二轮专题复习(2021新高考)专题二 培优点7 三角函数中的范围、最值问题
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3.已知函数 f(x)＝2sinωx＋π6中 x 在任意的15个单位长度的距离内能同时 取得最大值和最小值，那么正实数 ω 的取值范围是_[_1_0_π_，__＋__∞__) _. 解析 由题意得 T＝2ωπ≤15， ∴ω≥10π， ∵ω>0，∴ω≥10π.
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4.已知函数 f(x)＝sinωx＋π3(ω>0)，若 f(x)在0，23π上恰有两个零点，且在 －π4，2π4上单调递增，则 ω 的取值范围是__52_，__1_30__.
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解析 令 ωx＋π3＝kπ，k∈Z， 得 x＝3k3πω－π，k∈Z， ∴f(x)的第 2 个、第 3 个正零点分别为35ωπ ，38ωπ，
∴3385ωωππ >≤232π3π，，
解得52≤ω<4，
令－π2＋2kπ≤ωx＋π3≤π2＋2kπ，k∈Z，
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∴－65ωπ ＋2ωkπ≤x≤6πω＋2ωkπ，k∈Z， 令 k＝0，f(x)在－65ωπ ，6πω上单调递增， ∴－π4，2π4⊆－65ωπ ，6πω，
＝ttaannAAt＋antCan－C1＝－－4ta3nta2nA－A 1＝4tan
3 A＋tan1
≤ 2
A
3
4＝34，
当且仅当 tan A＝12时取等号，故 tan B 的最大值是34.
例 2 (1)(2020·烟台模拟)将函数 f(x)＝cos x 的图象向右平移23π个单位长
度，再将各点的横坐标变为原来的ω1 (ω>0)，得到函数 g(x)的图象，若 g(x)
专题二 三角函数与解三角形
以三角函数为背景的范围与最值问题是高考的热点，对问题的准 确理解和灵活转化是解题的关键.
例 1 (1)若函数 y＝sin2x＋acos x＋58a－32在0，π2上的最大值是 1，则实数 3
a 的值为___2_____.
解析
y＝1－cos2x＋acos
x＋58a－32
∴0≤ω2π－23π≤23π，∴43≤ω≤83.
(2)若将函数 f(x)＝sin2x＋π4的图象向右平移 φ 个单位长度，所得图象关 3π
于 y 轴对称，则 φ 的最小正值是____8____.
解析 方法一 将 f(x)＝sin2x＋π4的图象向右平移 φ 个单位长度， 得到函数 g(x)＝sin2x－2φ＋π4的图象， 该图象关于 y 轴对称，即 g(x)为偶函数，因此π4－2φ＝kπ＋π2，k∈Z， 所以 φ＝－k2π－π8(k∈Z)，故当 k＝－1 时，φ 的最小正值为38π. 方法二 将 f(x)＝sin2x＋π4的图象向右平移 φ 个单位长度，
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解析 f(x)＝ 5sin(x＋φ)，其中 tan φ＝12，且 φ∈0，π2， 由－π2＋2kπ≤x＋φ≤π2＋2kπ，k∈Z， 得－π2－φ＋2kπ≤x≤π2－φ＋2kπ，k∈Z. 当 k＝0 时，增区间为－π2－φ，π2－φ， 所以 αmax＝π2－φ，所以当 α 取最大值时， sin 2α＝sin 2π2－φ＝sin 2φ＝s2ins2inφ＋φccoossφ2φ＝ta2nt2aφn＋φ1＝45.
能力 提升
(1)求解三角函数的范围或最值的关键在于根据题目条件和函 数形式选择适当的工具：三角函数的有界性，基本不等式， 二次函数等. (2)求解和三角函数性质有关的范围、最值问题，要结合三角 函数的图象.
跟踪演练
1.已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线 x＝π3对称，且 f 1π2＝0，
－65ωπ ≤－π4， ∴6πω≥2π4，
ω>0
⇒0<ω≤130， 综上得 ω 的取值范围是52≤ω≤130.
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本课结束
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则 ω 的最小值为
√A.2
B.4
C.6
D.8
解析 函数 f(x)的周期 T≤4π3－1π2＝π， 则2ωπ≤π，解得 ω≥2，故 ω 的最小值为 2.
