不定积分的代数解法_郑华盛

第 １ 期 郑华盛 ： 不定积 分的 代 数解 法 其中 Ｃ 为任意常数 ． ） 证 （ 由已知 ， 有 ｉ ， ＝ｐ ＝ ＋ ＋…＋ Ｄ ｘ） ｘ） ａ ｘ） ａ ｘ） ａ ｘ） ′ ｐ１（ ｐ ｐ ｐ １（ １ １（ ２ ２（ ｎ １ ｎ（ １ １ ， ′ Ｄ ｘ） ｘ） ａ ｘ） ａ ｘ） ａ ｘ） ＝ｐ ＝ ＋ ＋…＋ ｐ ｐ ｐ ｐ２（ ２（ １ １（ ２ ２（ ｎ ２ ｎ（ ２ ２ …… ＝ｐ ＝ ＋ ＋…＋ ． ′ Ｄ ｘ） ｘ） ａ ｘ） ａ ｘ） ａ ｘ） ｐ１（ ｐ２（ ｐｎ （ ｐｎ （ ｎ（ １ ｎ ２ ｎ ｎ ｎ 即 ， ， …， ） ， ， …， ） Ｄ（ ｘ） ｘ） ｘ） ｘ） ｘ） ｘ） Ａ， ＝（ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ １（ ２（ ｎ（ １（ ２（ ｎ（ 其中 Ａ＝ （ ａ ｉ ｎ×ｎ ． ｊ） （ ）若 Ｄ ， ， …， 则由 ｘ） Ｄ ｘ） Ｄ ｘ）线性无关 ， ｉ ｉ ｐ１（ ｐ２（ ｐｎ （
ｘ α ｘ α ｔ ｔ
法求解即可 ． 类型二 ｃ ｓ ｄ ｘ， ｓ ｃ ｄ ｘ， ｓ ｓ ｄ ｘ 及 ｃ ｃ ｄ ｘ 型 积 分 （其 中 ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｏ ｓ ｉ ｎ ｉ ｎ ｏ ｓ ｉ ｎ ｉ ｎ ｏ ｓ ｏ ｓ α α α α β β β β
∫
∫
∫
∫
α ≠ β ）
其中 α ≠ β ． 例 ２ 求 ｃ ｘ ｓ ｄ ｘ， ｘ ｏ ｓ ｉ ｎ α β 解 设 ｆ（ ｘ ，则 ｘ）＝ ｃ ｓ ｘ ｏ ｓ ｉ ｎ α β ｘ ＋βｃ ｘ， ｘ）＝－αｓ ｘ·ｓ ｘ·ｓ ′（ ｉ ｎ ｉ ｎ ｏ ｓ ｉ ｎ α α ｆ β β 可知选取基函数 且由 ｓ ｓ ｓ ｘ ｘ ｘ 及ｃ ｘ 求导后的表达式 ， ｉ ｎ ｉ ｎ ｏ ｓ ｉ ｎ α α β β
∫
∫
∫
计算量 ， 但思路清晰 ， 不难计算 ， 而且无需应用积化和差公式 ．
第 １ 期 郑华盛 ： 不定积 分的 代 数解 法
１ ８
∫ 例 ３ 求 ｘ ｅ ｄ ∫ ｘ．
２ ３ ｘ
ｘ α 类型三 Ｐｍ （ 其中 Ｐｍ （ ｘ） ｄ ｘ 型积分 （ ｘ）为 ｘ 的 ｍ 次多项式 ） ｅ ．
∫
ｘ）＝ ｃ ｓ ｘ）＝ ｓ ｃ ｘ ｘ ｘ， ｘ， ｏ ｓ ｉ ｎ ｉ ｎ ｏ ｓ α ｐ α ｐ １（ ２（ β β ｘ， ｐ ｘ， ｘ）＝ ｓ ｓ ｘ）＝ ｃ ｃ ｘ ｘ ｉ ｎ ｉ ｎ ｏ ｓ ｏ ｓ α α ｐ ３（ ４（ β β
则有 ， ， ， ）＝ （ ， ， ， ） ′ ′ ′ ′ Ｄ（ ｘ） ｘ） ｘ） ｘ） ｘ） ｘ） ｘ） ｘ） ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ １（ ２（ ３（ ４（ １（ ２（ ３（ ４（ ， ， ， ） ｘ） ｘ） ｘ） ｘ） Ａ， ＝（ ｐ ｐ ｐ ｐ １（ ２（ ３（ ４（ 其中
ｘ， ｘ， ｘ） ｘ） ＝ｅ ｃ ＝ｅ ｓ ｏ ｓ ｉ ｎ ｐ ｐ １（ ２（ β β
