柱锥台的表面积

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《柱锥台的表面积》课件

02
柱锥台表面积公式可以应用于经济学中的成本核算、收益预测等领域，例如计算企业的成本和收益等。
03
柱锥台表面积公式可以应用于生物学中的动物形态学等领域，例如计算动物的外表面积和体积等。
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锥的表面积
定义与公式
定义
锥的表面积是指锥体的所有外表面之和。
公式
锥的表面积公式为S=πrl+S底面，其中r为底面半径，l为母线长度，S底面为底面面积。
计算方法
计算底面面积
01
根据圆的面积公式S=πr^2计算底面面积。
计算侧面积
02
根据圆的周长公式C=2πr计算底面周长，再乘以母线长度得到
侧面积。
《柱锥台的表面积》ppt课件
目录
• 柱的表面积 • 锥的表面积 • 台的表面积 • 表面积的拓展应用
01
柱的表面积
定义与公式
定义
柱的表面积是指柱体侧表面和两个底面的面积之和。
公式
设柱体底面半径为r，高为h，则柱的表面积S = 2πrh + 2πr^2。
计算方法
方法一
直接套用公式计算。
方法二
分段计算侧面积，然后加总底面面积。
方法三
利用微积分原理，将柱体表面展开成矩形，逐个计算矩形的面积。
实例解析
实例一
一个圆柱体的底面半径为3cm，高为5cm，求其表面积。
实例二
一个棱柱体的底面边长为4cm，高为6cm，求其表面积。
实例三
一个斜柱体的底面斜边长为5cm，高为8cm，求其表面积。
02
公式
台体的表面积公式为 S = π * (r1^2 + r2^2 + r1 * r2)，其中 r1 和 r2 分别为台体的底面半径和顶面半径。

柱锥台表面积及体积

S侧= rl
S表= r 2 rl
S表 (r12 r12 r1 r2 )l
an'y S侧 (r1 r提升
an'y
学习新知
巩固新知
总结提升
解：一个花盆需要涂漆的面积为： S= （ 10+5） 10+ 52 - 12 =150 +25 - =174 cm2
an'y
3 2 2 6 1 6 3 cm3 4

4
cm3
学习新知
巩固新知
总结提升
2 cm
96 cm
2
an'y
a 6
3
学习新知
巩固新知
总结提升
知识总结：
an'y
思想方法总结：“分割思想”、“补体思想 ”及“等价转化思想”．
100个花盆需要油漆： 1 100 174 100=174 ml 10000
an'y
学习新知
巩固新知
总结提升
an'y
学习新知
巩固新知
总结提升
解：正六棱柱的体积 V1 =S底 h 圆柱的体积 1 2 V2 =S底 h = （）1= cm3 2 4 所以螺帽的体积为 V V1 V2 6 3
圆台
S侧 (r1 r2 )l
r'0
圆锥
S侧 rl
预习落实
学习新知
巩固新知
总结提升
柱体简单几何体的体积锥体
V柱 =Sh
1 V锥 = Sh 3 1 V台 = （S+ S S' +S’ )h 3
一底面为零
台体

