10.1数项级数的概念
数项级数的基本概念及性质
称为级数的部分和.
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5
则称无穷级数收敛，
并称 S 为级数的和， 记作：S un
n 1
则称无穷级数发散。
即：常数项级数收敛(发散) lim S n 存在(不存在)
n
当级数收敛时, 称差值
为级数的余项. 显然
即
Sn S
误差为 Rn
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设三角形 周长为 P1 3 , 3 面积为 A1 ; 4
第一次分叉：
4 周长为 P2 P1 , 3 1 面积为 A2 A1 3 A1 ; 9
播放
依次类推
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9
结束
第 n 次分叉：
4 n 1 周长为: Pn ( ) P1 3 n 1, 2,
n n n
a lim s n n 1 q
收敛
lim q n lim sn 当 q 1时 , n
机动
发散
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17
结束
当 q 1时 ,
sn na
发散
发散
aq 3 aq
2
当 q 1 时 , 级数变为 a a a a
a 1 q , n 综上所述 aq n 0 发散 ,
q 1 q 1
a aq
aq 2
右图给出了几何级数的一个 几何解释:
S a 由三角形的相似 a a aq a S 1 q
a
aq
aq
S
a
a
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18
结束
例 4： 以德国数学家 Cantor 命名的 Cantor 集是这样
高等数学第七版教材下册目录
高等数学第七版教材下册目录一、导言1.1 数学的起源和发展1.2 高等数学的地位和作用1.3 数学的基本概念二、极限与连续2.1 数列的极限2.1.1 数列极限的定义2.1.2 数列极限的性质2.2 函数的极限2.2.1 函数极限的定义2.2.2 函数极限的运算法则2.3 极限存在定理2.3.1 夹逼定理2.3.2 单调有界定理2.4 无穷大与无穷小2.4.1 无穷大的定义与性质2.4.2 无穷小的定义与性质2.5 连续与间断2.5.1 连续的定义与性质2.5.2 间断点的分类与性质三、导数与微分3.1 导数的定义与性质3.1.1 导数的定义3.1.2 导数的基本性质3.2 基本初等函数的导数3.2.1 幂函数的导数3.2.2 指数函数与对数函数的导数 3.2.3 三角函数与反三角函数的导数 3.3 高阶导数与高阶微分3.4 隐函数与参数方程的导数3.5 微分中值定理3.5.1 罗尔中值定理3.5.2 拉格朗日中值定理3.5.3 柯西中值定理四、微分中值定理与舍误4.1 函数的单调性与极值 4.1.1 单调性的判定4.1.2 极值的判定4.2 函数图形的描绘4.2.1 函数的对称性4.2.2 渐近线与拐点4.3 泰勒公式与泰勒展开4.4 函数的舍误与渐近展开五、定积分5.1 定积分的概念与性质 5.1.1 定积分的定义5.1.2 定积分的基本性质 5.2 定积分的计算方法5.2.1 可积函数的性质 5.2.2 定积分的计算公式5.3 定积分的应用5.3.1 几何应用5.3.2 物理应用六、不定积分6.1 基本积分表6.1.1 基本积分公式6.1.2 常用积分公式6.2 分部积分法与换元积分法 6.3 有理函数的积分6.4 函数的不定积分6.5 定积分与不定积分的关系七、常微分方程7.1 微分方程的基本概念7.1.1 微分方程的定义7.1.2 微分方程的解与通解 7.2 一阶线性微分方程7.2.1 可分离变量的方程7.2.2 齐次方程7.2.3 一阶线性非齐次方程7.3 高阶线性微分方程7.3.1 含有常系数的方程7.3.2 欧拉方程7.4 常系数线性齐次微分方程的解法7.5 常系数线性非齐次微分方程的解法八、多元函数微分学8.1 多元函数的概念与性质8.1.1 多元函数的定义8.1.2 多元函数的极限与连续8.2 偏导数与全微分8.2.1 偏导数的定义与性质8.2.2 全微分的概念与计算8.3 多元复合函数的导数8.3.1 多元复合函数的链式法则8.3.2 隐函数的偏导数8.4 多元函数的极值8.4.1 多元函数的极值点与极值8.4.2 条件极值与拉格朗日乘子法九、多元函数积分学9.1 二重积分的概念与性质9.1.1 二重积分的定义9.1.2 二重积分的性质9.2 二重积分的计算方法9.2.1 二重积分的累次积分法9.2.2 二重积分的极坐标法9.3 三重积分的概念与性质9.3.1 三重积分的定义9.3.2 三重积分的性质9.4 三重积分的计算方法9.4.1 三重积分的累次积分法9.4.2 三重积分的柱面坐标法十、无穷级数10.1 数项级数的概念与性质10.1.1 数项级数的定义10.1.2 数项级数的审敛法10.2 收敛级数的运算10.2.1 收敛级数的四则运算10.2.2 收敛级数的基本性质10.3 幂级数与函数展开10.3.1 幂级数的收敛域10.3.2 幂级数展开与泰勒级数总结以上是高等数学第七版教材下册的目录，涵盖了多个重要的数学概念和学习内容。
项级数的概念
项级数的概念项级数是数学中的一个概念，指的是一个无穷序列的和。
在项级数中，每一项都是具有固定模式的数列中的某一项，而项级数的和就是这些数列中所有的项的总和。
项级数可以表示为：S = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...其中，a1, a2, a3, ... 是一个数列的项，n 是一项的位置。
举个例子，如果项级数为：1 + 2 + 3 + 4 + ... ，那么a1 = 1，a2 = 2，a3 = 3，... ，n 表示数列中项的编号。
项级数可以分为两类：收敛项级数和发散项级数。
当项级数的和存在且有限时，我们称其为收敛项级数；当项级数的和不存在或为无穷大时，我们称其为发散项级数。
对于收敛项级数，我们常常使用极限的概念来表示。
如果项级数S具有有限的和S，则对于任意的正数ε，存在一个正整数N，使得当n>N时，Sn - S < ε。
其中，Sn 表示项级数的前n项和。
为了更好地理解项级数的概念，我们可以看一些经典的例子。
1. 等差数列：1, 2, 3, 4, ...这是一个常见的等差数列，每一项与前一项之差都相等。
项级数可以表示为：1 + 2 + 3 + 4 + ... ，它是一个发散项级数，和无穷大。
2. 等比数列：1, 1/2, 1/4, 1/8, ...这是一个等比数列，每一项都是前一项的1/2倍。
项级数可以表示为：1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... ，它是一个收敛项级数，和为2。
3. 调和级数：1, 1/2, 1/3, 1/4, ...这是一个调和级数，每一项是倒数数列。
项级数可以表示为：1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... ，它是一个发散项级数，和无穷大。
4. 幂级数：1, 1/2, 1/4, 1/8, ...这是一个幂级数，每一项都是前一项的1/2倍。
项级数可以表示为：1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... ，它是一个收敛项级数，和为2。
小结无穷级数
∑a
n =1
n
收敛 .
