【中考数学压轴题专题突破05】二次函数中的角的存在性问题

【中考压轴题专题突破】

二次函数中的角的存在性问题

1．直线 y＝﹣ x+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，抛物线 y＝﹣ x2+bx+c 经过 A、

B 两点．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）若 P 是直线 AB 上方抛物线上一点；

① 当△ PBA 的面积最大时，求点 P 的坐标；

② 在① 的条件下，点 P 关于抛物线对称轴的对称点为 Q，在直线 AB 上是否存在点 M，

使得直线 QM 与直线 BA 的夹角是∠ QAB 的两倍？若存在，直接写出点 M 的坐标；若不

2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+5 与 x轴交于点 B，与 y轴交于点C．抛物线

＝ x2+bx+c经过点 B 和点 C，与 x轴交于另一点 A，连接 AC．

2 y

（ 1 ）求点 A 的坐标；

（2）若点 Q 在直线 BC 上方的抛物线上，连接 QC， QB，当△ ABC 与△ QBC 的面积比等于 2：3时，直接写出点 Q 的坐标：

（3）在（2）的条件下，点 H 在x轴的负半轴，连接 AQ，QH，当∠ AQH ＝∠ ACB 时，直接写出点 H 的坐标．

3．如图 1，在平面直角坐标系 xoy 中，抛物线 y＝﹣ x2+bx+3 与 x 轴交于点 A （﹣1，0）和点 B，与 y 轴交于点 C ．

（ 1）求抛物线的表达式；

（ 2）如图 2，连接 AC、BC，点 D 是线段 BC 上方抛物线上的一个动点，当 S△BCD ＝ S

△ABC 时，求点 D 的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点 P，使得∠ CPO＝∠BPO？若存在，请求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由．

4．如图，已知抛物线 y＝ ax2+bx+c（a≠ 0）与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴分别交于点C，其中点 A（﹣1，0），点 C（0，2），且∠ ACB＝90°

（ 1）求抛物线的解析式．

（2）点 P 是线段 ABC 一动点，过 P作 PD∥AC 交 BC 于 D，当△ PCD 面积最大时，求点 P 的坐标．

3）点 M 是位于线段 BC 上方的抛物线上一点，当∠ ABC 恰好等于△ BCM 中的某个角

5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y＝ x﹣ 2 的图象分别交 x、y 轴于点 A、B，抛

物线 y＝x2+ bx+c 经过点 A、B，点 P 为第四象限内抛物线上的一个动点．

（ 1）求此抛物线对应的函数表达式；

（2）如图 1所示，过点 P 作PM ∥y轴，分别交直线 AB、x轴于点 C、D，若以点P、B、 C 为顶点的三角形与以点 A、C、D 为顶点的三角形相似，求点P 的坐标；

（3）如图 2所示，过点 P作PQ⊥AB于点 Q，连接 PB，当△ PBQ中有某个角的度数等

2

6．在平面直角坐标系中，已知矩形OABC 中的点 A（ 0，4），抛物线 y1＝ax2+bx+c 经过原

点 O 和点 C，并且有最低点 G（ 2，﹣1），点 E，F 分别在线段 OC，BC 上，且S△AEF＝ S 矩形OABC，CF＝ 1，直线 BE 的解析式为 y2＝kx+b，其图象与抛物线在 x 轴下方的图象交于点 D ．

1）求抛物线的解析式；

2）当 y1

3）在线段 BD 上是否存在点 M，使得∠ DMC ＝∠ EAF，若存在，请求出点 M 的坐标，

若不存在，请说明理由．

二次函数中的角的存在性问题

参考答案与试题解析

1．【分析】（1）直线 y ＝﹣ x+2 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ，则点 A 、B 的坐标分别 为：（ 4， 0）、（ 0， 2），将点 A 、B 的坐标代入抛物线表达式，即可求解；

可求解；

2）① △PBA 的面积 S ＝

PN× OA ＝ 2 × 4×（﹣ m 2 m+2 2

m ﹣ 2）＝﹣ m +4 ② （Ⅰ）若：∠ QM 1B ＝ 2∠QAM 1，则 QM 1＝AM 1，则（ a ﹣ ） 2+ a ﹣3）2＝（a ﹣4）

2+（﹣ a+2）2，即可求解； （Ⅱ）若∠ QM 2B ＝ 2∠ QAM 1，则∠ QM

2B ＝∠ QM 1B ， QM 1＝ QM 2，M 2、M 1关于 B 对称，即可求解．

解答】（1）直线 y ＝﹣ x+2与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ， 则点

A 、

B 的坐标分别为： 4，0）、（0，2），

将点 A 、B 的坐标代入抛物线表达式得：

故抛物线的表达式为： y ＝ + x+2 ；

BC 于点 N ，设 P （ m ，﹣m m+2），点 N （ m ，﹣ m+2），

PN×OA ＝ 当 m ＝2 时， S 最大，此时，点

× 4×（﹣ m 2+ P （ 2， 5）； m+2+ 2

m ﹣ 2）＝﹣ m

则：△ PBA 的面积 S

②点 P（2，5），则点 Q（，5），设点 M（a，

Ⅰ）若：∠ QM 1B ＝2∠QAM 1，则 QM 1＝AM 1，

点评】 主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．

用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来， 利用点的坐标的意义表示线段的长度， 从而 求出线段之间的关系．

2．【分析】（ 1）直线 y ＝﹣x+5与 x 轴交于点 B ，与y 轴交于点 C ，则点 B 、C 的坐标分别为： （5，0）、（0，5），即可求解；

（2）过点 A 作直线 BC 的平行线 n 交 y 轴于点 M ，则点 M （0，1），则 CM ＝5﹣1＝4，在 点 C 上方取 CN ＝ CM ＝6，过点 N 作直线 m 交抛物线于点 Q （Q ′），则点 Q 为所求，即 可求解；

（3）分点 Q （6，5）、点 Q （﹣ 1，12）两种情况，分别求解即可．

【解答】（ 1）直线 y ＝﹣ x+5与 x 轴交于点 B ，与 y 轴交于点 C ，则点 B 、 C 的坐标分别为： （5，0）、（0，5），

则 c ＝5，将点 B 的坐标代入抛物线表达式并解得： b ＝﹣6， 故抛物线的表达式为：

则（ a ﹣ ）2+（ a ﹣ 3） a ﹣4） 2+（﹣ a+2） 2， 解得： a ＝ ，

故点 M 1（ ，

Ⅱ）若∠ QM 2B ＝2∠QAM 1，

则∠ QM 2B ＝∠ QM 1B ， QM 1＝ QM 2，

作 QH ⊥AB 于 H ，BQ 的延长线交 x 轴于点

则 tan ∠BAO ＝ ＝ ，则 tan ∠QNA ＝2，

故直线 QH 表达式中的 k 为 2，

设直线 QH 的表达式为： y ＝ 2x+b ，将点 Q 的坐标代入上式

并解得：

故直线 QH 的表达式为： y ＝ 2x+2，故 H （0，2）与 B 重合， b ＝2， M 2、M 1 关于 B 对称， 要会利 ∴M 2（

综上，点 M 的坐标为： ）