第七章 层流边界层的流动与换热
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C1 =
τ
无量纲摩擦系数
1 取决于雷诺数，即 ( ρU ∞ 2 ) −1 2 C ~ Re 2
1 L
(7-2-22)
分析基于热边界层厚度的换热方程，有
h~
λ ( ∆t δ t )
∆t
~
式中， t = tw − t∞ 表示边界层的温度变化。 ∆
λ δt
(7-2-23)
7-2
边界层分析
考虑边界层能量方程各项的数量级： 对流项～导热项 ∆t ∆t ∆t u ,v ~ a 2 δ t L δt (7-2-24) 若热边界层厚度远大于速度边界层厚度，δt >>δ，则速度边界层 外的速度u 等于主流速度U∞，得到该区域的速度 v ~ U δ 。 L
7-2
边界层分析
上一节给出的二维稳态常物性的数学方程是一组非线性偏微分方 程，除极少数简单状况外，通常不能得到分析解。1904 年，普朗 特提出的边界层理论大大简化了纳维-斯托克斯方程，使许多工程 间题得到了有效的解决。
7-2-1 速度边界层
通过实验观察可以发现，流体流过平板时，由于流体粘性的作用， 在壁面处流体的速度为零，在垂直于流动方向的很短距离内，速 度迅速增加到接近主流速度（即速度梯度主要出现在靠近壁面的 区域）。边界层理论认为，只在贴壁处的薄层内考虑粘性的影响， 此薄层称为速度边界层，如图7-2 所示。
7-3-1 外掠平板层流边界层流动和换热的相似解
1. 布劳修斯解 上节边界层分析给出了边界层微分方程组，在一定条件下，通过 不同方式可以获得解，本书采用相似变换求解，也称相似解。相 似解的核心是经过选择合适的相似变量，将偏微分方程转化为常 微分方程。1908 年，布劳修斯采用无量纲流函数及无量纲坐标， 求解了外掠平板层流边界层流动的偏微分方程，如图7-4 所示， 边界层内流动方向的速度从壁面处为零一直变化到远离壁面处的u = U∞。尽管边界层内速度分布不相似，但不同x处的速度变化范围 是相同的, 即速度分布被伸展。
流动摩擦阻力
7-2
边界层分析
−1 2
式(7-2 -20)的意义在于，它指出了只有 Re L << 1 的情形，边界层 理论才有效。例如，在边界层的前缘， Re −1 2 不会远小于1，故边 L 界层理论不适用。 式(7-2-17)可改写为 U∞ −1 −1 2 2 τ η Re L ρU ∞ Re L 2 L (7-2-21)
7-2
边界层分析
图7-2 外掠平板的速度边界层
7-2
边界层分析
通常定义边界层的外缘为速度达到主流速度的99％处，即u = 0.99U，U 表示主流速度。在y＝δ以外区域，粘性的影响由于速度 梯度很小而忽略不计，按理想流体处理。边界层理论将流场分为 两个区域。其一是流体粘性起主要作用的边界层区。此区域中垂 直于主流方向的速度梯度很大，尽管介质的粘性较小，但粘性切 应力很大，动量传递主要依靠分子扩散，认为边界层外缘的速度 已达到主流速度，此处横向速度梯度接近于零。另一区域是边界 层外的流动，该区域中流体的速度梯度接近于零，粘性力可以忽 略不计，按无粘性的势流处理，符合伯努利方程。严格地讲，边 界层区与主流区无明确的分界面，按实际壁面粘性滞止作用的影 响区，其边界应在无限远处。因此，边界层是一种人为引进的理 想化概念。 边界层的另一重要特点是其厚度δ远远小于平壁的长度L ，即占 δ<<L。理论上讲，在平板前缘边界层理论并不成立，在以后的分 析中不难得到此结论。 此外，边界层内的流动也分为层流区、湍流区和缓冲层区，这些 在流体力学和基础传热学中已有详细介绍，这里不再重复。
