复变函数拉氏变换部分习题解答分析(复拉)(精品)

第4章拉氏变换作业参考答案

第四章习题解4-1 根据拉氏变换定义，求下列函数的拉普拉斯变换。

（1）ate --1（2）()()t t 5cos 73sin 2+ （3）tet 3-（4）()t et5cos 4-（5）()[]tb e at --cos 1（6）()tett 22531-++（7）5232++t t （8）()te t 732--δ（9）()t Ω2cos （10）t t e e βα--- （11）()t et5cos 22-（12）()ϕω+t cos解：（1）)(111]1[a s s a s s e L at +=+-=-- （2）()()2579657323]5cos 73sin 2[222222+++=+++⨯=+s s s s s s t t L （3）23)3(1][+=-s et L t（4）())](21[)](21[]5cos [)54()54(45544t j t j t t j t j t te e e jL e e e j L t eL --+-----+=+= 25)4(5)541541(212++=+++-+=s j s j s j （5）()[]()]cos []cos 1[at e e L e at L t b t b tb ----=-22)(1ab s a b s ++++=（6）由于1!][+=n ns n t L ,由s 域频移特性得()]53[]531[222222t t t t e t te e L e t t L ----++=++ 3232)2(207)2(10)2(3)2(1+++=+++++=s s s s s s （7）32232526526]523[ss s s s s t t L ++=++=++ （8）()732]32[7+-=--s et L tδ（9）()()22242121]2cos 2121[]cos [Ω+⋅+=Ω+=Ωs ss t L t L （10）))((11][βααββαβα++-=+-+=---s s s s e eL t t（11）在（9）的计算结果基础上由s 域频移特性得()25)2(221)2(21]5cos [222+++⋅++=-s s s t e L t （12）()]sin sin cos cos []cos [ϕωϕωϕωt t L t L -=+222222s i n c o s s i n c o s ωϕωϕωϕωωϕ+-=+-+=s s s s s4-7 求下列函数的拉普拉斯反变换。

复变函数与积分变换之拉普拉斯变换

工
程大
数s i,
其中
0,
F(s)
f (t )estdt
学
0
在S平面的某区域内收敛，则称其为 f (t)的
复变
Laplace变换，记为
函
数与积分
L[ f (t )] F (s) f (t )estdt 0
变换
f (t)称为F (s)的Laplace逆变换，记为L1[F (s)]
因此, 按傅氏积分公式, 在f (t)的连续点就有
f (t)u(t) et
1
2
f
(
)u(
)
e
e
j
d
e
jt
d
1
2
e
jt
d
0
f
(
)
e(
j )
d
1
2
F ( j) ejtd, t 0
等式两边同乘以et, 则
f
(t
)
1
2
F ( j) e( j)td,t 0
f
(t)
eit 2
1 2
(L
eit
L
eit )
1 2
(
s
1
i
s
1
i
)
s
复变
s2 2
函
(Re(s) 0)
L[sint]
s2
2
数
与积
例2
求函数f t t2 coskt的拉氏变换.
分
变
换
解
L
t 2 cos kt
(1)2 ( s2
s
k
2
)
2s3 (s2
6k2s k 2 )3

复变函数部分习题解答分析(复拉)

1 分析: 双曲函数的定义. 解法一 chz = ch(−z ) = ch(iiz ) = cos(iz ) = 0, z = (k + 2 )πi. 解法二
∂u ∂y 2
= 2vvy = −vx 两式相乘并整理得 (4v 2 + 1)vx vy = 0. 由以上
ux = vy = 6xy ⇒ u = 3x2 y + D(y ) (4) 将(3),(4)代入(0)式,得 u =
3x2 y − y 3 + C, v = 3xy 2 − x3 + C .
chz =
ez +e−z 2
1 = 0, e2z + 1 = 0. 2z = Ln(−1) = ln | − 1| + i arg(−1) + 2kπi, z = (k + 2 )πi.
作业卷（三）一判断题 1.设 C 为 f (z ) 的解析域 D 内的一条简单正向闭曲线，则 |z | < 2 内解析， C 取 |z | = 1, 则
的解为 z =
分析：两边同乘以 eiz , 得e2iz = 1. 两边取自然对数，得 2iz = Ln1 = ln |1| + i arg(1) + 2kπi = 2kπi, z =
条件.
分析：f (z ) 在该点解析, 则 f (z ) 在该点的某一个邻域内可导，在该点当然连续。填必要.
分析: 解析的充要条件. ux =
复变函数部分习题解答分析
作业卷（一）一判断题 1.复数 7 + 6i > 1 + 3i. ×. 两个复数, 只有都是实数时, 才可比较大小. 2.若 z 为纯虚数,则 z = z ¯. √ . 按书上定义, 纯虚数指 yi, y = 0, 若 z = yi , 则 z ¯ = −yi. 3.函数 w = arg(z ) 在 z = −3 处不连续. √ . 当 z 从下方 → −3时, w = arg(z ) 的极限为 −π ; 当 z 从上方 → −3 时, w = arg(z ) 的极限为 π . 4. f (z ) = u + iv 在 z0 = x0 + iy0 点连续的充分必要条件是 u(x, y ), v (x, y ) 在(x0 , y0 ) 点连续. √ . Th1.4.3. 5.参数方程 z = t2 + ti ( t 为实参数)所表示的曲线是抛物线 y = x2 . ×. x = y 2 . 二填空题 1.若等式 i(5 − 7i) = (x + i)(y − i) 成立,则 x= 2.方程 Im(i − z ¯) = 3 表示的曲线是 3.方程z 3 + 27 = 0的根为 4.复变函数 w =

