从一题多解中学方法
从初中数学的一题多解谈培养中学生的创新思维能力
2020年第22期教育教学4SCIENCE FANS 从初中数学的一题多解谈培养中学生的创新思维能力王秉渊(苏州工业园区星湾学校,江苏 苏州 215000)【摘 要】数学学科是培养学生能力的重要学科,是指导其成长的重要工具。
同时,初中时期也是学生成长的重要时期。
所以在初中数学教学中,注重学生能力的培养,是必然的选择。
本文主要论述如何在数学学科中运用一题多解的方式培养学生的创新思维能力。
【关键词】创新思维能力;初中数学;一题多解【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437(2020)22-0165-02初中是培养各种思维与能力的重要时期, 初中生的思维更活跃,教师只需适当引导即可取得良好的教学效果。
初中数学题中有一题多解的情况,在解答这类问题时,要从多个方向进行思考,因而其能促进学生思维的发散,培养学生的创新思维能力。
以下是笔者结合实际教学经验,就如何用一题多解试题提高中学生的创新思维能力提出的几点有效策略。
1 挑选多种解法,锻炼其发散思维初中时期,学生学习的数学知识并不是非常多,所以数学习题所涉及的知识点往往较集中。
初中数学习题的种类也不是十分多,但是却具有多变性。
传统教学下缺乏思维发散能力的学生大多只会用一种解题方式解答,一旦习题出现一点变化就会造成学生的迷茫,导致整个习题解答出现错误,所以必须注重其发散思维的培养。
在教学中,可运用具有多种解答方式的习题进行锻炼,从而使学生思维更加活跃,会从不同的角度思考问题,并找寻到正确的答案。
但是在选择这一类问题时,必须注重习题的难度,不能选择较难的习题,否则会打击学生的自信心与学习积极性,降低课堂教学质量。
选取适当难度的习题,能在提高学生能力与思维的基础上,使其对数学学习更有兴趣[1]。
如在教学二元一次方程组的知识后,教师可设计习题“小明、小黄、小绿在回家的路上购买了商品,小明购买了13个鸡蛋、5个鸭蛋与9个鹅蛋,最后总共花费了92.5元。
“一题多解”在中学数学中的应用
浅谈“一题多解”在中学数学中的应用一题多解是开发学生思维、培养学生应用能力的一种很好的方法,它能使学生提高分析问题和解决问题的能力,掌握基本的解题方法和技巧,从解题中对学习数学产生兴趣,通过一题多解了解到数学也有有趣的地方,并不是枯燥无味的。
中学数学教学中,适量运用一题多解对于拓宽学生视野是十分有效的。
下面笔者就中学数学课本中的几个一题多解的题目谈谈自己的看法。
一、几何计算中“一题多解”的运用例1.如图1-1,直线,求已知∠a+∠f+∠c的值。
g图1-1 图1-2图1-3 图1-4解:方法一,如图1-2,过f做f g∥ab,∴∠a+∠afg=180°,∵ab∥cd,∴fg∥cd(平行与同一条直线的两条直线平行),∴∠c+∠cfg=180°(两条直线平行同旁内角互补),又∵∠cfg +∠afg=∠afc,∴∠a+∠afc+∠c=360°。
方法二,如图1-3,延长af、dc相交于一点h,∵ ab∥cd,∴∠a+∠h=180°(两条直线平行同旁内角互补),又∵∠afc=∠h+∠fch(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)∴∠a+∠afc+∠fcd=∠a +∠h+∠fch +∠fcd= 180°+180°=360°。
方法三,如图1-4,延长ba、cf相交于一点k,∵ ab∥cd,∴∠c+∠k=180°(两条直线平行同旁内角互补),又∵∠afc=∠k+∠fak(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)∴∠baf+∠afc+∠c=∠baf +∠k+∠fak +∠c= 180°+180°=360°。
析:本题所考察的知识点为两直线平行的判定与性质,在解题的过程中运用了三角形的外角和定理,从题目可以看到,直接无法求出三个角的和,只有通过做辅助线才能达到目的,在做辅助线的过程中,由于考虑的出发点不同,才有了不同辅助线的做法。
数学解题方法的探究——浅谈一题多解在数学中的运用
文本解读新课程NEW CURRICULUM数学解题方法的探究———浅谈一题多解在数学中的运用杨柳青(福建省福州市黎明学校)在教学过程中,很多学生在学习数学时都遇到或大或小的困难。
特别是刚刚升入高中的新生对学好数学没有信心。
然后就参加各种辅导班或者采取题海战术,这样做成绩是可以提高,但是效果不明显,而且也学得很辛苦。
我认为要让学生学好数学、爱上数学,并且能让数学成绩得到较大的提高,就要改变现有的注重题海战术的教学方法。
在课堂中教师可以通过一道题目多种解法来训练学生从不同角度来思考问题。
下面就通过几个具体的案例来说明一题多解的优点。
一、在例题讲解中运用一题多解现在很多教师在教学中,往往需要列举许多例题来巩固教材中的知识点,这种方法不但大大增加学生的学习负担,而且效果也不是很理想。
若在教学过程中运用一题多解的教学方法,这样既避免了列举大量的题目来训练学生,进而节约了时间,又让同学的发散思维得到很好的巩固。
例1:已知tan α=512,求sin α,cos α的值。
方法一:【分析】因题中有sin α,cos α,tan α,最容易想到的就是用同角三角函数关系式来解此题。
解:根据同角三角函数关系式,得sin 2α+cos 2α=1tan α=sin αcos α=512{联立,消sin α得cos 2α=144169∴当cos α=1213时sin α=513;当cos α=-1213时sin α=-513方法二:【分析】在方法一的解题过程中计算难度较大,因此,可以灵活地使用“1”的替换,直接利用已知条件求得结果。
解:∵tan α=512∴α是第一或三象限角又∵cos 2α=cos 2αsin 2α+cos 2α=1tan 2α+1=1(512)2+1=144169∴当是第一象限角时,cos α=1213,sin α=513当α是第三象限角时,cos α=-1213,sin α=-513方法三:【分析】有时也可以先把任意三角形看成是直角三角形来解题,再由角的象限来决定符号。
一题多解之五种方法解一道经典数学题
1O BCD①A 一题多解之五种方法解一道经典数学题江苏海安紫石中学 黄本华一题多解是我们学习数学的特好方法!通过一题多解,我们可以多角度、多方位地去思考解题的方案,这样不仅能加强知识间的联系,同时也增添新颖性和趣味性,优化我们的思维结构,提升我们的思维能力。
更重要的是,一题多解让我们不仅只满足解题目标的实现,而是让我们拥有了研究学问的态度!例题 如图,在平面直角坐标系中,点A (-1,0),B (0,3),直线BC 交坐标轴于B ,C 两点,且∠CBA =45°.求直线BC 的解析式.【分析】要求BC 解析式,现在已经知道了B 点坐标,所以只要求到C 点坐标就好了。
这就要用到条件∠CBA =45°。
但这个条件如何用呢?这是本题的难点,也是关键点。
考虑到这个角是45°,我们可以尝试做垂线,构造等腰直角三角形。
如图①,作AD ⊥BC 于D ,由A 、B 的坐标可知1OA =,3OB =,根据勾股定理2210AB OA OB =+=,5BD AD ==AC x =,则1OC x =+,25DC x =-255BC x =-,在RT OBC ∆中,根据勾股定理得出222OC OB BC +=,即()222213(55)x x ++=-,解得152x =-(舍去),25x =,求得6OC =,得出C (﹣6,0),然后根据待定系数法即可求得BC 的解析式.解法一:如图①,作AD ⊥BC 于D , ∵点A (﹣1,0),B (0,3),∴1OA =,3OB =,∴2210AB OA OB =+=, ∵∠CBA =45°,∴△ABD 是等腰直角三角形, ∴5BD AD ==设AC x =,则1OC x =+, ∴25DC x =-,∴BC=+255BC x =-+,在152x =-中,222OC OB BC +=2,即()222213(55)x x ++=-), 解得x 1=﹣(舍去),25x =,∴5AC =,6OC =,∴C (﹣6,0), 设直线BC 的解析式为3y kx =+,2②③解得12k =,∴直线BC 的解析式为132y x =+. 【点评】虽然这种解法思路比较清晰,但是用勾股定理得出的方程比较复杂,解方程很繁,很费时,很累。
