第11讲圆与扇形

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【强烈推荐】六年级数学讲义：圆和扇形

4cm 4cm姓名例题选讲：例1、求下列阴影部分的周长和面积：（结果保留2位小数）（1）（2）、求出下列图形中阴影部分的面积和周长（3）、如图：正方形的边长为4厘米，求图中阴影部分的周长和面积。

DB例2、已知正方形ABCD 和正方形BEFG 的边长分别为2cm 和3cm,求阴影部分的面积。

例3、如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为10厘米和12厘米。

B、C、E在一直线上，GE 是以C为圆心，CE为半径的一条弧，联结AE、AG,求图中阴影部分的面积。

例4、如图，一个半圆与一个圆心角为45度的扇形重叠在一起，扇形的一条半径与半圆O的直径AB重合，另一条半径BC与半圆弧相交于点D。

已知AB=4cm,OD和AB垂直，求阴影部分的面积。

例5、如如图，正方形的边长是12厘米，分别以四条边为直径画半圆，构成一个四叶图，求这个四叶图的周长和面积。

例6、已知正方形ABCD的边长为4cm求出这个花瓣形状的阴影部分的面积。

cm BC AC AB CAB 2,,90===∠4cm【即时检测】1、求出下列图形中空白部分的面积。

2、求出下列图形中阴影部分的面积（1）（2）(3) (4)3、求阴影部分的周长和面积（精确到0.1cm ）4、求下图阴影部分周长与面积（单位：厘米）【拓展题】1、现在有四根半径为5厘米的圆柱形物件，为了方便运输，准备用绳子捆绑在一起，横截面如图所示，如果要求物品的两端各用一根绳子绕三圈，并留出20厘米长打结，那么需要准备多长的绳子。

6cm10cm6DCBA2、以4分米为直径的半圆绕点A 旋转了45°，如图所示。

求阴影部分的周长。

3、这个问号的面积是多少？4、如图，已知正方形ABCD 的边长为6厘米，在这个正方形中有个半径为1厘米的圆沿着它的四条边滚动一周，求圆滚动时扫过的面积。

【回家作业】一、填空题1．最小的自然数是．2．分解素因数：36 ． 3．写出数轴上的点表示的数：点A 表示的数是：；点Ｂ表示的数是：． 4．化简比：20分钟∶32小时＝． 5．已知一个比例的两个外项互为倒数，其中一个内项是123，那么另一个内项是． 6．王强工作3天得到540元报酬，照这样计算，他工作20天可以得到报酬元．7．爸爸和妈妈的月收入之比是5:4，如果他们两人每月的总收入是18000元，那么妈妈的月收入为元．8．一件商品，提价20%后又降价30%，这件商品的现价是原价的（用百分数表示）． 9．按有关规定，进口某种货物需交纳货物价值12%的税。

小学奥数讲义6年级-4-圆与扇形-难版

圆是所有几何图形中最完美的。

当一条线段绕着它的一个端点O 在平面上旋转时一周时，它的另一端点所画成的封闭曲线叫圆（也叫圆周），O 点称为这个圆的圆心。

连接一个圆的圆心和圆周上任一点的线段叫做圆的半径，圆的半径通常用字母r 表示。

连接圆上任意两点的线段叫做圆的弦。

过圆心的弦叫做圆的直径，圆的直径通常用字母d 表示，显然d=2r 。

圆的周长（用字母C 表示）与直径的比，叫做圆周率。

圆周率用字母π表示，它是一个无限不循环的小数，一般取近似值3.14。

圆的周长r 2d C π=π=。

利用等分圆周拼成近似长方形的方法可知圆的面积2r S π=。

顶点在圆心的角叫做圆心角。

圆周上任意两点间的部分叫做弧。

扇形是圆的一部分，它是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧组成的图形。

如果扇形的半径为r ，弧所对圆心角的度数为n ，那么弧的长度180rn L π=。

从而扇形的周长r2180r n C +π=，扇形的面积Lr 21180r n S 2=π=。

公式：圆面积=2r π=214d π；扇形面积=2360nr π；圆周长=2r d ππ=；扇形弧长=180360n n r d ππ=；扇形周长=2180360n n r r d d ππ+=+；典型例题知识梳理【例1】★上面图形中的正方形的边长为4，求各个阴影部分面积的大小；【解析】图1，阴影的面积是两个扇形重合的部分，我们可以用两个扇形的面积减去正方形的面积。

π×42×41×2－2×2＝8π－4＝21.12 图2，方法1，阴影的面积是四个半圆的面积重合的部分，可以用四个半圆的面积和减去正方形的面积。

π×22×2－4×4＝8π－16＝9.12方法2，如下图，我们只要求出一个小弓形的面积，整个阴影的面积是8个这样的小弓形面积之和。

（π×22×41－2×2÷2）×8＝8π－16＝9.12 图3，阴影的面积有大圆的面积减去正方形的面积。

沪教版(五四制)六年级数学上册第四章圆与扇形同步讲义(无答案)

圆与扇形周长和面积的计算一、圆的定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，这个定点叫圆心，定长叫圆的半径。

二、与圆有关的概念弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。

直径：经过圆心的弦叫直径。

弧：圆上任意两点间的部分叫弧。

半圆：圆上任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

优弧与劣弧：大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧。

圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。

圆周角：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

三、圆的性质圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆心是它的对称中心，围绕圆心旋转任何一个角度，都能和它原来的图形重合。

四、与圆有关的计算 1、圆的周长与弧长公式圆的周长：2C r π=弧长：180nl r π=（n 为圆心角度数）圆的周长÷直径=圆周率（圆周率是个无限不循环小数，近似等于3.14，即 3.14π≈）。

2、圆面积公式与扇形面积公式圆的面积：2S r π=214d π=.第五讲圆与扇形扇形面积：213602n S r lr π==扇形（扇形的半径为r ，圆心角为n ，弧长为l ）.【前铺1】请说出日常生活中你所知道的圆或扇形的物体。

（至少说出5种）【前铺2】一头驴被栓在磨盘旁边一直走，它走的线路是一个什么图形?温馨提醒：本讲除题目中有特殊说明外，π取3.14【例题1】（1）一张圆桌面的直径是0.95米，这张圆桌面的周长是多少米?（得数保留两位小数）（2）一辆自行车车轮的半径是0.33米，车轮滚动一周自行车前进多少米？（得数保留两位小数）（3）一块长方形木板，长6分米，宽4分米，截出一个最大的圆，那么这个圆的周长为分米；（4）已知小圆的半径是大圆半径的13，大圆的周长是12π，则小圆的周长是____【例题2】（1）一个圆的周长为6.28厘米，则该圆的面积为多少平方厘米？（2）把一根长25.13厘米的铁丝围成一个圆（接头处共0.01厘米），这个圆的面积是多少？（3）一个圆形花池，池边周围栏杆长50.24米，则该花池的底面积是______平方米（4）圆的半径从6厘米减少到4厘米，面积减少平方厘米；【例题3】（1）将一根长10厘米的绳子绕一根吸管10圈，还余下0.58厘米，这根吸管的外直径是毫米；（2）大圆半径是小圆的1.5倍，大圆面积比小圆面积大10平方厘米，大圆面积是平方厘米；（3）一张三角形铁片与一张半径是50毫米的圆形铁片的面积相等，已知三角形铁片的底边长250毫米，则这个三角形在这条底边上的高是毫米；（4）有相同周长的长方形、正方形和圆，它们的面积从大到小是。

