高中数学选修2-2课时作业17：1.5.3 定积分的概念

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高中数学1.5定积分的概念1.5.3定积分的概念课件新人教A版选修2_2

n
轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是( A. lim ∑ B. lim ∑
��
1 (��∈[0,2])及 x 1+��2
�� (x)dx =
(x2 + 1)
(2)定积分就是和的极限 lim ∑ ��(��t)·Δx,而
n →∞i=1
�� a
��(x)dx 只是这种极限的一种记号.
题型一
题型二
利用定义计算定积分
【例 1】利用定积分的定义,计算 1 (3x + 2)dx 的值. 分析:将区间[1,2]等分为 n 个小区间,利用函数在每个小区间上的左端点值求出 Sn,其极限即为所求. 解:令 f(x)=3x+2. (1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入(n-1)个分点,把区间[1,2]等分成 n 个小区间
答案:
2 x2 dx -4 2
3.定积分的基本性质 �� (1) a ��(x)dx = �� a ��(x)dx(��为常数); (2)
�� a �� a
[��1(x) ± ��2(x)]dx =
c
n →∞t=1 n n ��-a t=1 n
lim ∑
n ��-a
�� a
��(x)dx, 即
�� a
��(x)dx =
��(��t), 这里, a 与��分别叫做积分下限与积分上限, 区间
[a, b]叫做积分区间, 函数��(x)叫做被积函数, x 叫做积分变量 , ��(x)dx 叫做被积式.

高中数学(新课标)选修2课件1.5.3定积分的概念

bf(x)dx 的几何意义．
a
状元随笔定积分的物理意义：从物理上看，如果在时间区
间[t1，t2]上
v＝v(t)连续且恒有
v(t)≥0，那么定积分t2v(t)dt t1
表示做
变速直线运动的物体在时间区间[t1，t2]内经过的路程．这就是定积
分tt12v(t)dt 的物理意义．
知识点三定积分的性质由定积分的定义，可以得到定积分的如下性质： (1)bkf(x)dx＝___k__bf_(_x_)d_x___(k 为常数)； ((23))aabb[f(fx1()xd)x±＝f2(_x_)_]adc_fx_(x＝_a)_d__xab__f_1_(_＋x_)_d__x__±__cb_fab__(f_x2_(_)_xd__)x_d__x___；_(其中 a<c<b)．
1.5.3 定积分的概念
知识点一定积分的概念
如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0<x1<…<xi－
1<xi<…<xn＝b xi]上任取一点
将ξi(i区＝间1,[2a，，…b]，等n分)，成作n和个式小i＝Σn1区f(ξ间i)Δ，x在＝每__i＝Σ个_n1_小_b_－区n__a间_f(_ξ[_ix)_i－_1_，.
B.1(2x－1)dx 0
C.1(2x＋1)dx 0
D.1(1－2x)dx 0
解析：根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为12xdx－1
0
0
1dx＝1(2x－1)dx.
0
答案：B
3．定积分3(－3)dx＝( )
1
A.－6
B．6
C．－3 D．3
解析：33dx 表示图中阴影部分的面积 1

高中数学(人教A版选修2-2)练习：1.5.3 定积分的概念

课时提升作业(十)定积分的概念一、选择题(每小题3分，共12分)1.(2014·广州高二检测)关于定积分m=dx，下列说法正确的是( )A.被积函数为y=-xB.被积函数为y=-C.被积函数为y=-x+C，D.被积函数为y=-x3【解析】选B.由定积分的定义知，被积函数为y=-.2.定积分f(x)dx(f(x)>0)的积分区间是( )A.[-2，2]B.[0，2]C.[-2，0]D.不确定【解析】选A.由定积分的概念得定积分f(x)dx的积分区间是[-2，2].3.设f(x)=则f(x)dx的值是( )A.x2dxB.2x dxC.x2dx+2x dxD.2x dx+x2dx【解析】选D.因为f(x)在不同区间上的解析式不同，所以积分区间应该与对应的解析式一致.利用定积分的性质可得正确答案为D.4.(2014·南昌高二检测)下列等式不成立的是( )A.[mf(x)+ng(x)]dx=m f(x)dx+n g(x)dxB.[f(x)+1]dx=f(x)dx+b-aC.f(x)g(x)dx=f(x)dx·g(x)dxD.sinxdx=sinxdx+sinxdx【解析】选C.由定积分的性质知选项A，B，D正确.【误区警示】应用定积分的性质计算定积分时，要特别注意积分区间及被积函数的符号.二、填空题(每小题4分，共8分)5.(2014·长春高二检测)定积分(-3)dx=__________.【解析】3dx表示图中阴影部分的面积S=3×2=6，(-3)dx=-3dx=-6.答案：-66.计算：(1-cosx)dx=________.【解题指南】根据定积分的几何意义，运用余弦曲线的对称性计算，或通过补形转化为矩形的面积计算.【解析】根据定积分的几何意义，得1dx=2π，cosxdx=cosxdx+cosxdx+cosxdx+cosxdx=cosxdx-cosxdx-cosxdx+cosxdx=0，所以(1-cosx)dx=1dx-cosxdx=2π-0=2π.答案：2π【一题多解】在公共积分区间[0，2π]上，(1-cosx)dx表示直线y=1与余弦曲线y=cosx在[0，2π]上围成封闭图形的面积，如图，由于余弦曲线y=cosx在[0，π]上关于点中心对称，在上关于点中心对称，所以区域①与②的面积相等，所求平面图形的面积等于边长分别为1，2π的矩形的面积，其值为2π.所以(1-cosx)dx=2π.答案：2π三、解答题(每小题10分，共20分)7.(2014·济南高二检测)已知x3dx=，x3dx=，x2dx=，x2dx=，求：(1)3x3dx.(2)6x2dx.(3)(3x2-2x3)dx.【解析】(1)3x3dx=3x3dx=3=3=12.(2)6x2dx=6x2dx=6(x2dx+x2dx)=6=126.(3)(3x2-2x3)dx=3x2dx-2x3dx=3×-2×=-.8.求定积分(-x)dx的值.【解析】(-x)dx表示圆(x-1)2+y2=1(y≥0)的一部分与直线y=x所围成的图形(图中阴影部分)的面积，故原式=×π×12-×1×1=-.【拓展延伸】1.利用定积分的几何意义求定积分的方法步骤(1)确定被积函数和积分区间.(2)准确画出图形.(3)求出各部分的面积.(4)写出定积分，注意当f(x)≥0时，S=f(x)dx，而当f(x)≤0时，S=-f(x)dx.2.利用定积分的几何意义求定积分的注意点准确理解其几何意义，同时要合理利用函数的奇偶性、对称性来解决问题.另外，要注意结合图形的直观辅助作用.一、选择题(每小题4分，共12分)1.(2014·黄冈高二检测)设曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭区域的面积为S，则下列等式成立的是( )A.S=(x2-x)dxB.S=(x-x2)dxC.S=(y2-y)dyD.S=(y-)dy【解析】选B.将曲线方程y=x2与直线方程y=x联立方程组，解得x=0或x=1，结合图形可得B正确.2.如图所示，图中曲线方程为y=x2-1，用定积分表示围成封闭图形(阴影部分)的面积是( )A.B.(x2-1)dxC.|x2-1|dxD.(x2-1)dx+(x2-1)dx【解题指南】由定积分的几何意义及性质即可得出.【解析】选 C.由定积分的几何意义和性质可得：图中围成封闭图形(阴影部分)的面积S=(1-x2)dx+(x2-1)dx=|x2-1|dx，故选C.【举一反三】将本题中的函数改为f(x)=x-1，则(x-1)dx=__________.【解析】直线y=x-1，与x=0，x=1.y=0围成的图形为三角形，面积为S=×1×1=.由定积分的几何意义得(x-1)dx=-.答案：-3.(2013·天津高二检测)曲线y=与直线y=x，x=2所围成的图形面积用定积分可表示为( )A.dxB.dxC.dxD.dx【解析】选A.如图所示，阴影部分的面积可表示为xdx-dx=dx.二、填空题(每小题4分，共8分)4.(2014·深圳高二检测)定积分2014dx=__________.【解析】根据定积分的几何意义2014dx表示直线x=2014，x=2015，y=0，y=2014围成的图形的面积，故2014dx=2014×(2015-2014)=2014.答案：20145.定积分(2+)dx=________.【解题指南】利用定积分的几何意义先分别求出2dx，dx.再由性质求和.【解析】原式=2dx+dx.因为2dx=2，dx=，所以(2+)dx=2+.答案：2+三、解答题(每小题10分，共20分)6.(2014·青岛高二检测)根据定积分的几何意义求下列定积分的值：(1)xdx.(2)cosxdx.(3)|x|dx.【解析】(1)如图(1)，xdx=-A1+A1=0.(2)如图(2)，cosxdx=A1-A2+A3=0.(3)如图(3)，因为A1=A2，所以|x|dx=2A1=2×=1.(A1，A2，A3分别表示图中相应各处面积)【拓展延伸】利用几何意义求定积分的注意点(1)关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间.(2)正确利用相关的几何知识求面积.(3)不规则的图形常用分割法求面积，注意分割点的准确确定.7.一辆汽车的速度——时间曲线如图所示，求汽车在这一分钟内行驶的路程.【解析】依题意，汽车的速度v与时间t的函数关系式为v(t)=所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为s=v(t)dt=tdt+(50-t)dt+10dt=300+400+200=900(米).关闭Word文档返回原板块。