柱体、椎体、台体的表面积

S 2 r (r
【计算公式】
圆台表面积
S (r r r l rl )
2 2
棱柱、棱锥表面积各面积之和，由于各面均为三角形，四边形，五边形等等，所以在这里就不以公式形式列出.
柱体、椎体、台体的表面积
2r)×4＝24π(cm2)
柱体、椎体、台体的表面积
【变形训练】圆锥的底面半径为5 cm，高为12 cm，当它的内接圆柱的底面半径为何值时，圆锥的内接圆柱全面积有最大值？最大值是多少? 解：如图SAB是圆锥的轴截面，
其中SO＝12，OB＝5．设圆锥内
接圆柱底面半径为O1C＝x，由
△SO1C∽△SOB，
知识点柱体椎体台体的表面积柱体椎体台体的表面积计算公式圆柱圆锥表面积2srrlsrrl柱体椎体台体的表面积计算公式圆台表面积22srrrlrl棱柱棱锥表面积各面积之和由于各面均为三角形四边形五边形等等所以在这里就不以公式形式列出
柱体、椎体、台体的表面积
知识点——
柱体、椎体、台体的表面积
【计算公式】圆柱，圆锥表面积
SO1 SO SO 12 , SO1 O1C x, 则 O1C OB OB 5
柱体、椎体、台体的表面积
【变形训练】
12 x ，则圆柱的 ∴OO1＝SO－SO1＝12－ 5 12 x ） x＋全面积S＝S侧＋2S底＝2π（12－ 5 7
2πx2＝2π（12x－
5 30 360 cm2．当x＝ cm时，S取到最大值 7 7 x ）．
【典型例题】
3、已知圆台的母线长为4 cm，母线与轴的夹角 1 为30°，上底面半径是下底面半径的，求这 2 个圆台的侧面积．解：如图是将圆台还原为圆锥后的轴截面，由题意知AC＝4 cm， ∠ASO＝30°， 1 O1C＝ OA，

柱体、锥体和台体的表面积的计算

台体的表面积
定义和特点
台体是由两个平行的圆形底面和它们之间的侧面组成的立体。
表面积计算公式
台体的表面积 = π(R + r)l + πR² + πr²，其中 R 是上底圆的半径，r 是下底圆的半径， l 是台体的斜高。
示例
如果台体的上底圆半径为 4 米，下底圆半径为 3 米，斜高为 6 米，则表面积为 191.03 平方米。
使用公式计算表面积的注意事项
1 单位一致
确保所有的尺寸都使用同一种单位（如米、厘米）进行计算和输入。
2 精确度
在计算过程中保持足够的精确度，以避免计算结果的误差。
3 要素考虑
根据不同几何体的表面积计算公式，确保将所有必要的参数（如底面半径、高度、斜高）全部考虑进去。
表面积计算应用举例
柱体、锥体和台体的表面积的计算
欢迎来到本次演讲，我们将深入探讨柱体、锥体和台体的表面积计算方法以及它们的定义和特点。
柱体的表面积
1 定义和特点
柱体是一个横截面为圆形的立体，表面由两个圆和一个侧面组成。
2 表面积计算公式
柱体的表面积 = 2πr² + 2πrh，其中 r 是底面圆的半径，h 是柱体的高度。
3 示例
如果柱体的半径为 3 米，高度为 5 米，则表面积为 94.25 平方米。
锥体的表面积
定义和特点
锥体是一个横截面为圆形且垂直于底面的立体，表面由一个底面圆和一个侧面组成。
表面积计算公式
锥体的表面积 = πr² + πrl，其中 r 是底面圆的半径，l 是锥体的斜高。
示例
如果锥体的底面半径为 4 米，斜高为 5 米，则表面积为 94.97 平方米。

高一数学必修2课件：1-3-1-1 柱体、锥体、台体的表面积

先求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D，如图所示．
因为BC＝a，SD＝ SB2－BD2 ＝ a2－a22＝ 23a，所以S△SBC＝12BC·SD＝12a× 23a＝ 43a2. 因此，四面体S－ABC的表面积S＝4× 43a2＝ 3a2.
(2)如上图所示，圆锥的底面半径r＝a2，母线长l＝a，则其表面积为S表＝πr(r＋l)＝π×a2(a2＋a)＝34πa2.
B．2
3 C.2
1 D.2
[答案] A
[分析] 如图所示，设O1、O分别为棱台上、下底面中心，M1、M分别为B1C1、BC的中点，连接O1M1、OM，则 M1M为斜高．
过M1作M1H⊥OM于H点，则M1H＝OO1， S侧＝4×12(1＋2)·M1M， S上底＋S下底＝5. 由已知得2(1＋2)·M1M＝5， ∴M1M＝56. 在Rt△M1HM中，MH＝OM－O1M1＝12. ∴M1H＝O1O＝ M1M2－MH2 ＝ 562－122＝23.
学法指导必须由三视图准确地还原几何体，再根据定义或公式求出几何体的表面积．
[例4] 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图1，则其表面积等于________．
[答案] 6＋2 3
[解析] 通过三视图还原三棱柱直观图如图2，通过正视
图可以得出该三棱柱底面边长为2，侧棱长为1，三个侧面为
矩形，上下底面为正三角形，∴S表＝3×(2×1)＋2×
43×22
＝6＋2 3.
(2011·安徽高考)一个空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为( )
A．48 C．48＋8 17
B．32＋8 17 D．80
[答案] C
[解析] 由三视图可知该几何体是底面为等腰梯形的直棱

