福建省福州一中2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案
2020-2021学年福建省某校高一(上)期中数学试卷
2020-2021学年福建省某校高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1. 设A ={x|19<3x <27}，B ＝{x|x 2+2x −8<0}，则A ∩B ＝（ ）A.(−4, 3)B.(−3, 2)C.(−2, 2)D.(−2, 3)2. 设a ，b ∈R ，则“a +b ≤4”是“a ≤2，且b ≤2”的（ ） A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 在同一坐标系中，函数y ＝x a(a ≠0)和y =ax −1a 的图象不可能是（ ）A. B.C. D.4. 设函数f(x)为定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，f(x)=(12)x +2x +b （其中b 为实数），则f(1)的值为( ) A.−3 B.−1 C.1 D.35. 若2对任意的x 都有意义，则实数a 的取值范围是（ ）A.0<a <2B.0≤a ≤2C.0<a ≤2D.0≤a <26. 已知函数f(x)={(a −3)x +5,x ≤12ax ,x >1 ，若对R 上的任意实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，恒有(x 1−x 2)[f(x 1)−f(x 2)]<0成立，那么a 的取值范围是（ ） A.(0, 3)B.(0, 3]C.[2, 3)D.(0, 2]7. 定义|ab cd |=ad −bc ，如|1234|=1×4−2×3＝−2，且当x ∈[0, 2]时，|4x 32x+11|≥k 有解，则实数k 的取值范围是（ ） A.(−∞, −5] B.(−∞, −9] C.(−∞, −8] D.(−∞, −2]8. 定义在R 内的函数f(x)满足f(x +2)＝2f(x)，且当x ∈[2, 4)时，f(x)={−x 2+4x,2≤x ≤3x 2+2x ,3<x <4 g(x)＝ax +1，对∀x 1∈[−2, 0),∃x 2∈[−2, 1]，使得g(x 2)＝f(x 1)，则实数a 的取值范围为（ ） A.(−∞, −18]∪[18, +∞)B.[−14, 0)∪(0, 18]C.(0, 8]D.(−∞, −14]∪[18, +∞)二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个是符合题目要求，全部选出得5分，漏选得3分，选错或多选得0分．下列说法正确是（ ）A.命题“∃x >1，x +e x ≥2”的否定形式是“∀x >1，x +e x <2”B.若函数y ＝f(x)的定义域是[12,2]，则函数y ＝f(2x )的定义城为[−1, 1]C.若x ∈R ，则函数y =√x 2+4+√x 2+4的最小值为2D.若−1≤x <y ≤5，则−6≤x −y <0若a <b <−1，c >0，则下列不等式中一定成立的是（ ） A.a −1a >b −1b B.a −1b <b −1aC.b a >b−ca−cD.(a b )c >(ba )c已知函数f(x)满足f(1x)=2x+1x+1，则关于函数f(x)正确的说法是（ ）A.f(x)的定义域为{x|x ≠−1}B.f(x)值域为{y|y ≠1, 且y ≠2}C.f(x)在(0, +∞)单调递减D.不等式f(x)>2的解集为(−1, 0)定义：若函数F(x)在区间[a, b]上的值域为[a, b]，则称区间[a, b]是函数F(x)的“完美区间”，另外，定义区间[a, b]的“复区间长度”为2(b −a)，已知函数f(x)＝|x 2−1|，则（ ） A.[0, 1]是f(x)的一个“完美区间” B.[1−√52, 1+√52]是f(x)的一个“完美区间”C.f(x)的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+√5D.f(x)的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+2√5三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．其中第16题为双空题，第一空2分，第二空3分．函数f(x)=2−x2+4x+5的单调递减区间为________．若幂函数f(x)＝(m2−5m+7)x m在R上为增函数，则log m√27+2lg5+lg4−m log m12=________．已知函数f(x)＝a x+2−3(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在一次函数y＝mx−n的图象上，其中实数m，n满足mn>0，则1m +2n的最小值为________．设y＝f(x)是定义在R上的函数，对任意的x∈R，恒有f(x)+f(−x)＝x2成立，函数g(x)满足g(x)＝f(x)−x22，则g(x)是________（填：“奇函数”、“偶函数”、“非奇非偶函数”、“既奇又偶函数”），若y＝f(x)在(−∞, 0]上单调递增，且f(2−a)−f(a)≥2−2a，则实数a的取值范围是________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．已知函数f(x)＝x2−2|x|．（1）判断f(x)的奇偶性；（2）作出f(x)的图象，并写出f(x)的单调区间（只需写出结果）；（3）若方程f(x)＝a有四个不等实根，求实数a的取值范围．已知命题p:−x2+6x+16≥0，q:x2−4x+4−m2≤0．（1）若m＝3且p，q都为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．已知幂函数f(x)＝x−3x+5(m∈N)为偶函数，且在区间(0, +∞)上单调递增．(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)设函数g(x)＝f(x)+2λx−1，若g(x)<0对任意x∈[1, 2]恒成立，求实数λ的取值范围．某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x(x≥0)万元时，经销A，B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元．