高中数学人教A版选修2-2课件：1-5-3 定积分的概念

�� (x)dx =
(x2 + 1)
(2)定积分就是和的极限 lim ∑ ��(��t)·Δx,而
n →∞i=1
�� a
��(x)dx 只是这种极限的一种记号.
栏目导引
第一章三角函数典例透析
题型一题型二
利用定义计算定积分
【例 1】利用定积分的定义,计算
�� (u)du = ��(t)dt = ⋯(称为积分形式的不变性), a a �� 另外定积分 a ��(x)dx 的大小与积分区间[a,b]息息相关,不同的积 1 分区间,所得的值可能也不同,例如 0 dx 与 3 (x2 + 1)dx 的值就不同. 0 n �� a
3 2
2 1
��d�� = .
1-�� 2 d��表示的是图③中阴影部分所示的半径为 1 的半 1-�� 2 d�� =
π . 2
1 π 圆的面积,其值为 , 所以 -1 2
栏目导引
第一章三角函数典例透析
题型一题型二
①
②
③
栏目导引
第一章三角函数典例透析
1.5.3 定积分的概念
-1-
目标导航
第一章
三角函数
1.了解定积分的概念. 2.理解定积分的几何意义. 3.掌握定积分的基本性质.
栏目导引
重难聚焦
第一章
三角函数
如何正确认识定积分的概念? 剖析:(1)定积分是一个数值(极限值),它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限,而与积分变量用什么字母表示无关,即

高中数学 1.5.3定积分的概念新人教版选修2-2

第一节定积分的概念
• 一、问题的提出 • 二、定积分的定义 • 三、几何意义 • 四、小结思考题
.
砖是直边的长方体
烟囱的截面是弯曲的圆
“直的砖”砌成了“弯的圆”
局部以直代曲
.
一、问题的提出
实例1 （求曲边梯形的面积）
y
曲边梯形由连续曲线
yf(x)
yf(x)(f(x)0)、
f (i )xi i3xi
i1
i1
n
xi3xi , i 1
.
n
b
a f (x)dx
的几何意义就是曲线 y = f (x)
直线 x = a， x = b， y = 0 所
围成的曲边梯形的面积
.
y=f (x) y
AS
oa
x b
当函数 f (x) 0 ， x[a, b] 时
定积分
b
f (x)dx
a
就是位于 x 轴下方的曲边梯形面积的相反数. 即
b
a f(x)dxS
.
二、定积分的定义
定义设函数 f(x )在 [a ,b ]上有界，在 [a ,b ]中任意插入
若干个分点a x x x x x b
012
n 1 n
把区间 [ a , b ] 分成 n 个小区间，各小区间的长度依次为
x i x i x i 1 ， ( i 1 , 2 , ) ，在各小区间上任取
个小区[x间 i1,xi]，
长度 xix 为 ixi 1;
在每个小区[x间i1, xo i a x 1 上任取一点i，
b xi1 i x i xn1

人教版高中数学选修2-2教师用书 1.5.3 定积分的概念 Word版含解析

．定积分的概念预习课本～，思考并完成下列问题()定积分的概念是什么？几何意义又是什么？()定积分的计算有哪些性质？．定积分的概念与几何意义()定积分的概念：一般地，设函数()在区间[，]上连续，用分点＝<<…<－<<…<＝将区间[，]等分成个小区间，在每个小区间[－，]上任取一点ξ(＝，…，)，作和式(ξ)Δ＝(ξ)，常数时，上述和式无限接近某个当，这个→∞[常数上的定积分，，]叫做函数()在区间记作()，即()＝(ξ)，[，区间积分上限，这里，与分别叫做积分下限与]积函数被叫做积分区间，函数()叫做，叫做积分变量，()叫做被积式．，[()定积分的几何意义：如果在区间]，那么定积分上函数连续且恒有≥()()表示由直线＝，＝(<)，和曲线＝()所围成的曲边梯形的面积(如图中的阴影部分的面积)＝．[点睛]利用定积分的几何意义求定积分的关注点()当()≥时，()等于由直线＝，＝，＝与曲线＝()围成曲边梯形的面积，这是定积分的几何意义．()计算()时，先明确积分区间[，]，从而确定曲边梯形的三条直边＝，＝，＝，再明确被积函数()，从而确定曲边梯形的曲边，这样就可以通过求曲边梯形的面积而得到定积分的值：当()≥时，()＝；当()<时，()＝－.．定积分的性质()()＝(为常数)．().()()±＝[()±()]()．()(其中<<)()＋()＝()．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()＝.( )()()的值一定是一个正数．( )()(＋)＝＋.( )答案：()√ ()× ()√的值为( )．．．－答案：．已知()＝，则( )()＝()＝()＋()＝．以上答案都不对答案：．已知＝，则＝.答案：－错误!利用定义求定积分[典例] 利用定义求定积分.[解] 令()＝，()分割：在区间[]上等间隔地插入－个点，把区间[]分成等份，其分点为＝(＝，…，－)，这样每个小区间[－，]的长度Δ＝(＝，…，)．()近似代替、求和：令ξ＝＝(＝，…，)，于是有和式：(ξ)Δ＝·＝＝·(＋)(＋)＝.()取极限：根据定积分的定义，有＝(ξ)Δ ＝＝.用定义求定积分的一般步骤()分割：等分区间[，]；。