柱体、锥体、台体的表面积和体积

总表面积 = 2πr² + 2πrh 其中，r 是底面半径，h 是高度。
柱体的体积公式
柱体的体积可以通过以下公式计算：
体积 = 底面积 × 高度底面积 = πr² 其中，r 是底面半径，h 是高度。
锥体的定义和特征
• 锥体由一个圆锥面和一个尖顶组成。 • 锥体的高度是尖顶到底面的垂直距离。
锥体的表面积公式
柱体、锥体、台体的表面积和体积
通过学习柱体、锥体和台体的表面积和体积公式，你将能够理解它们的定义、特征以及在日常生活和建筑中的应用。
柱体的定义和特征
• 柱体由两个平行的圆面以及它们之间的侧面组成。 • 柱体的高度是两个平行圆面之间的垂直距离。
柱体的表面积公式
柱体的表面积可以通过以下公式计算：
锥体的表面积可以通过以下公式计算：总表面积 = πr² + πrl 其中，r 是底面半径，l 是斜高。
锥体的体积公式
锥体的体积可以通过以下公式计算：
体积 = 1/3 × 底面积 × 高度底面积 = πr² 其中，r 是底面半径，h由两个平行的圆面和它们之间的侧面组成。 • 底面和顶面是平行的，而侧面是梯形形状。

柱、锥、台、球的表面积与体积精例

柱、锥、台、球体的
表面积与体积
X
一. 棱柱的侧面积、表面积与体积 1. 直棱柱的侧面积、表面积与体积
S侧=C•h
S表= S侧+2S底 S表= S侧+2S底
V棱柱= S•h
2. 斜棱柱的侧面积、表面积与体积
S侧=C’•L
二. 棱锥的侧面积、表面积与体积
S侧= S△1+S △2 +S △3 +… S表= S侧+S底
2
它的体积是
2cm
俯视图
4_________. 2 cm
4 3
3
例2
已知长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别为3，2，1，求沿其表面从点A到点C1的最短距离。 D1 C1 B1 A1 1 C E D
2 2 3
A
B 1
例2
已知长方体ABCD-A1B1D1的长、宽、高分别为3， 2，1，求沿其表面从点A到点C1的最短距离。 D1 C1 B1 F A
A
5 4 B 4
3 C B 4 C
12 5
5
5
A
A
3
C
3
思考：
1.用棱长为1的正方体的体积作为单位体积，下图长方体的体积的数值为24.假如将体积单位改用棱长为2的正方体的体积，这个长方体的体积变为多少？
2.一个正方体和一个圆柱等高,并且侧面积相等。比较它们的体积哪个大？为什么？ P 3.求证:经过长方体相对两个面的中心的任意平面,把长方体分成体积相等的两个柱体。 Q
1
D
2
1 C 2
1
A
3Ba来自例2已知长方体ABCDD1 A1B1C1D1的长、宽、高分别为3，2，1，求沿其表面 A1 从点A到点C1的最短距离。 D