复变函数课后习题答案(全)

创作编号：BG7531400019813488897SX创作者：别如克*习题一答案1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1）132i+（2）(1)(2)ii i--（3）131ii i--（4）8214i i i-+-解：（1）1323213i zi-==+，因此：32 Re, Im1313 z z==-，232arg arctan,31313z z z i==-=+（2）3(1)(2)1310i i izi i i-+===---，因此，31Re, Im1010z z=-=，131arg arctan,31010 z z z iπ==-=--（3）133335122i i iz ii i--=-=-+=-，因此，35Re, Im32z z==-，535,arg arctan,232iz z z+ ==-=（4）82141413z i i i i i i=-+-=-+-=-+因此，Re1,Im3z z=-=，arg arctan3,13z z z iπ==-=--2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式：（1）i （2）1-+ （3）(sin cos )r i θθ+（4）(cos sin )r i θθ-（5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤解：（1）2cossin22iii e πππ=+=（2）1-+23222(cos sin )233i i e πππ=+=（3）(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22ir i reπθππθθ-=-+-=（4）(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=（5）21cos sin 2sin 2sin cos 222i i θθθθθ-+=+ 22sin [cossin]2sin 2222ii eπθθπθπθθ---=+=3．求下列各式的值：（1）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++-（3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- （4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+-（5（6解：（1）5)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+-5552(cos()sin()))66i i ππ=-+-=-+（2）100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-（3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+--2[cos()sin()](cos sin)33)sin()][cos()sin()]44i ii iππθθππθθ-+-+=-+--+-)sin()](cos2sin2)1212i iππθθ=-+-+(2)12)sin(2)]1212iiπθππθθ-=-+-=（4）23(cos5sin5)(cos3sin3)iiϕϕϕϕ+-cos10sin10cos19sin19cos(9)sin(9)iiiϕϕϕϕϕϕ+==+-+-（5=11cos(2)sin(2)3232k i kππππ=+++1,0221,122,2i ki ki k+=⎪⎪⎪=-+=⎨⎪-=⎪⎪⎩（6=11(2)sin(2)]2424k i kππππ=+++88,0,1iie ke kππ==⎪=⎩4．设12,z z i==-试用三角形式表示12z z与12zz解：12cos sin, 2[cos()sin()]4466 z i z iππππ=+=-+-，所以12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+，12z z 1155[cos()sin()](cos sin )2464621212i i ππππππ=+++=+ 5．解下列方程：（1）5()1z i += （2）440 (0)z a a +=>解：（1）z i += 由此25k i z i ei π=-=-， (0,1,2,3,4)k =（2）z==11[cos (2)sin (2)]44a k i k ππππ=+++，当0,1,2,3k =时，对应的4个根分别为：(1), 1), 1), )i i i i +-+--- 6．证明下列各题：（1）设,zx iy =+z x y≤≤+证明：首先，显然有z x y =≤+；创作编号：BG7531400019813488897SX创作者：别如克*其次，因222,x y x y +≥ 固此有2222()(),x y x y +≥+从而z =≥。

