10二项式定理计数概率与统计2016-2018年历年数学联赛真题WORD版分类汇编含详细答案

2016年~2018年全国高中数学联赛一试试题分类汇编

10、计数问题、概率与统计部分

2018A 3、将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是偶数的概率为 ◆答案：10

9 ★解析：先考虑def abc +为奇数时，abc ，def 一奇一偶，①若abc 为奇数，则c b a ,,为5,3,1的排列，进而f e d ,,为6,4,2的排列，这样共有3666=⨯种；②若abc 为偶数，由对称性得，也有3666=⨯种，从而def abc +为奇数的概率为

101!672=，故所求为10

91011=- 2018B 3、将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是奇数的概率为 ◆答案：10

1 ★解析：由def abc +为奇数时，abc ，def 一奇一偶，①若abc 为奇数，则c b a ,,为5,3,1的排列，进而f e d ,,为6,4,2的排列，这样共有3666=⨯种；②若abc 为偶数，由对称性得，也有3666=⨯种，从而def abc +为奇数的概率为

101!672=。

2017A 6、在平面直角坐标系xOy 中，点集{}1,0,1,|),(-==y x y x K ，在K 中随机取出三个点，则这三个点中存在两点距离为5的概率为 ◆答案： 7

4 ★解析：由题意得K 有9个点，故从中取出三个点共有8439=C 种。

将K 中的点按右图标记为O A A A ,,,,821 ，其中有8对点之间的距 离为5，由对称性，考虑取41,A A 两点的情况，则余下的一个点有

7种取法，

这样有5687=⨯个三点组（不考虑顺序）。对每个i A （8,,2,1 =i ），K 中恰有53,++i i A A

两点与之的距离为5（这里下标按模8可以理解），因而恰有{}53,,++i i i A A A 这8个三点组被计了两次，从而满足条件的三点组个数为48856=-，进而所求的概率为

748448=。

2017B 6、在平面直角坐标系xOy 中，点集{}1,0,1,|),(-==y x y x K ，在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离不超过2的概率为 ◆答案：14

5 ★解析：注意K 中共有9个点，故在K 中随机取出三个点的方式数为3984C =种，

当取出的三点两两之间距离不超过2时，有如下三种情况：

（1）三点在一横线或一纵线上，有6种情况，

（2）三点是边长为4416⨯=种情况，

（32的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于(0,0)的有4个，直角顶点位于(1,0)±，(0,1)±的各有一个，共有8种情况.

综上可知，选出三点两两之间距离不超过2的情况数为616830++=，进而所求概率为

3058414=.

2016A 4、袋子A 中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B 中装有4张5元纸币和3张1元纸币，现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A 中剩下的纸币面值之和大于B 中剩下的纸币面值之和的概率为 ◆答案：35

9 ★解析：一种取法符合要求，等价于从A 中取走的两张纸币的总面值a 小于从B 中取走的两张纸币的总面值b ，从而1055=+≤a b ，即从B 中取走的两张纸币不能都是1元纸币，相应有182327=-C C 种取法．因此，所求的概率为

35

92110541832725=⨯=⨯⨯C C ．

2016B 5、将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子E D C B A ,,,,中，恰有两个球放在同一盒子的概率为

◆答案：25

12 ★解析：样本空间中有35125=个元素．而满足恰有两个球放在同一盒子的元素个数为

223560.C P ⨯=过所求的概率为6012.12525

p ==

2015A 5、在正方体中随机取3条棱，他们两两异面的概率为 ◆答案：255

★解析：设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意取出3条棱的方法共有312C =220种．

下面考虑使3条棱两两异面的取法数．由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即 AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向．可先取定AB 方向的棱，这有4种取法．不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能．当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH ．由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求概率为

8222055

=．

2015B 8、正2015边形201521A A A ⋅⋅⋅内接于单位圆O ，任取它的两个不同顶点j i A A ,，

1≥的概率为 ◆答案：

6711007

★解析：因为||||1i j OA OA ==，所以 222||||||22(1cos ,)i j i j i j i j OA OA OA OA OA OA OA OA +=++⋅=+<>．

故1≥的充分必要条件是1cos ,2

i j OA OA <>≥-，即向量,i j OA OA 的夹角不超过

3

2π．对任意给定的向量i OA 1≥的向量可的取法共有： 22

2134232015ππ⎡⎤÷⨯=⎢⎥⎣⎦1≥的概率是：20151342671201520141007p ⨯==⨯．