柱锥台的表面积

S圆柱侧 C 底面l 2rl
S圆锥侧 1 C 底面l rl 2
S圆台侧
1 2
r R l
C 上底面 C下底面l
常用的轴截面
练习
四棱柱底面为菱形，各侧面为矩形，过不相邻的两条侧棱的截面面积分别为k1、k2，求它的侧面积.
2 有两个相同的直三棱柱的高为，底面三角形的三 a
四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是多少？
边长分别为3a,4a,5a(a>0). 用它们拼成一个三棱柱或
r' r
2
2
r ' l rl

思考5：你发现圆柱、圆锥、圆台三者的表面
积计算式之间有什么关系吗？
O
r 'O’
l
l
r
l
O
r
r’ ＝ r
O
r
r ’＝ 0
O
S表 2r (r l )
S表 r(r l )
2 2 S表 (r r rl rl )
题型1：多面体的表面积
矩形
扇形
扇环
思考3：怎样计算圆柱、圆锥的表面积？
底面半径为r，母线长为l，
l
S 底 r 2，S侧 2rl Nhomakorabear
2r
S 表 2r 2 2rl 2r ( r l )
2r
底面半径为r，母线长为l， S 底 r ，S侧 rl
2
l
r
S 表 r 2 rl r ( r l )
计算中的基本直角梯形：梯形O1OMM1和O1A1AO
题型2：旋转体的表面积

柱、锥、台表面积与体积

柱、锥、台的表面积与体积
要点1 柱体的表面积
棱柱的侧面是平行四边形；圆柱的侧面展开图是矩形．设柱体的底面周长为c ，高为h ，则S 侧＝c·h ，S 表＝S 侧＋2S 底．要点2 锥体的表面积
棱锥的侧面展开图是由若干个三角形拼成的，因此侧面积为各三角形面积之和；圆锥的侧面展开图为扇形．表面积公式为：S 表＝S 侧＋S 底．要点3 台体的表面积
棱台的侧面展开图为若干个梯形拼接而成，因此侧面积为各梯形的面积之和，而圆台的侧面展开图为扇环，其侧面积可由大扇形的面积减去小扇形的面积而得到，它们的表面积公式为：S 表＝S 侧＋S 上底＋S 下底．要点4 柱体、锥体与台体的体积公式
V 柱体＝Sh ，(S 为底面积，h 为柱体的高)． V 锥体＝1
3Sh ，(S 为底面积，h 为锥体的高)． V 台体＝1
3(S ＋SS ′＋S ′)h ， V 柱――――→S ′＝S V 台――――→S ′＝0
V 锥
例1 (1)已知棱长为5的各侧面均为正三角形的四棱锥
S －ABCD ，求它的侧面积、表面积．
(2)一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面面积相等，求这个正方体和圆柱的体积之比．
例2(1)已知一圆台上底面半径为2，下底面的半径为3，截得此圆台的圆锥的高为6，求此圆台的体积．
例3某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积等于________，表面积等于________．
空间几何体体积计算的常见技巧
1．等积变换法
例如图所示，三棱锥的顶点为P，PA、PB、PC为三条侧棱，且PA、PB、PC两两互相垂直，又PA＝2，PB＝3，PC＝4，求三棱锥P －ABC的体积V.。

柱,锥,台的体积及球的表面积和体积

螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边形, 边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个？
[例2] 如图，圆柱的底面直径与高
都等于球的直径.
求证：(1) 球的
体积等于圆柱体积
的 2;
O
3
(2) 球] 如图，圆柱的底面直径与高
都等于球的直径.
***补例*** 1. 若圆台的高是3，一个底面半径
是另一个底面半径的2倍，母线与下底面所成的角是45°，求这个圆台的侧面积.
***补例***
2. 如图，一块正方形薄铁片的边长
为22cm，以它的一个顶点为圆心，一
22cm
边长为半径画弧.沿
弧剪下一扇形，围
成一锥筒.求它的侧面积和体积.
1
V锥 3 sh V台 3 h(s s' ss')
1 V锥 3 sh
s'=0
1 V台体 3 h(s s' ss')
V柱 sh
s'=s
V圆锥
1 3
R2h
r=0
V圆台
1 3
h(r 2
R
R2
)
V圆柱 R2h
r=R
三、球的表面积、体积公式
S球表 4R2
V球
4 R3
3
典型例题 [例1] 有一堆规格相同的铁制六角
1、多面体的表面积公式是什么？
S多面体表底面面积侧面面积
2、圆柱体的表面积公式是什么？
S圆柱表 2 r(r l)
3、圆锥体的表面积公式是什么？
S圆锥表 r(r l)
4、圆台的表面积公式是什么？
S圆台表(r'2 r2 r'l rl)

