 2 C Fl , 2
A
x
l
yB
F B
B
x
5）确定转角方程和挠度方程 1 1 2 2 EI F ( x l ) Fl 2 2
1 1 2 1 3 3 EIw F ( x l ) Fl x Fl 6 2 6
M ( x ) F (l x ) F ( x l )
3）列挠曲线近似微分方程并积分 d 2w EI 2 M ( x) F ( x l ) dx dw 1 EI EI F ( x l ) 2 C 积分一次
位移连续条件：
在 x1 0 处， 1 0 w 在 x1 a 处， 1 0 w
在 x1 x2 a 处， 1 w2 w 在 x1 x2 a 处，
dw1 dw2 dx1 dx 2
本章习题
P196 6.3(c),6.4(b)
Fab(a b) C 3lEI 1.当 a＞b 时—— Fab(l a ) max B 6lEI 当 a＞b 时——最大挠度发生在AC段
wmax l 2 b2 a(a 2b) w 0 x 3 3
x x
Fb 3 F w2 = x2 ( x2 - a )3 6EIl 6EI Fb 2 2 + (b - l ) x2 6EIl
第 6 章 弯曲变形
弯曲变形基本方程 计算梁位移的方法 简单静不定梁分析 梁的刚度条件与设计
弯曲内力－ 在外力作用下，梁的内力沿轴线的变化规律。 弯曲应力— 在外力作用下，梁内应力沿横截面高度的 分布规律。 弯曲变形— 在外力作用下，梁轴线空间位置的变化 规律。
弯曲变形及其特点
4）由位移边界条件确定积分常数
x 0, x 0,
代入求解
A 0
yA 0
1 3 D Fl 6
y
1 2 C Fl , 2
A
x
l
yB
F B
B
x
5）确定转角方程和挠度方程 1 1 2 2 EI F ( x l ) Fl 2 2
1 1 2 1 3 3 EIw F ( x l ) Fl x Fl 6 2 6
M ( x ) F (l x ) F ( x l )
3）列挠曲线近似微分方程并积分 d 2w EI 2 M ( x) F ( x l ) dx dw 1 EI EI F ( x l ) 2 C 积分一次
第六章——弯曲变形
10
叠加法求变形
当梁上同时作用几个载荷时，如果梁的变形很小，而且 应力不超过比例极限，即可用叠加法计算梁的变形。
叠加法又可分为力叠加法和逐段分析求和法。
11
力叠加法
ω = ωq + ω F + ωM θ = θq + θF + θM
e
e
12
逐段求和法
θB =
Fal 3 EI
Fa l 3 EI
2
θ=
dω dx
=∫
M ( x) EI
dx + C
ω = ∫∫
M ( x) EI
dxdx + Cx + D
再根据梁的边界条件和连续条件可以求出积分常数，即 得到挠曲线方程和转角方程。其中 边界条件指梁截面的已知位移条件或约束条件； 连续条件指分段处挠曲线满足连续光滑条件，即具有相 同的转角和挠度。
6
例6-1：如图所示简支梁AB，承受矩为Me的集中力偶作 用。试建立梁的转角与挠度方程，并计算截面A的转角及最 大挠度。画出挠曲线大致形状。设弯曲刚度EI 为常数。
14
例6-6：试用叠加法求图示阶梯梁的最大挠度。设惯性矩 I2=2I1。
15
第六章 弯曲变形
6.3 简单静不定梁
16
多余约束： 多余支反力：
凡是多于维持平衡所需的约束 与多余约束相对应的支反力或支反力偶。
显然，静不定梁的静不定度即等于多余约束 或多余支反力的数目。 相当系统： 解除多余约束，并以相应的支反力代替， 而得到的原静不定梁受力相当的静定梁， 称为原静不定梁的相当系统。
24
再
见！
25
6.4 梁的刚度条件与合理刚度设计
22
材料力学B第6章弯曲变形解读
d w M ( x) 2 dx EI z
d 2w EI 2 M ( x ) dx
2
d 2w M ( x) 2 dx EI z
在我们选定的坐标系中，挠曲轴微分方程的最终形式为
第六章 弯曲变形
材料力学
6.3 用积分法求弯曲变形
对于等截面梁, 微分方程可写为:
d 2w EI 2 M ( x ) dx
DEPARTMENT OF ENGINEERING MECHANICS KUST
第六章
弯曲变形
第六章 弯曲变形
材料力学
6.1 工程中的弯曲变形问题
齿轮轴的变形
第六章 弯曲变形
材料力学
梁式起重机的变形
第六章 弯曲变形
材料力学
卡车弹簧片的变形可以较大。
第六章 弯曲变形
材料力学
6.2 挠曲线的微分方程
挠曲线
第六章 弯曲变形
材料力学
dw tan dx
y
考虑小变形假设，实际 上变形很小以至于挠曲 线近乎水平，在此条件 下:
挠曲线
tan
显然，θ 是挠曲线的斜率.