其中f(x)=x+1，g(x)={10x+1x+1(0≤x≤3),−x2+9x−12(3<x≤5).如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其最大收益．已知函数f(x)＝k⋅2x−2−x是定义域为R上的奇函数．（1）求k的值；（2）求不等式f(x2+2x)+f(x−4)>0的解集；（3）若g(x)＝22x+2−2x−2mf(x)在[1, +∞)上的最小值为−2，求m的值．已知定义在区间(0, +∞)上的函数f(x)=|x+4x−5|.(1)判定函数g(x)=x+4x在(2, +∞)的单调性，并用定义证明；(2)设方程f(x)=m有四个不相等的实根x1，x2，x3，x4．①求乘积x1⋅x2⋅x3⋅x4的值；②在[1, 4]是否存在实数a，b，使得函数f(x)在区间[a, b]单调，且f(x)的取值范围为[ma, mb]，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年福建省某校高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】∵A＝{x|−2<x<3}，B＝{x|−4<x<2}，∴A∩B＝(−2, 2)．2.【答案】B【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】直接利用不等式的性质，充分条件和必要条件，得出结果．【解答】当“a≤2，且b≤2”时，则“a+b≤4”成立，但是，当“a+b≤4”成立，则“a≤2，且b≤2”不一定成立，故“a+b≤4”是“a≤2，且b≤2”的必要不充分条件，3.【答案】A,B,D【考点】函数的图象与图象的变换【解析】根据幂函数和一次函数的单调性即可判断．【解答】当a>0时，y＝x a(a≠0)和y=ax−1a 均为增函数，且y=ax−1a与y轴的负半轴相交，当a<0时，y＝x a(a≠0)在(0, +∞)上为减函数，y=ax−1a 为减函数，且y=ax−1a与y轴的正半轴相交，故ABD不符合，4.【答案】C 【考点】函数奇偶性的性质【解析】根据f(x)是定义在R上的奇函数可得出f(0)＝0，从而求出b＝−1，即得出x≤0时，f(x)=(12)x+2x−1，从而根据f(1)＝−f(−1)即可求出f(1)．【解答】解：f(x)为定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)=(12)x+2x+b，则：f(0)=1+b=0，得到b=−1，则f(1)=−f(−1)=−(2−2−1)=1.故选C.5.【答案】D【考点】函数恒成立问题【解析】由题意可得不等式ax2−2ax+2>0恒成立，讨论a＝0，a>0且△<0，a<0，结合二次函数的图象，解不等式可得所求范围．【解答】若√ax2−2ax+2对任意的x都有意义，可得ax2−2ax+2>0恒成立．当a＝0时，2>0恒成立；当a>0时，△＝4a2−8a<0，解得0<a<2，即0<a<2时，不等式恒成立；当a<0时，由于抛物线y＝ax2−2ax+2的开口向下，不等式不恒成立．综上可得，a的范围是0≤a<2．6.【答案】D【考点】分段函数的应用函数单调性的性质与判断【解析】利用分段函数的单调性的判断方法建立不等式即可求解．【解答】由已知可得函数f(x)是R上单调递减函数，则函数f(x)满足：{a−3<0 2a>0a−3+5≥2a1，解得0<a≤2，所以实数a的取值范围为：(0, 2]，7.【答案】A【考点】函数恒成立问题【解析】依题意知4x−3×2x+1≥k有解，构造函数令f(x)＝4x−3×2x+1，x∈[0, 2]，再利用换元法，可得f(x)＝g(t)＝t2−6t＝(t−3)2−9，从而可得答案．【解答】由题可知，当x∈[0, 2]时，4x−3×2x+1≥k有解，令f(x)＝4x−3×2x+1，x∈[0, 2]，则将不等式问题转化为k≤f(x)max，令t＝2x，t∈[1, 4]∴f(x)＝g(t)＝t2−6t＝(t−3)2−9，∴当t＝1或t＝4时取得最大值−5，∴k≤−5，8.【答案】D【考点】函数的周期性【解析】求出f(x)在[2, 4]上的值域，利用f(x)的性质得出f(x)在[−2, 0]上的值域，再求出g(x)在[−2, 1]上的值域，根据题意得出两值域的包含关系，从而解出a的范围【解答】当x∈[2, 4)时，f(x)={−x2+4x,2≤x≤3 x2+2x,3<x<4，可得f(x)在[2, 3]上单调递减，在(3, 4)上单调递增，∴f(x)在[2, 3]上的值域为[3, 4]，在(3, 4)上的值域为(113, 92 )，∴f(x)在[2, 4)上的值域为[3, 92)，∵f(x+2)＝2f(x)，∴f(x)=12f(x+2)=14f(x+4)，∴f(x)在[−2, 0)上的值域为[34, 98 )，当a>0时，g(x)为增函数，g(x)＝ax+1在[−2, 1]上的值域为[−2a+1, a+1]，∴{34≥−2a+198≤a+1，解得a≥18；当a<0时，g(x)为减函数，g(x)在[−2, 1]上的值域为[−a+1, 2a+1]，∴{34≥a+198≤−2a+1，解得a≤−14；当a＝0时，g(x)为常数函数，值域为{1}，不符合题意；综上，a的范围是a≥18或a≤−14．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个是符合题目要求，全部选出得5分，漏选得3分，选错或多选得0分．【答案】A,B,D【考点】函数的定义域及其求法命题的否定命题的真假判断与应用【解析】由题意利用命题的否定、命题的真假，函数的定义域和值域，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】由于命题“∃x>1，x+e x≥2”的否定形式是“∀x>1，x+e x<2”，故A正确；若函数y＝f(x)的定义域是[12,2]，则对于函数y＝f(2x)，有12≤2x≤2，求得−1≤x≤1，故函数y＝f(2x)的定义城为[−1, 1]，故B正确；∵x∈R，则令t=√x2+4≥2，则函数y=√x2+4√x2+4=t+1t在[2, +∞)上是单调递增函数，故当t＝2时，函数y取得最小值为52，故C错误；若−1≤x<y≤5，则当x＝−1，y＝5时，x−y取得最小值为−6，且x−y<0，故有−6≤x−y<0，故D 正确，【答案】B,D【考点】不等式的基本性质【解析】根据题设条件逐项判断即可．