2定积分概念

合集下载

高一数学定积分的概念2

如果 f ( x) 0 ，则 f ( x)dx 0 , 此时 f ( x)dx
a a b b
表示由曲线 y f ( x) ，x a, x b 及 x 轴所围成的曲边梯形的面积 A，即 a f ( x)dx A .
y
b
y=f (x)
A
O a b x
如果 f ( x) ≤0，则 f ( x)dx 0 ，此时 f ( x)dx
1.5.3
定积分的概念
问题提出
1.求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程，都可以通过“四步曲”解决，这四个步骤是什么？其中哪个步骤是难点？
分割→近似代替→求和→取极限.
2.求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程是两类不同的问题，但它们有共同的解决途径,我们可以此为基点，
构建一个新的数学理论，使得这些问题
归结为某个数学问题来解决，并应用于更多的研究领域.
探究（一）：定积分的有关概念与表示
思考1：对于由直线x＝a，x＝b(a＜b)， y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S，可以归结为一个什么形式的和的极限？ y
y＝f(x)
b a S lim f ( i) n n i 1
0
r
r
2

1
0
1 x dx ？
2
/4

2

2
sin xdx ？
0
作业：
P50 A组：1(1) B组：1
http://medicaltrain.jp/ 日本医疗日本就医
の泪水，无尽の思念，充满在心间，构成咯水清来到热河那半各多月生活の主要内容。因为想念悠思，她再也没什么心思去看书、写字、女红，经常是看着看着手中の书本，别知别觉之间眼前就浮现出咯小格格の乖巧模样，做着做着手中の女红，就回想起她们母女在壹起の乐事趣闻。那样の日子，还要再熬上十来天呢，时间怎么过得那么慢？那壹天，刚刚用过早膳别久，王爷派来の壹各小太监来到狮子园求见侧福晋，那突如其来の新情况打咯水清壹各措手别及，因为自从住到狮子园以来，水清就再也没什么见到过他，现在突然听到他差人过来有事禀报，竟然半天没什么回过味儿来：“您说您是爷派来の？”“回侧福晋，奴才正是。”“噢，那，爷在哪儿？”“回侧福晋，爷现在行宫，爷有急事要吩咐侧福晋，秦公公壹时走别开，就派奴才先过来给您传各话。”壹听说有急事儿，水清才终于将注意力集中在咯小太监の身上，毕竟那二十多天以来她壹直没什么再跟王爷打过交道，猛然壹听到他那边传来消息，她还需要壹些时间来适应，现在壹听急事儿，就赶快说道：“是啥啊急事儿？”“万岁爷今儿晚上要驾幸咱们狮子园！”“啊？皇上要驾幸狮子园？”水清万万没什么想到，所谓の急事，居然是皇上大驾光临！别要说那园子里现在就她那么壹各半半拉拉の主子，就是在京城有那么多の姐姐们在场の情况下，她也没什么遇到过皇上大驾王府或是圆明园の情景，现在那山高路远、形如孤岛の狮子园，竟然让她遇到咯那么壹件棘手の差事。第壹卷第564章接驾此时摆在水清面前の，确实是壹各天大の难题。那可是与去年管理府务の情景别可同日而语。毕竟那只是管理自己府里の柴米油盐，现在要管の可是款待皇上；那时候好歹还有惜月帮忙，还有其它姐姐们の照应，现在就她壹各人，势单力薄、孤军奋战。况且“伴君如伴虎”。哪壹各环节都别能出错，那壹各环节都要完美无缺，否则别仅仅是她自己失职の问题，连给王爷丢脸都是次要の事情，假设因为她の疏忽过失，让皇上对王爷产生偏见和别满，继而对他の宏图大业造成难以挽回の影响，她可就成咯整各王府の罪人。别要说受到啥啊样の责罚，就是她本人，壹辈子都别能原谅自己。此外，以前她只是壹各后院诸人，只需要安静地偏居壹隅，别给王爷惹事生非就万事大吉。现在，没什么咯排字琦，她必须从幕后走到前台，担当起狮子园女主人の重要角色。此刻の水清，面临着极为严峻の考验。可是她从来没什么经历过如此重大の事项，没什么任何经验可以汲取，没什么任何人来教会给她，她唯有白手起家，自学成才。在片刻の紧张慌乱之后，水清首先好好地压咯压心中の震惊，再把所有の情况和问题都仔细地梳理咯壹番，然后她就终于想通咯所有の问题：所谓接驾，从本质上来讲，别过就是安排壹场正式の晚宴，只是晚宴の参加者换作咯身份最为尊贵の皇上而已。只要把那各问题想明白咯，壹切都可以迎刃而解，接驾再也别是壹件天大の难事！聪明の水清首先化繁为简，将接驾只当作是安排壹场正式の晚宴而已，别是壹件天大の难事；然后她再化简为繁，由于接待の是最尊贵の皇上，所以在礼仪上要极为隆重，在安排上要格外精心，在准备上要万无壹失。壹旦想透彻之后，水清就像上咯发条壹样，抓紧时间，立即行动起来。首先是行程安排。将皇上领到哪些地方参观是至关重要の，既能体现出狮子园异于其它皇子们の园林の独特风景，又能体现出王爷独特の鉴赏品味，假设还能显示出王爷别同于其它兄弟们の优秀品质，比如节俭、简朴、严谨、治理有方，对皇上极具诚孝之心等等品德，那就更好咯。其次就是人员调配。必须做到人盯人防守，无论是皇上还是随行の皇子大臣，只要是有御驾壹行人员出现の地方，必须安排有专门人员负责在壹旁恭候，特别是要确保皇上无论走哪里，都有来自园子の头脑机灵の太监值守，所以哪各奴才在哪各位置上现在必须立即确定下来。最后是晚宴菜单。接驾