数项级数的审敛法
一.正项级数及其审敛法 正项级数及其审敛法 每一项都非负 定理1(基本定理 正项级数 定理 基本定理)正项级数 基本定理 其部分和数列有界 定理2(比较审敛法 定理 比较审敛法) 比较审敛法 设
∞
∑u
件是
∞
∑u
n =1 ∞ n =1
1 1 1 例: p-级数的敛散性 1 + p + p + ⋅ ⋅ ⋅ + p + ⋅ ⋅ ⋅ 级数的敛散性 2 3 n
解
级数显然发散. 级数显然发散 p ≤ 0 时,级数显然发散 ∞ 1 1 1 0 < p ≤ 1 时, 因为 p ≥ , 而 ∑ 发散 则 p-级数发散 发散,则 级数发散 n n n =1 n p > 1 时,
定理3(比较审敛法极限形式 定理 比较审敛法极限形式) 比较审敛法极限形式
un 都是正项级数, 设 ∑ u n 和 ∑ v n 都是正项级数 如果 lim v = l (0 < l < +∞) n→∞ n =1 n =1 n ∞ ∞
则
∞
∞
∑u
n =1 ∞
n
和
∑v
n =1
n
同时收敛或同时发散. 同时收敛或同时发散
性质5.(级数收敛必要条件 性质 级数收敛必要条件) 级数收敛必要条件 收敛,则 n→∞ 若级数 ∑ u n 收敛 则 lim un = 0
n =1 ∞ n =1 ∞
判断级数发散 的第一步骤
注意:(1). 若 lim un ≠ 0 ,则级数 ∑ u n 发散 注意 则级数 n →∞ (2). lim un = 0 时,级数 ∑ u n 不一定收敛 级数 n →∞
数学分析数项级数_2022年学习资料
§2数项级数的收敛性及其基本性质-无穷项函数相加，对每一个固定的X,每一项便变成-一个数，因此，我们从无穷 数相加谈起，这种级-数称为数项级数，或简称为无穷级数。-定义-设有数列：山1，u2,3,L,un,L-用加 把这些数依次连接起来所得的式子-4+2+4+L+un+L-这仅是一种形-式上的相加。-称为无穷级数或数项级 ，简称级数。-记为：∑w或∑4-k=
1-31-2P-1-1-动1-六21--这里用到-2一<1当p>1这就证明了部分和-数列有上界，故-启p1 技数
比较判别法-定理10.6-比较判别法设有两个正项级数-∑4，=4+42+L,-n=l-∑=出+%+L,-n 1-若对充分大的n（即存在N,当n>N时有-un≤CVn-其中c>0与n无关，则-1当∑收敛时，∑4收敛； ∑“发散时，∑发散。
k可以取任意大，因而无上界。故卫=1时，级数-三发散（级教三}-也称为调和级数。-当p<1时，由于对任意正 数k,有≥-因此-会是因-右边的部分和数列无上界推出左边也无上界，-在p<1也发散。-当p>1时，设2≤n 2k+l-类似于前面的做法，有
n=1+水++儿+-=1+++++++L-+2加+2+L十女-<1+÷+京儿+六+品-=++儿+°j
问题：-1.无穷多项相加究竟是什么意思？加得起来吗？-2.对这种无穷项相加的“无穷级数”，它的运算-规律与 有限和”有什么异同？-历史上：-很多是“形式运算”，后来由于应用的深入-和广泛，形式运算常出现矛盾：
10.1 函数项级数
(2)有限个可导函数的和仍是可导函数，
且和函数的导数等于导函数的和; (3)有限个可积函数的和仍是可积函数， 且和函数的积分等于积分函数的和;
问题
无限个函数的和（函数项级数）是否具有这些性 质呢？
再考察例1：
研究级数 u n ( x ) x ( x 2 x ) ( x 3 x 2 ) ( x n x n 1 )
x a
S ( t )dt
x a
x un t dt un ( t )dt a n 1 n 1
定理5(和函数的可导性)
设un C 1 ( I )( n N ), 若级数 un 在I上处处
n 1
收敛于函数S : I R , u 在I上一致收敛于 n
当 z 1 时, 加绝对值后的级数收敛 原级数收敛 当 z 1 时, 加绝对值后的级数发散
用的比值法
原级数发散
1 当 z 1 时, 取 模 后 的 级 数 2 收 敛 原 级 数 收 敛 n n 1
收敛域为z 1
1 ( 2) (cos x ) n n 1 3 4 n
函数项级数
一、函数项级数基本概念
定义1 设un ( z )是定义在区域 上的复变函数列, D
称表达式 : u1 u2 un 或
u
n 1
n
为区域D上的复函数项级数 简称 , 函数项级数，un ( z )称为它的通项. 前 n 项之和S n ( z ) uk ( z )
设un C ( I )( n N ), 若函数项级数 un 在
n 1
I上一致收敛于 : I R , 则和函数S C ( I ). S
数学分析数项级数
数学分析数项级数数项级数是由一组数相加而成的序列。
数项级数在数学中有着非常重要的地位，常用于研究数学分析、微积分和数论等领域。
首先，我们来定义数项级数。
数项级数是由一组实数a1, a2,a3, ... 组成的序列，将其相加得到的序列表示为：S1 = a1, S2 = a1 + a2, S3 = a1 + a2 + a3, ... 一般地，第n个部分和Sn为Sn = a1 +a2 + ... + an。
我们首先来讨论数项级数的部分和序列。
部分和序列是数项级数中非常重要的概念。
如果部分和序列Sn收敛于一个实数S，即lim(n→∞)Sn = S，那么我们称该数项级数是收敛的，并称S为该数项级数的和。
如果部分和序列Sn不收敛，我们称该数项级数是发散的。
接下来，我们来研究一些收敛数项级数的性质。
首先是数项级数的有界性。
如果数项级数收敛，那么它的部分和序列一定是有界的。
这是因为收敛数列的定义就包含了它的部分和序列是有界的。
其次，我们来看数项级数的比较判别法。
这是判断数项级数的敛散性的一种常用方法。
如果对于一个正数b来说，数项级数绝对值的部分和序列Sn满足Sn≤b，那么我们称该数项级数是收敛的。
该方法常用于判定数项级数在无穷大时的敛散性。
再次，我们来看数项级数的比值判别法。
如果数项级数的部分和序列Sn满足lim(n→∞) ，Sn+1 / Sn， = L，那么我们有下面的结论：1）当L<1时，数项级数是收敛的；2）当L>1时，数项级数是发散的；3）当L=1时，该方法无法判定数项级数的敛散性。
最后，我们来看数项级数的积分判别法。
对于一个连续递减的正函数f(x)，如果数项级数的部分和序列Sn与函数f(x)的积分∫(n→∞) f(x) dx之间存在以下关系：1）当∫(n→∞) f(x) dx收敛时，数项级数也是收敛的；2）当∫(n→∞) f(x) dx发散时，数项级数也是发散的。
以上是数项级数的一些基本概念和性质。
1数项级数的概念和性质-27页精选文档
n ukl SknSk
l 1
极限状况相同, 故新旧两级
数敛散性相同.