一题多解,培养学生数学思维能力的有效方法_
一题多解,培养学生数学思维能力的有效方法作者:孙剑来源:《中学生数理化·学研版》2015年第03期初中数学新课程标准(2011年版)中提到:数学是研究空间形式和数量关系的科学.数学教学活动应激发学生兴趣,调动学生积极性,引发学生的数学思考,鼓励学生的创造性思维;要注重培养学生良好的数学学习习惯,使学生掌握恰当的数学学习方法.因此,培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力,是初中数学教学中的一个重要任务.如何通过解题活动来培养学生良好的思维能力,应是数学教学的中心问题.笔者在长期的教学实践中体会到,过多过密盲目的解题,不仅不会促进思维能力的发展、技能的形成,反而易使学生疲劳,兴趣降低,窒息学生的智慧.如何激发学生浓厚的学习兴趣,促进他们思维品质的发展呢?一题多解无疑是激发学生兴趣,开拓思路,培养思维品质和应变能力的一种有效的方法.初中数学一题多解,即充分运用学过的知识,从不同的角度、不同的方向、不同层面思考数学问题,采用多种方法解决问题,这有利于培养学生的发散思维能力和解题技巧,有利于学生提高解决综合问题的能力,有利于学生启迪思维、开阔视野、全方位思考问题、分析问题,有利于学生加深理解各部分知识间的纵横方向的内在联系,掌握各部分知识之间的相互转化.下面就笔者在教学中的体会谈谈“一题多解”在数学教学中的作用.该题出现在“勾股定理的应用”这一节,在这之前,学生一直在学习勾股定理,笔者也在教学中渗透常见问题的解决方法:一般求线段的长可用勾股定理.在这个时间段,学生产生了一定的思维定势,基本固定在用勾股定理求线段的长,大部分学生可以想到解法一.当笔者问,还有什么方法可以解决吗?经过几分钟的思考,只有几个学生想到了解法二,笔者追问,你们是怎么想到的呢?学生答:把题中得到的∠ADB=90°,和题中原有的条件AD是边BC上的中线结合起来就可得到垂直平分线,利用垂直平分线的性质得到AC=AB=26.在解决问题时,不能把解决问题的途径仅仅停留在目前学习的方法上,在分析问题的时候,一定要去想与题中所给条件相关联的知识,建立不同知识间的联系,慢慢构建知识网络,开拓思路,使得解决问题的途径变多.例如:当我们看到题中给出了条件有直角三角形,我们就应该想已经学习过的与直角三角形相关联的知识:两个锐角互余、斜边上中线等于斜边的一半、勾股定理等等.课堂上启发学生展开联想,进行发散性思维,可以帮助学生突破感官时空限制,扩大感知领域,唤起学生对已有知识和经验的回忆,沟通新旧知识之间的联系,达到发展学生的思维.解法一是从条件出发,看到直径,想到直径所对的圆周角是直角,再结合垂径定理,得到两弧相等,是一种由因所果的证明方法,即综合法.解法二是由结论出发,要得弧相等就证弧所对的圆心角相等,是一种执果索因的证明方法,即分析法.通过一题多解,不仅能使学生更牢固地掌握和运用所学知识,还能使学生沟通知识点间的联系,同时能培养学生多方法、多视角思考问题和发现问题,分析比较,寻找解决问题的最佳途径和方法,形成良好的思维品质,而且使学生感受到成功的喜悦和增强自信心,也极大地激发学生学习数学的积极性和浓厚的兴趣,从而在很大程度上培养了学生思维的广阔性.。
浅析一题多解对中学数学教学的益处
浅析一题多解对中学数学教学的益处本文通过两个典型的中学例题,分别用了三种及五种解法,阐述了一题多解在中学教学中重要作用,即具有培养学生发散与创新的思维、开发智力、便于掌握数学思想、提高学生学习数学信心与乐趣。
标签:一题多解、数学、教学随着社会的发展,我国政府与人民对教育的重视程度也越来越高,尤其是对中小学的教育,重视与投入都比较高。
那么,作为老师,提高自己的教学水平自然是迫在眉睫。
而在中学数学的教学过程中,就有许多比较优秀的教学技巧,这些方法不仅对教学质量的提升有很大帮助,同时也对提升学生的综合素质,也有着很大的帮助,其中,一题多解就是其中一种比较优秀的教学方法。
一、一题多解概念及案例一题多解,顾名思义就是通过不同的思维方式,运用至少两种以上的方法或途径进行同一道题的解答,而一题多解在教学的过程中,是对一道问题从不同的方面,不同的层次进行思考和分析,提出不同的解决方案。
那么,我们首先来欣赏如下这两个简单的例题。
例1.证明:五边形内角和是540度证明一,连接AC与AD(图一),此时五边形可转化为三个三角形,即可得到五边形内角和等于3个180度,即540度;证明二,在五边形ABCDE上,选取一边CD某一点F,并连接FB、FA、FE(图二),那么,这个五边形内角和转化为四个三角形内角和减去CD这个平角,即4个180度减去一个平角,可得540度;证明三,在五边形内部选取一点0(图三),并连接OA、OB、OC、OD、OE,即可构造5个三角形,此时五边形的内角和等于五个三角形的内角总和减去一个周角,即可得五边形内角和为540度;证明四,在五边形ABCDE外部选取一点0(图四),并连接OA、OB、OC、OD、OE,即可构造五个三角形,此时再减去三角形OCD的内角和即为该五边形内角和,可得540度;证明五,在五边形ABCDE中连接BD,即可转化为三角形BCD与四边形ABDE,而三角形与四边形内角和分别是180度与360度,由此相加便可得540度。
办法总比困难多,一题多解教学乐
办法总比困难多,一题多解教学乐学好数学离不开解题,而数学习题浩如烟海,变化无穷,我们该怎么办呢?我们可以提高习题的利用率来提高解题的能力。
在解题教学中可通过典型例题的解题教学及解题训练,尤其是一题多解、一题多变及多题归一等变式训练,达到使学生巩固与深化所学知识,提高解题技巧及分析问题、解决问题的能力,增强思维的流畅性、变通性和独创性的目的。
把枯燥无味的数学学习变得有趣多样,从而形成快乐学习的氛围。
下面我从三个方面三个例子来谈谈我在进行一题多解教学中的感受:一、利用一题多解,震撼学生心灵,激发学生学习数学的学习兴趣在学习一元二次方程根与系数的关系时,学生做了这样的一道习题:例1.如果7是关于x的一元二次方程x2+mx-21=0的一个根,求该方程的另一根及m的值。
讲解时我不动声色地认认真真地讲解大家所采用的常规方法,也就是将7代入原方程求得m的值,再将m的值代入原方程中求得两根,从中挑出另一根,并详细地板书在黑板上,细细想来利用这种方法解题有许多学生感到心理有点不顺畅。
然后我再请出韦达先生来帮忙:设另一根为x1,依题意可得:7+x1=-m7x1=-21,解得:x1=-3m=-4。
学生被这么简捷地解决一个感觉繁琐的问题而震撼了,怎么可以这么简单呢?当然在被震撼的同时,学生也就接受了根与系数的关系这一重要性质,并会主动去思考如何应用了。
二、利用一题多解,引导学生开拓思路,提高解题能力,培养良好的思维习惯以鹭江出版社出版的《新课程中考复习指导丛书——数学》一书中空间与图形中的一题为例:例2.如图,ab是⊙o的直径,ae是弦,点c是弧ae中点,cd⊥ab于d,交ae于f。
求证:af=cf很多同学在分析这道题时,感到题目所给条件简单,不知该从何处下手,下面是我在教学中利用一题多解的方法进行讲解并引导学生如何切入审题。
方法一:ab是⊙o的直径→(连结ac、bc)∠acb=90°,又cd ⊥ab(形成双直角三角形)∠acd=∠b,结合条件“点c是弧ae中点”得到∠cae=∠b,得∠acd=∠cae,从而得证。
《一题多解与一题多变在中学数学中的应用开题报告2000字》
[4] 黄跃惠. 一题多解与一题多变在初中数学教学中的运用[J]. 试题与研究:高考版, 2019(28):1.
[5] 宫代印. 浅谈"一题多解"和"一题多变"在高中数学教学中的应用[J]. 试题与研究:教学论坛, 2019(2):1.
[6] 王菊香. 一题多变和多解成就智慧课堂[J]. 考试周刊, 2019(87):2.
[13] 江猷敏. "一题多解和一题多变"在培养学生数学思维能力的应用策略探析[J]. 考试周刊, 2020(66).
[14] 章勇. "一题多解"与"一题多变"在培养学生思维能力中的应用[J]. 新教育时代电子杂志(学生版), 2020(24):2.
