初中一对一精品辅导讲义：正弦定理与余弦定理
正弦定理、余弦定理讲义
此为三角函数最为基础的知识，在以后的多学科学习中都能用到，需要学生熟练掌握，并灵活运用。
解三角形【考点及要求】 1. 掌握正弦定理、余弦定理； 2. 并能初步应用正弦定理、余弦定理解决三角形中的有关问题． 【基础知识】在C B A c b a ABC ∠∠∠∆、、分别是、、中，所对的边，ABC R ∆为的外接圆半径,则有，1.正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin =∠=∠=∠； 2.余弦定理：bca cb A 2cos 222-+=A bc c b a cos 2222-+=⇔ ac b c aB 2cos 222-+=B ac c a b cos 2222-+=⇔ abc b a C 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=⇔ 3.常用公式：（1）π=++C B A ；（2）B ac A bc C ab S sin 21cos 21sin 21===知识点一：解直角三角形【典型例题讲练】例1 在ΔABC 中，已知a=3，b=2，B=45°，求A,C 及边c ．【变式训练】 1.在△ABC 中，已知a=3,b=2,B=45°,求A 、C 和c.知识点二：正、余弦定理的运用【典例精析】 例1、（2010辽宁文数）在ABC ∆中，a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++. （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若sin sin 1B C +=，试判断ABC ∆的形状.例2、（2010重庆文数）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c,且32b +32c -32a =42bc . (Ⅰ) 求sinA 的值；(Ⅱ)求2sin()sin()441cos 2A B C Aππ+++-的值.例3、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A ，B ，C 的对边，且CB cos cos =-ca b +2.（1）求角B 的大小； （2）若b=13，a+c=4，求△ABC 的面积.例4、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a+b=5，c=7，且4sin22BA+-cos2C=27.(1)求角C的大小；(2)求△ABC的面积.【变式训练】1.（2010天津文数）在∆ABC中，coscosAC B AB C=。
正弦定理与余弦定理一对一辅导讲义
第一课时 正弦定理与余弦定理知识点梳理1、ABC ∆中，45,60,10,A B a === 则b 等于（ ）A 52B 102 C1063D 56 2、在△ABC 中，已知8=a ，B=060，C=075，则b 等于A.64B.54C.34D.322 3、已知ABC ∆中，c b a 、、分别是角C B A 、、的对边， 60,3,2===B b a ，则A = A. 135 B. 45 C. 135或 45 D.904、在△ABC 中，a b c 、、分别是三内角A B C 、、的对边, ︒=︒=45,75C A ,2b =,则此三角形的最小边长为（ ）A ．46 B ．322 C ．362 D ． 425、在中，B=，C=，c=1，则最短边长为（ ） A ．B ．C ．D ．ABC ∆30︒45︒63221232课前检测正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin a b A B =sin cC=（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =；（2）sin sin a b A B =sin c C =等价于sin sin a b A B =，sin sin c b C B =，sin a A =sin cC从而知正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b Aa B=； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin aA B b=。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
例题 .在ABC ∆中,已知3=a , 2=b , B=450.求A 、C 和c. 解:004590B =< 且 ,b a <∴A 有两解.由正弦定理,得23245sin 3sin sin 0=∙==b B a A 0012060==∴A A 或 1) 当A=600时,C=1800-A-B=75, 00sin 2sin 7562sin 2sin 45b Cc B+===2) 当A=1200时,C=1800-A-B=150, 0sin 2sin1562sin 2sin 45b C c B -===（1）定理的表示形式：sin sin abAB=sin cC==()0sin sin sin a b ck k A B C++=>++；或sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =(0)k >（2）正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边及一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
正弦定理、余弦定理(同步辅导教案)
难
点
一、 课前检测 1．在△ABC 中，a＝ 3，b＝1，c＝2，则 A 等于( A．30° C．60° B．45° D．75°
b2＋c2－a2 1＋4－3 1 解析：选 C ∵cos A＝ ＝ ＝ ， 2bc 2×1×2 2 又∵0° <A<180° ，∴A＝60° . 2．在△ABC 中，若 a＝18，b＝24，A＝45° ，则此三角形有( A．无解 C．一解 B．两解 D．解的个数不确定 b 24 2 2 ∴sin B＝ sin A＝ sin 45° ，∴sin B＝ . a 18 3 )
【证明】由余弦定理知 。所以
，两式相减得 ，所以
。
由正弦定理， 立。
四、变式练习
，所以
=
。故等式成
好方法事半功倍，好习惯受益终身
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天元地元
★ 学好数学“三步曲” ：概念---做题---反思
1. △ABC 中 a=6,b=6 3 A=30°则边 C=（ C ） A、6 B、 、12 C、6 或 12 D、6 3
（4）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即 2. 直角三角形 （1） （2） ， 中 ，
（3）
，
，
；
，
，
知识点二：正弦定理
正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即： （1）正弦定理适合于任何三角形；
（2）可以证明
（
为
的外接圆半径） ；
（3）每个等式可视为一个方程：知三求一。 、变形： （1） a 2 R sin A ， b 2 R sin B ， c 2 R sin C （2） sin A
6
20 ;
4.△ABC 中已知∠A=60°，AB =AC=8：5，面积为 10 3 ，则其周长为 5.△ABC 中 A：B：C=1：2：3 则 a：b：c= 1: 3 :2 .