2019-2020学年高二数学人教A版选修2-2教师用书：第1章 1.5.3 定积分的概念 Word版含解析

1.5.3 定积分的概念1．了解定积分的概念．(难点)2．理解定积分的几何意义．(重点、易混点) 3．掌握定积分的几何性质．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 定积分的概念阅读教材P 45内容，完成下列问题．如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf(ξi )Δx ＝________________，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )d x ，即⎠⎛ab f(x(dx ＝__________.其中a 与b 分别叫做__________与__________，区间[a ，b ]叫做______，函数f (x )叫做____________，x 叫做__________，f (x )d x 叫做__________．【答案】 ∑i ＝1n b －a n f (ξi ) lim n→∞∑i ＝1n b －an f (ξi ) 积分下限积分上限积分区间被积函数积分变量被积式⎠⎛12(x ＋1)d x 的值与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0，f (x )＝x ＋1围成的梯形的面积有什么关系？【解析】由定积分的概念知：二者相等．教材整理2 定积分的几何意义阅读教材P 46的内容，完成下列问题．从几何上看，如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么定积分⎠⎛a b f (x )d x 表示由__________________所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分⎠⎛ab f (x )d x 的几何意义．【答案】直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0和曲线y ＝f (x)判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ab f (t )d t .( ) (2)⎠⎛a b f (x )d x 的值一定是一个正数．( ) (3)⎠⎛012x d x <⎠⎛022x d x ( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)√ 教材整理3 定积分的性质阅读教材P 47的内容，完成下列问题．1.⎠⎛ab kf (x )d x ＝________________________(k 为常数)． 2.⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±__________________. 3.⎠⎛ab f (x )d x ＝______________(其中a <c <b )．【答案】 1.k ⎠⎛a b f (x )d x 2.⎠⎛a b f 2(x )d x 3.⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x填空：(1)由y ＝0，y ＝cos x ，x ＝0，x ＝π2围成的图形的面积用定积分的形式表示为__________． (2)⎠⎛-11f (x )d x ＝⎠⎛-10f (x )d x ＋__________. (3)⎠⎛a b (x 2＋2x )d x ＝⎠⎛ab 2x d x ＋________. 【答案】 (1) ⎠⎜⎛0π2cos x d x (2)⎠⎛01f (x )d x (3)⎠⎛a b x 2d x[小组合作型]⎠⎛1【精彩点拨】根据定积分的意义，分四步求解，即分割、近似代替、求和、取极限．【自主解答】令f (x )＝3x ＋2. (1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，将区间[1,2]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n (i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n. (2)近似代替、作和取ξi ＝n ＋i －1n(i ＝1,2，…，n )，则S n ＝∑i ＝1nf ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n ·Δx ＝∑i ＝1n错误!·错误!＝错误!错误!＝错误![0＋1＋2＋…＋(n －1)]＋5＝32×n2－n n2＋5＝132－32n. (3)取极限 ⎠⎛12(3x ＋2)d x＝lim n→∞S n ＝lim n→∞⎝ ⎛⎭⎪⎫132－32n ＝132.利用定义求定积分的步骤[再练一题]1．利用定积分的定义计算⎠⎛12(－x 2＋2x )d x 的值．【解】令f (x )＝－x 2＋2x . (1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[1,2]等分为n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n (i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n.(2)近似代替、作和取ξi ＝1＋in (i ＝1,2，…，n )，则S n ＝∑i ＝1nf ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·Δx ＝∑i ＝1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝⎛⎭⎪⎫1＋i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·1n＝－1n3[(n ＋1)2＋(n ＋2)2＋(n ＋3)2＋…＋(2n )2]＋2n2[(n ＋1)＋(n ＋2)＋(n ＋3)＋…＋2n ]＝－1n3错误!＋错误!·错误!＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋3＋1n .(3)取极限⎠⎛12(－x 2＋2x )d x ＝lim n→∞S n ＝lim n→∞ ⎣⎢⎡－13⎝⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋ ⎦⎥⎤3＋1n＝23.(1)⎠⎛-33－39－x2d x ；(2)⎠⎛03(2x ＋1)d x ； (3)⎠⎛-11－1(x 3＋3x )d x . 【导学号：62952046】【精彩点拨】对于本题(1)、(2)可先确定被积函数、积分区间，画出图形，然后用几何法求出图形面积，从而确定定积分的值；对于(3)可根据被积函数的奇偶性求解．【自主解答】 (1)曲线y ＝9－x2表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆如图(1)所示．其面积为S ＝12·π·32＝92π.由定积分的几何意义知⎠⎛-339－x2d x ＝92π.(2)曲线f (x )＝2x ＋1为一条直线.⎠⎛03(2x ＋1)d x 表示直线f (x )＝2x ＋1，x ＝0，x ＝3围成的直角梯形OABC 的面积，如图(2)．其面积为S ＝12(1＋7)×3＝12.根据定积分的几何意义知⎠⎛03(2x ＋1)d x ＝12.(3)∵y ＝x 3＋3x 在区间[－1,1]上为奇函数，图象关于原点对称，∴曲边梯形在x 轴上方部分面积与x 轴下方部分面积相等．由定积分的几何意义知⎠⎛-11(x 3＋3x )d x ＝0.定积分的几何意义的应用(1)利用定积分的几何意义求⎠⎛ab f (x )d x 的值的关键是确定由曲线y ＝f (x )，直线x ＝a ，x ＝b 及y ＝0所围成的平面图形的形状．常见的图形有三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．(关键词：平面图形的形状)(2)不规则的图形常利用分割法将图形分割成几个容易求定积分的图形求面积，要注意分割点要确定准确．(关键词：分割)[再练一题]2．上例(1)中变为⎠⎜⎛－32329－x2d x ，如何求解？【解】由y ＝9－x2，知x 2＋y 2＝9(y ≥0)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32，其图象如图所示：由定积分的几何意义，知⎠⎜⎛－32329－x2d x 等于圆心角为60°的弓形C ED 的面积与矩形ABC D的面积之和．S 弓形＝12×π3×32－12×3×332＝6π－934，S 矩形＝|AB |×|BC |＝2×32×9－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝932，∴⎠⎜⎛－32329－x2d x ＝6π－934＋932＝6π＋934.[探究共研型]探究1【提示】可先把每一段函数的定积分求出后再相加．探究2 怎样求奇(偶)函数在区间[a ，b ]上的定积分？【提示】 ①若奇函数y ＝f (x )的图象在[－a ，a ]上连续，则⎠⎛-a a f (x )d x ＝0；②若偶函数y ＝g (x )的图象在[－a ，a ]上连续，则⎠⎛-a a g (x )d x ＝2⎠⎛0a g (x )d x .(1)f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，0≤x<1，2x2，1≤x≤2，则⎠⎛02f (x )d x ＝( )A.⎠⎛02(x ＋1)d xB.⎠⎛022x 2d x C.⎠⎛01(x ＋1)d x ＋⎠⎛122x 2d x D.⎠⎛122x d x ＋⎠⎛02(x ＋1)d x (2)已知⎠⎛02f (x )d x ＝8，则⎠⎛02[f (x )－2x ]d x ＝________.【自主解答】 (1)∵f (x )在[0,2]上是连续的，由定积分的性质(3)得⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＝⎠⎛01(x ＋1)d x ＋⎠⎛122x 2d x .(2)由定积分的性质(2)可得 ⎠⎛02[f (x )－2x ]d x ＝⎠⎛02f (x )d x －⎠⎛022x d x ＝⎠⎛02f (x )d x －2⎠⎛02x d x . 又∵⎠⎛02f (x )d x ＝8，⎠⎛02x d x ＝12×2×2＝2，∴⎠⎛02[f (x )－2x ]d x ＝⎠⎛02f (x )d x －2⎠⎛02x d x ＝8－2×2＝4.【答案】 (1)C (2)4利用定积分的性质求定积分的技巧灵活应用定积分的性质解题，可以把比较复杂的函数拆成几个简单函数，把积分区间分割成可以求积分的几段，进而把未知的问题转化为已知的问题，在运算方面更加简洁．应用时注意性质的推广：(1)⎠⎛ab [f 1(x )±f 2(x )±…±f n (x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛a b f 2(x )d x ±…±⎠⎛ab f n (x )d x ； (2)⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎜⎛a c1f (x )d x ＋⎠⎜⎛c1c2f (x )d x ＋…＋⎠⎜⎛cnb f (x )d x (其中a <c 1<c 2<…<c n <b ，n ∈N *)．[再练一题]3．已知⎠⎛0e x d x ＝e22，⎠⎛0e x 2d x ＝e33，求下列定积分的值．(1)⎠⎛0e (2x ＋x 2)d x ；(2)⎠⎛0e (2x 2－x ＋1)d x .【解】 (1)⎠⎛0e (2x ＋x 2)d x＝2⎠⎛0e x d x ＋⎠⎛0e x 2d x ＝2×e22＋e33＝e 2＋e33.(2)⎠⎛0e (2x 2－x ＋1)d x ＝2⎠⎛0e x 2d x －⎠⎛0e x d x ＋⎠⎛0e 1d x ，因为已知⎠⎛0e x d x ＝e22，⎠⎛0e x 2d x ＝e33，又由定积分的几何意义知：⎠⎛0e 1d x 等于直线x ＝0，x ＝e ，y ＝0，y ＝1所围成的图形的面积，所以⎠⎛0e 1d x ＝1×e ＝e ，故⎠⎛0e (2x 2－x ＋1)d x ＝2×e33－e22＋e ＝23e 3－12e 2＋e.1．下列等式不成立的是( )A.⎠⎛a b [mf (x )＋ng (x )]d x ＝m ⎠⎛a b f (x )d x ＋n ⎠⎛a b g (x )d xB.⎠⎛a b [f (x )＋1]d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ＋b －aC.⎠⎛a b f (x )g (x )d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ·⎠⎛ab g (x )d x D.⎠⎛－2π2πsin x d x ＝⎠⎛－2π0sin x d x ＋⎠⎛02πsin x d x 【解析】利用定积分的性质可判断A ，B ，D 成立，C 不成立．例如⎠⎛02x d x ＝2，⎠⎛022d x ＝4，⎠⎛022x d x ＝4，即⎠⎛022x d x ≠⎠⎛02x d x ·⎠⎛022d x . 【答案】 C2．图1-5-3中阴影部分的面积用定积分表示为()图1-5-3A.⎠⎛012x dxB.⎠⎛01(2x －1)d xC.⎠⎛01(2x ＋1)d xD.⎠⎛01(1－2x )d x 【解析】根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为⎠⎛012x d x －⎠⎛011d x ＝⎠⎛01(2x －1)d x .【答案】 B3．由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________. 【导学号：62952047】【解析】 ∵0＜x ＜π2，∴sin x ＞0.∴y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式为⎠⎜⎛0π2 sin x d x .【答案】 ⎠⎜⎛0π2 sin x d x4．若⎠⎛a b [f (x )＋g (x )]d x ＝3，⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x ＝1，则⎠⎛a b [2g (x )]d x ＝________.【解析】 ⎠⎛ab [2g (x )]d x＝⎠⎛a b [(f (x )＋g (x ))－(f (x )－g (x ))]d x ＝⎠⎛a b [f (x )＋g (x )]d x －⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x ＝3－1＝2. 【答案】 25．用定积分的几何意义求⎠⎛-114－x2d x .【解】由y ＝4－x2可知x 2＋y 2＝4(y≥0)，其图象如图．⎠⎛-114－x2d x 等于圆心角为60°的弓形C E D 的面积与矩形ABCD 的面积之和． S 弓形＝12×π3×22－12×2×2sin π3＝2π3－3.S 矩形＝|AB |·|BC |＝23.∴⎠⎛-114－x2d x ＝23＋2π3－3＝2π3＋3.。