【解答】由函数y＝x−1x在(−∞, −1)上为增函数可知，当a<b<−1时，a−1a<b−1b，故A错误；由函数y＝x+1x在(−∞, −1)上为增函数可知，当a<b<−1时，a+1a<b+1b，即a−1b<b−1a，故B正确；由a <b <−1，c >0，可得a −b <0，a −c <0，所以b a −b−c a−c =c(a−b)a(a−c)<0，即b a <b−ca−c ，故C 错误； 由a <b <−1，可知a b >1，0<b a <1，而c >0，则(a b )c >1>(ba )c >0，故D 正确． 【答案】 B,C,D【考点】函数解析式的求解及常用方法 函数的定义域及其求法 函数单调性的性质与判断 【解析】由函数有意义的条件判断选项A ，由换元法和分离常数法推出f(x)=2+x1+x =1+11+x ，再结合反比例函数y =1x 和函数图象的平移变换法则，分析选项B 和C ，根据分式不等式的解法判断选项D ． 【解答】令t =1x ，则x =1t ，所以f(t)=2×1t +11t+1=2+t1+t ，所以f(x)的解析式为f(x)=2+x1+x =1+11+x ．对于A 选项，定义域为{x|x ≠0且x ≠−1}，即A 错误；对于B 选项，当x ≠0时，y ≠2，当x ≠−1时，y ≠1，所以值域为{y|y ≠1且y ≠2}，即B 正确； 对于C 选项，f(x)＝1+11+x 在(0, +∞)上单调递减，即C 正确； 对于D 选项，f(x)=2+x 1+x>2，即2+x−2(1+x)1+x>0，等价于x(x +1)<0，解得−1<x <0，即D 正确． 【答案】 A,C【考点】命题的真假判断与应用 【解析】根据题意，因为f(x)＝|x 2−1|≥0恒成立，所以函数f(x)的值域为：[0, +∞)；设区间[a, b]是函数f(x)的“完美区间“，则当x ∈[a, b]时，f(x)∈[a, b]，所以a ≥0；则0≤a <b ；根据定义，即可判断A ，B ；再根据“完美区间”和“复区间长度”的定义求复区间长度，判断C ，D 即可． 【解答】设区间[a, b]是函数f(x)的“完美区间“，则当x ∈[a, b]时，f(x)∈[a, b]，所以a ≥0；则0≤a <b(1)∵ 函数f(x)＝|x 2−1|在区间[0, 1]上时，f(x)＝1−x 2，故f(x)在[0, 1]上单调递减，f(0)＝1，f(1)＝0，故值域为[0, 1]；故[0, 1]是f(x)的一个“完美区间”，故A 正确（2）∵1−√52<0，故B 错误①当b ≤1时，[a, b]⫋[0, 1]，此时f(x)＝|x 2−1|＝1−x 2，则函数f(x)在[0, 1]上单调递减；所以函数f(x)在区间[a, b]上单调递减（3）因为函数f(x)在区间[a, b]上的值域为[a, b]， 所以{f(a)=1−a 2=b f(b)=1−b 2=a，所以a 2+b ＝b 2+a ＝1，则a 2−a ＝b 2−b ， 所以a 2−a +14=b 2−b +14，即(a −12)2＝(b −12)2，所以a −12=b −12，整理得a ＝b （舍去）；或a −12=12−b ，整理得a +b ＝1，因为a +b 2＝1，所以b ＝b 2解得b ＝0（舍去）或b ＝1；则a ＝1−b ＝0，此时a 2+b ＝0+1＝1，满足原方程组，所以a ＝0，b ＝1是方程组{f(a)=1−a 2=bf(b)=1−b 2=a的唯一解（4）故此情况下存在a ＝0，b ＝1使得区间[a, b]是函数f(x)的“完美区间”，此区间[a, b]的“复区间长度”为2(1−0)＝2(5)②当b >1时，（1）若0≤a <1，则1∈[a, b]，此时f(x)min ＝f(1)＝0，若函数f(x)在区间[a, b]上的值域为[a, b]，则a ＝0，f(b)＝b(6)因为b >1，所以f(b)＝|1−b 2|＝b 2−1＝b ，即b 2−b −1＝0，解得b =1−√52（舍去）或b =1+√52(7)故此情况下存在a ＝0，b =1+√52，使得区间[a, b]是函数f(x)的“完美区间”，此区间[a, b]的“复区间长度”为2(1+√52−0)＝1+√5(8)(2)当a ≥1时，f(x)＝x 2−1，x ∈[a, b]；此函数f(x)在[a, b]上单调递增，若函数f(x)在区间[a, b]上的值域为[a, b]，则{f(a)=a 2−1=af(b)=b 2−1=b，所以此时a 与b 是方程x 2−x −1＝0的两个不等实根，解x 2−x −i ＝0得x 1=1−√52，x 2=1+√52，所以{a =1−√52b =1+√52 ，因为a =1−√52<1，所以此情况不满足题意．综上所述，函数f(x)＝|x 2−1|的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为2+(1+√5)＝3+√5；故C 正确；D 错误（9）故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．其中第16题为双空题，第一空2分，第二空3分． 【答案】 [2, +∞)【考点】复合函数的单调性 【解析】令t ＝−x 2+4x +5，求出该函数的减区间，由复合函数的单调性即可得到原函数的减区间． 【解答】令t ＝−x 2+4x +5，其图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为x ＝2， 该函数在[2, +∞)上单调递减，而外层函数y ＝2t 是定义域内的增函数， ∴ 函数f(x)=2−x 2+4x+5的单调递减区间为[2, +∞)．【答案】12log 2216或 3【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域幂函数的性质【解析】由题意利用幂函数的定义和性质求得m的值，再利用对数的运算性质求得要求式子的值．【解答】∵幂函数f(x)＝(m2−5m+7)x m在R上为增函数，∴m2−5m+7＝1，且m>0，求得m＝2，或m＝3．当m＝2时，log m√27+2lg5+lg4−m log m 12=log2√27+2(lg5+lg2)−12=12log227+2−12=log227+32=log2(27×8)2=12log2216，当m＝3时，log m√27+2lg5+lg4−m log m 12=log3√27+2(lg5+lg2)−12=32+2−12=3，【答案】4【考点】指数函数的单调性与特殊点【解析】先令x+2＝0，求出点A的坐标，代入一次函数y＝mx−n得2m+n＝2，由题意可知m>0，n>0，所以1 m +2n=12(1m+2n)⋅(2m+n)，再利用基本不等式即可求出结果．