复变函数习题答案

习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数π/43513;;(2)(43);711i i e i i i i i-++++++. ①解：i 4πππecos isin 44-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭②解：()()()()35i 17i 35i 1613i 7i 11+7i 17i 2525+-+==-++- ③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解：()31i 1335=i i i 1i 222-+-+=-+2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )(z a a z a -∈+); 333;;;.n z i①解： ∵设z =x +iy 则()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++∴()22222Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++, ()222Im z a xy z a x a y -⎛⎫= ⎪+⎝⎭++． ②解：设z =x +iy∵()()()()()()()()323222222223223i i i 2i i 22i33iz x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+-∴()332Re 3z x xy =-,()323Im 3z x y y =-．③解：∵(()(){}33232111313188-+⎡⎤⎡⎤==--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭．④解：∵()()(()2332313131i 8⎡⎤--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦=⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ⑤解： ∵()()1,2i 211i,kn kn k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩ ． ∴当2n k =时，()()Re i 1kn =-，()Im i 0n =；当21n k =+时，()Re i 0n =，()()Im i 1kn =-．3.求下列复数的模和共轭复数12;3;(2)(32);.2ii i i +-+-++①解：2i -+2i 2i -+=--②解：33-=33-=-③解：()()2i 32i 2i 32i ++=++=．()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+⋅+=-⋅-=-④解：1i 1i 22++==()1i 11i222i ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．证明：若z z =，设i z x y =+，则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0∴z =x 为实数．若z =x ，x ∈ ，则z x x ==． ∴z z =．命题成立．5、设z ,w ∈ ，证明： z w z w ++≤证明：∵()()()()2z w z w z w z w z w +=+⋅+=++()()22222Re z z z w w z w wz zw z w w z wz w =⋅+⋅+⋅+⋅=++⋅+=++⋅()2222222z w z wz w z w z w ++⋅=++⋅=+≤∴z w z w ++≤．6、设z ,w ∈ ，证明下列不等式． ()2222Re z w z z w w +=+⋅+ ()2222Re z w z z w w -=-⋅+()22222z w z w z w++-=+并给出最后一个等式的几何解释．证明：()2222Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了．下面证()2222Re z w z z w w -=-⋅+．∵()()()()222z w z w z w z w z w z z w w z w-=-⋅-=--=-⋅-⋅+()222Re z z w w =-⋅+．从而得证．∴()22222z w z w z w++-=+几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．7.将下列复数表示为指数形式或三角形式3352π2π;;1;8π(1);.cos sin 7199i i i i +⎛⎫--++ ⎪+⎝⎭ ①解：()()()()35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-3816i 198i e 5025i θ⋅--=== 其中8πarctan 19θ=-． ②解：e i i θ⋅=其中π2θ=．π2e ii =③解：ππi i 1e e -==④解：()28π116ππ3θ-==-.∴()2πi 38π116πe--=⋅⑤解：32π2πcos isin 99⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 解：∵32π2πcos isin 199⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∴322πi π.3i 932π2πcos isin 1e e 99⋅⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3)的平方根. ⑴i 的三次根．()13ππ2π2πππ22cos sin cosisin 0,1,22233++⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭k k i k∴1ππ1cosisin i 662=+=z ．2551cos πi sin πi 662=+=z3991cos πi sin πi 662=+=-z ⑵-1的三次根()()132π+π2ππcos πisin πcos isin 0,1,233k k k ++=+=∴1ππ1cosisin 332=+=z 2cos πisin π1=+=-z3551cos πi sin π332=+=--z的平方根．解：πi 4e ⎫=⎪⎪⎝⎭)()1π12i 44ππ2π2π44e6cos isin 0,122k k k ⎛⎫++ ⎪=⋅+= ⎪⎝⎭∴π11i 8441ππ6cos isin 6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z911πi 8442996cos πisin π6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z ．9.设2πe ,2inz n =≥. 证明：110n z z -+++=证明：∵2πi e nz ⋅= ∴1n z =，即10n z -=．∴()()1110n z z z --+++=又∵n ≥2． ∴z ≠1 从而211+0n z z z -+++=11.设Γ是圆周{:},0,e .i z r r a c r z c α=>=+-令:Im 0z a L z b β⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭, 其中e i b β=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条件.解：如图所示．因为L β={z : Im z a b -⎛⎫⎪⎝⎭=0}表示通过点a 且方向与b 同向的直线，要使得直线在a 处与圆相切，则CA ⊥L β．过C 作直线平行L β，则有∠BCD =β，∠ACB =90° 故α-β=90°所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形，并作出草图.(1)arg π;(2);1(3)1|2;(4)Re Im ;(5)Im 1 2.z z z z i z z z z ==-<+<>><且解：(1)、argz =π．表示负实轴．(2)、|z -1|=|z |．表示直线z =12．(3)、1<|z +i|<2解：表示以-i 为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。