八.指导教师意见
指导教师签字:
年 月 日
九.系意见
系主任签字:
年 月 日
十.学院毕业论文(设计)工作领导小组意见
负责人签字:
年 月 日
[7] 颜天伦. 初中数学教学中"一题多变","一题多解"渗透[J]. 中学课程辅导:教学研究, 2019.
[8] 张海玲. 谈利用"一题多解与一题多变"培养学生的思维能力[J]. 新智慧, 2021(6):2.
一道数学题的解决策略------通过一题多解,一题多变培养学生思维
一道数学题的解决策略------通过一题多解,一题多变培养学生思维发布时间:2021-09-28T05:30:57.540Z 来源:《中小学教育》2021年15期作者:薛发楷[导读] 九年级的数学复习每年都面临时间紧,任务重的状况,几乎所有的数学老师都在寻求一种复习的最佳方法和途径,以便在中考中能取得满意的成绩。
尤其是现在国家又颁布了双减政策之后,提高老师在课堂教学的高效性尤为重要,不能在就题论题,追求做题的数量而陷入题海战术。
薛发楷四川省成都市双流区胜利初级中学 610200九年级的数学复习每年都面临时间紧,任务重的状况,几乎所有的数学老师都在寻求一种复习的最佳方法和途径,以便在中考中能取得满意的成绩。
尤其是现在国家又颁布了双减政策之后,提高老师在课堂教学的高效性尤为重要,不能在就题论题,追求做题的数量而陷入题海战术。
不管哪一年级的数学复习,每次考试下来之后常常听到老师在抱怨,这些题都做了千遍万遍了,学生还是做不起,没有达到老师预设的效果,尤其是几何题的复习,收效更是甚微,只要遇到辅助线的添法,无论上课怎么讲,课下刷了多少题,一到考试学生拿到这样的题还是束手无策,于是我就在反思,导致这样的结果到底是什么,我想无非就是老师为了赶进度,在讲解几何题的辅助线的添法时,往往是按照老师预设的方法去引导学生,学生说出了辅助线的添法,但不能举一反三。
我们不得不承认理科学习一定要刷一定数量的题,但知识没有理性化,没有悟出其中的数学方法,学生永远是门外汉,并没有真正掌握理解,如果每做一道题都让学生探索其解题的思想方法,拓展其外延,总结其规律,这样学生的复习就会融会贯通,达到事半功倍的效果。
在现代数学教学中,教师应按照数学思维的规律和方式方法,去启发引导学生思考,让学生的一些重要想法、符合情理的思维过程都展现出来,还学生一个真实而科学的思维过程并究其原因。
注重学生一题多解,一题多变,培养学生思维的深刻性,拓展学生的思路,发展学生的思维,有利于学生创造性的发挥。
初中数学竞赛试卷一题多解
一题多解:解法一:构造辅助线,利用平行四边形的性质证明。
步骤:1. 过点E作EG垂直于AD,交AD于点G。
2. 由于AE=3,AD=4,所以EG=√(AE²-AD²)=√(3²-4²)=√7。
3. 因为EF平行于AD,所以∠EAF=∠ADF=45°,∠EAG=∠ADF=45°。
4. 由于∠EAG=∠ADF,且∠EAF=∠ADF,所以三角形EAG与三角形ADF相似。
5. 根据相似三角形的性质,得到AE/AD=EG/DF,即3/4=√7/DF。
6. 解得DF=√74/3。
7. 由于BE=BC-BE=4-3=1,所以BE=DF。
8. 由于AE=AF=3,所以四边形BEFD是菱形。
解法二:利用向量方法证明。
步骤:1. 以点A为原点,建立直角坐标系,设点B(4,0),点C(4,4),点D(0,4)。
2. 点E在BC边上,设点E(4,y),其中0≤y≤4。
3. 点F在AB边上,设点F(x,0),其中0≤x≤4。
4. 由于AE=3,所以3²=(4-x)²+y²,即x²-8x+16+y²=9。
5. 由于EF平行于AD,所以向量EF=向量AD,即(4-x, -y)=(0, 4)。
6. 解得x=4,y=4。
7. 所以点E(4,4),点F(4,0)。
8. 由于BE=BC-BE=4-4=0,所以BE=DF。
9. 由于AE=AF=3,所以四边形BEFD是菱形。
解法三:利用勾股定理证明。
步骤:1. 在直角三角形ABE中,AE=3,AB=4,所以BE=√(AB²-AE²)=√(4²-3²)=√7。
2. 在直角三角形ADF中,AF=3,AD=4,所以DF=√(AD²-AF²)=√(4²-3²)=√7。
3. 由于BE=DF,所以BE=DF=√7。
开展“一题多解”,探究“一题多变”——一道解析几何题的破解
2023年9月上半月㊀试题研究㊀㊀㊀㊀开展 一题多解 ,探究 一题多变一道解析几何题的破解◉江苏省海安高级中学㊀朱函颍㊀㊀摘要: 一题多解 ,可以开阔解题思路㊁发散学生思维; 一题多变 ,可以拓展数学知识㊁聚合学生思维.合理解题探究与变式拓展可以很好提升解题效益,避免题海战术.结合一道抛物线问题实例,通过 一题多解 与 一题多变 ,在研究中寻找通法,在探究中升华能力,促使学生形成良好的数学品质.关键词:抛物线;准线;直线;斜率;变式㊀㊀根据现代思维的科学研究,问题是展开思维与应用的起点, 疑 是根本, 解疑 是目标,最容易引起定向探究反射与问题的深入思考.而在数学教学与数学学习过程中,更要合理培养与形成探究意识,从问题的内涵㊁问题的解法㊁问题的深入与问题的探究等多方面入手,合理拓展思维的深度与广度,进行必要合理创新应用,从而形成良好的数学品质.1问题呈现问题㊀ 燕博园2023届高三年级综合能力测试(C A T)数学(新高考Ⅰ卷)试卷 已知抛物线y2=a x 的焦点为F,准线l交x轴于点Q,过点F的直线交抛物线于M,N两点,则直线Q M与直线Q N的斜率之和为.该题以抛物线为问题场景,对直线与抛物线的位置关系加以合理创设.借助过焦点的动直线的变化,以 动 态创设场景,利用两直线的斜率之和为常数,以 静 态形式设问,巧妙融合解析几何与平面几何中的相关知识,难度中等.利用圆锥曲线这一主干知识,抓住直线与圆锥曲线位置关系这一热点问题,合理创设,巧妙 动 与 静 变化, 数 与 形 融合,构建一幅完美的画卷.实际破解问题时,抓住问题内涵与实质,从问题根本入手,可以借助解析几何思维㊁平面几何思维与特殊情况思维等来展开,从不同的技巧方法视角来切入,实现问题的巧妙转化与应用.2问题破解2.1通性通法方法1:解析几何思维法.解析:依题知,焦点F(a4,0),准线方程为x=-a4,Q(-a4,0).设过焦点F的直线方程为x=m y+a4,M(x1,y1),N(x2,y2).联立x=m y+a4,y2=a x,{消去参数x,整理可得y2-a m y-a24=0,则y1+y2=a m,y1y2=-a24.于是有㊀k Q M+k Q N=y1x1+a4+y2x2+a4=x1y2+x2y1+a4(y1+y2)(x1+a4)(x2+a4)=(my1+a4)y2+(m y2+a4)y1+a4(y1+y2)(x1+a4)(x2+a4)=2my1y2+a2(y1+y2)(x1+a4)(x2+a4)=2mˑ(-a24)+a2ˑa m(x1+a4)(x2+a4)=0.所以直线Q M与直线Q N的斜率之和为0.故填答案:0.解后反思:在解决直线与圆锥曲线的位置关系问题中,最基本的 通性通法 就是解析几何思维法.通过设置相关的点的坐标㊁直线的方程㊁圆锥曲线的方程等,联立直线与圆锥曲线方程,结合函数与方程思维来进一步分析与转化,进而实现问题的解决.解析几何思维法的缺点之一就是数学运算量大,它也是制约部77Copyright©博看网. All Rights Reserved.试题研究2023年9月上半月㊀㊀㊀分学生深入分析与应用的一个重要因素.2.2数形结合法方法2:平面几何思维法.图1解析:不失一般性,如图1所示,过M ,N 两点分别作准线l 的垂线,垂足分别为A ,B ,由于M A ʊF Q ʊN B ,因此可得|M F ||N F |=|A Q ||B Q |.根据抛物线的定义,可得|M A |=|M F |,且|N B |=|N F |,则|M A ||N B |=|A Q ||B Q |,可得әM A Q ʐәN B Q ,于是øM Q A =øN Q B ,所以øM Q F =øN Q F .所以直线Q M 与直线Q N 的倾斜角互补,即直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为0.故填答案:0.解后反思:回归曲线的本质,结合平面几何图形的基本性质与特征,数形结合,逻辑推理,这是解决解析几何综合应用问题比较常用的一种技巧与方法,也是平面几何思维法处理的关键.2.3巧技妙法方法3:特殊情况法.解析:当过点F 的直线垂直于x 轴时,根据抛物线y 2=a x 关于x 轴对称,可知点M ,N 关于x 轴对称,则知直线Q M 与直线Q N 的倾斜角互补.所以直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为0.故填答案:0.