爱提分圆和扇形的周长及面积公式

一：周长与面积公式知识精讲在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．点O就称为该圆的圆心；圆心与圆周上任意一点的连线（例如线段OA）叫做半径；通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做直径．直径长恰好是半径长的两倍．圆心确定了圆所在的位置，半径长度确定了圆的大小．一个圆只要确定了“圆心”和“半径”，就能完全确定下来．圆周长与直径的比值是一个固定不变的数，我们称之为圆周率，用希腊字母表示．圆周率是一个无限不循环小数，无法写成分数的形式．在实际问题的计算中，常常取近似值．一．圆的周长与面积公式1．直径长度通常用字母d表示，半径长度通常用r表示，圆周长通常用C 表示，圆面积通常用字母S表示．2．圆周长公式：蜜蜂飞行：无论小圆有多少个，大小是否相等，只要所有小圆的直径之和等于大圆的直径，那么它们的周长之和也等于大圆的周长．3．圆面积公式：二．扇形的周长与面积公式扇形是指圆上被两条半径和半径之间的弧所包围的部分．其中，圆的半径也称为扇形的半径，而两条半径所成的夹角称为扇形的圆心角．扇形是圆的一部分．要想知道扇形的弧长与面积，只要知道它是所在圆的几分之几就可以了．它是圆的几分之几，它的弧长就是圆周长的几分之几，它的面积也同样就是圆面积的几分之几．1．扇形弧长公式：2．扇形面积公式：3．温馨提示：扇形的弧长不是它的周长，扇形的周长还必须加上两条半径．三点剖析重难点：扇形周长公式，需要加上两条半径题模精讲题模一圆的周长与面积公式例、已知一个圆的直径为2厘米，那么这个圆的周长为_________厘米，面积为_________平方厘米．答案：；解析：周长为厘米，面积为平方厘米．例、已知一个圆的周长为厘米，那么这个圆的直径为_________厘米．答案：16解析：直径为厘米．例、有一个圆形花坛，直径为20米，一只小蜜蜂沿着花坛外周飞了一圈，请问它飞了多少米如果小蜜蜂沿着图中的虚线，飞一个“8”字，路线构成过花坛圆心的两个小圆，那么这次它飞了多少米（取）答案：（1）米（2）米解析：小圆半径是5米，飞行路线为两个小圆周长，所以是米．无论小圆有多少个，大小是否相等，只要所有小圆的直径之和等于大圆，那么它们的周长之和也等于大圆．例、如图，已知长方形的面积是12，则图中阴影部分的面积是多少（取）答案：解析：长方形可以分成两个面积相等的正方形，面积都是6．方中圆，方和圆的面积比为，可求出小圆的面积是，那么阴影部分的面积是．例、如图，在一块面积为平方厘米的圆形铝板中，裁出了7个同样大小的圆铝板．问：余下的边角料的总面积是多少平方厘米（取）答案：平方厘米解析：，大圆半径是3厘米．小圆半径是1厘米，所以边角料面积为平方厘米．例、已知大圆的直径为10厘米，有四个大小不等的圆，圆心都在大圆的一条直径上，并且它们的直径之和与大圆相等．那么4个小圆的周长之和是________厘米．（取）答案：解析：假设中间4个小圆的直径分别为a、b、c、d，则有，4个小圆的周长之和为厘米．例、如图，直角三角形的面积是40平方厘米，圆的面积是________平方厘米（π取3）．答案：240解析：直角三角形的直角边即为圆的半径，所以，，圆的面积是平方厘米．题模二扇形的周长与面积公式例、如图3，圆P的直径OA是圆O的半径，，，则阴影部分的面积是__________．（π取3）答案：75解析：阴影部分的面积等于大圆面积的一半减去小圆的面积，即．例、一个扇形的半径为6平方厘米，圆心角为60°，这个扇形的周长是__________厘米．（取）答案：解析：这个扇形是它所在圆的，所以这个扇形的弧长是cm，扇形的周长是厘米．例、一个扇形的面积为平方厘米，圆心角为45°，这个扇形的周长是_______厘米．（取）解析：这个扇形是它所在圆的，所以这个圆的半径的平方是，所以这个圆的半径是4厘米，所以扇形的半径是4厘米，扇形的周长是厘米．例、在荷兰的小镇卡茨赫弗尔，2013年6月建成了一个由三个半圆组成的城市雕塑，三个半圆的直径分别为，，．这个雕塑的原始图形来自于阿基米德《引理集》中的鞋匠刀形（Arbelos），即下图中阴影部分所示的图形．那么，该城市雕塑中的鞋匠刀形的周长为__________（圆周率用π表示）答案：πm解析：鞋匠刀形的周长是由3条半圆形弧线组成，所以周长为m．例、如图，等边三角形ABC的边长是1，依次以A、C、B为圆心，以BA、CD、BE为半径画扇形，那么三个扇形的面积和是多少（结果保留π）答案：解析：各扇形圆心角均为，半径分别为1、2、3，因此三个扇形的面积和是．例、一个半径为3分米的扇形，面积为平方分米，那么它的圆心角是__________，它的弧长又是__________分米．答案：80°，根据题意得，，所以，所以圆心角是度．弧长为．例、如图，边长为3cm与5cm的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一个以它的顶点B为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积是________（结果保留π）．答案：解析：连结AC、FB．易知，故，．例、如图，有三个同心半圆，它们的直径分别为2，6，10，用线段分割成9块，如果每块字母代表这一块的面积并且相同的字母代表相同的面积，那么(A＋B)：C ＝_______答案：55：48解析：设A的半径为，B的半径为，C的半径为A的面积：B的面积：3B=，．C的面积：5C=，．．题模三捆圆的周长和面积已知下图中的每个小圆的半径均为1，这个图形的面积是__________．（取）答案：解析：如图，对图形进行分割后可知这个图形的面积相当于8个边长为2的正方形和一个半径为1的圆的面积的和．面积为．例、如图，有8个半径为1的小圆，用它们圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心．那么花瓣图形的周长和面积分别是多少答案：周长，面积解析：如图，做辅助线后可以看出周长为4个的圆弧加上4个半圆弧，所以周长为；而面积为正方形减去4个半圆加上4个圆，即．例、如图，每个圆的面积都为，求该图形的外周长．答案：解析：圆半径为2．图形外周长可以分为三段长为4的线段和三段120°角的圆弧，则外周长为．如图，有七根直径为5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们扎成一捆，此时橡皮筋的长度是多少厘米答案：解析：如图，作辅助线后可以发现外周长是由6段长度为5的线段和6个60°角的圆弧组成，所以皮筋长度为．随堂练习随练、已知一个圆的直径是12厘米，那么这个圆的面积为__________平方厘米（取）答案：解析：直径为12厘米，那么半径为6厘米，面积是平方厘米．随练、已知一个圆的面积为314平方厘米，那么这个圆的直径为_______厘米（取）答案：20解析：这个圆的半径为平方是，所以这个圆的半径是10厘米，直径是20厘米．随练、半径分别为1、2、3、4厘米的四个圆的周长之和是多少厘米（取）答案：厘米解析：圆的周长公式为，周长之和为厘米．随练、如图，在一块面积为平方厘米的纸板中，裁出了2个同样大小的圆纸板．问：余下的纸板的总面积是多少平方厘米（取）答案：平方厘米解析：大圆的面积是平方厘米，可求出大圆的半径是2厘米，那么小圆的半径是1厘米，面积是平方厘米．阴影部分的面积是平方厘米．随练、已知三个小圆的圆心在大圆同一直径上，周长分别为3、1、2厘米，则大圆周长为多少厘米（π取近似值）答案：6解析：大圆的直径等于三个小圆的直径之和，周长也恰为3个小圆周长之和．随练、如图，边长为3cm与5cm的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一个以它的顶点B为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积是__________（结果保留π）．答案：解析：阴影部分面积为梯形ABFE与扇形ABC的面积之和减去三角形FEC的面积，易得为．随练、已知一个扇形的半径是10厘米，圆心角是，那么：（1）这个扇形所在圆的周长是_________厘米，扇形的圆心角占圆周角的_________，它的弧长占圆周长的_________，这个扇形的弧长是_________厘米，周长是_________厘米．（2）这个扇形面积占它所在圆的面积的_________，是_________平方厘米．答案：（1）；；；；（2）；解析：（1）这个扇形所在圆的周长是厘米，扇形的圆心角占圆周角的，它的弧长占圆周长的，这个扇形的弧长是厘米，周长是．（2）这个扇形面积占它所在圆的面积的，面积是平方厘米．随练、半径为10、20、30的三个扇形如下图放置，是的__________倍．答案：5解析：为，为，所以是的5倍．随练、根据图中所给的数值，求这个图形的面积．（π取近似值）答案：解析：平方厘米．4个直角扇形的面积之和是4，因此整个圆角矩形的面积就是．随练、如图，有七根直径为4厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们扎成一捆，此时橡皮筋的长度是多少厘米（π取近似值）答案：解析：把圆角六边形的周长分为12个部分，由6条直线段和6段圆弧组成．6条直线段中，每段的长度都是5厘米，它们的长度和是厘米6段圆弧中，每段所对应的圆心角都是60°，每段的弧长都是圆周长的，6段圆弧恰好能拼成一个完整的圆周．它们的弧长之和就是圆周长，即厘米．圆角六边形的周长就是这两部分长度之和，即厘米．课后作业作业1、已知圆的直径为20米，那这个圆的周长为多少米（π取近似值）答案：解析：圆周长的计算公式为：C圆=π×D．作业2、把两根横截面半径都是10厘米的钢管用铁丝紧紧捆在一起，如果捆绑处不计，至少要用铁丝____________厘米．答案：解析：厘米．作业3、一辆压路机的前轮是圆柱形，轮宽米，直径是米．前轮转动一周，压路的面积是______平方米．答案：平方米解析：轮子压一周，周长为米，即压在路面上的长是米，压路的面积=长×宽平方米．作业4、已知圆的面积是314平方米，那圆的周长是多少米（π取近似值）答案：解析：由圆的面积可以求出半径的平方，算出半径后可由公式计算圆的周长，为．作业5、已知三个小圆的圆心在大圆同一直径上，周长分别为1、2、3厘米，则大圆周长为多少厘米（π取近似值）答案：6解析：大圆的直径等于三个小圆的直径之和，周长也恰为3个小圆周长之和．作业6、如图，在一块面积为36平方厘米的圆形铝板中，裁出了7个同样大小的圆铝板．问：余下的边角料的总面积是多少平方厘米答案：8平方厘米解析：小圆的半径是整个大圆半径的，因此小圆的面积是大圆面积的，为平方厘米；大圆去掉7个小圆后剩下的面积是平方厘米．作业7、已知一个扇形的圆心角为120°，半径为2，这个扇形的面积是________，周长是________（π取）．答案：面积，周长解析：扇形的面积；周长．作业8、如图，求各图中阴影部分的面积．（取）答案：解析：阴影部分面积为半径为4的半圆面积减去对角线为8的等腰直角三角形面积．阴影部分面积为．作业9、已知扇形的半径为3米，面积为米，那扇形的圆心角为多少度（π取近似值）答案：180解析：扇形所在圆的面积≈×32=平方米，由此可知该扇形是它所在圆的．那么圆心角应该是360°的二分之一．作业10、已知一个扇形的半径为5厘米，弧长为厘米，这个扇形的面积是多少答案：解析：因为扇形的弧长为厘米，所以，可得．扇形面积为平方厘米．作业11、根据图中所给的数值，求这个图形的面积．（π取近似值）答案：解析：平方厘米．4个直角扇形的面积之和是，因此整个圆角矩形的面积就是．作业12、如图，三个圆的半径都是4，那整个图形的外周长是多少（π取近似值）答案：解析：整个外周长可以分为3段直线和3段弧形．作业13、如图，有七根直径为10厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们扎成一捆，此时橡皮筋的长度是多少厘米（π取近似值）答案：解析：把圆角六边形的周长分为12个部分，由6条直线段和6段圆弧组成．6条直线段中，每段的长度都是5厘米，它们的长度和是厘米6段圆弧中，每段所对应的圆心角都是60°，每段的弧长都是圆周长的，6段圆弧恰好能拼成一个完整的圆周．它们的弧长之和就是圆周长，即厘米．圆角六边形的周长就是这两部分长度之和，即厘米．。

六年级奥数讲义：圆与扇形

｜六年级奥数讲义：圆与扇形1. 利用圆与扇形面积公式进行面积计算．2. 会将不规则图形转化为规则图形进行面积计算．研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积.圆的面积=2r π；扇形的面积=2360nr π⨯；圆的周长=2r π；扇形的弧长=2360n r π⨯.一、跟曲线有关的图形元素。

1、扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分.我们经常说的12圆、14圆、16圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几.那么一般的求法是什么呢？关键是360n . 比如：扇形的面积=所在圆的面积360n⨯；扇形中的弧长部分=所在圆的周长360n ⨯扇形的周长=所在圆的周长360n⨯+2⨯半径（易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长）2、弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积。

一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面积。

（除了半圆）3、“弯角”：如图：弯角的面积=正方形-扇形4、“谷子”：如图：“谷子”的面积=弓形面积×2二、常用的思想方法：1、转化思想（复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的）2、等积变形（割补、平移、旋转等）3、借来还去（加减法）4、外围入手（从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的“关系”）用平移、旋转、割补法求面积【例 1】如图，在18⨯8的方格纸上，画有1，9，9，8四个数字．那么，图中的阴影面积占整个方格纸面积的几分之几?【分析】我们数出阴影部分中完整的小正方形有8+15+15+16=54个，其中部分有2｜6+6+8=20个，部分有6+6+8=20（个），而1个和1个正好组成一个完整的小正方形，所以阴影部分共包含54+20=74（个）完整小正方形，而整个方格纸包含8⨯18=144（个）完整小正方形．所以图中阴影面积占整个方格纸面积的74144，即3772．［拓展］如图，ABCD 是边长为a 的正方形，以AB 、BC 、CD 、DA 分别为直径画半圆，求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积．（π取3）DCBAaDCBAa［分析］这道题目是很常见的面积计算问题.阴影部分是一个花瓣状的不规则图形，不能直接通过面积公式求解，观察发现阴影部分是一个对称图形，我们只需要在阴影部分的对称轴上作两条辅助线就明了了.如图，这样阴影部分就划分成了4个半圆减去三角形，我们可以求得，()4S S S =⨯-阴影半圆三角形 21142222a a a π⎡⎤⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦212a =【例 2】如图，阴影部分的面积是多少？224【分析】首先观察阴影部分，我们发现阴影部分形如一个号角，但是我们并没有学习过如何求号角的面积，那么我们要怎么办呢？阴影部分我们找不到出路，那么我们不妨考虑下除了阴影部分之外的部分吧！观察发现，阴影部分左侧是一个扇形，而阴影部分右边的空白部分恰好与左边的扇形构成一个边长为4的正方形，那么阴影部分的面积就等于大的矩形面积减去正方形面积。