则有 ， ） ， ） ， ） ′ ′ Ｄ（ ｘ） ｘ） ｘ） ｘ） ｘ） ｘ） Ａ， ＝（ ＝（ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ １（ ２（ １（ ２（ １（ ２（ α β １ α － β ， 其中 Ａ＝ 故由定理 １ 得 ．而 Ａ－１ ＝ ２ ２ ＋ α － α α β β β １ ｘ ｘ α α （ ｘ ｘ ＋β ｘ） ｅ ｃ ｄ ｘ＝ ２ ｅ ｃ ｓ ｏ ｓ ｏ ｓ ｉ ｎ ＋Ｃ ， α ２ β β β α ＋β １ ｘ ｘ α α （ ｅ ｓ ｄ ｘ＝ ２ ｅ ｃ ｓ ｘ ｘ ＋α ｘ） ｉ ｎ ｏ ｓ ｉ ｎ －β ＋Ｃ ． ２ β β β α ＋β
ｘ α
（
）
（
）
∫ ∫ 本文方法 可 同 时 求 出 ｅ ｃ 避 免 两 次 使 用 分 部 积 分 公 式． 类 似 地， 求 ｄ ｘ 及 ｅｓ ｄ ｘ 的 值， ｘ ｘ ｓ ｎ β β ∫ｏ ∫ｉ （ （ 只需作变换ｌ 即可化为 ｅ 按上述方 ｓ ｘ） ｘ和 ｃ ｘ） ｘ， ｘ ＝ｔ ， ｔ ｔ和 ｅ ｔ ｔ 型积分 ， ｄ ｄ ｄ ｄ ｉ ｎ ｌ ｎ ｏ ｓ ｌ ｎ ｎ ｉ ｎ ｏ ｓ ∫ ∫ ∫ｓ ∫ｃ
∫
ｂ ｎ 烆 ｊ烎
ｎ
因为 ｆ（ 于是有 ｆ（ ｘ） ｘ） ＝ ∈Ｗ ，
ｊ＝１
从而得 ｘ）， ∑ ｋｐ （
ｊ ｊ
ｂ １ ｊ 烄 烌
ｎ ｎ ｊ ｊ ｊ
１ ２
∫
ｘ） ｘ＝ ｄ ｆ（
ｊ＝１
， ， …， ） ｘ） ｘ＝ ∑ ｋ（ ｘ） ｘ） ｘ） ｄ ｐ（ ｐ（ ｐ（ ｐ（ ∑ｋ ∫
ｎ ｊ＝１
ｂ ２ ｊ
＋Ｃ．
第３ ０ 卷第 １ 期 ２ ０ １ ４年２月
大 学 数 学
Ｃ Ｏ Ｌ Ｌ Ｅ Ｇ Ｅ ＭＡＴＨＥＭＡＴ Ｉ Ｃ Ｓ
Ｖ ｏ ｌ ． ３ ０， №． １ Ｆ ｅ ｂ． ２ ０ １ ４
不定积分的代数解法
郑华盛
（ ） 南昌航空大学 数学与信息科学学院 ， 江西 南昌 ３ ３ ０ ０ ６ ３ 摘 要 ］ 基于积分运算是微分运算的逆运算 ， 利用线性代数方法 ， 提出了一种求解几类特殊函数不定积 ［ 分的新方法 ， 并结合实例验证了方法的有效性 ． ［ 关键词 ］ 不定积分 ；线性空间 ；线性变换 ；基函数 ；矩阵 （ ） ［ 中图分类号 ］Ｏ 文献标识码 ］Ｃ ［ 文章编号 ］１ １ ５ １． ２ ６； Ｏ １ ３ ［ ６ ７ ２ ４ ５ ４ ２ ０ １ ４ ０ １ ０ ７ ８ ６ １ ０ ０ － － －
２ ２
ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ α α α α α 且由 ｅ 解 设 ｆ（ ＝ｅ ＝ ′（ ｘ，则 ｆ ｘ－ ｘ， ｘ 及ｅ ｘ 求导后的表达 ｘ） ｃ ｘ） ｃ ｃ ｓ ｏ ｓ ｏ ｓ ｉ ｎ ｏ ｓ ｉ ｎ αｅ β β βｅ ｓ β β β
式， 可知选取基函数
８ ０
ｘ α
大 学 数 学 第 ３ ０卷
ｂ ｎ 烆 ｊ烎
定理 １ 给出了计算不定积分的一种代数解法 ， 它可以同时方便地求出 ｐ ｘ） ｘ（ ｎ） ｄ ． ２，…， ｊ＝１， ｊ（