【解答】函数f(x)＝a x+2−3，令x+2＝0，得：x＝−2，此时y＝1−3＝−2，所以点A(−2, −2)，又∵点A在一次函数y＝mx−n的图象上，∴−2＝−2m−n，即2m+n＝2，又∵实数m，n满足mn>0，∴m>0，n>0，∴1m +2n=12(1m+2n)⋅(2m+n)=12(4+nm+4mn)≥12(4+2√nm×4mn)=4，当且仅当nm=4mn即n＝2m时，等号成立，即m=12，n＝1时，1m+2n取得最小值4，【答案】奇函数,(−∞, 1]【考点】函数奇偶性的性质与判断抽象函数及其应用【解析】对于第一空：对于g(x)，求出g(−x)的表达式，据此可得g(x)+g(−x)＝0，即可得g(x)为奇函数，对于第二空：对于g(x)＝f(x)−x 22，分析可得g(x)在(−∞, 0]上单调递增，结合g(x)为奇函数可得g(x)在R上为增函数，而原不等式等价于g(2−a)≥g(a)，结合函数的单调性可得2−a≥a，解可得a的取值范围，即可得答案．【解答】根据题意，g(x)＝f(x)−x22，其定义域为R，则g(−x)＝f(−x)−x22，则有g(x)+g(−x)＝x2−2×x22=0，则函数g(x)为奇函数，对于g(x)＝f(x)−x22，y＝f(x)在(−∞, 0]上单调递增，而y=−x22在(−∞, 0]上单调递增，则g(x)在(−∞, 0]上单调递增，而函数g(x)为奇函数，则g(x)在区间[0, +∞)上也为增函数，综合可得：g(x)在R上为增函数，f(2−a)−f(a)≥2−2a⇒f(2−a)−(2−a)22≥f(a)−a22，即g(2−a)≥g(a)，则有2−a≥a，解可得a≤1，即实数a的取值范围是(−∞, 1]；四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．【答案】∵f(x)的定义域为R，且f(−x)＝(−x)2−2|−x|＝x2−2|x|＝f(x)∴函数f(x)为偶函数；f(x)＝x2−2|x|={x2−2x,x≥0x2+2x,x<0，图象如图，由图可知，单调递减区间为：(−∞, −1]，[0, 1]；单调递增区间为：[−1, 0]，[1, +∞)；由（2）中的图可知，要使方程f(x)＝a有四个不等实根，则实数a的取值范围是(−1, 0)．【考点】函数的零点与方程根的关系函数的图象与图象的变换函数奇偶性的性质与判断【解析】（1）直接由函数奇偶性的定义判定；（2）由三点作图可得函数图象，并得到函数的单调区间；（3）由（2）中函数的图象可得方程f(x)＝a有四个不等实根的实数a的取值范围．【解答】∵f(x)的定义域为R，且f(−x)＝(−x)2−2|−x|＝x2−2|x|＝f(x)∴函数f(x)为偶函数；f(x)＝x2−2|x|={x 2−2x,x≥0x2+2x,x<0，图象如图，由图可知，单调递减区间为：(−∞, −1]，[0, 1]；单调递增区间为：[−1, 0]，[1, +∞)；由（2）中的图可知，要使方程f(x)＝a有四个不等实根，则实数a的取值范围是(−1, 0)．【答案】由命题p:−x2+6x+16≥0得x2−6x−16≥0，解得−2≤x≤8，当m＝3时，q:x2−4x−5≤0，解得−1≤x≤5，p，q都为真，则{−2≤x≤8−1≤x≤5，解得−1≤x≤5，所以实数x的取值范围为[−1, 5]；记p:x∈A，q:x∈B，∵p是q成立的充分不必要条件，∴A⫋B，当m>0时，由x2−4x+4−m2≤0，解得2−m≤x≤2+m，∴{m>02−m≤−22+m≥8（两等号不同时成立），解得m≥6当m＝0时，由x2−4x+4≤0，解得x＝2，不合题意，舍去，当m<0时，由x2−4x+4−m2≤0，解得2+m≤x≤2−m，∴{m<02+m≤−22−m≥8，（两等号不同时成立），解得m≤−6，综上所述m≤−6或m≥6．【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】（1）当m＝3时，解得p，q的不等式的解集，再求出交集即可；（2）可记p:x∈A，q:x∈B，根据p是q成立的充分不必要条件，可得A⫋B，分类讨论，解不等式即得m的取值范围．【解答】由命题p:−x2+6x+16≥0得x2−6x−16≥0，解得−2≤x≤8，当m＝3时，q:x2−4x−5≤0，解得−1≤x≤5，p，q都为真，则{−2≤x≤8−1≤x≤5，解得−1≤x≤5，所以实数x的取值范围为[−1, 5]；记p:x∈A，q:x∈B，∵p是q成立的充分不必要条件，∴A⫋B，当m>0时，由x2−4x+4−m2≤0，解得2−m≤x≤2+m，∴{m>02−m≤−22+m≥8（两等号不同时成立），解得m≥6当m＝0时，由x2−4x+4≤0，解得x＝2，不合题意，舍去，当m<0时，由x2−4x+4−m2≤0，解得2+m≤x≤2−m，∴{m<02+m≤−22−m≥8，（两等号不同时成立），解得m≤−6，综上所述m≤−6或m≥6．【答案】（1）∵幂函数f(x)＝x−3x+5(m∈N)为偶函数，且在区间(0, +∞)上单调递增，∴−3m+5>0，且−3m+5为偶数．又m∈N，解得m＝1，∴f(x)＝x2．（2）由(Ⅰ)可知g(x)＝f(x)+2λx−1＝x2+2λx−1．当x∈[1, 2]时，由g(x)<0得λ<12x−x2．易知函数y=12x−x2在[1, 2]上单调递减，∴λ<(12x−x2)min=12×2−22=−34．∴实数λ的取值范围是(−∞, −34)．【考点】奇偶性与单调性的综合函数恒成立问题【解析】(Ⅰ)利用幂函数f(x)＝x−3x+5(m∈N)为偶函数，且在区间(0, +∞)上单调递增，可得−3m+5>0，且−3m+5为偶数从而可得m的值，继而得到f(x)的解析式；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知g(x)＝x2+2λx−1，依题意可得λ<12x−x2，求得(12x−x2)min，即可得到实数λ的取值范围．【解答】（1）∵幂函数f(x)＝x−3x+5(m∈N)为偶函数，且在区间(0, +∞)上单调递增，∴−3m+5>0，且−3m+5为偶数．又m∈N，解得m＝1，∴f(x)＝x2．（2）由(Ⅰ)可知g(x)＝f(x)+2λx−1＝x2+2λx−1．当x∈[1, 2]时，由g(x)<0得λ<12x −x2．