正弦定理和余弦定理-【名师经典教学资料】
第一课时 1.1.1 正弦定理教学要求：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题.教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用.教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数. 教学过程：一、复习准备：1. 讨论：在直角三角形中，边角关系有哪些？（三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数）如何解直角三角形？那么斜三角形怎么办？2. 由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形. 已学习过任意三角形的哪些边角关系？（内角和、大边对大角） 是否可以把边、角关系准确量化？ →引入课题：正弦定理 二、讲授新课：1. 教学正弦定理的推导：①特殊情况：直角三角形中的正弦定理： sin A =ca sin B =cb sin C =1 即c =sin sin sin a b cA B C==. ② 能否推广到斜三角形？ （先研究锐角三角形，再探究钝角三角形） 当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数的定义，有sin sin CD a B b A ==,则sin sin a bA B=. 同理，sin sin a cA C=（思考如何作高？），从而sin sin sin a b cA B C==. ③*其它证法：证明一：（等积法）在任意斜△ABC 当中S △ABC =111sin sin sin 222ab C ac B bc A ==. 两边同除以12abc 即得：sin a A =sin bB =sin c C.证明二：（外接圆法）如图所示，∠A ＝∠D ，∴2sin sin a a CD R A D===， 同理sin bB=2R ，sin c C ＝2R .证明三：（向量法）过A 作单位向量j 垂直于AC ，由AC +CB =AB 边同乘以单位向量j 得…..④ 正弦定理的文字语言、符号语言，及基本应用：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值. 2. 教学例题：① 出示例1：在∆ABC 中，已知045A =，060B =，42a =cm ，解三角形.分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范格式 → 小结：已知两角一边② 出示例2：045,2,,ABC c A a b B C ∆===中，求和.分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范格式 → 小结：已知两边及一边对角③练习：060,1,,ABC b B c a A C ∆===中，求和.在∆ABC 中，已知10a =cm ，14b =cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）④ 讨论：已知两边和其中一边的对角解三角形时，如何判断解的数量？ 3. 小结：正弦定理的探索过程；正弦定理的两类应用；已知两边及一边对角的讨论.三、巩固练习：1.已知∆ABC 中，∠A =60°，a =，求sin sin sin a b cA B C++++.2. 作业：教材P5 练习1 (2)，2题. 第二课时 1.1.2 余弦定理（一）教学要求：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用. 教学难点：向量方法证明余弦定理. 教学过程：一、复习准备：1. 提问：正弦定理的文字语言？ 符号语言？基本应用？2. 练习：在△ABC 中，已知10c =，A =45︒，C =30︒，解此三角形. →变式3. 讨论：已知两边及夹角，如何求出此角的对边？ 二、讲授新课：1. 教学余弦定理的推导：① 如图在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b .∵AC AB BC =+，∴()()AC AC AB BC AB BC •=+•+222AB AB BC BC =+•+222||||cos(180)AB AB BC B BC =+•-+222cos c ac B a =-+.即2222cos b c a ac B =+-，→② 试证：2222cos a b c bc A =+-，2222cos c a b ab C =+-.③ 提出余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.用符号语言表示2222cos a b c bc A =+-，…等； → 基本应用：已知两边及夹角④ 讨论：已知三边，如何求三角？ →余弦定理的推论：222cos 2b c a A bc+-=，…等.⑤ 思考：勾股定理与余弦定理之间的关系？ 2. 教学例题：① 出示例1：在∆ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A . 分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范求b→ 讨论：如何求A ？（两种方法） （答案：b =060A =） → 小结：已知两边及夹角②在∆ABC 中，已知13a cm =，8b cm =，16c cm =，解三角形.分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 分三组练习 → 小结：已知两角一边 3. 练习：① 在ΔABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，求A 、B 和C .② 在ΔABC 中，已知a ＝2，b ＝3，C ＝82°，解这个三角形.4. 小结：余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边.三、巩固练习：1. 在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A . （答案：A =1200）2. 三角形ABC 中，A ＝120°，b ＝3，c ＝5，解三角形. → 变式：求sin B sin C ；sin B ＋sin C .3. 作业：教材P8 练习1、2（1）题.第三课时 1.1 正弦定理和余弦定理（练习）教学要求：进一步熟悉正、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、正弦定理解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式. 教学重点：熟练运用定理.教学难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化.教学过程：一、复习准备：1. 写出正弦定理、余弦定理及推论等公式.2. 讨论各公式所求解的三角形类型. 二、讲授新课：1. 教学三角形的解的讨论：① 出示例1：在△ABC 中，已知下列条件，解三角形.(i ) A ＝6π，a ＝25，b ＝； (ii ) A ＝6π，a ＝，b ＝； (iii ) A ＝6π，ab ＝； (iiii ) A ＝6π，a ＝50，b ＝.分两组练习→ 讨论：解的个数情况为何会发生变化？ ② 用如下图示分析解的情况. （A 为锐角时）已知边a,b 和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<b a=CH=bsinAa<CH=bsinA② 练习：在△ABC 中，已知下列条件，判断三角形的解的情况. (i ) A ＝23π，a ＝25，b ＝； (ii ) A ＝23π，a ＝25，b ＝2. 教学正弦定理与余弦定理的活用：① 出示例2：在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C =6∶5∶4，求最大角的余弦.分析：已知条件可以如何转化？→ 引入参数k ，设三边后利用余弦定理求角.② 出示例3：在ΔABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，判断三角形的类型.分析：由三角形的什么知识可以判别？ → 求最大角余弦，由符号进行判断结论：活用余弦定理，得到：=+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔222222222是直角是直角三角形是钝角是钝角三角形是锐角a b c A ABC a b c A ABC a b c A ∆是锐角三角形ABC③ 出示例4：已知△ABC 中，cos cos b C c B =，试判断△ABC 的形状.分析：如何将边角关系中的边化为角？ → 再思考：又如何将角化为边？3. 小结：三角形解的情况的讨论；判断三角形类型；边角关系如何互化.三、巩固练习：1. 已知a 、b 为△ABC 的边，A 、B 分别是a 、b 的对角，且sin 2sin 3A B =，求a bb+的值2. 在△ABC 中，sin A :sin B :sin C ＝4:5:6，则cos A :cos B :cos C ＝ .3. 作业：教材P11 B 组1、2题.教学设计（首页）学科：历史 教师：教学难点交通工具发展的对社会生活的影响教学用具文字、图片资料、多媒体课件教学方法讲述法、讨论法归纳法、小组讨论课时安排1板书设计教学反思2016 年 4 月30 日教学设计（续页）2016 年 4 月30日教学设计（续页）2016 年 4 月30日教学设计（续页）2016 年 4 月30日中国的铁路营运总里程已跃居亚洲第一位，世界第四位机车制造取得很大进展，1997年以来全国铁路实现了六次大提速教学设计（续页）2016 年 4 月30日教学设计（续页）2016 年 4 月30日教学设计（首页）学科：历史教师：教学用具文字、图片资料、多媒体课件教学方法讲述法、讨论法归纳法、小组讨论课时安排1板书设计教学反思2016 年 4 月30 日教学设计（续页）2016 年 4 月30日教学设计（续页）2016 年 4 月30日教学设计（续页）2016 年 4 月30日中国的铁路营运总里程已跃居亚洲第一位，世界第四位机车制造取得很大进展，1997年以来全国铁路实现了六次大提速教学设计（续页）2016 年 4 月30日教学设计（续页）2016 年 4 月30日。
正弦定理余弦定理教学课件
∴ A 为锐角
A 30
5.9 正弦定理、余弦定理
例题讲解
例3 在 ABC 中，B 45,C 60,a 2( 3 1) ，求
ABC的面积S．
解： A 180 (B C ) 75
A
∴由正弦定理得 b a sin B 2(
3
1)(
2 h2
)
4
三角形面积公式
sin A B 6 2
5.9 正弦定理、余弦定理
回忆一下直角三角形的边角关系? a2 b2 c2 a tan A A B 90
b
A
c
b
a csin A b csin B 两等式间有联系吗？ Ba C
a b c sin A sin B
sinC 1
abc sin A sin B sinC
即正弦定理，定理对任意三角形均成立． 利用向量如何在三角形的边长与三角函数建立联系？
sin B sinC
b c sin B 10 sin105 19
sinC
sin 30
5.9 正弦定理、余弦定理
例题讲解
例2 在 AB中C ，已知 a 4,b 4 2, B 45， 求 。A
解：由 a b sin A sin B
得 sin A a sin B 1 b2
∵ 在 ABC 中 a b
C
j AC cos90 j CB cos(90 C) j AB cos(90 A)
a sinC csin A
即 ac sin A sinC
同理，过C作单位向量j
垂直于CB
，可得
b sin
B
c sinC
5.9 正弦定理、余弦定理
a b c sin A sin B sinC
正弦定理和余弦定理复习课件ppt课件PPT课件
c＝ 2Rsin C ； ②sin A＝2aR，sin B＝2bR， sin C＝2cR； (其中 R 是△ABC 外接圆半径) ③a∶b∶c＝sinA∶sin B∶sin C
b2＋c2－a2 cosB= 2bc
a2＋c2－b2
cos B＝ 2ac ； a2＋b2－c2
cos C＝ 2ab .