六年级奥数教案第11讲：平面图形

二、探索发现授课〈42分〉〈一〉例题3：〈10分〉如图,平行四边形ABCD的对角线AC被E、F两点三等分,已知三角形ABE的面积是5平方厘米,求平行四边形ABCD的面积。

【讲解重点：等底等高的三角形面积相等,找到面积相等的三角形。

】师：题目中有哪个你认为比较重要的信息？生：对角线AC被E、F两点三等分。

师：由此我们可以得出什么信息？生：AE＝EF＝FC。

师：这三段线段都在同一直线上,所以它们与点B构成的三角形有什么特点？生：高相等。

师：等底等高的三角形有什么特点？生：面积相等。

师：非常好,也就是说三角形BAE、BEF、BFC的面积相等。

那么同理,我们可可以推出另一边的三个小三角形的面积？生：相等。

师：那么这6个三角形面积相等吗？生：相等。

师：为什么？生：因为平行四边形BEDF中三角形ABC等于三角形ADC。

师：对了,现在我们知道三角形ABE的面积是5平方厘米,那么平行四边形ABCD 的面积是多少呢？生：5×3×2＝30〈平方厘米〉板书：5×3×2＝30〈平方厘米〉答：平行四边形ABCD的面积是30平方厘米。

练习3：〈5分〉如图,梯形ABCD的对角线AC和BD交于E点,已知E、F两点三等分AC,三角形ADE的面积是3平方厘米,求梯形ABCD的面积。

分析：E、F三等分AC,AE＝EF＝FC。

高相等的三角形面积之比等于底边之比,因此三角形ADE的面积是三角形DEC和三角形ABE的一半,是三角形EBC的四分之一。

板书：3×〈1＋2＋2＋4〉＝27〈平方厘米〉答：梯形ABCD的面积是27平方厘米。

〈二〉例题4：〈12分〉求下图阴影部分的面积。

〈单位：厘米〉【讲解重点：利用翻折的方法,把复杂的图形转化为简单的图形】师：阴影部分有哪些？生：四分之一圆中去掉一个三角形,正方形中去掉一个四分之一圆。

师：那么我们在计算面积的时候是不是也是用这种分解的方法呢？生：是。

六年级奥林匹克数学基础教程 11 圆与扇形

小学数学奥数基础教程圆与扇形五年级已经学习过三角形、矩形、平行四边形、梯形以及由它们形成的组合图形的相关问题，这一讲学习与圆有关的周长、面积等问题。

圆的面积=πr2，圆的周长=2πr，本书中如无特殊说明，圆周率都取π=3.14。

例1如下图所示，200米赛跑的起点和终点都在直跑道上，中间的弯道是一个半圆。

已知每条跑道宽1.22米，那么外道的起点在内道起点前面多少米？（精确到0.01米）分析与解：半径越大，周长越长，所以外道的弯道比内道的弯道长，要保证内、外道的人跑的距离相等，外道的起点就要向前移，移的距离等于外道弯道与内道弯道的长度差。

虽然弯道的各个半径都不知道，然而两条弯道的中心线的半径之差等于一条跑道之宽。

设外弯道中心线的半径为R，内弯道中心线的半径为r，则两个弯道的长度之差为πR-πr＝π（R-r）＝3.14×1.22≈3.83（米）。

即外道的起点在内道起点前面3.83米。

例2有七根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆（如左下图），此时橡皮筋的长度是多少厘米？分析与解：由右上图知，绳长等于6个线段AB与6个BC弧长之和。

将图中与BC弧类似的6个弧所对的圆心角平移拼补，得到6个角的和是360°，所以BC弧所对的圆心角是60°，6个BC弧等于直径5厘米的圆的周长。

而线段AB等于塑料管的直径，由此知绳长=5×6＋5×3.14＝45.7（厘米）。

例3左下图中四个圆的半径都是5厘米，求阴影部分的面积。

分析与解：直接套用公式，正方形中间的阴影部分的面积不太好计算。

容易看出，正方形中的空白部分是4个四分之一圆，利用五年级学过的割补法，可以得到右上图。

右上图的阴影部分的面积与原图相同，等于一个正方形与4个半圆（即2个圆）的面积之和，为（2r）2＋πr2×2=102＋3.14×50≈257（厘米2）。

例4 草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊（见左下图）。

数学六年级-圆、扇形的周长和面积-教案

辅导讲义说明： C 表示圆的周长，d 表示直径，r 表示半径，S 表示圆的面积，π表示圆周率，是个无限不循环小数，近似等于14.3。

1、上次课课后巩固作业处理，建议让学生互批互改，个别错题可以让学生进行分享，针对共性的错题教师讲解为主。

2、互动探索（上节课预习内容，教师检查正确率，根据学生做题情况，进行讲解） ➢ 知识抢答圆周长计算公式：2C r d ππ==o n 圆心角所对的弧长： 2360180n n l r r ππ=⨯= 圆的面积计算公式：2S r π=o n 圆心角所对的扇形的面积计算公式：2360n S r π=扇形或12S lr =扇形（因为弧长180n l r π=所以21136021802n n S r r r lr ππ==⨯⨯=扇形）思考：圆的面积与扇形的面积之间有怎样的关系？练习1．圆的周长是直径的（）A、3.14159倍；B、3.14倍；C、3倍；D、倍2．圆的半径扩大为原来的3倍（）A、周长扩大为原来的9倍B、周长扩大为原来的6倍C、周长扩大为原来的3倍D、周长不变3．圆的半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，则（）A、弧长扩大为原来的4倍B、弧长扩大为原来的2倍C、弧长不变D、弧长缩小为原来的一半4．圆的半径扩大为原来的3倍（）A、面积扩大为原来的9倍B、面积扩大为原来的6倍C、面积扩大为原来的3倍D、面积不变5．圆的面积扩大为原来的四倍，则半径（）A、扩大为4倍；B、扩大为16倍；C、不变；D、扩大为2倍6．一个扇形的半径扩大2倍，圆心角扩大3倍，则扇形的面积（）A、扩大5倍B、扩大6倍C、扩大18倍D、扩大12倍7．一个扇形的圆心角扩大3倍，弧长扩大6倍，则扇形的面积（）A、扩大5倍B、扩大6倍C、扩大18倍D、扩大12倍8．扇形的面积是157平方厘米，它所在的圆面积是1256平方厘米，则扇形的圆心角是度。

9．已知圆心角为120°的扇形弧长为12.56厘米，则扇形的面积是平方厘米。

圆与扇形题型归类

圆与扇形——公式与割补内容提要本讲主要讲解与圆和扇形有关的概念，及周长、面积公式等．下面我们来说说这方面的基础知识．圆是我们在生活中经常见到的图形，它也是最完美的平面图形：有无数条通过圆心的对称轴，绕圆心旋转任何角度还保持原状．而且，所有的平面图形在周长相同的情况下，圆的面积是最大的．我们知道，圆的周长和直径的比值是一个固定不变的数，这正是圆周率，用π表示．另外，一般把直径记作d ，半径记作r ，如图1所示．所以，圆的周长2C d r ππ=⨯=⨯⨯，圆的面积2S r π=⨯．如图3，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇形．它是圆的一部分，所以关于扇形的各种计算可以应用圆里面的结论．dr图1n°r图3扇形的圆心角为n °时，它的弧长和面积应该分别是圆周长和圆面积的360n ．我们先来熟悉一下这些公式．练习：1. 半径是2的圆的面积和周长分别是多少？2.3.4. 直径是5的圆的面积和周长分别是多少？5.6.7. 周长是10π的圆的面积是多少？8.9.10. 面积是9π的圆的周长是多少？11.12.例题一、基本公式运用例题1.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积和周长各是多少？（圆周率按3.14计算）例题2.已知扇形面积为18.84平方厘米，圆心角为60°，则这个扇形的半径和周长各是多少？（圆周率按3.14计算）60°例题4.随堂练习：1.已知一个扇形的弧长为0.785厘米，圆心角为45，这个扇形的半径和周长各是多少？2.3.4.扇形的面积是31.4平方厘米,它所在圆的面积是157平方厘米,这个扇形的圆心角是多少？5.6.如图，直角三角形ABC的面积是45，分别以B，C为圆心，3为半径画圆．已知图中阴影部分的面积是35.58．请问：角A是多少度？（π取3.14）AB C7.二、圆中方，方中圆8.如图，左下图和右下图中的正方形边长都是2，那么大圆、小圆的面积分别为________、________．9.10.随堂练习：1.已知外面大圆的半径是4，里面小圆的面积是多少？（答案用π表示）2.二、割补法11.求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按3.14计算）：2（1）（2）随堂练习：7求下图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按3.14计算）：（1）（2）4求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按3.14计算）：22（1）（2）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）12.已知图中正方形的边长为2，分别以其四个顶点为圆心的直角扇形恰好交于正方形中心，那么图中阴影部分的面积为________．（答案用表示）13.14.15.16.根据图中所给数值，求下面图形的外周长和总面积分别是多少？（π取3.14）417.作业：1.半径为4厘米的圆的周长是________厘米，面积是________平方厘米；2.3.半径为4厘米，圆心角为90︒的扇形周长是________厘米，面积是________平方厘米．（π取3.14）4.5.家里来客人了，淘气到超市买了4瓶啤酒，售货员阿姨将4瓶啤酒捆扎在一起（如下图所示），捆4圈至少要用绳子________厘米．（π取3.14，接头处忽略不计）O 7厘米1 16.求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按3.14计算）：7.（1）（2）10109.10.下列图形中的正方形的边长为2，则下图中各个阴影部分面积的大小分别为______、______．（π取3.14）11.12.用一块面积为36π平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了7个同样大小的圆铝板．问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？O圆与扇形旋转与重叠知识总结：学习如何利用割补法和包含排除的思想计算图形中特定部分的面积；学会分析几何图形的运动过程，并由此得出点的轨迹和图形扫过的区域．例题：一、重叠问题例题1.下图中甲区域比乙区域的面积大57平方厘米，且半圆的半径是10厘米，那么其中直角三角形的另一条直角边的长度是多少？（圆周率?取3.14）例题2.例题3.下图中有一个等腰直角三角形ABC ，一个以AB 为直径的半圆，和一个以BC 为半径的扇形．已知10AB BC ==厘米．图中阴影部分的面积为多少平方厘米？（π取3.14）例题4.随堂练习1. 如图17-13，以AB 为直径做半圆，三角形ABC 是直角三角形，阴影部分①比阴影部分②的面积小28平方厘米，AB 长40厘米．求BC 的长度．（?取3.14．） 2. 3.4.5.6.例题5.如图，直角三角形的两条直角边分别为3和5，分别以三条边做了3个半圆（直角顶点在以斜边为直径的半圆上），那么阴影部分的面积为______．ABB例题6.例题7.例题8.例题9.图1是一个直径是3厘米的半圆，AB是直径．如图2所示，让A点不动，把整个半圆逆时针转60°，此时B点移动到C点．请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3.14）图1 AB A B60 图2C例题11.例题12.例题13.二、动态扫面积问题例题14.如图，正方形ABCD边长为1厘米，依次以A、B、C、D为圆心，以AD、BE、CF、DG 为半径画出四个直角扇形，那么阴影部分的面积为________平方厘米．（取3.14）例题15.例题16.例题17.例题18.例题19.例题20.例题21.例题22.例题23.例题24.如图所示，以等边三角形的B、C、A三点分别为圆心，分别以AB、CD、AE为半径画弧，这样形成的曲线ADEF被称为正三角形ABC的渐开线，如果正三角形ABC的边长为3厘米，那么此渐开线的长度为多少厘米，图中I、II、III三部分的面积之和是多少平方厘米？例题例题26.例题27.三、运动圆扫面积例题28.图中正方形的边长是4厘米，而圆环的半径是1厘米．当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时，其扫过的面积有多大？（π取3.14）例题29.例题30.随堂练习1.图中长方形的长是10厘米，宽是4厘米，而圆环的半径是1厘米．当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时，其扫过的面积有多大？（π取3.14）2.例题31.图中等边三角形的边长是3厘米，而圆环的半径是1厘米．当圆环绕等边三角形无滑动地滚动一周又回到原来位置时，其扫过的面积有多大？（π取3.14）例题32.例题33.例题34.例题35.思考题如图所示，一只小狗被拴在一个边长为4米的正五边形的建筑物的一个顶点处，四周都是空地．绳长刚好够小狗走到建筑物外墙边的任一位置．小狗的活动范围是多少平方米？（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计，π取3）狗作业：1.图17-14由一个长方形与两个90?角的扇形构成，其中阴影部分的面积是_______平方厘米．（?取3.14．）图17-143.4.图中有一个矩形和两个半径分别为5和2的直角扇形，那么两个阴影部分的面积相差为_______．（π取3.14）6. 如图，直角三角形的两条直角边长分别是10cm 和6cm ，分别以直角边为直径作出两个半圆，这两个半圆的交点恰好落在斜边上，那么阴影部分的面积是_______cm 2．（?取3.14）7. （17??30）8.9. 图1是一个直径是3厘米的半圆，AB 是直径．如图2所示，让A 点不动，把整个半圆逆时针转60°，此时B 点移动到C 点．请问：图中阴影部分的面积是_______平方厘米（π取3.14）10cm6cm图1 AB A BC 40 图2C11.图中正方形的边长是6厘米，而圆环的半径是1厘米．当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时，其扫过的面积有______．（π取3.14）12.13.图中等边三角形的边长是5厘米，圆形的半径是1厘米．当圆形绕等边三角形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有________．（π取3.14）14.。