解后反思:结合矛盾的普遍性寓于特殊性之中,通过填空题这一特殊形式的设置,借助 动 直线在运动变化过程中的某一特殊情况,以特殊代替一般,又从特殊回归到一般,实现解决问题的 巧技妙法 .特殊思维法在解决解析几何 运动 问题中经常用到,借助点㊁直线㊁角或相关元素的运动变化情况,以特殊代替一般,实现问题的普遍性与特殊性的辩证转化.3变式拓展3.1类比拓展圆锥曲线中的不同曲线之间具有一定的相似性与可类比性,在以上抛物线背景下,改变圆锥曲线的类型以及对应曲线的场景,借助其焦点与相应准线的位置关系,也有类似的变式问题.变式1㊀已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ,右准线l :x =a 2c交x 轴于点Q ,过点F 的直线交椭圆C 于M ,N 两点,则直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为.(答案:0.)变式2㊀已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ,右准线l :x =a 2c交x 轴于点Q ,过点F 的直线交双曲线C 于M ,N 两点,则直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为.(答案:0.)以上两个变式问题的解析过程,可以参照原问题的方法1㊁方法3来展开,这里不多加赘述.当然,也可以将问题转化为探求两直线倾斜角的关系问题(两直线的倾斜角互补)进行探究.3.2逆向拓展在解题研究中,逆向思维也是变式拓展的一种基本思维方式.借助问题题设条件与结论之间的关系,通过数学思维的逆向操作与应用,合理加以探究与拓展,经常会有不错的收获.变式3㊀已知抛物线y 2=a x 的焦点为F ,过点F 的直线交抛物线于M ,N 两点,在x 轴上存在异于点F 的定点Q ,使得直线MN 变化时,直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为0,则定点Q 的坐标为.变式4㊀已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F ,过点F 的直线交椭圆C 于M ,N 两点,在x 轴上存在异于点F 的定点Q ,使得直线MN 变化时,直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为0,则定点Q 的坐标为.变式5㊀已知双曲线C :x 2a 2-y2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ,过点F 的直线交双曲线C 于M ,N 两点,在x 轴上存在异于点F 的定点Q ,使得直线MN 变化时,直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为0,则定点Q 的坐标为.变式3~5的答案为:(-a 4,0),(a 2c ,0),(a2c,0).以上三个变式问题的解析过程也可以参照原问题的方法1.4教学启示在解决一些典型的数学综合应用问题时,要合理引导学生深入挖掘,适当探究拓展,充分掌握问题的本质与内涵,剖析对应的数学基础知识与数学基本能力,从而实现 一题多解 一题多研 一题多变 ,不断提升与拓展破解数学问题的基本技能与策略,提高数学思维品质的变通性,真正达成 一题多练 一题多得 .同时,有效调动学生数学解题的积极主动性与参与性,合理辨析概念㊁公式等的异同,深刻反思并有效拓展,努力培养发现问题的能力与深入质疑问题的探究精神.Z87Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
初中数学“一题多解与一题多变”教学研究
㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀2023 08初中数学一题多解与一题多变教学研究初中数学 一题多解与一题多变 教学研究Һ陈㊀斌㊀(昆山市新镇中学,江苏㊀苏州㊀215300)㊀㊀ʌ摘要ɔ 一题多解与一题多变 是数学教师所要关注的重要内容,这两种解题训练模式的构建可以突破原有解题教学的结构,帮助学生更加深入地认识数学习题的解题方法,这对其解题能力的提升与发展有着重要的意义.为了构建 一题多解与一题多变 教学课堂,教师需要对其价值进行分析研究,再从实际教学的开展出发探寻有效教学设计的方法,对初中数学 一题多解与一题多变 教学的开展方法进行探究.ʌ关键词ɔ初中数学;一题多解;一题多变;教学研究数学是初中阶段学生所要学习的重要学科,在中考中占有重要的分数比例,为了帮助学生成功通过中考的考验,教师需要从实际出发进行数学习题的筛选,引领学生进行 一题多解 的研究,带领学生思考解题的多种方法,再通过习题变形设计的研究,来设计变式问题,以此推动学生的解题思考,发展学生的解题能力.在实际教学中,教师可以围绕解析原题结构㊁融合数学思想㊁设置多解训练㊁构建多变训练㊁引领学生归纳五个方面来开展教学.一㊁ 一题多解与一题多变 的价值分析一题多解 是多元解题方法的显现,其可以让学生针对一道习题进行多种解题方法的思考.一般而言,每一种解题方法都印证着一条不同的解题思路.多解题的展示与引导解析,可以帮助学生了解习题的解法与其背后隐含的解题思维,进而开阔学生的解题视野,提升学生的思维灵活度,对学生的发展有着重要的意义.一题多变 是变式思想的显现,在 一题多变 的训练设计中,教师将选取典型的习题作为原式,通过题目条件调整㊁问题新拟㊁题目信息倒置等方法将原本的习题转化为多道表现形式不同的习题.此时,教师就可以从习题的不同特征出发引领学生进行训练,并发展学生的解题能力.在这一类习题的解题中,教师可以引导学生对习题的特征进行归纳,并围绕习题的快速解答进行建模设计,构建合理化的解题模型.二㊁ 一题多解与一题多变 教学的开展方法(一)解析原题结构,分析习题特征原题的解析与研究是帮助学生进行 一题多解或一题多变 的基础,教师要展示原题,帮助学生认识原题的突出特点,并引领学生深入解析原题.在实际的展示过程中,教师需要利用课前时间进行检索,搜集教学展示所需的习题,并在课上对习题进行展现,重点围绕习题的考查点进行分析,解析相关习题解答需要的条件.如,在实际教学中,教师便可以为学生展示如下原题:例题㊀两个连续奇数的积是323,求出这两个数.分析㊀通过研究可以发现,习题考查的内容为一元二次方程的应用,习题的解题关键是条件中给出的描述语 两个连续奇数的积是323 .学生可以从一元二次方程的不同未知数设列出发得出多种不同的解法.其中,教师可以为学生展示 将较小的奇数设为x 将较大的奇数设为x 将x设为任意整数 将两个连续奇数设为x-1和x+1 ,这四种设列方法可以对应四种不同的解题方法.四种解题方法看似都是对一元二次方程的应用,但其切入思考的角度存在差异.通过这一展示,教师便可以引导学生对题目进行系统的认识与理解,为之后 一题多解和一题多变 的思索研究做好铺垫.为了让学生了解 一题多变 的意义,使其了解相关题目的特点,教师可以选择原题进行调整,构建一些简单的变式题.在变式题的设计上,针对该习题,教师通过调整问法的形式即可生成多个变式,如教师可以将习题改制为 两个连续奇数的积是399,求出这两个数 ,通过调整题干的数字大小来实现对题目的简单变更,让学生进行解答.教师也可以将习题改制为 两个连续偶数的积是440,求出这两个数 ,通过题目条件的对应变更,生成与原题相似的变式题.在完成变式题的设计后,教师可将其展示给学生,让学生就变式题与原题的差别进行分析,使其探析题目发生的变化.(二)融合数学思想,研究解题方法解题方法的掌握与否直接关系到学生解题能力的发展,教师要关注 一题多解 的教学,从解题方法的内涵思想入手进行解析,让学生联系解题方法进行分析,找出方法中隐含的解题理念.在实际教学中, 一题多解 的研究需要教师为学生创建相应空间,帮助学生探寻解答题目的多种解法.在实际教学中,教师要从学生的发展出发选择适于学生进行多解探究的例题,并结合问题的解法分析进行多方面㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀2023 08展示.如,在实际教学中,教师便可以为学生展示如下习题,引导学生从习题的特点出发来研究相关题目的多种解法:例题㊀某人买13个鸡蛋㊁5个鸭蛋㊁9个鹅蛋,共用去9.25元;若买2个鸡蛋,4个鸭蛋,3个鹅蛋,则会用3.20元,若每种蛋只买一个,需要用多少钱?分析㊀通过简要分析可以得出该题目考查的是三元一次方程组的内容,但由于题目中只提供了两组等量关系,因此若想分别求出三种蛋的单价是不现实的,但题目所求的内容为三种蛋的共价,所以可以通过式子的变形来求解.