高三数学一轮复习基础知识归纳

高三数学一轮复习：基础知识归纳第一部分 集合1.理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？…2.数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决3.(1) 元素与集合的关系：,.U x A x C A ∈⇔∉U x C A x A ∈⇔∉（2）德摩根公式： .();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == （3）A B A A B B =⇔= U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R⇔= 注意：讨论的时候不要遗忘了的情况.φ=A （4）集合的子集个数共有 个；真子集有–1个；非空子集有–1个；12{,,,}n a a a 2n2n2n非空真子集有–2个.2n4．是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.φ第二部分 函数与导数1．映射：注意: ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一或多对一.2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 ； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距2222b a ba ab +≤+≤离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（、、等）；⑨平方法；⑩ 导数法xa x sin x cos 3．复合函数的有关问题:（1）复合函数定义域求法：① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤ g(x) ≤ b 解出② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域.（2）复合函数单调性的判定：①首先将原函数分解为基本函数：内函数与外函数)]([x g f y =)(x g u =)(u f y =②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性.4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。

5．函数的奇偶性:⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件⑵是奇函数；是偶函数.)(x f )()(x f x f -=-⇔)(x f )()(x f x f =-⇔⑶奇函数在0处有定义，则)(x f 0)0(=f ⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性6．函数的单调性:⑴单调性的定义：①在区间上是增函数当时有；)(x f M ,,21M x x ∈∀⇔21x x <12()()f x f x <②在区间上是减函数当时有；)(x f M ,,21M x x ∈∀⇔21x x <12()()f x f x >⑵单调性的判定：①定义法：一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式，)()(21x f x f -以利于判断符号；②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法注：证明单调性主要用定义法和导数法。

7．函数的周期性：(1)周期性的定义：对定义域内的任意，若有 （其中为非零常数），x )()(x f T x f =+T 则称函数为周期函数，为它的一个周期。

所有正周期中最小的称为函数的最)(x f T 小正周期。

如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。

（2）三角函数的周期：① ；② ；③π2:sin ==T x y π2:cos ==T x y ；④ ；⑤π==T x y :tan ||2:)cos(),sin(ωπϕωϕω=+=+=T x A y x A y ||:tan ωπω==T x y (3)与周期有关的结论：或 的周期为)()(a x f a x f -=+)0)(()2(>=-a x f a x f ⇒)(x f a28．基本初等函数的图像与性质：㈠.⑴指数函数：；)1,0(≠>=a a a y x⑵对数函数:；)1,0(log ≠>=a a x y a ⑶幂函数： （ ；αx y =)R ∈α⑷正弦函数:；x y sin =⑸余弦函数： ；x y cos =(6)正切函数：；x y tan =⑺一元二次函数：（a≠0）；02=++c bx ax ⑻其它常用函数：①正比例函数：；②反比例函数：；③函数)0(≠=k kx y )0(≠=k xky )0(>+=a xax y ㈡.⑴分数指数幂：；（以上，且）.m na=1m nm naa-=0,,a m n N *>∈1n >⑵.①； ②；b N N a a b=⇔=log ()N M MN a a a log log log +=③； ④.N M N M a a alog log log -=log log m n a a nb b m=⑶.对数的换底公式:.对数恒等式:.log log log m a m N N a=log a Na N =9．二次函数：⑴解析式：①一般式：；c bx ax x f ++=2)(②顶点式：，为顶点；k h x a x f +-=2)()(),(k h ③零点式： （a≠0）.))(()(21x x x x a x f --=⑵二次函数问题解决需考虑的因素：①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。

二次函数的图象的对称轴方程是，顶点坐标是。

c bx ax y ++=2a bx 2-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 4422，10．函数图象：⑴图象作法 ：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法 ③导数法⑵图象变换：①平移变换：ⅰ)，———左“+”右“－”；)()(a x f y x f y ±=→=)0(>a ⅱ) ———上“+”下“－”；)0(,)()(>±=→=k k x f y x f y ②对称变换：ⅰ)；ⅱ)；)(x f y =−−→−)0,0()(x f y --=)(x f y =−→−=0y )(x f y -=ⅲ) ； ⅳ)；)(x f y =−→−=0x )(x f y -=)(x f y =−−→−=xy ()x f y =③翻折变换：ⅰ)———（去左翻右）y 轴右不动，右向左翻（在左侧图|)(|)(x f y x f y =→=)(x f y象去掉）；ⅱ)———（留上翻下）x 轴上不动，下向上翻（||在下面|)(|)(x f y x f y =→=)(x f x 无图象）；11．函数图象（曲线）对称性的证明：(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的)(x f y =对称点仍在图像上；（2）证明函数与图象的对称性，即证明图象上任意点关)(x f y =)(x g y =)(x f y =于对称中心（对称轴）的对称点在的图象上，反之亦然。