2016届新课标数学(理)一轮复习讲义第二章第15讲定积分与微积分基本定理

第15讲定积分与微积分基本定理1．定积分的概念在⎠⎛ab f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．2．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ；(3)⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b )．3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式．其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )⎪⎪⎪b a ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )⎪⎪⎪ba ＝F (b )－F (a )． [做一做]1．(2014·高考陕西卷)定积分∫10(2x ＋e x)d x 的值为( ) A ．e ＋2 B ．e ＋1 C ．e D ．e －1解析：选C.∫10(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )|10＝e ，故选C.2．若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．解析：∵⎠⎛0T x 2d x ＝13T 3＝9，T >0.∴T ＝3.答案：31．辨明三个易误点(1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是积分变量．(2)定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．(3)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．2．能正确应用求定积分的两种基本方法求简单的定积分 (1)利用微积分基本定理求定积分，其步骤如下： ①求被积函数f(x)的一个原函数F(x)； ②计算F(b)－F(a)．(2)利用定积分的几何意义求定积分：当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分．如：定积分⎠⎛011－x 2d x 的几何意义是求单位圆面积的14，所以⎠⎛011－x 2d x ＝π4.,[学生用书P 49～P 50])考点一__定积分的计算________________________利用微积分基本定理求下列定积分： (1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋1)d x ；(2)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ； (3)⎠⎛02|1－x |d x .[解] (1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋1)d x＝⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛122x d x ＋⎠⎛121d x＝x 33⎪⎪⎪21＋x 2⎪⎪⎪21＋x ⎪⎪⎪21＝193. (2)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x＝⎠⎛0πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x＝(－cos x )⎪⎪⎪π0－sin x ⎪⎪⎪π＝2.(3)⎠⎛02|1－x |d x ＝⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x＝⎝⎛⎭⎫x －12x 2|10＋⎝⎛⎭⎫12x 2－x |21＝⎝⎛⎭⎫1－12－0＋⎝⎛⎭⎫12×22－2－⎝⎛⎭⎫12×12－1＝1. [规律方法] 计算一些简单定积分的解题步骤：①把被积函数变形为常数与幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等函数之积的和或差；②把定积分用定积分的性质变形为求被积函数为上述函数的定积分； ③分别用求导公式(逆向思维)找到一个相应的原函数； ④利用牛顿-莱布尼茨公式求出各个定积分的值；⑤计算原始定积分的值．分段函数的定积分要分段积分，特别注意定积分的计算不是定积分的几何意义，其所求的值可正可负．1.计算下列定积分：(1)⎠⎛－13(3x 2－2x ＋1)d x ；(2)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －1x d x ； (3)⎠⎛02e x2d x .解：(1)⎠⎛－13(3x 2－2x ＋1)d x＝(x 3－x 2＋x )⎪⎪⎪3－1＝24.(2)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －1x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－ln x |21＝32－ln 2. (3)⎠⎛02e x2d x ＝2e x2|20＝2e －2.考点二__利用定积分计算平面图形的面积(高频考点)____利用定积分计算平面图形的面积是近几年高考考查定积分的一个重要考向；主要以选择题、填空题的形式出现，一般难度较小．高考对定积分求平面图形的面积的考查有以下两个命题角度： (1)根据条件求平面图形面积； (2)利用平面图形的面积求参数． (1)(2014·高考山东卷)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．22B ．4 2C ．2D ．4(2)设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________． [解析] (1)令4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝±2，∴S ＝⎠⎛02(4x －x 3)＝⎝⎛⎭⎫2x 2－x 44|20＝8－4＝4.故选D. (2)由题意知⎠⎛0a x d x ＝a 2.又⎝⎛⎭⎫23x 32′＝x ，则23x 32⎪⎪⎪a0＝a 2.即23a 32＝a 2，所以a ＝49. [答案] (1)D (2)49[规律方法] 用定积分求平面图形面积的四个步骤：(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； (3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； (4)计算定积分，写出答案．2.(1)⎠⎛011－（x －1）2d x ＝________．(2)由抛物线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2及x 轴围成的图形面积为________．解析：(1)根据定积分的几何意义，可知⎠⎛011－（x －1）2d x 表示的是圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的14(如图中阴影部分)．故⎠⎛011－（x －1）2d x ＝π4.(2)如图所示，由y ＝x 2－1＝0，得抛物线与x 轴的交点分别为(－1，0)和(1，0)．所以S ＝⎠⎛02|x 2－1|d x＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎝⎛⎭⎫x －x 33⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫x 33－x ⎪⎪⎪21＝⎝⎛⎭⎫1－13＋⎣⎡⎦⎤83－2－⎝⎛⎭⎫13－1＝2.答案：(1)π4(2)2考点三__定积分在物理中的应用____________(2013·高考湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2[解析] 由v (t )＝7－3t ＋251＋t＝0，可得t ＝4⎝⎛⎭⎫t ＝－83舍去，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s ，此期间行驶的距离为⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎡⎦⎤7t －32t 2＋25ln （t ＋1）⎪⎪⎪40＝4＋25ln 5.[答案] C[规律方法] 定积分在物理中的两个应用：(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛abv (t )d t . (2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .3.(2015·浙江杭州模拟)设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x＝10，已知F (x )＝x 2＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________J(x 的单位：m ；力的单位：N)．解析：变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10所做的功为W ＝⎠⎛110F (x )d x ＝⎠⎛110(x 2＋1)d x＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x |101＝342(J)．答案：342,[学生用书P 50])交汇创新——定积分与概率的交汇(2014·高考福建卷)如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．[解析] 由题意知，所给图中两阴影部分面积相等，故阴影部分面积为S ＝2⎠⎛01(e －e x )d x＝2(e x －e x )|10＝2[e －e －(0－1)]＝2.又该正方形面积为e 2，故由几何概型的概率公式可得所求概率为2e 2.[答案]2e 2[名师点评] (1)本题利用求函数的定积分，转化为求几何概型的概率问题，是新增考点定积分与常规考点交汇命题的一种趋势．(2)利用定积分的几何意义，考查几何概型也是近几年很多省份的考查热点． 1.(2015·衡水中学第二学期调研)在平面直角坐标系中，记抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围成的平面区域为M ，该抛物线与直线y ＝kx (k >0)所围成的平面区域为A ，向区域M 内随机抛掷一点P ，若点P 落在区域A 内的概率为827，则k 的值为( )A.13B.23C.12D.34解析：选A.∵M 的面积为⎠⎛01(x －x 2)d x ＝(12x 2－13x 3)⎪⎪⎪10＝16，A 的面积为⎠⎛01－k (x －x 2－kx )d x ＝(12x 2－13x 3－k 2x 2)⎪⎪⎪1－k0＝16(1－k )3，∴16（1－k ）316＝827，∴k ＝13，故选A. 2．若m >1，则f (m )＝⎠⎛1m ⎝⎛⎭⎫1－4x 2d x 的最小值为________．解析：f (m )＝⎠⎛1m ⎝⎛⎭⎫1－4x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋4x ⎪⎪⎪m1＝m ＋4m －5≥4－5＝－1，当且仅当m ＝2时等号成立．答案：－11．设f(x)是一条连续的曲线，且为偶函数，在对称区间[－a ，a]上的定积分为⎠⎛－aa f(x)d x ，由定积分的几何意义和性质，得⎠⎛－aa f(x)d x 可表示为( )A ．－⎠⎛－aa f (x )d xB ．2⎠⎛－a0f (x )d xC.12⎠⎛0a f (x )d x D.⎠⎛－a0f (x )d x解析：选B.偶函数的图象关于y 轴对称，故⎠⎛－aa f (x )d x 对应的几何区域关于y 轴对称，因而其可表示为2⎠⎛－a0f (x )d x ，应选B.2．(2014·高考江西卷)若f (x )＝x 2＋2∫10f (x )d x ，则 ∫10f (x )d x ＝( ) A ．－1B ．－13C.13D ．1解析：选B.∵f (x )＝x 2＋2∫10f (x )d x ，∴∫10f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋2x ∫10f （x ）d x |10＝13＋2∫10f (x )d x ， ∴∫10f (x )d x ＝－13. 3．(2015·安徽合肥模拟)由曲线f (x )＝x 与y 轴及直线y ＝m (m >0)围成的图形的面积为83，则m 的值为( )A ．2B ．3C ．1D ．8解析：选A.S ＝∫m 20(m －x )d x ＝⎝⎛⎭⎫mx －23x 32⎪⎪⎪m 20＝m 3－23m 3＝83，解得m ＝2.4．(2015·大庆市高三年级第二次教学质量检测)一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度v (t )＝5－t ＋551＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)紧急刹车至停止．在此期间火车继续行驶的距离是( )A ．(55 ln 10) mB ．(55 ln 11) mC ．(12＋55ln 7)mD ．(12＋55ln 6)m解析：选B.令5－t ＋551＋t＝0，注意到t >0，得t ＝10，即经过的时间为10 s ；行驶的距离s ＝⎠⎛010(5－t ＋551＋t )d t ＝[5t －12t 2＋55ln(t ＋1)]⎪⎪⎪100＝55ln 11，即紧急刹车后火车运行的路程为(55ln11) m.5．(2015·山西省第二次四校联考)定积分⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选 D.|x 2－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x （－2≤x <0）－x 2＋2x （0≤x ≤2），⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛－20(x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(－x 2＋2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪0－2＋⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x 2⎪⎪⎪2＝8. 6．(2015·辽宁省五校协作体高三上学期联考) ∫π22sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ＝________．解析：依题意得∫π22sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ＝(sin x －cos x )⎪⎪⎪π20＝⎝⎛⎭⎫sin π2－cos π2－(sin 0－cos 0)＝2.答案：27．(2015·吉林模拟)设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．解析：⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx ⎪⎪⎪10＝13a ＋c ＝f (x 0)＝ax 20＋c ， ∴x 20＝13，x 0＝±33.又∵0≤x 0≤1，∴x 0＝33.答案：338．(2015·石家庄市高中毕业班第一次模拟)⎠⎛01(1－x 2＋12x )d x ＝________．解析：⎠⎛01(1－x 2＋12x )d x ＝⎠⎛011－x 2d x ＋⎠⎛0112x d x ，⎠⎛0112x d x ＝14，⎠⎛011－x 2d x 表示四分之一单位圆的面积，为π4，所以结果是π＋14.答案：π＋149．求下列定积分．(1)⎠⎛12(x －x 2＋1x )d x ；(2)⎠⎛－π0(cos x ＋e x )d x .解：(1)⎠⎛12(x －x 2＋1x )d x ＝⎠⎛12x d x －⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛121x d x＝x22|21－x 33|21＋ln x |21＝32－73＋ln 2＝ln 2－56. (2)⎠⎛－π0(cos x ＋e x )d x ＝⎠⎛－π0cos x d x ＋⎠⎛－π0e x d x＝sin x |0－π＋e x |0－π＝1－1eπ.10．已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0， ⎠⎛01f (x )d x ＝－2. (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝2，b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－a ，b ＝0， ∴f (x )＝ax 2＋2－a .又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋2－a )d x＝⎣⎡⎦⎤13ax 3＋（2－a ）x |10 ＝2－23a ＝－2.∴a ＝6，从而f (x )＝6x 2－4.(2)∵f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1，1]． ∴当x ＝0时，f (x )min ＝－4；当x ＝±1时，f (x )max ＝2.。

2021_2022学年高中数学第四章定积分1定积分的概念课件北师大版选修2_2

f(x)dx.
-
0

-
f(x)dx=0.
知识梳理
思考辨析
【做一做 3】若

f(x)dx=1,
[f(x)+g(x)]dx=
解析:

答案:6
[f(x)+g(x)]dx=

g(x)dx=5,则
.

f(x)dx+

g(x)dx=1+5=6.
知识梳理
思考辨析
判断以下说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画
通过求矩形面积和即可解决.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:将区间[0,2]10等分,如图.设矩形面积的过剩估计值为S,不足估
计值为s,则
S=(-02+5-0.22+5-…-1.82+5)×0.2=7.72,
s=(-0.22+5-0.42+5-…-1.82+5-22+5)×0.2
=6.92.
故估计该车在这段时间内行驶的路程介
S=-

f(x)dx.

f(x)dx,而当 f(x)≤0 时,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2用定积分表示如图所示的阴影部分的面积(不要求计算).
解:(1)S=
(2)S=(3)S=
9
4
π
2
0
2 2
dx;
-4 2
1
(- 2 )dx;
cos xdx.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3用定积分的几何意义求定积分.

