不定积分的代数解法_郑华盛
不定积分的解法汇总
不定积分的解法汇总不定积分是微积分中的一个重要概念。
它是对函数的原函数进行求解的过程，也可以看作是对函数的不定积分运算。
不定积分的解法有多种，下面我们来汇总一些常见的解法方法。
1. 基本积分法。
基本积分法是一种最基本的解法方法，它是根据一些基本积分公式和常用的求导公式进行的。
2. 分部积分法。
分部积分法是一个将一个复杂的积分转化为一个简单积分的方法。
它是利用乘积的求导法则，将原积分转化为两个因子的积的积分。
4. 弧长参数化法。
在计算弧长或者曲面面积的问题中，可以使用参数的方法将弧长或者曲面面积表示为参数的函数。
然后就可以利用不定积分的方法进行求解。
5. 三角代换法。
三角代换法是一种将含有三角函数的积分转化为含有代数函数的积分的方法。
它通过选取适当的三角函数代换，将原积分转化为新的代数函数积分。
6. 偏微分方程法。
对于一些特定的函数形式，可以利用对应的偏微分方程进行求解。
这种方法主要用于求解一些特定形式的函数的原函数。
7. 凑微分法。
凑微分法是一种将原积分化为微分形式的方法。
它通过添加或者减去一个补充项，使得原积分可以表示为一个微分形式。
8. 特殊函数法。
特殊函数法是一种利用特殊函数的性质进行求解的方法。
对于含有指数函数、对数函数、反三角函数等特殊函数的积分，可以通过特殊函数的性质进行求解。
9. 极坐标变换法。
对于某些具有极坐标对称性的函数，可以利用极坐标变换进行求解。
这种方法主要用于求解平面曲线的面积或者弧长。
需要注意的是，不定积分的求解并不是一种机械性的运算，而是需要灵活运用不同的解法方法，并根据具体问题进行选择。
对于一些复杂的不定积分，可能需要结合使用多种解法方法，或者利用一些数值方法进行求解。
在实际应用中，可以根据具体情况进行选择。
以上就是关于不定积分的解法的汇总，希望能对您的学习和理解有所帮助。
一道不定积分的几种解法
一道不定积分的几种解法不定积分是微积分中的重要概念之一，求解不定积分可以通过多种方法进行，本文将介绍几种常见的不定积分解法。
一、直接求导法：这是求解不定积分最常用的方法之一，即利用导数的基本性质逆向求解原函数。
如果原函数的导数形式比较容易求解，那么通过对导数进行逆运算可以求得原函数。
求解∫(3x²+4x-5)dx，可以使用直接求导法求解。
对3x²+4x-5进行逐项求导，得到导数为6x+4。
然后，逆向进行求解，得到∫(6x+4)dx = 3x²+4x+C，其中C为常数。
二、换元法：换元法是一种常用的不定积分求解方法，通过适当的变量替换，将原函数化为容易求解的形式。
令u=2x+1，那么du/dx=2，即du=2dx。
然后，将原函数中的x用u替代，得到∫u²(1/2)du。
再然后，将原函数化为简单的形式进行求解，得到(1/2)u³/3 + C，其中C为常数。
将u替换回x，得到(1/6)(2x+1)³ + C。
根据分部积分法的公式∫u⋅vdx = uv - ∫vdu，选择x和sin(x)进行分解。
令u=x，dv=sin(x)dx，则du=dx，v=-cos(x)。
代入公式，得到∫x⋅sin(x)dx = -x⋅cos(x) - ∫(-cos(x))dx。
进一步化简，得到∫x⋅sin(x)dx = -x⋅cos(x) + ∫cos(x)dx。
对于∫cos(x)dx，直接求解得到sin(x)。
所以，最终结果为∫x⋅sin(x)dx = -x⋅cos(x) + sin(x) + C，其中C为常数。
分部积分法适用于原函数可以分为两部分的情况，通过运用公式将原函数进行分解，并利用简单的积分结果进行计算，得到最后的结果。
令x=tanθ，那么dx=sec²θdθ，以及1+tan²θ=sec²θ。
然后，将原函数进行代换，得到∫sec⁴θdθ。
浅谈不定积分的解法
vdu vdu 较容易求
在使 用第二 类换元 积分法 时，应满 足的条 件是（ 1） x= (t ) 可导 ， ， ( t) 连续且 ， (t ) 0 （2） x= ( t ) 存在反函 数 1 t= ( x) 第 二类 换元 积分 法的 关 键是 寻找 一个 恰当 的变 量 代 换，以达 到积分的目的，此法没有 一般的规律可循，但被 2010 2
EXPLORATION
探 索
浅谈不定积分的解法
■
中图分类号：O175
王晗宁
南京晓庄学院数学与信息技术学院
文献标识：A 文章编号：1006-7833( 2010) 02-341-02
积函数中含有根式时， 而通过代换可以消除根式的情况下， 可采用第二类换元积分法 常用的有以下几种代换： n （ 1 ） 简 单 的 根 式 变 换 例 如 R( x, ax b )dx, 可 令 n x x 6dx = ax b =t ； 求 x x 6 dx ， 可 令 x 6 =t
f [ ( t)] ， ( t) dt ，且容易套用公式积分出 F（x）+C，最后用
(t 2 1) t 2 1 tdt t t2 1
2) 1 x2ຫໍສະໝຸດ 解法 5.用双曲代换 令 x=sht dx=chtdt
x3 1 x
2
dx
sh3t cht
chtdt
sh3tdt
1 3
ch3t cht
c
1 3
cht(ch2t 3) c
x3 1 x
2
x2 1 x2 dx x2 ( x2 1)
[
x2 1 x (x2 1)
2
x2 ]dx x ( x2 1)
2
(
1 x2
不定积分的解法汇总
不定积分的解法汇总不定积分是微积分的重要概念之一，也是求解函数的反导函数的方法。
不定积分有许多不同的解法，下面将对一些常见的方法进行汇总和介绍。
一、幂函数的不定积分法：幂函数是指形如x^a的函数，其中a为常数。
对于幂函数的不定积分，可以根据幂函数的形式和大小分为以下几种情况：1. 如果a不等于-1，则不定积分为x^(a+1)/(a+1) + C，其中C为常数。
2. 如果a等于-1，则不定积分为ln|x| + C，其中C为常数。
此时，需要注意被积函数在x=0处不可导。
四、代换法：代换法也是求解不定积分的常用方法之一。
代换法的基本思路是通过进行变量代换，将原有的被积函数转化为一个容易求解的形式。
常用的代换方法有：1. 反三角函数代换法：当被积函数中含有三角函数的平方和根号时，可以尝试进行反三角函数代换。
当被积函数中含有根号(1-x^2)时，可以尝试进行代换x=sin(t)。
通过对x和t进行代换和变换，将原有的积分转化为一个更简单的形式进行求解。
2. 指函数代换法：当被积函数中含有指数函数的形式时，可以尝试进行指函数代换。
当被积函数中含有e^(x^2)时，可以进行代换x=t^2，从而将原有的积分转化为一个更容易求解的形式。
3. 三角函数代换法：当被积函数中含有三角函数的乘积或和差时，可以尝试进行三角函数代换。
当被积函数中含有sin(x)cos(x)时，可以进行代换t=sin(x)或t=cos(x)，从而将原有的积分转化为一个更简单的形式进行求解。
五、分部积分法：分部积分法是求解不定积分的常用方法之一。
分部积分法的基本思路是通过对积分中的一个函数进行求导，而对另一个函数进行积分，从而将原有的积分转化为两个函数的乘积形式进行求解。
分部积分法的公式为：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx，其中u(x)和v(x)是可导函数。
分部积分法常用于求解含有指数函数、对数函数、三角函数等的积分。
不定积分解法总结
不定积分解法总结不定积分（即原函数）是微积分中的一个重要概念，它用于求函数的积分。
与定积分不同，不定积分不需要明确的区间范围，因此结果是一个常数加上一个关于变量的函数。
不定积分的解法非常多样化，下面我将总结一些常用的不定积分解法。
1.代数法则代数法则是解决不定积分的最基本的方法之一、根据代数法则，我们可以将一个复杂的函数分解成几个简单的函数的和或者乘积，然后分别对这些简单函数求不定积分。
常用的代数法则包括：- 常数法则：∫c dx = cx + C (其中c是常数，C是任意常数)- 基本运算法则：∫(f(x) ± g(x)) dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx2.数量积分法对于形如f(g(x))g'(x)的积分，可以使用数量积分法进行求解。
该方法的基本思想是将f(g(x))g'(x)中的g'(x)看作f(g(x))的导数，然后根据不定积分的定义找到f(g(x))的原函数。
3.换元积分法换元积分法是解决不定积分的重要方法之一，它通过引入一个新的变量来简化积分。
换元积分法的基本思想是将被积函数中的一个变量用另一个变量表示，然后根据链式法则进行求解。
4.分部积分法分部积分法是求解不定积分的常用方法，它将被积函数进行分解，然后将积分号移至其中一个分解函数上。
该方法的基本思想是利用乘积的导数公式来简化积分。
5.偏导数积分法偏导数积分法是解决不定积分的一种特殊方法，适用于一些特殊的函数形式。
该方法的基本思想是将一个多元函数对一个变量的偏导数看作另一个变量的导数，并进行相应的求导运算。
6.牛顿-莱布尼茨公式7.三角换元法三角换元法是解决含有三角函数的不定积分的一种方法。
该方法的基本思想是将三角函数用三角恒等式表示成另一个三角函数，然后利用换元积分法进行求解。
8.分式分解法分式分解法适用于含有分式的不定积分，它将分式分解成几个简单的分式的和或者乘积，然后分别对这些简单的分式进行不定积分求解。
高等数学(第三版)课件：不定积分的积分方法
还应注意到，在换元—积分—还原的解题过程中,关 键是换元,若在被积函数中作变量代换 j(x) = u,还需要在
被积表达式中再凑出 j '(x)dx 即 dj(x),也就是 du ,这样才能
以u为积分变量作积分,也就是所求积分化为
f j(x)dj(x) f (u) du Fj(x) C
在上述解题过程中u可不必写出，从这个意义上讲，第 一换元积分法也称为“凑微分”法.