当级数收敛时, 其和的关系为SSk.
类似可证前面加上有限项的情况 .
19.11.2019
宁波大学教师教育学院
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性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数
的和.
证: 设收敛级数 S un , 若按某一规律加括弧, 例如
分的总长和剩下部分的总长各是多少？
丢弃的各开区间长依次为
1 3
,
2 32
,
2 3
2 3
,
23 34
,
,
2n1 3n
,
故丢弃部分总长
01 2 1
l丢 1 3 3 2 2 2 3 3 2 3 2 4 3 2 3 n n 1 9 9 3
27 8 1
39 9
1 3 1 3 2 ( 3 2 ) 2 ( 3 2 ) 3 ( 3 2 ) n 1 131132 1
limSn
n
1aq
因此级数发散 .
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从而 nl im Sn,
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2). 若
则 级数成为
因此级数发散 ;
因此
Sn
a, 0,
n 为奇数 n 为偶数
从而
不存在 , 因此级数发散.
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ;
q 1时, 等比级数发散 .
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则称无穷级数
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则称无穷级数发散 . 当级数收敛时, 称差值
为级数的余项. 显然
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数项级数的定义
数项级数的定义一、数项级数的概念数项级数是指由一系列数项按照一定规律相加而得到的一种数列。
数项级数一般表示为 S =a 1+a 2+a 3+...+a n +...，其中 a n 是数项。
二、数项级数的和数项级数的和指的是将数项按照一定次序相加的结果。
如果数项级数的和存在有限值，我们称该数项级数是收敛的，收敛的和就是该级数的和；如果数项级数的和不存在有限值，我们称该数项级数是发散的。
三、数项级数的收敛条件数项级数的收敛与数项的值有关，有以下几种常见的收敛条件：1. 绝对收敛如果数项级数的各个数项 a n （n ≥1）的绝对值组成的级数 ∑|a n |∞n=1 收敛，则称原数项级数 ∑a n ∞n=1 是绝对收敛的。
2. 条件收敛如果数项级数 ∑a n ∞n=1 收敛，但 ∑|a n |∞n=1 发散，则称原数项级数是条件收敛的。
3. 收敛性与发散性对于一般的数项级数，没有绝对收敛或条件收敛的情况，称该数项级数是发散的。
四、数项级数的性质数项级数具有以下一些基本的性质：若级数 ∑a n ∞n=1 和 ∑b n ∞n=1 都收敛，则级数 ∑(a n +b n )∞n=1 也收敛，并且有∑(a n +b n )∞n=1=∑a n ∞n=1+∑b n ∞n=1。
2. 常数倍数性若级数 ∑a n ∞n=1 收敛，则级数 ∑(ka n )∞n=1 也收敛，并且有 ∑(ka n )∞n=1=k ∑a n ∞n=1（k 为常数）。
3. 递推式若级数 ∑a n ∞n=1 的部分和数列 {S n } 满足递推式 S n =S n−1+a n （n ≥2）并且lim n→∞S n 存在，则级数 ∑a n ∞n=1 收敛且 lim n→∞S n =∑a n ∞n=1。
4. 比较性若级数 ∑a n ∞n=1 和 ∑b n ∞n=1 满足 |a n |≤|b n |（n ≥1），且 ∑b n ∞n=1 收敛，则∑a n ∞n=1 绝对收敛。
2.2 数项级数的基本概念
一、数项级数的定义及敛散性定义：设给定一数列：，则称表达式为数项级数，简称级数．记为，即，其中第项称为级数的通项，也称为一般项．注意：级数一定是由无穷多项相加而成的式子． 例如：是级数，不是级数；是级数，不是级数．由中学学过的无穷递缩等比数列的求和公式可得，可见，这里的“无穷项求和”的结果等于一个数． 而对于级数，从直观上可知，这里的“无穷项求和”不等于任何数． 接下来要研究的问题是：“无穷项求和”的运算如何进行？定义：记级数的前项和为，显然 ．如果（常数），则称级数收敛，并称S 为级数的和，记作．如果不存在，则称级数发散．典型例题例 2.2.1讨论等比级数（又称为几何级数）的敛散性．其中，叫做级数的公比．解(1)如果，级数的前项和当时，由于，从而，因此这时级数收敛，其和为．当，由于，从而，这时级数发散．(2)如果，则当时，级数的前项和，因此级数发散；当时，级数成为，，显然随着的增大，总是在或零上来回跳动，从而的极限不存在，这时级数也是发散的．综上所述，我们得到：等比级数的公比为，则当时，级数收敛，且收敛于；如果，则级数发散．简记为发散，可记忆为发散，由此公式，我们可以很快地得出：，级数收敛．，级数收敛．发散．例 2.2.2判定下列级数的敛散性：(1) ；(2) ．解(1)∵，∴，从而，故级数发散．(2)由于，所以．从而，故级数收敛，它的和是1．例 2.2.3判定级数的敛散性．解级数的前项和，因为，所以级数发散．也可以这样化简：备注：这里用到初等数学中的公式：，．二、级数的基本性质和收敛的必要条件性质1 若为非零常数，则与同时收敛或同时发散，且在收敛时，有．此性质说明：级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不会改变．性质2 设级数与都收敛，则也收敛，且．此性质说明，两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减．性质3 在级数中去掉、加上或改变前面有限项的值，不会改变级数的敛散性．性质4（级数收敛的必要条件）若级数收敛，则它的一般项趋于零，即．此性质说明，一般项的极限为零是级数收敛的必要条件．推论：若，则级数发散．注意：级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件．有些级数虽然一般项趋于零，但仍然是发散的．将在后面学习的调和级数就是这样的例子．典型例题例 2.2.4判断级数的敛散性．解，而级数收敛，所以由性质1知收敛．例 2.2.5判定级数的敛散性，若收敛求此级数的和．解因为级数收敛，且，又级数也收敛，且；所以由性质2，．例 2.2.6判定级数的敛散性．解级数的一般项为，因为，所以级数发散．三、正项级数的敛散性判别定义：设数项级数中的每一项都是非负的，即（），则称该级数是正项级数．定理（比较判别法）：设，是两个正项级数，若，则(1) 当收敛时，收敛；(2) 当发散时，发散．有了这个定理，在判断一个正项级数的敛散性时，可以利用另一个收敛性为已知的正项级数来比较．形如的级数称为－级数，可以证明－级数当时收敛，当时发散．其中时的级数也称为调和级数．典型例题例 2.2.7判定下列级数的敛散性：(1) ； (2) ； (3)解(1)因为，是调和级数，所以级数发散．(2)因为，所以级数收敛．(3)因为，所以级数发散．例 2.2.8判定下列级数的敛散性：(1)；(2)；(3)．解(1) ∵，∴，，而收敛，故收敛．(2) ∵，∴，而发散，所以发散．(3) ∵，∴，而发散，所以发散．小结(1)数项级数及其收敛与发散的概念；(2)数项级数敛散性的常用判别法：①等比级数的敛散性判定及收敛时的求和．要求掌握有关的结论和公式．②－级数的敛散性．要求掌握有关的结论．③对于正项级数，在利用比较判别法时，常以－级数作为参照．④当以上判别方法都不适用时，考虑用敛散性的定义进行判别．⑤利用级数收敛的必要条件只能说明，一般项极限不为零的级数发散，但一般项极限为零的级数未必收敛．重点题型：判断级数的敛散性．。
