2017-东南大学计算力学习题讲解
东南大学结构力学习题(附答案)
M /8
M图
11、 X = ql (←) （有侧支座水平反力） 1 28 13、
P
12、 M CB
= 2.06kN ⋅ m （上侧受拉）
X1
X2
—— 8 ——
15、
17、
P l
X1
Pl 2Pl
Pl
Pl Pl 2 MP 图 Pl 2 M图
M1 图
δ 11 =
2l Pl , Δ1P = − , 3EI EI
Pa
52、
53、
N=4.5qa 117 81 36 1.5 qa 24 9 0 M 图 0 5 qa2 36 _ N= 9qa 4.5qa2 4.5qa
54、
4 54 54
55、
4 N =－28.8 kN 36 36 4 M 图 ( kN . m ) 4
4
56、
2 qa 2 2 qa 2
M 图
57、
第二部分 静定结构内力计算（参考答案）
1、 （O） 6、 （O） 11、 （O） 16、 （O） 19、
3 Pa+1.5 m 0 4 3m 4 0
2、 （X） 7、 （X） 12、 （O） 17、 （X）
3、 （O） 8、 （X） 13、 （O） 18、 （O）
4、 （O） 9、 （O） 14、 （X） 20、
3 30、 Δ DV = 8 Pa / EI + 125 Pa / 4 EA( ↓ )
4 2 31、 Δ DV = 11qa / 24 EI + 15qa / 8 EA( ↓ )
32、 φ SR = 33、 Δ DV
3Pa 2 EI
（
）
东南大学结构力学练习题(附答案)详解
第一部分 平面体系的几何组成分析一、判断题：1、在任意荷载下，仅用静力平衡方程即可确定全部反力和内力的体系是几何不变体系。
2、图中链杆1和2的交点O 可视为虚铰。
O二、分析题：对下列平面体系进行几何组成分析。
3、 4、ACDBAC DB5、 6、A CDBEABCDE7、 8、ABCD GE FA BCDEFGHK9、 10、11、 12、1234513、 14、15、 16、17、 18、19、 20、1245321、 22、124567831234523、 24、12345625、 26、27、 28、29、 30、31、 32、33、ACBDEF三、在下列体系中添加支承链杆，使之成为无多余约束的几何不变体系。
34、35、第二部分 静定结构内力计算一、判断题：1、静定结构的全部内力及反力，只根据平衡条件求得，且解答是唯一的。
2、静定结构受外界因素影响均产生内力，内力大小与杆件截面尺寸无关。
3、静定结构的几何特征是几何不变且无多余约束。
4、图(a)所示结构||M C =0。
(a)BCa aA ϕ2a2 (b)5、图(b)所示结构支座A 转动ϕ角，M AB = 0，R C = 0。
6、荷载作用在静定多跨梁的附属部分时，基本部分一般内力不为零。
7、图(c)所示静定结构，在竖向荷载作用下，AB 是基本部分，BC 是附属部分。
ABC(c)8、图(d)所示结构B 支座反力等于P /2(。
)↑9、图(e)所示结构中，当改变B 点链杆的方向（不通过A 铰）时，对该梁的影响是轴力有变化。
ＡＢ(e)10、在相同跨度及竖向荷载下，拱脚等高的三铰拱，水平推力随矢高减小而减小。
—— 1 ——11、图(f)所示桁架有9根零杆。
(f)a a a a(g)12、图(g)所示桁架有：=== 0。
N 1N 2N 313、图(h)所示桁架DE 杆的内力为零。
a a(h)14、图(i)所示对称桁架在对称荷载作用下，其零杆共有三根。
东南大学-土力学课后习题答案(第三版)
东南大学土力学第二章2-2、有一饱和的原状土样切满于容积为21.7cm 3的环刀内，称得总质量为72.49g，经105℃烘干至恒重为61.28g，已知环刀质量为32.54g，土粒比重为2.74，试求该土样的湿密度、含水量、干密度及孔隙比（要求汇出土的三相比例示意图，按三相比例指标的定义求解）。
解：3/84.17.2154.3249.72cm g V m =-==ρ %3954.3228.6128.6149.72=--==S W m m ω 3/32.17.2154.3228.61cm g V m S d =-==ρ 069.149.1021.11===S V V V e 2-3、某原状土样的密度为1.85g/cm 3，含水量为34%，土粒相对密度为2.71，试求该土样的饱和密度、有效密度和有效重度（先推导公式然后求解）。
解：（1）VV m WV s sat ρρ⋅+=W S m m m += S W m m =ω 设1=S m ρω+=∴1V W S S S V m d ρ=WS W S S S d d m V ρρ⋅=⋅=∴1()()()()()()3W S S W S S W W satcm /87g .1171.20.341171.285.1d 11d 11d 111d 11111=+⨯+-⨯=++-=+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-++=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-++=∴ρωρωρωρωρρωρρωρρρωρW S d 有（2）()3'/87.0187.1cm g VV V V V V V m V V m W sat WV Ssat W V W V W S S W S S =-=-=+-=-+-=-=ρρρρρρρρρ （3）3''/7.81087.0cm kN g =⨯=⋅=ργ或3'3/7.8107.18/7.181087.1cmkN cm kN g W sat sat sat =-=-==⨯=⋅=γγγργ2-4、某砂土土样的密度为1.77g/cm 3，含水量9.8%，土粒相对密度为2.67，烘干后测定最小孔隙比为0.461，最大孔隙比为0.943，试求孔隙比e 和相对密实度Dr，并评定该砂土的密实度。