柱、锥、台表面积体积公式

圆柱体体积公式
圆柱体体积公式
$V = pi r^{2}h$
解释
其中，$V$表示圆柱体的体积，$pi$是圆周率，$r$是底面圆的半径，$h$是圆柱的高。
棱柱体表面积公式
棱柱体表面积公式
根据棱柱的形状和尺寸有所不同，需要具体问题具体分析。
解释
棱柱体的表面积由底面和顶面的面积以及侧面的面积组成，具体计算方法需要根据棱柱的具体形状和尺寸来确定。
03
台体表面积体积公式
圆台体表面积公式
总结词
圆台体表面积公式是计算圆台侧面积和两个底面积的总和。
详细描述
圆台体表面积公式为 S = π * (r1 + r2) * l，其中 r1 和 r2 分别为圆台上下底面的半径， l 为圆台母线长度。
圆台体体积公式
总结词
圆台体体积公式是计算圆台所占三维空间的大小。
物理学
在计算物体之间的相互作用力、热传导、电磁波的传播等物理现象时，需要使用表面积和体积公式来描述物体的大小和形状。
化学工程
在化学工程领域，表面积和体积的计算对于反应器设计、传热传质计算等方面具有重要意义。
表面积和体积公式的推导过程
要点一
柱体
柱体的表面积由底面和侧面组成，侧面面积是高乘以底面周长，底面周长是 2πr（r为底面半径），所以侧面面积是2πrh（h为高），底面面积是πr^2，所以柱体表面积是2πrh+πr^2，体积是底面积乘以高，即πr^2h。
棱台体体积公式
总结词
棱台体体积公式是计算棱台所占三维空间的大小。
详细描述
棱台体体积公式为 V = (1/3) * (a1 + a2) * l * h，其中 a1 和 a2 分别为棱台上下底面的边