六年级上册数学教案-扇形的认识-人教版(11)

六年级上册数学教案扇形的认识人教版 (11)教案：扇形的认识一、教学内容今天我们要学习的是人教版六年级上册的数学内容，具体是第11章的扇形认识。

我们将通过实例来引入扇形的概念，并学习如何计算扇形的面积和周长。

二、教学目标通过本节课的学习，我希望学生们能够理解扇形的定义，掌握计算扇形面积和周长的方法，并能应用于实际问题中。

三、教学难点与重点重点是扇形的定义和计算扇形面积、周长的方法。

难点是理解扇形与圆的关系以及如何在实际问题中灵活运用。

四、教具与学具准备我已经准备好了多媒体课件、扇形模型、计算器等教具，以及练习题和学习手册等学具。

五、教学过程1. 引入：我会在课件上展示一些生活中常见的扇形物体，如风扇、雨伞等，让学生观察并猜测它们的共同特点。

2. 讲解：接着，我会用多媒体课件详细讲解扇形的定义，以及如何计算扇形的面积和周长。

我会结合实例进行讲解，让学生更直观地理解。

3. 练习：在讲解完后，我会给出一些随堂练习题，让学生们运用所学的知识进行计算和解答。

我会及时给予解答和指导。

4. 应用：我会给出一些实际问题，让学生们运用扇形知识进行解决，巩固所学内容。

六、板书设计板书设计将包括扇形的定义、面积和周长的计算公式，以及一些关键的步骤和要点。

七、作业设计1. 请学生们运用扇形知识，计算教材中的例题，并写出解答过程。

2. 请学生们结合生活实际，找出一道扇形问题，并运用所学知识进行解决，然后分享给大家。

八、课后反思及拓展延伸通过本节课的学习，我觉得学生们对扇形的认识有了基本的了解，但在实际应用中还需要加强练习。

下一节课，我会继续巩固扇形知识，并引入更多的实际问题，让学生们更好地理解和运用。

同时，我也会鼓励学生们在课后多观察生活中的扇形物体，增强对扇形的认识。

重点和难点解析在本次六年级上册数学教案扇形的认识的详细内容中，有几个重点和难点是我认为需要特别关注的。

一、扇形的定义和性质扇形的定义是本次教学的核心内容之一。

小学奥数讲义：圆与扇形

平面图形——圆与扇形1、下图是半径为24厘米的扇形，求图中阴影部分的面积。

2、一块正方形的草地，边长为4米，在两个相对的角上各有一棵树，树上各拴一只羊，绳子长4米，问两只羊都能吃到草的草地面积有多大？3、如图，等腰直角三角形直角边长为14厘米，两个半圆的直径是三角形的直角边，求图中阴影部分的面积。

4、如下图，阴影部分的周长是14.28分米，阴影部分的面积是多少平方分米？5、在图中，阴影部分的面积是100平方厘米，求圆环的面积。

6、在正方形ABCD中，AC＝8厘米，求阴影部分的面积。

7、如下图，∠AOB＝450，求空白部分面积及阴影部分周长。

8、有两个半圆与两个圆位置如下图所示，圆A的半径为3厘米，圆B的半径为2厘米，圆O的直径是圆A与圆B的直径和，圆C的直径是圆O的半径。

求阴影部分的面积与空白部分的面积比。

9、如图，扇形AFB是一个圆心角为90的扇形，四边形BCDE和AFBG都是正方形。

那么图中阴影部分的面积是多少？（单位：厘米）10、已知下图中正方形的周长是40厘米，图中阴影部分的面积是多少？11、如图，三角形ABC为等腰直角三角形，∠ACB为直角，D是AB的中点，AB=20厘米，圆弧GD、HD是分别以A、B为圆心所作，求图中阴影部分的面积（π取3.14）。