2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第一章 1.5 1.5.3 定积分的概念

i i i 取 ξi＝xi＝2＋n，则 f(ξi)＝2＋n＋2＝4＋n.
f(ξi)Δxi＝
i＝ 1 n n
i＝ 1
i 1 4＋ · n n
跟踪训练
＝
i＝ 1
n
4 n＋1 i 4 1＋2＋…＋n ＋ 2＝n·＋＝4＋ . 2 n n n n 2n n＋1 9 4＋＝ . 2n 2
2
∴
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(3)函数 y＝sin x 在区间[－π，π]上是一个奇函数，图象关于原点成中心对称，由在 x 轴上方和下方面积相等的两部分构成，故该区间上定积分的值为面积的代数和，这个代数和为 0，即 f
π
－π
sin xdx＝0.
点评：定积分 b 介于 x＝a， a f(x)dx 的几何意义是： x＝b 之间，x 轴上、下相应曲边平面图形面积的代数和，其中 x 轴上方部分的面积为正， x 轴下方部分的面积为负．
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题型1
用定义求定积分
2 例1 用定积分的定义计算： 1 x 0 dx.
解析：(1)分割． n－1 n 1 2 将区间[0,1]分成 n 等份，0＜n＜n＜…＜ n ＜n＝1，分割后的 i i－1 1 区间长为 Δx＝n－ n ＝n. (2)近似代替．第 i 个小曲边梯形的面积可近似为
i－1 i－12 1 · (i＝1,2，…，n)． ΔSi≈ΔSi′＝f ·Δx＝ n n n
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(3)求和．

1 2 0x dx≈Sn＝
i－1 · Δx ΔSi′＝ f n i＝ 1 i＝ 1
n n
n－12 1 1 1 2 1 ·＋…＋ · ＝0· ＋ n n n n n

高中数学选修2-2学案：1.5.3定积分的概念

1.5.3定积分的概念【学习目标】1.了解定积分的概念和性质；2.了解定积分的几何意义；3.能对简单的定积分进行计算．【新知自学】知识回顾：求曲边梯形的面积：（1）思想：以直代曲、逼近；（2）步骤：分割→近似代替→求和→取极限；关键：近似代替；结果：分割越细，面积越精确.新知梳理：1.定积分的概念：一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点012a x x x =<<< …1i i x x -<<<…n x b <=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆=______，在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑.如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为________________________．记为_______. 其中()f x 称为_________，x 叫做________，[,]a b 为_______，b 叫做积分____，a 叫做积分_____________．说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（２）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功()baW F r dr =⎰．2．定积分的几何意义：如下图所示，如果在区间)(],[x f b a 上函数连续且恒有0)(≥x f ，那么定积分⎰badx x f )(表示直线x a =,()x b a b =≠,0y =和曲线y=f(x)围成的曲边梯形的面积.3．定积分的性质：（１）=⎰bakdx _______（k 为常数）；（２）=⎰badx x kf )(____________（其中k 是不为0的常数）；（３）[]=±⎰badx x fx f )()(21_______________；（４）=⎰b adx x f )(__________________（其中b c a <<）．对点练习：1.下列等于1的积分是（） A.dx x ⎰10 B.dx x ⎰+1)1(C.dx ⎰11 D.dx ⎰10213．设⎩⎨⎧<≥=⎰-112)().0(2),0()(dx x f x x x x f x 则的值是（）A.⎰-112dx x ⎰-112.dx B x⎰⎰+-1122.dx dx x C x⎰⎰+-12012.dx x dx D x3．曲线1,0,2===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为__________.4.当函数)(x f 在区间上],[b a 连续且恒有0)(≤x f （即函数图象在x 轴下方）时，定积分⎰badx x f )(表示___________________________.【合作探究】典例精析：例1. 根据定积分的几何意义计算定积分：dx x ⎰-31|2|的值．变式练习：根据定积分的几何意义计算定积分21(1)x dx+⎰的值．例2.利用定积分的定义，计算⎰103dxx的值．变式练习：计算⎰23dx x 的值，并从几何上解释这个值表示什么含义．【课堂小结】【当堂达标】1.求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为（）A.［0，2e ］B.［0，2］C.［1，2］D.［0，1］ 2.下列命题不正确的是（）．A.若)(x f 是连续的奇函数，则0)(=⎰-aa dx x f B.若)(x f 是连续的偶函数，则⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0)(2)(C.若)(x f 在],[b a 上连续且恒正，则0)(>⎰badx x fD.若)(x f 在],[b a 上连续且0)(>⎰badx x f ，则)(x f 在],[b a 上恒正3.化简求值=+⎰⎰211xdx xdx ______________＝ _____________ ．4.试用定积分的几何意义说明⎰-224dx x 的大小．【课时作业】1.已知⎰⎰+=22]6)([,3)(dx x f dx x f 则=( )A.9B.12C.15D.18 2.若函数x x x f +=3)(，则⎰-22)(dx x f 等于（）．A.0B.8C.⎰2)(dx x f D.2⎰2)(dx x f3.将和式的极限)0(.......321lim 1>+++++∞→p n n P pp p p n 表示成定积分是（） A.dx x⎰101 B.dx x p⎰10C.dx x p ⎰10)1( D.dx n x p ⎰10)( 4.利用定积分的性质和几何意义求定积分⎰-32)2(dx x ．5.用定积分表示右图中阴影部分的面积.。