解释定积分的概念

解释定积分的概念
定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。

具体来说，定积分定义如下：设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子
区间[x₀,x₁], (x₁,x₂], (x₂,x₃], …, (xₙ-1,xₙ]，其中x₀=a，xₙ=b。

a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x
叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。

同时，应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。

一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

以上内容仅供参考，如需更多信息，建议查阅相关文献或咨询数学专业人士。

定积分概念求解2

a
c
Oa
c
bx
例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积
y
f(x)=x2
y
f(x)=x2
y
f(x)=(x-1)2-1
y
f(x)=1
0 a x -10 2 x a 0 b x -10 2 x
①
②
③
④
解：（1）在图①中，被积函数f (x) x2在[0，a]
上连续，且f (x) 0,根据定积分的几何意
义，可得阴影部分的面积为 A
了.这就是第一换元法, 也称凑微分法.
第一换元法求定积分的步骤：关键
第一步：把被积函数f ( x)分解成两部分
因式相乘的形式，一部分是( x)的函数, 另一部分是( x)的导数；第二步：凑微分( x)dx d( x),并作变量代换u ( x),把关于x的定积分
转化成关于u的定积分 f (u)du.
b
f (x)dx
a
定积分的定义：
即
b a
f
(x)dx
lim
n
n i1
b
n
a
f
(i )
定积分的相关名称：
———叫做积分号， y
f(x) ——叫做被积函数，
y f (x)
f(x)dx —叫做被积表达式，
x ———叫做积分变量，
a ———叫做积分下限， b ———叫做积分上限，
O
a
bx
[a, b] —叫做积分区间。
2 dx
例4
计算
. ｅ1 1 x
解
原式
2
ｅ1
1 1
x
d(1
x)
1
ｅ
1 t

人教版A版高中数学选修2-2：定积分的概念教学内容

由此，我们得到求曲边梯形面积的第三步为：
求和:求出n个小矩形面积之和，作为曲边梯
n
形面积S的近似值，即S Sn i1
1 f i 1 n n
n
由 Sn
i 1
1 f i 1 n n
n
1
i
1
2
i1 n n
1
0
1
1
2
1
2
2
1
n
1
2
n n n n n n n
1 n3
n
1n2n
1
0.8
0.6
0.4
f(x) = x2
0.2
01
n
0.2
2 3 4 0.5 nn n
i 1 i nn
f (i 1) n
1 n
A
1
f(i) n
f (i 1) n
f(i) n
1 n
1 n
1.5
2
0.4
1.4
以第一种方1.2法为例，可把曲边梯形分割成n个小矩形
1
0.8
0.6
0.4
f(x) = x2
0.2
0
0.5
1
0.2
当分割的小矩形越来越多时，观察所有的矩形面积之 1.4
和与曲边梯形的面积有什么关系
1.2
1
0.8
0.6
n = 10.00
0.4
f(x) = x2
0.2
0
0.5
1
0.2
当分割的1.4小矩形越来越多时，观察所有的矩形面积之和与曲边梯形的面积有什么关系
1.2
1
0.8
0.6
n = 20.00
即S

定积分的概念及性质

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------定积分的概念及性质图 1 图 2 A B 4.4 定积分的概念及性质课题：定积分的概念及性质目的要求：理解定积分的概念及其性质重点：定积分的概念、定积分的几何意义难点：定积分的概念教学方法：讲授为主、讲练结合教学时数：2 课时教学进程：定积分是积分学的另一个重要的基本概念，和导数概念一样，它也是在解决各种实际问题中逐渐形成并发展起来的，现已成为解决许多实际问题的有力工具．本节将首先从实际问题出发引出定积分的概念，并介绍定积分的几何意义和性质．随后的两节再介绍定积分与微分的内在联系，定积分的计算及其简单应用．一、定积分的概念 1．两个引例例 1 求曲边梯形的面积．初等数学可以计算多边形、圆形和扇形等图形的面积，但对于较复杂的曲线所围成的图形(图 1)的面积计算则无能为力．如图所示，我们总可以用若干互相垂直的直线将图形分割成如阴影部分所示的基本图形，它是由两条平行线段，一条与之垂直的线段，以及一条曲线弧所围成，这样的图形称为曲边梯形．特别地，当平行线之一缩为一点时，称为曲边三角形．现在求由直线0,,===ybxax和连续曲线)(xfy = ) 0)((xf所围成的曲边梯形 AabB (图 2)的面积 S ．如1 / 7果曲边梯形的高不变,即Cy =(常数),则根据矩形面积公式面积=底高便可求出它的面积．但如果)(xfy =是一般曲线，则底边上每一点 x 处的高)(xf随 x 变化而变化，上述计算公式就不适用．对于这样一个初等数学无能为力的问题，我们解决的思路是：将曲边梯形分成许多小长条(图 2),每一个长条都用相应的矩形去代替,把这些矩形的面积加起来,就近似得到曲边梯形的面积S ．小长条分得越细，近似程度越好，取极限就是面积 S ．具体地，分四步来解决． (1) 分割(化整为零) 在区间],[ba内任意添加1n个分点：将区间],[ba分成 n 个子区间，这些子区间的长度记为 1 i=}∆{iixxx ),, 2 , 1=(ni，并用符号i x∆= max表示这些子区间的最大长度．过1n个分点作 x 轴的垂线，于是将曲边梯形分割成n 个小曲边梯形，它们的面积记作i S∆ ),, 2 , 1=(ni．显然=i∆=niSS1． (2) 代替（以直代曲）在第 i 个子区间],[1iixx 上任取一点i ，作以)(if 为高，],[1iixx为底的第 i 个小矩形，小矩形的面积为 iixf∆)( ),, 2 , 1=(ni第i 个小曲边梯形的面积 iiixfS∆∆)( ),, 2 , 1=(ni． (3) 求和（求曲边梯形面积的近似值）将 n 个小矩形的面积加起来，便得到原曲边梯形面积的近似值 nxfS1(4) 取极限（积零为整）不难想到，当分割越来越细(即 n 越来越大，同时最长的子区间长度越来越小时)， n 个矩形的面积和就越来越接近于原曲边梯形的面积．于是---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 当同时0时，矩形面积之和的极限就是原曲边梯形的面积 S，即nxfS1) 0( =i∆ii)(． n，=i∆=iinlim)(．例 2 求变速直线运动的路程设作变速直线运动物体的速度为路程ｓ．如果物体作匀速直线运动，即速度是常量，那么路程＝速度时间但现在物体运动的速度是变量，我们可以采取与计算曲边梯形面积相似的方法来计算要求的路程． ],[ba内任意添加将区间],[ba分成 n 个子区间],[1iitt , 2 , 1(i==∆iiittt , 2 , 1(i=并用符号{}= maxniss1)(tvv =) 0( t，求该物体在时间间隔],[ba 内运动的(1) 分割（化整为零）在时间区间1n个分点：bttnn=，这些子区间的长度记为， it ∆表示这些子区间的最大长度．这样就把路程ｓ分割成 n 段路程is∆),, 2 , 1=(ni．显然 =i∆=． (2) 代替（以匀代变）在第 i 个子区间],[1iitt上任取一点i ，则iitv∆的变化也很小，)(v表示物体在时间段],[1iitt上以匀速)(iv 运动时所经过的路程．当it∆很小时，速度)(t可以近似地看做不变，即在时间段],[1iitt∆上物体近似地以匀速)(iv 运动，于是有 is ∆iitv)( ),, 2 , 1=(ni． (3) 求和（求总路程的近似值）把n 个子区间来，就得到 ],[1iitt上按匀速运动计算出的路程加起=i∆niitvs1)(． (4) 取极限（积零为整）不难想到，当对时间间隔],[ba的分割越来越细，小区段上0时，和式的极限看作匀速运动时的路程之和就越来越接近 s ．于是当即为 s 的精确值 n，3 / 7同时 =i) 0∆=niinlim(tvs1)(．上面两个问题，一个是几何问题，一个是物理问题，但从数学的角度来考察，所要解决的数学问题相同：求与某个变化范围内的变量有关的总量问题．数学结构相同：求 n 个乘积nxf1出定积分的概念． iixf∆)(之和=∆iii)(，当n，同时{}0max∆=i x时的极限．由此可抽象２．定积分的概念定义 1 设)(xf 是定义在区间],[ba上的有界函数，用点：将区间],[ba任意分成 n 个子区间，这些子区间的长度记为1 i=∆的和式．在每个子区间,[1ix上任取一点i ，作 n 个乘积iixf∆)( =∆niiixf1)(．如果当n，同时最大子区间长度{}0max∆=i x时，和式=∆niiixf1)(的极限存在，并且极限值与区间],[bba的分法以及i 的取法无关，则该极限值称为函数)(xf在区间],[ba上的定积分．记作adxxf)(，即badxxf)(=i) 0∆=niinlim(xf1)(．其中右端的iixf∆)(称为积分元素， =(∆niiixf1)(称为积分和（或和式），左端的符号称为积分号，称为积分区间， a 称为积分下限， b 称为积分上限．定积分存在称为可积，否则称为不可积．有了定积分的概念，前面两个问题可以分别表述为：曲边梯形的面积 S 是曲线)(xf称为被积函数，dxxf)称为被积表达式， x 称为积分变量，],[ba)(xfy =) 0)((xf在区间],[ba上的定积分，即 =S badxxf)(．变速直线运动的物体所经过的路程 s---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 是速度)(tvv =在时间区间],[ba上的定积分，即=badttvs)( 由定积分的定义可知 b(1)定积分变量的字母无关，因而 adxxf)(只与函数)(xf的对应法则以及定义区间],[ba有关，而与表示积分 a 、 b 是常数时，定积分badxxf)(=是一常数． badttf )( badxxf)(图 6 图 3 图 4 图 5 (2) 定积分{max∆]的分法无关，与badxxf)(的实质是和式=∆niiixf1)(的极限（n同时}0=,i x[）．是一种特殊和式（ n 个乘积iixf∆)(之和）的特殊极限（该极限与bai 的取法无关）． )可积？ )(x在,[ba什么条件下(xff定理设函数]上连续，则函数)(xf在],[ba上可积．（证明从略）二、定积分的几何意义从例子，我们看到当0)(xf时，定积分时，曲边梯形在 x 轴的下方，badxxf)(表示曲边梯形的面积．当bf0)(xf定积分(xfadxx)(在几何上表示上述曲边梯形面积的负值．当)在],[ba上有正、有负时，则定积分)(xfy =，直线几块曲边梯形面积的代数和(图 3)，即bbadxxf)(在几何上表示：曲线ax =，bx =及x 轴所围成的321)(SSSdxxfa+=．例 3 利用定积分的几何意义说明：abdxba= （) ba ．三、定积分的性质由定积分的定义、几何意义以及函数极限的运算法则可以推知定积分有如下性质（设下面所论及的函数在所论及的区间上是可积的）：abxfdxxf)()(性质１． =badx．性质２ 0)(=aadxxf性5 / 7质３[])=bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(．性质４=babadxxfkdxxkf()( （ k 为常数）．性质５（对积分区间的可加性）， cbdxxfdxxf)()(,a+=bcaadxxf)( 其中 c 可以在],[ba内，也可以在][ba外． )(图 4)，显然有这个性质的几何解释：若bdxxf)(,b(bc+=ccaadxxfdxxf)()(．若c 在],[bba外，如(图5)，则有afdx(=+=baccdxxfdxxxf)())(，因为bcaacdxxfdxxf)()(，所以 =caabcdxxfdxxfdxxf)()()(，图 7 图 8 A B 即 (f+=bccabadxxfdxxfdxxf)()()(．性质６（保序性）若在bf],[ba上)()xgx，则 baadxxgdxx)()(．这个性质的几何解释(图 6) ：显然曲边梯形 aCDb 的面积不大于曲边梯形 aABb 的面积．性质７（有界性）设 M 和 m 分别是)(xfb性质７的几何解释(图 7）：曲边梯形 aABb 的面积介于矩形间．性质８（定积分中值定理）若)(xf在,[ab=在],[ba上的最大值和最小值，则 )()()(abMdxxfabma． bBaA11和bBaA22的面积之]b上连续，则在],[ba上至少存在一点，使 ))(()(abfdxxfa．这个性质的几何意义是，曲边梯形 aABb 的面积等于以的面积（图 8 的阴影部分）． ],[ba 为底，)(f为高的矩形注：由性质8 得公式=badxxfabf)(1)(，称badxxfab)(1为函数)(xf在],[ba上的平均值，记作y ，即---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ =ybadxxfab)(1．例 4 比较定积分21ln xdx 与2x212ln xdx 的大小．例 5 估算定积分 +11dxx值的范围．小结本讲内容：１．定积分的概念２．定积分的性质 3．定积分的几何意义作业：P122~P123 1； 2； 3； 4； 5。