式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后， 还要
将 t j1(x) 代回.还原成x的函数，这就是第二换元
积分法计算不定积分的基本思想.
定理2 设 x j(t) 是单调可导的函数，且
j(t) 0. 如果 f j(t)j(t) dt F(t) C,
则有
f (x) d x f j(t)j(t) d t F(t) C
3
1
2x
dx
1 u
1 2
du
=
1 2
1 du u
12 u C 2
3 2x C.
例4 求 x x2 4 dx.
解 令u x2 4，则du 2xdx，则
x
x2
4dx
1 2
udu
12 3
= 2 3u2 C
1 3
(
x2
3
4)2
C.
例5
求
(lnx)2
dx x
解 1 dx d(ln x)， x
= sect dt
= ln | sect tant | C.
x
x2 a2
t
a
根据sec t x ,利用图所示三角形，易得 a
对边 tan t 邻边
x2 a2 ， a
不定积分求解方法及技巧
不定积分求解⽅法及技巧不定积分求解⽅法及技巧⼩汇总摘要：总结不定积分基本定义，性质和公式，求不定积分的⼏种基本⽅法和技巧，列举个别典型例⼦，运⽤技巧解题。
⼀．不定积分的概念与性质定义1如果F（x）是区间I上的可导函数，并且对任意的x∈I，有F’(x)=f(x)dx则称F（x）是f(x)在区间I上的⼀个原函数。
定理1（原函数存在定理）如果函数f(x)在区间I上连续，那么f(x)在区间I上⼀定有原函数，即存在可导函数F（x），使得F（x）=f(x)（x∈I）简单的说就是，连续函数⼀定有原函数定理2设F（x）是f(x)在区间I上的⼀个原函数，则（1）F（x）+C也是f(x)在区间I上的原函数，其中C是任意函数；（2）f(x)在I上的任意两个原函数之间只相差⼀个常数。
定义2设F（x）是f(x)在区间I上的⼀个原函数，那么f(x)的全体原函数F（x）+C称为f(x)在区间I上的不定积分，记为?f(x)d(x),即?f(x)d(x)=F(x)+C其中记号?称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)d(x)称为被积表达式，x称为积分变量，C称为积分常数。
性质1 设函数f(x)和g(x)存在原函数，则?[f(x)±g(x)]dx=?f(x)dx±?g(x)dx.性质2设函数f(x)存在原函数，k为⾮零常数，则?kf(x)dx=k?f(x)dx.⼆．换元积分法的定理如果不定积分?g(x)dx不容易直接求出，但被积函数可分解为g(x)=f[?(x)] ?’(x).做变量代换u=?(x),并注意到?‘（x）dx=d?(x),则可将变量x的积分转化成变量u的积分，于是有?g(x)dx=?f[?(x)] ?’(x)dx=?f(u)du.如果?f(u)du可以积出，则不定积分?g(x)dx的计算问题就解决了，这就是第⼀类换元法。
第⼀类换元法就是将复合函数的微分法反过来⽤来求不定积分。
定理1 设F(u)是f(u)的⼀个原函数，u=?(x)可导，则有换元公式f[(x)] ’(x)dx=f(u)du=F(u)+C=F[(x)]+C.第⼀类换元法是通过变量代换u=?(x),将积分?f[?(x) ?’(x)dx化为?f(u)du.但有些积分需要⽤到形如x=?(t)的变量代换，将积分?f(x)dx化为?f[?(t)] ?’(t).在求出后⼀积分之后，再以x=?(t)的反函数t=?1-(X)带回去，这就是第⼆类换元法。
不定积分的计算方法
不定积分是微积分中的重要概念之一，它可以用来求函数的原函数。
在求不定积分时，我们主要使用的是一些基本的计算方法，如换元法、分部积分法和常数因子法等。
接下来，我们将逐一介绍这些方法。
首先是换元法。
它是利用导数和基本积分公式的逆运算，将积分转化为“求导”的逆运算。
具体步骤为：先选择一个合适的变量代换，使被积函数简化或形式明显，然后求出变量代换的导数，带入积分式中进行计算，最后用原变量表示出结果。
其次是分部积分法。
该方法适用于一些具有乘积形式的被积函数。
分部积分法的基本思想是将被积函数中的乘积分解成两个函数的乘积，然后通过部分积分公式将积分转化成一个普通的不定积分。
具体步骤为：选择一个作为“u”的函数，找到它的导函数“du”，同时选择另一个作为“dv”的函数，“v”为“dv”的不定积分。
然后，利用分部积分公式进行计算，得出最终结果。
分部积分法常被用于求含有幂函数、指数函数、三角函数和对数函数等的不定积分。
最后是常数因子法。
该方法适用于一些被积函数中存在常数因子的情况。
常数因子法的基本思想是将常数提取到积分外面，然后对去除了常数因子的函数进行不定积分。
具体步骤为：先提取出常数因子，“a”，然后将被积函数中除去常数因子的部分进行不定积分，最后将结果与常数因子相乘得到最终的结果。
除了上述方法，我们还可以利用一些基本的不定积分公式进行计算，如幂函数的不定积分公式、指数函数的不定积分公式、三角函数的不定积分公式等。
掌握这些公式，能够大大简化我们的计算过程。
在进行不定积分计算时，我们还需要注意一些特殊的情况。
例如，被积函数出现无界函数时，我们需要分段计算不定积分；当被积函数存在一些不连续点时，我们需要将积分区间分为多个相互不重叠的区间，并对每个区间进行计算；对于有理函数的不定积分，我们还需要进行分式分解，化简后再进行计算。
综上所述，求解不定积分的方法有很多种，我们可以根据具体情况选择合适的方法。
在实际应用中，往往需要运用多种方法相结合，以便更好地完成计算工作。
不定积分的求解方法及其拓展
不定积分的求解方法及其拓展摘要：数学分析是本科阶段数学专业的一门基础必修课，积分是数学专业学生的必修内容.在本科阶段求解不定积分的方法可归结为以下四种：直接积分法、第一换元法、第二换元法、分部积分法.其中第一换元法（凑微分法）、第二换元法和分部积分法是最主要的积分方法；而有理函数积分、三角有理式积分和简单无理函数积分是三类常见可积函数的积分.直接积分法运用于原函数是初等函数、且利用基本积分公式表和积分性质可以求出的不定积分.但是，不定积分的原函数不全是初等函数，所以我们还需继续探求其他的一些积分方法.换元法：分为第一类换元法和第二类换元法.第一类换元法也叫做凑微分法，当被积函数是复合函数时，我们可将中间变量进行“凑”微分，从而达到化简的目的；第二换元法较多的应用于无理函数的积分，通过变换去掉被积函数中的根号.对于同一个积分，可能存在着不同的代换法，究竟选用什么样的变化才能奏效，完全由被积函数的特点所决定，需要灵活考虑.而分部积分法主要用于被积函数式中含有对数函数、反三角函数、幂函数、三角函数或指数函数因子的情况.“有理函数积分法”和“第二类换元法”一样没有特别固定的套路，多凭借个人经验灵活应用.所以拿到不定积分的题目时，我们要分析题目属于上述五种类型中的哪一种.排除掉不可能的类型，再在可能的类型中进行筛选，直到两种或两种以下的解题方法后，再进行尝试.若用某种方法解题时，无论怎样解都解不出答案，那么可先检验自己有没有运算错误或是否选错了方法.总之，不定积分的题型千变万化，但只要掌握了上述四种解题方法，任何不定积分都不再是难题.关键词：不定积分、积分方法、常见积分、复杂积分从微分学的理论上讲，已知函数求它的导数和微分是需要解决的基本问题.而在实际应用中，很多情况需要使用微分法的逆运算——积分。
