结构力学第五章-2(单位荷载法)
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§5-2 单位荷载法 一、位移计算的一般公式
(General Formula of Displacements)
应用虚功原理计算结构的位移，假设一个虚 拟状态，设置一个单位力1，这就是求解结 构位移的实际协调位移和虚设平衡力状态间 方法——单位荷载法。
下面从虚功方程入手，讨论杆系结构位移计 算的一般公式。
~
2E 25 G
(h)2 l
E G的取值范围是什么？
G
E
2(1 )
0 0.5
2 EG 3
取：
h l
1 10
， E G 2.5 ，有：
(Ay )N
~
1, 750
(Ay )Q
~
1 500
即：
Ay
5ql 4 (1 1 1 ) 8EI 750 500
(Ay )Q 0.2% , (Ay )N 0.13%
P
N i NPds N i NPl
EA
EA
P
MiM Pds N i NPl
EI
EA
例 2：求曲梁B点的竖向位移 By 和水 平位移 Bx。(EI、EA、GA已知) FP
解：构造虚设的力状态如图示
B
P=1
A
P =1
θ
R
M y R sin
θ
R
MP θ
R
M x R(1 cos )
截面形状系数。如：对矩形截
面k=6/5;圆形截面k=10/9。
例 1：求刚架A点的竖向位移。 解：构造虚设状态
（虚拟状态）
（实际状态）
分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力 方程（或画出内力图），如：
1 ql2 2
ql
1 qx2 x 2
MP
x qx
VP
ql
NP
荷载内力图
l
11
xx
x
Mi
Vi
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ni
单位内力图
R O
P
M P PR sin
将内力方程代入位移计算公式,可得
By
l M PM i ds 0 EI
2
MPMi
Rd
PR3
()
0 EI
4EI
同理有：
Bx
PR3 2EI
()
三铰拱的分析同此类似，但一般要考
虑轴力对位移的贡献，也即
P
MiM Pds EI
Ni Npds EA
例 3：求对称桁架D点的竖向位移 Dy。图中
A
C d1
d2 1 d2
C d
A
1 d
B 1 d2
(c)
B
BC ?
(d)
? AB AC
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
1A
(e)
M=1 C
B AB ?
1 M=1
(f)
C 左右 =？
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
M=1 A
(g)
A ?
A
B
M=1
M=1
(h)
AB ?
二、 荷载作用下位移计算的一般公式 在仅荷载作用时的位移计算一般公式
p
N i du p V i dv p M i d p
对于由线弹性直杆组成的结构，有：
duP
NP ds , EA
d P
VP
GA
ds ,
dP
MP EI
ds
P
轴向
N i NP EA
V iVP
GA
MiMP EI
ds
剪切 弯曲
式中： E 弹性模量； G
剪切模量；
A 横截面积； I
截面惯性矩；
右半部各括号内数值为杆件的截面积A
(101m2 ) ，设 E=210GPa。
FN
解： 构造虚拟状态并求出实际和虚拟状 态中各杆的内力
FN
代入公式得：
Dy
N i NPl 8 mm ( ) EA
返
章
菜
单
(1
8I 5 Al
2
4kEI 5GAl 2
)
讨论： 引入符号
(Ay )M ~ 1 , 弯曲
(Ay )N
~
8 5
I Al 2
,
轴向
(Ay )Q
~
4 kEI 5 GAl 2
剪切
设杆件截面为 bh 的矩形截面杆，有：
A bh , I bh3 , k 6
12
5
(Ay )N
~
2 (h)2 15 l
,
(Ay )Q
(Ay )M
(Ay )M
因此,对受弯细长杆件,通常略去N、 V的影响。
三、几点讨论（只有荷载作用）：
Ay
MiM Pds EI
N i NPds EA
V iVPds
GA
一般来说，剪切变形影响很小，通常忽略不计。
1. 对梁和刚架：
P
MiM Pds EI
2. 对桁架： 3. 对组合结构：
构；静定和超静定结构；
3. 材料性质：线性、非线性； 4. 变形类型：弯曲变形、拉(压)变形、剪切
变形；
5. 位移种类：线位移、角位移；相对线位移
和相对角位移。
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
A
1 A ?
(a)
1 B
A 1
(b)
AB ?
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
1 d
1 d1
1 d1
设应待的求广的义实力际为广1。义位移为ΔBX ，与ΔBX对
设仅在广义力1作用下，与之平衡的轴 力、剪力和弯矩分别为N i 、V i 和 Mi 。
实际位移状态
P 1
B
C
Bx ?