7-1 对流换热中的根本问题
工程上经常遇到的典型对流换热的外部问题，如图7-1 所示，流体以均匀的速度u∞和温度T∞流过温度为Tc的 平板。这种换热表面可以是建筑围护结构、电于器件 冷却表面，也可以是换热器的表面或肋表面。工程中 需要了解以下两个问题： (1) 介质中平板的受力情况。 (2) 平板与介质的换热情况。 对第一个问题的分析，可以得到流动的阻力(压力损失)， 也就是维持流动所需要的泵功率或能耗。这是流体力 学与工程热力学应用于传热过程的问题。通过对第二 个问题的回答，可以预测平板与介质之间的传热速率， 这是传热学的根本问题。
h~
λ
L
Pr1 3 Re L1 2
，Pr>>1
(7-2-33)
Nu ~ Pr1 3 Re L1 2 ，Pr>>1 (7-2-34) 在边界层内，惯性力与粘性力始终是平衡的，Re反映的是一个几 何尺寸特性一边界层的厚度与流动长度的比值[见式(7-2 - 20 )]。
7-3 层流边界层流动和换热的相似解
7-2
边界层分析
7-2-2 温度边界层
与速度边界层类似，当具有均匀温度的流体流过一壁面时，若壁 面温度与流体温度不同，流体温度将在靠近壁面的一个很薄的区 域内从壁面温度变化到主流温度，该层称为温度边界层，或热边 界层。热边界层厚度用δt表示，如图7-3 所示，通常规定其边界在 垂直于流动方向流体温差t∞－t 等于0.99(t∞－tw)处，t∞表示主流温 度，tw表示壁面温度。在温度边界层内，温度梯度很大，而其外 部温度梯度很小可以忽略不计，即热边界层外可近似按等温区处 理。热边界层厚度与流动方向的尺寸相比也是小量。速度边界层 厚度通常不等于温度边界层厚度，两者的关系通常取决于流体的 热物性。
∂u ∂u 1 ∂p ∂ 2u ∂ 2u u +v =− +ν ( 2 + 2 ) ρ ∂x ∂x ∂y ∂x ∂y
∂v ∂v 1 ∂p ∂ 2v ∂ 2v u +v = − +ν ( 2 + 2 ) ∂x ∂y ∂x ∂y ρ ∂x
∂T ∂T ∂ 2T ∂ 2T u +v = a( 2 + 2 ) ∂x ∂y ∂x ∂y
∞
将其带入方程(7-2-24)，不难发现对流项主要由第一项控制，即
U ∞ ∆t L ~ a
进一步可以得到
∆t
δt 2
(7-2-25)
δt
L
~ Pe −1 2 ~ Pr −1 2 ~ Re L −1 2
(7-2-26)
7-2
边界层分析
其中 PeL = U ∞ L a 是贝克来数。比较式(7-2-20 )和式(7-2-26)可以 发现，温度边界层厚度与速度边界层厚度之间的关系取决于普朗特 数，即 δt ~ Pr1 2 δ (7-2-27) 低普朗特数(Pr<<1 )下的对流换热表面传热系数可以表示为 λ h ~ Pr1 2 Re L1 2 ，Pr <<1 (7-2-28) L 或表示为努塞尔数的形式： (7-2-29) 若速度边界层厚度远大于温度边界层厚度, 则温度边界层内的速度 可认为
7-1 对流换热中的根本问题
图7-1 沿平板流动的边界层速度和温度分别
Baidu Nhomakorabea
7-1 对流换热中的根本问题
可以通过实验的方法，也可以通过分析的方法得到以上问题的速 度分布和温度分布，进而获得流动阻力和热流密度。 以二维常物性不可压缩流体为例，控制微分方程组可由第六章中 的基本方程得到：
∂u ∂v + =0 ∂x ∂y
(∂p ∂x)( dy dx) vδ δ 2 ↔ ↔( ) = 1 U∞ L L ∂p ∂x