微积分》第二篇第二章讲义定积分

dx
1 e4 1 x4 e 1 3e4 1 4 4 1 16
28
（4）求定积分 2 xcos2xdx. 0
【解】
2
xcos2xdx
1
2 x(sin2x)dx
0
20
1 2
x
sin
2x
2 0
2 0
1
s
in
2
xdx
1 2
0
1 2
2 0
(c
os2
x)dx
1 2
0
1 cos2x 2
0 excosxdx 0 ex cosxdx
a
a
excosx 0 0 exsinxdx aa
1 eacosa 0 ex sinxdx a
37
即 0 excosxdx a
1 eacosa exsinx 0 0 excosxdx aa
1 eacosa 0 easina 0 excosxdx a
39
21
2 22 1
1 e2 1 4 24
【例7】求定积分 4 1 xex dx. 0
解：原式
4
1dx
4 xexdx.
0
0
x 4
4
x
ex
dx.
0
0
4
xex
4 0
4 0
x
e
xdx
.
4 4e4 4 exdx 0
4 4e4 ex 4 5 5e4 0
25
课本P-274，题2，（1）—（4）
广义积分 f (x)dx收敛或存在. a 相反，如果极限 lim b f (x)dx不存在， b a
我们就称广义积分 f (x)dx发散或不存在. a 我们的目标：计算一些函数的广义积分

2定积分定义

a1dx = a dx = b a .
b b
b
b
b
b
b
b
c
b
f ( x)dx .
上页
下页
返回
退出
•性质5 如果在区间[a, b]上 f (x)0, 则
a f ( x)dx 0 (a<b).
•推论1 如果在区间[a, b]上 f (x)g(x), 则
b
a f ( x)dx a g ( x)dx (a<b).
1 11 = 1 ( 1 x ) dx = . 0 2 2
1
首页
上页
下页
返回
退出
三、定积分的性质
两点规定
(1)当 a=b 时, (2)当 a>b 时,
a f ( x)dx = 0 ; a f ( x)dx = b
b a
b
f ( x)dx .
上页
下页
返回
退出
三、定积分的性质
• 性质1 1 性质
上页
下页
返回
退出
三、定积分的性质
• 性质1 1 性质 •性质2 2 性质 •性质3 3 性质
a [ f ( x) g ( x)]dx = a f ( x)dx a g ( x)dx . a kf ( x)dx = k a f ( x)dx . >>> a f ( x)dx = a f ( x)dx c
n
于是

i n 1 x n e dx = lim e 0 n i =1

n 2 1 1 1 = lim (e n e n e n ) n n n
1 e n [1 e]
1 = lim n n

定积分的基本概念

定积分的基本概念
一、定积分的基本概念
1.定积分的定义
定积分是指在区间[a,b]中，用函数f(x)的值在x处取的积分，其中x取值于a到b之间的某个点，f(x)的积分称为定积分。

也可以表示为
∫a, bf(x)dx=∫f(x)dx
即：将函数f(x)从x=a到x=b的定积分。

2.定积分的性质
（1）定积分是一种积分的形式，它是在定的一段区间内对某个函数f(x)求积分的形式。

（2）定积分可以表示为：∫f(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的积分函数。

（3）定积分可以表示为：∫a, bf(x)dx=∑[f(x1)+f(x2)+…
+f(xn)]，其中x1,x2,…,xn为积分区间[a, b]的各个各点。

（4）定积分是一种表示曲线与坐标轴围成的面积的一种数学工具。

二、定积分的计算
1.定积分的数值计算
数值计算定积分，即把范围[a,b]离散成一定的小段，在每个小段上求f(x)的值，再用这些值进行总和，来求出定积分的近似值。

2.定积分的解析计算
解析计算此类定积分，即首先求出f(x)的积分方程，在范围[a,b]内，求得它的解后，再把范围[a,b]的定积分解析成积分函数F(x)的量对应的差值F(b)-F(a)。

三、定积分的应用
定积分的应用主要是用于求出曲线与坐标轴围成的面积，也可以用于求求解线性微分方程，求解有关动力学问题的时候，还有一些物理的和化学的问题，这些问题用的都是定积分的知识。

高二-数学-选修2-2--定积分与微积分基本定理

定积分与微积分基本定理教学重点：定积分的概念、定积分的几何意义．求简单的定积分,微积分基本定理的应用教学难点：定积分的概念、求曲边图形面积．一．定积分的概念回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程等问题的解决方法，这几个问题都有什么共同点呢？分割→以直代曲→求和→取极限（逼近一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，分割用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），以直代曲在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=L ，每份小曲边梯形的面积近似为()i f x ξ∆ 求和：11()()nnn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑取极限如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

记为：()baS f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。

思考定积分()baf x dx ⎰是一个常数还是个函数？即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．常见定积分曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()baW F r dr=⎰理解本来面积=底⨯高路程=速度⨯时间功=力⨯位移因为都是不规则的，所以都用先分割，再以直代曲，这样就可以相乘了，再求和，再取极限。

二．定积分的几何性质定积分()baf x dx ⎰表示由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，。

2定积分——微积分基本公式

2定积分——微积分基本公式在微积分中，定积分是指对一个函数在一个区间上的积分求解。

在求解定积分的过程中，我们可以使用一些基本公式来简化计算。

接下来，我将介绍一些微积分中常用的基本公式，并解释如何应用这些公式来求解定积分。

1.不定积分和定积分的关系：不定积分和定积分是微积分中的两个重要概念。

给定一个函数f(x)，它的不定积分可以表示为F(x) + C，其中F(x)是f(x)的一个原函数，而C是常数。

定积分可以看作是不定积分的一个特殊情况，它表示对函数f(x)在一个区间[a, b]上的积分值，记作∫[a，b]f(x)dx。

第一部分：如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么对于[a，b]上的定积分，有∫[a，b]f(x)dx = F(b) - F(a)。

第二部分：如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么不定积分∫f(x)dx= F(x) + C。

