经典证明：几乎所有有理数都是无理数的无理数次方

一个无理数的无理数次方是否有可能是一个有理数？这是一个非常经典的老问题了。答案是肯定的，证明方法非常巧妙：考虑根号 2 的根号 2 次方。如果这个数是有理数，问题就已经解决了。如果这个数是无理数，那么就有：

我们同样会得到一个无理数的无理数次方是有理数的例子。

这是一个典型的非构造性证明的例子：我们证明了无理数的无理数次方有可能等于有理数，但却并没有给出一个确凿的例子。毕竟我们也不知道，真实情况究竟是上述推理中的哪一种。那么，真实情况究竟是上述推理中的哪一种呢？Gelfond-Schneider 定理告诉我们，假设α 和β 都是代数数，如果α 不等于0 和1 ，并且β 不是有理数，那么α 的β 次方一定是超越数。根据这一定理我们可以立即看出，根号 2 的根号 2 次方真的是一个无理数，实际情况应该是上述推理中的后者。

那么，是否存在一个无理数a ，使得a 的a 次方是有理数呢？最近，Stan Dolan 证明了这样一个结论：事实上，几乎所有(1, ∞) 里的有理数都是某个无理数a 的 a 次方。

注意到当x 大于1 时，函数f(x) = x x是连续单调递增的，因而对于所有(1, ∞) 里的有理数r ，一定存在唯一的a ，使得a a = r 。不妨假设a 是一个有理数，它的最简分数形式是n / m 。如果m = 1 ，那么我们会有平凡解n n = r 。下面我们证明，m 是不可能大于 1 的，否则会产生矛盾。

假设有理数r 的最简分数形式是c / b ，于是我们有：

(n / m)n / m = c / b

或者说：

n n · b m = m n · c m

注意到，m n是n n · b m的约数。然而，m 和n 是互质的，m n与n n没有公共因子，因而m n一定是b m的约数。同理，b m是m n · c m的约数，但由于b

和c 是互质的，因此b m一定是m n的约数。m n和b m怎么可能互为对方的约数呢？只有一种可能，就是m n等于b m。

既然m n = b m，说明m 和b 肯定有大于1 的公因数。假设p 是m 和b 的某个公共质因数。我们把m 和 b 中的所有质因数p 都提出来，将它们写成m = p i · k 和b = p j · l ，其中k 和l 都不再含有质因数p 。于是，m n = b m就可以重新写为：

p i·n · k n = p j·m · l m

既然m n是等于b m的，它们一定含有相同数量的质因数p ，因而i·n = j·m ，可知m 是i·n 的约数。但是m 和n 是互质的，因此m 一定是i 的约数。最后，注意到p i是m 的约数，从而也就是i 的约数。于是矛盾产生了：由于p ≥ 2 ，因此p i一定严格地大于i ，不可能是它的约数。

因此，对于所有大于1 的有理数，除非它恰好等于某个整数n 的n 次方，否则它都将是某个无理数 a 的 a 次方。