12、如图，AB是圆的直径，C、D是AB上两点且AC=CD=DB=a厘米。

求阴影部分的面积。

13、已知直角三角形ABC中三边长分别为AB=5厘米，AC=4厘米，BC=3厘米。

如图，分别以这三边为直径画圆，求阴影面积。

14、如图，三角形ABC是直角三角形，AB是圆的直径，并且AB=20厘米，如图阴影I的面积比阴影Ⅱ的面积大7平方厘米，求出BC的长度（π取3.14）。

15、求阴影部分的面积。

（单位：厘米）16、如图，O为圆心，CO垂直于AB，三角形ABC的面积是45平方厘米，以C为圆心，CA为半径画弧将圆分成两部分，求阴影部分的面积。

【练习】1、求下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。

2020春浙教版九年级中考数学复习测试：3.11弧长与扇形的面积

第11讲弧长与扇形的面积[学生用书P63]怎样测量地球的半径我们知道，地球的形状近似一个球形，那么怎样测出它的半径呢？据说公元前三世纪时希腊天文学家厄拉多塞内斯(Eratosthenes ，公元前276～194)首次测出了地球的半径．他发现夏至这一天，当太阳直射到赛伊城(今埃及阿斯旺城)的水井S 时，在亚历山大城的一点A 的天顶与太阳的夹角为7.2°(天顶就是铅垂线向上无限延长与天空“天球”相交的一点)．他认为这两地在同一条子午线上，从而这两地间的弧所对的圆心角SOA 就是7.2°(如下图)．又知商队旅行时测得A ，S 间的距离约为5 000古希腊里，他按照弧长与圆心角的关系，算出了地球的半径约为40 000古希腊里．一般认为1古希腊里约为158.5米，那么他测得地球的半径约为6 340公里．其原理：设圆周长为C ，半径为R ，两地间的弧长为l ，对应的圆心角为n °.因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C ＝2πR ，所以1°的圆心角所对弧长是2πR 360，即πR 180.于是半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长l 为l ＝n πR 180，整理得R ＝180l πn .当l ＝5 000古希腊里，n ＝7.2时，R ＝180×5 0003.14×7.2≈40 000(古希腊里)，化为公里数为40 000×158.51 000＝6 340(公里)．厄拉多塞内斯这种测地球的方法常称为弧度测量法．用这种方法测量时，只要测出两地间的弧长和圆心角，就可求出地球的半径了．类型之一弧长的计算例1 如图，△ABC 是正三角形，曲线CDEF …叫做“正三角形的渐开线”，其中CD ︵，DE ︵，EF ︵，… 的圆心按点 A ，B ，C 循环．如果 AB ＝1，那么曲线 CDEF 的长是____4π__．【思路生成】CD ︵，DE ︵，EF ︵的圆心角都是120度，半径分别是1，2，3.【解析】 CD ︵的长是120π×1180＝2π3，DE ︵的长是120π×2180＝4π3，EF ︵的长是120π×3180＝2π，则曲线CDEF 的长是2π3＋4π3＋2π＝4π.圆中的有关计算有下列公式：1．圆周长公式：C ＝2πR .2．圆面积公式：S ＝πR 2.3．弧长公式：l ＝n πR 180.4．扇形面积公式：(1)S 扇形＝n πR 2360；(2)S 扇形＝12lR .这些计算公式有一个共同点，就是知晓其中任意两个量，就可以求出第三个量．弧长的计算由弧长公式可知，求弧长的关键是求弧所在圆的半径和弧所对的圆心角．1．[2018·金华、丽水中考]如图1是小明制作的一副弓箭，点A ，D 分别是弓臂BAC 与弓弦BC 的中点，弓弦BC ＝60 cm.沿AD 方向拉弓的过程中，假设弓臂BAC 始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D 拉到点D 1时，有AD 1＝30 cm ，∠B 1D 1C 1＝120°.(1)图2中，弓臂两端B 1，C 1的距离为；(2)如图3，将弓箭继续拉到点D 2，使弓臂B 2AC 2为半圆，则D 1D 2的长为－10__ cm.【解析】 (1)连结B 1C 1交AD 1于E ，则AD 1垂直平分B 1C 1.在Rt △B 1D 1E 中，∵∠B 1D 1C 1＝120°，∴∠B 1D 1E ＝60°.∵B 1D 1＝30，∴B 1E ＝15 3.∴B 1C 1＝303；(2)图2中，∵AD 1＝30 cm ，∠B 1D 1C 1＝120°，∴弓臂B 1AC 1的长＝120·π·30180＝20π.图3中，∵弓臂B 2AC 2为半圆，∴20π＝12d π，∴半圆的半径12d ＝20.连结B 2C 2交AD 2于E 1，则AD 2垂直平分B 2C 2.在Rt△B2D2E1中，D2E1＝（D2B2）2－（B2E1）2＝302－202＝10 5.∴AD2＝105＋20.∵AD1＝30 cm，∴D1D2＝AD2－AD1＝105－10.扇形的面积由扇形的面积公式可知，求扇形的面积公式的关键是求扇形所在圆的半径和扇形的圆心角．类型之二扇形的面积例2[萧山区自主招生]如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为4的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“能接触到的部分”的面积是(C)A．4－π B．π C．12＋π D．15＋π4【思路生成】这张圆形纸片减去“不能接触到的部分”的面积是就是这张圆形纸片“能接触到的部分”的面积．【解析】如答图，∵正方形的面积是4×4＝16，答图扇形BAO的面积是nπr2360＝90×π×12360＝π4，∴这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是4×1－4×π4＝4－π，∴这张圆形纸片“能接触到的部分”的面积是16－(4－π)＝12＋π.2．如图，△ABC 是等腰直角三角形，且∠ACB ＝90°，曲线CDEF …叫做“等腰直角三角形的渐开线”，其中CD ︵，DE ︵，EF ︵，…的圆心依次按A ，B ，C 循环，如果AC ＝1，那么曲线CDEF 和线段CF 围成图形的面积为( C ) A.（12＋72）π4 B.（9＋52）π＋24C.（12＋72）π＋24D.（9＋52）π4 【解析】曲线CDEF 和线段CF 围成图形的面积是由三个圆心不同，半径不同的扇形以及△ABC 组成，135π×12＋135π×（2＋1）2＋90π×（2＋2）2360＋12×1×1＝（12＋72）π＋24.3．[2018·涪城区校级自主招生]如图，在△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，AB ＝2，点D 为AB 的中点，以点D 为圆心作圆心角为90°的扇形DEF ，点C 恰在弧EF 上，则图中阴影部分的面积为__π4－12__．【解析】如答图，连结CD ，作DM ⊥BC ，DN ⊥AC .答图∵CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，点D 为AB 的中点，∴DC ＝12AB ＝1，DM ＝22.则扇形FDE 的面积是90π×12360＝π4.∵CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，点D 为AB 的中点，∴CD 平分∠BCA ，又∵DM ⊥BC ，DN ⊥AC ，∴DM ＝DN ，∴四边形DMCN 是正方形，∵∠GDH ＝∠MDN ＝90°，∴∠GDM ＝∠HDN ，在△DMG 和△DNH 中，⎩⎨⎧∠DMG ＝∠DNH ，∠GDM ＝∠HDN ，DM ＝DN ，∴△DMG ≌△DNH (AAS )，∴S 四边形DGCH ＝S 正方形DMCN ＝12. 则阴影部分的面积是π4－12.4．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB＝30°，OC ＝2，求阴影部分图形的面积．解：∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∴CE ＝DE ，∠CEO ＝∠DEB ＝90°.∵∠CDB ＝30°，∴∠COB ＝60°，∠OCE ＝∠CDB ，在△OCE 和△BDE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠OCE ＝∠BDE ，CE ＝DE ，∠OEC ＝∠BED ，∴△OCE ≌△BDE ，∴S 阴影＝S 扇形COB ＝60π×22360＝23π.滚动问题是一类新型动态题，这类题目通常有两类：(1)在直线上滚动多边形，求多边形上某个点转过的弧长或某条线段扫过的面积；(2)对于滚动问题，又有两种类型：(1)沿直线、曲线还是三角形滚动；(2)是沿内壁还是外壁滚动．对于这类问题，只要求出滚圆的圆心轨迹的长度S和滚圆的半径r两个量，就可以按照公式S2πr求出滚圆自身滚动的圈数．类型之三平面图形的滚动问题例3如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，边CD在直线l上，将矩形ABCD 沿直线l作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为__6π__．【思路生成】根据旋转的性质知，点A经过的路线长是三段：①以90°为圆心角，AD长为半径的扇形的弧长；②以90°为圆心角，AB长为半径的扇形的弧长；③以90°为圆心角，矩形ABCD对角线长为半径的扇形的弧长．【解析】如答图为滚动路径，∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝3，答图∴BC＝AD＝3，∠ADC＝90°，对角线AC(BD)＝5.∵根据旋转的性质知，∠ADA′＝90°，AD＝A′D＝BC＝3，∴点A第一次翻滚到点A′位置时，则点A经过的路线长为90π×3180＝3π2，同理，点A′第一次翻滚到点A″位置时，则点A′经过的路线长为90π×4180＝2π，点A″第一次翻滚到点A1位置时，则点A″经过的路线长为90π×5180＝5π2.∴当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为3π2＋2π＋5π2＝6π.【方法概括】以图形运动为背景，求在图形运动过程中某一线段扫过的区域面积问题．解决这类问题的基本方法是：从特殊位置或极端位置入手，确定点的运动轨迹，从而把握扫过的区域的图形的形状．5．[福建自主招生]如图，边长为1的正方形ABCD 的AB 边在直线MN 上．正方形沿直线MN 作无滑动翻滚．当A 第3次落在MN 上时(开始时A 点第1次落在MN 上)，A 点运动的路程为( C )A ．(2＋22)πB ．4πC ．(2＋2)πD ．3π【解析】 ∵正方形ABCD 的边AB ＝1，∴对角线AC ＝2，∵点A 翻滚一周经过的路程弧长l ＝π2×2＋2×π2×1＝π＋22π，∴当A 第3次落在MN 上时，A 点运动的路程＝2×⎝⎛⎭⎪⎫π＋22π＝2π＋2π. 6．[新罗区校级自主招生]如图，水平地面上有一面积为152π cm 2的扇形AOB ，半径OA ＝3 cm ，且OA 与地面垂直．在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至与三角块BDE 接触为止，此时，扇形与地面的接触点为C ，已知∠BCD ＝30°，则O 点移动的距离至少为( B )A ．3π cmB ．4π cm C.92π cm D ．5π cm【解析】 ∵扇形AOB 的面积为152π cm 2，∴圆心角＝15π×3602×32π＝300°，连结OC ，BC ，∵∠BCD ＝30°，∴∠BOC ＝60°，∴优弧AC ＝240×π×3180＝4π cm. 7．[镇海区校级自主招生]如图，一个圆作滚动运动，它从位置A 开始，在与它相同的其它六个圆上部滚动，到达B 位置(六个圆的圆心与A ，B 在同一直线上)，则该圆上某一定点绕其圆心共滚过的圈数为( B )A ．3 B.83 C.156 D.43【解析】 ∵弧长＝120π×2r ×2＋60π×2r ×4180＝163πr ，小圆的周长＝2πr ， ∴该圆共滚过了163πr ÷2πr ＝83圈．8．[2018·恩施州中考]在Rt △ABC 中，AB ＝1，∠A ＝60°，∠ABC ＝90°，如图所示将Rt △ABC 沿直线l 无滑动地滚动至Rt △DEF ，则点B 所经过的路径与直线 l 所围成的封闭图形的面积为__1912π＋32__．【解析】如答图，在Rt △ABC 中，AB ＝1，∠A ＝60°，∴BC ＝3，∠BCB ′＝150°，∠B ′A ′E ＝120°，第一次滚动的半径为3，根据扇形面积公式S ＝n πR 2360°＝5π4，第二次滚动的半径为1，故扇形面积＝π×120360＝π3，△A ′B ′C 的面积为12×1×3＝32，故总面积为5π4＋π3＋32＝19π12＋32.答图9．[2018·宿迁中考]如图，将含有30°角的直角三角板ABC 放入平面直角坐标系中，定点A ，B 分别落在x ，y 轴的正半轴上，∠OAB ＝60°，点A 的坐标为(1，0)．将三角板ABC 沿x 轴向右作无滑动的滚动(先绕点A 按顺时针方向旋转60°，再绕点C 按顺时针方向旋转90°…)．当点B 第一次落在x 轴上时，则点B运动的路径与两坐标轴围成的图形面积是．答图【解析】 ∵∠OAB ＝60°，OA ＝1，∴AB ＝2，BC ＝3，∴扇形ABB 1的面积为16π×22＝23π，扇形C 1B 1B 2的面积为14π×(3)2＝34π.△OAB 与△ABC 的面积之和为3，∴点B 运动的路径与两坐标轴围成的图形面积是23π＋34π＋3＝3＋1712π.10．如图，正六边形硬纸片ABCDEF 在桌面上由图①的起始位置沿直线l 不滑行地翻滚一周后到图②位置．若正六边形的边长为2 cm ，则正六边形的中心O 运动的路程为__4π__cm.① ②【解析】根据题意得，每次滚动，正六边形的中心就以正六边形的半径为半径旋转60°.∵正六边形的边长为2 cm ，∴运动的路径为60π×2180＝2π3.∵从图①运动到图②共重复进行了六次上述的移动，∴正六边形的中心O 运动的路程6×2π3＝4π(cm)．类型之四求弓形的面积例4 如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AC ＝8，BD ＝6，以AB为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为( D )A ．25π－6B.25π2－6C.25π6－6D.25π8－6弓形的面积(1)如图①，当弓形的弧小于半圆时，弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的差，即S 弓形＝S 扇形－S △OAB ；(2)如图②，当弓形的弧大于半圆时，它的面积等于扇形面积与三角形面积的和，即S 弓形＝S 扇形＋S △OAB ；(3)如图③，当弓形的弧是半圆时，它的面积是圆面积的一半，即S 弓形＝12S 圆．【思路生成】根据阴影部分的面积等于半圆的面积减去△AOB 的面积．【解析】 ∵菱形ABCD 中，AC ＝8，BD ＝6，∴AC ⊥BD 且OA ＝12AC ＝12×8＝4，OB ＝12BD ＝12×6＝3，由勾股定理得，AB ＝OA 2＋OB 2＝42＋32＝5，∴阴影部分的面积＝12×π⎝ ⎛⎭⎪⎫522－12×4×3＝258π－6.11．如图，扇形AOB 的半径为1，∠AOB ＝90°，以AB 为直径画半圆，则图中的阴影部分的面积为( C )A.14πB ．π－12 C.12 D.14π＋12【解析】在Rt △AOB 中，AB ＝AO 2＋OB 2＝2， S 半圆＝12π×⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22＝π4，S △AOB ＝12OB ×OA ＝12， S 扇形OBA ＝90π×12360＝π4，故S 阴影＝S 半圆＋S △AOB －S 扇形AOB ＝12.故选C.12．[2018·荆门中考]如图，在平行四边形ABCD 中，AB <AD ，∠D ＝30°，CD ＝4，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点E ，则阴影部分的面积为．【解析】如答图，连结OE ，过O 点作OF ⊥BE ，答图垂足为F，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝4，∠D＝∠B＝30°，∴OB＝2. ∵OF⊥BE，∴OF＝1，BF＝3，∠BOF＝60°，∴∠BOE＝120°，BE＝23，∴S阴影＝S扇形OBE－S△OBE＝120360π×22－23×12＝43π－ 3.13．[2018·云南中考]如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD＝∠BAC.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若∠D＝30°，BD＝2，求图中阴影部分的面积．解：(1)证明：如答图，连结OC.答图∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即∠ACO＋∠OCB＝90°.∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A，∵∠BCD＝∠A，∴∠ACO＝∠BCD，∴∠BCD＋∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；(2)∵∠D＝30°，∠OCD＝90°，∴∠BOC＝60°，OD＝2OC.∴∠AOC＝120°，∠A＝30°.设⊙O的半径为x，则OB＝OC＝x.∴x＋2＝2x，解得x＝2.过点O作OE⊥AC，垂足为点E，则AE＝CE，在Rt△OEA中，OE＝12OA＝1，AE＝AO2－OE2＝ 3.∴AC＝2 3.∴S阴影＝S扇形OAC－S△OAC＝120×π×22360－12×23×1＝43π－ 3.求不规则图形的面积求不规则图形的面积常利用对称、全等及平行线进行等面积的图形转换，转化为容易解决的规则图形，然后求出各图形的面积，通过面积的和差求出结果．类型之五求不规则图形的面积例5如图，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的直径，点O1，O2，O3，O4分别是OA，OB，OC，OD的中点，若⊙O的半径是2，则阴影部分的面积为(A)A．8 B．4 C．4π＋4 D．4π－4【思路生成】连结相邻小圆的交点，构造正方形，求出正方形中空白部分的面积，进而得出阴影面积．答图【解析】如答图所示，可得正方形EFMN，边长为2，正方形中阴影部分的面积为S1＝2(22－π×12)＝8－2π，∵⊙O的半径为2，∴O1，O2，O3，O4的半径为1，∴小圆的面积为π×12＝π，∴S 阴影＝2S 小圆＋S 1＝2π＋(8－2π)＝8.14．[2018·眉山中考]如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，把△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转45°后得到△AB ′C ′，则线段BC 在上述旋转过程中所扫过部分(阴影部分)的面积是__12π__．