dw dx
第六章 弯曲变形
材料力学
挠曲线方程: 横截面的挠度w是位置x的函数.
w＝ w（x)
转角方程: 在小变形假设的条件下，转角很小，可 近似为 :
第六章 弯曲变形
材料力学
y
变形后横截面位置的改 变称作位移.
挠曲线
有三种位移：
横截面形心的垂直位移，记作 w； 截面绕中性轴的旋转角，记作 θ； 横截面形心的水平位移，通常很小，可忽略不计.
第六章 弯曲变形
材料力学
因此，轴上任一点的位移可用挠度w和转角θ表示.
第六章弯曲变形分析
第六章 弯曲变形分析梁是机械与工程结构中最常见的构件。
本章内容包括梁的内力、平面弯曲中横截面上的正应力和切应力分布规律，以及梁的变形计算。
6.1 梁的内力● 梁的概念当杆件受到矢量方向垂直于轴线的外力或外力偶作用时，其轴线将由直线变为曲线，如图6–1(a)。
以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲，凡是以弯曲变形为主的杆件，工程上称为梁，如车辆的轮轴、房屋的梁及桥梁等。
在分析计算中，通常用梁的轴线代表梁，如图6–1(b)。
在工程实际中，大多数梁都具有一个纵向对称面；而外力也作用在该对称面内。
在这种情况下，梁的变形对称于纵向对称面，且变形后的轴线也在对称图6–1 梁 图6–2 对称弯曲图6–3 梁的约束 图6–4 三类静定梁面内，即所谓的对称弯曲，如图6–2。
它是弯曲问题中最基本、最常见的情况。
本章只讨论梁的对称弯曲。
图6–3表示了梁的三种常见约束形式及相应的约束力：可动铰支座(图6–3(a))，固定铰支座(图6–3(b))和(平面)固定端约束(图6–3(c))。
在以上三种约束方式下，有三种常见的梁形式，如图6–4所示。
图6–4(a)为简支梁，两端分别为固定铰支座和活动铰支座；图6–4(b)为悬臂梁，一端固定端约束，一端自由；图6–4(b)为外伸梁，它是具有一个或两个外伸部分的简支梁。
这三种梁都是静定梁。
作用在梁上的外载荷，常见的有集中力偶M (图6–5(a))、分布载荷q (图6–5(b))和集中力F (图6–5(c))。
在实际问题中，q 为常数的均布载荷较为常见。
● 梁的剪力与弯矩在4.2中已经介绍了求杆件内力的通用方法，即截面法。
具体到梁，其内力分量为剪力和弯矩，规定当剪力相对于横截面的转向为顺时针为正，使杆件发生上凹下凸的弯矩为正，如图4–5(b)和(c)。
例6–1：如图6–6所示悬臂梁，受均布载荷q ，在B 点处受矩为2qa M =的力偶作用，试绘梁的剪力图与弯矩图。
解：设固定端的约束力和约束力偶为C R 和C M ，则由平衡方程00=-=∑qa R F C y ，qa R C =05.102=--⋅=∑C C M qa qa a m ，221qa M C = 以杆件左端为坐标原点，以B 为分界面，将梁分为AB 和BC 两段。
工程力学2第六章 弯曲变形
§6-4 用叠加法求弯曲变形
设梁上有n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩 为M(x)，转角为 ，挠度为y，则有：
d2y EI 2 EIy'' M ( x ) dx n
由弯矩的叠加原理知： 所以， 即，
§6–3 用积分法求弯曲变形 （Beam deflection by integration )
一、微分方程的积分 （Integrating the differential equation )
M ( x) w EI
若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成
EIw M ( x )
代入求解，得
1 Fb 3 C1 C 2 Fbl 6 6l D1 D2 0
FAy x1
ymax
x2
a
b
目录
§6-3 用积分法求弯曲变形
5）确定转角方程和挠度方程
AC 段： 0 x1 a
Fb 2 Fb 2 EI 1 x1 (l b2 ) 2l 6l
Fb 3 Fb 2 EIy1 x1 ( l b 2 ) x1 6l 6l