(完整版)计算力学复习题答案
计算力学试题答案1. 有限单元法和经典Ritz 法的主要区别是什么？答：经典Ritz 法是在整个区域内假设未知函数，适用于边界几何形状简单的情形；有限单元法是将整个区域离散，分散成若干个单元，在单元上假设未知函数。
有限单元法是单元一级的Ritz 法。
2、单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有什么特征？刚度矩阵[K ]奇异有何物理意义？在 求解问题时如何消除奇异性？答：单元刚度矩阵的特征：⑴对称性⑵奇异性⑶主元恒正⑷平面图形相似、弹性矩阵D 、厚度t 相同的单元，e K 相同⑸e K 的分块子矩阵按结点号排列，每一子矩阵代表一个结点，占两行两列，其位置与结点位置对应。
整体刚度矩阵的特征：⑴对称性⑵奇异性⑶主元恒正⑷稀疏性⑸非零元素呈带状分布。
[]K 的物理意义是任意给定结构的结点位移所得到的结构结点力总体上满足力和力矩的平衡。
为消除[]K 的奇异性，需要引入边界条件，至少需给出能限制刚体位移的约束条件。
3. 列式说明乘大数法引入给定位移边界条件的原理？答：设：j j a a =，则将 jj jj k k α=j jj j P k a α=即：修改后的第j 个方程为112222j j jj j j n n jj j k a k a k a k a k a αα+++++=由于得 jj j jj j k a k a αα≈ 所以 j j a a ≈对于多个给定位移()12,,,l j c c c =时，则按序将每个给定位移都作上述修正，得到全部进行修正后的K 和P ，然后解方程即可得到包括给定位移在内的全部结点位移值。
4. 何为等参数单元？为什么要引入等参数单元？答：等参变换是对单元的几何形状和单元内的场函数采用相同数目的结点参数及相同的插值函数进行变换，采用等参变换的单元称之为等参数单元。
借助于等参数单元可以对于一般的任意几何形状的工程问题和物理问题方便地进行有限元离散，其优点有：对单元形状的适应性强；单元特性矩阵的积分求解方便（积分限标准化）；便于编制通用化程序。
东南大学计算力学课件(研究生课程) 第6章 曲边等参单元和数值积分
关键在于，首先要解决进行任意形状单元和规则单元之间的几何变换。
1 坐标系的映射
m
x Ni'xi
m
y Ni' yi
m
z Ni'zi
说明:根据前面收敛性说明可知,对任一连续函数u的唯一性 要求都可以转化为对(x,y,z)坐标的唯一性要求.当相连单 元在相同节点处具有相同的坐标时,则意味着单元是连 续的.
1 坐标系的映射
映射
前面的变换 不会产生这
种情况
不产生缝隙与插值 函数（对应场变量） 要求的协调性是类
似的。
不协调
很容易保证
2 单元的映射变换
其中
(6-2)
N1
1 4
(1 )(1)
N3
1 4
(1 )(1)
N2
1 4
(1 )(1)
N4
1 (1 )(1)
4
(6-3)
2 单元的映射变换
1 坐标系的映射
J 0的条件： d 0 or d 0
or sin(d ,d) 0
η
4
3
η
3 4
ξ
ξ
η
1, 4
d 0
1
正常
2
1, 2
d 0
J 0 4
η
3
ξ
2
sin(d , d) 0
1
即J 0
ξ
η
3
ξ
2
1 坐标系的映射
计算力学大作
以下确定 Q(y)，和 R(x)； 将 u，V 代入 exy 表达式得
PLx PLx 2 dQ( y) vPy 2 dR( x) (1 v) P h 2 ( y2 ) EJ 2 EJ dy 2 EJ dx EJ 4
再分别对 x 和 y 求导并积分有
Q( y )
vPy 3 (1 v) Py 3 (1 v) Pyh 2 Ay B 6 EJ 3EJ 4 EJ PLx 2 Px3 R( x) Ax C 2 EJ 6 EJ
{
联立解得：
c1 2P h3
c2 0
c3
3P 2h
c4
P 2
故： 有上式求解应力：
A
P y y3 ( L x)(1 3 4 3 ) 2 h h
X
2 A P( L x) y y 2 J
{ 利用广义 Hooked 定律
eij
2 A y 0 x 2 2 A P h2 xy ( y2 ) yx 2J 4
目录