易知函数y=12x −x2在[1, 2]上单调递减，∴λ<(12x −x2)min=12×2−22=−34．∴实数λ的取值范围是(−∞, −34)．【答案】解：设投入B商品的资金为x万元(0≤x≤5)，则投入A商品的资金为5−x万元，设收入为S(x)万元，①当0≤x≤3时，f(5−x)=6−x，g(x)=10x+1x+1，则S(x)=6−x+10x+1x+1=17−[(x+1)+9x+1]≤17−2√(x+1)⋅9 x+1=17−6=11，当且仅当x+1=9x+1，即x=2时，取等号．②当3<x≤5时，f(5−x)=6−x，g(x)=−x2+9x−12，则S(x)=6−x−x2+9x−12=−(x−4)2+10≤10，即当x=4时，S(x)取得最大值10.∵10<11，∴最大收益为11万元，【考点】分段函数的应用基本不等式在最值问题中的应用二次函数的性质【解析】根据条件，表示为分段函数形式，利用基本不等式或者一元二次函数的最值，进行求解即可【解答】解：设投入B商品的资金为x万元(0≤x≤5)，则投入A商品的资金为5−x万元，设收入为S(x)万元，①当0≤x≤3时，f(5−x)=6−x，g(x)=10x+1x+1，则S(x)=6−x+10x+1x+1=17−[(x+1)+9x+1]≤17−2√(x+1)⋅9x+1=17−6=11，当且仅当x+1=9x+1，即x=2时，取等号．②当3<x≤5时，f(5−x)=6−x，g(x)=−x2+9x−12，则S(x)=6−x−x2+9x−12=−(x−4)2+10≤10，即当x=4时，S(x)取得最大值10.∵10<11，∴最大收益为11万元，【答案】∵f(x)是定义域为R上的奇函数，∴f(0)＝0，∴k⋅20−2−0＝0，k−1＝0，∴k＝1，经检验k＝1符合题意；由（1）可知k＝1，∴f(x)＝2x−2−x，函数的定义域为R，在R上任取x1，x2，且x1−x2<0，f(x2)−f(x1)=2x2−2−x2−2x1+2−x1=(2x2−2x1)+(12x1−12x2)＝(2x2−2x1)(1+12x12x2)>0，∴函数在R上单调递增，原不等式化为：f(x2+2x)>f(4−x)，∴x2+2x>4−x，即x2+3x−4>0，∴x>1或x<−4，∴不等式的解集为{x|x>1或x<−4}；∵f(x)＝2x−2−x，∴g(x)＝22x+2−2x−2m(2x−2−x)＝(2x−2−x)2−2m(2x−2−x)+2．令t＝f(x)＝2x−2−x，∵x≥1，∴t≥f(1)=32，∴g(t)＝t2−2mt+2＝(t−m)2+2−m2，当m≥32时，当t＝m时，g(t)min＝2−m2＝−2，∴m＝2；当m<32时，当t=32时，g(t)min=174−3m＝−2，解得m=2512>32，舍去，综上可知m＝2．【考点】函数奇偶性的性质与判断函数的最值及其几何意义【解析】（1）由奇函数性质得f(0)＝0，解出k 即可；（2）由f(1)>0易知a >1，从而可判断f(x)的单调性，由函数单调性、奇偶性可把不等式转化为具体不等式，解出即可；（3）由f(1)=32可求得a 值，g(x)＝22x +2−2x −2m(2x −2−x )＝(2x −2−x )2−2m(2x −2−x )+2，令t ＝f(x)＝2x −2−x ，g(x)可化为关于t 的二次函数，分情况讨论其最小值，令最小值为−2，解出即可； 【解答】∵ f(x)是定义域为R 上的奇函数，∴ f(0)＝0，∴ k ⋅20−2−0＝0，k −1＝0，∴ k ＝1，经检验k ＝1符合题意；由（1）可知k ＝1，∴ f(x)＝2x −2−x ，函数的定义域为R ，在R 上任取x 1，x 2，且x 1−x 2<0， f(x 2)−f(x 1)=2x 2−2−x 2−2x 1+2−x 1=(2x 2−2x 1)+(12x 1−12x 2)＝(2x 2−2x 1)(1+12x 12x 2)>0，∴ 函数在R 上单调递增，原不等式化为：f(x 2+2x)>f(4−x)，∴ x 2+2x >4−x ，即x 2+3x −4>0， ∴ x >1或x <−4，∴ 不等式的解集为{x|x >1或x <−4}；∵ f(x)＝2x −2−x ，∴ g(x)＝22x +2−2x −2m(2x −2−x )＝(2x −2−x )2−2m(2x −2−x )+2． 令t ＝f(x)＝2x −2−x ，∵ x ≥1，∴ t ≥f(1)=32， ∴ g(t)＝t 2−2mt +2＝(t −m)2+2−m 2，当m ≥32时，当t ＝m 时，g(t)min ＝2−m 2＝−2，∴ m ＝2；当m <32时，当t =32时，g(t)min =174−3m ＝−2，解得m =2512>32，舍去， 综上可知m ＝2． 【答案】解：(1)g(x)在[2, +∞)上单调递增，证明：任取x 1，x 2∈(2, +∞)，且x 1<x 2． ∵ g(x 1)−g(x 2)=(x 1+4x 1)−(x 2+4x 2)=(x 1−x 2)+(4x 1−4x 2) =(x 1−x 2)+4(x 2−x 1x 1x 2)=(x 1−x 2)(x 1x 2−4)x 1x 2，其中x 1−x 2<0，x 1x 2>0，x 1x 2−4>0， ∴ g(x 1)−g(x 2)<0， ∴ g(x 1)<g(x 2)，∴ g(x)在[2, +∞)上单调递增.(2)①|(x +4x)−5|=m ⇒(x +4x)−5=m 或(x +4x)−5=−m ,即x 2−(m +5)x +4=0或m 2+(m −5)x +4=0,∵ x 1，x 2，x 3，x 4为方程f(x)=m 的四个不相等的实根， ∴ 由根与系数的关系得x 1⋅x 2⋅x 3⋅x 4=4×4=16.②如图，可知0<m <1，f(x)在区间(1, 2)，(2, 4)上均为单调函数，(i)当[a, b]⊆[1, 2]时，f(x)在[a, b]上单调递增，则{f(a)=ma,f(b)=mb, 即f(x)=mx ，m =−4x 2+5x −1在x ∈[1, 2]有两个不等实根， 而令1x =t ∈[12,1]，则−4x 2+5x −1=φ(t)=−4(t −58)2+916， 作φ(t)在[12,1]的图象可知，12≤m <916，(ii)当[a, b]⊆[2, 4]时，f(x)在[a, b]上单调递减， 则{f(a)=mb,f(b)=ma, 两式相除整理得(a −b)(a +b −5)=0， ∴ a +b =5，∴ b =5−a >a ，∴ 2≤a <52， 由−a −4a +5=mb ， 得m =5−a−4a5−a =1+4a(a−5)=1+4(a−52)2−254，∴ m ∈[13,925)；综上，m 的取值范围为[13,925)∪[12,916)．