复变函数习题答案

习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数π/43513;;(2)(43);711i i e i i i i i-++++++. ①解：i 4πππecos isin 44-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭②解：()()()()35i 17i 35i 1613i 7i 11+7i 17i 2525+-+==-++- ③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解：()31i 1335=i i i 1i 222-+-+=-+2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )(z a a z a -∈+); 333;;;.n z i①解： ∵设z =x +iy 则()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++∴()22222Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++, ()222Im z a xy z a x a y -⎛⎫= ⎪+⎝⎭++． ②解：设z =x +iy∵()()()()()()()()323222222223223i i i 2i i 22i33iz x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+-∴()332Re 3z x xy =-,()323Im 3z x y y =-．③解：∵(()(){}33232111313188-+⎡⎤⎡⎤==--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭．④解：∵()()(()2332313131i 8⎡⎤--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦=⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ⑤解： ∵()()1,2i 211i,kn kn k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩ ． ∴当2n k =时，()()Re i 1kn =-，()Im i 0n =；当21n k =+时，()Re i 0n =，()()Im i 1kn =-．3.求下列复数的模和共轭复数12;3;(2)(32);.2ii i i +-+-++①解：2i -+2i 2i -+=--②解：33-=33-=-③解：()()2i 32i 2i 32i ++=++=．()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+⋅+=-⋅-=-④解：1i 1i 22++==()1i 11i222i ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．证明：若z z =，设i z x y =+，则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0∴z =x 为实数．若z =x ，x ∈ ，则z x x ==． ∴z z =．命题成立．5、设z ,w ∈ ，证明： z w z w ++≤证明：∵()()()()2z w z w z w z w z w +=+⋅+=++()()22222Re z z z w w z w wz zw z w w z wz w =⋅+⋅+⋅+⋅=++⋅+=++⋅()2222222z w z wz w z w z w ++⋅=++⋅=+≤∴z w z w ++≤．6、设z ,w ∈ ，证明下列不等式． ()2222Re z w z z w w +=+⋅+ ()2222Re z w z z w w -=-⋅+()22222z w z w z w++-=+并给出最后一个等式的几何解释．证明：()2222Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了．下面证()2222Re z w z z w w -=-⋅+．∵()()()()222z w z w z w z w z w z z w w z w-=-⋅-=--=-⋅-⋅+()222Re z z w w =-⋅+．从而得证．∴()22222z w z w z w++-=+几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．7.将下列复数表示为指数形式或三角形式3352π2π;;1;8π(1);.cos sin 7199i i i i +⎛⎫--++ ⎪+⎝⎭ ①解：()()()()35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-3816i 198i e 5025i θ⋅--=== 其中8πarctan 19θ=-． ②解：e i i θ⋅=其中π2θ=．π2e ii =③解：ππi i 1e e -==④解：()28π116ππ3θ-==-.∴()2πi 38π116πe--=⋅⑤解：32π2πcos isin 99⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 解：∵32π2πcos isin 199⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∴322πi π.3i 932π2πcos isin 1e e 99⋅⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3)的平方根. ⑴i 的三次根．()13ππ2π2πππ22cos sin cosisin 0,1,22233++⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭k k i k∴1ππ1cosisin i 662=+=z ．2551cos πi sin πi 662=+=z3991cos πi sin πi 662=+=-z ⑵-1的三次根()()132π+π2ππcos πisin πcos isin 0,1,233k k k ++=+=∴1ππ1cosisin 332=+=z 2cos πisin π1=+=-z3551cos πi sin π332=+=--z的平方根．解：πi 4e ⎫=⎪⎪⎝⎭)()1π12i 44ππ2π2π44e6cos isin 0,122k k k ⎛⎫++ ⎪=⋅+= ⎪⎝⎭∴π11i 8441ππ6cos isin 6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z911πi 8442996cos πisin π6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z ．9.设2πe ,2inz n =≥. 证明：110n z z -+++=证明：∵2πi e nz ⋅= ∴1n z =，即10n z -=．∴()()1110n z z z --+++=又∵n ≥2． ∴z ≠1 从而211+0n z z z -+++=11.设Γ是圆周{:},0,e .i z r r a c r z c α=>=+-令:Im 0z a L z b β⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭, 其中e i b β=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条件.解：如图所示．因为L β={z : Im z a b -⎛⎫⎪⎝⎭=0}表示通过点a 且方向与b 同向的直线，要使得直线在a 处与圆相切，则CA ⊥L β．过C 作直线平行L β，则有∠BCD =β，∠ACB =90° 故α-β=90°所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形，并作出草图.(1)arg π;(2);1(3)1|2;(4)Re Im ;(5)Im 1 2.z z z z i z z z z ==-<+<>><且解：(1)、argz =π．表示负实轴．(2)、|z -1|=|z |．表示直线z =12．(3)、1<|z +i|<2解：表示以-i 为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。

拉氏变换习题解答

拉氏变换习题解答
习题一
］．求下列函数的拉氏变换，并用查表的方法来验证结果 .
f f .l m6 t t ss nn = . ,
, i, ! 、
t-2
(2)/ (t) =e-21; (6) f(t) =cosh kt; i1
(3)/(t)=t气
(4) f ( t) = sin tcost; (10) f(t) =cos2 t
2) 利用＆［勹卫勹及位移性质
sz si
& [f(t)] = &
[分］＝吕
a a
1 s 2. 若& [f(t)] = F(s), a 为正实数，证明（相似性质） & [/(at)]= - F(一）。
证
& [急f(at)] =厂f(at)e-s'dt =丿厂f(at)e一； m d(at) o a o
&加）] = &[t cos at] = 一五& [cos at] = - c
2 : a2
l
= (:22: : 22
(6) & [r(t)]=& [5sin2t - 3 cos2t]=5& [sin2t]- 3& [cos2t] =
(7)
IO 3s I0 - 3s = s2+4 s2+4 s2+ 4
-
(s .l )
(S +
3 3 =- - e S S
+
1 e s 2 $
(
) .1
e
($
“ +L 2
、）
· 1
g 工户
十
工
工
子
孚
2