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2.若函数f(x)＝2sin x＋cos x在[0，α]上是增函数，则当α取最大值时，sin 2α
的值等于
√A.45
3 B.5
2 C.5
21 D. 5
在0，π2上的值域为－12，1，则 ω 的取值范围为
√A.43，38
B.13，35
C.43，＋∞
D.83，＋∞
解析 f(x)＝cos x 向右平移23π个单位长度，得到 y＝cosx－23π的图象， 再将各点横坐标变为原来的ω1 (ω>0)得 g(x)＝cosωx－23π， 当 x∈0，π2时，ωx－23π∈－23π，ω2π－23π， 又此时 g(x)的值域为－12，1，
得到函数 g(x)＝sin2x－2φ＋π4的图象，
令 2x－2φ＋π4＝kπ＋π2，k∈Z，得 x＝k2π＋π8＋φ(k∈Z)， 此即为g(x)的对称轴方程， 又 g(x)的图象关于 y 轴对称，所以有k2π＋π8＋φ＝0，k∈Z， 于是 φ＝－k2π－π8(k∈Z)，故当 k＝－1 时，φ 取最小正值38π.
＝－cos
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x－a22＋a42＋58a－12.
∵0≤x≤π2，∴0≤cos x≤1.
①若a2>1，即 a>2，则当 cos x＝1 时，
ymax＝a＋58a－32＝1⇒a＝2103<2(舍去)；
②若 0≤a2≤1，即 0≤a≤2，
则当 cos x＝a2时，ymax＝a42＋58a－12＝1，
∴a＝32或 a＝－4<0(舍去)； ③若a2<0，即 a<0，则当 cos x＝0 时， ymax＝58a－12＝1⇒a＝152>0(舍去). 综上可得，a＝32.
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3acos C＋b＝0，
3 则tan B的最大值是____4____.
解析 在△ABC中，因为3acos C＋b＝0， 所以C为钝角， 由正弦定理得3sin Acos C＋sin(A＋C)＝0， 3sin Acos C＋sin Acos C＋cos Asin C＝0， 所以4sin Acos C＝－cos A·sin C， 即tan C＝－4tan A. 因为tan A>0， 所以 tan B＝－tan(A＋C)＝－1t－antAan＋AttaannCC
3.已知函数 f(x)＝2sinωx＋π6中 x 在任意的15个单位长度的距离内能同时 取得最大值和最小值，那么正实数 ω 的取值范围是_[_1_0_π_，__＋__∞__) _. 解析 由题意得 T＝2ωπ≤15， ∴ω≥10π， ∵ω>0，∴ω≥10π.
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4.已知函数 f(x)＝sinωx＋π3(ω>0)，若 f(x)在0，23π上恰有两个零点，且在 －π4，2π4上单调递增，则 ω 的取值范围是__52_，__1_30__.
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解析 令 ωx＋π3＝kπ，k∈Z， 得 x＝3k3πω－π，k∈Z， ∴f(x)的第 2 个、第 3 个正零点分别为35ωπ ，38ωπ，
∴3385ωωππ >≤232π3π，，
解得52≤ω<4，
令－π2＋2kπ≤ωx＋π3≤π2＋2kπ，k∈Z，
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∴－65ωπ ＋2ωkπ≤x≤6πω＋2ωkπ，k∈Z， 令 k＝0，f(x)在－65ωπ ，6πω上单调递增， ∴－π4，2π4⊆－65ωπ ，6πω，
＝ttaannAAt＋antCan－C1＝－－4ta3nta2nA－A 1＝4tan
3 A＋tan1
≤ 2
A
3
4＝34，
当且仅当 tan A＝12时取等号，故 tan B 的最大值是34.
例 2 (1)(2020·烟台模拟)将函数 f(x)＝cos x 的图象向右平移23π个单位长
度，再将各点的横坐标变为原来的ω1 (ω>0)，得到函数 g(x)的图象，若 g(x)
专题二 三角函数与解三角形
以三角函数为背景的范围与最值问题是高考的热点，对问题的准 确理解和灵活转化是解题的关键.
例 1 (1)若函数 y＝sin2x＋acos x＋58a－32在0，π2上的最大值是 1，则实数 3
a 的值为___2_____.
解析
y＝1－cos2x＋acos
x＋58a－32
∴0≤ω2π－23π≤23π，∴43≤ω≤83.