【考点】函数与方程的综合运用 【解析】（1）由题意得：g(x)在[2, +∞)上单调递增，再由函数的单调性的定义证明． （2）有函数图象，数形结合，根据函数的性质即可求出答案． 【解答】解：(1)g(x)在[2, +∞)上单调递增，证明：任取x 1，x 2∈(2, +∞)，且x 1<x 2． ∵ g(x 1)−g(x 2)=(x 1+4x 1)−(x 2+4x 2)=(x 1−x 2)+(4x 1−4x 2) =(x 1−x 2)+4(x 2−x 1x 1x 2)=(x 1−x 2)(x 1x 2−4)x 1x 2，其中x 1−x 2<0，x 1x 2>0，x 1x 2−4>0， ∴ g(x 1)−g(x 2)<0， ∴ g(x 1)<g(x 2)，∴ g(x)在[2, +∞)上单调递增.(2)①|(x +4x )−5|=m ⇒(x +4x )−5=m 或(x +4x )−5=−m , 即x 2−(m +5)x +4=0或m 2+(m −5)x +4=0,∵ x 1，x 2，x 3，x 4为方程f(x)=m 的四个不相等的实根， ∴ 由根与系数的关系得x 1⋅x 2⋅x 3⋅x 4=4×4=16.②如图，可知0<m <1，f(x)在区间(1, 2)，(2, 4)上均为单调函数，(i)当[a, b]⊆[1, 2]时，f(x)在[a, b]上单调递增，则{f(a)=ma,f(b)=mb, 即f(x)=mx ，m =−4x 2+5x −1在x ∈[1, 2]有两个不等实根， 而令1x =t ∈[12,1]，则−4x 2+5x −1=φ(t)=−4(t −58)2+916， 作φ(t)在[12,1]的图象可知，12≤m <916，(ii)当[a, b]⊆[2, 4]时，f(x)在[a, b]上单调递减， 则{f(a)=mb,f(b)=ma, 两式相除整理得(a −b)(a +b −5)=0， ∴ a +b =5，∴ b =5−a >a ， ∴ 2≤a <52， 由−a −4a +5=mb ，得m =5−a−4a5−a =1+4a(a−5)=1+4(a−52)2−254，∴ m ∈[13,925)；综上，m 的取值范围为[13,925)∪[12,916)．。
2020-2021学年福建省福州市四校联考高一上学期半期(期中)考试数学试题(解析版)
2020-2021学年福建省福州市四校联考高一上学期半期（期中）考试数学试题一、单选题1．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,3,4,4,5U A B ===，则()U A B ⋂=（ ）． A ．{3} B ．{1，3}C ．{3，4}D ．{1，3，4}【答案】B【分析】先求出集合B 的补集，再求()U AB【详解】解：因为{}1,2,3,4,5U =，{}4,5B =， 所以{}1,2,3UB =，因为{}1,3,4A =， 所以{}()1,3U AB =，故选：B.2．命题“R x ∀∈，21x >”的否定是（ ） A ．R x ∃∈，21x ≤ B ．R x ∃∈，21x < C ．R x ∀∈，21x < D ．R x ∀∈，21x ≤【答案】A【分析】利用全称命题的否定是特称命题解答即可.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，需改变量词且否定结论，所以，命题“R x ∀∈，21x >”的否定是“R x ∃∈，21x ≤”.故选A【点睛】本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 3．设a ∈R ，则“a > 0"是“a 2 > 0”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由充分条件和必要条件的定义判断即可 【详解】解：当0a >时，20a >，当20a >时，0a <或0a >，所以“a > 0"是“a 2 > 0”的充分不必要条件， 故选：A4．我们把含有限个元素的集合A 叫做有限集，用card()A 表示有限集合A 中元素的个数.例如，{,,}A x y z =，则card()=3A .若非空集合,M N 满足card()M =card()N ，且M N ⊆，则下列说法错误．．的是（ ） A ．M N M ⋃= B ．M N N =C ．M N N ⋃=D ．M N ⋂=∅【答案】D【分析】根据()()card M card N =，且M N ⊆即可得出M N ，从而看出选项D 不正确．【详解】根据()()card M card N =，且M N ⊆得，M N ；MN M ∴=，MN N =，MN N =正确，显然MN =∅不正确，因为M ，N 不一定是空集．故选D ．【点睛】本题主要考查有限集的定义，集合元素个数的定义，列举法的定义． 5．设0<x <12，则x (1-2x )的最大值为（ ） A ．19B ．29C ．18D ．14【答案】C【分析】由于2121x x +-=为常数，且120x ->，所以利用基本不等式求x (1-2x )的最大值即可【详解】解：因为0<x <12，所以120x ->， 所以2112121(12)2(12)2228x x x x x x +-⎛⎫-=⋅-≤⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当212x x =-，即14x =时取等号， 所以(12)x x -的最大值为18， 故选：C6．下面各组函数中表示同个函数的是（ ）A ．()f x x =，()g x=2B ．()f x x =，()g x =C ．()211x f x x -=-，()1g x x =+D ．()xf x x =，()1010x g x x ≥⎧=⎨-<⎩，，【答案】B【分析】当函数的定义域和对应关系分别相同时，才是同一函数，所以逐个分析判断即可【详解】解：对于A ，()f x x =的定义域为R ，而()g x=2的定义域为[0,)+∞，两函数的定义域不相同，所以不是同一函数；对于B ，两个函数的定义域都为R ，定义域相同，()()g x x f x ===，所以这两个函数是同一函数；对于C ， ()211x f x x -=-的定义域为{}1x x ≠，而()1g x x =+的定义域是R ，两函数的定义域不相同，所以不是同一函数； 对于D ，()xf x x =的定义域为{}0x x ≠，而()1010x g x x ≥⎧=⎨-<⎩，，的定义域是R ，两函数的定义域不相同，所以不是同一函数， 故选：B.7．