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，
[知识能否忆起]——上节课知识回 忆
一、正、余弦定理
定理
正弦定理
内
a sin
A＝sinb
B＝sinc
C
容 =2R
a2＝ b2＝ c2＝
余弦定理
b2＋c2－2bccos A ；
a2＋c2－2accos B ；
a2＋b2－2abcosC
.
定理
变 形 形 式
正弦定理
余弦定理
①a＝ 2Rsin A ，
b＝ 2Rsin B ，
答案：A
(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋ c)sin B＋(2c＋b)sin C.
①求A的大小； ②假设sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．
(2)① 正弦定理、条件 → cos A＝－12 → A的大小 ； ② ①中a2＝b2＋c2＋bc → sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C ―条―件→ sin B、sin C的值 → 判断△ABC的形状
【典例剖析】 (1)(2013·厦门模拟)在△ABC 中，角 A，B，C 的对
边分别是 a，b，c，若 b2＋c2＝a2＋bc，且A→C·A→B＝4，则△ABC 的面积等于________．
正弦定理和余弦定理ppt课件
正弦定理和余弦定理在物理学中有着 广泛的应用。
详细描述
在物理学中，许多现象可以用三角函数来描 述，如重力、弹力等。通过正弦定理和余弦 定理，我们可以更准确地计算这些力的作用 效果，从而更好地理解和分析物理现象。
06 总结与展望
总结正弦a、b、c与对应的角A、B、C 的正弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
表达式形式
正弦定理的表达式形式简洁，易于理解和记 忆。相比之下，余弦定理的表达式较为复杂
，需要更多的数学基础才能理解和应用。
定理间的互补性
要点一
解决问题时的互补性
在解决三角形问题时，正弦定理和余弦定理常常是互补使 用的。对于一些问题，使用正弦定理可能更方便；而对于 另一些问题，使用余弦定理可能更合适。通过结合使用两 种定理，可以更全面地理解三角形的性质和关系，从而更 好地解决各种问题。
深入研究正弦定理和余弦定理的性质
可以进一步研究正弦定理和余弦定理的性质，如推广到多边形、高维空间等。
开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件
可以开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件，用于解决实际问题。
如何进一步深化理解与应用
深入理解正弦定理和余弦定理的证明过程
01
理解证明过程有助于更好地理解和应用正弦定理和余弦定理。
02 正弦定理
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角的正弦值 之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其相对角的正弦值的比值都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，其中$a, b, c$分别代表三角形 的三边长度，$A, B, C$分别代表与三边相对应的角。
正弦定理和余弦定理讲义
正弦定理和余弦定理讲义课前双击巩固1.正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理公式asinA= ==2R (其中R 是△ABC 的外接圆的半径)a 2= ,b 2= , c 2=定理的变形 a=2RsinA ,b= ,c=,a∶b∶c=cos A= , cos B= , cos C=2.在△ABC 中,已知a,b 和A 时,解的情况如下:A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a=bsin Absin A<a<b a ≥ba>b解的个数3.三角形面积公式(1)S=12ah (h 表示边a 上的高);(2)S=12bcsin A=12acsin B=12absin C ; (3)S=12r (a+b+c )(r 为三角形的内切圆半径). 常用结论1.三角形内角和定理:在△ABC 中,A+B+C=π;变形:A+B 2=π2-C 2.2.三角形中的三角函数关系:(1)sin(A+B)=sin C;(2)cos(A+B)=-cos C; (3)sinA+B 2=cos C 2;(4)cosA+B 2=sin C2.3.三角形中的射影定理在△ABC 中,a=bcos C+ccos B;b=acos C+ccos A;c=bcos A+acos B.题组一 常识题1.[教材改编] 在△ABC 中,B=45°,C=60°,c=2,则最短边的边长等于 .2.[教材改编] 在△ABC 中,已知a=5,b=2√3,C=30°,则c= .3.[教材改编] 在△ABC 中,已知a 2-c 2+b 2=ab ,则C 等于 .4.[教材改编] 在△ABC 中,已知a=3√2,b=2√3,cos C=13,则△ABC 的面积为 . 题组二 常错题◆索引:在△ABC 中角与角的正弦的关系;正弦定理求角时解的个数;余弦定理、面积公式中边与角的三角函数的对应关系.5.在△ABC 中,若sin A=sin B ,则A ,B 的关系为 ;若sin A>sin B ,则A ,B 的关系为 .6.在△ABC 中,若A=60°,a=4√3,b=4√2,则B 等于 .7.在△ABC 中,a=2,b=3,C=60°,则c= ,△ABC 的面积等于 .8.在△ABC 中,角A ,B ,C 满足sin Acos C-sin Bcos C=0,则三角形的形状为 .课堂考点探究探究点一 利用正弦﹑余弦定理解三角形1 △ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2c-a=2bcos A. (1)求角B 的大小;(2)若b=2√3,求a+c的最大值.[总结反思](1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程,通过解方程求得未知元素;(正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系,题时,常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解.式题(1)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(a-b)(sin A+sin B)=(c-b)sin C,若a=√3,则b2+c2的取值范围是( )A.(5,6]B.(3,5)C.(3,6]D.[5,6](2)如图3-22-1,在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=√3BD,BC=2BD,则sin C的值为.图3-22-1探究点二利用正弦﹑余弦定理判定三角形的形状2如图3-22-2所示,图3-22-2在△ABC中,D是BC的中点,已知∠BAD+∠C=90°,则△ABC的形状是.[总结反思]判断三角形形状实质上是在缺少部分条件的情况下解三角形,此时三角形的各个元素虽然不能具体确定,但可以确定其中某些元素的等量或者不等量关系,据此对三角形形状作出判断.式题在△ABC中,若sin A=2cos Bsin C,则△ABC的形状是.探究点三与三角形面积有关的问题3已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足cos2B-cos2C-sin2A=-sin Asin B,sin(A-B)=cos(A+B).(1)求角A,B,C;(2)若a=√2,求三角形ABC的边长b的值及三角形ABC的面积.[总结反思](1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值),一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积,再代入公式求解;(2)若已知三边,可先求一个角的余弦值,再求正弦值,代入,一般表示为一个内角的三角函数,,或结合基本不等式求解.式题△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a(sin A-sin B)=(c-b)(sin C+sin B).(1)求角C;(2)若c=√7,△ABC的面积为3√3,求△ABC的周长.2课时作业一、 填空题1．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b 等于________.2．已知△ABC ，a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c ＝________.3．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b 等于________.4．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bcosC ＋ccosB ＝asinA ，则△ABC 的形状为________.5．在某次测量中，在A 处测得同一平面方向的B 点的仰角是50°，且到A 的距离为2，C 点的俯角为70°，且到A 的距离为3，则B 、C 间的距离为________.6．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝________. 7．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝________.8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________.9．在△ABC 中，AC ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC ＝________.10．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c＝________.11．在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，A ＝2π3，则B ＝________.二、解答题12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14.(1)求a 和sin C 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6的值．13．已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C . (1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积．。
正弦定理和余弦定理：复习教案