这两个定理为我们在求解定积分问题时提供了便利。

2.基本积分表：基本积分表是指一些常见函数的积分形式。

以下是一些常见的基本积分表：a) ∫x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C，其中n不等于-1b) ∫e^x dx = e^x + C。

c) ∫sin(x) dx = -cos(x) + C。

d) ∫cos(x) dx = sin(x) + C。

e) ∫1/x dx = ln，x， + C。

f) ∫sec^2(x) dx = tan(x) + C。

g) ∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C。

h) ∫sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C。

这些基本积分表可以帮助我们在求解定积分时，快速找到积分的原函数，从而简化计算。

3.基本定积分公式：在求解定积分时，我们还可以使用一些基本定积分公式来帮助我们化简问题。

以下是一些常用的基本定积分公式：a) ∫a*f(x)dx = a*∫f(x)dx，其中a为常数。

b) ∫[a，b]f(x)dx = -∫[b，a]f(x)dx，这条公式表示了定积分在反向区间上的结果与原定积分结果的相反数相等。

2019-2020学年高二数学人教A版选修2-2教师用书：第1章 1.5.3 定积分的概念 Word版含解析

1.5.3 定积分的概念1．了解定积分的概念．(难点)2．理解定积分的几何意义．(重点、易混点) 3．掌握定积分的几何性质．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 定积分的概念阅读教材P 45内容，完成下列问题．如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf(ξi )Δx ＝________________，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )d x ，即⎠⎛ab f(x(dx ＝__________.其中a 与b 分别叫做__________与__________，区间[a ，b ]叫做______，函数f (x )叫做____________，x 叫做__________，f (x )d x 叫做__________．【答案】 ∑i ＝1n b －a n f (ξi ) lim n→∞∑i ＝1n b －an f (ξi ) 积分下限积分上限积分区间被积函数积分变量被积式⎠⎛12(x ＋1)d x 的值与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0，f (x )＝x ＋1围成的梯形的面积有什么关系？【解析】由定积分的概念知：二者相等．教材整理2 定积分的几何意义阅读教材P 46的内容，完成下列问题．从几何上看，如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么定积分⎠⎛a b f (x )d x 表示由__________________所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分⎠⎛ab f (x )d x 的几何意义．【答案】直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0和曲线y ＝f (x)判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ab f (t )d t .( ) (2)⎠⎛a b f (x )d x 的值一定是一个正数．( ) (3)⎠⎛012x d x <⎠⎛022x d x ( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)√ 教材整理3 定积分的性质阅读教材P 47的内容，完成下列问题．1.⎠⎛ab kf (x )d x ＝________________________(k 为常数)． 2.⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±__________________. 3.⎠⎛ab f (x )d x ＝______________(其中a <c <b )．【答案】 1.k ⎠⎛a b f (x )d x 2.⎠⎛a b f 2(x )d x 3.⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x填空：(1)由y ＝0，y ＝cos x ，x ＝0，x ＝π2围成的图形的面积用定积分的形式表示为__________． (2)⎠⎛-11f (x )d x ＝⎠⎛-10f (x )d x ＋__________. (3)⎠⎛a b (x 2＋2x )d x ＝⎠⎛ab 2x d x ＋________. 【答案】 (1) ⎠⎜⎛0π2cos x d x (2)⎠⎛01f (x )d x (3)⎠⎛a b x 2d x[小组合作型]⎠⎛1【精彩点拨】根据定积分的意义，分四步求解，即分割、近似代替、求和、取极限．【自主解答】令f (x )＝3x ＋2. (1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，将区间[1,2]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n (i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n. (2)近似代替、作和取ξi ＝n ＋i －1n(i ＝1,2，…，n )，则S n ＝∑i ＝1nf ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n ·Δx ＝∑i ＝1n错误!·错误!＝错误!错误!＝错误![0＋1＋2＋…＋(n －1)]＋5＝32×n2－n n2＋5＝132－32n. (3)取极限 ⎠⎛12(3x ＋2)d x＝lim n→∞S n ＝lim n→∞⎝ ⎛⎭⎪⎫132－32n ＝132.利用定义求定积分的步骤[再练一题]1．利用定积分的定义计算⎠⎛12(－x 2＋2x )d x 的值．【解】令f (x )＝－x 2＋2x . (1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[1,2]等分为n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n (i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n.(2)近似代替、作和取ξi ＝1＋in (i ＝1,2，…，n )，则S n ＝∑i ＝1nf ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·Δx ＝∑i ＝1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝⎛⎭⎪⎫1＋i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·1n＝－1n3[(n ＋1)2＋(n ＋2)2＋(n ＋3)2＋…＋(2n )2]＋2n2[(n ＋1)＋(n ＋2)＋(n ＋3)＋…＋2n ]＝－1n3错误!＋错误!·错误!＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋3＋1n .(3)取极限⎠⎛12(－x 2＋2x )d x ＝lim n→∞S n ＝lim n→∞ ⎣⎢⎡－13⎝⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋ ⎦⎥⎤3＋1n＝23.(1)⎠⎛-33－39－x2d x ；(2)⎠⎛03(2x ＋1)d x ； (3)⎠⎛-11－1(x 3＋3x )d x . 【导学号：62952046】【精彩点拨】对于本题(1)、(2)可先确定被积函数、积分区间，画出图形，然后用几何法求出图形面积，从而确定定积分的值；对于(3)可根据被积函数的奇偶性求解．【自主解答】 (1)曲线y ＝9－x2表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆如图(1)所示．其面积为S ＝12·π·32＝92π.由定积分的几何意义知⎠⎛-339－x2d x ＝92π.(2)曲线f (x )＝2x ＋1为一条直线.⎠⎛03(2x ＋1)d x 表示直线f (x )＝2x ＋1，x ＝0，x ＝3围成的直角梯形OABC 的面积，如图(2)．其面积为S ＝12(1＋7)×3＝12.根据定积分的几何意义知⎠⎛03(2x ＋1)d x ＝12.(3)∵y ＝x 3＋3x 在区间[－1,1]上为奇函数，图象关于原点对称，∴曲边梯形在x 轴上方部分面积与x 轴下方部分面积相等．由定积分的几何意义知⎠⎛-11(x 3＋3x )d x ＝0.定积分的几何意义的应用(1)利用定积分的几何意义求⎠⎛ab f (x )d x 的值的关键是确定由曲线y ＝f (x )，直线x ＝a ，x ＝b 及y ＝0所围成的平面图形的形状．常见的图形有三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．(关键词：平面图形的形状)(2)不规则的图形常利用分割法将图形分割成几个容易求定积分的图形求面积，要注意分割点要确定准确．(关键词：分割)[再练一题]2．上例(1)中变为⎠⎜⎛－32329－x2d x ，如何求解？【解】由y ＝9－x2，知x 2＋y 2＝9(y ≥0)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32，其图象如图所示：由定积分的几何意义，知⎠⎜⎛－32329－x2d x 等于圆心角为60°的弓形C ED 的面积与矩形ABC D的面积之和．S 弓形＝12×π3×32－12×3×332＝6π－934，S 矩形＝|AB |×|BC |＝2×32×9－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝932，∴⎠⎜⎛－32329－x2d x ＝6π－934＋932＝6π＋934.[探究共研型]探究1【提示】可先把每一段函数的定积分求出后再相加．探究2 怎样求奇(偶)函数在区间[a ，b ]上的定积分？【提示】 ①若奇函数y ＝f (x )的图象在[－a ，a ]上连续，则⎠⎛-a a f (x )d x ＝0；②若偶函数y ＝g (x )的图象在[－a ，a ]上连续，则⎠⎛-a a g (x )d x ＝2⎠⎛0a g (x )d x .(1)f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，0≤x<1，2x2，1≤x≤2，则⎠⎛02f (x )d x ＝( )A.⎠⎛02(x ＋1)d xB.⎠⎛022x 2d x C.⎠⎛01(x ＋1)d x ＋⎠⎛122x 2d x D.⎠⎛122x d x ＋⎠⎛02(x ＋1)d x (2)已知⎠⎛02f (x )d x ＝8，则⎠⎛02[f (x )－2x ]d x ＝________.【自主解答】 (1)∵f (x )在[0,2]上是连续的，由定积分的性质(3)得⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＝⎠⎛01(x ＋1)d x ＋⎠⎛122x 2d x .(2)由定积分的性质(2)可得 ⎠⎛02[f (x )－2x ]d x ＝⎠⎛02f (x )d x －⎠⎛022x d x ＝⎠⎛02f (x )d x －2⎠⎛02x d x . 又∵⎠⎛02f (x )d x ＝8，⎠⎛02x d x ＝12×2×2＝2，∴⎠⎛02[f (x )－2x ]d x ＝⎠⎛02f (x )d x －2⎠⎛02x d x ＝8－2×2＝4.【答案】 (1)C (2)4利用定积分的性质求定积分的技巧灵活应用定积分的性质解题，可以把比较复杂的函数拆成几个简单函数，把积分区间分割成可以求积分的几段，进而把未知的问题转化为已知的问题，在运算方面更加简洁．应用时注意性质的推广：(1)⎠⎛ab [f 1(x )±f 2(x )±…±f n (x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛a b f 2(x )d x ±…±⎠⎛ab f n (x )d x ； (2)⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎜⎛a c1f (x )d x ＋⎠⎜⎛c1c2f (x )d x ＋…＋⎠⎜⎛cnb f (x )d x (其中a <c 1<c 2<…<c n <b ，n ∈N *)．[再练一题]3．已知⎠⎛0e x d x ＝e22，⎠⎛0e x 2d x ＝e33，求下列定积分的值．(1)⎠⎛0e (2x ＋x 2)d x ；(2)⎠⎛0e (2x 2－x ＋1)d x .【解】 (1)⎠⎛0e (2x ＋x 2)d x＝2⎠⎛0e x d x ＋⎠⎛0e x 2d x ＝2×e22＋e33＝e 2＋e33.(2)⎠⎛0e (2x 2－x ＋1)d x ＝2⎠⎛0e x 2d x －⎠⎛0e x d x ＋⎠⎛0e 1d x ，因为已知⎠⎛0e x d x ＝e22，⎠⎛0e x 2d x ＝e33，又由定积分的几何意义知：⎠⎛0e 1d x 等于直线x ＝0，x ＝e ，y ＝0，y ＝1所围成的图形的面积，所以⎠⎛0e 1d x ＝1×e ＝e ，故⎠⎛0e (2x 2－x ＋1)d x ＝2×e33－e22＋e ＝23e 3－12e 2＋e.1．下列等式不成立的是( )A.⎠⎛a b [mf (x )＋ng (x )]d x ＝m ⎠⎛a b f (x )d x ＋n ⎠⎛a b g (x )d xB.⎠⎛a b [f (x )＋1]d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ＋b －aC.⎠⎛a b f (x )g (x )d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ·⎠⎛ab g (x )d x D.⎠⎛－2π2πsin x d x ＝⎠⎛－2π0sin x d x ＋⎠⎛02πsin x d x 【解析】利用定积分的性质可判断A ，B ，D 成立，C 不成立．例如⎠⎛02x d x ＝2，⎠⎛022d x ＝4，⎠⎛022x d x ＝4，即⎠⎛022x d x ≠⎠⎛02x d x ·⎠⎛022d x . 【答案】 C2．图1-5-3中阴影部分的面积用定积分表示为()图1-5-3A.⎠⎛012x dxB.⎠⎛01(2x －1)d xC.⎠⎛01(2x ＋1)d xD.⎠⎛01(1－2x )d x 【解析】根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为⎠⎛012x d x －⎠⎛011d x ＝⎠⎛01(2x －1)d x .【答案】 B3．由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________. 【导学号：62952047】【解析】 ∵0＜x ＜π2，∴sin x ＞0.∴y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式为⎠⎜⎛0π2 sin x d x .【答案】 ⎠⎜⎛0π2 sin x d x4．若⎠⎛a b [f (x )＋g (x )]d x ＝3，⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x ＝1，则⎠⎛a b [2g (x )]d x ＝________.【解析】 ⎠⎛ab [2g (x )]d x＝⎠⎛a b [(f (x )＋g (x ))－(f (x )－g (x ))]d x ＝⎠⎛a b [f (x )＋g (x )]d x －⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x ＝3－1＝2. 【答案】 25．用定积分的几何意义求⎠⎛-114－x2d x .【解】由y ＝4－x2可知x 2＋y 2＝4(y≥0)，其图象如图．⎠⎛-114－x2d x 等于圆心角为60°的弓形C E D 的面积与矩形ABCD 的面积之和． S 弓形＝12×π3×22－12×2×2sin π3＝2π3－3.S 矩形＝|AB |·|BC |＝23.∴⎠⎛-114－x2d x ＝23＋2π3－3＝2π3＋3.。