复变函数课后部分习题解答精编版

（1）(3-i)5解：3-i=2[cos( -30°)+isin(-30°)] =2[cos30°- isin30°](3-i)5=25[cos(30°⨯5)-isin(30°⨯5)]=25(-3/2-i/2) =-163-16i（2）（1+i ）6解：令z=1+i 则x=Re （z ）=1，y=Im （z ）=1 r=z =22y x +=2tan θ=x y =1x>0,y>0∴θ属于第一象限角∴θ=4π ∴1+i=2（cos4π+isin 4π） ∴（1+i ）6=（2）6（cos 46π+isin 46π） =8（0-i ）=-8i1.2求下式的值 (3)61-因为-1=（cos π+sin π）所以61-=[cos(ππk 2+/6)+sin(ππk 2+/6)] (k=0,1,2,3,4,5,6).习题一1.2（4）求(1-i)31的值。

解：(1-i)31 =[2(cos-4∏+isin-4∏)]31=62[cos(12)18(-k ∏)+isin(12)18(-k ∏)](k=0,1,2)1.3求方程3z +8=0的所有根。

解：所求方程的根就是w=38-因为-8=8（cos π+isin π）所以38-= ρ [cos(π+2k π)/3+isin(π+2k π)/3] k=0,1,2其中ρ=3r=38=2即w=2[cosπ/3+isinπ/3]=1—3i1w=2[cos(π+2π)/3+isin(π+2π)/3]=-22w=2[cos(π+4π)/3+isin(π+4π)/3]= 1—3i3习题二1.5 描出下列不等式所确定的区域或者闭区域，并指明它是有界还是无界的，单连通还是多连通的。

(1) Im(z)>0解：设z=x+iy因为Im(z)>0，即，y>0而)x-∞∈,(∞所以，不等式所确定的区域D为：不包括实轴的上半平面。

复变函数—课后答案拉氏变换习题解答

( Re s > max{k , −k})
-1-
(6) & ⎡ ⎣ f ( t )⎤ ⎦=
∫
+∞
0
cosh kte− st dt = ∫
+∞
0
ekt + e− kt − st 1 e dt = 2 2
(∫
+∞
0
e− ( s − k )t dt + ∫ e − ( s + k ) t dt
0
+∞
)
⎛ − ( s − k ) t +∞ e − ( s + k )t +∞ ⎞ |0 + |0 ⎟ = 1 ⎛ 1 + 1 ⎞ = s 1⎜e = ⎜ ⎟ 2 ⎜ −( s − k ) − ( s + k ) ⎟ 2 ⎝ s − k s + k ⎠ s 2 − k 2 ⎝ ⎠
∫
+∞
0
f (t )e − st dt = ∫ 3e − st dt + ∫π cos t ⋅ e − st dt
0 2
π 2
+∞
=
+∞ e i t + e − i t 3 − st 2 3 3 − 1 +∞ e | + ∫π e − st dt = − e 2 + ∫π (e −( s −i)t + e −( s +i)t )dt t =0 s s 2 2 −s 2 2
⎧ 1, f (t ) = ⎨ ⎩− 1,
(4)由图易知, f (t ) 是周期为 2b 的周期函数,在一个周期内
0≤t <b b ≤ t < 2b
由公式 & [ f (t )] =

8复变函数课后题答案（中国石油大学）

习题八答案 1．求下列函数的拉氏变换：(1) 3,,2()cos ,;2t f t t t ππ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 解：由拉氏变换的定义知：22220231[()]3cos 1.1s s st stL f t e dt etdt e e s s ππππ+∞−−−−⎛⎞=+=−−⎜⎟+⎝⎠∫∫(2) ()cos ()sin ().f t t t t u t δ=⋅−⋅解：由拉氏变换的定义以及单位脉动函数的筛选性质知：0202221[()]cos ()sin ()cos |111.11st st st t L f t t t e dt t u t e dt t e s s s s δ+∞+∞−−−==⋅⋅−⋅⋅=⋅−+=−=++∫∫2. 求下列函数的拉氏变换：(1)2()1;f t t =−解：由拉氏变换的线性性质知：2332!121[()][][1].L f t L t L s s s s=−=−=− (2) ()1;tf t te =−解：由拉氏变换的线性性质和位移性质知：211[()][1][].(1)t L f t L L te s s =−=−− (3) ()cos ;f t t t =解：法一：利用位移性质。

()cos .2it ite ef t t t t −+==由拉氏变换的位移性质知：222211111[()][][].222()()(it its L f t L te L te s i s i s −⎡⎤−=+=+=⎢⎥−++⎣⎦211) 法二：利用微分性质。