不定积分是计算定积分和重积分的基础，学好了不定积分往下的定积分和重积分也不会是难题.然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”. 但也并不是毫无解题规律可言.本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析.引言：函数f在区间I上的全体原函数称为f在I上的不定积分，记作∫?〖f(x)dx〗,其中∫? 称为积分号，f(x)dx为被积表达式，x为积分变量。
不定积分运算过程
不定积分运算过程嘿，朋友！咱们来聊聊不定积分运算这回事儿。
你知道吗？不定积分就像是一场寻找宝藏的冒险之旅。
有时候，你觉得自己迷失在那一堆复杂的式子和符号里，但只要坚持探索，就有可能发现那隐藏的宝贝。
比如说，简单的多项式的不定积分，这就像是在平地上走路，还算轻松。
可一旦遇到了三角函数、指数函数、对数函数之类的，那感觉就像是走进了荆棘丛生的小路，得小心翼翼，还得有耐心和技巧。
就像求\(x^2\)的不定积分，是不是很简单？结果就是\(\frac{1}{3}x^3 + C\)，这就好比是你知道目的地就在前方不远处，轻轻松松就能到达。
但要是遇到了\(\sin x\)的不定积分呢？这可就没那么直接了，得变成\(-\cos x + C\)。
这是不是有点像你要找的宝贝藏在一个隐秘的角落，得费点心思才能找到？还有啊，不定积分里的换元法，这可真是个神奇的法宝！比如说，求\(\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx\)，咱们令\(x = \sin u\)，一下子就把难题变得简单了。
这就好比你穿上了一双神奇的靴子，能跨越那些看似难以跨越的障碍。
分部积分法也是个厉害的招数。
就像\(\int x \cos x dx\)，通过分部积分，能让问题迎刃而解。
这是不是有点像你手中有了一把万能钥匙，能打开那扇紧闭的神秘之门？在做不定积分的时候，可不能粗心大意哟！一个小符号的错误，就可能让你离正确答案越来越远，就像在森林里走错了方向，越走越迷糊。
而且，要多做练习，就像练武一样，只有不断地切磋琢磨，才能让自己的功夫越来越厉害。
你想想，要是不练习，遇到难题不就抓瞎啦？总之，不定积分运算虽然有时候会让人头疼，但只要掌握了方法，有耐心，多练习，就一定能在这场数学的冒险中找到属于自己的宝藏！朋友，加油吧，相信你能在不定积分的世界里游刃有余！。
不定积分求解方法
换元积分法第一换元法定理1 设)(u f 具有原函数)(u F ，)(x u ϕ=可导，dx x du )(ϕ′=，则C x F C u F du u f dx x x f +ϕ=+==ϕ′ϕ∫∫)]([)()()()]([不难看出：第一换元法是复合函数求导法则的逆运算，)]([)(x d d dx x ϕ=ϕ′＝也是微分运算的逆运算，目的是将dx x )(ϕ′凑成中间变量u 的微分，转化成对中间变量的积分。
例1 求∫dx e x 3解 x e 3是一个复合函数中间变量x u 3=，dx x d du 3)3(==Q du dx 31=∴有C e C e du e dx e x u ux +=+==∫∫33313131 例2 ∫xdx 2cos解 令x u 2=，显然dx du 2=或du dx 21=，则 ∫∫+=+=⋅=C x C u u d u xdx 2sin 21sin 2121cos 2cos 在比较熟练后，我们可以直接将)(x ϕ作为中间变量，从而使运算更加简洁。
例3 ∫−dx x 5)23(解 如将5)23(−x 展开是很费力的，不如把23−x 作为中间变量，dx x d 3)23(=−Q 有C x x d x dx x +−=−⋅−−∫∫655)23(181)23(31)23()23(＝在上一讲例11～13学习了一种常见的题型，即∫∫+⋅+=+)(1)()(b ax d ab ax f dx b ax f例4 求∫xdx 2sin解 21111sin (1cos 2)cos 2sin 222424x xdx x dx dx xdx x C =−=−=−+∫∫∫∫例5 求∫−22x a dx )0(>a解 C axa x d ax x a dx +=−=−∫∫arcsin )()(11222例6 求∫+22xa dx)0(>a解 C a x a a x d ax a xa dx +=+=+∫∫arctan 1()(111222 例7 求∫−−122x x dx解)3141(71)4)(3()4()3(711212+−−=−+−−+⋅=−−x x x x x x x x QC x x x x d x x d x x dx ++−=++−−−=−−∴∫∫∫34ln 713)3(714)4(71122例8 ∫++17442x x dx解 222112111(tan()21441716(21)848241()4dx dx x x d arc C x x x x +===++++++++∫∫∫ 例9 ∫++41292x x dx解 C x x x d x x dx ++−=++=++∫∫)23(31)23()23(31412922注意：例4，例5，例6当被积函数分母是二次三项式时，针对根的情况的不同处理方法。
不定积分的基本解法
不定积分的基本解法摘 要 不定积分是考试中常考的内容之一，是学习以后知识和其他课程的基础，牢固掌握不定积分的基本解法是必要的。
关键词 不定积分 直接积分 换元积分 分部积分 引 言 不定积分是一元微积分中非常重要的内容之一，是积分学中最基本的问题之一，又是求定积分的基础，牢固掌握不定积分的理论和运算方法，不仅能使学生进一步巩固所学的导数和微分的概念，而且也将为学习定积分打好基础，因此切实掌握求不定积分的基本解法非常重要。
1． 直接积分法（1）若()()M x N x dx ⎰，其中M （x ）N （x ）是x 的一些幂代数和，这种类型的积分，首先将M(x)N(x)作积化为x 的某些幂的代数和，然后再积分。
例233(25)(25)(412525)x x x d x x x x d x ++-=+--⎰⎰=43254252x x x x C +--+ （2）拆（添）项法，化为一个有理分式的积分为简单的积分。
例 2222222211(1)(1)x x x dx dx x x x x +++=++⎰⎰=2222221[](1)(1)x x dx x x x x ++++⎰ =2211()1dx x x ++⎰=1arctan x C x-++ （3）三角函数变形法，主要用的三角函数公式有：22sin cos 1x x +=，22tan sec 1x x =-，22cot csc 1x x =-，sin 22sin cos x x x =，2222cos 2cos sin 2cos 112sin x x x x x =-=-=-2. 换元积分法2.1 湊微法设函数u ϕ(χ)=在所考虑区间内是可微的，且知dF(u)=f(u)d(u),则有'[]()[()]f x dx f x d ϕ(χ)ϕϕϕ(χ)==⎰⎰F [()]x ϕ+C例 2(2)2(1)d x x x d x +=+，则21(1)(2)2x dx d x x +=+故21((2)2x x x +=+⎰=3221(2)1212x x ++=3221(2)3x x ++C湊微法常用以下公式:1()dx d ax b a =+,212xdx dx =,211()dx d x x =-2d =,sin cos xdx d x =-cos sin ,x x xdx d x e dx de ==21arcsin ,arctan 1d x dx d x x==+ 2.2 代入法设函数()f x 连续，()x t ϕ=具有连续的导数，且'()0x ϕ≠，如果已知()()()'f t t d tG tC ϕϕ=+⎡⎤⎣⎦⎰,则有()()()()'1f x dx f t t dt G x C ϕϕϕ-⎡⎤==+⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰，其中()1x ϕ-是()x t ϕ=的反函数。
