2020高考数学(理)名师押题专题：三角函数与数列大题

，可得 a2 1，由（I）知，a3 1 ．令
故
，由此可得， a2n1 是首项为 1，公差为 4 的等差数列，
．
，解得 4 ．
；
＝0． 因为 B＝π－A－C，
所以 3 sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0．
由于 sinC≠0，所以
．
又 0＜A＜π，故 A π ． 3
(2)△ABC 的面积
，
所以有
，所以
（2）①因为
，
所以，
，
，
②令
，
由于 比
变化的快，所以
，得 ，
即
,递增而
递减， 是最大，
即当 时，对任意
，均有
.
5.【解析】（1）由题意知，①当 时，
，
②当 时，
．
数列
是以 为首项， 为公比的等比数列．
（2）由（1），可知：
，
．
．
．
③-④，可得： ，
，③ ④
6.【解析】（1）因为
，
所以
即 sin Acos C＋ sin Asin C＝sin(A＋C)＋sin C，
又 sin C≠0，所以化简得 sin A－cos A＝1，所以 sin(A－30°)＝ . 在△ ABC 中，0°＜A＜180°，所以 A－30°＝30°，得 A＝60°.
(2)在△ ABC 中，因为 cos B＝ ，所以 sin B＝ .
……②，
可得
，即 ，
又因为
，
所以
.
（2）由（1）可得
. ，
所以
.
3.【解析】(1)由题意得
，
所以
得
由
,
所以
（ ），
相减得
，
得
也满足上式.
所以 的通项公式为
.
(2)数列
的通项公式为
是以 为首项,公差为 的等差数列,
若
对任意的正整数 恒成立，等价于当
时, 取得最大值,
所以
解得
所以实数 的取值范围是
4.【解析】（1）设数列 是正项等比数列的公比为 ，因为
9.【解析】（1）在
中，由正弦定理，得
，
在 中，由正弦定理，得
因为
，
，
所以
.
（2）在
中，由余弦定理，得
， ，
， ，
在 中，由余弦定理，得
因为 所以
，
，
，
，
， . ，
解得
，所以
.
所以
.
10.【解析】（1）在 中，由正弦定理得
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
为锐角，
∴
．
（2）在 ∴
中，
在 中，由余弦定理得
∴
∴
，
∴ 即 面积的最大值为 ．
6
中角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，己如
.
（1）求 的值：
（2）若 ， ，求
的面积.
7
已知
是 的内角，
分别是角
.
（1）求角 的大小；
的对边.若
（2）若 ， 的面积为 ， 为 的中点，求
8
已知 a，b，c 分别为△ ABC 三个内角 A，B，C 的对边，且 acos C＋ asin C－b－c＝0.
以及余弦定理，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，以及开方时对于正负号的取舍要从题的条件中
寻找角的范围所满足的关系，从而正确求得结果.
（2017 年）【解析】（1）由题知
∴
∵由正弦定理得
，
由 sin A 0 得
.
（2）由（1）得
，
∵
∴
又∵ A0，π
∴ A 60 ， sin A 3 ， cos A 1
内一点，∠BPC＝90°.
2012 年
(1)若 PB＝ 1 ，求 PA； 2
(2)若∠APB＝150°，求 tan∠PBA.
【2012 全国，理 17】已知 a，b，c 分别为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，acosC＋ 3 asinC
－b－c＝0． (1)求 A；
2011 年
(2)若 a＝2，△ABC 的面积为 3 ，求 b，c． 【2011 全国新课标，理 17】等比数列{an}的各项均为正数，且 2a1＋3a2＝1， a32 9a2a3 .
.
（三）命题专家押题
题号 试
1. 在
中，三边
题
所对应的角分别是
.已知 成等比数列.
（1）若
，求角 的值；
（2）若
外接圆的面积为 ，求
面积的取值范围.
2.
已知数列 是公差不为零的等差数列，
，且存在实数 满足
（1）求 的值及通项 ；
（2）求数列
的前 项和 .
3.
已知数列 满足
.
（1）求 和 的通项公式；
（1）求 C；
2015 年
（2）若
的面积为 3 3 ，求△ABC 的周长． 2
【2015 高考新课标 1，理 17】 Sn 为数列{ an }的前 n 项和.已知 an ＞0， an2 an = 4Sn 3 .
（1）求{ an }的通项公式；
（2）设 bn
1 an an 1
,求数列{ bn }的前 n 项和.
．
化简得
．
即
．
因在 中，
，则
．
从而
．
由正弦定理，得
．
所以
．
（2）由（1）知
，且 ，所以
．
因为 ，所以
．
即 所以
． ．
所以 所以△
的面积为 ．
7.【解析】（1）由
得
由正弦定理，得
． ，即
所以
又
，则
（2）因为 ，所以 .
所以 为等腰三角形，且顶角
.
因为 所以 .
在
中，
，
，
，
所以
解得
.
8.【解析】(1)acos C＋ asin C－b－c＝0，由正弦定理得 sin Acos C＋ sin Asin C＝sin B＋sin C，
题，2019 年仍将在数列与解三角形二者中考一题，主要考查等比数列、等差数列的定义、通
项公式、前 n 项和公式、求数列通项及数列求和或利用正余弦定理解三角形，难度为基础题．
（二）历年试题比较：
年份
题目
2018 年 【2018 新课标 1，理 17】在平面四边形 中，
，
，
，
.