令则()cos ,g t t =2221()[()],'().1(s s G s L g t G s s s −===++21) 由拉氏变换的微分性质知：[cos ][()]'().L t t L tg t G s ==−即 2221[()].(1)s L f t s −=+ (4) 2()sin 6;tf t et −=解：因为 26[sin 6],36L t s =+ 故由拉氏变换的位移性知：26[()].(2)36L f t s =++ (5) 2()cos ;f t t = 解：1cos 2().2tf t +=故22211112[()][][cos 2].22224(4)s s L f t L L t s s s s +=+=+⋅=++ (6)()(1);tf t u e −=−解：因为1,10(1),0,10ttte u e e −−−⎧−>⎪−=⎨−<⎪⎩ 即： 1,0(1).0,0t t u e t −>⎧−=⎨<⎩ 故01[()]1.st L f t e dt s+∞−=⋅=∫(7) 2()(1);tf t t e =−解：22()(1)2.ttttf t t e t e te e =−=−+ 法一：利用拉氏变换的位移性质。

复变函数课后习题答案(全)之令狐文艳创作

习题一答案1．令狐文艳2．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1）132i+ （2）(1)(2)i i i -- （3）131i i i -- （4）8214i i i -+- 解：（1）1323213i z i -==+，因此：32Re , Im 1313z z ==-，（2）3(1)(2)1310i i i z i i i -+===---，因此，31Re , Im 1010z z =-=，（3）133335122i i i z i i i --=-=-+=-，因此，35Re , Im 32z z ==-，（4）82141413z i i i i i i =-+-=-+-=-+因此，Re 1, Im 3z z =-=，3．将下列复数化为三角表达式和指数表达式：（1）i （2）1-+ （3）(sin cos )r i θθ+（4）(cos sin )r i θθ- （5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤解：（1）2cos sin 22ii i e πππ=+= （2）1-+23222(cos sin )233i i e πππ=+=（3）(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22i r i re πθππθθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=（5）21cos sin 2sin 2sin cos 222i i θθθθθ-+=+ 4．求下列各式的值：（1）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++-（3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- （4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+- （5（6解：（1）5)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+- （2）100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- （4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+- （5= （6=5．设12 ,z z i ==-试用三角形式表示12z z 与12z z 解：12cos sin , 2[cos()sin()]4466z i z i ππππ=+=-+-，所以12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+， 6．解下列方程：（1）5()1z i += （2）440 (0)z a a +=> 解：（1）z i += 由此25k i z i e i π=-=-， (0,1,2,3,4)k =（2）z ==11[cos (2)sin (2)]44a k i k ππππ=+++，当0,1,2,3k =时，对应的4个根分别为：), 1), 1), )i i i i +-+--- 7．证明下列各题：（1）设,z x iy =+则z x y ≤≤+证明：首先，显然有z x y =≤+；其次，因 222,x y x y +≥ 固此有 2222()(),x y x y +≥+从而z =≥（2）对任意复数12,,z z 有2221212122Re()z z z z z z +=++证明：验证即可，首先左端221212()()x x y y =+++，而右端2222112211222Re[()()]x y x y x iy x iy =+++++-2222112212122()x y x y x x y y =+++++221212()()x x y y =+++，由此，左端=右端，即原式成立。

2.2拉氏变换练习题及答案

1
e jt e jt estdt
0
0 2j

1

e jt e stdt
1
e jt estdt 1 L[e jt ] L[e jt ]
2j 0
2j
2j

1 2j
1

s

j

1
s

j

1 2j

2 j s2 2

s2
2
留数法的三种情况
情况一：F(s)的分母多项式D(S)=0中无重根
s1
s1
k1 k2
F (s) s2 5s 6 (s 2)( s 3) s 2 s 3
情况二：F(s)的分母多项式D(S)=0中有共轭复数根
F(s)

s1 s(s2 s 1)

k1 s

s s0

1
2s2 12s 6

k2

s(s

2)(s

3)
(s

2) s2

5
k3

2s2 12s 6 s(s 2)(s 3)
(s

3)
s3

4
X (s) 2s2 12s 6 1 5 4 s(s 2)( s 3) s s 2 s 3
s
s(s 2)(s 3)
2s2 12s 6 k1 k2 k3
X(s)

s(s 2)( s 3) s s 2 s 3
求K1、K2、K3的方法有两种：

(精品)《复变函数》习题及答案

第 1 页共 10 页《复变函数》习题及答案一、判断题1、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导。