【解析】 S 阴影＝S 扇形ABB ′＋S △AC ′B ′－S 扇形ACC ′－S △ABC ＝S 扇形ABB ′－S 扇形ACC ′＝45360×π×(22)2－45360×π×22＝12π.15．[2018·乐山中考]如图，△OAC 的顶点O 在坐标原点，OA 边在x 轴上，OA ＝2，AC ＝1，把△OAC绕点A 按顺时针方向旋转到△O ′AC ′，使得点O ′的坐标是(1，3)，则在旋转的过程中线段OC 扫过部分(阴影部分)的面积为__π2__．【解析】如答图，过点O ′作O ′H ⊥x 轴于点H ，∵点O ′的坐标是(1，3)，∴OH ＝1，O ′H ＝3，又∵AO ＝AO ′＝2，∴∠HAO ′＝60°，即旋转∠OAO ′＝∠CAC ′＝60°，根据旋转的性质可知，△OAC ≌△O ′AC ′，∴△OAC 的面积与△O ′AC ′的面积相等，答图∴S 阴影＝S 扇形OAO ′＋S △O ′C ′A －S △OCA －S 扇形CAC ′＝S 扇形OAO ′－S 扇形CAC ′＝60π×22360－60π×12360＝π2.例6 [全国联赛初三初赛]如图，扇形AOB 的圆心角∠AOB ＝90°.半径为5，正方形CDEF 内接于该扇形，则正方形CDEF 的边长为．【解析】如答图，过点O 作OH ⊥EF 交EF 于点H ，交DC 于点K ，连结OF .∵OH 过圆心，∴EH ＝FH .答图∵四边形CDEF 是正方形，∴OH ⊥DC ，DK ＝CK ，∴△OCK 是等腰直角三角形，OK ＝KC .设CF ＝x ，则KH ＝x ，HF ＝OK ＝CK ＝x 2，在Rt △OHF 中，OH 2＋HF 2＝OF 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＝52，解得x ＝10，即CF 的长为10.[学生用书P34]【思维入门】1．[2018·山西中考]如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，⊙O 的半径为2.以点A 为圆心，以AC 长为半径画弧交AB 的延长线于点E .交AD 的延长线于点F .则图中阴影部分的面积是( A )A ．4π－4B ．4π－8C ．8π－4D ．8π－8【解析】根据对称，阴影部分的面积可以转化为答图，答图则S 阴影＝S 扇形－S △ABD ＝90π×42360－12×4×2＝4π－4.2．[2018·南宁中考]如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，AB ＝2，则莱洛三角形(即阴影部分面积)为( D )A ．π＋ 3B ．π－ 3C ．2π－ 3D ．2π－2 3【解析】莱洛三角形的面积实际上是由三块相同的扇形叠加而成，其面积等于三块扇形的面积相加减去两个等边三角形的面积，即S 阴影＝3×S 扇形－2S △ABC .答图由题意得S 扇形＝π×22×60360＝23π，S △ABC ＝34×22＝3，∴S 阴影＝3S 扇形－2S △ABC ＝3×23π－2×3＝2π－2 3.3．[2018·十堰中考]如图，扇形OAB 中，∠AOB＝120°，OA ＝12，C 是OA 的中点，CD ⊥OA 交AB ︵于点D ，以OC 为半径的CE ︵交OB 于点E ，则图中阴影部分的面积是( A )A ．12π＋18 3B ．12π＋36 3C ．6π＋18 3D ．6π＋36 3【解析】如答图，连结OD ，AD ，答图∵点C 为OA 的中点，∴OC ＝12OA ＝12OD ，∵CD ⊥OA ，∴∠CDO ＝30°，∠DOC ＝60°，∴△ADO 为等边三角形，OD ＝OA ＝12，OC ＝CA ＝6，∴CD ＝（OD ）2－（OC ）2＝63，∴S 扇形AOD ＝60·π·（12）2360＝24π， ∴S 阴影＝S 扇形AOB －S 扇形COE －(S 扇形AOD －S △COD )＝120·π·（12）2360－120·π·62360－(24π－12×6×63)＝12π＋18 3.4．[2018·广东中考]如图，矩形ABCD 中，BC ＝4，CD ＝2，以AD 为直径的半圆O 与BC 相切于点E ，连结BD ，则阴影部分的面积为__π__．(结果保留π)【解析】连结OE ，易证四边形ABEO 为正方形，则扇形OED 的圆心角为90°，半径为2，因此可求扇形OED 的面积，阴影面积看成正方形ABEO ＋扇形OED －三角形ABD ，正方形ABEO 和三角形ABD 面积均可求，即可求得阴影部分．5．[2018·河南]如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，将△ABC 绕AC 的中点D 逆时针旋转90°得到△A ′B ′C ′，其中点B 的运动路径为弧BB ′，则图中阴影部分的面积为__54π－32__．【解析】如答图，连结B ′D ，BD ，B ′B ，答图∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，将△ABC 绕AC 的中点D 逆时针旋转90°得到△A ′B ′C ′，∴C ′D ＝CD ＝1，B ′C ′＝BC ＝2，∠CDC ′＝∠C ′＝∠B ′DB ＝90°，∴B ′D ＝BD ＝12＋22＝5，∴CD ∥B ′C ′，B ′C ＝A ′C ＝A ′B ＝2，∴S 阴影＝S 扇形BDB ′－S △BDB ′＋S △B ′BC＝90π（5）2360－12×5×5＋12×2×2＝54π－32.6．[2018·龙东地区中考]如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，4)，B(1，1)，C(3，1)．(1)画△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)画△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；(3)在(2)的条件下，求线段BC扫过的面积(结果保留π)．解：(1)画出△A1B1C1如答图所示；答图(2)画出△A 2B 2C 2如答图所示；(3)∵OC ＝12＋32＝10，OB ＝12＋12＝2，∴S ＝S 扇形OCC 2－S 扇形OBB 2＝14π(OC 2－OB 2)＝2π.【思维拓展】7．如图，是某公园的一角，∠AOB ＝90°，AB ︵的半径OA 长是6 m ，点C 是OA 的中点，点D 在AB ︵上，CD ∥OB ，则图中草坪区(阴影部分)的面积是( A )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋923m 2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＋923m 2 C.()3π＋93m 2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫34π－93m 2 8．如图，四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，AB ＝2，扇形BEF 的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是( B )A.2π3－32B.2π3－ 3 C ．π－32 D ．π－ 3【解析】如答图，连结BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，答图∴∠ADC ＝120°，∴∠1＝∠2＝60°，∴△DAB 是等边三角形，∵AB ＝2，∴△ABD 的高为3，∵扇形BEF 的半径为2，圆心角为60°，∴∠4＋∠5＝60°，∵∠3＋∠5＝60°，∴∠3＝∠4，△ABG ≌△DBH (ASA )，∴四边形GBHD 的面积等于△ABD 的面积，∴图中阴影部分的面积是S 扇形EBF －S △ABD ＝60π×22360－12×2×3＝2π3－ 3.9．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在BC 上，四边形EFGB 也是正方形，以B 为圆心，BA 长为半径画AC ︵，连结AF ，CF ，则图中阴影部分面积为__4π__．10．[2018·盐城中考]如图，左图是由若干个相同的图形(右图)组成的美丽图案的一部分．右图中，图形的相关数据：半径OA ＝2 cm ，∠AOB ＝120°.则右图的周长为__8π3__ cm(结果保留π)．【解析】 ∵半径OA ＝2 cm ，∠AOB ＝120°∴lAB ︵＝120·π·2180＝4π3，lAO ︵＋lOB ︵＝4π3，∴右图的周长＝4π3＋4π3＝8π3.11．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点E ，OF ⊥AC 于点F .(1)请探索OF 和BC 的关系并说明理由；(2)若∠D ＝30°，BC ＝1时，求圆中阴影部分的面积．答图解：(1)OF ∥BC ，OF ＝12BC .理由：由垂径定理得AF ＝CF .∵AO ＝BO ，∴OF 是△ABC 的中位线．∴OF ∥BC ，OF ＝12BC ；(2)连结OC ，由(1)知OF ＝12.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∵∠D ＝30°，∴∠A ＝30°.∴AB ＝2BC ＝2，∴AC ＝3，∴S △AOC ＝12×AC ×OF ＝34.∵∠AOC ＝120°，OA ＝1，∴S 扇形AOC ＝120·π·12360＝π3.∴S 阴影＝S 扇形AOC －S △AOC ＝π3－34.12．如图，在正方形ABCD 中，AD ＝2，E 是AB 的中点，将△BEC 绕点B 逆时针旋转90°后，点E 落在CB 的延长线上点F 处，点C 落在点A 处．再将线段AF 绕点F顺时针旋转90°得线段FG ，连结EF ，CG .(1)求证：EF ∥CG ；(2)求点C ，点A 在旋转过程中形成的AC ︵，AG ︵与线段CG 所围成的阴影部分的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝AD ＝2，∠ABC ＝90°.∵△BEC 绕点B 逆时针旋转90°得△BF A ，∴△ABF ≌△CBE ，∴∠F AB ＝∠ECB ，∠ABF ＝∠CBE ＝90°，AF ＝EC ，∴∠AFB ＋∠F AB ＝90°.∵线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ，∴∠AFB ＋∠CFG ＝∠AFG ＝90°，AF ＝FG ，∴∠CFG ＝∠F AB ＝∠ECB ，∴EC ∥FG .∵AF ＝EC ，AF ＝FG ，∴EC ＝FG ，∴四边形EFGC 是平行四边形，∴EF ∥CG ；(2)∵△ABF ≌△CBE ，∴FB ＝BE ＝12AB ＝1，∴AF ＝AB 2＋BF 2＝ 5.在△FEC 和△CGF 中，∵EC ＝FG ，∠ECF ＝∠GFC ，FC ＝CF ，∴△FEC ≌△CGF ，∴S △FEC ＝S △CGF ，∴S 阴影＝S 扇形ABC ＋S △ABF ＋S △FGC －S 扇形AFG＝90π·22360＋12×2×1＋12×(1＋2)×1－90π·（5）2360＝52－π4⎝⎛⎭⎪⎫或10－π4. 13．[2018·贵阳中考]如图，AB 为⊙O 的直径，且AB ＝4，点C 在半圆上，OC ⊥AB ，垂足为点O ，P 为半圆上任意一点，过P 点作PE ⊥OC 于点E ，设△OPE 的内心为M ，连结OM ，PM .(1)求∠OMP 的度数；(2)当点P 在半圆上从点B 运动到点A 时，求内心M 所经过的路径长．解：(1)∵△OPE 的内心为M ，∴∠MOP ＝12∠EOP ，∠MPO ＝12∠EPO ，∵PE ⊥OC ，∴∠PEO ＝90°，∠EOP ＋∠EPO ＝90°，∴∠MOP ＋∠MPO ＝12(∠EOP ＋∠EPO )＝12×90°＝45°，∴∠OMP ＝180°－45°＝135°；(2)如答图，连结CM ，答图∵OM ＝OM ，∠COM ＝∠POM ，CO ＝PO ，∴△COM ≌△POM ，∴∠CMO ＝∠PMO ＝135°，点M 的运动轨迹是两个CMO ︵，设CMO ︵的圆心为O 1，∵∠CMO ＝135°，∴弦CO 所对的劣弧的圆周角为45°，∴∠CO 1O ＝90°，在Rt △CO 1O 中，CO 1＝sin 45°×OC ＝22×2＝2，当点P 在半圆上从点B 运动到点C 时，内心M 所经过的路径为⊙O 1的劣弧OC ，∴lOC ︵＝90×π×2180＝22π，同理，当点P 在半圆上从点C 运动到点A 时，内心M 所经过的路径为⊙O 2对应的劣弧OC 与⊙O 1的劣弧OC 长度相等，∴当点P 在半圆上从点B 运动到点A 时，内心M 所经过的路径长为22π＋22π＝2π.14．[2018·广州中考]如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，∠D ＝30°，AB ＝BC .(1)求∠A ＋∠C 的度数；(2)连结BD ，探究AD ，BD ，CD 三者之间的数量关系，并说明理由；(3)若AB ＝1，点E 在四边形ABCD 内部运动，且满足AE 2＝BE 2＋CE 2，求点E 运动路径的长度．解：(1)∵在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，∠D ＝30°，∴∠A ＋∠C ＝360°－∠B －∠D ＝270°；答图①(2)AD2＋CD2＝BD2.理由：如答图①，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得△BAD′，连结DD′.∵BD＝BD′，CD＝AD′，∠DBD′＝60°，∠BAD′＝∠C，∴△BDD′是等边三角形，∴DD′＝BD，又∵∠BAD＋∠C＝270°，∴∠BAD′＋∠BAD＝270°，∴∠DAD′＝90°，∴AD2＋AD′2＝DD′2，即AD2＋CD2＝BD2；(3)如答图②，将△BEC绕点B逆时针旋转60°得△BE′A，连结EE′.答图②∵BE＝BE′＝EE′，CE＝AE′，∠EBE′＝60°，∠BEC＝∠BE′A，∴△BEE′是等边三角形，∴∠BE′E＝60°，∵AE2＝BE2＋CE2，BE＝EE′，CE＝AE′，∴AE2＝EE′2＋AE′2，∴∠AE′E＝90°，∴∠BE′A＝150°，∴∠BEC＝150°，∴点E 在以BC 为弦，优弧BC 所对的圆心角为300°的圆上，以BC 为边在下方作等边三角形BCO ，则O 为圆心，半径BO ＝1，∴点E 的运动路径为BC ︵，lBC ︵＝60π×1180＝π3.【思维升华】15．[黄州区自主招生]如图，正方形ABCD 的边AB ＝1，BD ︵和 AC ︵都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是( A )A.π2－1B ．1－π4 C.π3－1D ．1－π6【解析】如答图，答图正方形的面积＝S 1＋S 2＋S 3＋S 4，①两个扇形的面积＝2S 3＋S 1＋S 2，②②－①，得S 3－S 4＝2S 扇形－S 正方形＝90π×1×2360－1＝π2－1.16．[宁波自主招生]如图，将半径为2，圆心角为60°的扇形纸片AOB ，在直线l 上向右作无滑动的滚动至扇形A ′O ′B ′处，则顶点O 经过的路线总长为__83π__．【解析】顶点O 经过的路线可以分为三段，第一段：当弧AB 切直线l 于点B 时，有OB ⊥直线l ，此时O 点绕不动点B 转过了90°；第二段：OB ⊥直线l 到OA ⊥直线l ，O 点绕动点转动，而这一过程中弧AB 始终是切于直线l 的，所以O 与转动点P 的连线始终⊥直线l ，所以O 点在水平运动，此时O 点经过的路线长＝BA ′＝弧AB 的长；第三段：OA ⊥直线l 到O 点落在直线l 上，O 点绕不动点A 转过了90°.故O 点经过的路线总长S ＝π＋23π＋π＝83π.17．[江西竞赛题]如图，正方形ABCD 边长为a ，分别以正方形的四个顶点为圆心，边长为半径，在正方形内画弧，求图中阴影部分的面积．解：如答图，设图中各部分面积分别为x ，y ，z ，答图由题意得4x ＋4y ＋z ＝a 2，①2x ＋y ＝a 2－π4a 2，②3x ＋2y ＝a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2·π6a 2－12×32a ×a ，③ ③－②，得x ＋y ＝33－π12a 2，④将④代入①，得z ＝3＋π－333a 2. 18．[黄冈中考]广告公司要为某企业的一种产品设计商标图案，给出了如下几种初步方案，供继续设计选用．(设图中圆的半径均为r )(1)如图1，分别以线段O 1O 2的两个端点为圆心，以这条线段的长为半径作出两个互相交错的圆的图案，试求两圆相交部分的面积；(2)如图2，分别以等边三角形O 1O 2O 3的三个顶点为圆心，以其边长为半径，作出三个两两相交的相同的圆，这时，这三个圆相交部分的面积又是多少呢？(3)如图3，分别以正方形O 1O 2O 3O 4的四个顶点为圆心，以其边长为半径，作出四个相同的圆，这时，这四个圆相交部分的面积又是多少呢？解：(1)如答图①，设两圆交于A ，B 两点，连结O 1A ，O 2A ，O 1B ，O 2B ，则S 阴＝S 菱形＋4S 弓形，∵S 菱形＝2S △AO 1O 2，△O 1O 2A 为正三角形，其边长为r ，∴S △AO 1O 2＝3r 24，S 弓＝60πr 2360－3r 24＝πr 26－3r 24，∴S 阴＝2×3r 24＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫πr 26－3r 24＝23πr 2－32r 2；答图① 答图②答图③(2)如答图②，S 阴＝S △O 1O 2O 3＋3S 弓 ∵△O 1O 2O 3为正三角形，边长为r ，∴S △O 1O 2O 3＝3r 24，∴S 弓＝60πr 2360－3r 24，S 阴＝3r 24＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫60πr 2360－3r 24＝πr 22－3r 22； (3)如答图③，延长O 2O 1与⊙O 1交于点A ，⊙O 1与⊙O 4交于点B ，由(1)知，SO 1BO 4＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫23πr 2－3r 22. ∵SO 1AB ＝S 扇形AO 1O 4－SO 1BO 4 ＝90πr 2360－12⎝ ⎛⎭⎪⎫23πr 2－3r 22 ＝πr 24－13πr 2＋3r 24＝34r 2－πr 212，则S 阴＝S 正方形O 1O 2O 3O 4－4SO 1AB＝r 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫34r 2－πr 212＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋1－3r 2.。