转角
4、挠度与转角的关系 （ Relationship between deflection and slope)： w
A
tg w ' w '( x )
B
x
C C'
转角
w挠度
挠曲线
B
5、挠度和转角符号的规定
（Sign convention for deflection and slope) 挠度 向上为正,向下为负. 转角 自x 转至切线方向,逆时针转为正,顺时针转为负. w
工程力学六 弯曲变形解析
材料服从胡克定律 小变形
各种载荷与它所引起的变 形成线性关系。
二、第一类叠加法——载荷叠加法
当梁上同时作用有几种载荷时，可分别求出每一种载荷单独作用 下的变形，然后将各个载荷单独引起的变形叠加，得这些载荷共同作用 时的变形。
已知：q、l、EI
求：wC ,B
v
+
v
= +
v
例： 用叠加法求 wC、 A、B
比较方便。
例 求外伸梁ABC的外伸端A的挠度。
解：用逐段分析求和法。
q
（1）将AB段刚化
1 qa2
w1 -B a - 2 3EI
A
l a - qa3l 6EI
a
B
l qa
C
（2）将BC段刚化
w2
-
qa4 8EI
A w1
B
C
qa2/2
（3）最后结果
w
w1
w2
qa4 8EI
qa3l 6EI
q
m
C
A
B
a
l
•边界条件 x1 0, wA 0,A 0; x2 a l, wB 0;
•连续条件 x1 x2 a, w1 w2 wC ;
q
a
A
l
B
•边界条件
x1 0, wA 0,;
x2
l, wB
-
ql a 2 EA
-
qla ; 2EA
内容回顾： 1.挠度和转角
y
w x
规定：向上的挠度为正 逆时针的转角为正
对于等截面直梁，有：
EI
M(x)d x C
EIw M (x)d x d x Cx D
说明：
d2w M (x) dx2 EI
工程力学弯曲变形解析
Eq2 IF 2lxb 2 2F 2(x2a)2C 2
E2 Iw F 6 lxb 2 3F 6(x2a )3 C 2x2D 2
工程力学弯曲变形解析
工程力学
利用边界条件和连续条件确定四个积分常数
AC段 CB段
EqI1 F2lbx12 C1
y
A
EI1w F 6l bx13C1x1D1
FA
Eq2 IF 2lxb 2 2F 2(x2a)2C 2
qA左qA右
工程力学弯曲变形解析
工程力学
绘制挠曲线的方法：
1.绘制M图 2.由M图的正负、零点或零值区，确定 挠曲线的凹凸或拐点或直线区，
3.由位移边界条件确定挠曲线的位置。
工程力学弯曲变形解析
工程力学
例4-5 如图等直悬臂梁自由端受集中力作用，建立该梁的转角方程和
挠曲线方程，并求自由端的转角 q B 和挠度 w B 。
w1|x1aw2|x2a
工程力学弯曲变形解析
代入上面的式子
工程力学
得到转角方程和挠度方程
AC段
EqI1F 6l (b3x12b2l2)
Ew I1F 6l b x1 3(b2l2)x1
y A
FA
a EI
x1 x2 l
q CB段 E2IF 6 l (b 3 x1 2b2 l2)3 b l(x2a )2
dx
工程力学弯曲变形解析
工程力学
略去剪力的影响，则平面假设成立，弯曲 变形是因各个横截面绕各自的中性轴转动一个 角度，而中性轴本身也要发生位移。
截面形心位移 竖向位移 y=w=f(x)
弯曲变形 截面转角
水平位移 略去
qqtgqdwf(x)
dx
工程力学弯曲变形解析
材料力学第六章弯曲变形
以图示悬臂梁为例： x
A
w
q qy
2.梁的变形可以用以下两个位移度量：
F Bx
B1
① 挠度：梁横截面形心的竖向位移y，向下的挠度为正 ② 转角：梁横截面绕中性轴转动的角度q，顺时针转动为正
简支梁
挠度方程：挠度是轴线坐标x的函数
转角方程(小变形下)：转角与挠度的关系
=tan =dy =f ´(xd)x
梁在简单荷载作用下的转 角和挠度可从表中查得。
例3 图示悬臂梁，其弯曲刚度EI为常数，求B点转角和挠度。
q
A
C
F
1.在F作用下：
