量子力学_2.1一维势场中粒子能量本征态的一般性质

定理6
x 2 x 1 x 常数与x无关 . （3） 1 x 2
注意
对于束缚态(bound state), 当 x 时, 0, 所以式(3)中常数必为0.
对于一维粒子，设 1 x 与 2 x 均为 方程（1）的属于同一能量 的解，则
a
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先考虑 程表示为 情况 .在势垒外( V 0 ,经典允许区 ),x 能量的本征方 x 0, a
d2 2m 2 0 2 dx 由于势垒的存在, 在 区域中 既有入射波 , 也有反射 x, 0 波 , 而在 区域中只有透射波 所以 ikx ikx xa e e eikx ,
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则方程(2)的解可表示为
x sin kx δ
A
4
δ
,得 a 0 即
按边条件 0 0, 则要求 δ 0.
而按照边条件
sin ka 0,
注意
ka n, n 1, 2,3 ,无物理意义 ,而 0 n 给出的波函数 0 取负值与 取正值所给出的波函数描述的 是同一个量子态 . n
所 以
ikx ikx e R e , x ikx S e ,
0 xa xa
17
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ikx 式 17 中 和 ikx 分别表示反射波与透射波 , 相应的反射流密 R e 度和透射流密度分别为
P x x x
一维谐振子和一维对称方势阱都是具有空间反射 对称性，它们的能量本征态都有确定的宇称。
定理4
设 V x V x , 则对应于任何一个能量 本征值 , 总可以找到方程(1)的一组解 (每个 解都有确定的宇称), 而属于能量本征值 的任 何解，都可用它们来展开.
2 nx sin , 0 x a a a n x x 0, x a 0,
9
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
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2.2.2 有限深wenku.baidu.com称方势阱
设
0, V x V , 0
P
空间反射算符
P r r
即把空间坐标
r r .
x x . 对于一维粒子,则为 P
如果对应于某能量 , 方程(1)的解无简并, 则解必有确定的宇称(parity).
P x x x
偶宇称解 (even parity) 奇宇称解 (odd parity)
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 令
则方程 的解可表为如下振荡函数形式 : 13

k 2m /
sin kx,cos kx; 或eikx
(a)偶宇称态 根据
x ~ cos kx
和(14)式 ,有 12
a x 14 2
ln cos kx
则方程
11
的解具有如下指数函数形式
~ e x
但考虑到束缚条件 （要求 处
x
），波函数应取如下形式
x 0
a x e , x 2 n x e x , x a 2
12
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
m
0 xa 0, V x x 0, x a , 在阱内 a , 0 x能量本征方程为 d2 2m 2 0 2 dx 为粒子质量, 0.令
1
2
k 2m /
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
3
* 在上式中， V x V x (实数值)
（1）
为能量本征值.
x 为相应的能量本征态.
在求解能量本征方程(1)时，要根据具体物理问 题的边条件来定解．如束缚态条件, 散射态的边条件 等.
下面先对该方程的解的一般性质进行讨论． 为此先讨论其一般解有关的七条基本性质．其 中前4条, 不仅对一维问题成立, 对于三维问题也同 样适用.
5
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
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联合式(5)和(3)
2 2 n 2 n , n 1, 2,3 2 2ma
结论
6
一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的，即构成的能谱 是离散的． 称为体系的能量本征值.与En 对应的波函数 记为 n 称为能量本征函数，
为势阱高度,以下讨论 0
x
a 2 a x 2
束缚态情况.
10
0 V0
a 为阱宽,
在阱外(
V
a ,经典禁区 ),能量本征方程为 x 2
d 2m 2 V0 0 2 dx
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
2
11
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第 2章
一维势场中的粒子
引言
本章主要是用Schrö dinger方程来处理一维粒子的 能量本征态问题.
下面先讨论一维粒子的能量本征态的一些共同的 特点.
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
设质量为m的粒子在一维势场 V x 中(考虑 定态的情况下)的能量本征方程为
2 d 2 2m dx 2 V x x x
!
但对于某些不规则势阱,如一维氢原 子 V x 1/ x , 除基态外,其他束缚态均 为二重简并. 其特征是波函数的节点出现在 V x 的奇异点处,两个简并态具有不同宇称.
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2.2 方势阱
2.2.1 无限深方势阱,离散谱 先考虑一个理想的情况——无限深方势阱中的粒子. 势阱表示为