空间几何体的表面积与体积讲义

空间几何体的表面积与体积讲义一、知识梳理1．多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式 S 圆柱侧＝2πrl S 圆锥侧＝πrl S 圆台侧＝π(r 1＋r 2)l3.名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝Sh 锥体(棱锥和圆锥)S 表面积＝S 侧＋S 底 V ＝13Sh 台体(棱台和圆台)S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下 V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h 球S ＝4πR 2 V ＝43πR 3 注意：1(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．2．几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ，①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ；②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ；③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( )(2)锥体的体积等于底面积与高之积．( )(3)球的体积之比等于半径比的平方．( )(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．( )(5)长方体既有外接球又有内切球．( )(6)圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS .( )题组二：教材改编2．已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cm D.32cm 3．[]如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．题组三：易错自纠4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋45．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A ．12π B.323π C ．8π D ．4π 6．如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为________．二、典型例题题型一：求空间几何体的表面积1．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.73B.172 C ．13 D.17＋3102思维升华：空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．题型二：求空间几何体的体积命题点1：以三视图为背景的几何体的体积典例某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.π2＋1B.π2＋3C.3π2＋1 D.3π2＋3 命题点2：求简单几何体的体积典例已知E ，F 分别是棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AA 1，CC 1的中点，则四棱锥C 1—B 1EDF 的体积为________．思维升华：空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．跟踪训练 (1)已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.323B.163C.83D.43 (2)如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为( )A.23B.33C.43D.32题型三：与球有关的切、接问题典例在封闭的直三棱柱ABC —A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A ．4πB.9π2 C ．6π D.32π3引申探究：1．若将本例中的条件变为“直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上”，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，求球O 的表面积．2．若将本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O 的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积．思维升华：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且P A ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．跟踪训练如图所示，在平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体ABCD ，使平面ABD ⊥平面BCD ，若四面体ABCD 的顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )A.3π2 B ．3π C.2π3 D ．2π四、反馈练习1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．6π＋1B.(24＋2)π4＋1C.(23＋2)π4＋12D.(23＋2)π4＋1 2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．303．已知A ，B ，C 三点都在以O 为球心的球面上，OA ，OB ，OC 两两垂直，三棱锥O —ABC 的体积为43，则球O 的表面积为( )A.16π3B ．16π C.32π3 D ．32π4．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．24πB ．30πC ．42πD ．60π5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为( )A ．6＋42＋2 3B ．8＋42C ．6＋6 2D ．6＋22＋436．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P —ABC 为鳖臑，P A ⊥平面ABC ，P A ＝AB ＝2，AC ＝4，三棱锥P —ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π7．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．8．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．9.如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD ⊥DC ，AD ∥BC ，BC ＝2CD ＝2AD ＝2，若将该直角梯形绕BC 边旋转一周，则所得的几何体的表面积为______．10．如图所示，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r ，则R r ＝________.11.如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD .(1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥E -ACD 的体积为63，求该三棱锥的侧面积． 12如图，△ABC 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，DC ⊥平面ABC ，AB ＝2，EB ＝ 3.(1)求证：DE ⊥平面ACD ；(2)设AC ＝x ，V (x )表示三棱锥B －ACE 的体积，求函数V (x )的解析式及最大值．2＝4－x 2，即x ＝2时取等号，∴当x ＝2时，体积有最大值33. 13.如图，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，NB ＝2PN ，则三棱锥N —P AC 与三棱锥D —P AC 的体积比为( )A ．1∶2B ．1∶8C ．1∶6D ．1∶314．在三棱锥P —ABC 中，P A ⊥平面ABC 且P A ＝2，△ABC 是边长为3的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为( )A.4π3B ．4πC ．8πD ．20π15．已知三棱锥O —ABC 的顶点A ，B ，C 都在半径为2的球面上，O 是球心，∠AOB ＝120°，当△AOC 与△BOC 的面积之和最大时，三棱锥O —ABC 的体积为( )A.32B.233C.23D.13 16．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD ＝DA ，PB ＝BA ，则四面体P —BCD 的体积的最大值是________．。

柱体、锥体、台体的表面积

300 mm.计算制造这个下料斗所需铁板的面积是多少?
解:如图所示,设四边形 ABCD 是该下料斗的一个侧面,过点 A 作 AE⊥CD 于点 E,
则 AE= AD2 DE2 .
由题意,CD=440 mm,AB=80 mm,AD=BC=300 mm,
故 DE= 440 80 =18=96(cm2), 圆柱的侧面积为 2π×1×1≈6.28(cm2), 则挖洞后几何体的表面积约为 96+6.28=102.28(cm2).
反思:求几何体的表面积时,通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台体,再通过这些基本的柱、锥、台体的表面积,进行求和或作差,从而获得几何体的表面积. 本题中将几何体的表面积表达为正方体的表面积与圆柱侧面积的和是非常有创意的想法,如果忽略正方体没有被打透这一点,思考就会变得复杂,当然结果也会是错误的.
答案:20π
2.锥体的表面积 (1)侧面展开图:棱锥的侧面展开图是由若干个三角形拼成的,则侧面积为各个三角形面积的和,如图 a 所示;圆锥的侧面展开图是扇形,扇形的半径是圆锥的母线,扇形的弧长等于圆锥的底面周长,如图 b 所示.
(2)面积:锥体的表面积 S 表=S 侧+S 底.特别地,圆锥的底面半径为 r,母线长为 l, 则圆锥的侧面积 S 侧=πrl,表面积 S 表=πr(l+r).
(2)面积:台体的表面积 S 表=S 侧+S 上底+S 下底.特别地,圆台的上、下底面半径分别为 r',r,母线长为 l,则侧面积 S 侧=π(r+r')l,表面积 S 表=π(r2+r'2+rl+r'l).
圆柱、圆锥、圆台的侧面积有如下关系:
【做一做 3】圆台的上、下底面半径分别是 3 和 4,母线长为 6,则其表面积等于( )