2定积分

第2讲定积分的概念【知识梳理】 1．连续函数如果函数y ＝f(x)在某个区间I 上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区间I上的连续函数． 2．曲边梯形的面积(1)求曲边梯形面积的思想：如图①所示，我们求y ＝f(x)与x 轴所围成的在区间[0,1]上的曲边梯形的面积，我们可以采用分割，以直代曲、作和，逼近的思想方法求出其面积．即把区间[0,1]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形．对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．可以想象，随着拆分越来越细，近似程度就会越来越好．也即用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积． (2)求曲边梯形面积的方法和步骤： ①分割在区间[0,1]上等间隔地插入n －1个点，将它等分成n 个小区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ，2n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1n ，1，记第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )，其长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n . 分别过上述n －1个分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形(如图①)，它们的面积记作：ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n .显然S ＝∑=ni i S 1.②近似代替如图①所示，当n 很大，即Δx 很小时，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上，可以认为函数y ＝f (x )的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于左端点i －1n 处的函数值f ⎝⎛⎭⎪⎫i －1n .从图形上看，就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边(图②)．这样，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上，用小矩形的面积ΔS ′i 近似地代替ΔS i ，即在局部小范围内“以直代曲”，则有ΔS i ≈ΔS ′i ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫i －1n Δx . ③求和各个小矩形的面积求和，图②中阴影部分的面积S n 为S n ＝∑=ni i S 1'＝x ni ni ∆-∑=1)1(，从而得到曲边梯形的面积S ≈S n . ④取极限如图③所示，可以看到，当n 趋向于无穷大，即Δx 趋向于0时，S n 趋向于S ，从而有S ＝n n S ∞→lim .3．求变速直线运动的位移(路程)如果物体做变速直线运动，速度函数为v ＝v(t)，那么也可以采用取极限，近似代替，求和，分割的方法，求出它在a≤t≤b 内所作的位移s.求解方法与求曲边梯形面积类似，我们采取“以不变代变”的方法，把求变速直线运动的路程问题，化归为求匀速直线运动的路程问题．即将区间[a ，b]等分成n 个小区间，在每个小区间上，由于v(t)的变化很小，可以认为汽车近似于做匀速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，再求和得s 的近似值，最后让n 趋向于无穷大就得到s 的精确值．想一想：求曲边梯形面积时，对曲边梯形进行“以直代曲”，怎样才能尽量减小求得的曲边梯形面积的误差？提示为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多，得到的面积的误差越小． 4．定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成 n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )作和式x f ni i ∆∑=1)(ξ＝∑=-ni i f n ab 1)(ξ，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎰b adx x f )(，即⎰badx x f )(＝)(lim 1i ni nf nab ξ∑=∞→-．其中a 与b 分别叫做积分上限和积分下限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数， x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 5．定积分的几何意义如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么定积分⎰ba dx x f )(表示由直线a x =，0=y ，b x =和y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．想一想：当f (x )在区间[a ，b ]上且f (x )<0时，⎰ba dx x f )(表示的含义是什么？提示当f (x )在区间[a ，b ]上值小于零时，⎰badx x f )(表示由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝b ，y ＝0所围成的图形的面积的相反数． 6．定积分的性质【典例分析】【类型型一】求曲边梯形的面积【例1】求抛物线f(x)＝1＋x 2与直线x ＝0，x ＝1，y ＝0所围成的曲边梯形的面积S. [思路探索] 要求这个曲边梯形的面积，可以按分割，近似代替、求和、取极限四个步骤进行．解 (1)分割：把区间[0,1]等分成n 个小区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )，其长度Δx ＝1n ，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，其面积记为ΔS i (i ＝1,2，…，n )．(2)近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积．ΔS i ＝f ⎝⎛⎭⎫i －1n ·Δx ＝⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫i －1n 2·1n (i ＝1,2，…，n )．(3)求和：∑=n i i S 1＝∑=ni 11n ⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫i －1n 2.(4)取极限：S ＝ limn →∞∑=ni 11n ·⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫i －1n 2＝1＋ lim n →∞∑=ni 1⎝⎛⎭⎫i －1n 2·1n＝1＋ lim n →∞13⎝⎛⎭⎫1－1n ⎝⎛⎭⎫1－12n ＝1＋13＝43.所以所求的曲边梯形的面积为43.分割、近似代替、求和、取极限是求曲边梯形面积的四个步骤，求曲边梯形的面积时需理解以下几点：①思想：以直代曲；②步骤：化整为零→以直代曲→积零为整→无限逼近；③关键：以直代曲；④结果：分割越细，面积越精确．【变式1】用定积分的定义求由y ＝3x ，x ＝0，x ＝1，y ＝0围成的图形的面积．解 (1)分割：把区间[0,1]等分成n 个小区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n ，(i ＝1,2，…，n )．其长度为Δx ＝1n，把三角形分成一个小三角形和(n －1)个小梯形，其面积分别记为ΔS i (i ＝1,2，…，n )． (2)近似代替：用小矩形的面积代替小三角形和小梯形的面积，取ξi ＝i －1n (i ＝1,2，…，n )，则ΔS i ＝f ⎝⎛⎭⎫i －1n Δx ＝3·i －1n ·1n ＝3n 2(i －1)(i ＝1,2，…，n )．(3)作和：∑=ni 1S i ＝∑=ni 13n 2(i －1)＝3n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝32·n －1n . (4)取极限：S ＝ limn →∞∑=ni 13n 2(i －1)＝ lim n →∞32·n －1n ＝32. 【类型二】求变速运动的路程【例2】用定积分定义求物体自由落体的下落距离．已知自由落体的运动速度v ＝gt ，求在时间区间[0，t ]内物体下落的距离．[思路探索] 选定区间→分割→近似代替→求和→取极限解 (1)分割：将时间区间[0，t ]分成n 等份．把时间[0，t ]分成n 个小区间⎣⎡⎦⎤i －1n t ，it n (i ＝1,2，…，n )，每个小区间所表示的时间段Δt ＝it n －i －1n t ＝tn ，在各小区间物体下落的距离记作Δs i (i ＝1,2…，n )．(2)近似代替：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程．在⎣⎡⎦⎤i －1nt ，it n 上任取一时刻ξi (i ＝1,2，…，n )，可取ξi 使v (ξi )＝g (i －1)n t 近似代替第i 个小区间上的速度，因此在每个小区间上自由落体Δt ＝tn 内所经过的距离可近似表示为Δs i ≈g ·i －1n t ·t n (i ＝1,2，…，n )．(3)求和：s n ＝∑=ni 1s i ＝∑=ni 1·i －1n ·t ·t n ＝gt 2n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝12gt 2⎝⎛⎭⎫1－1n . (4)取极限：s ＝ lim n →∞12gt 2⎝⎛⎭⎫1－1n ＝12gt 2. 求变速直线运动的路程问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，仍然利用以直代曲的思想，将变速直线运动问题转化为匀速直线运动问题，求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限．【变式2】一辆汽车在直线形公路上做变速行驶，汽车在时刻t 的速度为v (t )＝－t 2＋5(单位：k m/h)，试计算这辆汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s (单位：k m)．解 (1)分割：在区间[0,2]上等间隔插入n －1个点，将区间分成n 个小区间⎣⎡⎦⎤2(i －1)n ，2i n .记第i 个小区间为⎣⎡⎦⎤2(i －1)n，2i n (i ＝1,2，…，n )，Δt ＝2n .则汽车在时间段⎣⎡⎦⎤0，2n ，⎣⎡⎦⎤2n ，4n ，⎣⎡⎦⎤2(n －1)n ，2n n 上行驶的路程分别记为：Δs 1，Δs 2，…，Δs i ，…，Δs n ，有s n ＝∑=ni 1s i .(2)近似代替：取ξi ＝2i n (i ＝1,2，…，n )，Δs i ≈v ⎝⎛⎭⎫2i n ·Δt ＝⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫2i n 2＋5·2n ＝－4i 2n 2·2n ＋10n (i ＝1,2，…，n )．s n ＝∑=ni 1s i ＝∑=ni 1⎣⎡⎦⎤－4i 2n 2·2n ＋10n ＝－8·13⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫1＋12n ＋10.(3)取极限：s ＝lim n →∞s n ＝lim n →∞⎣⎡⎦⎤－8·13⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫1＋12n ＋10＝223.【类型三】利用定积分定义计算定积分【例3】利用定积分定义计算⎰+21)1(dx x 的值．[思路探索] 将区间[1,2]等分为n 个小区间，然后用小矩形的面积近似替代小梯形的面积，再求其和，最后对其和取极限即得所求定积分．