∫
则只需求 Ａ－１ 的第ｊ 列即可 ． 及其分项的导数 形 若仅需计算某个 ｐ 具体计算时 ， 应根据 ｆ ｄ ′（ ｘ） ｘ， ｘ） ｊ（
∫
…， 式选取基函数 ｐ ｘ）， ｘ）， ｘ） ． ｐ ｐ １（ ２（ ｎ（
Ｄ－１ 满足
， ， …， ） ， ， …， ） Ｄ－１（ ｘ） ｘ） ｘ） ｘ） ｘ） ｘ） Ａ－１ ＋Ｃ， ＝（ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ １（ ２（ ｎ（ １（ ２（ ｎ（ 即
ｂ １ ｊ 烄 烌 ｂ ２ ｊ ， ， …， ） ＝ ｐ ｄ Ｄ－１ ｘ） ｘ） ｘ＝ （ ｘ） ｘ） ｘ） ＋Ｃ， ｎ． ２，…， ｐ ｐ ｐ ｐ ｊ＝１， １（ ２（ ｎ（ ｊ（ ｊ（
２ ２
α ｓ
烎
ｘ ｘ ｓ ｄ ｘ＝ ｏ ｓ ｉ ｎ α ｃ β
＝
∫
α （ ｘ） ＋β ＋Ｃ ｐ３ ｘ） ｐ４（ ｓ ｓ
１ （ ｘ ＋β ｘ） ｓ ｓ ｃ ｃ ｘ ｘ ｉ ｎ ｉ ｎ ｏ ｓ ｏ ｓ α α ＋Ｃ ． ２ ２ α β β α －β
虽然略有 本文解法还可以同 时 求 出 不 定 积 分 ｓ ｘ ｘ ｘ ｃ ｄ ｘ ，ｓ ｓ ｄ ｘ及 ｃ ｃ ｄ ｘ， ｘ ｘ ｘ ｉ ｎ ｏ ｓ ｉ ｎ ｉ ｎ ｏ ｓ ｏ ｓ α α α β β β
１ 主要结论
先给出有关分块矩阵逆的一个结论 ：
［ ］ ３－４ 引理 １ 设 Ａ＝
Ｂ Ｏ Ｏ Ｂ ， Ｇ＝ ［ ］ ］，其中 Ｂ，Ｄ 皆为可逆方阵 ，则 ［ Ｃ Ｄ Ｄ Ｏ Ｂ Ｏ Ｏ Ｄ ， Ａ ＝［ Ｇ ＝ ［ ］ ］． －Ｄ Ｃ Ｄ Ｂ Ｏ Ｂ
－１ －１ －１ －１ －１ －１ －１ －１
ｎ×ｎ （ ） ； ， ， …， ） ， ， …， ） 其中 Ａ∈Ｒ ｉ Ｄ（ ｘ） ｘ） ｘ） ｘ） ｘ） ｘ） Ａ， ＝（ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ １（ ２（ ｎ（ １（ ２（ ｎ（ （ ）若 Ｄ ， ， …， 则 Ａ 可逆 ； ｉ ｘ） Ｄ ｘ） Ｄ ｘ）线性无关 ， ｉ ｐ１（ ｐ２（ ｐｎ （ －１ ）若 Ａ 可逆 ， （ 则 不妨设 Ａ ＝ （ ｂ ｉ ｉ ｉ ｉ ｎ×ｎ ， ｊ）
下面利用线性代数中线性空间 与 线 性 变 换 的 概 念 ， 给 出 计 算 不 定 积 分 ｆ（ 主 ｘ） ｘ 的 一 种 新 方 法． ｄ 要结论如下 ：
∫
（ 定理 １ 设 Ｖ 为 Ｒ 上全体可微函数所组成的一个线性空间 ， ｘ） Ｖ ， ｉ ＝１， ｎ）， ｘ）， ２，…， ∈ ｐ ｐ ｉ（ １（ …， 线性无关 ， ｘ）， ｘ） ｐ ｐ ２（ ｎ（ （ ， ， …， ） ， Ｗ ＝Ｓ ｘ） ｘ） ｘ） ｘ） ａ ｎ ∈Ｗ ， ｆ（ ｐ ｐ ｐ ｐ １（ ２（ ｎ（ （ ） ， （ ） （ ） ， ， 且微分运算 Ｄ 关于 Ｗ 是封闭的 即 ｐ ｘ ∈Ｗ Ｄ ′ ｘ ∈Ｗ 则 ｐ ｘ ＝ｐ