Se
j反 R v，
结 论
因此,对于同属于能量 的 任何两个束 缚态波函数 1 与 2
2 1 1 2
定理7
设粒子在规则（regular）势场 V x ( V x 无奇点)中运动，如存在束缚态，则 必定不简并的. 对于常见的不规则势阱(如无限深势阱, δ 势阱等),在绝大多数情况下上述定理也成立.
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常数 即 和

待定.当 ,则当

（无限深势阱） 0 . 上式 a
V
2
x
0
这正是2.21无限方势阱的边条件的根据
在阱内(
),能量本征方程为 x ,经典允许区
a 2
d2 2m 2 0 2 dx
13
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
0


2m x 2 V x x
在经典允许区
sin kx,cos kx , 而且在
此外,由于 与
x , 的振荡函数 V 波函数是
x
的正负号相反 , 轴弯曲.
愈大的地方 ,振荡愈快. V x
定理1
设 x 是能量本征方程(1)的一个解,
对应的能量本征值为 ,则 * x 也是方程(1) 的一个解,对应的能量也是 .
假设对应于能量的某个本征值 ,方程(1) 解无简并,(即只有一个独立的解),则可取为实 解(除了一个无关紧要的常数因子之外).
定理2
对应于能量的某个本征值 ,总可以找到
方程(1)的一组实解,凡是属于 的任何解,均可 表示为这一组实解的线性叠加.
对于能级有简并的情况,要用到此定理.
定理3
设 V x 具有空间反射不变性，V x V x . 如 x 是方程（1）的对应于能量本征值 的 解，则 x 也是方程（1）的对应于能量 的 解. 定义
e ,
x
V x , 波函数是
无振荡现象.
的
x
轴 x
总是背离
x
在 在
x 区域 0, 区域 x 0
x 曲线向上弯曲 0, ;x 曲线向下弯曲. x 0, x
根据上述特点, 可以定性讨论粒子能量的 可能取值(即本征值)以及波函数的节点数.
但是如 V x 不连续, 或有某种奇异性, 则 x 及其各阶导数的连续性问题需要具体分析.
定理5
对于阶梯形方位势
V1 , V ( x) V2 , xa xa
（2）
V2 V1 有限
能量本征函数 x 及其导数 x 必定是 连续的(但如 V2 V1 ，则定理不成立). 对于一维有限深方势阱，这个定理明显成立.
适用范围 对于能级有简并的情况，能量本征态并不一 定就具有确定宇称.此时，可以用定理（4）来处 理
在坐标表象中, 涉及波函数 x 及其各阶 导数的连续性问题, 应从能量本征方程(1)出发, 根据 V x 的性质进行讨论. 如V x 是 x 的连续函数, 则 x 与 x 必 为 x 的连续函数.
从而能确定能量本征值. 奇宇称态与偶宇称态不同, 只当
16
即
2 2 mV0a2 / 22 2 / 4
V0a2 22 / 2m
时, 才可能出现最低的奇宇称能级.
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2.2.3 束缚态与离散态
束缚能量本征态 按照能量本征方程 的能量是离散的 , V
x 总是向
x 0 区域 , 区域 , x 0
曲线向下弯 x ; x 曲线向上弯 0, . x 0, x
x
结论
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与此不同, 在经典的禁区 指数上升或下降的函数 由于 弯曲，即 与 的正负号相同 ,
引入无量纲参数
x a / 2
ln e x
xa / 2
ka / 2,
a / 2
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得到
tan
2 2 mV0a2 / 22
15
对于超越方程组(15), 可用数值计算求解或用图解法近似求解.
n x
n x sin nx / a 0 x a
7
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利用归一化条件
2
x
n 0
a
dx 1
8
取 为实数. A A ,2 / a. 则归一化的波函数表示为
(b)奇宇称态
x ~ sin kx
利用
a x 2
与偶宇称态类似,
ln的连续条件可求出
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k cot ka / 2
引进无量纲参数, 则上式化为 cot
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2.2.4 方势垒的反射与透射
设具有一定能量 方向射向方势垒
V0 , V x 0,
x 的粒子沿
0 xa x 0, x a
轴正
从量子力学观点来看，考虑到粒子的波动性,此问题与波碰到一层 厚度为 的介质相似, 即有一部分波透过,一部分波被反弹回去.