2020江苏高考数学模拟考试.pdf

【答案】 4 9
5．【解析】本题主要考查流程图．
【答案】 2011 2012
6．【解析】本题主要考查立体几何中的平行与垂直关系． 【答案】（3）（4）
7．【解析】本题主要考查圆锥曲线中离心率的计算．
【答案】 5 8．【解析】本题主要考查基本不等式．
【答案】3 9．【解析】本题主要考查函数的性质．
【答案】 (−,−4) (1,+)
aij = 445 ，则 i + j = ▲ ． 14．若实数 a,b,c 成等差数列，点 P(−1,0) 在动直线 ax + by + c = 0 上的射影
为 M ，点 N (3,3) ，则线段 MN 长度的最大值是 ▲ ．
1 35 7 9 11 ……
（第 12 题）
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、 证明或演算步骤．
（1）求摸出的三个球中既有红球又有绿球的概率； （2） X 的分布列及 X 的数学期望．
23．（本小题满分 10 分）
已知数列{an}
中，1
a1
2，
an+1
=1+
an
−
1 2
an2
(n
N*)
．
（1）求证：
a3
(11 8
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
,
3 2
)
；
（2）求证：当 n 3时，| an −
2 | 1 ． 2n
学海无涯
因为 0 < A < p ，所以 sin A ¹ 0 . 所以 cos B = 1 . ………………………………………………………………………………… 5 分
2
0
16．（本小题满分 14 分） 0
如图，直四棱柱 ABCD − A1B1C1D1 中，底面 ABCD 7 是直角梯形， BAD = ADC = 90 ，
AB = 2AD ， CD = AD ．
0
（1）求证： B1CB 是二面角 B1 − AC − B 的平面角； 3
（2）在
A1B1
上是否存一点
P，使得
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分 10 分） 一个口袋装有 5 个红球，3 个绿球，这些球除颜色外完全相同，某人一次从中摸出 3 个球，其 中绿球的个数记为 X ．
直线 l 交椭圆 C 于不同的两点 A, B ． （1）当直线 l 经过椭圆 C 的左焦点时，求直线 l 的方程；
学海无涯 （2）证明：直线 MA, MB 与 x 轴总围成等腰三角形．
19．（本小题满分 16 分）
已知函数 f (x) = 1 ax2 − (2a +1)x + 2ln x ，其中常数 a 0 ． 2
（1）求 f (x) 的单调区间； （2）如果函数 f (x), H(x), g(x) 在公共定义域 D 上，满足 f (x) H(x) g(x) ，那么就称 H(x) 为 f (x) 与 g(x) 的“和谐函数”．设 g(x) = x2 − 4x ，求证：当 2 a 5 时，在区间 (0,2] 上，
6．给出下列四个命题：
S =0
（1）如果平面 与平面 相交，那么平面 内所有的直线都与平面
k =1
相交
k 2011 是
（2）如果平面 ⊥平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 （3）如果平面 ⊥平面 ，那么平面 内与它们的交线不垂直的直
线与平面 也不垂直 （4）如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂
14．【解析】本题主要考查直线与圆的方程及位置关系．
【答案】 5 + 2
解答如下：
由题可知动直线 ax + by + c = 0 过定点 A(1, −2) ．设点 M (x, y) ，由 MP ⊥ MA 可求得点 M 的轨迹
方程为圆 Q : x2 + (y +1)2 = 2 ，故线段 MN 长度的最大值为 QN + r = 5 + 2
2
2
当
x
1时，解得 a
=
4x −5 2(x2 −1)
．设 h(x)
=
4x −5 2(x2 −1)
，则由 h'(x)
=
−2x2 + 5x − 2 (x2 −1)2
=
0 ，得
x
=
2或
x
=
1 2
（舍去），且
h(x)
在
(1, 2)
上递增，在 (2,4) 上递减．因此当
x
=
2 时，
g ( x)最大
=
4x −5 2(x2 −1)
一个“次不动点”，也称 f (x) 在区间 D 上存在次不动点．若函数 f (x) = ax2 − 3x − a + 5 在区间 2
学海无涯
[1, 4] 上存在次不动点，则实数 a 的取值范围是 ▲ ． 13．将所有的奇数排列如右表，其中第 i 行第 j 个数表示为 aij ，例如 a32 = 9．若
直于平面 真．命．题．的序号是 ▲ ．（写出所有真命题的序号）
否
S=S+ 1 k(k +1)
k =k +1
输出 S
结束
（第 5 题）
7．已知双曲线
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
0,b 0) 的焦点到一条渐近线的距离等于实轴长，那么该双曲线的离
心率为 ▲ ．
8．已知二次函数 f (x) = ax2 − 4x + c +1的值域是[1,+) ，则 1 + 9 的最小值是 ▲ ． ac
3
3
11．【解析】本题主要考查平面向量的概念与数量积．
【答案】 −2
解答如下：
−1
O−1 2
x
因为 AP = 1 sin2 AB + cos2 AC = sin2 AO + cos2 AC 且 sin2 ,cos2 [0,1] ，所以点 P 2
在 线 段 OC 上 ， 故 (PA + PB) PC = 2PO PC ， 设 | PO |= t (t [0,2]) ， 则
3．已知平面向量 a = (1, −1) ， b = (x − 2,1) ，且 a ⊥ b ，则实数 x = ▲ ．
4．一个袋中有 3 个大小质地都相同的小球，其中红球 1 个，白球 2 个，现从袋中有．放．回．地取球，每
次随机取一个，则连续取两次都是白球的概率是 ▲ ．
开始
5．右图是某程序的流程图，则其输出结果为 ▲ ．
10．【解析】本题主要考查线性规划．
y
【答案】[− 2 , 4]
3
4
解答如下：
画出可行域（如图所示阴影部分），而 t = n − m = n +1 −1， m+1 m+1
其中 n + 1 表示 P(m, n) 与点 (−1, −1) 连线的斜率 k ，由图可知 m +1
k [1 ,5] ，故 t = k −1[− 2 , 4]
(PA + PB) PC = 2t(2 − t) (−1) = 2t2 − 4t ，当 t =1 时取最小值 −2