计算力学大作业 ......................................................................................................... 1 一． 解析部分 ................................................................................................... 1 二． 数值计算结果 ............................................................................................ 4 第一组： ..................................................................................................... 4 第二组 ......................................................................................................... 8 第三组 ......................................................................................................... 9 第四组 ....................................................................................................... 10 三． COMSOL 计算 .......................................................................................... 11 1x16 网格................................................................................................... 11 1x20 网格................................................................................................... 13 Finer 网格（由 COMSOL 自动生成） ....................................................... 14 较短梁讨论 ....................................................................................................... 15
力学计算2017版(含答案)
力学计算专题知识点：1、速度：ts v = 2、密度：ρρρmV V m V m =⇒=⇒=（单位 1g/cm 3=1000kg/m 3） 3、重力：G=mg （g 一般取10N/kg ） 4、压强：SFp =（液体和气体还可以用gh p ρ=） 5、浮力：)(::::只适合漂浮或悬浮二力平衡法阿基米德原理称重法压力差法浮排排浮示浮向下向上浮G F gV G F F G F F F F ===-=-=ρ6、功：GhW Fs W ==::竖直方向水平方向7、功率：Fv tWP ==8、机械效率：%100⨯=总有用W W η9、杠杆原理：阻阻动动L F L F =常规题：1、正常情况下，冰的密度为33/109.0m kg ⨯，有一块体积为34.0m 的冰块，请求出： （1）这块冰的质量；（2）如果这块冰全部化为水，水的体积是多少3m2有一瓶子，最多能装4kg 煤油，它最多能装多少千克的水？ 还有一个瓶子能装4kg 水，它最多能装多少千克煤油？ （ρ煤油=0.8×103kg/m 3 ρ水=1.0×103kg/m 3)3、刘忠源的公司准备购进20t 煤油，根据规格，已知每个油桶的容积为318.0m ，他又上网查出了煤油的密度为33108.0-⋅⨯m kg ，请问他应准备这种油桶多少个?4、小明在班里坐在最后面，最近老感觉看不太清楚黑板上的粉笔字，估计自己可能是近视了，于是准备去眼镜店配一副眼镜。
根据八年级学到的光学知识，要矫正近视眼，需要配凹透镜。
出于好奇，他上网查到了组成眼镜主要材料的部分技术指标如下表： （1）求一块体积为35cm 的玻璃镜片的质量？（2）一副铜合金镜架的质量20g ，请求出这副镜架的体积？ （3）若以钛合金代替上一问的铜合金，可以减轻多少质量？5、一个质量为9千克的球，体积是1.4分米3，它是空心的还是实心的?如果是空的，空心部分体积多大?(ρ＝7.2×103千克／米3)6、一个边长为5cm 的正方体，重为10N 。
东南大学计算力学课件(研究生课程) 第10章动力学问题
2、动态分析模型的确定
3) 模型应正确反映结构的实际特性。一个具体结构
的动态特性，主要取决于质量、刚度的大小与分布，取决 于结构边界条件与阻尼特性。因此，模型应尽量保持整个 结构、甚至各构件的质量、质心位置不变，保证构造的刚 度特性和传力路线基本不变。真实反映分析对象的边界条 件与阻尼特性。因此，选取的单元应保持其几何形状、受 力特性、变形特性与实际结构的几何形状特点、受力传力 特点、变形特性相一致。
N T
N dV
(t
e
)
M
e
(t
e
)
V
建立此质量矩阵[M]所用的位移插值函数与刚度矩阵一致 ，故称为一致质量矩阵。一致质量矩阵总是正定满秩的 。
10
2、动态分析模型的确定
单元质量矩阵
[M ]e N T N dV V
平面常应变三角形单元的一致质量阵为：
负号表示惯性力与加速度相反。
显然，整个单元上惯性力即为上式的积分。如何将这个作用于单元上 的惯性力移置到单元节点上，通常有两种方法：
1）虚功原理法——求得一致质量矩阵
2）直接分配法——即按重心不变原则分配，求得集中质量矩阵。
9
2、动态分析模型的确定
1）虚功原理法
设单元中发生虚位移为 f *(t) *(t) e