六年级上册数学培优奥数讲义-第11讲圆的周长

第11讲圆的周长知识装备1、圆的周长公式：C＝2πr或C＝πd；半圆的周长＝πr＋2r或πd÷2＋d。

2、在计算周长时，要找清楚哪些是需要求的部分，再灵活运用圆的周长公式进行计算。

初级挑战1求下面图形中阴影部分的周长。

（单位：厘米）（1）（2）思维点拨：（1）是一个半圆，它的周长除了半圆弧的长，还要加上（）。

（2）是一个长方形和一个半圆组合而成的图形，它的周长由长方形的（）条长、（）条宽和1个半圆弧组成。

答案：（1）周长是：8＋π×8÷2＝20.56（厘米）；（2）由图可知，长方形的宽就是半圆的半径，即12÷2＝6（厘米），所以周长是：12＋6×2＋π×12÷2＝42.84（厘米）。

求下面图形中阴影部分的周长。

（单位：厘米）（1）（2）答案：（1）π×6×2×43＋6×2＝40.26（厘米）；（2）正方形内四叶草的周长可看成是由2个以正方形的边长为直径的圆的周长。

因此为：π×32×2＝200.96（厘米）。

初级挑战2如下图所示，外面一个圆的周长与里面两个圆的周长之和相比，哪个长？请说明理由。

思维点拨：假设里面两个较小的圆的直径分别为d 1和d 2，外面大圆的直径是d ，那么d ＝d 1＋d 2。

外面大圆的周长用字母表示是（），里面两个小圆的周长和＝（）＋（），比较它们的大小即可。

答案：假设里面两个较小的圆的直径分别为d 1和d 2，外面大圆的直径是d ，那么d ＝d 1＋d 2。

外面大圆的周长用字母表示是C ＝πd ，里面两个小圆的周长和是C＝πd 1＋πd 2＝π（d 1＋d 2）＝πd ，所以外面一个圆的周长和里面两个圆的周长之和相等。

1、如下图，小明和小刚同时从A点以同样的速度出发，小明沿大圆周走到B点，小刚沿小圆周走到B点，他们谁先到达B点？为什么？答案：同时到达。

圆与扇形

第一讲圆与扇形内容概述这一讲我们一起研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。

基本公式：圆的面积=πr 2，圆的周长=2πr ；例题精讲【例1】数学小组的同学们正在热烈的研究圆和扇形之间到底有什么关系？亲爱的小朋友，你能够帮助他们吗？分析：由于扇形面积是圆面积的一部分，一个圆的周角是360°，只要知道扇形圆心角的度数，扇形的面积就可以由圆的面积公式按照比例通过计算而得到。