浅谈不定积分的解题方法
浅谈不定积分的解题方法本科学生毕业论文浅谈不定积分的解题方法摘要本文介绍求不定积分的若干方法：直接积分法，换元积分法，分部积分法和有理函数积分法等，结合实例讨论了这些方法在不定积分求解中的可行性.关键词：不定积分;直接积分法;还原积分发;分部积分法;有理函数积分法ABSTRACTThere are three solution of indefinite integration in this paper: direct integration, exchangeable integration, parcel integration. It discussed the feasibility which these ways in the solution of indefinite integration, combine with real examples.Key words: Indefinite integral; Direct integral method, Change yean integral method and the division of integral method1 引论微积分是高等院校的一门重要基础课程，当代著名数学家柯朗[1]曾指出微积分和数学分析是人类思维的伟大成果之一，它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等数学的一种特别有效的工具. 不定积分是数学分析的基本内容和主要内容，不定积分也是微分学和积分学的联系纽带. 不定积分的一个重要内容，不定积分的解法不像徽分法有一定的方法可循.求不定积分思维方灵活多样，它要根据不同题型特点采取不同的解法，不定积分运算是微分运算的逆运算. 下面把常用的不定积分的解法分类归纳，以便学生更好地掌握，求解不定积分的常规方法有：直接积分法，换元积分法，分部积分法和特殊积分法. 而实际运用中使用较多的是换元积分法和分部积分法，分部积分法是学生学习的一个难点, 掌握不定积分的解法比较困难，但是求导相对容易，因为只要熟记了基本初等函数的导数公式、掌握了导数的四则运算法则以及复合函数的求导法则，就可以求出任何函数的导数.可是不定积分就没有这么容易，第一是没有适用于一切初等函数不定积分的方法，第二是许多初等函数的原函数本身就不是初等函数, 而出现不定积分存在但是求不出来的情况.2 不定积分2.1不定积分的定义不定积分的定义[2]若在某以区间上()()'F x f x =则在这个区间上函数F(x)叫函数()f x 的原函数. 我们把函数()f x 的原函数的一般表达式称为()f x 的不定积分.记为()f x dx ⎰，亦即()()f x dx F x C =+⎰,其中()F x 是()f x 的一个原函数，C 为任意常熟，又称()f x 是被积函数，x 为积分变量，C 为积分常数，记号:为积分号.例1 求多项式的积分()2321x x dx -+⎰解 利用积分的运算法则,有原式23232x dx xdx dx x x x C =-+=-++⎰⎰⎰.3 直接积分法直接积分法[3]就是利用积分公式和积分的基本性质求不定积分的方法，直接积分法的关键是把被积函数通过代数或三角恒等变形，变为代数和，再逐项积分.直接积分法的关键[4]是： 熟练的掌握积分的基本公式和运算法则是关键,也是学习不定积分的基本要求，由于求不定积分和求导数互为逆运算，因此基本积分公式是与基本微分公式对应的积分公式 在基本微分公式较熟悉的前提下，基本积分公式是不难记住的 .例2 求2cot xdx ⎰分析：基本关系中没有关于2cot x 的积分，但是由于他相关的2csc x 积分,于是，把2cot x 来表示，然后代入公式：解 ()22cot csc 1cot xdx x dx x x C =-=--+⎰⎰.例3 求421x dx x +⎰ 解 原式()4232211111arctan 113x dx x dx dx x x x C x x +-==-+=-++++⎰⎰⎰. 例4 求2cos x xdx *⎰解 21cos 21cos 21sin 2cos 22224x x x x xdx dx dx dx x C +*==+=++⎰⎰⎰⎰. 例5 求cos 2cos sin x dx x x-⎰ 解 被积函数有不同三角函数sin ,cos x x 和cos 2x 可利用倍角公式为()22cos 2cos sin cos sin sin cos cos sin cos sin x x x dx x x dx x x C x x x x -==+=-+--⎰⎰⎰ .4 换元积分法换元积分法，就是通过适当的变量代换，把积分转化为积分表中的类型或容易积分的形式，换元积分法包括第一换元积分法及第二换元积分法.4.1 第一换元积分法第一换积分法[5]（又称凑微分法)在求积分()g x dx ⎰，如果它可()[]'()f h x h x dx ⎰的形式时，可作变量代换u=h(x)则()du h x dx =，此时[()]'()()f h x h x dx f u du =⎰⎰而()f u du ⎰又可直接积分得()F u C +，最后再将u 换回()h x 即可运算形式下:()[()]'()g x dx f h x h x =⎰⎰[()](())f h x d h x ⎰()F u C +()[()]F h x dh x C +第一换元积分法的关键[4]是将被积表达()g x dx 化[()]'()f h x h x dx ()[()]f h x dh x ⎰ 再选择变量代换()u h x =.第一换元积分法的关键[4]是:将被积表达式凑成两部分，一部分为复合函数，其中外函数为基本公式的一个函数类，另一部分为内数的微分，这里要注意系数的调整 .例6 求345dx x- 分析 ()()()123345454510a x d x x C --=--+⎰其中外函数为幂函数，内函数为45x -.解 原式()()2133134545(45)510x d x x C =--=--+. 凑微分法[6]可概述为：凑微分——()()u x dv x ；可积出，则积出；积不出，则分部——()()u x dv x 之不定积分等于()u x 与()v x 之积减去()u x 和()v x 交换位置的不定积分.注意：1 可积出（a ）x 幂函数与指数函数，对数函数，正弦函数，余弦函数之积的不定积分只须取x 的幂函数作即可积出.（b ） x 幂函数与反三角函数的积的不定积分只须取反三角函数作()u x 即可积出.(c) 指数函数同正弦正数、余弦函数之积的不定积分则可以任取一种函数()u x 即可积出.2 积不出多项式与指数函数,对数函数,正(余)弦函数,反三角函数的乘积的不定积分.