（）2、如果z 0是f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在。

（）3、若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续。

( )4、cos z 与sin z 在复平面内有界。

（）5、若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。

（）6、若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件，则f (z )在z 0解析。

（）7、若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数的可去奇点。

（）8、若f (z )在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=⎰Cdz z f 。

（）9、若函数f (z )是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数。

（）10、若函数f (z )在区域D 内的解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于常数。

（）11、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续。

（） 12、有界整函数必为常数。

（） 13、若}{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛。

( )14、若f (z )在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）。

（） 15、若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。

（） 16、若f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件。

（） 17、若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析。

（） 18、若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析。

（）19、若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析。

复变函数习题答案

习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数π/43513;;(2)(43);711i i e i i i i i-++++++. ①解：i 4πππecos isin 44-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭②解：()()()()35i 17i 35i 1613i 7i 11+7i 17i 2525+-+==-++- ③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解：()31i 1335=i i i 1i 222-+-+=-+2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )(z a a z a -∈+); 333;;;.n z i①解： ∵设z =x +iy 则()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++∴()22222Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++, ()222Im z a xy z a x a y -⎛⎫= ⎪+⎝⎭++． ②解：设z =x +iy∵()()()()()()()()323222222223223i i i 2i i 22i33iz x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+-∴()332Re 3z x xy =-,()323Im 3z x y y =-．③解：∵(()(){}33232111313188-+⎡⎤⎡⎤==--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭．④解：∵()()(()2332313131i 8⎡⎤--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦=⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ⑤解： ∵()()1,2i 211i,kn kn k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩ ． ∴当2n k =时，()()Re i 1kn =-，()Im i 0n =；当21n k =+时，()Re i 0n =，()()Im i 1kn =-．3.求下列复数的模和共轭复数12;3;(2)(32);.2ii i i +-+-++①解：2i -+2i 2i -+=--②解：33-=33-=-③解：()()2i 32i 2i 32i ++=++=．()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+⋅+=-⋅-=-④解：1i 1i 22++==()1i 11i222i ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．证明：若z z =，设i z x y =+，则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0∴z =x 为实数．若z =x ，x ∈ ，则z x x ==． ∴z z =．命题成立．5、设z ,w ∈ ，证明： z w z w ++≤证明：∵()()()()2z w z w z w z w z w +=+⋅+=++()()22222Re z z z w w z w wz zw z w w z wz w =⋅+⋅+⋅+⋅=++⋅+=++⋅()2222222z w z wz w z w z w ++⋅=++⋅=+≤∴z w z w ++≤．6、设z ,w ∈ ，证明下列不等式． ()2222Re z w z z w w +=+⋅+ ()2222Re z w z z w w -=-⋅+()22222z w z w z w++-=+并给出最后一个等式的几何解释．证明：()2222Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了．下面证()2222Re z w z z w w -=-⋅+．∵()()()()222z w z w z w z w z w z z w w z w-=-⋅-=--=-⋅-⋅+()222Re z z w w =-⋅+．从而得证．∴()22222z w z w z w++-=+几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．7.将下列复数表示为指数形式或三角形式3352π2π;;1;8π(1);.cos sin 7199i i i i +⎛⎫--++ ⎪+⎝⎭ ①解：()()()()35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-3816i 198i e 5025i θ⋅--=== 其中8πarctan 19θ=-． ②解：e i i θ⋅=其中π2θ=．π2e ii =③解：ππi i 1e e -==④解：()28π116ππ3θ-==-.∴()2πi 38π116πe--=⋅⑤解：32π2πcos isin 99⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 解：∵32π2πcos isin 199⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∴322πi π.3i 932π2πcos isin 1e e 99⋅⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3)的平方根. ⑴i 的三次根．()13ππ2π2πππ22cos sin cosisin 0,1,22233++⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭k k i k∴1ππ1cosisin i 662=+=z ．2551cos πi sin πi 662=+=z3991cos πi sin πi 662=+=-z ⑵-1的三次根()()132π+π2ππcos πisin πcos isin 0,1,233k k k ++=+=∴1ππ1cosisin 332=+=z 2cos πisin π1=+=-z3551cos πi sin π332=+=--z的平方根．解：πi 4e ⎫=⎪⎪⎝⎭)()1π12i 44ππ2π2π44e6cos isin 0,122k k k ⎛⎫++ ⎪=⋅+= ⎪⎝⎭∴π11i 8441ππ6cos isin 6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z911πi 8442996cos πisin π6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z ．9.设2πe ,2inz n =≥. 证明：110n z z -+++=证明：∵2πi e nz ⋅= ∴1n z =，即10n z -=．∴()()1110n z z z --+++=又∵n ≥2． ∴z ≠1 从而211+0n z z z -+++=11.设Γ是圆周{:},0,e .i z r r a c r z c α=>=+-令:Im 0z a L z b β⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭, 其中e i b β=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条件.解：如图所示．因为L β={z : Im z a b -⎛⎫⎪⎝⎭=0}表示通过点a 且方向与b 同向的直线，要使得直线在a 处与圆相切，则CA ⊥L β．过C 作直线平行L β，则有∠BCD =β，∠ACB =90° 故α-β=90°所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形，并作出草图.(1)arg π;(2);1(3)1|2;(4)Re Im ;(5)Im 1 2.z z z z i z z z z ==-<+<>><且解：(1)、argz =π．表示负实轴．(2)、|z -1|=|z |．表示直线z =12．(3)、1<|z +i|<2解：表示以-i 为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。

复变函数课后习题答案解析(全)

