动量和能量

暑假专题 --- 动量和能量

力的效应：

一^

斗

F x 0

力的瞬时作用效应 牛顿第二定律F = ma ;当合外力为零时

物体平衡。

F y 0

力对时间的积累效应一一动量定理

Ft = P 2 — p i ,当合外力的冲量为零时，

系统动量守恒

p i = P 2o

力对空间的积累效应一一动能定理 Fs = E k2 — E ki ,当只有重力和弹簧弹力做功时，

机械

能守恒E i = E 2o

（一）动量定理和动能定理

动量和动能是从不同角度描述物体运动状态的物理量。动量是矢量，而动能是标量； 物体动量的变化用外力的冲量来量度，而动能的变化则用外力的功来量度。动量定理和动 能定理的公式分别为:

Ft = mv 2 — mv i

L 1 2 1 2

Fs

mv 2 mv 1

2 2

虽然两个公式分别为矢量式和标量式，但不难看出二者仍有很多相同的地方。首先两 个公式的形式是

相似的；其次式中的

V i 、V 2和S 均应相对于同一惯性系；再者合外力的冲

量Ft 与合外力的功Fs 在求解方法上也具有相似性，即可以先求合力 F 再求它的冲量或功,

也可以先求各分力的冲量和功再合成。

（二）动量守恒定律和机械能守恒定律

如果说动量定理和动能定理研究对象仅限于单个物体的话，那么动量守恒定律和机械 能守恒定律的研究对象则一定是由多个物体所构成的系统。二者的数学表达式常用形式分 别为

m i V i m 2V 2 m i V i ' m 2V 2'

③

在应用两个守恒定律解题时首先要注意系统的确定和守恒条件的确定。两个守恒定律 的条件含义是完全不同的，解题时千万不能混为一谈。

1. 动量守恒的条件

① 动量守恒定律的条件是系统不受外力的作用，但是实际上，根本不受外力作用的系 统是不存在的，只要系统受的合外力为零，那么该系统就将严格遵循动量守恒定律，因为 “合外力为零”与“不受外力作用”在对系统运动状态的变化上所产生的效果是相同的。

② 在实际情况中，合外力为零的系统也是很少遇到的，因此在解决实际问题时，如果 系统内部的相互作用力（即内力）远比它们所受的外力大（例如相互作用时间极短的碰撞 类问题就是如此）就可忽略外力的作用，应用动量守恒定律去处理。

③ 动量守恒定律表示的是物理量之间的矢量关系，

所以若系统所受的合外力并不为零,

但合外力在某个方向上分量为零时，那么尽管系统的总动量不守恒，但总动量在该方向上 的分量却是守恒的，例如平抛或斜抛出去的物体，它们只在竖直方向上受到外力，而水平 方向上不受外力作用，因此尽管该物体在飞行的过程中总动量不守恒但在水平方向上动量 却是守恒的。

2. 机械能守恒的条件

“只有重力和弹力做功”这一条件可理解为包含下列三种情况：①只受重力或弹力；

1 2

mV i 2 1

mgh i

扌 mV 22 mgh 2

②除重力和弹力外，其他力不做功；③除重力和弹力，其他力做功的代数和为零。如汽车爬坡时，若牵引力和阻力相等则属于这种情况。这里的“其他力”包括外力和内力，如炸弹爆炸、气体膨胀等均属于内力做功造成了机械能的改变。在具体的题目中，判断机械能是否守恒至关重要，一定要认真分析，千万不能想当然。例如，如图所示的各种情况下，均不计一切摩擦，在判断A、B机械能是否守恒时，不少同学仅凭以往做题所得来的片面

的感性认识，认为物体沿斜面和曲面滑动时，支持力不做功，杆对小球的作用力在球摆动过程中对球也不做功，所以下列各种情况中，物体A的机械能均守恒。仔细分析不难发现，这四种情况下，物体A所受的支持力或杆的拉力对A均做负功，A的机械能减少。而A和

B构成的系统却满足守恒条件，在运动的过程中机械能守恒。

【典型例题】

例1. 一个质量为m的木块，从半径为R、质量为M的1/4光滑圆槽顶端由静止滑下。在槽被固定和可沿着光滑平面自由滑动两种情况下，如图所示，木块从槽口滑出时的速度大小之比为多少？

解析：圆槽固定时，木块下滑过程中只有重力做功，木块的机械能守恒。木块在最高处的势能全部转化为滑出槽口时的动能。由：

mgR ~mv1①

木块滑出槽口的速度V i2gR ②

圆槽可动时，当木块开始下滑到脱离槽口的过程中，对木块和槽所组成的系统，水平方向不受外力，水平方向动量守恒。

设木块滑出槽口时的速度为V2,槽的速度为U,则：

mv2 + Mu = 0 ③

又木块下滑时，只有重力做功，机械能守恒，木块在最高处的势能转化为木块滑出槽

口时的动能和圆槽的动能，即:

mgR mv2Mu ④

联立③④两式解得木块滑出槽口的速度:

2 MgR

\'m M

因此，两种情况下滑出槽口的速度之比：

v12gR m M

V2 ,2MgR . M

m M

例2.如图所示，在光滑水平面上有两辆车处于静止状态，其上分别站有甲、乙两个小孩,

每辆车和小孩的总质量均为M ,甲车上的小孩拿着一质量为m的球。现小孩甲将球抛给乙，乙接住后又抛回给甲，如此重复多次，最后球又回到了甲的手中，求甲、乙两车最后的速率之比。

解析：此题若先以甲车及其上的小孩和球为研究对象，应用动量守恒定律列出方程，再以乙车、小孩乙及球为研究对象同样列方程，如此这样分析下去，将非常繁锁。可见，这样选取研究对象显然是不好的。

因为在抛球的过程中，只有两车、两个小孩和球组成的系统之间发生相互作用，因此可以两车、两小孩及球组成的系统为研究对象，以第一次小孩甲抛球时为初态，以最后小孩甲接住球为末态进行研究。因系统在水平方向不受外力，故系统动量守恒。初态系统的总动量为零；末态甲车、小孩及球的总动量为( M + m) v甲，乙车及其上小孩的总动量为

mv乙，设甲车的运动方向为正，则据动量守恒定律便可解得。

解：以两车、两小孩及球组成的系统为研究对象，选最后甲车速度为正方向，设最后甲、乙两车速度分别为v甲、v乙，自始至终系统动量守恒。

对于系统的初、末状态由动量守恒得：

0 (M m)v 甲Mv 乙

所以，v甲：v乙M: (M m)负号表甲、速度方向相反

甲、乙速率之比为M ：( M + m)

点评：

①从本题的求解过程不难看出，研究对象的选取和研究过程的确定对问题的顺利求解，

起着至关重要的作用。

②本题的结果表明，无论球在两车之间抛多少次，两车的速率之比总为一定值。

例3.如图，质量为0.5kg、长1.2m的金属盒AB，放在水平桌面上，它与桌面间动摩擦因数卩=0.125。在盒内右端B处放着质量也为0.5kg、半径为0.1m的小球，球与盒间无摩擦。若在A端给盒以水平向右的冲量1.5N • s，设盒在运动中与球碰撞时间极短，且无能量损失，求：

(1)盒从开始运动到完全停止所通过的路程是多少？

(2)盒从开始运动到完全停止所经过的时间是多少？