在明确了这一思路后,学生就可以围绕学过的数学方法选择方向,寻找有效列式解答的方法.方法一㊀凑整法解:设鸡㊁鸭㊁鹅三种蛋的单价分别为x元㊁y元㊁z元,根据题意可以列出一个由两个式子组成的方程组:13x+5y+9z=9.25㊀①2x+4y+3z=3.20㊀②{通过将方程式相加化简的方式可以得到新式子,①+②3:5x+3y+4z=4.15㊀③将②和③相加可以得到7x+7y+7z=7.35,化简可以得到x+y+z=1.05.通过分析可以发现,这一方法应用了化归的数学思想,利用这一思想可以转换与调整题目的条件,让算式简化,从而得出可以计算解答的式子.在讲授这一解题方法时,教师要注意开展数学思想的拓展活动,让学生了解化归思想及其在解题中的实际应用.方法二㊀主元法这一方法是对函数方程思想与化归思想的融合运用,其核心在于将方程的三个未知数进行区别看待,将x,y作为未知数处理,将z视为一个常数,以此对方程变形:通过设列未知数的方式得出方程组:13x+5y+9z=9.25㊀①2x+4y+3z=3.20㊀②{此时视x,y为主未知数,z为常数,使用移项代数的方法可以得到x=0.5-0.5z,y=0.55-0.5z,此时,x+y+z=(0.5-0.5z)+(0.55-0.5z)+z=1.05.通过分析可以发现,主元法实质上是对函数与方程的运用,选择适当的字母作为主元可以起到化难为易的作用.在上述习题解答中所使用的主元法,其特征是将未知数进行区别看待,形成一个特殊的数学关系,符合方程思想的构成要求,即从问题中的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程(组)㊁不等式(组)㊁或方程与不等式的混合组),然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解.在实际教学中,教师要为学生解读函数方程思想的构成,并展现函数方程思想在常见问题中的运用实例.方法三㊀参数法通过设列未知数的方式得出方程组:13x+5y+9z=9.25㊀①2x+4y+3z=3.20㊀②{再设x+y+z=k,此时可以得到新的方程组:13x+5y+9z=9.25㊀①2x+4y+3z=3.20㊀②x+y+z=k㊀③ìîíïïï观察式子之间的关系,得①-②ˑ3可以消去z,再化简可得x-y=-0.05㊀④③ˑ3-②可以得到x-y=3k-3.20㊀⑤此时通过式子④和⑤可以得到3k-3.20=-0.05,所以k=1.05,此时可以得到x+y+z=1.05.解析㊀上述三种方法对应了三种解题思路,而每一种解题思路还可以延伸出新的解题方法,限于篇幅此处不再赘述,教师在进行解析教学时,可以让学生尝试着寻找额外的习题解答方法.参数法是指在解题过程中通过引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量(参数),再进行分析和综合,从而解决问题的方法.这一方法从数学思想的角度来看,其同样运用了化归的数学思想,通过参数的引入,用参数代指一部分数学量,从而将算式转换为有利于解答的形式,从而实现有效解答.通过上述三种解题方法与其对应数学思想的解读,学生就可以在不同解法的研究中认识数学思想的拓展应用价值,获得解题意识和认知的提升.为了发展学生的解题能力,让 一题多解 真正发挥作用,教师还需要为学生设计针对性的练习,用练习推动学生解题能力的提高与发展.(三)设置多解训练,推动学生探究一题多解 的训练其目的在于帮助学生认识多种解题方法,从解题方法的探究入手,带领学生认识数学习题解答的多种思想.在实际教学中,教师要考虑学生的发展情况,选取难度合理且解法较多的习题进行展示,构建有效的多解训练,帮助学生学习解答问题的多种解法.如,在实际教学中,教师便可以给学生展示如下习题:练习题1㊀已知a,b满足ab=1,那么1a2+1+1b2+1=.练习题2㊀已知x+y=1,求x3+y3+3xy的值.㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀2023 08练习题3㊀甲㊁乙㊁丙三种货物,若甲3件㊁乙7件㊁丙1件共需3.15元;若甲4件㊁乙10件㊁丙1件共需4.20元.请问:买甲㊁乙㊁丙各一件需要多少钱?在展示了上述练习题后,教师需要引导学生解答题目,并要求每名学生至少找出两种解法.在这一环节,为了渗透分层理念,教师可以要求发展较好的学生最少找出3种解题方法,并要求其对解题方法的思路进行整理分析,以便在班级中进行汇报与展示.在学生实际解题过程中,教师要关注学生的解题情况,分析学生的思维拓展能力发展情况,并借助引导性的语言对学生进行点拨,推动学生主动思考.(四)构建多变训练,促进学生拓展一题多变 的训练需要教师秉持 万变不离其宗 的核心思想,对习题的题干信息㊁提问方式㊁条件构成进行调整,并从学生的实际解答出发来引领学生分析相关的变式题组.在学生解答前,教师需要围绕解题模型的建立与公共解题思路的明确来提出问题,引导学生在解答问题的同时进行思考.为确保变式题具有较高的质量,教师在设计变式题时要从原式的各个角度思考延伸,选择不同的方向来设置对应的题目.如,在实际教学中,教师便可以展示如下习题:原式㊀依次连接任意四边形各边中点所得的四边形可称为中点四边形.求证平行四边形的中点四边形是平行四边形.变式一㊀按照原式所给条件,求证矩形的中点四边形是菱形.变式二㊀按照原式所给条件,求证正方形的中点四边形是正方形.变式三㊀一个四边形的中点四边形是平行四边形,请问这个四边形可能是什么图形?原式㊀一个宽为50cm的长方形图案由10个相同的小正方形拼成,试求出每个小正方形的边长.变式一㊀一个宽为50cm的长方形图案由20个相同的小正方形拼成,试求出每个小正方形的边长.变式二㊀一个宽为100cm的长方形图案由10个相同的小正方形拼成,试求出每个小正方形的边长.变式三㊀一个宽为50cm㊁长为100cm的长方形图案由8个相同的小正方形拼成,试求出每个小正方形的边长.在实际教学中,教师在给出变式练习后,要引导学生对相关的题目进行分析㊁求解.在学生解答的过程中,教师要关注学生的解题情况,并予以帮助与引导,让学生总结各个变式题与原题的不同之处.对于学生给出的答案,教师要认真判定,并引导学生回顾与整理.在学生完成变式题的解答后,教师可以引导学生进行拓展思考,让其尝试着对原式进行变形,然后采用同桌互换的方式来完成相关习题的解答.在这一过程中,学生的思维会变得更为开阔,其创造能力也能得到培养与发展.(五)引领学生归纳,培养模型意识模型意识与能力是数学核心素养的关键构成,新课标强调对学生数学核心素养的培养.模型意识与能力的培养关系到学生解题能力的发展,具有较强建模能力的学生可以更好地实现一类习题的解答.为了培养学生的模型意识与能力,教师可以引导学生对一题多变习题进行分析思考,让其对比原式与变式题,逐一分析其差异,对相关习题进行二次分类.在分类完成后,教师可以引导学生对一类习题的解题方法进行系统总结与整理,构建解答相关题目的有效数学模型.如,在实际教学中,教师便可以依托一题多变教学的进行,引领学生对数学一题多变习题的原式与变式题进行归纳,从公共解答思路中总结出解题的通用方法,建立解题模型.在这一过程中,为了发挥学生群体的主动性,让其进行协作探究,教师可以从学生发展入手划分学生小组,并布置针对性的探究任务,让其合作完成整理探究任务.学生在探究思考中,其能力可以得到逐步的提升与发展.结㊀语综上所述, 一题多解与一题多变 是开展数学解题教学的一种有效模式.通过解题教学的进行,教师可以帮助学生实现解题理念的发展,有效地推动其解题能力水平的提升.在实际的教学中,教师需要进行习题的解析研究,从解题方法的多元介绍与习题的变式展示两个方面进行系统构建,帮助学生认识并掌握相关习题的有效解答方法.在学生了解了相关的内容后,教师还要依托教学的进行,推动学生进行归纳,发展并培养其模型意识.ʌ参考文献ɔ[1]黄跃惠.一题多解与一题多变在初中数学教学中的运用[J].试题与研究,2019(28):145.[2]王茁力.初中数学 一题多解 的教学价值[J].中学数学教学参考,2018(Z3):99-100.[3]罗春梅. 一题多解 与 一题多变 在初中数学教学中的应用 以‘人教版九年级上册第二十四章圆中两道习题“为例[J].散文百家,2019(01):162.[4]秦小刚.初中数学一题多解教学策略分析[J].数学大世界(中旬),2021(01):21.[5]张秀霞.一题多解与 一题多变 在人教版初中数学教学中的应用[J].智力,2020(10):50-51.。
一题多解,一题多变,激活数学课堂——减轻学生学习负担的有效方法