(7-2-12 )
比较方程(7-2-7 )右侧两项，得到
dp ∂p = dx ∂x
7-2
边界层分析
与式(7-2-7)一致。即边界层内的压力主要在x方向变化。任意x处， 边界层内的压力与边界层外缘处压力相同，即
dp = ∂p ∂p dx + dy ∂x ∂y
∂p =0 ∂y
(7-2-8)
除以dx，得到
dp ∂p ∂p dy = + dx ∂x ∂y dx
(7-2-9)
7-2
边界层分析
从动量力程的数量级分析．考虑压力项与摩擦项平衡，如方程(72-5) 有 ηU ∂p ↔ 2∞ ∂x δ (7-2-10) 类似地，由方程(7-2-6)得 ∂p ηv ↔ 2 ∂y δ (7-2-11) 现考虑方程(7-2-9)的右侧第二项的数量级
u=U ∞ , v = 0, p = p, t = t∞
∂u ∂v + =0 ∂x ∂y
可知
U∞ V → L δ
(7-2-3) (7-2-4)
V →δ
U∞ L
7-2
边界层分析
考虑边界层内x 方向的动量方程
∂v ∂v 1 ∂p ∂ 2v ∂ 2v u +v = − +ν ( 2 + 2 ) ρ ∂x ∂x ∂y ∂x ∂y
Nu ~ Pr1 2 Re L1 2
u ~ U∞ δt δ
(7-2-30)
7-2
边界层分析
δt
L ~ Pr −1 3 Re L −1 2
将式(7-2-29 )代入式(7-2-24 ) ，得到
(7-2-31)
与式(7-2-20 )比较，可知
δt ~ Pr −1 3 1 δ (7-2-32) 类似地可以得到大Pr 数下对流换热表面传热系数和努塞尔数的变 化规律：
U∞
U∞ U∞ ,v L δ
P U∞ U∞ ,v ,v ρL L δ
U∞2 在上式中，惯性力项均为 ，不能忽略任一项。但在边界层区 L ∂ 2u
域，δ <<L，对于粘性力项，与 是x方向的动量方程即式(7-l-2 )简化为
∂u ∂u 1 ∂p ∂ 2u u +v =− +ν 2 ρ ∂x ∂x ∂y ∂y
高等传热学内容
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 导热理论和导热微分方程 稳态导热 非稳态导热 凝固和熔化时的导热 导热问题的数值解 对流换热基本方程 层流边界层的流动与换热 槽道内层流流动与换热 湍流流动与换热
第十章 自然对流 第十一章 热辐射基础 第十二章 辐射换热计算 第十三章 复合换热
第七章 层流边界层的流动与换热
上一章从质量、动量和能量守恒出发，建立了对流换 热的数学描述。但是，由于方程的强非线性，得到这 些偏微分方程的分析解通常是十分困难的，只有极个 别的问题采用经典方法得到了分析解。
本章讨论边界层理论，导出边界层微分力程，它是基 于守恒原理的数学近似，为求解实际问题大大简化了 数学方程组。有关边界层微分方程的经典解法 —— 相 似解，在本章中给予详细讨论，同时，对求解简单积 分方程的方法进行介绍。
7-2
边界层分析
图7-3 外掠平板的温度边界层
7-2
边界层分析
7-2-3 边界层微分方程组
在主流区 (7-2-1) 用δ表示速度u由壁面处的u= 0 变化到接近主流速度U∞的距离的数 量级。在边界层区域，可以得到如下数量级关系： x～ L ，y～δ，u～U∞ (7-2-2) 在包含边界层的δ×L区域，考虑连续性方程
dp∞ v、t三个未知量， 可由主流伯努利方程得到。与粘性流体的微 dx
∂t ∂t ∂ 2t u +v = a 2 ∂x ∂y ∂y