柱、锥、台表面积的求法

柱、锥、台表面积的求法求关于柱、锥、台体的表面积时，必须分清所求几何体的结构特征，即柱、锥、台体等的哪种几何体，或是由几个柱、锥、台等构成的几何体(组合体)，然后选用相应的面积公式求解.下面举例说明.一﹑求棱体的表面积棱柱的侧面展开图是平行四边形，上、下底面面积相等，因此只要计算出侧面积与一个底面的面积，其表面积可求；棱锥的侧面展开图是由若干个三角形拼成的，因此侧面积为各个三角形面积之和；棱台的侧面展开图为若干个梯形拼接而成，因此侧面积为各个梯形的面积之和.由此可知，求棱体的表面积主要分为两次运算，一次是计算侧面积，一次是计算底面积.例1六棱台的上、下底面均是正六边形，边长分别是8cm 和18cm ，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长为13cm ，求它的表面积.解析：一个侧面如右图，易知a ＝18－82＝5，h ＝132－52＝12. 则S 侧面积＝6×18＋82×12＝936(cm 2)， S 上底＝12×8×(8×sin60︒)×6＝963(cm 2)，S 下底＝12×18×(18×sin60︒)×6＝4863(cm 2)，所以，表面积为936＋963＋4863＝936＋5823(cm 2).点评：本题在作图上比较麻烦，因此在解答时，根据所涉及的六棱台特殊性，可先通过解决一个侧面的面积，从而求侧面积，这是解答本题的一个关键.这种处理方法在求面积中用得较为广泛.二、求圆体的表面积圆柱的侧面展开图是矩形，上、下底面面积相等，因此只要计算出侧面积与一个底面的面积，其表面积就可求：设柱体的底面周长为c ，高为l ，则侧面积为S 侧面积＝cl ，故圆柱表面积公式为S 表面积＝S 侧面积＋S 底.圆锥的侧面展开图为扇形，利用扇形面积公式可求侧面积，故圆锥表面积公式为S 表面积＝S 侧面积＋S 底.圆台的侧面展开图为扇环，其侧面积可由大扇形的面积减去小扇形的面积而得到，所以它们的表面积公式为：S 表面积＝S 侧面积＋S 上底＋S 下底.例2一个立体几何圆台教具的上底半径是4cm ，下底半径为6cm ，母线长为12cm ，求此圆台的表面积.解析：如图，设圆台的侧面展开图的圆心角为∠B 'O B ＝θ，O A ＝x .又设圆台上下底面半径分别是r 、R ，则R ＝6cm ，r ＝4cm ，由相似三角形知识得x x ＋12＝23，解得x ＝24，则圆心角θ＝2π×424＝π3，所以S 扇形A 'OA ＝12×2π×4×24＝96π(cm 2)，S 扇形B OB ＝π(x ＋AB)2＝12×2π×6×(24＋12)＝216π(cm 2)，所以圆台的表面积为216π－96π＝120π(cm 2).点评：（1）本题解答充分体现了立几问题平面化的一种重要思想方法，特别是在解决几何体表面上的相关问题时，作用尤为显著；（2）在解决与台休相关的问题时，一般都要用到三角的相似，建立方程，求得相关量；（3）求圆台的表面积（或侧面积）的一个关键就是确定侧面展开图所对就的圆心角.三﹑求三视图给出的几何体的表面积此类题没有直接给出或描述出所求几何体图形，而是通过给出一个几何体的三视图.因此求此类几何体的表面积时，要认真分析三视图，根据“长对正，宽相等，高平齐”的基本原则，明确三视图中数据对应于原几何体哪个量，一般根据一种或两种视图相结合可得出一个对应于原几何体中的一个量.例3右图所示的是一个三棱柱的三视图，此三棱柱的侧棱垂直底面，且底面为正三角形，求这个正三棱柱的表面积.解析：由三视图知三棱柱的侧棱长为2mm ，由左视图知正三棱柱的底面三角形的高23mm ，设底面边长为a ，则32a ＝23，∴a ＝4， ∴三棱柱的表面积为S ＝S 侧＋2S 底＝3×4×2＋2×12×4×23＝24＋83(mm 2). 点评：由于本题的原几何体是一个侧棱垂直底面，且底面为正三角形，因此在上面的解法中求出了三棱柱的侧棱长和底面边长就顺利作答了.一般地，由正视图和侧视图可以得到原几何体的高或底面的某些边的长，由俯视图可以得到原几何本的底面上的某些线段对应的量.四、求组合体的表面积求组合体的表面积的解答策略：(1)分解组合体：明确组合体的构成，即由几种基本几何体组成；(2)求各面面积：求出各个几何体为组合体表面的各个面的面积；(3)求各面面积和.例4如图，已知Rt △ABC 的斜边AB ＝13cm ，一条直角边AC ＝5cm ，以直线AB 为轴旋转一周得一个几何体．求这个几何体的表面积．解析：首先应了解这个几何体的形状是上下两个圆锥，共用一个底面，表面积即为两个圆锥的侧面积之和．根据公式S 侧＝πrl 可知，用第二个公式比较好求，但是得求出底面圆的半径，因为AB 垂直于底面圆，在Rt △ABC 中，由OC ·AB ＝BC ·AC 可求出r ，问题就解决了．在Rt △ABC 中，AB ＝13cm ，AC ＝5cm ，∴BC ＝12cm ．∵OC ·AB ＝BC ·AC ，∴r ＝OC ＝B C ·AC AB2＝5×1213＝6013． ∴S 表＝πr (BC ＋AC )＝π×6013×(12＋5)＝102013πcm 2．点评：本题解答中必须注意组合体表面积为两个圆锥的侧面积之和．而不是两个圆锥的表面积之和，例5 右图中的几何体是一棱长为4厘米的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打一个直径为2厘米，深为1厘米的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少（π＝3.14）？解析：因为正方体的棱长为4厘米，而孔深只有1厘米，所以正方体没有被打透。