， (t) e 、 (t) e 则单元节点内任一点的位移
f (t) N (t)e
[N]为形函数，与时间t无关，为x、y、z的函数，它与静力分析 中一样；由于[N]与时间无关，则单元应变矩阵，应力矩阵仍与 静力分析完全相同：
(t) B (t)e (t) D (t) DB (t)e
东南大学计算力学课件(研究生课程) 第7章 薄壳问题
312 xy2
y w x (2 24 x 5 y 37 x2 28xy 9 y2 311x2 y 12 y3)
2 薄板弯曲的矩形单元
• 待定系数：利用12个节点位移 值可待定12个系数，整理 w(x,y)为插值函数形式：
w(x, y) Niwi Nxixi N yi yi Nl wl Nxlxl N yl yl
计算力学 第七章 弹性薄板弯曲问题
1 薄板弯曲问题
1薄板的定义
• 力学概念定义的板是指厚 度尺寸相对长宽尺寸小很 多的平板，且能承受横向 或垂直于板面的载荷。如
t 1 ~ 1 薄膜 b 80 100 1 ~ 1 t 1~1 80 100 b 5 8
t 厚度 薄板
板不是平板而为曲的(指一 个单元)，则称为壳问题。
w x
0
zy
v z
w y
0
绕y轴转角
u
z
w x
f1 ( x,
y) u
0 v
u z w 0 x
z0
v
z
w y
f2 (x,
y)
z0
w
v z
y
绕x轴转角
u
x
2w x2
分别表示薄板 弯曲曲面在x，
w(x, y) 1 2x 3 y 4x2 5xy 6 y2 7 x3 8x2 y 9 xy2 10 y3 11x3 y 12 xy3
• 另两个转角为：
x
w y
3
5x
26 y
东南大学结构力学练习题(附答案)详解
第一部分 平面体系的几何组成分析一、判断题：1、在任意荷载下，仅用静力平衡方程即可确定全部反力和内力的体系是几何不变体系。
2、图中链杆1和2的交点O 可视为虚铰。
O二、分析题：对下列平面体系进行几何组成分析。
3、 4、ACDBAC DB5、 6、A CDBEABCDE7、 8、ABCD GE FA BCDEFGHK9、 10、11、 12、1234513、 14、15、 16、17、 18、19、 20、1245321、 22、124567831234523、 24、12345625、 26、27、 28、29、 30、31、 32、33、ACBDEF三、在下列体系中添加支承链杆，使之成为无多余约束的几何不变体系。
34、35、第二部分 静定结构内力计算一、判断题：1、静定结构的全部内力及反力，只根据平衡条件求得，且解答是唯一的。
2、静定结构受外界因素影响均产生内力，内力大小与杆件截面尺寸无关。
3、静定结构的几何特征是几何不变且无多余约束。
4、图(a)所示结构||M C =0。
(a)BCa aA ϕ2a2 (b)5、图(b)所示结构支座A 转动ϕ角，M AB = 0，R C = 0。
6、荷载作用在静定多跨梁的附属部分时，基本部分一般内力不为零。
7、图(c)所示静定结构，在竖向荷载作用下，AB 是基本部分，BC 是附属部分。
ABC(c)8、图(d)所示结构B 支座反力等于P /2(。
)↑9、图(e)所示结构中，当改变B 点链杆的方向（不通过A 铰）时，对该梁的影响是轴力有变化。
ＡＢ(e)10、在相同跨度及竖向荷载下，拱脚等高的三铰拱，水平推力随矢高减小而减小。
—— 1 ——11、图(f)所示桁架有9根零杆。
(f)a a a a(g)12、图(g)所示桁架有：=== 0。
N 1N 2N 313、图(h)所示桁架DE 杆的内力为零。
a a(h)14、图(i)所示对称桁架在对称荷载作用下，其零杆共有三根。
东南大学版连杆机构答案
(a)η1＝Q /Q 0＝10070/14019 ＝0.7183F 310＝17 232 N Q 0＝14 067 NF 310FF 210F 120 Q 0 (1) 不计摩擦时 F +F 310+ F 210＝0(b)32a32a(2) 计入摩擦时题4－3图4M rF 23＝M r /(h 3×μL )＝100 000/(32.424×2.5)＝1233 N F 12＝F 23M d ＝F 12×h 1×μL ＝1233×24.438×2.5/1000＝75.33 Nm解h 1h 34－2 题4－2图为一斜面运动变换机构，主动力F ＝10 000 N ，α＝35.5º，b ＝88 mm ，h 1＝120 mm ，h 2＝50 mm ，h 3＝188 mm 。
(1) 若不计摩擦力的影响，求阻力Q 0的大小（参考答案：Q 0＝14 019 N ）；(2) 当各个摩擦面的摩擦系数f ＝0.1时，求阻力Q 的大小（参考答案：Q ＝10 070 N ）；(3) 当各个摩擦面的摩擦系数f ＝0.1时，求该斜面机构的机械效率（参考答案：η＝Q /Q 0 =0.718）。
解：(1) 若不计摩擦力的影响，求阻力Q 0的大小(1-1) 作图法：F +F 310+ F 210＝0，μF ＝10000 (N(/30(mm)＝333.333 (N/mm)，力多边形如图(b)所示。
F 310＝51.695×μF ＝17 232 N ，Q 0＝42.2×μF ＝14 067 N 。
(1-2) 解析法：F 310＝F /sin α＝10000/ sin35.5＝17220 N ，Q 0＝F /cos α＝10000/ tan35.5＝14019 N 。