分方程组相比，边界层微分方程组容易求解。
7-2
边界层分析
τ↔
7-2-4 边界层流动与传热分析
ηU ∞ (7-2-17) δ 对于具有均匀压力的自由流，dp∞ = 0 ，根据边界层的动量方程(72-15)有惯性力项～摩擦力项 dx U∞2 U v ∞ (7-2-18) L δ2 式(7-2-18)要求 vL 1 2 δ ( ) (7-2-19) U∞ 即 δ −1 Re L 2 (7-2-20) L 式中ReL是基于流动方向长度的雷诺数。
7-1 对流换热中的根本问题
边界条件为： 壁面处 u = 0，非滑移界面 v = 0，无渗透表面 T = Tc，常壁温 远离壁面处 u＝U∞，均匀流 v = 0，均匀流 T = T∞，均匀温度 求解以上方程组，可以得到速度场和温度场，利用粘 性定律可以得到表面摩擦阻力，利用傅里叶定律可以 得到壁面处的热流密度。
dp∞ ∂p = dx ∂x
(7-2-14)
将方程(7-2-14 )代入方程(7-2-5)得
∂u ∂u 1 dp∞ ∂ 2u u +v =− +ν 2 ∂x ∂y ∂y ρ dx
(7-2-15)
类似地分析可以得到边界层能量方程 (7-2-16) 式(7-l-1)、(7-2-15 )和(7-2-16)称为边界层微分方程组，它只包含u、
∂ 2u ∂y 2 相比， ∂x 2 可以忽略不计，于
(7-2-5)
7-2
边界层分析
∂v ∂v 1 ∂p ∂ 2v u +v = − +ν 2 ρ ∂y ∂x ∂y ∂y
类似分析可以得到边界层内y方向的动量方程 (7-2-6)
通过数量级分析可以得到
(7-2-7) 因此，通常在边界层流动中(特别是层流)不讨论方程(7-2-6) ，但 它对边界层内的压力分析提供了帮助。 也可以通过以下分析简化压力项。考虑图7-l 所示的边界层内任一 点的压力的全微分
τ
无量纲摩擦系数
1 取决于雷诺数，即 ( ρU ∞ 2 ) −1 2 C ~ Re 2
1 L
(7-2-22)
分析基于热边界层厚度的换热方程，有
h~
λ ( ∆t δ t )
∆t
~
式中， t = tw − t∞ 表示边界层的温度变化。 ∆
λ δt
(7-2-23)
7-2
边界层分析
考虑边界层能量方程各项的数量级： 对流项～导热项 ∆t ∆t ∆t u ,v ~ a 2 δ t L δt (7-2-24) 若热边界层厚度远大于速度边界层厚度，δt >>δ，则速度边界层 外的速度u 等于主流速度U∞，得到该区域的速度 v ~ U δ 。 L
7-2
边界层分析
上一节给出的二维稳态常物性的数学方程是一组非线性偏微分方 程，除极少数简单状况外，通常不能得到分析解。1904 年，普朗 特提出的边界层理论大大简化了纳维-斯托克斯方程，使许多工程 间题得到了有效的解决。
7-2-1 速度边界层
通过实验观察可以发现，流体流过平板时，由于流体粘性的作用， 在壁面处流体的速度为零，在垂直于流动方向的很短距离内，速 度迅速增加到接近主流速度（即速度梯度主要出现在靠近壁面的 区域）。边界层理论认为，只在贴壁处的薄层内考虑粘性的影响， 此薄层称为速度边界层，如图7-2 所示。
7-3-1 外掠平板层流边界层流动和换热的相似解
1. 布劳修斯解 上节边界层分析给出了边界层微分方程组，在一定条件下，通过 不同方式可以获得解，本书采用相似变换求解，也称相似解。相 似解的核心是经过选择合适的相似变量，将偏微分方程转化为常 微分方程。1908 年，布劳修斯采用无量纲流函数及无量纲坐标， 求解了外掠平板层流边界层流动的偏微分方程，如图7-4 所示， 边界层内流动方向的速度从壁面处为零一直变化到远离壁面处的u = U∞。尽管边界层内速度分布不相似，但不同x处的速度变化范围 是相同的, 即速度分布被伸展。