铭智教育一对一个性化教案学生姓名教师姓名授课日期授课时段课题正弦定理和余弦定理重难点1.正弦定理和余弦定理2.正弦定理和余弦定理的灵活应用教学步骤及教学内1．正弦定理：asin A＝bsin B＝csin C＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a∶b∶c ＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(2)a＝2R sin_A，b＝2R sin_B，c＝2R sin_C；(3)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C ＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bc cos_A，b2＝a2＋c2－2ac cos_B，c2＝a2＋b2－2ab cos_C．余弦定理可以变形：cos A＝b2＋c2－a22bc，cos B＝a2＋c2－b22ac，cos C＝a2＋b2－c22ab.3．S△ABC＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ac sin B＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.4．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角教育要对民族的未来负责教育要对民族的未来负责容图形关系式 a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b 解的个数一解两解一解一解[难点正本 疑点清源]1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B .2． 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．1． 在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________.答案 2解析 由正弦定理及等比性质知a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ， 而由A ＝60°，a ＝3，得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝2R ＝a sin A ＝3sin 60°＝2.2． (2012·福建)已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．答案 －24解析 设三角形的三边长从小到大依次为a ，b ，c ， 由题意得b ＝2a ，c ＝2a . 在△ABC 中，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 22×a ×2a＝－24.教育要对民族的未来负责3． (2012·重庆)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c＝________. 答案145解析 在△ABC 中，∵cos A ＝35>0，∴sin A ＝45.∵cos B ＝513>0，∴sin B ＝1213.∴sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×513＋35×1213＝5665. 由正弦定理知b sin B ＝csin C ，∴c ＝b sin Csin B ＝3×56651213＝145.4． (2011·课标全国)在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．答案 27解析 由正弦定理知AB sin C ＝3sin 60°＝BCsin A， ∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .又A ＋C ＝120°，∴AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin(120°－C ) ＝2(sin C ＋2sin 120°cos C －2cos 120°sin C ) ＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C )＝2(2sin C ＋3cos C )＝27sin(C ＋α)， 其中tan α＝32，α是第一象限角， 由于0°＜C ＜120°，且α是第一象限角， 因此AB ＋2BC 有最大值27.教育要对民族的未来负责5． 已知圆的半径为4，a 、b 、c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( )A ．2 2B ．8 2 C. 2D.22答案 C解析 ∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ＝8，∴sin C ＝c8，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝116abc ＝116×162＝ 2.题型一 利用正弦定理解三角形例1 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A 、C 和边c .思维启迪：已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的个数的判断．解 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，3sin A ＝2sin 45°，∴sin A ＝32. ∵a >b ，∴A ＝60°或A ＝120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝b sin C sin B ＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°， c ＝b sin Csin B ＝6－22.探究提高 (1)已知两角及一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可． (2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则角A 的大小为________． 答案 π6教育要对民族的未来负责解析 ∵A ＋C ＝2B 且A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3.由正弦定理知：sin A ＝a sin B b ＝12，又a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6.题型二 利用余弦定理求解三角形例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．思维启迪：由cos B cos C ＝－b2a ＋c ，利用余弦定理转化为边的关系求解．解 (1)由余弦定理知：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .将上式代入cos B cos C ＝－b2a ＋c 得：a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b 2a ＋c ， 整理得：a 2＋c 2－b 2＝－ac . ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵0<B <π，∴B ＝23π.(2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ， ∴13＝16－2ac ⎝⎛⎭⎫1－12，∴ac ＝3. ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.教育要对民族的未来负责探究提高 (1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键． (2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A2＋cos A ＝0.(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积． 解 (1)由2cos 2A2＋cos A ＝0，得1＋cos A ＋cos A ＝0，即cos A ＝－12，∵0<A <π，∴A ＝2π3.(2)由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，A ＝2π3，则a 2＝(b ＋c )2－bc ，又a ＝23，b ＋c ＝4，有12＝42－bc ，则bc ＝4， 故S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.题型三 正弦定理、余弦定理的综合应用例3 (2012·课标全国)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0. (1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .思维启迪：利用正弦定理将边转化为角，再利用和差公式可求出A ；面积公式和余弦定理相结合，可求出b ，c .解 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12.教育要对民族的未来负责又0<A <π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.探究提高 在已知关系式中，若既含有边又含有角．通常的思路是将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求角．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .(1)若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状． 解 (1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得a 2＋b 2－ab ＝4. 又∵△ABC 的面积为3，∴12ab sin C ＝3，ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)由sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ， 得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin A cos A ，即2sin B cos A ＝2sin A cos A ，∴cos A ·(sin A －sin B )＝0， ∴cos A ＝0或sin A －sin B ＝0， 当cos A ＝0时，∵0<A <π， ∴A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当sin A －sin B ＝0时，得sin B ＝sin A ， 由正弦定理得a ＝b ，教育要对民族的未来负责即△ABC 为等腰三角形．∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．代数化简或三角运算不当致误典例：(12分)在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状．审题视角 (1)先对等式化简，整理成以单角的形式表示．(2)判断三角形的形状可以根据边的关系判断，也可以根据角的关系判断，所以可以从以 下两种不同方式切入：一、根据余弦定理，进行角化边；二、根据正弦定理，进行边化 角．