函数项级数与数项级数的区别
函数项级数与数项级数的区别摘要：1.函数项级数与数项级数的定义及区别2.函数项级数的基本性质3.数项级数的基本性质4.两者在数学分析中的应用5.总结与展望正文：在数学领域，函数项级数与数项级数是两种常见的级数形式。
它们在本质上有何区别？各自具有哪些性质？又在实际应用中发挥着怎样的作用呢？接下来，我们将一一探讨。
首先，我们来了解一下函数项级数与数项级数的定义及区别。
1.函数项级数与数项级数的定义及区别函数项级数是指一个以函数为项的级数，即：f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ...+ anx^n + ...其中，an为第n项的系数，n为自然数。
数项级数则是指一个以数为项的级数，即：a0 + a1 + a2 + ...+ an + ...其中，an为第n项的系数，n为自然数。
可以看出，函数项级数与数项级数的主要区别在于项的类型不同。
函数项级数的项是函数，而数项级数的项是数。
接下来，我们来探讨一下函数项级数与数项级数的基本性质。
2.函数项级数的基本性质（1）线性性质：函数项级数具有线性性质，即对任意的函数f(x)和g(x)，它们的和、差、积、商仍是函数项级数。
（2）可积性：如果函数项级数中的每一项都是可积的，那么这个函数项级数也是可积的。
（3）收敛性：函数项级数的收敛性与数项级数的收敛性类似，也有绝对收敛和条件收敛之分。
3.数项级数的基本性质（1）线性性质：数项级数具有线性性质，即对任意的数项级数a_n和b_n，它们的和、差、积、商仍是数项级数。
（2）可求和性：数项级数满足收敛条件时，可以求出其和。
（3）收敛性：数项级数的收敛性与函数项级的收敛性类似，也有绝对收敛和条件收敛之分。
4.两者在数学分析中的应用函数项级数与数项级数在数学分析中有着广泛的应用，如泰勒级数、傅里叶级数等。
这些级数在微积分、概率论、信号处理等领域发挥着重要作用。
5.总结与展望函数项级数与数项级数是数学领域中两种重要的级数形式。
高等数学同济大学版10.1 常数项级数的概念和性质
或通项. 级数(1)的前n 项的和
n
sn u1 u2 un ui
(2)
i 1
称为级数(1)的前n项部分和. 当 n依次取1,2,3 时, 它们构
成一个新的数列 {sn }, 即
它们构成一个新的数列{sn }, 即 s1 u1, s2 u1 u2 , , sn u1 u2 un ,
完
例1
讨论级数
1 1 2
1 23
...
1 n(n
1)
...
ห้องสมุดไป่ตู้的收敛性.
解
sn
1 1 2
1 23
...
1 n(n
1)
un
1 n(n 1)
1
1 2
1 2
1 3
...
1 n
n
1
1
1 1 n n1
1
n
1
1.
所以
lim
n
sn
lim 1 n
n
1
1
1
即题设级数收敛，其和为1.
技巧: 利用 “拆项相消” 求和 完
)
.
若 q 1, 有 lim qn 0, n
则
lim
n
sn
1
a
q
.
若 q 1,
有
lim qn ,
n
则
lim
n
sn
.
若 q 1,
有 sn na,
则
lim
n
sn
.
例 4 讨论等比级数(又称为几何级数)
aqn a aq aq2 ... aqn ...(a 0) 的收敛性.
数项级数的概念和性质
第一讲 数项级数的概念和性质【教学内容】1．数项级数的定义 2．级数收敛和发散的定义 3．基本性质4．级数收敛的必要条件 【教学目的与要求】1．掌握级数收敛和发散的定义 2．掌握收敛级数的性质和收敛的条件 【教学重点与难点】级数收敛的条件 【教学过程】 一、级数的定义给定一个数列 ,,21u u ， ,n u ，则表达式 ++++n u u u 21 叫做数项级数(简称级数)，记为∑∞=1n nu．即++++=∑∞=n n nu u u u211n u 称为级数的一般项．二、级数的敛散性设n s 是级数∑∞=1n nu的前n 项和，即n n u u u s +++= 21，称n s 为级数∑∞=1n nu的n 项部分和．部分和,,,,321321211 u u u s u u s u s ++=+== ,21n n u u u s +++=构成一个数列{}n s ，称为级数∑∞=1n nu的部分和数列．若+∞→n 时部分和数列{}n s 有极限，即 s s n n =+∞→lim （s 为常数），则称级数收敛，其极限值s 称为该级数的和，记为∑∞==1n nus ．若{}n s 没有极限，则称该级数发散（不收敛）．例1 •=3.031，等式右端是一个以3为循环节的无限循环小数，写成级数就是∑∞=•=⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅=132103103103103333.03.0n n ． 例2 判断等比级数（几何级数） ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=∑∞=n n naq aq aq a aq20)0(≠a 的敛散性．解： 若1≠q ，则部分和为qq a aq aq aq a s n n n --=+⋅⋅⋅+++=-1)1(12．（1）当1<q 时，qas n n -=+∞→1lim ； （2）当1>q 时，∞=+∞→n n s lim ；（3）当1=q 时，na s n =；∞=+∞→n n s lim ．（4）当1-=q 时，⋅⋅⋅+-+-=∑=a a a a aqn n其部分和⎩⎨⎧=为奇数时为偶数时n a n s n ,,0 ．此时，n n s +∞→lim 不存在．因此，当1<q 时，等比级数∑∞=0n naq 收敛于a a -1；当1≥q 时，等比级数∑∞=0n naq 发散．三、收敛级数的基本性质由级数收敛的定义可知，级数的收敛问题，实质上就是其部分和数列有无极限的问题，因此我们可以用数列极限的相关结论来推证级数的一些重要性质． 性质 1 若级数∑∞=1n nu收敛，c 为任一非零常数，则级数∑∞=1n ncu也收敛；且有∑∑∞=∞==11n n n nu c cu．性质 2 若级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv分别收敛于q 和p ，则级数)(1n n nv u±∑∞=也收敛，且有p q v u v un n n n n n n±=±=±∑∑∑∞=∞=∞=111)(．性质3 在级数的前面添上或去掉有限项，级数的敛散性不变．当级数∑∞=1n nu收敛于s 时，其和s 与部分和n s 的差12n n n n r s s u u ++=-=++⋅⋅⋅称为该级数的余项．用n s 作为s 的近似值所产生的误差，就是余项的绝对值n r ． 四、级数收敛的必要条件定理1（级数收敛的必要条件） 若级数∑∞=1n nu收敛，则0lim =+∞→n n u证明： 设该级数部分和为n s ，于是1--=n n n s s u ．