例7 求()2351cos 4x x xdx ++⎰解 根据不定积分的运算性质,得()()()222sin 4351cos 43cos 45cos 4cos 4840532cos 425.16x x x xdx x xdx x xdx xdx x x x x C ++=++=+++++⎰⎰⎰⎰ 4.1.2 常用的凑微公式常用的凑微公式主要有：()1dx ax b a=+； ()1ln dx d x x=； ()x x e dx d e =；()cos sin xdx d x =；221csc sin dx xdx x=； 21arctan 1dx d x x ⋅=+.例8 21I dx x x =-⎰ 解 令sec x t =,则22sec tan ,1sec 1tan dx t tdt x t t =-=-=11arccos sec tan I c t tdt x==+⎰. 4.2 第二换元积分法一般地，如果在积分()f x dx ⎰中,令()x h t =，且可导()(),'0h x h x ≠, 则有()()()'f x dx f h t h t dt =⎡⎤⎣⎦⎰⎰若该式右端易求出原函数， 则得第二类换元法[7]积分公式()()()1f x dx h h x C -⎡⎤=+⎣⎦⎰其中()()1h x -为()x h t =的反函数,()()1t h x -= .第二类换元法关键：是要引入适当的新的积分变量，将原来的不定积分转化成为对新的积分变量的积分 然而,如何引入新的积分变量一般没有什么规律可循,只有一条大原则,就是引入新的积分变量后,要使新的不定积分比原来的不定积分较易求出 这样,问题也就比灵活,也比较困难 在教学时,我将这个问题作了一些归纳总结,如何引入新的积分变量可大致归结为下列三种方法.4.2.1根式代换法根式代换法[4]的原则是将被积函数中含有的某个根式作为一个新的积分变量,即将被积函数中含有的某个根式用一个新的积分变量代换后,使其在新的被积函数中不再含有根式.例9 求331dx x + 解 根据上述原则，须引进一个新的积分变量使其在新的被积表达式中不再含有根式，显然，只须引入变量331t x =+,令331t x =+()3211,3x t dx t dt =-= ()()(()2222233111113523115531t dx t dt t t C x x C t x -+==++=+++⎰.4.2.2 三角代换三角代换法[8]的原则是通过引入适当的三角代换把被积表达式中之根号去掉,转化成为三角有理函数之积分 被积函数中若含有根式)220a x a ->)220a x a +>)220x a a ->都可用三角代换法解决 三角代换法的一般方法如下:被积式含有的根式 三角代换()220a x a -> sin 22x a t t ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭ ()220a x a +>22x atgt t ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭ ()220x a a -> sec 0,22x a t t t πππ⎛⎫=<<<< ⎪⎝⎭s例10 求()220a x dx a ->解 令sin ,,22x a t t ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦,则cos dx a tdt =,于是()()22222222222222sin cos cos 1cos 22arcsin arcsin .22a a x dx a a t a tdt a tdt t dta x x a x a x x C a x C a a a -=-==+⎛-=+=+- ⎝⎭⎰⎰ 4.2.2 倒代换所谓倒数代换法[7]就是将积分变量用一个新的变量的倒数去代换，将其被积表达式化简 一般地，形如()220dx a xx a >±； ()2220dx a x x a >±；2dx x ax bx c ++； 22dx x ax bx c++；2ax bx cdx ++； 等积分均可作倒数代换x t =.例11 求()()()111nx n N x x +>∈+⎰解 令211,x dx dt t t==-原式()1211ln 11111n nnn t t dt dt t C t n t t --==-=-+++⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰⎰ 得 ()111ln 11n nC n x x x ⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭⎰. 5 分部积分法5.1分部积分法分部积分法[9]主要用于解决被积函数的两种初等函数的乘积或单一个函数(对数函数，反三角函数，初等函数)的不定积分的分部积分公式:()()()()()()u x dv x u x v x v x du x =-⎰⎰.5.2积分的关键选取哪个因子当作是键，选择不当不仅不会使积分由复杂到简单，反而更复杂 选要按以下顺序进行口(顺序在前者先选)对数函数、反三角函数、幂函数、指数函数、三角函数.例12 求ln x xdx ⎰分析 被积函数是幂函数与对数函数的乘积，由()u x 的选取顺序,()ln u x x =.解 原式2222211111ln ln ln ln 22224xdx x x x d x x x x C ==-=-+⎰⎰. 例13 求2xtg xdx ⎰分析 被积函数是幂函数与三角函数的乘积，由，的选取顺序，令解 原式()22211sec 1sec 2x x dx x xdx xdx xdtgx x C =-=-=-+⎰⎰⎰⎰222111cos 2cos 2xtgx tgxdx x C xtgx d x x C x =--+=+-+⎰⎰2211ln cos ln cos 22xtgx x x C atgx x x C =+-+=+-+ (12C C C =+).6 有理函数6.1有理函数有理函数[2]设P(x)和Q(x)是两个多项式，则成形如()()P x Q x 的函数为有理函数 如：222413221,,115x x x x x x x x -+++-+-等都是有理函数 下面为我们讨论有理函数的积分方法的一般方法. 6.2 分式有理函数把真分式分解为简单分实质和的方法归结起来，主要由以下两点：若Q(x)有一个k 重实根a ，则分解时必含有分式()()122kkA A A x a x a x a +++--- ,其中A 1,A ,2A k 为待定系数；(ii) 若Q(x)有一对k 重共轭复根和，这时Q(x)必有因子()2kx px q ++,其中()()22,40,x px q x x p q αβ++=---<则分解师比含有分式()()11222222x x kx kkB C B C B C x px q x px q xpx q ++++++++++++,其中1212,,,,,,,k k B B B C C C 都是待定系数 .由此可见，任何一个真分式都可以分解成若干个简单的部分分式之和，而这些简单分式不外乎以下四种类型：(1) Ax a-； (2)()()1,2,3,nAn x a =-；(3) 2Bx Cx px q +++；(4)()()21,2,3nBx Cn xpx q +=++.