已知231,0()21,0x x f x x x +>⎧=⎨-<⎩，若()(1)8f a f +-=，则实数a 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．2±D ．3±【答案】C【分析】先根据题意求得()=7f a ，再利用分段函数函数值讨论求解自变量即得结果. 【详解】依题意，(1)=1f -，由()(1)8f a f +-=得()=7f a ， 若0a >，则()=3+1=7f a a ，故=2>0a ，符合题意；若0a <，则2()=21=7f a a -，故24a =，故=2<0a -，符合题意. 故选：C.8．1323a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1313c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c a b >>B ．a b c >>C ．a c b >>D ．b c a >>【答案】C【分析】先利用13y x =的单调性比较a ，c 的大小，再利用1()3xy =比较b ，c 的大小可得.【详解】先比较a ，c 的大小关系， 由13y x =在R 上是增函数可得：a c >， 先比较b ，c 的大小关系，由1()3xy =在R 上是减函数可得：b c <， 综上可得：a c b >>， 故选：C.【点睛】比较数的大小时，我们要找到它们的共性，合理利用对应函数的单调性是解决此类问题的关键.9．已知(), ()f x g x ，分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()1f x g x x x -=++，则(1)(1)f g +=（ ）A ．-3B ．-1C ．1D ．3【答案】C【分析】利用奇偶性及赋值法即可得到结果. 【详解】由题意得：(1)(1)1f g ---=，又因为()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，所以(1)(1)(1)(1)1f g f g ---=+=，故选：C ．【点睛】本题主要考查了奇函数与偶函数的定义在求解函数值中的应用，属于基础试题． 10．若不等式2220mx mx +-<对一切实数x 都成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(2,0)- B ．(2,0]-C ．(,0)-∞D ．(,0]-∞【答案】B【分析】分类讨论m 与0的关系，0m =时恒成立，0m ≠时，只需二次函数图象开口向下且与x 轴无交点，进而求解. 【详解】①0m =时，20-<恒成立；②0m <，△2(2)80m m =+<，解得20m -<< 综上，20m -<，故选B ．【点睛】考查分类讨论的思想，数形结合，不等式恒成立与二次函数图象的关系. 11．某容器如图所示，现从容器顶部将水匀速注入其中，注满为止.记容器内水面的高度h 随时间t 变化的函数为()h f t =，则()h f t =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据容器的特点分析水面高度的变化情况得解.【详解】由图知，容器两头小，中间大，在水流速度一定的情况下，水面高度h 在达到容器体积12前应该是逐渐变慢；达到容器体积12后，逐渐加快. 故选D【点睛】考查识图能力，水面高度h 在达到容器体积12前应该是逐渐变慢；达到容器体积12后，逐渐加快，是解决本题的关键点． 12．定义函数[]x 为不大于x 的最大整数，对于函数()[]f x x x =-，有以下四个结论：①(2019.67)0.67f =；②在每一个区间[,1)k k +,k Z ∈上,()f x 都是增函数；③1155f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④()y f x =的定义域是R ,值域是[0,1).其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据函数的新定义，以及作出函数的图象，结合图象，即可求解，得到答案. 【详解】对于①中，(2019.67)2019.67[2019.67]2019.6720190.67f =-=-=，所以是正确的；对于②中，结合图象，可得在每一个区间[,1)k k +,k Z ∈上,()f x 都是增函数是正确的； 对于③中，由11411()(1)()55555f f -=---=>= ，所以是错误的； 对于④中，结合图象，可得函数()y f x =的定义域是R ,值域是[0,1)，所以是正确的. 故选C.【点睛】本题主要考查了函数新定义问题，以及函数的性质的应用，其中解答中正确把握函数的新定义，以及作出函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题.二、填空题13．若函数32()(1)f x x b x x =+-+是定义在[2,1]a a -上的奇函数，则a b +=______.【答案】0【分析】先根据奇函数的定义域求出a 的值，再利用奇函数的定义求出b 的值即得解. 【详解】因为函数是奇函数， 所以其定义域关于原点对称， 所以2+1=01a a a -∴=-，.由题得3232()(1)(1)f x x b x x x b x x -=-+--=---- 所以22(1)0b x -=对于定义域内的每一个值都成立， 所以10,1b b -=∴=. 所以a b +=0. 故答案为0【点睛】本题主要考查奇函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x >时，3(2)xf x =-，则(1)f -=_______.【答案】﹣1【分析】利用偶函数的性质，求出f （1）的值，然后求出f （﹣1）即可． 【详解】因为函数是偶函数，所以f （﹣1）＝f （1）， 又当0x >时，()23xf x =-，则f （1）＝21﹣3＝﹣1， ∴f （﹣1）＝﹣1． 故答案为：﹣1．【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，函数的值的求法，考查计算能力．15．设p ：x <2，q ：x <a ．