由于∑∞=1n nu收敛于s ，所以有0)(lim lim 1=-=-=-+∞→+∞→s s s s u n n n n n这就是说，若∑∞=1n nu收敛，则0lim =+∞→n n u ．若0lim ≠+∞→n n u 或不存在，则级数∑∞=1n nu一定发散．例如级数++-+++--1)1(4332211n n n 其一般项1)1(1+-=-n nu n n ， 当+∞→n 时不趋于零，所以级数是发散的． 应该强调的是，0lim =+∞→n n u 并不是∑∞=1n nu 收敛的充分条件．例如，调和级数∑∞=11n n ，虽然01lim=+∞→nn ，但它是发散级数．例3 证明∑∞=--11)1(n n 是发散级数．解： 因为=+∞→n n u lim 1)1(lim -+∞→-n n 不存在，所以级数∑∞=--11)1(n n 发散．例4 判别级数∑∞=-11n n n 的敛散性． 解： 因为11lim =-+∞→nn n ；所以原级数是发散的．五、小结1．数项级数的定义2．级数收敛和发散的定义3．基本性质4．级数收敛的必要条件六、作业练习： p156 习题 8.1: 1；2，3单号作业: p156 习题 8.1: 3双号；4预习：第八章8.1 p152-154。
数项级数的概念与基本性质
8.1数项级数的概念与基本性质教学目的理解级数的概念和基本性质教学重点级数的基本性质，收敛的必要条件，几何级数教学难点有穷项相加与无穷项相加的差异教学过程1.导入以前我们学习的加法是将有限个数相加，这种加法易于计算但无法满足应用的需要．在许多技术问题中常要求我们将无穷多个数相加，这种加法叫做无穷级数．无穷级数是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种工具．无穷级数分为常数项级数和函数项级数，常数项级数是函数项级数的特殊情况，是函数项级数的基础． 2.讲授新课2.1常数项级数的概念定义8.1 设给定数列}{n a ，我们把形如 ∑∞==++++121n nn aa a a （8.1.1）的式子称为一个无穷级数，简称级数．其中第n 项n a 称为级数∑∞=1n na的通项（或一般项）．如果级数中的每一项都是常数，我们称此级数为数项级数.例如， 等差数列各项的和+-+++++++])1([)2()(1111d n a d a d a a 称为算术级数．等比数列各项的和+++++-112111n q a q a q a a称为等比级数，也称为几何级数．级数11n n ∞=∑ =111123n +++++ 称为调和级数．级数（8.1.1）的前n 项和为：121nn k k k S a a a a ===+++∑ ，称n S 为级数∑∞=1n na的前n 项部分和，简称部分和．2.2常数项级数收敛与发散定义8.2 若级数(8.1.1)的部分和数列}{n S 的极限存在， 即 S S n n =∞→lim (常数)则称极限S 为无穷级数∑∞=1n na的和．记作++++==∑∞=n n n a a a a S 211此时称级数∑∞=1n na收敛；如果数列}{n S 没有极限，则称级数∑∞=1n na发散，这时级数没有和．显然，当级数收敛时，其部分和n S 是级数和S 的近似值，它们之间的差++=-=++21n n n n a a S S r叫做级数的余项．用近似值n S 代替S 所产生的误差是这个余项的绝对值，即误差为||n r ．例１ 讨论几何级数+++++=∑∞=-n n n aq aq aq a aq211的敛散性，其中0≠a ，q 是公比．结论：几何级数∑∞=-11n n aq，当1||<q 时收敛，且qaaq n n -=∑∞=-111；1||≥q 时发散． 例2 判别无穷级数++++⋅+⋅=+∑∞=)1(1321211)1(11n n n n n 的敛散性． 例3 证明级数+++++=∑∞=n n n 3211发散．2.3收敛级数的基本性质 性质8.1 若s an n=∑∞=1,σ=∑∞=1n nb，则级数σ±=±∑∞=s b a n n n 1)(．性质8.2 若∑∞=1n na收敛，k 为非零常数，则级数∑∞=1n nka也收敛，且有∑∑∞=∞==11n n n na k ka．性质8.3 若级数∑∞=1n na收敛，则0lim =∞→n n a .性质8.3表明，0lim =∞→n n a 是级数收敛的必要条件．因此，如果级数的通项不趋于0，则该级数一定发散；若该级数的通项趋于0，则该级数可能收敛，也可能发散．例4 已知级数为++++++12735231n n ， 讨论其敛散性．注意：性质8.3只是级数收敛的必要条件，并非充分条件．例如调和级数+++++=∑∞=n n n 13121111， n a n 1=，01lim lim ==∞→∞→n a n n n ，但它是发散的.3.小结 3.1无穷级数∑∞=1n nu＝ +++++n u u u u 321其中n u 叫通项．3.2部分和n nk kn u u u us +++==∑= 211，当s s n n =∞→lim 存在时级数收敛，否则发散．3.3四条基本性质：性质1-4．3.4收敛的必要条件．4.布置习题(略)8.2正项级数及其审敛法教学目的理解正项级数的概念和性质教学重点正项级数的各种审敛法，几何级数与P-级数教学难点比较判别法教学过程1.复习 1.1问题⑴级数就是无穷多项相加吗? ⑵级数收敛的必要条件?⑶算术级数、等比级数、调和级数的敛散性 1.2讲解作业 2.讲授新课级数的问题，首先是敛散性问题.一般来说，根据级数收敛与发散的定义、性质只能判别出少数级数的敛散性，因此还必须建立其他的判别法.下面将分别给出正项级数、任意项级数的敛散性判别法.首先，来研究正项级数及其敛散性的判别法.2.1正项级数的定义定义8.3 若数项级数∑∞=1n nu的一般项0≥n u （ ,2,1=n ），则称数项级数∑∞=1n nu为正项级数．正项级数是很重要的一类数项级数，下面我们给出两种常用的判定正项级数收敛或发散的法则，这些法则都给出了级数收敛的充分条件． 2.2比较判别法定理8.1（比较判别法） 设∑∞=1n nu和∑∞=1n nv是两个正项级数，若n n cv u ≤（1,2,;n =c 为大于零的常数）则（1）当∑∞=1n nv收敛时，∑∞=1n nu也收敛；（2）当∑∞=1n nu发散时，∑∞=1n nv也发散．注意：定理8.1告诉我们：只需与已知敛散性的正项级数作比较，便可判定正项级数的敛散性．通常我们选用几何级数和下面的-p 级数作为判定正项级数敛散性的比较对象．级数+++++p p p n131211（常数0>p ） 称为-p 级数，-p 级数当1≤p 时发散，当1>p 时收敛（证明从略）．调和级数即为1p =时的情形．例5 判定下列级数的敛散性：(1)∑∞=11n n；(2)∑∞=11n nn． 2.3比值判别法比较审敛法是通过与某个已知敛散性的级数比较对应项的大小，来判断给定级数的敛散性，但有时不易找到作为比较对象的已知级数，这就提出了一个问题，能否从级数本身直接判别级数的收敛性呢？达朗贝尔找到了比值审敛法．定理8.2（比值判别法，又称达朗贝尔判别法） 若正项级数∑∞=1n nu（0>n u ）的后项与前项之比值的极限等于ρ，即ρ=+∞→nn n u u 1lim，则（1）1<ρ时，级数收敛；（2）1>ρ（或∞=ρ）时，级数发散； （3）1=ρ时，不能判断级数的敛散性．