其中,,,,,A B C a p q 都是常数，并设二次三项式2x px q ++没有实根，即240p q -<于是，求任何一个真分式的不定积分问题也就化成以上四种类型的积分，现在，分别求出如下：(1)Adx x a-⎰这个积分早已会求，它是()ln Adx A x a C x a =-+-⎰(2 ()()1,2,3nAdx n x a =-⎰这个积分早已会求，它是()()()111,2,31nn AA dx C N n x a x a -=-+=---⎰(3)2Bx Cdx x px q+++⎰由2x px q ++分出完全平方项，从而有22224p p x px q x q ⎛⎫⎛⎫++=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，最后一个括号中的表达式为一正数，不妨记为 现在作代换,2px t dx dt +==, 于是()2222212ln arctan '22bp Bx C Bx C B Bp t dx dt t a C C x px q t a a a ⎛⎫+- ⎪+⎛⎫⎝⎭==++-+ ⎪+++⎝⎭⎰⎰, 其中为常数，代回变量x ，就有()2222ln arctan '244Bx C B dx x px q C x px q q p q p+=+++++--⎰. 例14 求()()222211x dx x x+-+⎰解 利用部分分时，即可求得 ()()()222222211211111x x x dx dx dx dx x x x x x ++=---+-++⎰⎰⎰⎰ ()()2211ln 1ln 1arctan 21x x x C x =--+-++.例15 求32231x x x dx x --+-⎰ 解 这是被积函数的次数高于分母的次数，因此首先用除法写成即可求得322223211ln 1121x x x x x dx x dx x C x x x --+-⎛⎫⎛⎫=-+=-++ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎰⎰. 结论 上面所介绍的不定积分的解题方法都是常用的方法，根据被积函数的结构特点采取上述所给出的方法去解题，同时要学会用一些技巧把所求的复杂的题目变成我们所熟悉的，简单的方法解题 因此，需要我们去多做些练习来增长我们的做题技巧和方法，能在做题时顺心应手，面对各种求不定积分计算问题都能迎刃而解.参考文献[1] 范梅.不定积分的分部积分法探究[J] 江苏,西安航空学院学报2015,1(33)66.[2] 欧阳光中，朱学炎,金福临,陈传璋.数学分析[M],第三版,上册北京:高等教育出版社，2007.[3] 辛春元.浅析不定积分的解题方法[J].辽宁:辽宁对外经贸学院，2008:8（15）143-145.[4] 高超.浅谈不定积分基本解题方法[J].贵州:林区学报,2011,12(20):268-269.[5] 何挺.不定积分三种基本解题方法归类[J].安顺师范学报,2004,4(6):78-80.[6] 郞开禄.谈谈求不定积分两种解题方法[J].楚雄师范学报,1986,3(8):69-71.[7] 王晗宁.浅谈不定积分的解法[J].中国商报,2010,2(5):15-16.[8] 马文素.浅谈不定积分积分方法[J].青海:青海师专学报,2006,5(18):45-47.[9] 华东师范大学数系，数学分析[M].北京:高等教育出版社,1991.致谢词非常感谢老师在我大学的最后阶段——毕业论文写作给予指导，通过老师的细心点拨，使我在对这次论文的写作有了明确的方向，从资料收集，到写作，修改，到论文定稿，她给了我耐心的指导和无私的帮助，是我在写作过程中的问题与不足都被老师一一发现并进行指正如今，伴随着这篇毕业论文的最终成稿，复杂的心情烟消云散，自己甚至还有一点成就感同时，感谢所有任课老师和所有同学在这几年里给我的指导和帮助，是他们教会了我专业知识，教会了我如何学习，教会了我如何做人正是由于他们，我才能在各方面取得显著的进步，在此向他们表示由衷的感谢。
不定积分第2换元法
不定积分的计算
例12
解法 1
dt 分项 dt dt 解： I 3 = ∫ = ∫ −∫ x 1+ e = t t (t − 1) t −1 t
回代
dx 求 I3 = ∫ 1+ ex
= ln( t − 1) − ln t + C = x − ln(1 + e ) + C
x
1+ e − e e dx I3 = ∫ 1 + e x dx = ∫ dx − ∫ 1 + e x 凑微分，分项 x d ( e + 1) x = x − ln( e + 1) + C = x−∫ x e +1
x
x2 − a2
====== =====
t = arccos 代回
1 a
∫
1 dt = t + C a a + C x
t
a
sin t = x 2 − a 2 / x cot = a / x tan t = x 2 − a 2 / a
a x
1 arccos a
( x ∈ ( a , +∞ ))
解法 2 x x x
2011-3-14
不定积分的计算
第一、二换 元法的异同
(1) 两种换元法都以下面积分等式为依据： 两种换元法都以下面积分等式为依据： ∫ f ( x ) dx = ∫ f [ϕ ( t )] ϕ ′ ( t ) dt = ∫ g ( t ) dt
其中： x = ϕ ( t )
(2) 两种换元法的区别在于： 两种换元法的区别在于：
2011-3-14
− 代回t =arcsin x21
一道不定积分的几种解法
一道不定积分的几种解法不定积分是微积分的一个重要分支，它的基本思想是通过对函数的求导来求出原函数。
不定积分的求解方法有很多种，本文将介绍几种不同的方法。
一、换元法例题：求解 $\int \frac{x^2}{\sqrt{1+x^3}}dx$解析：设 $u=1+x^3$，则 $du=3x^2dx$，有：$$\begin{aligned}\int \frac{x^2}{\sqrt{1+x^3}}dx &=\frac{1}{3}\int \frac{1}{\sqrt{u}}du \\&=\frac{2}{3}\sqrt{u}+C \\&=\frac{2}{3}\sqrt{1+x^3}+C\end{aligned}$$其中 $C$ 为常数。
二、分部积分法设 $u=x$，$dv=\cos{x}dx$，则 $du=dx$，$v=\sin{x}$，有：三、凑微分法凑微分法是不定积分中常用的一种方法，其基本思想是通过对原函数进行代数变形，将原函数凑成某种已知函数的微分形式，从而求出原函数。
设 $u=(1+x^2)^\frac{1}{2}$，则 $du=\frac{x}{(1+x^2)^\frac{1}{2}}dx$，有：四、有理函数分解法有理函数分解法是不定积分中的一种常用方法。
它的基本思想是将原函数转化为真分式的形式，然后将真分式分解为若干个部分，每个部分都可以进行简单的积分。
将分母 $x^2+x-6$ 分解为 $(x+3)(x-2)$，有：其中 $A=-\frac{2}{5}$，$B=\frac{3}{5}$，$C$ 为常数。
综上所述，不定积分有多种解法。
对于不同的函数，应选择适合的方法进行求解，以求得正确答案。
几类特殊函数的不定积分公式
几类特殊函数的不定积分公式刘文武【摘要】利用分部积分公式和指数函数、正弦函数、余弦函数的原函数的关系,给出了几类特殊函数的积分公式.使其在求相应的积分时,直接利用公式,可避免反复地用分部积分公式.【期刊名称】《黔南民族师范学院学报》【年(卷),期】2015(035)004【总页数】3页(P86-87,91)【关键词】分部积分;多项式;指数函数;正弦函数;余弦函数【作者】刘文武【作者单位】黔南民族师范学院数学系,贵州都匀558000【正文语种】中文【中图分类】O172.2Key words： formula of partial integral, polynomial; index function; sine fu nction; cosine function关于积分∫、∫、∫(n∈N+)的求法通常是用分部积分法，但当n较大时，由于要连续反复用n次就显得繁杂。