(2) 当各个摩擦面的摩擦系数f ＝0.1时，求阻力Q 的大小 (2-1) 作图法：φ＝arctan f ＝arctan 0.1＝5.711°。
东南大学理论力学课件题集
x
习题讨论课--题3
长方体受力如图，要 使此力系简化为合力。 则长方体三棱边的长 度a、b、c 应满足的 条件？ 已知 F1 F2 F3 F 。
F2
F1
a
c
F3
b
第2章 物体的受力分析
(Analysis of Forces Acting on a Body) 2019年12月3日
法
Fy
0, FD FA
1 5
0
FA
FD
故
FA
5 F 1.12F 2
FD 0.5F
解：法1 平面汇交力系
几
F
何 法
FD
FA
FA
FD
解三角形得
FA
5 F 1.12F 2
FD 0.5F
解：法2 平面任意力系
Fx 0, FAx + F 0
FAx F
1 2
主矢 FRx Fx F1
1 2
F2
1 10
F3
2 5
150 1 200 1 300 2 437.62 N
2
10
5
FRy Fy F1
1 2
F2
3 10
F3
1 5
= -161.62 (N)
主矢的大小
FR ' (Fx )2 (Fy )2 (437 . 62)2 (161 . 62)2 y466 . 5 N
0
FB
FCx
FB
2M 3r
2
F 0 , x
东南大学计算方法复习总结
Euler
公式：
yi 1
yi
hf
xi , yi ，其局部截断误差为
h2 2
yi
xi
i
xi1 ，此公式为一阶公式；应用右矩形公式得
到后退的 Euler 公式： yi1
yi
hf xi1, yi1 ，其局部截断误差为
h2 2
yi
xi
f x0
f x0 ห้องสมุดไป่ตู้ f x0 h ，二阶导数 ：
2h
f x0
f x0 h 2 f x0
2h2
f x0 h 。
插值型导公式 ：带余项两点公式：f x0
1 h
f
x1
f x0
h 2
f 1，f x1
1
3 3
b f xdx b a
a
2
1 f a b b a t dt ，高斯求积公式
1 2
2
b a
f
xdx
b
2
a
f
a
2
b
1 b a f a b 3 2 2
1 3
b
2
Euler
公式：
yi 1
~yi1 yi hf xi , yi
yi
h 2
f xi , yi f xi1, ~yi1
或
y yc
p yi hf yi hf
xi ,
xi 1 ,
yi y
东南大学数理方程第三版第一二章习题全解
20
数学 物理方 程与 特殊函 数导 教 ・ 导 学 ・ 导考
初边值条件都已确定 , 也就得到了该振动的定解问题
2
u
2
t
= a
2
2
u
2
x
(0 < x < l ux ( l, t) = 0
t > 0)
u(0 , t) = 0 ,
u( x , 0) = e x , l
ut ( x , 0) = 0
5. 若 F( z ) , G( z ) 是任意两个二次连续可微函数 , 验证 u = F( x + at ) + G( x - at )
2 uρ + 1 u ct gθu 1 uφ uρ ρ + θ θ + θ + φ = 0 2 2 2 2 ρ ρ ρ ρ sin θ 离变量后得到三个常微分方程 :
2 ρ R″+ 2ρ R′- λ R = 0
( 4)
接下来进行分离变量 , 令 u (ρ ,θ ,φ ) = R (ρ ) Θ(θ ) Φ(φ) , 代入 式 ( 4) 分 ( 5) ( 6) ( 7)
sin θ Θ ″+ sinθ cosθ Θ ′+ (λ sin θ - μ )Θ = 0 Φ ″+ μ Φ= 0 应的固有值为 μ = n2 ( n = 0 , 1 , 2 , … ) , 固有函数为 Φn ( φ ) = An cos n φ + Bn sin n φ ( n = 0, 1, 2, …) 关于方程 (6 ) 令 ξ = cosθ , 则 ( 6) 式化为 : n ) Θ(ξ (1 - ξ ) Θ ″ (ξ ) - 2ξ Φ Θ ′ (ξ ) + (λ ) = 0 2 1 -ξ
工程力学课后部分习题讲解
第一章静力学根底P20-P23 习题：1-1、：F1=2000N，F2=150N， F3=200N， F4=100N，各力的方向如图1-1所示。
试求各力在x、y轴上的投影。
解题提示:计算方法：F x= + F cosαF= + F sinαy注意：力的投影为代数量；式中：F x、F y的“+〞的选取由力F的指向来确定；α为力F与x轴所夹的锐角。
图1-11-2、铆接薄钢板在孔A、B、C、D处受四个力作用，孔间尺寸如图1-2所示。
：F=50N，F2=100N， F3=150N， F4=220N，求此汇交力系的合力。
1解题提示:——计算方法。
一、解析法F=F1x+F2x+……+F n x=∑F xR xF=F1y+F2y+……+F ny=∑F yR yF= √ F R x2+ F R y2Rtanα=∣F R y/ F R x∣二、几何法按力多边形法那么作力多边形，从图1-2图中量得F R的大小和方向。
1-4、求图1-4所示各种情况下力F对点O的力矩。
图1-4解题提示:——计算方法。
①按力矩的定义计算M O〔F〕= + Fd②按合力矩定理计算M O〔F〕= M O〔F x〕+M O〔F y〕1-5、求图1-5所示两种情况下G与F对转心A之矩。
解题提示：此题按合力矩定理计算各力矩较方便、简捷。
以图1-5a为例：力F、G至A点的距离不易确定，如按力矩的定义计算力矩图1-5既繁琐，又容易出错。