例6 判别下列级数的敛散性：(1)∑∞=122n n n ； (2)∑∞=1!n n n n ．２.４课堂练习⑴利用比较判别法，判断下列级数的敛散性： ① ++++7151311；② +-++++1253321n n ． ⑵利用比值判别法，判断下列级数的敛散性：①∑∞=123n n n ；②∑∞=1!1n n ．3.小结⑴正项级数的概念；⑵比较审敛法、比值审敛法 4.布置习题(略)8.3任意项级数及其审敛法教学目的理解变号级数的概念和性质教学重点交错级数的审敛法，绝对收敛与条件收敛教学难点绝对收敛与条件收敛教学过程1.复习复习正项级数比较审敛法、比值审敛法 2.讲授新课2.1绝对收敛级数与条件收敛级数设),3,2,1( =n u n 为任意实数，则级数∑∞=1n nu称为任意项级数．为了判定任意项级数∑∞=1n nu的收敛性，通常先考察其各项的绝对值组成的正项级数∑∞=1n nu的收敛性．定理8.3 若绝对值级数∑∞=1n nu收敛，则级数∑∞=1n nu必定收敛．注：由于∑∞=1||n nu总是正项级数，因此定理8.3 使得一大类级数的收敛性问题转化为正项级数的收敛性问题．定义8.4 若级数∑∞=1||n n u收敛，则称原级数∑∞=1n n u 绝对收敛．若级数∑∞=1||n n u 发散，而级数∑∞=1n nu收敛，则称级数∑∞=1n nu为条件收敛．例7 判断级数∑∞=1!n nn a （a 为任意常数）的敛散性． 注意：定理8.3的逆定理并不成立．即绝对收敛的级数一定收敛，但收敛级数却不一定绝对收敛．2.2交错级数及其审敛法定义8.5 若级数的各项符号正负相间，即∑∞=+-=+-+-114321)1(n n n u u u u u ，或 ∑∞=-=+-+-1321)1(n n nu u u u ，则称此级数为交错级数，其中0>n u （ ,2,1=n ）． 由于级数∑∑∞=∞=+--=-111)1()1(n n n n n nu u ，所以下面只讨论∑∞=+-11)1(n n n u 的敛散性．定理8.4（莱布尼兹判别法） 若交错级数∑∞=+-11)1(n n n u ，0>n u ，1,2,n = ，满足条件：（1）1+≥n n u u ，1,2,n = ；（2）0lim =∞→n n u ，则级数∑∞=+-11)1(n n n u 收敛，且其和1u S ≤．例8 判断级数∑∞=-1)1(n nn 的敛散性．解 此交错级数1n u n =，111n u n +=+，满足（1）111+>n n （1,2,n = ）（2）01)1(lim lim =-=∞→∞→nu n n n n 由莱布尼兹判别法知，级数收敛．又由于(1)1n n u n n -==，而调和级数11n n∞=∑发散，故原级数是条件收敛．此例也说明，定理8.3的逆定理不成立． 3.小结⑴任意项级数的M 判别法 ⑵绝对收敛与条件收敛⑶交错级数与莱布尼茨判别法 (另提行)4.布置习题(略)第6章7份 第7章3份 第8章6份 第9章4份8.4幂级数及其收敛性教学目的理解幂级数的概念；求简单幂级数的收敛半径及收敛区间．教学重点幂级数的收敛性教学难点幂级数的收敛性教学过程1.导入上一节学习了常数项级数的概念及敛散性的判别方法，常数项级数是函数项级数的特例，那么什么是函数项级数呢？ 2.讲授新课2.1函数项级数的概念若给定一个定义在区间I 上的函数列)(1x u ，)(2x u ，…，)(x u n ，… 则由此函数列构成的表达式121()()()()nnn u x u x u x u x ∞==++++∑ （8.2.1）称为定义在I 上的函数项级数，)(x u n 称为一般项或通项．对每一确定的点I x ∈0，都对应一个数项级数121()()()()nnn u x u x u x u x ∞==++++∑ （8.2.2）若数项级数（8.2.2）收敛，则称0x 为函数项级数（8.2.1）的收敛点．若数项级数（8.2.2）发散，则称0x 为函数项级数（8.2.1）的发散点．函数项级数（8.2.1）的收敛点的全体称为它的收敛域，发散点的全体称为它的发散域．对于收敛域内的任意一个数x ，函数项级数成为一个收敛域内的数项级数，因此，有一个确定的和()x S ．这样，在收敛域上，函数项级数的和是关于x 的函数()x S ，通常称()x S 为函数项级数的和函数，记作()()∑∞==1n n x u x S ．其中x 是收敛域内的任意一点．将函数项级数的前n 项和记作()x S n ，则在收敛域上有()()x S x S n n =∞→lim ．函数项级数中最简单、最重要的一类，就是我们下面要讨论的幂级数． 2.2幂级数及其收敛性定义8.6 形如+++++=∑∞=n n n n nx a x a x a a x a22100（8.2.3）的级数称为幂级数，其中0a ，1a ，…，n a ，…称为幂级数的系数．对幂级数，我们首先要考虑的也是它的收敛性问题，首先介绍如下定理． 定理8.5 若ρ=+∞→||lim 1nn n a a ， 其中n a ，1+n a 是幂级数∑∞=0n n nx a相邻两项的系数，则(1)当0=ρ时，幂级数∑∞=0n n nx a在任何()+∞∞-∈,x 处收敛；(2)当+∞=ρ时，幂级数∑∞=0n n nx a仅在0=x 收敛；(3)当ρ为不等于的常数时，幂级数∑∞=0n nn x a 在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈ρρ1,1x 内收敛，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-∈,11,ρρ x 内发散． 0≠ρ时，令ρ1=R ，并规定：0=ρ时，+∞=R ；+∞=ρ，0=R ．R 称为幂级数∑∞=0n n nx a的收敛半径；区间()R R ,-称为幂级数的收敛区间． R 为正常数时，幂级数在收敛区间的端点处R x ±=可能收敛，也可能发散；R x >时，幂级数发散．如果收敛半径R 为正数，那么在求幂级数收敛域时，要注意考察端点处的敛散性，所得收敛域有四种：[,]R R -、(,]R R -、[,)R R -、(,)R R -，它们通常都称为幂级数的收敛区间.例1 求幂级数∑∞=--11)1(n nn nx 的收敛半径与收敛区间． 例2 求幂级数∑∞=12n nn x 的收敛区间．例3 求幂级数∑∞=0!n nn x 的收敛区间．练一练求下列幂级数的收敛区间：(1)∑∞=1n nnx ； (2)∑∞=1!n n x n ．3.小结⑴幂级数的概念； ⑵收敛半径1limnn n a R a →∞+=，收敛区间注意讨论端点； 4.布置习题(略)8.5幂级数的性质教学目的理解幂级数的性质，会幂级数的主要运算.教学重点幂级数的4条性质(包括在收敛区间内可逐项求导和逐项积分).教学难点收敛区间内可逐项求导和逐项积分.教学过程1.复习1.1幂级数的概念. 1.2收敛半径1limnn n a R a →∞+=，收敛区间讨论端点. 2.讲授新课2.1幂级数的性质性质8.4 若幂级数∑∞=0n nnx a与∑∞=0n n n x b 的收敛半径分别为1R 和2R ，则∑∑∑∞=∞=∞=+=+0)(n nn n n nn n nn x b a x b x a 的收敛半径等于1R 和2R 中的较小的一个．性质8.5 设幂级数∑∞=0n nnx a的收敛半径为R （0>R ），则其和函数∑∞==0)(n n n x a x S 在区间),(R R -内连续．