(2)若将函数 f(x)＝sin2x＋π4的图象向右平移 φ 个单位长度，所得图象关 3π
于 y 轴对称，则 φ 的最小正值是____8____.
解析 方法一 将 f(x)＝sin2x＋π4的图象向右平移 φ 个单位长度， 得到函数 g(x)＝sin2x－2φ＋π4的图象， 该图象关于 y 轴对称，即 g(x)为偶函数，因此π4－2φ＝kπ＋π2，k∈Z， 所以 φ＝－k2π－π8(k∈Z)，故当 k＝－1 时，φ 的最小正值为38π. 方法二 将 f(x)＝sin2x＋π4的图象向右平移 φ 个单位长度，
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解析 f(x)＝ 5sin(x＋φ)，其中 tan φ＝12，且 φ∈0，π2， 由－π2＋2kπ≤x＋φ≤π2＋2kπ，k∈Z， 得－π2－φ＋2kπ≤x≤π2－φ＋2kπ，k∈Z. 当 k＝0 时，增区间为－π2－φ，π2－φ， 所以 αmax＝π2－φ，所以当 α 取最大值时， sin 2α＝sin 2π2－φ＝sin 2φ＝s2ins2inφ＋φccoossφ2φ＝ta2nt2aφn＋φ1＝45.
能力 提升
(1)求解三角函数的范围或最值的关键在于根据题目条件和函 数形式选择适当的工具：三角函数的有界性，基本不等式， 二次函数等. (2)求解和三角函数性质有关的范围、最值问题，要结合三角 函数的图象.
跟踪演练
1.已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线 x＝π3对称，且 f 1π2＝0，
－65ωπ ≤－π4， ∴6πω≥2π4，
ω>0
⇒0<ω≤130， 综上得 ω 的取值范围是52≤ω≤130.
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则 ω 的最小值为
√A.2
B.4
C.6
D.8
解析 函数 f(x)的周期 T≤4π3－1π2＝π， 则2ωπ≤π，解得 ω≥2，故 ω 的最小值为 2.
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2.若函数f(x)＝2sin x＋cos x在[0，α]上是增函数，则当α取最大值时，sin 2α
的值等于
√A.45
3 B.5
2 C.5
21 D. 5
在0，π2上的值域为－12，1，则 ω 的取值范围为
√A.43，38
B.13，35
C.43，＋∞
D.83，＋∞
解析 f(x)＝cos x 向右平移23π个单位长度，得到 y＝cosx－23π的图象， 再将各点横坐标变为原来的ω1 (ω>0)得 g(x)＝cosωx－23π， 当 x∈0，π2时，ωx－23π∈－23π，ω2π－23π， 又此时 g(x)的值域为－12，1，
得到函数 g(x)＝sin2x－2φ＋π4的图象，
令 2x－2φ＋π4＝kπ＋π2，k∈Z，得 x＝k2π＋π8＋φ(k∈Z)， 此即为g(x)的对称轴方程， 又 g(x)的图象关于 y 轴对称，所以有k2π＋π8＋φ＝0，k∈Z， 于是 φ＝－k2π－π8(k∈Z)，故当 k＝－1 时，φ 取最小正值38π.
＝－cos
Leabharlann Baidu
x－a22＋a42＋58a－12.
∵0≤x≤π2，∴0≤cos x≤1.
①若a2>1，即 a>2，则当 cos x＝1 时，
ymax＝a＋58a－32＝1⇒a＝2103<2(舍去)；
②若 0≤a2≤1，即 0≤a≤2，
则当 cos x＝a2时，ymax＝a42＋58a－12＝1，
∴a＝32或 a＝－4<0(舍去)； ③若a2<0，即 a<0，则当 cos x＝0 时， ymax＝58a－12＝1⇒a＝152>0(舍去). 综上可得，a＝32.
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3acos C＋b＝0，
3 则tan B的最大值是____4____.
解析 在△ABC中，因为3acos C＋b＝0， 所以C为钝角， 由正弦定理得3sin Acos C＋sin(A＋C)＝0， 3sin Acos C＋sin Acos C＋cos Asin C＝0， 所以4sin Acos C＝－cos A·sin C， 即tan C＝－4tan A. 因为tan A>0， 所以 tan B＝－tan(A＋C)＝－1t－antAan＋AttaannCC