人教版数学高二选修2-2讲义1.5.3定积分的概念

1.5.3定积分的概念1．了解定积分的概念．(难点)2．理解定积分的几何意义．(重点、易混点)3．掌握定积分的几何性质．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 定积分的概念阅读教材P45内容，完成下列问题．如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0<x1<…<x i－1<x i<…<x n＝b将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[x i－1，x i]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式∑i＝1nf(ξi)Δx＝________________，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作⎠⎛ab f(x)d x，即⎠⎛ab f(x)d x＝__________.其中a与b分别叫做__________与__________，区间[a，b]叫做______，函数f(x)叫做____________，x叫做__________，f(x)d x叫做__________．【答案】∑i＝1n b－an f(ξi)limn→∞∑i＝1n b－an f(ξi)积分下限积分上限积分区间被积函数积分变量被积式⎠⎛12(x＋1)d x的值与直线x＝1，x＝2，y＝0，f(x)＝x＋1围成的梯形的面积有什么关系？【解析】由定积分的概念知：二者相等．教材整理2 定积分的几何意义阅读教材P46的内容，完成下列问题．从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分⎠⎛ab f(x)d x表示由__________________所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分⎠⎛ab f(x)d x的几何意义．【答案】直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f(x)判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)⎠⎛ab f(x)d x＝⎠⎛ab f(t)d t.()(2)⎠⎛ab f(x)d x的值一定是一个正数．()(3)⎠⎛12x d x<⎠⎛22x d x()【答案】(1)√(2)×(3)√教材整理3定积分的性质阅读教材P47的内容，完成下列问题．1.⎠⎛ab kf(x)d x＝________________________(k为常数)．2.⎠⎛ab[f1(x)±f2(x)]d x＝⎠⎛abf1(x)d x±__________________.3.⎠⎛ab f(x)d x＝______________(其中a<c<b)．【答案】 1.k⎠⎛ab f(x)d x 2.⎠⎛ab f2(x)d x 3.⎠⎛ac f(x)d x＋⎠⎛cb f(x)d x填空：(1)由y＝0，y＝cos x，x＝0，x＝π2围成的图形的面积用定积分的形式表示为__________．(2)⎠⎛-11f(x)d x＝⎠⎛-10f(x)d x＋__________.(3)⎠⎛ab(x2＋2x)d x＝⎠⎛ab2x d x＋________.【答案】(1)⎠⎜⎛π2cos x d x(2)⎠⎛1f(x)d x(3)⎠⎛ab x2d x[小组合作型]利用定义求定积分利用定积分的定义，计算⎠⎛12(3x＋2)d x的值．【精彩点拨】根据定积分的意义，分四步求解，即分割、近似代替、求和、取极限．【自主解答】令f(x)＝3x＋2.(1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个分点，将区间[1,2]等分成n个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n＋i－1n，n＋in(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝n＋in－n＋i－1n＝1n.(2)近似代替、作和取ξi＝n＋i－1n(i＝1,2，…，n)，则S n＝∑i＝1nf⎝⎛⎭⎪⎫n＋i－1n·Δx＝∑i＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3(n＋i－1)n＋2·1n＝∑i＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3(i－1)n2＋5n＝3n2[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＋5＝32×n2－nn2＋5＝132－32n.(3)取极限⎠⎛12(3x＋2)d x＝limn→∞S n＝limn→∞⎝⎛⎭⎪⎫132－32n＝132.利用定义求定积分的步骤[再练一题]1．利用定积分的定义计算⎠⎛12(－x 2＋2x )d x 的值．【解】令f (x )＝－x 2＋2x . (1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[1,2]等分为n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n (i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n . (2)近似代替、作和取ξi ＝1＋in (i ＝1,2，…，n )，则 S n ＝∑i ＝1nf ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·Δx＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·1n ＝－1n 3[(n ＋1)2＋(n ＋2)2＋(n ＋3)2＋…＋(2n )2]＋2n 2[(n ＋1)＋(n ＋2)＋(n ＋3)＋…＋2n ]＝－1n 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n (2n ＋1)(4n ＋1)6－n (n ＋1)(2n ＋1)6＋2n 2·n (n ＋1＋2n )2 ＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋3＋1n . (3)取极限⎠⎛12(－x 2＋2x )d x ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡－13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋⎦⎥⎤3＋1n＝23.定积分的几何意义利用定积分的几何意义求下列定积分． (1)⎠⎛-33－39－x 2d x ；(2)⎠⎛03(2x ＋1)d x ； (3)⎠⎛-11－1(x 3＋3x )d x . 【导学号：62952046】【精彩点拨】对于本题(1)、(2)可先确定被积函数、积分区间，画出图形，然后用几何法求出图形面积，从而确定定积分的值；对于(3)可根据被积函数的奇偶性求解．【自主解答】 (1)曲线y ＝9－x 2表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆如图(1)所示．其面积为S ＝12·π·32＝92π.由定积分的几何意义知⎠⎛-339－x 2d x ＝92π.(2)曲线f (x )＝2x ＋1为一条直线.⎠⎛03(2x ＋1)d x 表示直线f (x )＝2x ＋1，x ＝0，x＝3围成的直角梯形OABC 的面积，如图(2)．其面积为S ＝12(1＋7)×3＝12.根据定积分的几何意义知⎠⎛03(2x ＋1)d x ＝12.(3)∵y＝x3＋3x在区间[－1,1]上为奇函数，图象关于原点对称，∴曲边梯形在x轴上方部分面积与x轴下方部分面积相等．由定积分的几何意义知⎠⎛-11(x3＋3x)d x＝0.定积分的几何意义的应用(1)利用定积分的几何意义求⎠⎛ab f(x)d x的值的关键是确定由曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b及y＝0所围成的平面图形的形状．