规范解答解 ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，∴b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2sin A cos B ·b 2＝2cos A sin B ·a 2， 即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B ．[4分]方法一 由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ， 又sin A sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B .[8分]在△ABC 中，0<2A <2π，0<2B <2π，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰或直角三角形．[12分] 方法二 由正弦定理、余弦定理得： a 2bb 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 22ac，[6分] ∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，教育要对民族的未来负责∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0.[10分] 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为等腰或直角三角形．[12分]温馨提醒 (1)利用正弦、余弦定理判断三角形形状时，对所给的边角关系式一般都要先化为纯粹的边之间的关系或纯粹的角之间的关系，再判断．(2)本题也可分析式子的结构特征，从式子看具有明显的对称性，可判断图形为等腰或直角三角形． (3)易错分析：①方法一中由sin 2A ＝sin 2B 直接得到A ＝B ，其实学生忽略了2A 与2B 互补的情况，由于计算问题出错而结论错误．方法二中由c 2(a 2－b 2)＝(a 2＋b 2)(a 2－b 2)不少同学直接得到c 2＝a 2＋b 2，其实是学生忽略了a 2－b 2＝0的情况，由于化简不当致误．②结论表述不规范．正确结论是△ABC 为等腰三角形或直角三角形，而不少学生回答为：等腰直角三角形．高考中的解三角形问题典例：(12分)(2012·辽宁)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .角A ，B ，C 成等差数列．(1)求cos B 的值；(2)边a ，b ，c 成等比数列，求sin A sin C 的值．考点分析 本题考查三角形的性质和正弦定理、余弦定理，考查转化能力和运算求解能力． 解题策略 根据三角形内角和定理可直接求得B ；利用正弦定理或余弦定理转化到只含角或只含边的式子，然后求解． 规范解答解 (1)由已知2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°，解得B ＝60°， 所以cos B ＝12.[4分](2)方法一 由已知b 2＝ac ，及cos B ＝12，根据正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C ，[8分] 所以sin A sin C ＝1－cos 2B ＝34.[12分]教育要对民族的未来负责方法二 由已知b 2＝ac ，及cos B ＝12，根据余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ＝12，解得a ＝c ，[8分]所以A ＝C ＝B ＝60°，故sin A sin C ＝34.[12分]解后反思 (1)在解三角形的有关问题中，对所给的边角关系式一般要先化为只含边之间的关系或只含角之间的关系，再进行判断．(2)在求解时要根据式子的结构特征判断使用哪个定理以及变形的方向.方法与技巧1．应熟练掌握和运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．2．正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C － 2sin B ·sin C ·cos A ，可以进行化简或证明． 失误与防范1．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论．2．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2012·广东)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC 等于( )A ．4 3B ．2 3 C. 3 D.32答案 B教育要对民族的未来负责解析 在△ABC 中，AC sin B ＝BCsin A， ∴AC ＝BC ·sin Bsin A ＝32×2232＝2 3.2． (2011·浙江)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B 等于( )A ．－12B.12C ．－1D ．1答案 D解析 ∵a cos A ＝b sin B ，∴sin A cos A ＝sin B sin B ， 即sin A cos A －sin 2B ＝0，∴sin A cos A －(1－cos 2B )＝0， ∴sin A cos A ＋cos 2B ＝1.3． 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形答案 C解析 因为a ＝2b cos C ，所以由余弦定理得a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ，整理得b 2＝c 2，因此三角形一定是等腰三角形．4． (2012·湖南)△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62D.3＋394答案 B解析 设AB ＝a ，则由AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B 知7＝a 2＋4－2a ，即a 2－2a －3＝0，∴a ＝3(负值舍去)．∴BC 边上的高为AB ·sin B ＝3×32＝332. 二、填空题(每小题5分，共15分)教育要对民族的未来负责5． (2011·北京)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，sin A ＝13，则a ＝________.答案523解析 根据正弦定理应有a sin A ＝b sin B， ∴a ＝b sin Asin B ＝5×1322＝523.6． (2011·福建)若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________．答案 2解析 由于S △ABC ＝3，BC ＝2，C ＝60°， ∴3＝12×2·AC ·32，∴AC ＝2，∴△ABC 为正三角形．∴AB ＝2.7． 在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝________.答案 4或5解析 设BC ＝x ，则由余弦定理AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C 得5＝25＋x 2－2·5·x ·910，即x 2－9x＋20＝0，解得x ＝4或x ＝5. 三、解答题(共22分)8． (10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3.(1)求△ABC 的面积； (2)若b ＋c ＝6，求a 的值．解 (1)∵cos A 2＝255，∴cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，∴sin A ＝45.又AB →·AC →＝3，∴bc cos A ＝3，∴bc ＝5.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×5×45＝2.(2)由(1)知，bc ＝5，又b ＋c ＝6，教务处签字：日期：年月日课后评价一、学生对于本次课的评价○特别满意○满意○一般○差二、教师评定1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差2、学生本次上课情况评价：○好○较好○一般○差作业布置.s.5.u.根据余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝(b＋c)2－2bc－2bc cos A＝36－10－10×35＝20，∴a＝2 5.教育要对民族的未来负责教师留言教师签字：家长意见家长签字：日期：年月日教育要对民族的未来负责。
【全文】正弦定理和余弦定理课件PPT
1， 2
答案：120°
4.在△ABC中，已知a2+b2=c2，A=30°，a=1，则S△ABC=
.
【解析】因为a2+b2=c2，所以△ABC是以C为直角的直角三角
形，又因为A=30°，a=1，所以c=2，b=
所以S△ABC=
答案：
1 ab 3 . 22
3
2
c2 a2 3，
一、余弦定理及其证明
探究点2 正弦定理的基本作用
（1）已知三角形的任意两角与一边，求其他的边， 如 a bsin A. sin B
（2）已知三角形的任意两边与其中一边 的对角可以求其他角的正弦值， 如 sin A= a sin B.
b
（3）运用 a:b:c=sinA:sinB:sinC 解决边角之间的转换 关系.
=
3 5
,
所以sinA < sinB,由正弦定理 a = b 可知 sinA sinB
a < b,所以A < B,所以A只能为锐角，所以cosA = 4 . 5
所以sቤተ መጻሕፍቲ ባይዱnC = sin(A + B)= 63 . 65
1.正弦定理 a b c sin A sin B sin C
它是解三角形的工具之一.
探究1：如图，设
那么向量c的平方是
AB c，AC b，BC a，
什么？表示为对应的边可以得到什么式子？
提示：c=b-a，|c|2=(b-a)·(b-a)=b·b+a·a-2a·b =a2+b2-2abcosC，所以c2=a2+b2-2abcosC.
探究2：利用探究1的结论思考下面的问题： (1)已知三角形的三边a，b，c，如何表示cosC.
7. 正弦定理和余弦定理(优秀经典公开课比赛课件).
A为锐角
A为钝角 或直角
图形
关系式 解的 个数
a bsin A bsin A a b
一解
两解
ab 一解
ab 一解
题型一 正弦定理的应用
【例1】 (1)在△ABC中,a= 3,b= 2 ,B=45°. 求角A、C和边c；
（2）在△ABC中，a=8，B=60°，C=75°.求边b 和c； （3）在△ABC中，a，b，c分别是∠A,∠B,∠C 的对边长，已知a，b，c成等比数列，且a2-c2=
所以a 2sin105 6 2 . 2
题型二 余弦定理的应用
【例2】 在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C 的对边，且 cos B b . cos C 2a c
（1）求角B的大小；
（2）若b= 13，a+c=4，求△ABC的面积.
思维启迪
由 cos B b , 利用余弦定理 cos C 2a c
2R
2R
2R
解决不同的三角形问题.