12．【解析】本题主要考查函数的概念和最值．
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【答案】 (−, 1] 2
解答如下：
由题意，存在 x [1, 4] ，使 g(x) = f (x) + x = ax2 − 2x − a + 5 = 0 ．当 x =1时，使 g(1) = 1 0 ；
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分． 15．本题主要考查平面向量的数量积、边角关系的互化，考查运算求解能力．
解：（1）由题意， 2sin Acos B = sin C cos B + cos C sin B …………………………………… 2 分
所以 2sin Acos B = sin(B + C) = sin( − A) = sin A. …………………………………… 3 分
2 函数 f (x) 与 g(x) 的“和谐函数”有无穷多个．
20．（本小题满分 16 分）
已知无穷数列{an} 的各项均为正整数， Sn 为数列{an} 的前 n 项和．
（1）若数列{an} 是等差数列，且对任意正整数 n 都有 Sn3 = (Sn )3 成立，求数列{an} 的通项公式；
（2）对任意正整数 n ，从集合{a1,a2, ,an}中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运 算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与 a1,a2, ,an 一起恰好是 1 至 Sn 全体
学海无涯
B．选修 4 − 2 ：矩阵与变换
已知矩阵
A
=
1 2
2
x
的一个特征值为
−1
，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．
C．选修 4 − 4 ：坐标系与参数方程
若直线
x
y
= =
t 2
−
2t
（参数
t
R
）与圆
x y
= =
cos sin
+
a
（参数
[0,
2
)
，
a
为常数）相切，求
a
的值．
D．选修 4 − 5：不等式选讲 若对于一切实数 x ，不等式| 2x −1| + |1− x || x | | 2a +1| 恒成立，求实数 a 的取值范围．
学海无涯
2020 江苏高考数学模拟考试
数学Ⅰ
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答．题．卡．相．应．的．位．置．上．．
1．若函数 y = cos(x + ) ( 0) 的最小正周期是 ，则 = ▲ ． 3
2．若复数 (1+ 2i)(1+ ai) 是纯虚数，则实数 a 的值是 ▲ ．
15．（本小题满分 14 分）
已知△ ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a,b,c ，且 2acos B = ccos B + bcosC ． （1）求角 B 的大小；
（2）设向量 m = (cos A,cos 2A) ， n = (12, −5) ，求当 m n 取最大值时， tan(A − ) 的值． 4
2012 江苏高考最后一卷 试题答案与评分标准
数学Ⅰ
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分． 1．【解析】本题主要考查三角函数的周期性．
【答案】2 2．【解析】本题主要考查复数的概念和运算．
【答案】 1 2
3．【解析】本题主要考查平面向量的垂直． 【答案】3
4．【解析】本题主要考查古典概型．
正整数组成的集合．
（i）求 a1,a2 的值；（ii）求数列{an} 的通项公式．
数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只．能．选．做．两．题．，每小题 10 分，共计 20 分．请在答．题．卡．指． 定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修 4 −1 ：几何证明选讲 如图，设 AB 为⊙O 的任一条不与直线 l 垂直的直径， P 是⊙O 与 l 的公共点，AC⊥ l ，BD⊥ l ， 垂足分别为 C、D，且 PC = PD ，求证： PB 平分∠ABD．
9．设函数 f (x) = −x3 + 3x + 2 ，若不等式 f (3 + 2sin ) m2 + 3m 对任意 R 恒成立，则实数 m 的
取值范围为 ▲ ．
2x + y 4
10．若动点 P(m, n) 在不等式组 x 0 y 0
表示的平面区域内部及其边界上运动，则 t = n − m 的取 m +1
DP
与平面
BCB1
与平面 1
ACB1
都平行？证明你的结论．
A1
D1
C1
6
B1
A
B
D
C
17．（本小题满分 14 分）
某货轮匀速行驶在相距 300 海里的甲、乙两地间，运输成本由燃料费用和其它费用组成，已知
该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为 0.5 ），其它费用为每小时 m 元，根据市场调研，得知 m 的波动区间是[1000,1600] ，且该货轮的最大航行速度为 50 海里/
=
1 2
，所
以 a 的取值范围是 (−, 1] ． 2
13．【解析】本题主要考查数列的通项．
【答案】34 解答如下：
可以求得通项 aij
= i2
− i + 2 j −1，所以 i2
−i + 2 j −1=
445 且1
j
i
，从而
i i
2 2
−i +i
444 ，解得 446
i = 21，于是 j = 13，故 i + j = 34
小时．
（1）请将从甲地到乙地的运输成本 y （元）表示为航行速度 x （海里/小时）的函数；
（2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？
18．（本小题满分 16 分）
已知中心在原点 O 、焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 M(2,1) ，离心率为 3 ．如图，平行于 OM 的 2
值范围是 ▲ ．
11．在 ABC 中， AB 边上的中线 CO = 2 ，若动点 P 满足 AP = 1 sin2 AB + cos2 AC ( R) ， 2
则 (PA + PB) PC 的最小值是 ▲ ．
12．设 D 是函数 y = f (x) 定义域内的一个区间，若存在 x0 D ，使 f (x0 ) = −x0 ，则称 x0 是 f (x) 的