常见的图形有三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．(关键词：平面图形的形状)(2)不规则的图形常利用分割法将图形分割成几个容易求定积分的图形求面积，要注意分割点要确定准确．(关键词：分割)[再练一题]2．上例(1)中变为⎠⎜⎛－32329－x2d x，如何求解？【解】由y＝9－x2，知x2＋y2＝9(y≥0)，x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32，其图象如图所示：由定积分的几何意义，知⎠⎜⎛－32329－x2d x等于圆心角为60°的弓形C ED的面积与矩形ABC D的面积之和．S弓形＝12×π3×32－12×3×332＝6π－934，S矩形＝|AB|×|BC|＝2×32×9－⎝⎛⎭⎪⎫322＝932，∴⎠⎜⎛－32329－x2d x＝6π－934＋932＝6π＋934.[探究共研型]定积分性质的应用探究1 【提示】可先把每一段函数的定积分求出后再相加．探究2 怎样求奇(偶)函数在区间[a ，b ]上的定积分？【提示】 ①若奇函数y ＝f (x )的图象在[－a ，a ]上连续，则⎠⎛-a a f (x )d x ＝0；②若偶函数y ＝g (x )的图象在[－a ，a ]上连续，则⎠⎛-aa g (x )d x ＝2⎠⎛0a g (x )d x .(1)f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，0≤x <1，2x 2，1≤x ≤2，则⎠⎛02f (x )d x ＝( )A.⎠⎛02(x ＋1)d xB.⎠⎛022x 2d x C.⎠⎛01(x ＋1)d x ＋⎠⎛122x 2d x D.⎠⎛122x d x ＋⎠⎛02(x ＋1)d x (2)已知⎠⎛02f (x )d x ＝8，则⎠⎛02[f (x )－2x ]d x ＝________.【自主解答】 (1)∵f (x )在[0,2]上是连续的，由定积分的性质(3)得⎠⎛02f (x )d x＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＝⎠⎛01(x ＋1)d x ＋⎠⎛122x 2d x . (2)由定积分的性质(2)可得⎠⎛02[f (x )－2x ]d x ＝⎠⎛02f (x )d x －⎠⎛022x d x ＝⎠⎛02f (x )d x －2⎠⎛02x d x . 又∵⎠⎛02f (x )d x ＝8，⎠⎛02x d x ＝12×2×2＝2，∴⎠⎛2[f(x)－2x]d x＝⎠⎛2f(x)d x－2⎠⎛2x d x＝8－2×2＝4.【答案】(1)C(2)4利用定积分的性质求定积分的技巧灵活应用定积分的性质解题，可以把比较复杂的函数拆成几个简单函数，把积分区间分割成可以求积分的几段，进而把未知的问题转化为已知的问题，在运算方面更加简洁．应用时注意性质的推广：(1)⎠⎛ab[f1(x)±f2(x)±…±f n(x)]d x＝⎠⎛ab f1(x)d x±⎠⎛ab f2(x)d x±…±⎠⎛ab f n(x)d x；(2)⎠⎛ab f(x)d x＝⎠⎜⎛ac1f(x)d x＋⎠⎜⎛c1c2f(x)d x＋…＋⎠⎜⎛c nb f(x)d x(其中a<c1<c2<…<c n<b，n∈N*)．[再练一题]3．已知⎠⎛e x d x＝e22，⎠⎛e x2d x＝e33，求下列定积分的值．(1)⎠⎛e(2x＋x2)d x；(2)⎠⎛e(2x2－x＋1)d x.【解】(1)⎠⎛e(2x＋x2)d x＝2⎠⎛e x d x＋⎠⎛e x2d x＝2×e22＋e33＝e2＋e33.(2)⎠⎛e(2x2－x＋1)d x＝2⎠⎛e x2d x－⎠⎛e x d x＋⎠⎛e1d x，因为已知⎠⎛e x d x＝e22，⎠⎛e x2d x＝e33，又由定积分的几何意义知：⎠⎛0e 1d x 等于直线x ＝0，x ＝e ，y ＝0，y ＝1所围成的图形的面积，所以⎠⎛0e 1d x ＝1×e ＝e ，故⎠⎛0e (2x 2－x ＋1)d x ＝2×e 33－e 22＋e ＝23e 3－12e 2＋e.1．下列等式不成立的是( )A.⎠⎛a b [mf (x )＋ng (x )]d x ＝m ⎠⎛a b f (x )d x ＋n ⎠⎛a b g (x )d xB.⎠⎛a b [f (x )＋1]d x ＝⎠⎛ab f (x )d x ＋b －a C.⎠⎛a b f (x )g (x )d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ·⎠⎛ab g (x )d x D.⎠⎛－2π2πsin x d x ＝⎠⎛－2π0sin x d x ＋⎠⎛02πsin x d x【解析】利用定积分的性质可判断A ，B ，D 成立，C 不成立．例如⎠⎛02x d x ＝2，⎠⎛022d x ＝4，⎠⎛022x d x ＝4，即⎠⎛022x d x ≠⎠⎛02x d x ·⎠⎛022d x . 【答案】 C2．图1-5-3中阴影部分的面积用定积分表示为( )图1-5-3A.⎠⎛012x dxB.⎠⎛01(2x －1)d xC.⎠⎛01(2x ＋1)d xD.⎠⎛01(1－2x )d x 【解析】根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为⎠⎛012x d x －⎠⎛011d x ＝⎠⎛01(2x－1)d x.【答案】 B3．由y＝sin x，x＝0，x＝π2，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________.【导学号：62952047】【解析】∵0＜x＜π2，∴sin x＞0.∴y＝sin x，x＝0，x＝π2，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式为⎠⎜⎛π2sin x d x.【答案】⎠⎜⎛π2sin x d x4．若⎠⎛ab[f(x)＋g(x)]d x＝3，⎠⎛ab[f(x)－g(x)]d x＝1，则⎠⎛ab[2g(x)]d x＝________.【解析】⎠⎛ab[2g(x)]d x＝⎠⎛ab[(f(x)＋g(x))－(f(x)－g(x))]d x＝⎠⎛ab[f(x)＋g(x)]d x－⎠⎛ab[f(x)－g(x)]d x＝3－1＝2.【答案】 25．用定积分的几何意义求⎠⎛-114－x2d x.【解】由y＝4－x2可知x2＋y2＝4(y≥0)，其图象如图．⎠⎛-114－x2d x等于圆心角为60°的弓形C E D的面积与矩形ABCD的面积之和．S弓形＝12×π3×22－12×2×2sinπ3＝2π3－ 3.S矩形＝|AB|·|BC|＝2 3.高中数学-打印版精心校对完整版 ∴⎠⎛-114－x 2d x ＝23＋2π3－3＝2π3＋ 3.。

人教a版数学【选修2-2】1.5.3《定积分的概念》ppt课件

0 0
[答案] C
π π [解析] 由定积分的几何意义知 sinxdx>0， cosxdx＝0，
0 0
所以C不成立，故应选C.
3．下列值等于1的是(
1 A． xdx
0
)
1 B． (x＋1)dx
0
C． 1dx
1(x)dx± f2(x)dx b a ② f ( x )]d x ＝ __________________ ； [f1(x)± 2 b a
a
b c ③ f ( x )d x ＝
a
f(x)dx f(x)dx＋__________ (其中a<c<b)．
典例探究学案
定积分的定义
1 3 求 x dx.
0
[分析] 这里的被积函数f(x)＝x3显然是连续函数．现按定
1 3 义中包含的几个步骤来求 x dx.
0
[解析] (1)分割[0,1]： n－1 n 1 2 0＜n＜n＜…＜ n ＜n＝1. (2)近似代替：作和
1 1 2 1 n 1 3 3 ·＋ ·＋…＋ 3·. n n n n n n i 1 . ＝ n3· n i＝1
n
(因为x3连续，所以ξi可随意取而不影响极限，故我们此处将ξi取为[xi，xi＋1]的右端点也无妨)
(3)取极限：
i 1 nn＋1 1 n 3 1 2 3 ·＝ 4 i ＝ 4 n n n n 2 i ＝1 i＝1
1 0
[答案] C [解析] 由积分的几何意义可知选C.
π 4．由正切曲线y＝tanx，直线x＝0和x＝ 4 ，x轴所围成的平面区域的面积用积分表示为________．

