6高级管理经济学——消费者剩余

变换后有： max u( x1 ) m p1 x1 一阶条件为 u( x1 ) p1
物品1的需求仅是其自身价格的函数，与收入无关。 即物品1的马歇尔需求函数可以记为 x1 ( p1 )
拟线性效用函数的特性分析

当 x0 0 时，效用函数为 v( p, m) u(m / p1 )

0 0 1 1
e ( P , u ) p
则有 EV e( p 0 , u1 ) e( p1 , u1 )
p1
p0
h( p, u1 )dp
即：等价变化是与最终效用水平相关的希克斯需求曲线的积分
消费者剩余的图示


同样
CV e( p , u ) e( p , u )
CS 1 x( p)dp
p p0
4.拟线性效用

拟线性效用函数：一种物品的效用是线性的，其他物 品不一定。 U ( x0 , x1 ,, xk ) x0 u( x1 ,, xk )

假定k=1的特例。效用最大化问题为 max x0 u( x1 )
s.t . x0 p1 x1 m
等价变化
x2
EV
p0
p1
x1
补偿变化
x2
CV
p0
p1
x1
3.消费者剩余


消费者剩余：用来衡量因经济环境变化而得到的福利水 平的变化。 如果连续的需求函数 x x( p)，则消费者剩余可以定义 为 p max CS * x ( p)dp
p

其中 p max x ( p) 0 如果价格变化时消费者剩余即福利的变化为
0 0 1 0
p0
p1
h( p, u 0 )dp
补偿变化是与初始效用水平相关的希克斯需求曲线的积分 由斯卢茨基方程可得
h( p, u) x( p, m) x( p, m) x( p, m) p p m


希克斯需求曲线的导数大于马歇尔需求曲线的导数，希克 斯需求曲线更陡一些 图示的区域显示，EV>消费者剩余>CV
μ(q; p, m)=e(q; v(p, m))

货币度量的效用变化
μ(q; p1, m1)-μ(q; p0, m0)
2. 等价变动和补偿变动

等价变动(Equivalent Variation，EV)： 以基期的价格计算的用支出度量的效用变化。
EV=μ(p0; p1, m1)-μ(p0; p0, m0) = e(p0, v(p1, m1)) - e (p0, v(p0, m0 ))
p1 p p0 p1
x (t )dt m 0
0 x (t )dt m 1 m 0


则有EV=CV=消费者剩余 拟线性效用的消费者剩余是福利变化的精确度量，此时补 偿变动等于等价变动，它们都等于消费者剩余。
6.消费者剩余的近似度量

假设只有物品 1 的价格从p0至p1发生变化，收入固定 m=m0=m1。此时有 ( p0 ; p0 , m ) ( p 1 ; p 1 , m ) m 因而等价变化可以写作
5.拟线性效用的消费者剩余

拟线性效用的一阶条件为 则需求函数可以定义为 既有
u( x1 ) p1
x1 x1 ( p1 )
x0 m p1 x1 ( p1 ) v1 ( p1 , m) u( x1 ( p1 )) m p1 x1 ( p1 )


如果令 v ( p ) u( x ( p )) p x ( p ) 1 1 1 1 1 1
消费者剩余
——福利分析专题
1.货币度量的效用函数

货币度量的直接效用函数



在给定价格p下，为获得不低于x效用水平的消费束所需要的最小 支出。 min pz 定义式 s .t . u( z ) u( x ) 另一种定义方式 m( p, x ) e( p, u( x )) 也称为最低收入函数或者直接补偿函数 前提：具有连续、局部非饱和的偏好——保证支出函数对效用的 单调性。
max u( x1 ) s.t . p1 x1 m
x1 m / p1



当 x0 0 时，物品1的需求由 u( x1 ) p1 决定， 与收入无关 消费选择：首先用于物品1的消费，直至其边际 效用等于价格，然后所有的收入都用于物品0的 消费 拟线性效用给出的物品，是收入弹性很小的。 即不会随着收入水平的变化有很大的需求改变， 这符合大多数商品的需求特征
图解
p1
0
h( p, u0 )
1 p1
h( p, u1 )
B
p
A
p1
C D
x( p, m)
x1 ( p 1 , m )
x1
x1 ( p 0 , m )
Байду номын сангаас论

1、真实消费者剩余 P0ACP1


2、等价变动消费者剩 余 P0BCP1 由1、2、3可知：EV> 消费者剩余>CV


3、补偿变动消费者剩 余 P0ADP1
在价格p条件下，需要多少货币才能够获得在价格q和收入m情况 下相同的效用水平。 定义式 ( p; q, m ) e( p, v(q, m ))

货币度量的间接效用函数

经济政策变化带来的福利变化

经济政策变化带来的福利变化
v (p1, m1) - v (p0, m0)
货币度量的效用函数(Money Metric utility Function） μ(q; p, m) 测度在经济变化中消费者的福利。
EV ( p 0 ; p 1 , m ) ( p 0 ; p 0 , m ) ( p0 ; p1 , m) ( p1 ; p1 , m) e ( p 0 , u1 ) e ( p 1 , u1 )

令 u v ( p , m ), u v ( p , m ) 考虑 h( P , u )
p
q
( p; p, m ) m

因此拟线性效用的等价变化为
EV ( p0 ; p 1 , m 1 ) ( p 0 ; p 0 , m 0 ) 0 x (t )dt m 1 m 0
p p1

补偿变化为
CV ( p 1 ; p 1 , m 1 ) ( p 1 ; p0 , m 0 ) m1
则
v1 ( p1 , m) v ( p1 ) m

由罗伊恒等式 因为 上式的积分为
x1 ( p1 ) v( p1 )
p1 v ( p1 ) 0
v ( p1 , m) v ( p1 ) m 1 x(t )dt m
p


所以有
( p; q, m ) x (t )dt m
=μ(p0; p1, m1)- m0= e(p0, v(p1, m1))- m0

补偿变动(Compensation Variation，CV)： 以报告期的价格计算的用支出度量的效用变化。
CV =μ(p1; p1, m1)-μ(p1; p0, m0)
= e(p1, v(p1, m1)) - e (p1, v(p0, m0 ) = m1-μ(p0; p1, m1)= m1- e (p1, v(p0, m0 )