)(x g y =注：①曲线C 1:f(x,y)=0关于原点（0,0）的对称曲线C 2方程为：f(－x,－y)=0;曲线C 1:f(x,y)=0关于直线x=0的对称曲线C 2方程为：f(－x, y)=0; 曲线C 1:f(x,y)=0关于直线y=0的对称曲线C 2方程为：f(x, －y)=0;曲线C 1:f(x,y)=0关于直线y=x 的对称曲线C 2方程为：f(y, x)=0②f(a+x)=f(b－x) （x∈R）y=f(x)图像关于直线x=对称；⇔2ba +特别地：f(a+x)=f(a －x) （x∈R）y=f(x)图像关于直线x=a 对称.⇔③的图象关于点对称.()y f x =(,)ab ⇔()()b x a f x a f 2=-++特别地：的图象关于点对称.()y f x =(,0)a ⇔()()x a f x a f --=+④函数与函数的图象关于直线对称;()y f x a =-()y f a x =-x a = 函数与函数的图象关于直线对称。

)(x a f y +=()y f a x =-0=x 12．函数零点的求法：⑴直接法（求的根）；⑵图象法；⑶二分法.0)(=x f (4)零点定理：若y=f(x)在[a,b]上满足f(a)·f(b)<0 , 则y=f(x)在（a,b)内至少有一个零点。

13．导数：⑴导数定义：f(x)在点x 0处的导数记作xx f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim)(00000⑵常见函数的导数公式: ①；②；③；④'C 0=1')(-=n n nxx x x cos )(sin '=；⑤；⑥；⑦；⑧x x sin )(cos '-=a a a x x ln )('=x x e e =')(ax x a ln 1)(log '=。

xx 1)(ln '=⑶导数的四则运算法则：;(;)(;)(2v v u v u vu v u v u uv v u v u '-'=''+'=''±'='±⑷（理科）复合函数的导数：;x u x u y y '⋅'='⑸导数的应用：①利用导数求切线：注意：ⅰ)所给点是切点吗？ⅱ)所求的是“在”还是“过”该点的切线？②利用导数判断函数单调性：i ）是增函数；ii ）)(0)(x f x f ⇒>'为减函数；iii ）为常数；)(0)(x f x f ⇒<')(0)(x f x f ⇒≡'③利用导数求极值：ⅰ）求导数；ⅱ）求方程的根；ⅲ）列表得极值。

)(x f '0)(='x f ④利用导数求最大值与最小值：ⅰ）求极值；ⅱ）求区间端点值（如果有）；ⅲ）比较得最值。

第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形1．⑴角度制与弧度制的互化：弧度，弧度，弧度π 180=1801π=1 180(π='1857 ≈⑵弧长公式：；扇形面积公式：。

R l θ=22121R lR S θ==2．三角函数定义:角终边上任一点（非原点）P ,设 则：α),(y x r OP =||,cos ,sin r x r y ==ααxy =αtan 3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（简记为“全s t c”）4．诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”5．⑴ 对称轴：令，得 对称中心：)sin(ϕω+=x A y 2x k πωϕπ+=+; =x ； ))(0,(Z k k ∈-ωϕπ⑵ 对称轴：令，得；对称中心：)cos(ϕω+=x A y πϕωk x =+ωϕπ-=k x ；))(0,2(Z k k ∈-+ωϕππ⑶周期公式:①函数及的周期(A 、ω、sin()y A x ωϕ=+cos()y A x ωϕ=+ωπ2=T 为常数，ϕ且A ≠0).②函数的周期 (A 、ω、为常数，且A ≠0).()φω+=x A y tan ωπ=T ϕ6．同角三角函数的基本关系：x xxx x tan cos sin ;1cos sin 22==+7．三角函数的单调区间及对称性： ⑴的单调递增区间为,单调递减区间为sin y x =2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦i，对称轴为,对称中心为.32,222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦()2x k k Z ππ=+∈(),0k π()k Z ∈⑵的单调递增区间为,单调递减区间为cos y x =[]2,2k k k Z πππ-∈，[]2,2k k k Z πππ+∈对称轴为,对称中心为.()x k k Z π=∈,02k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭()k Z ∈⑶的单调递增区间为，对称中心.tan y x =,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭⎪⎭⎫⎝⎛0,2πk ()Z k ∈8．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：①；；sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= .tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=②；.22sin()sin()sinsin αβαβαβ+-=-22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-③(其中,辅助角所在象限由点所在的象限sin cos a b αα+)αϕ+ϕ(,)a b 决定, ).tan b aϕ=9．二倍角公式：①.αααcos sin 22sin =2(sin cos )12sin cos 1sin 2ααααα±=±=±②（升幂公式）.2222cos 2cossin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（降幂公式）.221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-==10．正、余弦定理：⑴正弦定理：（是外接圆直径）R CcB b A a 2sin sin sin ===R 2ABC ∆注：①；C B A c b a sin :sin :sin ::=②；③C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===。