人教版2017高中数学(选修2-2)1.5.3定积分的概念PPT课件

(3)
��
��1 (��)· ��2 (��) dx=
)
首页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测
课前预习案
课堂探究案
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课前预习案
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
课堂探究案
解析: 令 f(x)=x2-2x. 将区间 1,2 等分成 n 个小区间, 分别为 1,1 + 1+
��
f(x)dx(k 为常数);
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课堂探究案
做一做 2 若
A.m
exdx=m,则 0 3exdx 等于( B.3m C.m+3 D.9m
2 0
2 0
2
)
解析:
2 0
3exdx=3
exdx=3m.
答案:B
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课堂探究案
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”. (1)在定积分定义的第二步“近似代替”中,必须用左端点或右端点进行代替. ( × ) (2)定积分 f(x)dx 表示由直线 x=a,x=b(a≠b),y=0 和曲线 y=f(x) 所围成的曲边梯形的面积. ( × )
kf(x)dx=k
�� 1 (��) ± ��2 (��) dx= �� f1(x)dx± �� f2(x)dx; �� f(x)dx= �� f(x)dx+ �� f(x)dx(其中 a<c<b).

( 人教A版)2017-2018学年高中数学选修2-2：1.5.3定积分的概念课件 (共35张PPT)

如果 Δx 无限接近于 0(亦即 n→∞)时，上述和式 Sn 无限趋近于常数 S，那么称该
S＝bf(x)dx
常数 S 为函数 f(x)在区间[a，b]上的定积分．记为：____a______.
其中：∫——叫作积分号． f(x)——叫作被积函数． f(x)dx——叫作被积式． x——叫作积分变量． a——叫作积分下限． b——叫作积分上限． [a，b]——叫作积分区间．
＝2＋n2－n1＝2＋12－21n＝52－21n，
lim ∴2(1＋x)dx＝n→∞

1
52－21n＝52.
探究二利用定积分的几何意义求定积分
[典例 2] 说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值：
(1)12dx；(2)2xdx；(3)
1

1－x2dx.
求 f(x)在区间[0,5]上的定积分．
[解析] (1)如图，
由定积分的几何意义，得
3

9－x2dx＝π×2 32＝92π，3 x3dx＝0.
－3
－3
由定积分的性质，得3－3( 9－x2－x3)dx
＝3
9－x2dx－3
x3dx＝92π.
－3
－3
(2)如图，由定积分的几何意义，得2xdx＝21×2×2＝2， 0
课时作业
[自主梳理]
一、定积分的概念一般地，如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0<x1<x2<…<xi－1<xi<…<xn ＝b，将区间[a，b]等分成 n 个小区间，每个小区间长度为 Δx(Δx＝b－n a)，在每个小
区间[xi－1，xi]上任取一点 ξi(i＝1,2，…，n)，作和式：_S_n_＝__i＝_n1_f_(ξ_i_)Δ__x_＝__i＝n_1__b_－n__a_f(_ξ_i)_．

选修2-2§1.5.3定积分的基本概念

§1.5.3 定积分的概念【学习目标】1.通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；2.能用定积分的定义求简单的定积分；3.理解掌握定积分的几何意义.【重点难点】学习重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义; 学习难点：定积分的概念、定积分的几何意义.【学法指导】【知识链接】一、定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（_________x ∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ= ，作和式：1()_________________nn i i S f x ξ==∆=∑如果_____________________________________________________________________，那么称该常数S 为______________________________________________________________,记为：__________________S =，其中()f x 称为______________，x 叫做_____________，[,]a b 为_____________，b 为_________________，a 为________________.由定义可知：曲边图形面积____________S =；变速运动路程________________S =；变力做功 _____________W = .二、用定义求定积分的算法：①分割：____________________；②近似代替：___________________；③求和：__________________________；④取极限：_________________________.三、定积分的几何意义如果在区间[,]a b 上函数连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()ba f x dx ⎰表示由直线,x a xb ==（a b ≠），0y =和曲线 ()y f x =所围成的曲边梯形的面积.说明：一般情况下，定积分()ba f x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号．分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值。

人教版A版高中数学选修2-2：1.5.3定积分的概念

把区间[a, b]分成n个小区间[ x0，x1]，[ x1，x2 ]，
b
i
x
[ xn1，xn ]，各小段时间的长依次为
x1 x1 x0 ,x2 x2 x1,xn xn xn1,
在每个小区间[ xi1 xi ]上任意到一个点i ,求函数值f (i )
,并与小区间长度xi相乘得f (i )xi (i 1,2,3,, n), 再求

(2) 2 sin2 x cos xdx
0
0
解: (1)
3 e3xdx
0

1 3
3 e3xd 3 x
0

1 3
e3x 3 0
1 (e9 3
1)

(2) 2 sin2 x cos xdx 0
2 sin2 xd sin x 1 sin3 x 2 1
0
3
03
(3)
把[a,b]分成n个小区间 [ xi1, xi ] (i 1,2, ... , n)
y
y f (x)
其长度为
xi xi xi1 (i 1,2, ... , n) o a xi1 xi b x
过各个分点作x轴的垂线，将曲边梯形分成n个小曲边梯形，其面积为?
（1）分割：（前面）
定积分的概念
The Concept of Definite Integral
定积分的概念
定积分概念的引入
1. 求曲边梯形的面积
曲边梯形是指由连续曲线 y
y f ( x) ( f ( x) 0)、和直线
A?
y f (x)
y 0、x a、x b 所组成
的平面图形。

人教新课标A版高二数学《选修2-2》1.5.3 定积分的概念

2 3
3 3
9－x2 dx －
9π x dx＝ . 2
3
课时训练
A
2．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：
(1)S1＝____________(如图1)；
(2)S2＝____________(如图2)；
课时小结谢ຫໍສະໝຸດ 大家！1.5.3 定积分的概念
学习目标
1．了解定积分的概念．
2．会用定义求一些简单的定积分．
5．用定积分表示下图中阴影部分的面积．
正
负 0
自主测评
A
C
C
题型一用定义求定积分
s
i 1 i
n
方法提炼用定义求定积分的步骤 ①分割；
②近似代替；
③求和；
④取极限
跟踪演练
解：令 f(x)＝3x＋2，(1)分割．在区间[1,2]上等间隔地插入 n －1 个分点，把区间[1,2]等分成 n
3 2 3 2
π 3 3 π 3 1 －x d x ＝－＋＝＋ . 3 4 2 3 4
2
题型三利用性质求定积分
解：(1)如图：
由定积分的几何意义得：
3 3
2 π×3 9π 2 9－x dx＝＝， 2 2

3 3
x dx＝0.
3 3
3
由定积分性质得
3 3
( 9－x － x )dx ＝
n＋i－1 n＋i 个小区间， n n
n＋i n＋i－1 1 (i＝1,2，…， n)，每个小区间的长度为 Δx＝－＝ . n n n
(2)近似代替． n＋i－1 取 ξi＝ (i＝1,2，…，n)， n 用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积 ΔSi＝f(ξi)·Δx. (3)求和．所有这些小矩形面积的和 Sn＝i＝ Σ1f(ξi)Δx＝i＝ Σ1 (3ξi＋2)Δx