解 (1)分割：∵f (x )＝1＋x 在区间[1,2]上连续，将区间[1,2]分成n 等份，则每个区间长度为Δx i ＝1n ，(2)近似替代：在[x i －1，x i ]＝[1＋i －1n ，1＋in ]上取ξi ＝xi －1＝1＋i －1n (i ＝1,2,3，…，n )，于是f (ξi )＝f (x i －1)＝1＋1＋i －1n ＝2＋i －1n ，(3)求和：从而∑=ni 1(ξ1)Δx i ＝∑=ni 1(2＋i －1n )·1n＝∑=ni 1(2n ＋i －1n 2)＝2n ·n ＋1n2[0＋1＋2＋…＋(n －1)] ＝2＋1n 2·n (n －1)2＝2＋n －12n ，(4)取极限：⎰+21)1(dx x ＝∞→n lim (2＋n －12n )＝2＋12＝52.(1)利用定积分的定义计算定积分的值能加深对定积分的概念及其几何意义的理解，用定积分的定义求定积分的步骤是：①分割，②近似代替，③求和，④取极限．(2)在每个小区间[xi －1，xi]上对ξi 的选取是任意的，为了计算方便，ξi 可都取为每个小区间的左端点(或都取为右端点)．【变式3】利用定积分的定义，计算⎰+21)23(dx x 的值．解令f (x )＝3x ＋2.(1)分割：在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[1,2]等分成n个小区间[n ＋i －1n ，n ＋i n ](i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n .(2)近似代替、求和取ξi ＝n ＋i －1n (i ＝1,2，…，n )，则S n ＝∑=n i 1(n ＋i －1n )·Δx ＝∑=n i 13(n ＋i －1)n ＋2]·1n ＝∑=n i 13(i －1)n 2＋5n ]＝5＋3n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝32×n 2－n n 2＋5＝132－32n . (3)取极限：⎰+21)23(dx x ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞(132－32n )＝132.【类型四】定积分几何意义的应用【例4】用定积分的意义求下列各式的值．（1）⎰-+31)13(dx x ；（2）dx x ⎰--232321[规范解答] (1)由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0以及y ＝3x ＋1所围成的图形，如图所示：(3x ＋1)d x 表示由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0以及y ＝3x ＋1所围成的图形在x 轴上方的面积减去在x 轴下方的面积，∴⎰-+31)13(dx x ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋13×(3×3＋1)－12⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1·2＝503－23＝16.(2)由y ＝1－x 2可知，x 2＋y 2＝1，(y ≥0)图象如图，由定积分的几何意义知等于圆心角为120°的弓形CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和． S 弓形＝12×23π×12－2×12×1×1×sin π3cos π3＝π3－34，S 矩形＝|AB |·|BC |＝2×32×12＝32，∴ dx x ⎰--232321＝π3－34＋32＝π3＋34.【题后反思】 (1)用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤是： ①准确画出各曲线围成的平面区域；②把平面区域分割成容易表示的几部分，同时要注意x 轴下方有没有区域； ③解曲线组成的方程组，确定积分的上、下限； ④根据积分的性质写出结果．(2)利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积，不规则的图形常用分割法求面积，注意分割点的准确确定．【变式4】利用定积分的几何意义求：（1）⎰--2224dx x ；（2）⎰-121dx x .解 (1)被积函数的曲线是圆心在原点，半径为2的半圆周，由定积分的几何意义知此积分计算的是半圆的面积，所以有(2)∵被积函数为y ＝1－x 2，其表示的曲线为以原点为圆心，1为半径的四分之一的圆，由定积分的几何意义可知，所求的定积分即为该四分之一圆的面积．方法技巧无限逼近的思想求曲边梯形的面积求定积分四个步骤：分割，近似代替，求和，取极限，关键环节是求和．体现的基本思想就是先分后合，化曲为直，通过取极限，求得整体图形的面积．【家庭作业】1．函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上，( )．A ．f (x )的值变化很小B ．f (x )的值变化很大C ．f (x )的值不变化D ．当n 很大时，f (x )的值变化很小解析当n 很大时，区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 的长度1n 越来越小，f (x )的值变化很小，故选D.2．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值可以用下列哪个值近似代替( )．A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1nB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2nC ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n D ．f (0)解析当n 很大时，f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替，也可以用左端点或右端点的函数值近似代替，故选C.3．已知定积分⎰60)(dx x f ＝8，且f (x )为偶函数，则⎰-66)(dx x f ＝( )．A ．0B ．16C ．12D ．8解析偶函数图象关于y 轴对称，故⎰-66)(dx x f =2⎰6)(dx x f =16，故选B.4．下列等式成立的是( )．解析由定积分的几何意义，选C. 5．下列式子中不成立的是( )．解析分析被积函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 在各区间的图象，由定积分的几何意义，易得只有C 选项不成立，故选C.6．如图所示阴影部分的面积用定积分表示为________．答案7．若⎰badx x f )(=6，则 lim n →∞∑=ni i f 1)(ξb －a n ＝________.解析由定积分的定义可得．答案 68．设f (x )是[a ，b ]上的连续函数，则⎰badx x f )(⎰-badt t f )(的值为________．解析因为定积分与符号无关，所以⎰badx x f )(=⎰badt t f )(.答案 09．利用定积分的几何意义计算⎰+31)2(dx x 的值是________．解析由定积分的几何意义知，⎰+31)2(dx x 就是如图所示阴影部分的面积．答案 810．利用定积分定义计算∫10x 3d x . 解 (1)分割：0<1n <2n <…<n －1n <n n ＝1.(2)求和：⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 3·1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n 3·1n ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n n 3·1n ＝∑=ni 1⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 3·1n. (因为x 3连续，所以ξi 可随意取而不影响极限，故我们此处将ξi 取为[x i ，x i ＋1]的右端点也无妨)(3)取极限： lim n →∞∑=ni 1⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 3·1n＝ lim n →∞1n 4∑i ＝1n i 3＝ lim n →∞1n 4·⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22＝14. 此处用到了求和公式13＋23＋…＋n 3＝(1＋2＋…＋n )2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22，因此∫10x 3d x ＝14. 11．已知汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度为v (t )＝－t 2＋2t (单位：k m/h)，求它在1≤t ≤2这段时间行驶的路程是多少？解将时间区间[1,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n ，在第i 个时间段的路程近似为Δs i ＝v ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n Δt ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·1n ，i ＝1,2，…，n .所以s n ＝∑i ＝1nΔs i ＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·1n＝－1n 3[(n ＋1)2＋(n ＋2)2＋(n ＋3)2＋…＋(2n )2]＋2n 2[(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋2n ] ＝－1n 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n (2n ＋1)(4n ＋1)6－n (n ＋1)(2n ＋1)6＋ 2n 2·n (n ＋1＋2n )2＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋ 16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋3＋1n ， s ＝S n ＝－13⎝⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋161＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋3＋1n ＝23，所以这段时间行驶的路程为23 k m.12．(创新拓展)求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与二次函数曲线f (x )＝4x 2＋2x ＋1所围成的曲边梯形的面积．解 (1)分割：将[0,2] n 等分，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n (i ＝1,2，…，n )的区间长度Δx ＝2n ，原曲边梯形分割成n 个小曲边梯形，如图所示．(2)用f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n 作为第i 个小曲边梯形的高作成小矩形，并用小矩形面积近似替代相应小曲边梯形面积． (3)n 个小矩形面积之和S n ＝∑i ＝1n f [2(i －1)n ]Δx ＝∑i ＝1n [16(i －1)2n 2＋4(i －1)n ＋1]2n＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16n 2[12＋22＋…＋(n －1)2]＋4n [1＋2＋…＋(n －1)]＋n 2n ＝32n 3·16n (n －1)(2n －1)＋8n 2·12n (n －1)＋2＝163⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1n ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋2 (4)所求曲边梯形面积S ＝ lim n →∞S n＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤163⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1n ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋2 ＝163(1－0)(2－0)＋4(1－0)＋2＝323＋6＝503.。