2.余弦定理:a2= b2+c2-2bccos A ,b2= a2+c2-2accos B ,
c2= a2+b2-2abcos C .余弦定理可以变形为:cos A
b2 c2 a2
a2 c2 b2
2bc ,cos B=
2ac ,cos C=
a2 b2 c2
ac-bc，求∠A及 bsin B 的值. c
练习1 在△ABC中，若b= 2 ,c=1,B=45°, 求a及C的值. 解 由正弦定理得
2 1 ,所以sin C 1 .
sin 45 sin C
2
因为c<b,所以C<B,故C一定是锐角，
正弦定理和余弦定理-PPT课件
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类型一
正弦定理和余弦定理的应用
解题准备:
1.正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系,根据题 目的实际情况,我们可以选择其中一种使用,也可以综合起 来运用.
2.在求角时,能用余弦定理的尽量用余弦定理,因为用正弦定 理虽然运算量较小,但容易产生增解或漏解.
23
3.综合运用正､余弦定理解三角形问题时,要注意以下关系式
32
∵0<A<π,0<B<π,∴sin2A=sin2B
∴2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B= .
2
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.
33
解法二:同解法一可得2a2cosAsinB=2b2cosBsinA,
由正、余弦定理得
a2b•
b2
c2
a
2
=b2a•
a2 c2 b2
2bc
2ac
1 2 3 2 1 3.
2
2
(2)当|BC|=4时,S△=
1 2
|AB|·|BC|·sinB
1 2 3 4 1 2 3.
2
2
∴△ABC的面积为 2 3 或 3.
27
[反思感悟]本题主要考查正弦定理､三角形面积公式及分类 讨论的数学思想,同时也考查了三角函数的运算能力及推 理能力.
28
40
设云高CM x m,则CE x h,
DE x h, AE x h .
tan
又AE x h , x h x h
tan tan tan
解得x tan tan gh hgsin( ) m.
tan tan
sin( )
41
[反思感悟]在测量高度时,要理解仰角､俯角的概念.仰角和俯 角都是在同一铅垂面内,视线与水平线的夹角,当视线在水 平线之上时,称为仰角;当视线在水平线之下时,称为俯角.
正弦定理和余弦定理讲义
1.1 正弦定理和余弦定理一、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角．．．．．．．的正弦的比相等，即：A a sin ＝B b sin ＝Ccsin 注意：（1）正弦定理中，各边与其对角的正弦严格对应；（2）正弦定理中的比值是一个定值，具有一定几何意义，即为三角形外接圆的直径：A a sin ＝B b sin ＝Ccsin ＝2R [ R 指的是三角形外接圆半径 ]；（3）正弦定理主要实现三角形中的边角互化．．．．．．．．．．．．．．．．．；（4）S ＝C ab sin 21＝A bc sin 21＝B ac sin 21；（5）常用的公式： ①A ＋B ＋C ＝π，sin(A ．．．．．＋．B)．．＝．sinC ．．．．，． cos(A ．．．．．＋．B)．．＝－．．cosC ．．．．，．tan(A ．．．．．＋．B)．．＝－．．tanC ．．．．，．sin 2B A +＝cos 2C ，cos 2B A +＝sin 2C；②a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ；③A ＞B ⇔a ＞b 【大角对大边】；④a ＋b ＞c ，a －b ＜c ；⑤a ：b ：c ＝sinA ：sinB ：sinC ；⑥a sinB ＝bsinA ，bsinC ＝csinB ，a sinC ＝csinA 。
例1：下列有关正弦定理的叙述：（1）正弦定理只适用于锐角三角形；（2）正弦定理不适用于直角三角形；（3）在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值；（4）在△ABC 中，sinA ：sinB ：sinC ＝ a ：b ：c 。
其中正确的个数有（ ） A ：1个 B ：2个 C ：3个 D ：4个 【解析】：B变式练习1：在△ABC 中，角A ：角B ：角C ＝2 ：1 ：1，则a ：b ：c 等于（ ）A ：4 ：1 ：1B ：2 ：1 ：1C ：2 ：1 ：1D ：3 ：1 ：1 【解析】：C变式练习2：在△ABC 中，角A ：角B ：角C ＝4 ：1 ：1，则a ：b ：c 等于（ ）A ：4 ：1 ：1B ：2 ：1 ：1C ：2 ：1 ：1D ：3 ：1 ：1 【解析】：D例2：在△ABC 中，a ＝2，b ＝1，∠A ＝450，∠B ＝___________。
第4章第6节正弦定理余弦定理课件共47张PPT
＝
6＋ 4
2 .
第六节 正弦定理、余弦定理
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点评：在△ABC中，若A＝m，则B＋C＝π－m.从而B＝π－m－C 或C＝π－m－B，由此可消去B或C.
第六节 正弦定理、余弦定理
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[跟进训练]
＝4或b＝5.]
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第六节 正弦定理、余弦定理
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02
细研考点·突破题型
考点一 考点二 考点三
利用正、余弦定理解三角形 利用正、余弦定理解决三角形面积问题 判断三角形的形状
第六节 正弦定理、余弦定理
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2．三角形常用面积公式
(1)S＝12a·ha(ha 表示边 a 上的高)；
(2)S＝12absin
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C＝___2_a_c_s_in__B___＝____2_b_c_s_in__A__；
(3)S＝12r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径)．
第六节 正弦定理、余弦定理
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因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2 3.
第六节 正弦定理、余弦定理
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方案三：选条件③.
由C＝π6和余弦定理得a2＋2ba2b－c2＝
3 2.