有研究者给出了两种求积分的创新方法，[1](P75-83)、[2](P36-37)从理论上讲是有意义的，但在应用举例时都用∫、∫、∫(n∈N+)，这样的解法更复杂。
实际上，这些积分在用分部积时是有规律的，本文目的就是给出这些积分的公式。
与型积分(其中Pn(x)为x的n次多项式)定理1 设n∈Na≠0，则证明这里先证(1)，当n=1时，∴当n=1时(1)成立。
设当 n=p时(1)成立，即则当n=p+1时有即当n=p+1时(1)成立，∴当n∈N+时(1)式成立。
对于(2)，由于于是由(1)有由于，因此，(1)、(2)可分别写成关于(1)、(2)更一般的情况是其中Pn(x)为x的n次多项式。
定理2 设n∈N+,a≠0，则证明当n=1时，即当n=1时(7)式成立。
设当 n=p时(7)成立，即于是当n=p+1时，有即当n=p+1时(7)成立。
∴当n∈N+时(7)式成立。
类似于(3)，(7)式可写为类似(5)，(7)更一般的情况是其中Pn(x)为x的n次多项式。
一道积分不等式题的11种证法
一道积分不等式题的11种证法
赵晶;苑金臣;谢兴武
【期刊名称】《高等数学研究》
【年(卷),期】1996(000)004
【摘要】本文就一道定积分不等式给出多种证明,涉及各种常用方法及微积分的多方面知识,有助于开阔思路,提高综合运用知识解决问题的能力。
【总页数】3页(P)
【作者】赵晶;苑金臣;谢兴武
【作者单位】中国地质大学
【正文语种】中文
【中图分类】O172.2
【相关文献】
1.一道积分不等式的四种证法 [J], 海杰
2.一道积分不等式的多种证法 [J], 李治飞;陈清江
3.关于一道定积分不等式竞赛题的推广 [J], 郑华盛; 李茂旺
4.一道积分不等式数学竞赛题的推广及证明 [J], 卢春婷;黄登香
5.一道积分不等式数学竞赛题的再推广 [J], 卢春婷;黄登香
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不定积分的基本公式和运算法则直接积分法
·复习 1 原函数的定义。
2 不定积分的定义。
3 不定积分的性质。
4 不定积分的几何意义。
·引入在不定积分的定义、性质以及基本公式的基础上，我们进一步来讨论不定积分的计算问题，不定积分的计算方法主要有三种：直接积分法、换元积分法和分部积分法。
·讲授新课第二节不定积分的基本公式和运算直接积分法一基本积分公式由于求不定积分的运算是求导运算的逆运算，所以有导数的基本公式相应地可以得到积分的基本公式如下：以上十五个公式是求不定积分的基础，必须熟记，不仅要记右端的结果，还要熟悉左端被积函数的的形式。
求函数的不定积分的方法叫积分法。
例1.求下列不定积分.（1）dx x⎰21（2）dx x x⎰解：（1）dx x ⎰21＝212121x x dx C C x-+-=+=-+-+⎰ （2）dx x x ⎰＝C x dx x +=⎰252352此例表明，对某些分式或根式函数求不定积分时，可先把它们化为x α的形式，然后应用幂函数的积分公式求积分。
二 不定积分的基本运算法则法则1 两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和，即 法则1对于有限多个函数的和也成立的．法则2 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即dx x f k dx x kf ⎰⎰=)()( （0≠k ）例2 求3(21)xx e dx +-⎰解 3(21)x x e d x +-⎰=23x dx ⎰+dx ⎰-x e dx ⎰=412x x x e C +-+。
注 其中每一项的不定积分虽然都应当有一个积分常数，但是这里并不需要在每一项后面加上一个积分常数，因为任意常数之和还是任意常数，所以这里只把它的和C 写在末尾，以后仿此。
注 检验解放的结果是否正确，只把结果求导，看它的导数是否等于被积函数就行了。
如上例由于41()2x x x e C '+-+=321x x e +-，所以结果是正确的。
三 直接积分法在求积分的问题中，可以直接按基本积分公式和两个基本性质求出结果（如上例）但有时，被积函数常需要经过适当的恒等变形（包括代数和三角的恒等变形）再利用积分的性质和公式求出结果，这样的积分方法叫直接积分法。
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ｘ α
（
）
（
）
∫ ∫ 本文方法 可 同 时 求 出 ｅ ｃ 避 免 两 次 使 用 分 部 积 分 公 式． 类 似 地， 求 ｄ ｘ 及 ｅｓ ｄ ｘ 的 值， ｘ ｘ ｓ ｎ β β ∫ｏ ∫ｉ （ （ 只需作变换ｌ 即可化为 ｅ 按上述方 ｓ ｘ） ｘ和 ｃ ｘ） ｘ， ｘ ＝ｔ ， ｔ ｔ和 ｅ ｔ ｔ 型积分 ， ｄ ｄ ｄ ｄ ｉ ｎ ｌ ｎ ｏ ｓ ｌ ｎ ｎ ｉ ｎ ｏ ｓ ∫ ∫ ∫ｓ ∫ｃ
２ ２
α ｓ
烎
ｘ ｘ ｓ ｄ ｘ＝ ｏ ｓ ｉ ｎ α ｃ β
＝
∫
α （ ｘ） ＋β ＋Ｃ ｐ３ ｘ） ｐ４（ ｓ ｓ
１ （ ｘ ＋β ｘ） ｓ ｓ ｃ ｃ ｘ ｘ ｉ ｎ ｉ ｎ ｏ ｓ ｏ ｓ α α ＋Ｃ ． ２ ２ α β β α －β
虽然略有 本文解法还可以同 时 求 出 不 定 积 分 ｓ ｘ ｘ ｘ ｃ ｄ ｘ ，ｓ ｓ ｄ ｘ及 ｃ ｃ ｄ ｘ， ｘ ｘ ｘ ｉ ｎ ｏ ｓ ｉ ｎ ｉ ｎ ｏ ｓ ｏ ｓ α α α β β β
１ 主要结论
先给出有关分块矩阵逆的一个结论 ：
［ ］ ３－４ 引理 １ 设 Ａ＝
Ｂ Ｏ Ｏ Ｂ ， Ｇ＝ ［ ］ ］，其中 Ｂ，Ｄ 皆为可逆方阵 ，则 ［ Ｃ Ｄ Ｄ Ｏ Ｂ Ｏ Ｏ Ｄ ， Ａ ＝［ Ｇ ＝ ［ ］ ］． －Ｄ Ｃ Ｄ Ｂ Ｏ Ｂ
－１ －１ －１ －１ －１ －１ －１ －１
第３ ０ 卷第 １ 期 ２ ０ １ ４年２月
大 学 数 学
Ｃ Ｏ Ｌ Ｌ Ｅ Ｇ Ｅ ＭＡＴＨＥＭＡＴ Ｉ Ｃ Ｓ
Ｖ ｏ ｌ ． ３ ０， №． １ Ｆ ｅ ｂ． ２ ０ １ ４
不定积分的代数解法
郑华盛
（ ） 南昌航空大学 数学与信息科学学院 ， 江西 南昌 ３ ３ ０ ０ ６ ３ 摘 要 ］ 基于积分运算是微分运算的逆运算 ， 利用线性代数方法 ， 提出了一种求解几类特殊函数不定积 ［ 分的新方法 ， 并结合实例验证了方法的有效性 ． ［ 关键词 ］ 不定积分 ；线性空间 ；线性变换 ；基函数 ；矩阵 （ ） ［ 中图分类号 ］Ｏ 文献标识码 ］Ｃ ［ 文章编号 ］１ １ ５ １． ２ ６； Ｏ １ ３ ［ ６ ７ ２ ４ ５ ４ ２ ０ １ ４ ０ １ ０ ７ ８ ６ １ ０ ０ － － －
∫
∫
∫
计算量 ， 但思路清晰 ， 不难计算 ， 而且无需应用积化和差公式 ．
第 １ 期 郑华盛 ： 不定积 ３ 求 ｘ ｅ ｄ ∫ ｘ．
２ ３ ｘ
ｘ α 类型三 Ｐｍ （ 其中 Ｐｍ （ ｘ） ｄ ｘ 型积分 （ ｘ）为 ｘ 的 ｍ 次多项式 ） ｅ ．
２ 应用实例
为了验证本文方法的有效性 ， 我们计算以下五种类型的不定积分 ．