新时代的素质教育热潮滚滚,推动着教育改革的迅猛发展.在崭新的教育形势下,我们常常思考:我们的教学如何改?怎样变静态为动态?怎样的教学方法才能有效引导孩子们理解问题、分析问题和解决问题?什么教学策略可以引发情趣,激活课堂,让孩子们活力四射、灵感起飞,思维无限伸展,自由畅然飞翔?如何让孩子们在那一节节充满激情和快乐的魅力课堂自主投入,遨游知识的海洋,积极探索科学奥秘?基于以上思考,我们觉得“如何打造活力课堂,引导高效学习,力求减轻学生学习负担,让孩子们放飞思维的翅膀”就成为课程改革范畴中值得研讨和探究的重量级课题.作为一名初中数学教师,几年来一直在教学第一线,践行课程改革已有几年光景.如上的思考驱动着我也在数学课堂教学中尝试了很多,总结了很多.仅就我在多年来课堂教学改革的践行体验和感悟来说,“一题多解,一题多变”能引导学生发散思维,自主合作探究,激发兴趣,激活课堂,是有效指导学生达到事半功倍效果的上好策略.一题多解,一题多变,让公式更好记初中阶段,学生所要记忆的数学公式开始慢慢增多,且概念庞杂,一时间初中生很难招架.所以,学习多了杂了,他们的思维势必会出现混乱不清的局面.尤其是一些理解力、记忆力偏差的学生,他们不仅是课堂教学的一块短板,还会严重影响整体教学质量.那如何让学生对公式的理解和掌握更深刻、更扎实呢?笔者认为,在教学中提倡“一题多解,一题多变”不失为一个好的办法.其中,所谓一题多解,我们可以理解为:同一个问题通过多个渠道、多个方法、多个途径来解决.再或者,即使是同一个问题,答案却是不唯一的,而是多元的,不同分析方法和思维方式得出的结论是不同的,却全都合理,这属于开放性问题理念.而在初中课堂实施“一题多变”,就是把课本上的例题或习题通过合理的变式,或改变条件、改变结论、改变图形、改变数据、引申知识运用、拓展含义,以有效实现一题变多题,达到训练形式多样化和多元化,继而达到课堂教学举一反三的目的.以“平方差公式”的教学为例,在展开教学之际,我是这样进行引导的:“孩子们,我们学过多项式乘法了,下面请每个小组都写出两个‘两个二项式相乘’的例子在题板上.”听到我的要求,学生们纷纷开始动脑举例.这时,我继续说:“之后请大家观察一下两个二项式相乘的算式,在没有合并同类项之前有几项?”学生们异口同声说4项,我表示赞同,然后话锋一转:“那么,如果现在我们合并同类项,将会出现什么情况呢?”说到这儿,学生们立刻感到一题多解,一题多变,激活数学课堂———减轻学生学习负担的有效方法汤润华甘肃定西市通渭县通和初级中学743300[摘要]时代发展需要推进素质教育,而素质教育的发展必须要改革课堂教学.“一题多解,一题多变”引导学生发散思维,自主合作探究,激发兴趣,激活课堂,是有效指导学生达到事半功倍效果的上好策略.“一题多解,一题多变”教学引发学生尽兴探知,可谓趣味引导减负增效.[关键词]一题多解;一题多变;活力课堂*注院基金项目:2013年度定西市教育科学“十二五”规划课题“一题多解和一题多变减轻学生负担”(课题批准号DX [2013]GHB084)成果)35好奇,我则顺势打出几行字引发他们的探究欲望“两个二项式相乘,在合并同类项以后,结果只有三项?还是两项?请各小组广泛交流,探究讨论”.这样一来,学生们的探究热情被激起,积极投入到小组合作交流探究中.经过孩子们的探究学习后,得出了“两个二项式相乘,得出的结果合并同类项后,积可能是二项式.当相乘的两个乘式是‘两数之和’‘两数之差’时,得到的积合并同类项后一定是二项式”的结论,继而推导出平方差公式.像这样的教学方法,孩子们对公式的记忆会更加深刻、牢固.一题多解,一题多变,让例题更形象在教学中,“一题多解”“一题多变”可以让孩子们放飞思维的翅膀,灵动智慧的光芒,继而实现多元化理解问题、多渠道解决实际问题;可以把抽象的新知识通过旧知识的变化迁移出来,引领孩子们顺势探究;还可以让困难的问题变得简单化、明了化,从而降低学生的负担和压力,提高他们的探究热情与信心.而在课堂教学中,如果我们稍加注意,就会发现新教材给我们教者带来了很多的拓展空间.尤其是一些相关例题,都具备情境化、多样化、开放性的特点,所以,我们完全可以把这样一个或几个教材例题通过变式和变通,演变成几个或更多个题目来探究.而且,知识是静态的,学生的思维是活动的,所以,一道例题在手,教师若能打开学生的思路,启动学生思维的窗扉,引导他们从不同侧面和各种角度去观察、分析、考虑,就能寻到不同的解题方法和策略,那将是教学的最大成功.初中三年级有这样一道例题:一个圆锥形麦堆,底面周长是25.12米,高是3米.把这些小麦装入一个底面直径是4米的圆柱形粮囤内正好装满,这个圆柱形粮囤的高是多少米?在解答这道例题前,我首先将其进行了情境化,然后结合情境引发学生思考,并提出问题:“请大家结合已学知识思考一下,你们可以通过几种方法来求出答案呢?”通过我的提问,学生们的积极性和好胜心纷纷被激发,他们纷纷开动思维、着手演练,从而让课堂得以升华.通过学生的片刻探究,他们纷纷汇报出两种不同的解法:解法一,圆柱粮囤的体积和麦堆的体积相等,所以先求出麦堆的体积,然后直接与圆柱粮囤的底面积相除,从而得出粮囤的高度;解法二,根据麦堆的体积和圆柱粮囤体积相等的关系列方程,从而求解.当两种解法都被大家认同后,我又延伸、讨论:哪种方法是最佳的解决方法?学生们积极阐述自己的看法.像这种一题多解的习题演练方法,不仅能活跃初中生的思维,提高他们的数学能力,还能实现课堂教学的有效性.一题多解,一题多变,让练习更有趣合理的习题演练是巩固初中生对所学知识应用能力、使用能力的关键途径.所以,在学完某项知识点的时候,我们必须及时创设合理的巩固性习题,以加深初中生对所学知识的理解能力和实践能力.这样一来,还可以间接激发他们的探求热情,延伸他们对知识点的思考,从而让数学教学的真谛得以呈现.此外,在创设练习题时,我们还可以针对初中生的心理特征、知识结构等,联系生活实际,设计出满足时代性、教学性、思维性的习题,并适当参入竞争机制,从而引发初中生的探究欲望与学习热情.在这个基础上,实施一题多变的做法不失为一种知识拓展和应用扩展的好方法.比如,改变原有练习题的条件,那么结论将会出现相应的变化;保留练习题的原有条件,将结论做一下变动,那么该如何证明这个过程等.通过这样一系列的改变,不仅会让习题更具趣味性和探究价值,还能唤醒学生的探索积极性,从而让智慧在课堂中张灯结彩.在此,我们不妨举个“地板铺设”的例题,做法是引导学生剪六个完全一样的任意三角形,并把它们密铺在一起,然后提出问题:“若用正多边形来铺地板,可以吗?需要注意什么?有多少种拼法?”创造了这样的问题情境后便引导学生在题目变化后展开进一步的探究,这样可以更好地激发学生们的探究热情,从而将正多边形铺地板的拼接原理构建出来.在这个基础上,我继续变化题目条件:“如果采用的是正五边形或正十边形的地砖,可不可以把地板铺得密集而不留缺口呢?”这样,通过对问题的不断延伸和变化,探究活动将会慢慢延伸到教学本质,继而得出更多的答案.由此可见,一题多变很到位地培养了学生思维发展的递进性,而且整个过程是一个操作性探究的有趣过程,孩子们在探索过程中津津乐道,收获不小.综上所述,数学不仅具有严密的逻辑性,同时还是变通的.初中数学天地广阔,一题多解与一题多变的例题还有很多、很多,如果我们在实际教学中有针对性、有意识地去探索、研究和分析,那我们就会发现很多例题、很多练习题都可以作为“一题多解”“一题多变”的原型进而拓展开来,如此这样,举一反三的多变多解式趣味性探究教学将卓著实效、美不胜收.我们还可以利用可拓宽可展开的题目,细致观察、深入分析,然后打开解决问题的诸多思路,或者求其变式而增设训练强度,并将其带到课堂上,这样会在不知不觉中增大课堂的容量,培养学生各方面的技能,特别是自主探索、创新思维的能力.此外,“多解而归一,多变求多法”的课堂教学形式也非常利于激趣、引导、激活课堂,那活力奔放探研涌涌的课堂,一定会让我们收到举一棋而胜全盘的教学效果.36。
初中数学一题多变一题多解(一)
“一题多变”(一)一、“一题多变”的作用:在平时的数学教学过程中实施一题多变的训练,可以提高学生学习数学的积极性,增强学习数学的兴趣:1、新课中,实施一题多变,以简单题入手由浅入深,可使大部分学生对当堂课内容产生兴趣。
2、习题课中,把较难题改成多变题目,让学生找到突破口,对难题也产生兴趣。
3、学生自己能够将题目中的问题或某一条件改变,对知识进行重组,自己将题目中的问题或某一条件进行改变,对已学知识进行重组,探索出新知识,解决新问题。
不就题论题,能多思多变。
在完成一个数学题的解答时,有必要对该题的内容、形式、条件、结论,做进一步的探讨,以真正掌握该题所反映的问题的实质。
如果能对一个普通的数学题进行一题多变,从变中总结解题方法;从变中发现解题规律,从变中发现“不变”,必将使人受益匪浅。
二、“一题多变”的常用方法有:1、变换命题的条件与结论;2、变换题型;3、深化条件,保留结论;4、减弱条件,加强结论;5、探讨命题的推广;6、考查命题的特例;7、生根伸枝,图形变换;8、接力赛,一变再变等等。