人教新课标版数学高二-选修2-2课时作业 1.5.3定积分的概念

1.5.3 定积分的概念课时目标 1.了解定积分的概念.2.了解定积分的几何意义和性质.3.会用定义求定积分．1．如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )作和式________________，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的__________，记作______________，即________________，区间[a ，b ]叫做______________，函数f (x )叫做______________．2．定积分的几何意义：如果在区间[a ，b ]上函数f (x )________且____________，那么定积分ʃb a f (x )d x 表示由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形的________． 3．定积分的性质(1)ʃb a kf (x )d x ＝____________(k 为常数)． (2)ʃb a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝________________. (3)ʃb a f (x )d x ＝________________.一、选择题1．定积分ʃ10x d x 的值是( )A ．1 B.12 C.13D ．02．若函数f (x )的图象在[a ，b ]上是一条连续曲线，用n －1个等分点x i (i ＝1,2，…，n －1)把[a ，b ]分成n 个小区间，记x 0＝a ，x n ＝b ，每个小区间长度为Δx ，任取ξi ∈[x i －1，x i ]，则ʃb a f (x )d x 等于当n →＋∞时( ) A.∑i ＝1nf (x i )所趋近的某个值B.∑i ＝1n f (ξi )(b －a )所趋近的某个值C.∑i ＝1nf (ξi )Δx 所趋近的某个值D.∑i ＝1nf (x i )Δxn 所趋近的某个值3．定积分ʃb a f (x )d x 的大小( )A ．与f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关B ．与f (x )有关，与区间[a ，b ]以及ξi 的取法无关C ．与f (x )以及ξi 的取法有关，与区间[a ，b ]无关D ．与f (x )、积分区间[a ，b ]和ξi 的取法都有关4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ≥0)2x (x <0)，则ʃ1－1f (x )d x 可化为( )A ．ʃ1－1x 2d x B ．ʃ1－12x d x C ．ʃ0－1x 2d x ＋ʃ102x d x D ．ʃ0－12x d x ＋ʃ10x 2d x 5．定积分ʃ1－1x 3d x 的值为( )A.14B.12C.13 D ．06．li m n →∞ln n⎝⎛⎭⎫1＋1n 2⎝⎛⎭⎫1＋2n 2…⎝⎛⎭⎫1＋n n 2可化为( )A ．ʃ21ln 2x d xB ．2ʃ21ln x d xC ．2ʃ21ln(1＋x )d xD ．ʃ21ln 2(1＋x )d x 题号 1 2 3 4 5 6 答案7．设变速直线运动物体的速度为v (t )，则在t 1到t 2这一时间段内，该物体经过的位移s ＝________.8．如图，阴影部分的面积分别以A 1，A 2，A 3表示，则定积分ʃb a f (x )d x ＝________.9．ʃ1－14－x 2d x ＝____________. 三、解答题10．利用定积分的几何意义求下列定积分．(1)ʃ101－x 2d x ；(2)ʃ2π0cos x d x .11．弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成正比，即力F (x )＝kx (k 为常数，x 是伸长量)，求弹簧从平衡位置拉长b 所做的功．能力提升12．设a ＝ʃ10x 13d x ，b ＝ʃ10x 2d x ，c ＝ʃ10x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c >a >b B ．a >b >c C ．a ＝b >c D ．a >c >b 13．利用定积分的几何意义，求ʃ2－2f (x )d x ＋22ππ-⎰sin x ·cos x d x ，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1 (x ≥0)3x －1 (x <0).1．利用定积分的定义求定积分，分四步：分割、近似代替、求和、取极限．2．利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积，不规则的图形常用分割法求面积，注意分割点的准确确定．21t t ⎰答案知识梳理1.∑i ＝1n f (ξi )Δx ＝∑i ＝1n b －a n f (ξi ) 定积分 ʃba f (x )d x ʃb a f (x )d x ＝li m n →∞∑i ＝1n b －an f (ξi ) 积分区间被积函数2．连续恒有f (x )≥0 面积3．(1)k ʃb a f (x )d x (2)ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x (3)ʃc a f (x )d x ＋ʃb c f (x )d x (a <c <b )作业设计1．B [即计算由直线y ＝x ，x ＝1及x 轴所围成的三角形的面积．]2．C [f (ξi )Δx 为第i 个小曲边梯形的面积，和式f (ξ1)Δx ＋f (ξ2)Δx ＋…＋f (ξn )Δx 表示x ＝a，x＝b，y＝0及函数f(x)的图象所围成图形的面积的近似值，当分割无限变细，即n趋向于＋∞时，∑i＝1nf(ξi)Δx所趋近的值就是曲边梯形的面积，即ʃb a f(x)d x，故选C.] 3．A4．D[ʃ1－1f(x)d x＝ʃ0－1f(x)d x＋ʃ10f(x)d x＝ʃ0－12x d x＋ʃ10x2d x.故选D.]5．D[画草图，f(x)＝x3的图象关于原点对称，在区间[－1,1]上，x轴上方f(x)所围面积与x轴下方f(x)所围面积相等，故由几何意义知ʃ1－1x3d x＝0.]6．B[li mn→∞lnn⎝⎛⎭⎫1＋1n2⎝⎛⎭⎫1＋2n2…⎝⎛⎭⎫1＋nn2＝li mn→∞1n∑i＝1nln⎝⎛⎭⎫1＋in2＝li mn→∞1n∑i＝1n2ln⎝⎛⎭⎫1＋in＝2ʃ21ln x d x.]7．21tt⎰v(t)d t8．A1＋A3－A2解析利用定积分的几何意义，在区间[a，b]上，用x轴上方f(x)所围面积减去x轴下方f(x)所围面积．9.2π3＋3解析由y＝4－x2可知x2＋y2＝4(y≥0)，其图象如图．ʃ1－14－x2d x等于圆心角为60°的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和S弓形＝12×π3×22－12×2×2sinπ3＝2π3－3，S矩形＝|AB|·|BC|＝23，∴ʃ1－14－x2d x＝23＋2π3－3＝2π3＋ 3.10．解(1)由y＝1－x2得x2＋y2＝1(y≥0)，其图象是以原点为圆心，半径为1的圆的14部分．∴ʃ101－x2d x＝14π·12＝14π.(2)由函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象的对称性(如图)知，ʃ2π0cos x d x＝0.11．解将物体用常力F沿着力的方向移动距离x，则所做的功为W＝Fx，本题F是克服弹簧拉力的变力，是移动距离x的函数F(x)＝kx.将[0，b]n等分，记Δx＝bn，分点依次为：x0＝0，x1＝bn，x2＝2bn，…，x n－1＝(n－1)bn，x n＝b.当n很大时，在分段[x i，x i＋1]所用的力约为kx i，所做的功ΔW i≈kx i·Δx＝kx i bn.则从0到b所做的总功W近似地等于∑i＝0n－1ΔW i＝∑i＝0n－1kx i·Δx＝∑i＝0n－1k·ibn·bn＝kb2n2[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝kb2n2n(n－1)2＝kb22⎝⎛⎭⎫1－1n.于是得到弹簧从平衡位置拉长b所做的功为W＝li mn→∞∑i＝0n－1ΔW i＝li mn→∞kb22⎝⎛⎭⎫1－1n＝12kb2.12．B13．解 ʃ2－2f (x )d x ＋22ππ-⎰sin x cos x d x＝ʃ0－2(3x －1)d x ＋ʃ20(2x －1)d x ＋22ππ-⎰sin x cos x d x ，∵y ＝sin x cos x 为奇函数，∴22ππ-⎰sin x cos x d x ＝0.利用定积分的几何意义，如图，∴ʃ0－2(3x －1)d x ＝－7＋12×2＝－8. ʃ20(2x －1)d x ＝3＋12×1＝2. ∴ʃ2－2f (x )d x ＋22ππ-⎰sin x cos x d x＝2－8＋0＝－6.。