正弦余弦定理 ---讲义
正弦余弦定理 讲义一、基本知识点 正弦定理：R C cB bA a2sin sin sin ===正弦定理的基本作用：1．两角和任意一边，求其它两边和一角；（一解）2．两边和其中一边对角，求其它的两角和一边（一解或者两解）（详见图示）已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况:⑴若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA)( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a b a b a b a baa 已知边a,b 和∠A仅有一个解有两个解仅有一个解无解a ≥b CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA A C B A C B1A BAC B2C H H H⑵若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解b a余弦定理：,cos 2222A bc c b a -+=⇔bc a c b A 2cos 222-+=余弦定理的基本作用：1．已知三边，求三角；（一解）2．已知两边和夹角，求一边和两角（一解）公式一：a b c 111S ah bh ch 222===公式二：111S absinC acsinB bcsin A 222===公式三：S p(p a)(p b)(p c)=--- 其中1p (a b c)2=++称为三角形的半周长。
推导：将公式二中的角的关系变为边的关系，根据22sin C cos C 1+=，2sin C 1cos C =-，及余弦定理ab c b a C 2cos 222-+=的变形2222abcosC a b c =+-，则 2111S absinC ab 1cos C ab (1cosC)(1cosC)222==-=-+ 22114a b (1cosC)(1cosC)(2ab 2abcosC)(2ab 2abcosC)44=-+=-+ 222222222211(2ab a b c )(2ab a b c )[c (a b)][(a b)c ]44=--+++-=--+- 11111(c a b)(c a b)(a b c)(a b c)(c a b)(c a b)(a b c)(a b c)42222=+--++++-=+--++++-设1p (a b c)2=++，则S p(p a)(p b)(p c)=---。
《正弦定理余弦定理》课件
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REPORTING
基础习题2
基础习题3
已知三角形ABC中，角A、B、C所对 的边分别为a、b、c，若$a = 8, b = 10, C = 45^{circ}$，求边c。
在三角形ABC中，已知A=60°，a=3, b=4, 求角B的大小。
进阶习题
进阶习题1
在三角形ABC中，已知A=45°， a=5, b=5sqrt{2}, 求边c。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其对应角的正弦值的比等于其他两边的平方和与该边的平方的差的平 方根。余弦定理则是指在一个三角形中，任意一边的平方等于其他两边的平方和减去两倍的另一边与其对应角的 余弦值的乘积。
定理的推导过程
总结词
正弦定理和余弦定理的推导过程涉及到三角函数的定义、性质以及一些基本的 代数运算。
进阶习题2
已知三角形ABC中，角A、B、C所 对的边分别为a、b、c，若$a = 10, b = 8, C = 120^{circ}$，求 边c。
进阶习题3
已知三角形ABC中，角A、B、C所 对的边分别为a、b、c，若$a = 6, b = 8, C = 60^{circ}$，求边c。
综合习题
综合习题1
面积求解
总结词
余弦定理还可以用于计算三角形的面积，通过已知的两边及其夹角，使用面积公式进行计算。
详细描述
已知边a、边b和夹角C，可以使用余弦定理结合面积公式计算三角形ABC的面积，公式为：S = 1/2 ab sin(C)。
PART 04
正弦定理与余弦定理的对 比与联系
REPORTING
定理的异同点
详细描述
首先，利用三角函数的定义和性质，我们可以得到一些基本的等式。然后，通 过一系列的代数运算，将这些等式转化为正弦定理和余弦定理的形式。
正弦定理与余弦定理-讲义(学生版)
正弦定理与余弦定理一、课堂目标1．理解正弦定理与余弦定理并熟记公式，能够利用其公式解决三角形边角问题． 2．熟练掌握利用正余弦定理判断三角形解的个数问题． 3．能够利用边角关系判断三角形的形状．4．熟记三角形面积公式，并能解决相关的面积问题．二、知识讲解1. 三角形中的常用关系式知识精讲 （1）角的关系 ①π=++C B A②C B C B C B A sin cos cos sin )sin(sin +=+= ③)sin sin cos (cos )cos(cos C B C B C B A --=+-= ④CB CB C B A tan tan 1tan tan )tan(tan -+-=+-=（2）边的关系 ①两边之和大于第三边 ②两边之差小于第三边 （3）边角的关系 大边对大角，大角对大边2. 正弦定理知识精讲 （1）正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin ===(R 为三角形外接圆半径） （2）正弦定理变形式： ①C B A c b a sin :sin :sin ::=②C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== ③RcC R b B R a A 2sin ;2sin ;2sin ===④R CB A cb a 2sin sin sin =++++（3）正弦定理的应用：①已知两角和任意一边，求另一角和其它的两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求其他的角和边. 经典例题1. 在ABC △中，内角C B A ，，所对的边长分别为b A Bc C B a c b a 21cos sin cos sin ,,,=+且,b a >则=∠B （ ）．A.6πB.3πC. 32πD.65π 巩固练习2. 在ABC △中，角C B A ，，所对的边长分别为c b a ，，，b A b B A a 2cos sin sin 2=+则ab等于（ ）． A.32B.22C.3D.2经典例题3. 在ABC △中，已知134==∠=∠AB B A ，，ππ则BC 为（ ）A.13-B.13+C.36D.2巩固练习4. 在ABC △中，已知︒=︒==75608C B a ，，则b 等于（ ）．A.64B.5C. 34D.322 5. 在ABC △中，已知41sin ,31)sin(,2==+=A B A a 则=c （ ）． A.4B.3C. 38D.34经典例题6. 在ABC △中，角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，，若B A 3=，则ba的取值范围是（ ）．A.）（3,0B.）（3,1C. ）（1,0D.）（2,1巩固练习7. 锐角ABC △中，c b a ，，分别是内角C B A ，，的对边，设A B 2=，则ba的取值范围是（ ）．A.）（22,33B.）（2,2C. ）（3,2D.）（2,0 8. 在ABC △中，c b a ，，分别为内角C B A ，，所对的边，若3,3π==A a ，则c b +的最大值为（ ）．A.4B.33C. 32D.23. 余弦定理知识精讲 （1）余弦定理：①A bc c b a cos 2222-+= ②B ac a c b cos 2222-+= ③C ab b a c cos 2222-+= （2）余弦定理变形式：①bc a c b A 2cos 222-+=②ac b c a B 2cos 222-+=③abc b a C 2cos 222-+=（3）余弦定理的应用： ①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三条边和其它的两个角； ③已知两边和其中一边的对角，求其它的角和边． 经典例题9. 已知ABC △的内角C B A ，，所对的边分别是c b a ，，，且满足ab c b a c b a =++-+))((，则=∠C巩固练习10. 在ABC △中，若)())((c b b c a c a +=-+，则=∠A （ ）．A.︒90B.︒60C. ︒120D.︒150经典例题11. 在ABC △中，3,4,32cos ===BC AC C 则=B tan （ ）． A.5B.52C. 54D.58巩固练习12. 在ABC △中，角C B A ，，的对边分别为c b a ，，,且B C A 2=+，若31==b a ，则c 的值为 ． 经典例题13. 在ABC △中，角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，，且6:5:4::=c b a ，则下列结论正确的是（ ） A.6:5:4sin :sin :sin =C B A B.ABC △是钝角三角形C.ABC △的最大内角是最小内角的2倍D.若6=c ，则ABC △外接圆半径为778 巩固练习14. 在ABC △中，若4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则C cos 的值为 ． 15已知ABC △的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，．若3,1,2===b a A B ，则=c （ ）．A.32B.2C.2D.14. 三角形解的个数的判断知识精讲在ABC △中，已知b a ,和A ，以点C 为圆心，边长a 为半径画弧，此弧与除去顶点A 的射线AB 的公共点的个数即为三角形的个数．知识点睛经典例题16. 在ABC △中，根据下列条件，分别判断三角形的解的个数． （1）︒=︒==70,45,10C A b （2）︒===60,48,60B c a （3）︒===80,5,7A b a （4）︒===45,16,14A b a 巩固练习17. 在ABC △中，︒===45,100,80A b a 则此三角形解的情况是（ ）．A. 一解B. 两解C. 一解或两解D. 无解18. 在ABC △中，22,334,45==︒=c b B 则=A （ ）． A.︒15B.