性质8.6 设幂级数∑∞=0n n nx a的收敛半径为R （0>R ），则其和函数)(x S 在),(R R -内可导，且有逐项求导公式：∑∑∞=-∞=='='010)()(n n n n nn x na x a x S ，其中R x <||，且逐项求导后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径．性质8.7 设幂级数的收敛半径为R （0>R ），则其和函数)(x S 在区间),(R R -内可积，且有逐项积分公式：∑∑⎰⎰∑⎰∞=+∞=∞=+===011)()(n n n n xnn xn nn xx n a dx x a dx x a dx x S ，其中R x <||，且逐项积分后所得的幂级数与原级数有相同的收敛半径． 2.2利用性质求幂级数的收敛区间和和函数例4 求幂级数∑∞=-11n n nx的收敛区间及和函数．解11lim ||lim 1=+==∞→+∞→n n a a n nn n ρ，收敛半径11==ρR ，又1±=x 时，所得的级数发散，因此收敛区间为)1,1(-．设和函数∑∞=-=11)(n n nxx S ，由性质8.7xxx dx nx dx nxdx x S n n n xn xn n x-====∑∑⎰⎰∑⎰∞=∞=-∞=-1)()(11111，)1,1(-∈x ， 两边对x 求导得 2)1(1)1()(x x x x S -='-=，)1,1(-∈x ． 课堂练习：⑴求幂级数101n n x n +∞=+∑的和函数．解 设和函数为)(x s ，即)(x s ＝∑∞=++011n n n x ． 两端求导，并注意到)1,1(,1112-∈+++++=-x x x x xn ． 可得1001()()11n n n n x s x x n x +∞∞==''===+-∑∑． 上式两端从0到x 积分，得01()(0)d ln(1)1xs x s x x x -==---⎰， (1,1)x ∈-. 由于(0)0s =．又当1x =-时，10(1)1n n n +∞=-+∑收敛，所以 ∑∞=++011n n n x =)1,1[)1ln(-∈--x x ． ⑵求幂级数21(1)21n n n x n +∞=-+∑的和函数，并求级数01(1)21n n n ∞=-+∑的和． 解略3.小结幂级数的性质，特别是逐项微分和逐项积分性质.4.布置习题(略)8.6函数展开成幂级数教学目的函数能展开为幂级数的条件；泰勒级数的概念．5个重要的初等函数的幂级数展开式及它们的收敛区间；将简单的初等函数展开为x 的幂级数．教学重点函数展开成泰勒级数；间接展开法.教学难点函数展开成泰勒级数.教学过程1.导入前面讨论了幂级数的收敛域及其和函数的求法，但在实际问题中往往会提出相反的问题：对于已知函数)(x f ，能否用幂级数来表示? 下面将讨论这个问题．2.讲授新课2.1泰勒级数⑴泰勒展开式若函数)(x f 在点0x 的某一邻域内具有直到)1(+n 阶的导数，则对此邻域内任意x 有+-''+-'+=200000)(!2)())(()()(x x x f x x x f x f x f()()()()()()()10100!1!++-++-+n n n n x x n f x x n x f ξ. （8.3.1） 称(8.3.1)为)(x f 的泰勒展开式或泰勒公式，其中ξ在0x ，x 之间，且()()()()()101!1++-+=n n n x x n f x R ξ 称为)(x f 的n 阶泰勒余项． n n x x n x f x x x f x x x f x f x f )(!)()(!2)())(()()(00)(200000-++-''+-'+≈ ． (8.3.2) 在泰勒展开式中，当00=x 时，记x θξ=，10<<θ，公式（8.3.1）成为()()()()11)(2!1!)0(!2)0()0()0(++++++''+'+=n n n n x n x f x n f x f x f f x f θ (8.3.3) 称(8.3.3)为)(x f 的麦克劳林展开式．⑵泰勒级数若)(x f 在点0x 的某邻域内具有各阶导数)(x f '，)(x f ''，…，)()(x fn ，…，此时我们可让多项式（8.3.1）的项数趋于无穷而构成幂级数 +-++-''+-'+n n x x n x f x x x f x x x f x f )(!)()(!2)())(()(00)(200000 （8.3.4） 幂级数（8.3.4）称为函数)(x f 的泰勒级数．定理8.６ 设函数)(x f 在点0x 的某一邻域)(0x U 内具有各阶导数，则)(x f 在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是)(x f 的泰勒公式中的余项)(x R n 当∞→n 时的极限为零.即0)(lim =∞→x R n n （)(0x U x ∈）． 在（8.3.4）式中，若00=x ，可得 +++''+'+=n n x n f x f x f f x f !)0(!2)0()0()0()()(2 （8.3.5） 级数（8.3.5）称为函数)(x f 的麦克劳林级数．函数)(x f 的麦克劳林级数是x 的幂级数，若)(x f 能展开成x 的幂级数，则展开式是唯一的，就是)(x f 的麦克劳林级数．2.2函数展开成幂级数⑴直接展开法利用麦克劳林公式将)(x f 展开成x 的幂级数，其步骤如下：①求出)(x f 的各阶导数)(x f '，)(x f ''，…，)()(x fn ，…，如果)(x f 在0=x 处的某阶导数不存在，则)(x f 不能展开成幂级数；②求出函数及其各阶导数在0=x 处的值： )0(f ，)0(f '，)0(f ''，…，)0()(n f ，…；③写出函数)(x f 的幂级数并求出收敛半径R ；④考察),(R R x -∈时，余项)(x R n 的极限1)1()!1()(lim )(lim ++∞→∞→+=n n n n n x n f x R ξ （ξ在0与x 之间）． 是否为零.如果为零，则级数（8.3.6）收敛，且和函数就是)(x f ．即+++''+'+=n n x n f x f x f f x f !)0(!2)0()0()0()()(2． ),(R R x -∈ 如果极限不为零，则级数（8.3.6）的和函数就不是)(x f ，即)(x f 不能展开成x 的幂级数．例1 将函数x e x f =)(展开成x 的幂级数．例2 将函数x x f sin )(=展开成x 的幂级数．例3 函数m x x f )1()(+=（其中m 为任意常数）展开成x 的幂级数．⑵间接展开法通常利用几何级数、x e 、x sin 、()mx +1的幂级数展开式，根据函数幂级数展开式的唯一性，通过代数运算或求导、求积分运算将函数)(x f 展开成幂级数，这种方法称为间接展开法．例4 将x211-展开为x 的幂级数． 例5 将函数x x f cos )(=展开为x 的幂级数．例6 将)1ln()(x x f +=展开为x 的幂级数．3.小结⑴泰勒系数与泰勒级数；⑵函数的泰勒级数展开式（主要掌握间接展开）；4.布置习题(略)。
第一节数项级数的概念和性质
表达函数 解微分方程
第一节 数项级数的概念和性质 数值计算
一. 数项级数的概念
中学: 无穷等比级数 a aq aq2 ...... aqn1 ......