三、一题多变,挖掘习题涵量:1、变换命题的条件与结论即通过对习题的条件或结论进行变换,而对同一个问题从多个角度来研究。
这种训练可以增强学生解题的应变能力,培养思维的广阔性和深刻性,从而培养创新思维的品质。
例1、如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,BC=AB+CD,E是AD中点。
求证:∠BEC=90°.变换1:如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,BC=AB+CD,E是AD中点。
求证:CE⊥BE.变换2:如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,CE⊥BE., E是AD中点.求证:BC=AB+CD.变换3:如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,BC=AB+CD, CE⊥BE.判断E是AD中点吗?为什么?变换4:如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,BC=AB+CD,CE⊥BE.求证:AE=ED.2、变换题型即将原题重新包装成新的题型,改变单调的习题模式,从而训练学生解各种题型的综合能力,培养学生思维的适应性和灵活性,有助于学生创新思维品质的养成。
一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用(2021年整理)
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一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用数学,是一门自然学科.对于所有的高中生来说,要学好这门学科,却不是一件容易的事。
大多数高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、没有兴趣。
但由于高考“指挥棒”的作用,又不得不学。
“怎样才能学好数学?”成了学子们问得最多的问题。
而怎样回答这个问题便成了教师们的难题。
很多人便单纯的认为要学好数学就是要多做题,见的题多了,做的题多了,自然就熟练了,成绩就提高了!于是,“题海战术”便受到很多教育工作者的青睐.熟话说,“熟能生巧”,当然,多做体肯定对学生数学成绩的提高有一定的好处。
但长期这样,只会使数学越来越枯燥,让学生越来越厌烦,于是出现厌学、抄作业等现象。
众所周知,数学题是做不完的。
我认为要使学生学好数学,还是要从提高学生的数学思维能力和学习数学的兴趣上下工夫。
要利用书本上有限的例题和习题来提高学生的学习兴趣和能力.在数学教学过程中,通过利用一切有用条件,进行对比、联想,采取一题多解与一题多变的形式进行教学。
这对培养学生思维的广阔性、深刻性、探索性、灵活性、独创性无疑是一条有效的途径。
另外,能力提高的过程中,学生的成就感自然增强,并且在不断的变化和解决问题的不同途径中,兴趣油然而生.对于传统的数学教学来说,教学过程的重点不外乎为:讲解定义推导公式,例题演练,练习,及习题的安排。
浅谈中学数学教学中的“一题多解”实践策略
课程篇在初中数学教学中引入“一题多解”这一教学策略是很有必要的,其对丰富教学方法,培养学生的发散式思维和多思路解题技巧能起到积极的作用,因此,在初中阶段,数学教师应当对此教学策略高度重视,以下是笔者结合“一题多解”教学策略浅谈的几点数学教学中常用的解题技巧,望对各位同仁有所帮助。
一、运用基础方程法解应用题的“一题多解”运用设未知数x 配置方程法求解应用题的思想,在初中数学教学实践中多为常见,并且这种方程法解题思想在初中阶段也是重要的数学教学思想,如果能做到活学活用,则可以得到多种解题思路。
例如,在解决三角形问题中,已知某一三角形的周长为80m ,并且知道这三条边的比值为:3∶4∶5,求解此三角形的三边之长分别为多少?解法一:首先,对题目进行分析,要想求出三条边的边长,必须设一个共同的未知数x ,那么,这三条边就相当于待定了,分别为3x ∶4x ∶5x ,除此之外知道三边总共的周长为80m ,如此,可得出待解方程式:3x +4x +5x =80,求解得到:x =203,如此,可知三边长分别为:20,803,1003。
解法二:可以设两个未知量代表三条边长中的其中两条,那么就可以得到:x ,y ,80-x-y 。
则根据题意可以列出二元一次方程组为x ∶y =3∶4(1)x ∶(80-x-y )=3∶5(2){通过求解可得三边长为:20,803,1003。
解法三:设立三个未知量,即三条边分别为:x ,y ,z ,则根据题意可得三元一次方程组,具体为:x+y+z =80(1)x ∶y ∶z=3∶4∶5(2){,如此通过求解亦可得到:20,803,1003。
二、做辅助线分析图形法之“一题多解”在图上做相应的辅助线帮助学生理解题意的解题方法是中学数学教学中亦为常用的方法,通过结合图形来分析数据,将题目中抽象的数量关系转化为恰当的几何图形,继而从形象的图形中探索数量之间存在的对应关系,解决复杂的数学问题。
例如,如图1,学校教学楼前要新盖一栋实验教学用房,该教学楼的底楼部分是高6米的教师办公楼房,办公楼房以上是学生教室,将要新盖的实验教学用房在学校教学楼前10米处并且计划高度为20米,那么当阳光与地平线的夹角为30°时,在教室上课的学生是否会采光不足?并说明原因。
“一题多解”中要注重方法的横向比较
“一题多解”中要注重方法的横向比较作者:万继方来源:《新课程·中学》2013年第07期高中数学灵活多变,方法多样,在平时的例(习)题教学中,常常会碰到一题多解.本来一题多解是培养学生思维灵活性、发散性的重要工具;是提高学生解题能力的重要手段.但如果运用不当,也会造成学生方法混乱、负担加重等不良后果.现结合自己的教学实践,谈谈教学中加强方法横向比较的重要性.一、通过方法的横向比较,训练学生思维的批判性“批判是创新的基石.”有比较就有批判,因此通过方法的横向比较,可以培养学生的批判性思维,深化对各方法的认识,从而提高学生的解题能力,甚至获得创新的解法.上述两种方法是求线面角的基本方法,解法1称为定义法,有三个步骤:一作二证三求,作是关键,也是难点,一般如果可以作出线面角,就能比较容易求出此线面角的大小.解法2称为向量法,必须可以建系,求出相关点的坐标.如果可以建系和求出相关点的坐标,后面的过程就程序化了.我们必须用批判的视角去看待两种方法,各有优劣,各有限制.二、通过方法的横向比较,训练学生思维的严谨性、科学性,避免方法混乱在教学实践里,教师常常有这种感受,本来教师教的方法越多,学生解决问题的手段应该多了,但相反学生解题能力却更差了.究其原因,是因为方法多了后,造成学生思维和方法上混乱.因此教师在“一题多解”教学中一定要加强方法的横向比较,让学生明白每一种方法的优劣、使用限制,训练学生思维的严谨性、科学性,能够根据不同题目,灵活地选择合适的方法.这三种方法各有优劣.利用线面垂直的判断定理证垂直,逻辑推理严密优美,但有时有一定的技巧.利用向量法证垂直,过程程序化了,没有思维量,有时有一定的计算量.利用坐标法证垂直,前提条件是可以建立空间直角坐标系,一旦可以建系,整个过程也就程序化了.由于高考中证垂直一般是立体几何大题的第一问,难度不大,一般利用线面垂直的判断定理就可以证明了.如果感觉证明有困难,马上放弃,再选择向量法或坐标法.有了这种横向的比较,不仅培养了学生的批判性思维,也深化了对各种方法的认识.三、通过方法的横向比较,优化解题过程数学是所有学科中最让学生感到时间不够的学科.原因很多,其中一个重要的原因是学生不能找到最佳解题方法,浪费了宝贵的时间.因此,教师一定要注重方法的横向比较,优化解题过程,让学生使用最佳的解题方法,争取到宝贵的时间.就本题而言,解法1更优.这两种方法是求圆的方程的基本方法.待定系数法,步骤程序化,没有思维量,只是有一定的计算量.几何性质法,充分利用圆的一些性质,求出圆心的坐标及半径.如果不能及时利用几何性质求出圆心坐标,就使用待定系数法.唯有明白这两种方法的优劣,才能因题而异,找到最佳的解题方法.“一题多解”中加强方法的横向比较的上述三个原因是相辅相成的,无法切割的统一体.(作者单位湖北省监利县第一中学)。
中学数学“一题多解”教学方法探讨
中学数学“一题多解”教学方法探讨
罗玉霖;黄栋
【期刊名称】《萍乡高等专科学校学报》
【年(卷),期】2013(30)6
【摘要】通过不同类型的实例阐述了“一题多解”方法的重要性,指出了紧扣问题、探索过程、归纳性质是发现或创新“一题多解”教学法的有效途径,是激发学习兴趣、摈弃题海战术、提高课堂教学效果的重要手段.