︒75C. ︒︒10575或D.︒︒7515或5. 三角形形状的判断知识精讲要判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考.依据已知条件中的边角关系判断时，主要有以下两种途径：①化角为边：利用正、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；②化边为角：利用正、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用“ABC △中，π=++C B A ”这个结论经典例题 19. 若cCb B a A sin sin sin ==，则ABC △的形状是（ ）． A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形巩固练习20. 在ABC △中，角C B A ，，的对边分别是c b a ，，．若B b A a cos cos =，则ABC △的形状是（ ）．A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形 经典例题21.设ABC △的内角C B A ，，所对的边长分别为c b a ，，，若222)cos cos (2c b a B ac A bc ++=+，则ABC △一定是（ ）．A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 钝角三角形 巩固练习22. 在ABC △中，若A b B a cos cos =，判断此三角形的形状． 经典例题23. 在ABC △中，已知)sin()()sin()(2222B A b a B A b a +-=-+，则ABC △的形状（ ）．A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形巩固练习24. 若ABC △的三个内角满足13:11:5sin :sin :sin =C B A ，则ABC △（ ）．A. 一定是锐角三角形B. 一定是直角三角形C. 一定是钝角三角形D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形6. 三角形面积的计算知识精讲设ABC △的三边为c b a ，，，三边所对的三个角分别为C B A ，，，其面积为S .①);,,,,(212121上的高分别表示△c b a h h h ch bh ah S c b a c b a ===②B ac A bc C ab S sin 21sin 21sin 21===△③)(sin sin sin 22的外接圆半径为△ABC R C B A R S = ④)(4sin 21外接圆半径为△△ABC R Rabc C ab S ==⑤))(21())()((c b a p c p b p a p p S ++=---=⑥已知三角形的三边及内切圆半径，)(21c b a r S ++=△（r 为三角形内切圆半径）．知识点睛三角形面积问题有三类：类型1：求三角形面积，一般要先利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差的三角函数公式等，沟通角与边；类型2：已知三角形面积解三角形，常选用已知邻边求出其夹角，或利用已知角求出角的两边间的关系；类型3：已知与三角形面积有关的关系式，常选用关系式中的角作面积公式中的角，化为三角形的边角关系，再解三角形 经典例题25. 已知ABC △内角C B A ，，的对边分别是c b a ，，,若A C bB sin 2sin ,3,41cos ===，则ABC △的面积为 ．巩固练习26.ABC △的内角C B A ，，的对边分别为c b a ，，．若3,2,6π===B c a b ，则ABC△的面积为 ． 经典例题27. 在ABC △中，角C B A ，，的对边分别是c b a ，，，且ABC b A △,3,32==π的面积为4315． （1）求边a 的边长； （2）求B 2cos 的值．巩固练习28. 已知ABC △中，角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，，且满足23)sin cos 3(sin =+A A A ． （1）求角A ；（2）若c b S a ABC ，求，△,3222==的值． 经典例题29. 在ABC △中，内角C B A ，，的对边长分别为c b a ，，，且C a A c b cos cos )2(=-． （1）求角A 的大小（2）若，，c b a 23==求ABC △的面积． 巩固练习30. 已知在ABC △中，内角C B A ，，的对边长分别为c b a ，，，且0cos sin =-A b B a ． （1）求角A 的大小（2）若，，252==b a 求ABC △的面积．。
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8、如图，在△ABC中，已知 ， ，B=45求A、C及c.
（ I）求△ABC的面积；
（ II）若a=7，求角C。
例4.在 ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 ．
（I）求 的值；
（II）若cosB= ，
解：（I）由正弦定理，设
则
所以
即 ，
化简可得
又 ，
所以
因此
（II）由 得
由余弦定得及 得
所以
又
从而
因此b=2。
变4.在 ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 ．
2)当A=1200时,C=1800-A-B=150,
（1）定理的表示形式： ；
或 ， ，
（2）正弦定理的应用范围：
①已知两角和任一边，求其它两边及一角；
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即
思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：
3、 已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b= , A+C=2B,则sinC=.
4、如图，在△ABC中，若b = 1，c = ， ，则a=。
5、在 中，角 所对的边分别为a，b，c，若 ， ， ，则角 的大小为．
6、在中， 分别为角 的对边，且
（1）求 的度数
（2）若 ， ，求 和 的值
,
或 或
故 是直角三角形或等腰三角形
解法二(化角)由 可得
即 或 即 或A+B=900
故 是直角三角形或等腰三角形
3）解：(化角)解法一: 由正弦定理得 ,
代入已知等式得 ,
即
故 是等边三角形
(化边)解法二:由已知等式得
即
故 是等边三角形
变2.在 中， 分别为内角 的对边，且 .
（Ⅰ）求 的大小；
（Ⅱ）若 ，试判断 的形状.
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 ；
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
例题 .在 中,已知 , , B=450.求A、C和c.
解: 且 A有两解.
由正弦定理,得
1)当A=600时,C=1800-A-B=750,
评述：解法二应注意确定A的取值范围。
变1.在△ABC中，已知a= ,b= ,B=45°,求A、C和c.
题型二：正、余弦定理的边角转化
例2．根据所给条件,判断 的形状.
1）在 ABC中，已知 ， ， 。2） 3）
分析：由余弦定理可知
（注意： ）
1）解： ，即 ，∴ 。
2）解:解法一(化边)
由余弦定理得
A． B． C． D．
5、在 中，B= ，C= ，c=1，则最短边长为（ ）
A． B． C． D．
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使 ， ， ；
（2） 等价于 ， ，
从而知正弦定理的基本作用为：
教学目标
1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索
2、掌握正弦定理的内容及其证明方法；
3、会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
重点、难点
1、正弦定理的探索和证明及其基本应用。
2、已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
考点及考试要求
1、正弦定理
2、余弦定理
3、正弦定理、余弦定理的应用
教 学 内 容
第一课时 正弦定理与余弦定理知识点梳理
1、 中， 则 等于（ ）
A B C D
2、在△ABC中，已知 ，B= ，C= ，则 等于
A. B. C. D.
3、已知 中，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ分别是角 的对边， ，则 =
A. B. C. 或 D.
4、在△ABC中， 分别是三内角 的对边, , ,则此三角形的最小边长为（ ）
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
第二课时正弦定理与余弦定理典型例题
题型一：解三角形
例1．在 ABC中，已知 ， ， ，求b及A
⑴解：∵ = cos
= = ∴
求 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
⑵解法一：∵cos ∴
解法二：∵sin
又∵ ＞ ＜
∴ ＜ ，即 ＜ ＜ ∴
， ，
从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
（由学生总结）若 ABC中，C= ，则 ，这时
（I）求 的值；
（II）若cosB= ，b=2， 的面积S。
第三课时正弦定理与余弦定理课堂检测
1．在 是 的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2、已知关于 的方程 的两根之和等于两根之积的一半，则 一定是 （ ）
（A）直角三角形（B）钝角三角形（C）等腰三角形（D）等边三角形.
题型三：正、余弦定理的应用
例3.在 中，内角 对边的边长分别是 ，已知 ， ．（I）若 的面积等于 ，求 ；（II）若 ，求 的面积.
解：（Ⅰ）由题意，得 即
因为 所以
由 得
（Ⅱ）由 得， .
由余弦定理得， ，
∴ .
∴
变3.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，cosB= ，且 =—21．