流动摩擦阻力
7-2
边界层分析
−1 2
式(7-2 -20)的意义在于，它指出了只有 Re L << 1 的情形，边界层 理论才有效。例如，在边界层的前缘， Re −1 2 不会远小于1，故边 L 界层理论不适用。 式(7-2-17)可改写为 U∞ −1 −1 2 2 τ η Re L ρU ∞ Re L 2 L (7-2-21)
7-2
边界层分析
图7-2 外掠平板的速度边界层
7-2
边界层分析
通常定义边界层的外缘为速度达到主流速度的99％处，即u = 0.99U，U 表示主流速度。在y＝δ以外区域，粘性的影响由于速度 梯度很小而忽略不计，按理想流体处理。边界层理论将流场分为 两个区域。其一是流体粘性起主要作用的边界层区。此区域中垂 直于主流方向的速度梯度很大，尽管介质的粘性较小，但粘性切 应力很大，动量传递主要依靠分子扩散，认为边界层外缘的速度 已达到主流速度，此处横向速度梯度接近于零。另一区域是边界 层外的流动，该区域中流体的速度梯度接近于零，粘性力可以忽 略不计，按无粘性的势流处理，符合伯努利方程。严格地讲，边 界层区与主流区无明确的分界面，按实际壁面粘性滞止作用的影 响区，其边界应在无限远处。因此，边界层是一种人为引进的理 想化概念。 边界层的另一重要特点是其厚度δ远远小于平壁的长度L ，即占 δ<<L。理论上讲，在平板前缘边界层理论并不成立，在以后的分 析中不难得到此结论。 此外，边界层内的流动也分为层流区、湍流区和缓冲层区，这些 在流体力学和基础传热学中已有详细介绍，这里不再重复。
7-1 对流换热中的根本问题
工程上经常遇到的典型对流换热的外部问题，如图7-1 所示，流体以均匀的速度u∞和温度T∞流过温度为Tc的 平板。这种换热表面可以是建筑围护结构、电于器件 冷却表面，也可以是换热器的表面或肋表面。工程中 需要了解以下两个问题： (1) 介质中平板的受力情况。 (2) 平板与介质的换热情况。 对第一个问题的分析，可以得到流动的阻力(压力损失)， 也就是维持流动所需要的泵功率或能耗。这是流体力 学与工程热力学应用于传热过程的问题。通过对第二 个问题的回答，可以预测平板与介质之间的传热速率， 这是传热学的根本问题。
h~
λ
L
Pr1 3 Re L1 2
，Pr>>1
(7-2-33)
Nu ~ Pr1 3 Re L1 2 ，Pr>>1 (7-2-34) 在边界层内，惯性力与粘性力始终是平衡的，Re反映的是一个几 何尺寸特性一边界层的厚度与流动长度的比值[见式(7-2 - 20 )]。
7-3 层流边界层流动和换热的相似解
7-2
边界层分析
7-2-2 温度边界层
与速度边界层类似，当具有均匀温度的流体流过一壁面时，若壁 面温度与流体温度不同，流体温度将在靠近壁面的一个很薄的区 域内从壁面温度变化到主流温度，该层称为温度边界层，或热边 界层。热边界层厚度用δt表示，如图7-3 所示，通常规定其边界在 垂直于流动方向流体温差t∞－t 等于0.99(t∞－tw)处，t∞表示主流温 度，tw表示壁面温度。在温度边界层内，温度梯度很大，而其外 部温度梯度很小可以忽略不计，即热边界层外可近似按等温区处 理。热边界层厚度与流动方向的尺寸相比也是小量。速度边界层 厚度通常不等于温度边界层厚度，两者的关系通常取决于流体的 热物性。