习题一答案1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1）132i+ （2）(1)(2)i i i --（3）131i i i-- （4）8214i i i -+-解：（1）1323213iz i -==+，因此：32Re , Im 1313z z ==-，1232, arg arctan , 3131313z z z i ==-=+（2）3(1)(2)1310i i iz i i i -+===---，因此，31Re , Im 1010z z =-=，1131, arg arctan , 3101010z z z i π==-=--（3）133335122i i iz i i i --=-=-+=-，因此，35Re , Im 32z z ==-，34535, arg arctan , 232i z z z +==-=（4）82141413z i i i i i i =-+-=-+-=-+因此，Re 1, Im 3zz =-=，10, arg arctan3, 13z z z i π==-=--2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式：（1）i （2）13i -+ （3）(sin cos )r i θθ+（4）(cos sin )r i θθ- （5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤解：（1）2cossin22iii e πππ=+=（2）13i -+23222(cos sin )233i i e πππ=+=（3）(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22ir i reπθππθθ-=-+-=（4）(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=（5）21cos sin 2sin 2sin cos 222i i θθθθθ-+=+ 22sin [cossin]2sin 2222ii eπθθπθπθθ---=+=3．求下列各式的值：（1）5(3)i - （2）100100(1)(1)i i ++-（3）(13)(cos sin )(1)(cos sin )i i i i θθθθ-+-- （4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+-（5）3i （6）1i +解：（1）5(3)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+-5552(cos()sin())16(3)66i i ππ=-+-=-+ （2）100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-（3）(13)(cos sin )(1)(cos sin )i i i i θθθθ-+--2[cos()sin()](cos sin )332[cos()sin()][cos()sin()]44i i i i ππθθππθθ-+-+=-+--+-2[cos()sin()](cos2sin 2)1212i i ππθθ=-+-+(2)122[cos(2)sin(2)]21212ii eπθππθθ-=-+-=（4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+- cos10sin10cos19sin19cos(9)sin(9)i i i ϕϕϕϕϕϕ+==+-+- （5）3i 3cossin22i ππ=+11cos (2)sin (2)3232k i k ππππ=+++31, 02231, 122, 2i k i k i k ⎧+=⎪⎪⎪=-+=⎨⎪-=⎪⎪⎩（6）1i +2(cossin )44i ππ=+ 4112[cos (2)sin (2)]2424k i k ππππ=+++48482, 02, 1i i e k e k ππ⎧=⎪=⎨⎪-=⎩4．设121, 3,2iz z i +==-试用三角形式表示12z z 与12z z解：12cossin, 2[cos()sin()]4466z i z i ππππ=+=-+-，所以12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+，12z z 1155[cos()sin()](cos sin )2464621212i i ππππππ=+++=+ 5．解下列方程：（1）5()1z i += （2）440 (0)z a a +=>解：（1）51,z i += 由此2551k i z i ei π=-=-， (0,1,2,3,4)k =（2）4444(cos sin )za a i ππ=-=+11[cos (2)sin (2)]44a k i k ππππ=+++，当0,1,2,3k =时，对应的4个根分别为：(1), (1), (1), (1)2222a a a ai i i i +-+--- 6．证明下列各题：（1）设,zx iy =+则2x y z x y+≤≤+证明：首先，显然有22z x y x y =+≤+；其次，因222,x y x y +≥ 固此有2222()(),x y x y +≥+从而222x y z x y +=+≥。

复变函数部分习题解答分析(复场拉)

±
3 2
√
3i.
的实部 u(x, y ) =
, 虚部 v (x, y ) =
x2 − x+ y 2 − 2 , (x+1)2 +y 2
. v (x, y ) = .
3y . (x+1)2 +y 2
分析:将 z = x + iy 代入, 分离实部、虚部, 得 u(x, y ) = 5.设 z1 = 2i, z2 = 1 − i, 则 Arg(z1 z2 ) = 分析: arg(z1 ) = π , arg(z2 ) = − π , Arg(z1 z2 ) = 4 √ 2 6.复数 z = − 12 − 2i 的三角表示式为分析: 4[cos(− 5 π) 6 + i sin(− 5 π )], 6 4e
1 dz z
C
f (z ) dz = 0.
1 z
×.分析：f (z )的解析域D不足以保证f (z )在C 上及内解析。关键词单连通区域.反例 f (z ) =
C
在0 <
= 2πi = 0
2.若 u，v 都是调和函数，则 f (z ) = u + iv 是解析函数. ×.分析: 解析对 u，v 的要求很高,它们之间有本质的内在联系即 Cauchy-Riemann 方程,知道其一, 另一若不考虑差一个常数, 则完全确定. 调和这一要求达不到. 反例俯拾即是 u(x, y ) = x, v (x, y ) = −y 都是调和函数,但 f (z ) = x − yi 不解析. 3.设 f (z ) 在单连通区域 D 内解析, F (z ) 是 f (z ) 的一个原函数, C 为 D 内的一条正向闭曲线,则 0. √

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