1.3.1柱、锥、台的表面积

S圆柱侧 S 长方形＝2rl
S 2 r 2 rl 2 r ( r l )
2
圆锥的侧面展开图是扇形
2r
S圆锥侧 rl
2
l
r
O
S r rl r ( r l )
r 'O’
l
2r '
圆台的侧面展开图是扇环
2r
r
O
S圆台侧＝S扇环＝（r r )l
S表=S底+S侧
例1:已知棱长为
, a 各面均为等边三角形
S
的三棱锥 S ABC ,则它的
3 2 a ①底面积为_______, 4
3 3 2 a ②侧面积为_______, 4
A
3a ③表面积为_______.
2
B
C
8
二、圆柱、圆锥、圆台的展开图及表面积的求法：
r O
l
O
2 r
圆柱的侧面展开图是矩形
l2
r 1
l2
r2
4 S圆柱侧 __ S圆锥侧 __ 圆台侧 2 S 6 S圆锥表 S圆柱表 __ __ 3 S
圆台表
6 __
11 __
例2．如图，一个圆台形花盆盆口直径20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm．为了美化花盆的外观，需要涂油漆．已知每平方米用100毫升油漆,涂100个这样的花盆需要多少油漆（取 3.14,结果精确到1毫升，可用计算器）？
C
r
S r
2
B
a
b A a
S a ha b hb
l
r
1 S l r 2
1.2.3 展示目标：