２ ２ ｘ ｘ α α ） 其中α 类型一 ｅ ｘ ｘ ｃ ｄ ｘ与 ｅ ｓ ｄ ｘ 型积分 （ ＋ ． ｏ ｓ ｉ ｎ β β β ≠０
∫ ∫ 其中α ＋ 例１求 ｅ ｃ ｘ ｄ ｘ， ｓ β β ≠０． ∫ｏ
ｘ α
ｘ， ｘ， ｘ） ｘ） ＝ｅ ｃ ＝ｅ ｓ ｏ ｓ ｉ ｎ ｐ ｐ １（ ２（ β β
则有 ， ） ， ） ， ） ′ ′ Ｄ（ ｘ） ｘ） ｘ） ｘ） ｘ） ｘ） Ａ， ＝（ ＝（ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ １（ ２（ １（ ２（ １（ ２（ α β １ α － β ， 其中 Ａ＝ 故由定理 １ 得 ．而 Ａ－１ ＝ ２ ２ ＋ α － α α β β β １ ｘ ｘ α α （ ｘ ｘ ＋β ｘ） ｅ ｃ ｄ ｘ＝ ２ ｅ ｃ ｓ ｏ ｓ ｏ ｓ ｉ ｎ ＋Ｃ ， α ２ β β β α ＋β １ ｘ ｘ α α （ ｅ ｓ ｄ ｘ＝ ２ ｅ ｃ ｓ ｘ ｘ ＋α ｘ） ｉ ｎ ｏ ｓ ｉ ｎ －β ＋Ｃ ． ２ β β β α ＋β
Ｄ－１ 满足
， ， …， ） ， ， …， ） Ｄ－１（ ｘ） ｘ） ｘ） ｘ） ｘ） ｘ） Ａ－１ ＋Ｃ， ＝（ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ １（ ２（ ｎ（ １（ ２（ ｎ（ 即
ｂ １ ｊ 烄 烌 ｂ ２ ｊ ， ， …， ） ＝ ｐ ｄ Ｄ－１ ｘ） ｘ） ｘ＝ （ ｘ） ｘ） ｘ） ＋Ｃ， ｎ． ２，…， ｐ ｐ ｐ ｐ ｊ＝１， １（ ２（ ｎ（ ｊ（ ｊ（
众所周知 ， 微积分学是高等数学的主要内容 ， 积分运算与微分运算二者互为逆运算 ．但积分的计 算 ］ 要比微分的计算更为复杂 ， 更为灵活 ， 更具有技巧性 ． 文献 ［ 对不定积分的一些基本计算方法作了较为 １ ］ 详细地介绍 ． 文献 ［ 从微分的角度研究了不定积分的解法 ． 本文主要从线性 代 数 的 角 度 研 究 如 何 求 解 ２ 不定积分 ， 进而探索新的积分方法 ， 提出一种计算不定积分的代数方法 ， 并成功地应用于求解高等数学 中几类特殊函数的不定积分 ．
ｎ×ｎ （ ） ； ， ， …， ） ， ， …， ） 其中 Ａ∈Ｒ ｉ Ｄ（ ｘ） ｘ） ｘ） ｘ） ｘ） ｘ） Ａ， ＝（ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ １（ ２（ ｎ（ １（ ２（ ｎ（ （ ）若 Ｄ ， ， …， 则 Ａ 可逆 ； ｉ ｘ） Ｄ ｘ） Ｄ ｘ）线性无关 ， ｉ ｐ１（ ｐ２（ ｐｎ （ －１ ）若 Ａ 可逆 ， （ 则 不妨设 Ａ ＝ （ ｂ ｉ ｉ ｉ ｉ ｎ×ｎ ， ｊ）
∫
ｘ）＝ ｃ ｓ ｘ）＝ ｓ ｃ ｘ ｘ ｘ， ｘ， ｏ ｓ ｉ ｎ ｉ ｎ ｏ ｓ α ｐ α ｐ １（ ２（ β β ｘ， ｐ ｘ， ｘ）＝ ｓ ｓ ｘ）＝ ｃ ｃ ｘ ｘ ｉ ｎ ｉ ｎ ｏ ｓ ｏ ｓ α α ｐ ３（ ４（ β β
则有 ， ， ， ）＝ （ ， ， ， ） ′ ′ ′ ′ Ｄ（ ｘ） ｘ） ｘ） ｘ） ｘ） ｘ） ｘ） ｘ） ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ １（ ２（ ３（ ４（ １（ ２（ ３（ ４（ ， ， ， ） ｘ） ｘ） ｘ） ｘ） Ａ， ＝（ ｐ ｐ ｐ ｐ １（ ２（ ３（ ４（ 其中
２ ３ 解 设 ｆ（ ｘ）＝ ｘ ｅｘ ，则 ３ ｘ ２ ３ ′（ ｘ）＝ ２ ｘ ｅ ｘ ｅｘ ， ＋３ ｆ ３ ｘ ３ ｘ 且由 ｘ 及ｘ２ 求导后的表达式 ， 可知选取基函数 ｅ ｅ ２ ３ ｘ ３ ｘ ３ ｘ （ ） ， ， ｘ）＝ ｘ ｅ ｘ）＝ ｅ ｐ ｐ ｐ １ ｘ ＝ｘｅ ， ２（ ３（
∫
ｂ ｎ 烆 ｊ烎
ｎ
因为 ｆ（ 于是有 ｆ（ ｘ） ｘ） ＝ ∈Ｗ ，
ｊ＝１
从而得 ｘ）， ∑ ｋｐ （
ｊ ｊ
ｂ １ ｊ 烄 烌
ｎ ｎ ｊ ｊ ｊ
１ ２
∫
ｘ） ｘ＝ ｄ ｆ（
ｊ＝１
， ， …， ） ｘ） ｘ＝ ∑ ｋ（ ｘ） ｘ） ｘ） ｄ ｐ（ ｐ（ ｐ（ ｐ（ ∑ｋ ∫
ｎ ｊ＝１
ｂ ２ ｊ
＋Ｃ．
第 １ 期 郑华盛 ： 不定积 分的 代 数解 法 其中 Ｃ 为任意常数 ． ） 证 （ 由已知 ， 有 ｉ ， ＝ｐ ＝ ＋ ＋…＋ Ｄ ｘ） ｘ） ａ ｘ） ａ ｘ） ａ ｘ） ′ ｐ１（ ｐ ｐ ｐ １（ １ １（ ２ ２（ ｎ １ ｎ（ １ １ ， ′ Ｄ ｘ） ｘ） ａ ｘ） ａ ｘ） ａ ｘ） ＝ｐ ＝ ＋ ＋…＋ ｐ ｐ ｐ ｐ２（ ２（ １ １（ ２ ２（ ｎ ２ ｎ（ ２ ２ …… ＝ｐ ＝ ＋ ＋…＋ ． ′ Ｄ ｘ） ｘ） ａ ｘ） ａ ｘ） ａ ｘ） ｐ１（ ｐ２（ ｐｎ （ ｐｎ （ ｎ（ １ ｎ ２ ｎ ｎ ｎ 即 ， ， …， ） ， ， …， ） Ｄ（ ｘ） ｘ） ｘ） ｘ） ｘ） ｘ） Ａ， ＝（ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ １（ ２（ ｎ（ １（ ２（ ｎ（ 其中 Ａ＝ （ ａ ｉ ｎ×ｎ ． ｊ） （ ）若 Ｄ ， ， …， 则由 ｘ） Ｄ ｘ） Ｄ ｘ）线性无关 ， ｉ ｉ ｐ１（ ｐ２（ ｐｎ （
α －β 烌 Ｏ Ｂ β －α Ａ＝ ． ＝ Ｄ Ｏ －α －β ０ ０ 烆β α ０ ０烎
０
烄０ ０
０
（ ）
－
而由引理 １， 得 烄０ ０ １ － 烄Ｏ Ｄ 烌 ＝ ＝ Ｂ－１ Ｏ 烎 α 烆 ｓ ０ ０ －β ｓ －
α ｓ
－ β烌 ｓ
Ａ－１
β ｓ
０ ０
α ｓ
０ ０
，
β 烆 ｓ
其中ｓ ＝α －β ，故由定理 １ 得
２ ２
ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ α α α α α 且由 ｅ 解 设 ｆ（ ＝ｅ ＝ ′（ ｘ，则 ｆ ｘ－ ｘ， ｘ 及ｅ ｘ 求导后的表达 ｘ） ｃ ｘ） ｃ ｃ ｓ ｏ ｓ ｏ ｓ ｉ ｎ ｏ ｓ ｉ ｎ αｅ β β βｅ ｓ β β β
式， 可知选取基函数
８ ０
ｘ α
大 学 数 学 第 ３ ０卷
７ ９
ｘ） ｘ） ｘ） ＋ ＋…＋ ＝０， λ λ λ ｐ１（ ｐ２（ ｐｎ （ １ ·Ｄ ２ ·Ｄ ｎ ·Ｄ 得λ 即 λ λ １＝ ２＝ … ＝ ｎ ＝０ ， ， ａ ａ ａ λ λ λ １ １＋ １ ２＋ … ＋ １ ｎ ｎ ＝０ １ ２ 烄
， ａ ａ ａ λ λ λ ２ １＋ ２ ２＋ … ＋ ２ ｎ ｎ ＝０ １ ２ 烅 …… ａ ａ ａ λ λ λ ｎ １ １＋ ｎ ２ ２＋ … ＋ ｎ ｎ ＝０ ｎ 烆 即 Ａ 可逆 ． 只有零解 ， 从而得 Ａ ≠０， ） （ ， 则在相差任意常数的情况下 ， 微分变换 Ｄ 可逆 ， 且其逆变换 ｂ ｉ ｉ 若 Ａ 可逆 不妨设 Ａ－１ ＝ （ ｉ ｉ ｎ×ｎ ， ｊ）
ｂ ｎ 烆 ｊ烎
定理 １ 给出了计算不定积分的一种代数解法 ， 它可以同时方便地求出 ｐ ｘ） ｘ（ ｎ） ｄ ． ２，…， ｊ＝１， ｊ（
∫
则只需求 Ａ－１ 的第ｊ 列即可 ． 及其分项的导数 形 若仅需计算某个 ｐ 具体计算时 ， 应根据 ｆ ｄ ′（ ｘ） ｘ， ｘ） ｊ（
∫
…， 式选取基函数 ｐ ｘ）， ｘ）， ｘ） ． ｐ ｐ １（ ２（ ｎ（
下面利用线性代数中线性空间 与 线 性 变 换 的 概 念 ， 给 出 计 算 不 定 积 分 ｆ（ 主 ｘ） ｘ 的 一 种 新 方 法． ｄ 要结论如下 ：