就是无穷级数的一种
定义 设有数列 u1, u2 , , un ,
将其各项依次累加所得的式子
u1 u2 un un n 1
新级数 (u1 u2 ) (u3 u4 u5 )
1 S2 , 2 S5 ,, m Sn ,
lim
m
m
lim
n
Sn
S
注意: (1). 加括号后所得新级数发散,则原级数发散.
(2). 加括号后所得新级数收敛,原级数不一定收敛.
例如: (1－1)+ (1－1)+ (1－1)+......收敛 而1－1+1－1+1－1+......发散.
1 1 1 1
23
n
lim
n
un
lim
n
1 n
0
但可以证明级数发散
假若级数收敛,则 lnim(S2n Sn ) S S 0
但是,
S2n
Sn
1 n 1
n
1
2
1 2n
1 2n
1 2n
1 2
矛盾
例. 判断级数敛散性:
n
(1) n1 100 n 1
lim
n
un
lim n n 100n
1
1 100
级数发散
Sn
1 23 n
n(n 1) 2
(n )
(2). 1 1 1 =1
12 23
n(n 1)
un
1 n
函数项级数、幂级数的概念
CalculusⅡ
第十章 无穷级数
§10.1 无穷级数的概念
§10.2 无穷级数的基本性质 §10.3 数项级数的敛散性判别法 §10.4 函数项级数与幂级数 §10.5 函数的幂级数展开
函数项级数、幂级数的概念
一 函数项级数的概念
1 定义 设 u1( x), u2( x),, un ( x), 是定义在数集E 上的一个函
n0
lim a xn 0
n n 0
根据数列极限的性质有常数 M 0 使
a xn n0
M ,(n
1,2,),
因此
n
n
an xn
an
x0n
(
x x0
)n
an x0n
x x0
M x x0
n
即
a n
x
n
M
x x0
因为
x x0
时，
级数
M
n
x 的公比满足
n0
x 0
q x 1, x0
所以
M
n
n0
都绝对收敛，于是 R .
3. 如果 l , 这时
ห้องสมุดไป่ตู้
an
x n
对
x0
收敛，对非零 x
n0
都发散，于是 R 0 .
例
求幂级数 (1)n1 x n 的收敛半径与收敛域。
n 1
n
解:
l
lim
a n1
lim (1)n
n
1 ，所以 R 1 。
a n n
n n 1 (1)n1
当 x 1 时, (1)n1 (1)n 1 发散；
u n n
n an xn
高等数学 第十章
确定的有限常数，从而，无穷多个数相加在一定条件下是有
意义的.
二、 常数项级数的概念
定义1 对于无穷数列u1，u2，…，un，… 把它的各项依 次累加的表示式
u1+u2+u3+…+un+…
(1)
称为无穷级数，简称为级数，记为
un
.
其中u1称为级数的
n 1
第1项(或首项)，u2称为级数的第2项， …，un称为级数第n项，
lim
n1
un
0
，则可判定级数
u
n
n 1
一定发散.
例4 判定级数
3n
n1 5n 4
的敛散性.
解
级数的一般项
un
3n 5n
4
.
因为
lim
n
u
n
lim
n
3n 5n 4
3 5
0
所以由级数收敛的必要条件知，该级数发散.
10.2 常数项级数的审敛法
一、 正项级数的审敛法
每一项都是非负的级数称为正项级数，即级数
un un 0, n 1,2,
为正项级数.
n1
1. 比较审敛法
设 un和 vn 都是正项级数，且un≤vn(n=1，2，…)，
n1
n1
则
(1) 若级数 vn
n 1
(2) 若级数
un
n 1
收敛， 则级数 un
n 1
发散， 则级数
vn
n 1
收敛； 发散.
比较审敛法还有另一种形式(比较审敛法的极限形式).
定义2
对于级数
un
的部分和数列{Sn}， 若n→∞时有
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《高等数学》第四次网络课导学
学习内容：数项级数的概念
重点内容：数项级数的敛散性定义；数项级数的敛散性判定。
课程要求：了解数项级数的概念；理解数项级数敛散性的定义；掌握常见的数项级数的敛散性判别的方法。
学习步骤：签到——阅读《高等数学》教材10.1节数项级数——观看视频3.2.1常数项级数的概念与性质（两个视频）——完成测验——讨论问题——完成课后作业，共6个步骤
课后作业：
1.判定级数∑∞
=+
1
)1 (
1
n
n
n
的敛散性.（提示：运用裂项相消法找到部分和）
2.判定级数∑∞
=
--
1
1
)1
(
n
n的敛散性.（提示：讨论部分和在奇数项和与偶数项和的不同）
3.研究级数∑∞
=
+ +
11 1
n
n
n
的敛散性.（提示：将各项有理化，消项）
4.讨论等比级数的敛散性.(可不做在作业本上)
5.判断题
（1）在级数前面去掉或加上有限项，不会影响级数的敛散性.（）
（2）将收敛级数的某些项加括号之后，所成新级数仍收敛于原来的和.（）（3）加括号后发散，则级数发散.（）
（4）加括号后收敛，原级数不一定收敛.（）
（5）级数∑∞
=1
n
n
u收敛则一定有0
lim=
∞
→
n
n
u.（）。