假设将力F、G分别沿矩形两边长方向分解，那么各分力的力臂不需计算、一目了然，只需计算各分力的大小，即可按合力矩定理计算出各力的力矩。
M〔F〕= -F cosαb- F sinαaAM〔G〕= -G cosαa/2 - G sinαb/2A1-6、如图1-6所示，矩形钢板的边长为a=4m，b=2m，作用力偶M〔F，F′〕。
当F=F′=200N时，才能使钢板转动。
试考虑选择加力的位置与方向才能使所费力为最小而到达使钢板转一角度的目的，并求出此最小力的值。
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第三章1如图所示一三角形钢板，两个结点固定，对第三个结点施以单位水平位移，测出所施加的力，从而得出相应的刚度系数。
其他点依此类推，这样测得的刚度系数所组成的刚度矩阵，是否与按照常规三角形单元刚度矩阵计算公式所得结果一样？用这样实测所得的刚度矩阵能否进行有限元分析？为什么？解：不一样。
单元刚度矩阵中每个元素的物理意义：ij k 表示单元第j 个自由度产生单位位移，其它自由度固定时，第i 个自由度产生的节点力。
单元刚度矩阵是在单元处于平衡状态的前提下得出的，单元作为分离体看待，作用在它上面的外力（单元力）必是平衡力系，然而研究单元平衡时没有引入约束承受平衡力系作用的无约束单元，其变形是确定，但位移是不能确定的，即单元可发生任意的刚体位移。
不能。
因为与有限元中单元与单元之间的约束情况不一样，不能进行有限元分析。
2以位移为基本未知量的有限元法其解具有下限性质，试证明之。
解：系统总位能的离散形式{}{}{}{}12T Tp a K a a P ∏=- 将求解的方程[]{}{}K a P =带入可得{}[]{}{}[]{}{}[]{}1122T T Tp a K a a K a a K a U ∏=-=-=- 在平衡情况下，系统总位能等于负的应变能。
在有限元解中，由于假定的近似位移模式一般来说总与精确解有差别的。
设近似解为p ∏、U 、[]K 、{}a 、{}{}K a P ⎡⎤=⎣⎦，真实解为p ∏、U 、[]K 、{}a 、[]{}{}K a P = 且根据最小势能原理，得到的系统的总位能总会比真正的总位能要大，故p p ∏≥∏则U U ≤{}{}{}[]{}{}{}{}{}TT TTa K a a K a a P a P ⎡⎤≤⇒≤⎣⎦则近似解的位移总体上小于精确解的位移解释如下：单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度，在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以结点位移表示的有限自由度，引入了更多的约束和限制，使得单元刚度较实际连续体加强了，连续体的整体刚度随之增加，所以有限元解整体上较真实解偏小。
东南大学计算力学课件(研究生课程) 第1章 概论 计算力学基础
列向量： ae 或 a1
an T
或
a1
an
行向量： N , N 或 N1
Nn
k11
k1n
一般矩阵：K , K 或
kn1
knn
向量或矩阵出现在另一向量或矩阵中一般用 表示，例如：
Kii K ji
K K
ij jj
但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。材料力学是对构件 的整个截面来建立这些条件的，因而要常常引用一些截面的变形状况或应力 情况的假设。
• K.J.Bathe, Finite Element Procedures in Engineering Analysis.(工程分析中的有限元法，巴斯著，傅子智译， 1991)
2 工程科学中的两个典型问题
1) 离散系统
在工程技术领域内，经常会遇到两类典型的 问题。其中的第一类问题，可以归结为有限个 已知单元体的组合。例如，材料力学中的连续 梁、建筑结构框架和桁架结构。我们把这类问 题，称为离散系统。
计算力学
东南大学土木工程学院
《计算力学》课程概况
1.基础理论部分结构工程专业 研究生必选学位课，授课学时:54(4h/w)， 有中间作业，课程结束后闭卷笔试，总分 70分。
2.结构有限元基础程序部分 完成课后程序编制大作业，课时: 18(4h/w) ， 总分30分，结合基础理论成绩综合考核， 确定成绩。
提出了许多近似方法。
图２
3 场问题的一般描述
---微分方程+边界条件
1) 应力场----弹性力学 2) 温度场----热传导 3) 电磁场----电磁学 4) 流速场----流体力学
流体力学 东南大学 第一章习题参考
流体力学 第一章习题参考答案1.1 求绝对压力为105N/m 2，温度为30度的空气的密度和比容。
解：()32733028710/15.15m kg RTP ===+⨯ρkg m v /87.031==∴ρ1.2 油的体积为0.4m 3，重量为350KN ，求密度。
解：34.0807.9/10350/892223m kg vm===⨯ρ1.3 氢气球在30Km 高空（绝对压力为1100N/m 2，温度为-40度）膨胀到直径为20m ，如果不计气球的材料应力，求在地面上绝对压力为101.3KN/m 2，温度为15度时充入的氢气的质量。
