上海市2017年高三数学排列组合二项式概率统计复习题(含解析)沪教版

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排列组合二项式概率统计

概念：

1、排列数：!

(1)(2)(1)()!

m

n n P n n n n m n m =---+=

-L

2、组合数：(1)(2)(1)!!!()!m m

n n

m m P n n n n m n C P m m n m ---+===-L ，规定0

1n C =。

3、组合数的性质：m n m n n C C -=， 11

1m m m n n n C C C ++++=，

11k k n n kC nC --=， 1

121m m m m m m m m n n C C C C C ++++++++=L 。

4、排列与组合的关系m m m

n n m P C P =

5、二项式定理：

011222()n n n n r n r r n n

n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b

---+=+++++L L

6、1r n r r

r n T C a b -+= b 的指数与组合数的上标一致。

7、 ○1二项展开式的各二项式系数之和0122n n

n n n n C C C C ++++=L

○

2二项展开式的奇数项之和024

n n n C C C +++=L 偶数项之和13512n n n n C C C -+++=L 8、 总体平均数

121

()N x x x N μ=

++L

9、 总体中位数的意义：从小到大的次序排列，位于正当中位置的数是中位数，当N 为

偶数时，当中位置的两个数的平均数是总体中位数 10、

总体方差2222121[]N x x x N

σμμμ=

-+-++-L （）（）（）= 2222121

N x x x N

μ=+++-L （） 11、样本方差(总休标准差的点估计值)

：s =12、随机抽样(抽签法、随机数表法):

13、系统抽样:等间隔抽样，(每一个间隔抽取一个) 14、分层抽样:按比例抽样，比例n =N n

k N

=样本数总体数

(一)排列与组合 1、在一块并排10垄的田地中，选择两垄分别种植A 、B 两种作物，每种作物种植一 垄，

为有利于作物生长，要求A 、B 两种作物的间隔不小于6 ，不同的种植方法共有多少种？

解：第一步：选垄 ，分类完成。若有第一垄 ，则有（1，8）、（1、9）、（1、10）共3种选法；若有第二垄 ，则有（2、9）、（2、10）共2种选法；若有第三垄 ，则有（3、10）共1种选法。故共有3+2+1=6种选法。 第二步：种植，对于选定的两垄 ，有（A 、B ）、（B 、A ）两种种植方法。 所以，不同的种植方法共有6×2=12种。

2、用五种不同的颜色给如图A ，B ，C ，D 的四个区域涂色，如果每个区域涂一种颜色，相邻区域不能同色，那么涂色方法有多少种？

(1) (2) (3)

解：（1）依次选择A ，

B ，

C ，D

四个区域的颜色，涂色方法共有：5×4×4×4=320种 （2）依次选择A ，B ，C ，D 四个区域的颜色，涂色方法共有：5×4×3×4=240种 （3）分两类A ，C 同色与A ，C 不同色，共有5×4×4+5×4×3×3=80+180=260种

方法 3、正整数集合K A 的最小元素为1，最大元素为2007，并且各元素可以从小到大排成一

个公差为K 的等差数列，则并集1759A A ⋃中元素有多少个？ 解析：151个。

17A 中最小元素为1，公差为17，20071(1)17n =+-⨯

对应20071

111917

n -=

+= 59A 中最小元素为1，公差为59，20071(1)59n =+-⨯

对应20071

13559

n -=

+= 17与59互质，最小公倍数为17×59=1003，所以两等差数列的公共项为：1，1004，

2007共有3个数，所以并集中元素为119+35-3=151个。 4、六本不同的书，按下列要求，各有多少种不同的分法？ （1）分给甲乙丙三个，每人两本； （2）分为三堆，每堆两本；

（3）分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本；

（4）分给甲、乙、丙三人，一人一本，一本两本，一人三本.

解：（1）从6本不同的书取2本分给甲的分法有2

6C 种，从余下4本书中取出2本给乙

的分法有24C ,最后两本给丙的分法有22C ,故所求的不同分法有26C 24C 2

2C =90(种)

（2）设分为三堆，每堆两本的分法种数为x 。因为将6本书平均分给甲、乙、丙三

人，每人两本可分成两步，第一步是把6本书分成三堆，每堆两本，第二步再把三堆书分给甲、乙、丙三人，故由分步计数原理，得··=x ·3

3P

，

从而x=222

6423

3

C C C P =15（种）。 （3）因为每堆本数不同，所以可认为它是有确定对象的分线组，可分三步完成，由分步计数原理可知，所求的不同分法有1

2

3

653C C C =60（种）

（4）因为未确定准得一本、两本、三本，故可分成两步完成，第一步：先分堆，一堆一本，一摊两本，一堆三本；第二步将分开的三堆分给甲、乙、丙三人，所以所求的不

同的分法有123653C C C 3

3P =360（种）

(二、二项式)

5、求9

1x x ⎛

⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中3x 的系数；

解：第1r +为()99219911r

r r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭

令9233r r -=⇒=

所以，3x 的系数是()3

3

9184C -=-．

6、求()()8

11x x -+的展开式中5x 的系数；

解：在()8

1x +的展开式中5x 和4x 的系数分别为3

8C 和4

8C ，

故()()8

11x x -+的展开式中5x 的系数为43

8814C C -=．

7、求3

1

2x x ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭

的展开式中常数项；

解：6

3

1

2x x ⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭

Q ∴常数项为()3

3

6120C -=-

8、求()()()()2310

1111x x x x -+-+-++-g g g 的展开式中2

x 项系数．

解：各项中2

x 项系数相加得：