２ ３ 解 设 ｆ（ ｘ）＝ ｘ ｅｘ ，则 ３ ｘ ２ ３ ′（ ｘ）＝ ２ ｘ ｅ ｘ ｅｘ ， ＋３ ｆ ３ ｘ ３ ｘ 且由 ｘ 及ｘ２ 求导后的表达式 ， 可知选取基函数 ｅ ｅ ２ ３ ｘ ３ ｘ ３ ｘ （ ） ， ， ｘ）＝ ｘ ｅ ｘ）＝ ｅ ｐ ｐ ｐ １ ｘ ＝ｘｅ ， ２（ ３（
２ 应用实例
为了验证本文方法的有效性 ， 我们计算以下五种类型的不定积分 ．
２ ２ ｘ ｘ α α ） 其中α 类型一 ｅ ｘ ｘ ｃ ｄ ｘ与 ｅ ｓ ｄ ｘ 型积分 （ ＋ ． ｏ ｓ ｉ ｎ β β β ≠０
∫ ∫ 其中α ＋ 例１求 ｅ ｃ ｘ ｄ ｘ， ｓ β β ≠０． ∫ｏ
ｘ α
α －βHale Waihona Puke Baidu烌 Ｏ Ｂ β －α Ａ＝ ． ＝ Ｄ Ｏ －α －β ０ ０ 烆β α ０ ０烎
０
烄０ ０
０
（ ）
－
而由引理 １， 得 烄０ ０ １ － 烄Ｏ Ｄ 烌 ＝ ＝ Ｂ－１ Ｏ 烎 α 烆 ｓ ０ ０ －β ｓ －
α ｓ
－ β烌 ｓ
Ａ－１
β ｓ
０ ０
α ｓ
０ ０
，
β 烆 ｓ
其中ｓ ＝α －β ，故由定理 １ 得
众所周知 ， 微积分学是高等数学的主要内容 ， 积分运算与微分运算二者互为逆运算 ．但积分的计 算 ］ 要比微分的计算更为复杂 ， 更为灵活 ， 更具有技巧性 ． 文献 ［ 对不定积分的一些基本计算方法作了较为 １ ］ 详细地介绍 ． 文献 ［ 从微分的角度研究了不定积分的解法 ． 本文主要从线性 代 数 的 角 度 研 究 如 何 求 解 ２ 不定积分 ， 进而探索新的积分方法 ， 提出一种计算不定积分的代数方法 ， 并成功地应用于求解高等数学 中几类特殊函数的不定积分 ．
７ ９
ｘ） ｘ） ｘ） ＋ ＋…＋ ＝０， λ λ λ ｐ１（ ｐ２（ ｐｎ （ １ ·Ｄ ２ ·Ｄ ｎ ·Ｄ 得λ 即 λ λ １＝ ２＝ … ＝ ｎ ＝０ ， ， ａ ａ ａ λ λ λ １ １＋ １ ２＋ … ＋ １ ｎ ｎ ＝０ １ ２ 烄
， ａ ａ ａ λ λ λ ２ １＋ ２ ２＋ … ＋ ２ ｎ ｎ ＝０ １ ２ 烅 …… ａ ａ ａ λ λ λ ｎ １ １＋ ｎ ２ ２＋ … ＋ ｎ ｎ ＝０ ｎ 烆 即 Ａ 可逆 ． 只有零解 ， 从而得 Ａ ≠０， ） （ ， 则在相差任意常数的情况下 ， 微分变换 Ｄ 可逆 ， 且其逆变换 ｂ ｉ ｉ 若 Ａ 可逆 不妨设 Ａ－１ ＝ （ ｉ ｉ ｎ×ｎ ， ｊ）
ｂ １ ｊ 烄 烌
ｎ ｊ ｊ ｎ ｊ
１ ２
， ， …， ） ｘ） ｘ＝ ∑ ｋ ｐ（ ｘ＝ ∑ ｋ（ ｘ） ｘ） ｘ） ｄ ｄ ｆ（ ｐ（ ｐ（ ｐ（ ∫ ∫ ｘ）
ｎ ｊ＝１ ｊ＝１
ｂ ２ ｊ
＋Ｃ，
ｂ ｎ 烆 ｊ烎
； 修改日期 ］２ 收稿日期 ］２ ０ １ ２ ９ ４ ０ １ ３ ９ ９ ０ ０ ０ ０ ［ ［ － － － － ， ） ；江西省学位与研究生教育 教 基金项目 ］ 江西省教育厅及南昌航空大学 ２ １ ８ １ ０ １ ３ 年度教改项目 （ Ｊ Ｘ Ｊ Ｇ ３ ８ Ｊ Ｙ １ ３ ２ ９ ［ － － － ） ；江西省教育厅及南昌航空大学研究生数值分析优质课程建设项目 ；南昌 学改革项目 （ Ｊ Ｘ Ｙ Ｊ Ｇ ０ １ ２ ７ ２ ２ ０ － － 航空大学优秀教学团队建设项目