∂u ∂u 1 ∂p ∂ 2u ∂ 2u u +v =− +ν ( 2 + 2 ) ρ ∂x ∂x ∂y ∂x ∂y
∂v ∂v 1 ∂p ∂ 2v ∂ 2v u +v = − +ν ( 2 + 2 ) ∂x ∂y ∂x ∂y ρ ∂x
∂T ∂T ∂ 2T ∂ 2T u +v = a( 2 + 2 ) ∂x ∂y ∂x ∂y
∞
将其带入方程(7-2-24)，不难发现对流项主要由第一项控制，即
U ∞ ∆t L ~ a
进一步可以得到
∆t
δt 2
(7-2-25)
δt
L
~ Pe −1 2 ~ Pr −1 2 ~ Re L −1 2
(7-2-26)
7-2
边界层分析
其中 PeL = U ∞ L a 是贝克来数。比较式(7-2-20 )和式(7-2-26)可以 发现，温度边界层厚度与速度边界层厚度之间的关系取决于普朗特 数，即 δt ~ Pr1 2 δ (7-2-27) 低普朗特数(Pr<<1 )下的对流换热表面传热系数可以表示为 λ h ~ Pr1 2 Re L1 2 ，Pr <<1 (7-2-28) L 或表示为努塞尔数的形式： (7-2-29) 若速度边界层厚度远大于温度边界层厚度, 则温度边界层内的速度 可认为
7-1 对流换热中的根本问题
图7-1 沿平板流动的边界层速度和温度分别
Baidu Nhomakorabea
7-1 对流换热中的根本问题
可以通过实验的方法，也可以通过分析的方法得到以上问题的速 度分布和温度分布，进而获得流动阻力和热流密度。 以二维常物性不可压缩流体为例，控制微分方程组可由第六章中 的基本方程得到：
∂u ∂v + =0 ∂x ∂y
(∂p ∂x)( dy dx) vδ δ 2 ↔ ↔( ) = 1 U∞ L L ∂p ∂x
(7-2-12 )
比较方程(7-2-7 )右侧两项，得到
dp ∂p = dx ∂x
7-2
边界层分析
与式(7-2-7)一致。即边界层内的压力主要在x方向变化。任意x处， 边界层内的压力与边界层外缘处压力相同，即
dp = ∂p ∂p dx + dy ∂x ∂y
∂p =0 ∂y
(7-2-8)
除以dx，得到
dp ∂p ∂p dy = + dx ∂x ∂y dx
(7-2-9)
7-2
边界层分析
从动量力程的数量级分析．考虑压力项与摩擦项平衡，如方程(72-5) 有 ηU ∂p ↔ 2∞ ∂x δ (7-2-10) 类似地，由方程(7-2-6)得 ∂p ηv ↔ 2 ∂y δ (7-2-11) 现考虑方程(7-2-9)的右侧第二项的数量级
u=U ∞ , v = 0, p = p, t = t∞
∂u ∂v + =0 ∂x ∂y
可知
U∞ V → L δ
(7-2-3) (7-2-4)
V →δ
U∞ L
7-2
边界层分析
考虑边界层内x 方向的动量方程
∂v ∂v 1 ∂p ∂ 2v ∂ 2v u +v = − +ν ( 2 + 2 ) ρ ∂x ∂x ∂y ∂x ∂y
Nu ~ Pr1 2 Re L1 2
u ~ U∞ δt δ
(7-2-30)
7-2
边界层分析
δt
L ~ Pr −1 3 Re L −1 2
将式(7-2-29 )代入式(7-2-24 ) ，得到
(7-2-31)
与式(7-2-20 )比较，可知
δt ~ Pr −1 3 1 δ (7-2-32) 类似地可以得到大Pr 数下对流换热表面传热系数和努塞尔数的变 化规律：
U∞
U∞ U∞ ,v L δ
P U∞ U∞ ,v ,v ρL L δ
U∞2 在上式中，惯性力项均为 ，不能忽略任一项。但在边界层区 L ∂ 2u