查表： BF
Fl 2 2EI
,
yBF
Fl 3 3EI
B
2.在q作用下：
查表： Cq
q(l / 2)3 6EI
ql3 48 EI
A A
qBF
F
B
q(l / 2)4 ql4
M图 Fl / 4
Wz
M max
35 103 160 106
2.19 10 4 m3
3、梁的刚度条件为：
Fl3 l 48EIz 500
解得
Iz
500 Fl 2 48 E
500 35 103 42 48 200 109
2.92 10 5 m4
由型钢表中查得，22a工字钢的弯曲截面系数Wz＝3.09×l0-4m3 ，惯性矩 Iz=3.40×10-5m4，可见．选择.22a工字钢作梁将同时满足强度和刚度要求。
提高梁刚度的措施：
y ln EI
1.增大梁的弯曲刚度 EI；主要增大截面惯性矩I值，在截面 面积不变的情况下，采用适当形状，尽量使面积分布在距中性轴 较远的地方。例如：工字形、箱形等。
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当x1 x2 a时,
w1 w2 (1 2 )
w1 w2
EIw2
Pb l
x2
P( x2
a)
CB段：
EIw2
EI2
Pb l
x22 2
P
( x2
a)2 2
C2
EIw2
Pb l
x23 6
P
( x2
a)3 6
C2 x2
D2
由连续性条件，可求得
C1 C2
D1 D2
由边界条件，可求得
C1
C2
M pa
P PL
2
PL 2
x
P
qa2
2
q
M
qa
x qa 2 2
x
pa
§6.2 挠曲线近似微分方程及其积分
一、挠曲线近似微分方程的导出
力学公式 数学公式
1 M z (x)
EIz
d 2w
1
dx2
[1 ( dw)2 ]3/2
dx
纯弯曲梁变形后中性层的曲率 公式，对于横力弯曲（l>5h） 可近似使用。EIZ称为梁的抗 弯刚度。
最大转角和最大挠度分别为：
得：
ql 3 C ,
D0
24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
q (6lx2 4x3 l 3 )
24 EI
w qx (2lx2 x3 l3) 24EI
max
A
B
ql 3 24EI
wmax
w
x l 2
5ql 4 384EI
例： 已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集中力P作用下的转角方
确定积分常数： （1）边界条件
固定端：w = 0,θ = 0
铰支座：w
=
A
0,w =
B
0
（2）连续性条件
梁的挠曲线是一条连续而光滑的曲线，因此在挠曲线的
任一点处（如：弯矩方程的分界处，截面的突变处）左右 两截面的转角和挠度均相等。
A
例： 已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均布载荷q作用下的转角
但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足 特定的工作需要。
例如，车辆上的叠板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的 冲击和振动作用。
P
P
2
2
P
二、计算弯曲变形的目的
1、研究刚度 控制变形：齿轮轴，镗刀杆 使用变形：叠板弹簧，跳水板
2、解静不定问题 3、确定梁弯曲的动载系数。
方程、挠曲线方程，并确定θmax和wmax。
EIw M (x) 解： EIw ql x q x2
y
22
EIw ql x2 q x3 C 46
EIw ql x3 q x4 Cx D
x
12 24
M (x) ql x q x2 22
q
x l
由边界条件： x 0时，w 0 x l时，w 0
第六章 弯曲变形
§6.1 概述
一、工程中的弯曲实例