解：常数==mR TPV 315273103.101402731011002.563334m V =÷=∴+⨯-⨯⨯π又因为地面上压力为101.3 N/m 2、温度为15度时，()315273103.101/0846.0283123mkg RTP ===+⨯⨯ρkg V m 75.42.560846.0=⨯==∴ρ1.4 空气从绝对压力为105/m 2和温度为20度压缩到绝对压力为5105⨯N/m 2和温度为60度，求其体积变化了多少？解：由气体状态方程PV=RT 得()()227.027320105273601055122112===+⨯⨯+⨯T P T P V V773.0111121227.0==∴--V V V V V V1773.0V V =∆∴1.5 求10m 3水在以下条件下的体积变化：（a ）恒定大气压力下温度由60度升高到70度；（b ）温度恒定为60度，压力从0升高到10MN/m 2；（c ）温度从60升高到70度，压力从0升高到10MN/m 2。
解：（a ）3610556.010*******m T V V =⨯⨯⨯=∆=∆-α （b ）31028.210102044.01096mVV VE P-=⨯-=-=∆∴⨯⨯∆（C ）先升压力后升温： 升压力后体积变为：10-0.044=9.956 m 3再升温60-70： 3610554.010956.910556m T V V =⨯⨯⨯=∆=∆-α 1.6 1m 3的液体重量为9.71KN ，绝对粘度为()23/106.0m s N ⋅⨯-，求其运动粘度系数。
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8 l
9
可以使用线性单元的 简化方法
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q
1 2 3
单元①荷载作用在1-2边上，故等 效结点力只与1、2号结点有关， 形函数
①
4 5
②
6
N1 (1 )
N 2
7 l
8 l
9
0 线性分布面力 q q
{FS } [ N ] {qS }hds
l
η
1 η=1 2
ξ=1
1 4 5
ξ
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单元②形函数
2 2 s 3
s N2 l
N3 1
s l
N6 0
6
s 0 1 l T Fs N qs ds s l l 0 1 l
0 q s s q l
7
3
三角形单元族插值 函数构造及变节点 数法联合运用
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1
1 x y xy x2y x3y x2y2 xy2 xy3 y2
完全一次 完全二次
9
4 5 10
x2
8
x3
3
y3 完全三次 y4
2
x4
6
7
•Pascal三角形
u 1 2 x 3 y 4 x 2 5 xy 6 y 2 7 x 3 8 x 2 y 9 xy 2 10 y 3 2 2 3 2 2 3 v x y x xy y x x y xy y 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1
2
3
4
5
6
7 l
8 l
9
平衡所用到的的量均要属于节点的量，如单元位移、单元力。 载荷亦应如此，必须将体积力、表面力转化到节点上去，成 为等效荷载（载荷）。
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把总等效荷载 R e分解成体积力、表面力和集中力的等效荷 载之和，有 {R}e {FV } {FS } { pc } FV——单元上体积力的等效荷载 FS——单元上表面力的等效荷载 pC——单元上节点上的集中力 1、体积力的等效荷载
N5 4 ( 1), N6 4 ( 1)(1 )
b
q
6
8
N7 4 ( 1)(1 ), N8 4 ( 1)
x
3
7
4
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（2）荷载作用在2-3边上，故等效结点力只与2、6、3号结点 有关
N 2 ( 1)(2 2 +1), N 6 4 ( 1)(1 ), N 3 (1 )( 1)(2 2 1)
y a 2 5 1
q
6
8
b
3
7
4
x
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y a 2 5 1
1 x x2 x3
8
b
y xy y2 xy2 x2y2 xy3
完全一次 完全二次
q
6
x2y x3y
y3 完全三次 y4
x4
3 7 4 x
•Pascal三角形
2 2 2 2 u x y x xy y x y xy 1 2 3 4 5 6 7 8 2 2 2 2 v x y x xy y x y xy 9 10 11 12 13 14 15 16
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2 2 2 2 u 1 2 x 3 y 4 x 5 xy 6 y 7 x y 8 xy 2 2 2 2 v x y x xy y x y xy 9 10 11 12 13 14 15 16
y a 2 5 1
在 0边上计算
q
6
8
3
7
4
x
Ni N 6 N 3 N 2 4 1, 4(1 2 ), 4 3 x 0, N b N N y 0 3 6 b 2 2, 2
l T
η
1 η=1 2
1 4 5
ds ld
ξ
ξ=1
