2019年高考数学分类汇编：专题十三极坐标与参数方程

第十三篇：极坐标与参数方程

一、填空题

1. 【2018北京卷10】在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切，

则a =__________．

2.【2018天津卷12】)已知圆22

20x y x +-=的圆心为C

，直线1,

32

⎧

=-+⎪⎪⎨

⎪=-⎪⎩

x y (t 为参数)

与该圆相交于A ，B 两点，则ABC △的面积为 .

二、解答题

1.【2018全国一卷22】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2

2cos 30ρρθ+-=.

（1）求2C 的直角坐标方程；

（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.

2.【2018全国二卷22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ

=⎧⎨=⎩，

（θ为参数），

直线l 的参数方程为

1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨

=+⎩

，

（t 为参数）． （1）求C 和l 的直角坐标方程；

（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．

3.【2018全国三卷22】在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩

，

（θ为参数），

过点(0，且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点．

（1）求α的取值范围；

（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．

4.【2018江苏卷21C 】在极坐标系中，直线l 的方程为π

sin()26

ρθ-=，曲线C 的方程为

4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．

参考答案 一、填空题 1.21+ 2.

2

1 二、解答题

1.解： （1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．

（2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．

由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与

2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两

个公共点．

当

1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=，故

4

3

k =-或0k =．

经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当4

3

k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．

当

2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2，2=，故0

k =或4

3

k =

． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当4

3

k =

时，2l 与2C 没有公共点．

综上，所求1C 的方程为4

||23

y x =-

+． 2.解：（1）曲线C 的直角坐标方程为

116

42

2=+y x ． 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．

（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程

22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①

因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则

120t t +=．

又由①得α

αα2

21cos 31)

sin cos 2(4++-

=+t t ，故2cos sin 0αα+=， 于是直线l 的斜率tan 2k α==-．

3.解：（1）O 的直角坐标方程为221x y +=．

当2

απ

=

时，l 与O 交于两点． 当2

απ

≠

时，记tan k α=，则l

的方程为y kx =．l 与O

交于两点当且仅当|1<，解得1k <-或1k >，即(,)42αππ∈或(,)24απ3π

∈．

综上，α的取值范围是(,

)44

π3π

． （2）l

的参数方程为cos ,

(sin x t t y t αα

=⎧⎪⎨

=⎪⎩为参数，44απ3π<<)．

设A ，B ，P 对应的参数分别为A t ，B t ，P t ，则2

A B

P t t t +=，且A t ，B t

满足2sin 10t α-+=． 于

是s i n

A B t t α+=

，P t α．又点P 的坐标(,)x y 满

足c o s ,

s i n .

P P x t y t αα

=⎧⎪⎨

=⎪⎩ 所以点P

的轨迹的参数方程是sin 2,2222

x y αα

⎧=⎪⎪⎨

⎪=--⎪⎩(α为参数，44απ3π<<)． 4.解：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，

所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为4的圆．

因为直线l 的极坐标方程为π

sin()26ρθ-=，

则直线l 过A （4，0），倾斜角为

π6

， 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ，则∠OAB =

π6

． 连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =

π2

，

所以π

4cos

6

AB == 因此，直线l 被曲线C

截得的弦长为．