【总页数】4页(P111-114)
【作者】罗玉霖;黄栋
【作者单位】萍乡三中;萍乡市师范附属小学,江西萍乡337000
【正文语种】中文
【中图分类】G632.3
【相关文献】
1.“一题多解”与“多题一解”在提升中学数学教学质量中的应用 [J], 闫萧寒
2.中学数学中一题多解对能力的培养 [J], 黄渝夏;
3.浅谈“一题多解”在中学数学中的应用 [J],
4.中学数学中一题多解的教学价值 [J], 帕提玛·吾姆鲁扎克
5.本科概率论与数理统计课程中一题多解教学方法探讨 [J], 朱复康;程建华
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从一题多解中学方法
求抛物线的解析式是第二十七章的一个重点和难点,也是中考的一个热点.亲爱的同学,现以2008年的一道中考题为例介绍求抛物线解析式的方法,供你学习时参考.
抛物线的解析式有以下三种常见的形式:
一般式:c bx ax y ++=2
(a ,b ,c 为常数,且≠a 0),其特点是:等式右边是二次三项式的一般形式.
顶点式:k h x a y +-=2
)((a ,h ,k 为常数,且≠a 0),其特点是:(h ,k )是抛物线的顶点坐标.
交点式:))((21x x x x a y --=(a ,1x ,2x 为常数,且≠a 0),其特点是:等式右边的常数1x ,2x 是抛物线与x 轴的两个交点的横坐标,即两个交点坐标是(1x ,0)和(2x ,0).
例 (2008年山东临沂市中考题)如图1,已知抛物线与x 轴交于A (-1,0)、B (3,0)两点,与y 轴交于点C (0,3).
(1)求抛物线的解析式; (2)略; (3)略.
分析一:因为已知抛物线的三点坐标,故可选用一般式来求其解析式.
解法一:(1)设其解析式为2
ax y =+bx +c ,由题意,得
⎪⎩⎪⎨⎧==++=+-.3,039,0c c b a c b a 解得⎪⎩
⎪⎨⎧==-=.3,2,
1c b a 故此抛物线的解析式为2
x y -=+2x +3. 点评:用待定系数法求a ,b ,c 需三个独立条件,若已知图象经过的三点的坐标或三对x ,y 的对应值,则可选用一般式来求其解析式,即建立关于a ,b ,c 的三元一次方程组,求出a ,b ,c 的值后再回代即可.这种方法是求抛物线解析式最基本的方法,务必熟练掌握.
分析二:因为抛物线与y 轴交于点C (0,3),即当x =0时,y =3.故可直接设抛物线
x y A M P
D
O
B
C
图1
的解析式为2
ax y =+bx +3,然后根据它过A (-1,0)、B (3,0)两点建立方程组求出a ,b 即可.
解法二:设抛物线的解析式为2
ax y =+bx +3,则由题意,得⎩
⎨
⎧=++=+-.0339,
03b a b a 解得
⎩⎨
⎧=-=.
2,1b a 故抛物线的解析式为2
x y -=+2x +3. 点评:当抛物线与y 轴的交点坐标已知时,马上就可得出解析式2
ax y =+bx +c 中c 的值,从而只需根据问题所给的另外两个条件求出a ,b 的值再回代即可.
分析三:由已知条件易求得抛物线的对称轴是直线12
3
1=+-=
x ,故抛物线的顶点的横坐标是1,因此可设抛物线的顶点坐标是(1,k ),从而可选用顶点式k h x a y +-=2
)(来 求其解析式.
解法三:由抛物线经过点A (-1,0)、B (3,0),可知其对称轴是直线12
3
1=+-=
x ,由此可知抛物线顶点的横坐标是1,故可设其解析式为k x a y +-=2
)1(,则由题意,得
⎪⎩⎪⎨⎧+-=+--=.
)10(3,)11(02
2
k a k a 解得⎩⎨⎧=-=.4,1k a 故其解析式是2
)1(--=x y +4,即2x y -=+2x +3. 点评:当抛物线的顶点坐标已知或容易求出时,可选用顶点式k h x a y +-=2
)(来求其解析式,此时只需根据另外的条件求出a ,k ,然后回代,并把它化为一般式即可. 此外,应注意这种情况的变式,即在题设条件中,若涉及对称轴或对称轴易于求出时,也可选用顶点式来求其解析式.
分析四:因为A (-1,0)、B (3,0)两点是抛物线与x 轴的两个交点的坐标,故可选用交点式来求其解析式.
解法四:因为抛物线交x 轴于A (-1,0)、B (3,0)两点,故可设其解析式为y =a (x +1) (x -3).又因为它交y 轴于点C (0,3),故3=a (0+1)(0-3),解得a =-1.故所求解析式是y =-(x +1)(x -3),即2
x y -=+2x +3.
点评:当抛物线与x 轴的两个交点或交点的横坐标已知时,常常选用交点式来求其解析式,此时只需代入第三个条件即可求出a 的值,再回代,最后化为一般式即可.
现在就练:
(2008年湖南常德市中考题)如图2,已知四边形ABCD 是矩形,且MO=MD=4,MC=3. (1)求直线BM 的解析式;
(2)求过A 、M 、B 三点的抛物线的解析式.
参考答案:
解:(1)因为MO=MD=4,MC=3,故M 、A 、B 的坐标分别为(0,4),(-4,0),(3,
0),设直线BM 的解析式为b kx y +=, 则⎩⎨⎧+⨯=+⨯=.30,04b k b k 解得⎪⎩⎪
⎨⎧
=-=.
4,34b k 故BM 的解析
式为43
4
+-
=x y . (2)解法一:设抛物线的解析式为c bx ax y ++=2
,则⎪⎩
⎪⎨⎧=++=+-=c c b a c b a 43904160,解得
31-==b a ,4=c ,故43
1
312+--=x x y .
解法二:设抛物线的解析式为)3)(4(-+=x x a y ,将M (0,4)的坐标代入解得3
1
-=a ,故所求解析式为)3)(4(31-+-=x x y ,即--=231x 43
1
+x .
图2
A
D
O
C
B
M。