（1）求
；
2017 年
（2）若
，由正弦定理有
， ，
∵
，∴
，得
，即
，
由
知， 不是最大边，∴ .
（2）∵
外接圆的面积为 ，∴
的外接圆的半径 ，
由余弦定理
，得
，又
，
∴
，当且仅当 时取等号，又∵ 为
的内角，∴
，
由正弦定理
，得
.
∴
的面积
，
∵
，∴
，∴
2.【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，
由
……①
得
①-②得，
，
又因为 ，解得 ；
将 代入①
来自百度文库
【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,
,这是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考 虑对其实施“边化角”或“角化边”.
（2015 年）【解析】（1）当 n 1时，
，
因为 an 0 ，所以 a1 =3，
当 n 2 时，
=
= 4an ，
即
，
因为 an 0 ，所以 an an1 =2，
，
.
（2）记数列
的前 项和为 ，若
4.
已知数列 是正项等比数列，
对任意的正整数 恒成立，求实数 的取值范围．
,数列 满足条件
.
(Ⅰ) 求数列 、 的通项公式；
(Ⅱ) 设
,记数列 的前 项和 .
①求 ；
②求正整数 ，使得对任意
，均有
.
5.
已知数列 中，
且
．
（1）并证明
是等比数列；
（2）设
，求数列 的前 项和 ．
专题十 三角函数与数列大题
（一）命题特点和预测：
分析近 8 年全国Ⅰ卷数列与三角函数大题，发现三角函数与数列大题都是放在 17 题位置且每
年只考一个，8 年 5 考利用正余弦定理解三角形或平面图形问题，3 年考数列，主要考查等差
数列、等比数列的定义、通项公式、前 n 项和公式、求数列通项及数列求和，试题难度为基础
， .
， ，当且仅当
时等号成立，
，
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设 bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{ 1 } 的前 n 项和． bn
【解析与点睛】
（2018）（17）【解析】（1）在
中，由正弦定理得
.
由题设知，
，所以
.
由题设知，
，所以
.
（2）由题设及（1）知，
.
在
中，由余弦定理得
.
所以
.
点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式
，求 .
【2017 新课标 1，理 17】△ ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知△ ABC 的面积为
a2 3sin A .
（1）求 sin Bsin C;
（2）若 6cos Bcos C=1，a=3，求△ ABC 的周长.
2016 年 【 2016 高 考 新 课 标 理 数 1 】 △ABC 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 已 知
2
2
由余弦定理得
①
由正弦定理得
，
∴
②
由①②得 b c 33
∴
，即 △ABC 周长为 3 33
【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使
用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形
问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长 度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，
2014 年 【2014 课标Ⅰ，理 17】已知数列an 的前 n 项和为 Sn ， a1 1， an 0 ，
，
其中 为常数，
（1）证明：
；
2013 年
（2）是否存在 ，使得an 为等差数列？并说明理由.
【2013 课标全国Ⅰ，理 17】如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝ 3 ，BC＝1，P 为△ABC
所以 sin C＝sin(A＋B)＝ × ＋ × ＝ .
由正弦定理得，
.
设 a＝7x，c＝5x(x＞0)，则在△ ABD 中，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos B，
即 ＝25x2＋ ×49x2－2×5x× ×7x× ，解得 x＝1，所以 a＝7，c＝5，
故 S△ ABC＝ acsin B＝10 .
，故 bc＝4．而 a2＝b2＋c2－2bccosA，故 b2＋c2＝8．
解得 b＝c＝2．
（2011
年）【解析】：(1)设数列{an}的公比为
q.由 a32
9a2a6 得 a32
9a42
，所以 q2
1 9
.由条件可知
q＞0，
故q 1. 3
由
2a1＋3a2＝1
得
2a1＋3a 1q＝1，所以
a1
1 3
建立函数关系式，如
，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具
体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.
（2016 年）【解析】（1）由正弦定理及
得，
，
即
，
即
，
因为 0 C ，所以 sin C 0 ，
所以 cosC
1 2
，所以 C
3
.
（2）由余弦定理得：
∴ ab 6
∴ ab5 ∴ △ABC 周长为
所以数列{ an }是首项为 3，公差为 2 的等差数列，
所以 an = 2n 1；
（2）由（1）知， bn =
，
所 以 数 列 { bn } 前 n 项 和 为 =1 1 .
6 4n 6
（2014 年）【解析】（1 由题设，
，
=
．两式相减得，
由于 an1 0 ，所以
．
（2）由题设，a1 1，
(1)求 A；
(2)若 AD 为 BC 边上的中线，cos B＝ ，AD＝ ，求△ ABC 的面积．
9
如图，在 中， 是边 上一点，
，
，
.
（1）求 的长；
（2）若
，求 的面积.
10
如图，在四边形
中，
，连接
.
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若
【详细解析】
，求 的面积最大值.
1.【解析】（1） 又∵ 成等比数列，得