根据圆的面积=πr 2，扇形圆心角的度数用n °来表示，可以得出扇形面积公式为：【例2】求下列各图阴影部分的面积。

（π取3）分析：（1）22111122 1.542422ππ=-=∙∙-∙∙=阴影部分面积的大圆的小圆（）（2）法1：如右图所示，过B 做BD 垂直于AC ，我们就容易得到BD=AD=DC ，所以BD=3，三角形ABC 的面积=3×6÷2=9，阴影部分面积=扇形面积-三角形ABC 的面积=4.5×3-9=4.5 ；法2 ：直角三角形的三边有一个特殊的关系，那就是著名的勾股定理：如右图所示，三角形ABC 是直角三角形，最长边是AC ，较短的两条边是AB 、BC ，那么有222AC AB BC =+。

反之，若三角形中有222AC AB BC =+，那么这个三角形就是直角三角形，且AC 边为最大边，所对的角是直角。

最经典的直角三角形三边为：3、4、5 （222534=+）。

在题目中，三角形ABC 是等腰直角三角形，所以有222AC AB BC =+，且AB=BC ，可得， 2222112AB 6AB 18ABC =AB BC AB 922⨯==∙∙=∙=，，三角形的面积，阴影部分面积=扇形面积-三角形ABC 的面积=4.5×3-9=4.5 。

高思导引六年级第11讲几何综合二-完整版

第十一讲几何综合二内容概述综合运用各种方法处理具有相当难度的几何问题，掌握几何变换的初步技巧，例如平移、翻转、旋转以及等积变形，必要时可利用辅助线进行分析.典型问题兴趣篇：1．图11 -1中有半径分别为5厘米、4厘米、3厘米的三个圆，A 部分（即两小圆重叠部分）的面积与阴影部分的面积相比，哪个大？大多少？答案：一样大【解析】如右图所示，半径为5厘米的圆与半径为4厘米的圆面积之差为22549πππ⨯-⨯=，它等于半径为3厘米的圆面积239ππ⨯=，同时等于图中阴影部分面积与B 部分面积之和．而小圆面积又等于A 部分的面积与B 部分面积之和，因此A 部分的面积与阴影部分面积相等.2．如图11-2，在两个同心圆上有一条两端点都在大圆上的线段与小圆相切，其长度为10厘米，求阴影部分的面积．(π取3.14)答案:78.5平方厘米【解析】如右图所示，从圆心连结其中一个端点，长度为大圆半径，再从圆心向线段做垂线，长度为小圆半径，图中的三角形为直角三角形,由勾股定理可得222525R r -==，所以图中阴影部分面积为()22222578.5R r R r ππππ-=⨯-== 平方厘米．3．如图11 -3，图中最大的长方形面积是27，最小的长方形面积是5，求阴影部分的面积．答案:16【解析】最大的长方形面积与最小的长方形面积之差为27-5=22，剩下部分空白面积与阴影面积相等，因此图中空白面积为22÷2=11，阴影部分总面积为27-11=16．4．如图11-4，大正方形中有三个小正方形，右上角正方形的面积为27，左下角正方形的面积为12，中间阴影正方形的2个顶点分别位于右上角和左下角正方形的中心，请问：中间阴影正方形的面积是多少？答案:18.75【解析】中间阴影正方形的右上角和左下角的两个正方形的面积分别为27÷4=6.75和12÷4=3，阴影正方形中的2个小阴影长方形面积的乘积等于2个阴影正方形面积的乘积6.75×3=20.25=4.52.因此一个小阴影长方形面积为4.5，所以阴影正方形的总面积为 6.75+3+4.5+4.5=18.75.5．如图11-5，将一个梯形分成四个三角形，其中两个三角形的面积分别为10与12．已知梯形的上底长度是下底的23，请问：阴影部分的总面积是多少？答案:23【解析】设上底为2x，则下底为3x，由此可以求出图中两个空白三角形的高分别为10×2÷2x=10x，12×2÷3x=8x，则梯形的面积为(2x+3x)×（10x+8x）÷2=5x×18x÷2=45．所以阴影部分的总面积为45-10-12=23．6．图11-6是由一个边长为2厘米的正方形和一个长为5厘米的长方形拼成的，线段MN把它们各分成两部分．已知A、B两块的面积和是C、D两块面积和的1.5倍，请问：长方形的宽是多少厘米？答案:4.8厘米【解析】如下图，将原图补成一个长方形，则对角线分成的两部分面积相等，由A 、B 两块的面积和是C 、D 两块面积和的1.5倍可知，长方形E 的面积为A 、B 两块的面积和的13．设长方形的宽为x 厘米，则有()()11252223x x ⨯+⨯=-⨯，解得x=4.8，即长方形的宽为4.8厘米．7．图11-7中四边形ABCD 为平行四边形，三角形MAB 的面积为11平方厘米，三角形MCD 的面积为5平方厘米．请问：平行四边形ABCD 的面积是多少平方厘米？答案:12平方厘米【解析】由M 点分别向AB 、CD 作高，垂足分别为E 、F ，如右图所示．则△MAB 的面积为MF ×AB ÷2=11，即MF ×AB=22． △MCD 的面积为ME ×CD ÷2=5，即ME ×CD=10．所以平行四边形ABCD 的面积为EF ×AB=MF ×AB-ME ×AB=22-10=12平方厘米．8．如图11 -8所示，平行四边形ABED 与平行四边形AFCD 的面积都是30平方厘米，其中AF 垂直ED 于0，AO 、OD 、AD 分别长3、4、5厘米．求三角形OEF 的面积和周长.答案:面积为13.5平方厘米，周长为18厘米【解析】平行四边形ABED的面积等于AO×DE=3×DE=30，由此可以求得DE=lO，OE=6．平行四边形AFCD的面积等于DO×AF=4×AF=30，由此可以求得AF=7.5，OF=4.5．则△OEF的面积等于EO×OF÷2=6×4.5÷2=27÷2=13.5平方厘米，由沙漏模型得AO：OF=AD：EF=2：3，则EF=7.5．所以△OEF的周长为4.5+6+7.5=18厘米．9．如图11-9，四边形ABCD是直角梯形，AB=4，AD=5，DE=3．求：(1)三角形OBC的面积；(2)梯形ABCD的面积．答案:(l) 7.5 (2) 40【解析】(1)△OBC的面积等于△OAD的面积，为DE XAD÷2=5×3÷2—7.5．(2)由于△ABD的面积等于AB×AD÷2=4×5÷2=10，则△ABO的面积等于10 -7.5=2.5．由任意四边形模型可求得△ODC的面积等于7.5×7.5÷2.5=22.5．所以梯形ABCD的面积为7.5+7.5+2.5+22.5=40．10．有一些黑、白两种颜色的小正方体积木，把它们摆成如图11-10所示的形状．已知相邻的积木颜色不同（有公共面的两块积木叫做相邻的积木），标有A的积木为黑色，请问：图中共有黑色积木多少块？答案:15块【解析】从正面看，从前往后共有三层，由题目条件，第一层应有3块黑色积木，第二层应有5块黑色积木，第三层应有7块黑色积木，共计15块黑色积木．拓展篇：1．如图11-11，正方形ABCD 的面积是64平方厘米，E 、F 分别为所在半圆弧的中点．求阴影部分的面积．(π取3.14)答案:73.12平方厘米【解析】从图中可以看吕，两块空白图形的面积等于半圆面积加上正方形面积减去△AED 的面积，即28842812241.12π⨯+⨯÷-⨯÷=.而阴影部分面积等于整个图形面积减去空白的面积，即288441.1273.12π⨯+⨯-=平方厘米.2．图11-12中阴影部分的面积是25平方厘米，求圆环的面积．(π取3.14)答案:157平方厘米【解析】记大圆半径为R ，小圆半径为r ，那么圆环的面积为()22R r π-，只要能够求出22R r -即可．阴影部分是两个等腰直角三角形的面积差，等于()2212R r -，所以22R r -= 22550⨯=厘米．由此可得圆环面积等于50×3.14=157平方厘米.3．如图11-13，在半径为4厘米的圆中有两条互相垂直的线段．请问：阴影部分面积与空白部分面积哪一个大，大多少平方厘米？答案:阴影面积比空白面积大8平方厘米【解析】如右图所示，利用对称性添加辅助线，从图中可以看出，除去中间的阴影长方形之外，其他部分阴影面积与空白面积相等，因此阴影面积比空白面积大8平方厘米 .4．如图11-14，一个六边形的6个内角都是120°，其连续四边的长依次是1厘米、9厘米、9厘米、5厘米，求这个六边形的周长．答案:42厘米【解析】为便于描述，将六边形剩余两条边的长度分别设为a厘米和b厘米．如上图所示，将图形补成一个等边三角形，最上方的应该是一个边长为9厘米的等边三角形，左下方则是一个边长为1厘米的等边三角形，由此可得最大的等边三角形边长为1+9+9=19厘米，这样a=19-9-5=5，从而b=19-1-a=13．所以六边形的周长就等于9+9+5+1+5+13=42厘米．5．如图11-15，在长方形ABCD中，AB=30厘米，BC=40厘米，P为BC上一点，PQ垂直于AC，PR垂直于BD.求PQ与PR的长度之和．答案:24厘米【解析】利用勾股定理可得AC=50厘米，所以OB=OC=25厘米.而长方形ABCD的面积等于30×40=1200平方厘米，所以△BOC 的面积等于14×1200=300平方厘米．如图，连结OP ，观察△OPB 与△OPC ，它们分别以OB 和OC 为底，是一对等底三角形，而对应的高就是PR 和PQ ，因此面积和就等于()()()225212.5OB PR OC PQ PR PQ PR PQ ⨯+⨯÷=⨯+÷=⨯+而这个面积和就是△BOC 的面积，等于300平方厘米，所以12.5×(PR +PQ)=300平方厘米，由此可得PR+PQ=300÷12.5=24厘米.6．如图11-16，八边形的8个内角都是135。

小学六年级上册数学《圆的画法》圆和扇形PPT精品课件

圆规其构造如下图：
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用圆规画圆的步骤：
①把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离（即半径）； ②把有针尖的一只脚固定在一点（即圆心）上； ③把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。如图：
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试一试
自己确定半径的长度，用圆规画一个圆并标出圆心和半径。
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圆的大小和什么有关系？
圆的大小和半径有关系。①圆的半径越小，圆就越小；圆的半径越大，圆就越大。②圆的位置是由圆心决定的。
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练一练 1.用圆规画圆。
（1）r＝2.5cm （2）d＝4cm
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2.按要求画圆。
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冀教版数学六年级上册第一单元
圆的画法
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教学目标
1、经历用自己的方法画圆、按要求用圆规画
圆的过程。
2、掌握用圆规画圆的方法，知道圆心、半径
的作用。
3、培养观察、分析、比较、概括等思维能力，
发展初步的空间观念。
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ห้องสมุดไป่ตู้
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在白纸上画出一个圆。
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在我们日常生活和学习中，我们经常用圆规画圆。