域，δ <<L，对于粘性力项，与 是x方向的动量方程即式(7-l-2 )简化为
∂u ∂u 1 ∂p ∂ 2u u +v =− +ν 2 ρ ∂x ∂x ∂y ∂y
高等传热学内容
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 导热理论和导热微分方程 稳态导热 非稳态导热 凝固和熔化时的导热 导热问题的数值解 对流换热基本方程 层流边界层的流动与换热 槽道内层流流动与换热 湍流流动与换热
第十章 自然对流 第十一章 热辐射基础 第十二章 辐射换热计算 第十三章 复合换热
第七章 层流边界层的流动与换热
上一章从质量、动量和能量守恒出发，建立了对流换 热的数学描述。但是，由于方程的强非线性，得到这 些偏微分方程的分析解通常是十分困难的，只有极个 别的问题采用经典方法得到了分析解。
本章讨论边界层理论，导出边界层微分力程，它是基 于守恒原理的数学近似，为求解实际问题大大简化了 数学方程组。有关边界层微分方程的经典解法 —— 相 似解，在本章中给予详细讨论，同时，对求解简单积 分方程的方法进行介绍。
7-2
边界层分析
图7-3 外掠平板的温度边界层
7-2
边界层分析
7-2-3 边界层微分方程组
在主流区 (7-2-1) 用δ表示速度u由壁面处的u= 0 变化到接近主流速度U∞的距离的数 量级。在边界层区域，可以得到如下数量级关系： x～ L ，y～δ，u～U∞ (7-2-2) 在包含边界层的δ×L区域，考虑连续性方程
dp∞ v、t三个未知量， 可由主流伯努利方程得到。与粘性流体的微 dx
∂t ∂t ∂ 2t u +v = a 2 ∂x ∂y ∂y
分方程组相比，边界层微分方程组容易求解。
7-2
边界层分析
τ↔
7-2-4 边界层流动与传热分析
ηU ∞ (7-2-17) δ 对于具有均匀压力的自由流，dp∞ = 0 ，根据边界层的动量方程(72-15)有惯性力项～摩擦力项 dx U∞2 U v ∞ (7-2-18) L δ2 式(7-2-18)要求 vL 1 2 δ ( ) (7-2-19) U∞ 即 δ −1 Re L 2 (7-2-20) L 式中ReL是基于流动方向长度的雷诺数。
7-1 对流换热中的根本问题
边界条件为： 壁面处 u = 0，非滑移界面 v = 0，无渗透表面 T = Tc，常壁温 远离壁面处 u＝U∞，均匀流 v = 0，均匀流 T = T∞，均匀温度 求解以上方程组，可以得到速度场和温度场，利用粘 性定律可以得到表面摩擦阻力，利用傅里叶定律可以 得到壁面处的热流密度。
dp∞ ∂p = dx ∂x
(7-2-14)
将方程(7-2-14 )代入方程(7-2-5)得
∂u ∂u 1 dp∞ ∂ 2u u +v =− +ν 2 ∂x ∂y ∂y ρ dx
(7-2-15)
类似地分析可以得到边界层能量方程 (7-2-16) 式(7-l-1)、(7-2-15 )和(7-2-16)称为边界层微分方程组，它只包含u、
∂ 2u ∂y 2 相比， ∂x 2 可以忽略不计，于
(7-2-5)
7-2
边界层分析
∂v ∂v 1 ∂p ∂ 2v u +v = − +ν 2 ρ ∂y ∂x ∂y ∂y
类似分析可以得到边界层内y方向的动量方程 (7-2-6)
通过数量级分析可以得到
(7-2-7) 因此，通常在边界层流动中(特别是层流)不讨论方程(7-2-6) ，但 它对边界层内的压力分析提供了帮助。 也可以通过以下分析简化压力项。考虑图7-l 所示的边界层内任一 点的压力的全微分