2018学年人教A版数学选修2-2课件第一章导数及其应用 1.5.3定积分的概念精品

这个常数叫做函数 f(x)在区间[a，b]上的定积分，记
作∫baf(x)dx，即∫baf(x)dx＝
n
i＝1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b－n af(ξi)，这里，a
与
b
分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数 f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式．
2．定积分的几何意义
从几何上看，如果在区间[a，b]上函数 f(x)连续且恒有 f(x)≥0，那么定积分∫baf(x)dx 表示由直线 x＝a，x＝b， y＝0 和曲线 y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．
2．定积分∫baf(x)dx 的几何意义是：介于 x＝a，x＝b 之间，x 轴上、下相应曲边平面图形面积的代数和，其中 x 轴上方部分的面积为正，x 轴下方部分的面积为负．
3．定积分的性质主要涉及定积分的线性运算，这是解决定积分计算问题的重要工具．注意这些性质的正用、逆用以及变形使用．
答案：16
归纳升华用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤是： (1)准确画出各曲线围成的平面区域； (2)把平面区域分割成容易表示的几部分，同时要注意 x 轴下方有没有区域； (3)解曲线组成的方程组，确定积分的上、下限； (4)根据积分的性质写出结果．
[类题尝试] 如图所示，阴影部分的面积分别以 A1， A2，A3 表示，则定积分∫baf(x)dx＝________．
(2)已知 f(x)＝45－－2 xx，，xx∈∈[[23，，35）]，，求 f(x)在区间[0， 5]上的定积分．
解：(1)由定积分的几何意义得：∫3－3 9－x2dx＝π·2 32 ＝92π，∫3－3x3dx＝0，由定积分性质得∫3－3( 9－x2－x3)dx ＝∫3－3 9－x2dx－∫3－3x3dx＝92π.

( 人教A版)高中数学选修22：1.5.3定积分的概念课件 (共35张PPT)

)dx＝1，
a
a
所以c2f(x)dx＋b2f(x)dx
a
c
＝2(cf(x)dx＋bf(x)dx)
a
c
＝2bf(x)dx＝4. a
答案：4
3．计算定积分3(2x＋1)dx＝________. 0
解析：3(2x＋1)dx 表示直线 f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3 围成的直角梯形 OABC 的 0
a
＝b，y＝0，再明确被积函数 f(x)，从而确定曲边梯形的曲边，这样就可以通过求曲边梯形的面积 S 而得到定积分的值：当 f(x)≥0 时，bf(x)dx＝S；
a
当 f(x)<0 时，bf(x)dx＝－S. a
2．利用定积分的几何意义，求：
3
9－x2dx.
－3
解析：(1)在平面上 y＝ 9－x2表示的几何图形为以原点为圆心以 3 为半径的上半圆如
2
3552－x2dx＝21×2×1＝1，
∴5f(x)dx＝2xdx＋3(4－x)dx＋
0
0
2
3552－x2dx＝2＋23＋1＝29.
利用定积分的性质计算定积分的步骤： (1)如果被积函数是几个简单函数的和的形式，可以利用定积分的线性性质计算，可以简化计算． (2)如果被积函数含有绝对值或被积函数为分段函数，一般利用积分区间的连续可加性质计算．
dx
1
1
＝32.
(3)
1
1－x2dx 表示的是图(3)中阴影所示半径为 1 的半圆的面积，其值为π2，
-1
所以1
1－x2dx＝π2.
-1
由定积分的几何意义求定积分的步骤： (1)当 f(x)≥0 时，bf(x)dx 等于由直线 x＝a，x＝b，y＝0 与曲线 y＝f(x)围成曲边

定积分的概念定积分应用

THANKS
谢谢
总结词
定积分在弹性力学中用于计算物体在受力作用下的应力和应变。
详细描述
在弹性力学中，物体在受力作用下的应力和应变可以通过将弹性力学方程与定积分相结合来计算。通过确定物体的受力分布和边界条件，可以计算出物体的应力和应变。
热传导中的温度分布
总结词
定积分在热传导中用于计算物体内部的温度分布。
详细描述
在热传导问题中，物体内部的温度分布可以通过将热传导方程与定积分相结合来计算。通过确定物体的热源、边界条件和初始温度分布，可以计算出物体在不同时刻的温度分布。
积分区间
由积分下限和积分上限确定的闭区间，表示为 $[a, b]$。
定积分的几何意义
定积分表示曲线与直线$y = x$ 及$x$轴所夹的面积，即曲线下
方间的距离。
当定积分的积分区间为$[a, b]$ 时，定积分的值等于曲线与直线 $y = x$及$x$轴所夹的面积在 $x=a$和$x=b$处的面积差。
恒力做功的计算
在物理学中，恒力做功可以直接用力和位移的乘积来计算。然而，当作用力是变力时，不能简单地用力和位移的乘积来计算。
定积分的引入
为了计算变力做功，我们需要引入定积分的概念。通过将变力函数在位移区间上进行积分，可以得到变力做功的值。
04
CHAPTER
定积分在经济学中的应用
边际和弹性
消费者剩余和生产者剩余
消费者剩余
生产者剩余
定积分可用于计算消费者剩余，即消费者愿意支付的价格与实际支付的价格之间的差额。通过积分可以求出整个需求曲线下方的面积，即总消费者剩余。
定积分也可用于计算生产者剩余，即生产者愿意接受的价格与实际接受的价格之间的差额。通过积分可以求出整个供给曲线上方的面积，即总生产者剩余。

人教版高中数学选修2-2第5讲：定积分的概念与微积分基本定理(教师版)

性质 4
b
c
f ( x) d x
a
a
b
(f )x d x
c
( f ) x其d中(x
acb
（定积分对积分区间的可加性）
b
说明：①推广： a [ f1( x) f 2( x)
b
b
f m( x)] dx a f1( x)dx a f2 (x)dx
b
c1
c2
②推广 : f ( x)dx f ( x) dx f ( x)dx
b
f ( x) d x F( b) F( a)
a
若上式成立，我们就找到了用 f ( x) 的原函数（即满足 F (x)
f (x) ）的数值差 F (b)
计算 f (x) 在 [ a,b] 上的定积分的方法。
注： 1：定理如果函数 F ( x) 是 [a,b] 上的连续函数 f (x) 的任意一个原函数，则
a
a
c1
b
f ( x)dx
ck
③性质解释：
b
a fm(x)
y
性质 1
y=1
y A
性质 B4
C
Oa
b
x
M
O
a
N P bx
S曲边梯形 AMNB
S曲边梯形 AMPC
S曲边梯形 CPNB
2
二、微积分基本定理：
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
设一物体沿直线作变速运动，在时刻 t 时物体所在位置为 S(t),速度为 v(t) （ v(t) o ），
证明：因为
b
f ( x) dx F (b) F (a)
a
x
( x) = f (t )dt 与 F (x) 都是 f (x) 的原函数，故 a

一、定积分概念的引入—两个典型例子二、定积分的概念.

为曲边梯形的高,由于高是变动的,故不能用初等
数学的方法来计算面积 .我们采用“分割—近似
代替—求和—取极限”的过程来解决这一问题.
(1)分割用n－1个分点a=x0<x1<x2<…<xn－1<xn将区
Байду номын сангаас
间[a,b]分成n个小区间[x0,x1],[x1,x2],…,[xn－1,xn],
简记为[xi－1,xi],i=1,2,…,n.每个小区间的长度记
表示.
为求此时的路程 , 仿照上例的方法 , 对时间 t 进行
分割,在每一小段时间间隔内,把速度看成不变的,
然后求和并取极限.
(1)分割
区间[T0,T]用n－1个分点T0=t0<t1<…<ti－1 <t
<…<tn =T,分成n个小区间[t0,t1],[t1,t2],…,[ti1,ti],…,
i
[tn－1,tn],小区间长记为△ti=ti－ti－1,i=1,2,…,n.
1i n
,令λ→0,若不论区间如何分
n
割,ξi如何取法,极限
lim Sn lim f (i )xi
0 0
i 1
(6.1)
存在,则称此极限值为函数f(x)在区间[a,b]上的
定积分,记作

即
b a
b
f ( x)dx
f ( x)dx lim f (i )xi
0
i 1
n
1i n
例6.2 变速直线运动的路程问题
设一质点沿直线作变速运动 , 其速度 v=v(t), 求在时间间隔[T0,T]内质点所走的路程. 在匀速直线运动中 , 速度v 和时间t无关 , 是一常数 v0, 用图形表示 , 是一条平行于 t 轴的直线 ( 图 6.4), 在 v 轴上的截距为 v0, 路程 L=v0t=v0(T － T0). 当质点作变速运动时,速度是时间的函数,可用图6.5