A
虚设的力状态
B C
N i、V i 和
A Mi
际又变设形与分内别力为Ndupp、、dVvpp和和Mdp对p。应的微段实
实际位移状态 P
内力的正负号规定如下：
轴力 N P , N i
剪力 VP ,V i 者为正；
以拉力为正； 使微段顺时针转动
弯矩 M P , M i
只规定乘积的正负
号。使杆件同侧纤维受拉时，
其乘积取为正。
将内力方程代入公式，有：
Ay
MiM Pds EI
N i NPds EA
V iVPds
GA
5ql 4 8EI
B
C
Bx ? up、vp和 p A ci
虚设的力状态
1B C
N i 、V i 、
和 Mi
A
则杆系结构虚功方程为: 位移计算的一般公式
N i du p V i dv p M i d p
一般公式的普遍性表现在：
1. 位移原因：荷载、温度改变、支座移动等； 2. 结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结
(General Formula of Displacements)
应用虚功原理计算结构的位移，假设一个虚 拟状态，设置一个单位力1，这就是求解结 构位移的实际协调位移和虚设平衡力状态间 方法——单位荷载法。
下面从虚功方程入手，讨论杆系结构位移计 算的一般公式。
~
2E 25 G
(h)2 l
E G的取值范围是什么？
G
E
2(1 )
0 0.5
2 EG 3
取：
h l
1 10
， E G 2.5 ，有：
(Ay )N
~
1, 750
(Ay )Q
~
1 500
即：
Ay
5ql 4 (1 1 1 ) 8EI 750 500
(Ay )Q 0.2% , (Ay )N 0.13%
P
N i NPds N i NPl
EA
EA
P
MiM Pds N i NPl
EI
EA
例 2：求曲梁B点的竖向位移 By 和水 平位移 Bx。(EI、EA、GA已知) FP
解：构造虚设的力状态如图示
B
P=1
A
P =1
θ
R
M y R sin
θ
R
MP θ
R
M x R(1 cos )
截面形状系数。如：对矩形截
面k=6/5;圆形截面k=10/9。
例 1：求刚架A点的竖向位移。 解：构造虚设状态
（虚拟状态）
（实际状态）
分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力 方程（或画出内力图），如：
1 ql2 2
ql
1 qx2 x 2
MP
x qx
VP
ql
NP
荷载内力图
l
11
xx
x
Mi
Vi
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ni
单位内力图
R O
P
M P PR sin
将内力方程代入位移计算公式,可得
By
l M PM i ds 0 EI
2
MPMi
Rd
PR3
()
0 EI
4EI
同理有：
Bx
PR3 2EI
()
三铰拱的分析同此类似，但一般要考
虑轴力对位移的贡献，也即
P
MiM Pds EI
Ni Npds EA
例 3：求对称桁架D点的竖向位移 Dy。图中
A
C d1
d2 1 d2
C d
A
1 d
B 1 d2
(c)
B
BC ?
(d)
? AB AC
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
1A
(e)
M=1 C
B AB ?
1 M=1
(f)
C 左右 =？
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
M=1 A
(g)
A ?
A
B
M=1
M=1
(h)
AB ?
二、 荷载作用下位移计算的一般公式 在仅荷载作用时的位移计算一般公式
p
N i du p V i dv p M i d p
对于由线弹性直杆组成的结构，有：
duP
NP ds , EA
d P
VP
GA
ds ,
dP
MP EI
ds
P
轴向
N i NP EA
V iVP
GA
MiMP EI
ds
剪切 弯曲
式中： E 弹性模量； G
剪切模量；
A 横截面积； I
截面惯性矩；
右半部各括号内数值为杆件的截面积A
(101m2 ) ，设 E=210GPa。
FN
解： 构造虚拟状态并求出实际和虚拟状 态中各杆的内力
FN
代入公式得：
Dy
N i NPl 8 mm ( ) EA
返
章
菜
单
(1
8I 5 Al
2
4kEI 5GAl 2
)
讨论： 引入符号
(Ay )M ~ 1 , 弯曲
(Ay )N
~
8 5
I Al 2
,
轴向
(Ay )Q
~
4 kEI 5 GAl 2
剪切
设杆件截面为 bh 的矩形截面杆，有：
A bh , I bh3 , k 6
12
5
(Ay )N
~
2 (h)2 15 l
,
(Ay )Q
(Ay )M
(Ay )M
因此,对受弯细长杆件,通常略去N、 V的影响。
三、几点讨论（只有荷载作用）：
Ay
MiM Pds EI
N i NPds EA
V iVPds
GA
一般来说，剪切变形影响很小，通常忽略不计。
1. 对梁和刚架：
P
MiM Pds EI
2. 对桁架： 3. 对组合结构：
构；静定和超静定结构；
3. 材料性质：线性、非线性； 4. 变形类型：弯曲变形、拉(压)变形、剪切
变形；
5. 位移种类：线位移、角位移；相对线位移
和相对角位移。
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
A
1 A ?
(a)
1 B
A 1
(b)
AB ?
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
1 d
1 d1
1 d1
设应待的求广的义实力际为广1。义位移为ΔBX ，与ΔBX对
设仅在广义力1作用下，与之平衡的轴 力、剪力和弯矩分别为N i 、V i 和 Mi 。
实际位移状态
P 1
B
C
Bx ?
A
虚设的力状态
B C
N i、V i 和
A Mi
际又变设形与分内别力为Ndupp、、dVvpp和和Mdp对p。应的微段实
实际位移状态 P
内力的正负号规定如下：
轴力 N P , N i
剪力 VP ,V i 者为正；
以拉力为正； 使微段顺时针转动
弯矩 M P , M i
只规定乘积的正负
号。使杆件同侧纤维受拉时，
其乘积取为正。
将内力方程代入公式，有：
Ay
MiM Pds EI
N i NPds EA
V iVPds
GA
5ql 4 8EI
B
C
Bx ? up、vp和 p A ci
虚设的力状态
1B C
N i 、V i 、
和 Mi
A
则杆系结构虚功方程为: 位移计算的一般公式
N i du p V i dv p M i d p
一般公式的普遍性表现在：
1. 位移原因：荷载、温度改变、支座移动等； 2. 结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结