在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外，还要求 变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正常工作。
摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度， 甚至会出现废品。
桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难，出现爬坡现象。
程、挠曲线方程，并确定θmax和wmax。
解：EIw M (x) EIw Px Pl
M(x) P(l x)
y
P
EIw P x2 Plx C 2
EIw P x3 Pl x2 Cx D 62
A
x l
B
x
由边界条件： x 0时，w 0,w 0 CD0
最大转角和最大挠度分别为：
平面曲线(挠曲线) w f (x)
上任意点的曲率公式。
对于小挠度情形有
dw 2 dx
1
d2w M (x)
dx2
EI
d2w M (x)
dx2
EI
d 2w dx 2
0
d2w M (x) dx2 EI
——挠曲线的近似微分方程
d 2w dx 2
0
d2w M (x) dx2 EI
d2w M (x) dx2 EI
三、弯曲变形的基本概念
纵向对称面
1、挠曲线
对称轴 轴线
梁在平面弯曲时，其轴线在载荷作用平面（纵向对称面） 内，变成了一条曲线，该曲线称为挠曲线。
特点： 连续光滑 表示： w=f(x)，它是坐标x的连续函数。
2.挠度和转角 : 是度量弯曲变形的两个基本量
y
规定：向上的挠度为正 逆时针的转角为正
w x
x
挠曲线方程： w f (x)
转角方程： tan f (x) dw
四、画绕曲线近似形状的方法 1、考虑支座的约束特点
固定端：w = 0,θ = 0
铰支座：w
=
A
0,w =
B
0
2、考虑弯矩的变化
弯矩为正，下凸
A
弯矩为负，上凸
弯矩为O的线段，直线 M 弯矩为O的点，拐点
P
P
B
x
例：
M
PL 2
0 x1 a a x2 l
2.列出挠曲线微分方程，并积分；
C
A
x1
x2
l
RA
Pb l
3.列出边界条件；
x
B
RB
Pa l
EIw M (x) AC段：
EIw1
Pb l
x1
EIw1
EI z1
Pb l
x12 2
C1
EIw1
Pb l
x13 6
C1x1
D1
x1 0时, w1 0
x2 l时, w2 0 4.连续性条件；
Pb 6l
(l 2
b2)
D1 D2 0
最后得转角方程和挠曲线方程为：
AC段： (0 x1 a)
EIw1 EIw1
EIz1
Pbx1 (l 2 6l
Pb (l 2 6l b2
b2 x12 )
3x12
)
CB段： (a x2 l)
ya
A
x1
RA
EIw2
EI z 2
Pb 6l
(l 2
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
Px (x 2l)
2 EI w Px2 (x 3l)
6EI
max
B
Pl 2 2 EI
wmax
wB
Pl3 3EI
例：试求图示简支梁的弯曲变形（抗弯刚度:EIz） y
a
Pb
解：1.求支反力、写出弯矩方程；
AC段： M1 RPlAbxx11
CB段： M2 PRlbAxx22 PP((xx22aa) )
b2
3x22 )
3l b
( x2
a)
2
Pb
C
x
x2
B
l
RB
EIw2
Pb 6l
(l 2
b2
3x22 )x2
l b
(
x2
a)3
5.求最大转角和最大挠度 对简支梁受集中力，最大转角一般在
两端截面上:
A
w1
x1 0
二、积分法求弯曲变形
由挠曲线近似微分方程，
dw dx
M ( x) EI
d
x
C
d2w M (x) dx2 EI
得：
w
M ( x) EI
d
x
C
d
x
D
对于等截面直梁，有：
EI M(x)d x C
EIw M (x)d x d x Cx D
说明：
（1）若M（x）方程 或 EI有变化，则应分段。 （2）C、D为积分常数，由边界条件和连续性条件确定。