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q
1 2 3
在 1边上
②
N1 1
N2
1 2
①
4 5
6
ql P2 y N 2 q y ds ql d 3 l 0
7 l
8 l
9
P2 x N 2 qx ds 0
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x y 局部坐标 , a b
N1 (2 +2 3), N 2 ( 1)(2 2 +1) N 3 (1 )( 1)(2 2 1), N 4 (2 -2 +1)( 1)
y a 2 5 1
s l 0 0 0 0 s 0 0 l
T
0 T ql 1 2 s ds 0 0 0 0 q 2 3 3 l
0 R ql 2 故结点2的等效荷载列阵为 2 3
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3，图中两个三角形单元组成平行四边形，已知单元①按局部 编码i , j , m 的单元刚度矩阵和应力矩阵是
{FV } [ N ]T {qV }hdxdy
A
2、表面力的等效荷载
{FS } [ N ] {qS }hds
l
T
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q
3，某平面结构采用四结点矩形 单元和三结点三角形单元建立有 限元计算模型，其如图所示。试 求结点2的等效荷载列阵{R2}。
1
2
3
①
4 5
②
6
7 l
x1 N1 N 2 N 3 N 4 x2 J , , , 1 x3 x4
1 1 1 1
1 2 (8 12 1) 6 4 (3 2 1) 1 3 1 2 [k ] E (8 12 1) 4 6 1 (3 2 1) 3 1 2 (8 12 -1) 6
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（1）构造不考虑边结点和内部结点的角结点的插值函数：
ˆ L ,N ˆ L ,N ˆ L N 1 1 2 2 3 3
N1 N 2 N 3 N 4
1 (8 12 2 1), 6 4 (3 2 1), 3 4 (3 2 1), 3 1 (8 12 2 1) 6
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(b)一维问题中，单元刚度矩阵
[k ] [ B]T [ D][ B] J d E [ B]T [ B] J d
4 (3 2 1) 3
4 (3 2 1) 3
1 (8 12 2 -1) 1d 6
整体坐标非自然坐标结果如何？
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1
8，试利用变结点数法构造 插值函数，构造出如图所 示的三次三角形单元的形 函数及相应的位移函数。
2
4 5 10
9 8
6
6 2 6 8 0 6 16 6 12 6 4 13.5 9 7.5 3 13.5 3 1.5 对 称 9.5 3 5.5
i i 1 j m
m 2 j
K (1)
S (1)
0 3 0 0 0 3 0 4 0 3 0 1 2 0 1.5 1.5 0.5 1.5
计算力学习题讲解
东南大学土木工程学院 2018.1 东南大学土木工程学院
1，试述弹性力学中按位移求解与有限元单元法中按位移求解 之间的异同点。
弹性力学
物理模型 基本方程 解法 连续体 几何方程 物理方程 平衡微分方程 解微分方程
有限单元法
离散化结构 几何方程 物理方程 结点平衡方程 解代数方程
解答形式
b c
a
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（1）考虑每个结点有两个自由度，半带宽d=（相邻结点 码的最大差值+1）*节点自由度数
bb
5 (4) 4 (2) 2 (1) 1 (3) 3 (7) 6 (11) (8) (5) 7 (9) (6)
cc
8
(10)
11 (12) 10
aa
9
故结点编号如图所示可使单元内结点编码相差3，使 得带宽d=12(按每节点3自由度假定）。
x
1
1
q
6
8
b
3
7
4
P2 x t N 2 qx ds 2qt N 2 d
s 0
1
qt 3
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5，如图所示刚架 （1）如何进行结点编号使整体刚度矩阵[K]的带宽最小？ （2）刚架的整体刚度矩阵中a结点的总体刚度矩阵Kaa和总 体刚度矩阵Kbc各由哪些分块矩阵叠加组成（自行确定单元 局部坐标方向）
按图中所示单元②的局部 编码写出单元刚度矩阵和 应力矩阵。
东南大学土木工程学院
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平面问题的单元刚度矩阵[k]不随单元（或坐标轴）的平行 移动或作n角度（n为整数）的转动而改变。S阵变号
东南大学土木工程=b=2，单元厚度为t。 （1）求该单元的位移函数和形函数，并检验其是否满足收 敛性条件。 （2）求在2-6-3边作用均布水平荷载q时的等效结点荷载。
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s
-1 1 -1/2 2 1/2 3 1 4
(a)由拉格朗日插值函数可知：