若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是____________． 【答案】(,2)-∞【分析】由必要不充分条件的定义直接求解即可【详解】解：设p ：x <2，q ：x <a ．若p 是q 的必要不充分条件， 所以2a <，所以实数a 的取值范围为(,2)-∞， 故答案为：(,2)-∞16．设奇函数()f x 在()0,∞+上为增函数，且()20f =，则不等式()()f x f x x--<的解集为______. 【答案】()()2,00,2-【分析】由函数()f x 为奇函数，可得不等式即()20f x x<，即x 和()f x 异号，故有()00x f x >⎧⎨<⎩，或()00x f x <⎧⎨>⎩；再结合函数()f x 的单调性示意图可得x 的范围. 【详解】由函数()f x 为奇函数，可得不等式即()20f x x<，即x 和()f x 异号， 故有()00x f x >⎧⎨<⎩，或()0x f x <⎧⎨>⎩. 再由()20f =，可得()20f -=，由函数()f x 在()0,∞+上为增函数，可得函数()f x在(),0-∞上也为增函数，画出函数单调性示意图：结合函数()f x 的单调性示意图可得20x -<<或02x <<. 故答案为：()()2,00,2-【点睛】函数奇偶性与单调性结合问题，可画出函数取值的示意图，判断正负，本题属于中等题型.三、解答题17．计算：（1）0220.254361822772-⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）已知：11223a a-+=，求12222a a a a --+++-【答案】（1）4，（2）15【分析】（1）把根式化为分数指数幂，然后利用分数指数幂运算性质求解即可； （2）对11223a a -+=两边平方化简求出1a a -+，再平方可求出22a a -+的值，从而可求出结果【详解】解：（1）原式23132344122(3)2=-⨯+-1294=-+-4=（2）由11223a a -+=，得1112229a a a a --++=，得17a a -+=， 所以212249a a a a --+⋅+=，所以2247a a -+=，所以122272912472455a a a a --+++===+-- 18．已知集合22162xA ⎧⎫⎪⎪=<≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{}3221B x a x a =-<<+． （1）当a =0时，求A ∩B ；（2）若A ∩B =∅．求实数a 的取值范围． 【答案】（1）112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，（2）34a ≤-或2a ≥ 【分析】（1）先求出集合A ，再求两集合的交集；（2）当B =∅时，有3221a a -≥+，当B ≠∅时，32211212a a a -<+⎧⎪⎨+≤-⎪⎩或3221324a a a -<+⎧⎨-≥⎩，从而可求出实数a 的取值范围 【详解】解：（1）当0a =时，{}21B x x =-<<，由2162x <≤得，142222x -<≤，解得142x -<≤， 所以1|42A x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭, 所以112AB x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，（2）①当B =∅时，满足A ∩B =∅，此时3221a a -≥+，解得3a ≥； ②当B ≠∅时，因为A ∩B =∅，所以32211212a a a -<+⎧⎪⎨+≤-⎪⎩或3221324a a a -<+⎧⎨-≥⎩， 解得34a ≤-或23a ≤<， 综上，34a ≤-或2a ≥19．已知函数()21ax f x bx+=，且()13f =，()922f =.（1）求,a b 的值，写出()f x 的解析式；（2）判断()f x 在区间[)1+∞，上的单调性，并用单调性的定义加以证明. 【答案】（1）221a 2b 1x f x x+===，，（）；（2）f （x ）在[1，+∞）上单调增函数，证明见解析.【分析】（1）根据待定系数法求出a ，b 的值，求出函数的解析式即可；（2）根据函数的单调性的定义证明函数的单调性即可．【详解】（1）由()()13922f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩⇒1341922a b a b +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩⇒21a b =⎧⎨=⎩； 则f （x ）221x x+=； （2）证明：任设l ≤x 1＜x 2，f （x 1）﹣f （x 2）2212122121x x x x ++=-=（x 1﹣x 2）•121221x x x x -，∵x 1＜x 2∴x 1＜x 2＜0， 又∵x 1≥1，x 2≥1∴x 1﹣x 2＜0，x 1x 2≥1，2x 1x 2≥2≥1， 即2x 1x 2﹣1＞0， ∴f （x 1）﹣f （x 2）＜0， 即f （x 1）＜f （x 2）故f （x ）在[1，+∞）上单调增函数．【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数的解析式，考查根据定义证明函数的单调性问题，是一道中档题．20．已知定义域为R 的函数，12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的t ∈R ，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）2a =，1b =；（2）13k <-.【分析】（1）根据()00f =，可得1b =，再由()()11f f =--即可求解.（2）判断()f x 在R 上为减函数，结合函数为奇函数可得2222t t t k ->-+，从而可得对一切t ∈R 有2320t t k -->，由∆<0即可求解. 【详解】（1）因为()f x 是R 上的奇函数， 所以()00f =，即102ba-+=+，解得1b =.从而有121()2x x fx a+-+=+. 又由()()11f f =--，知1121241a a-+-+=-++，解得2a =. 经检验，当121()22x x f x +-+=+时，()()f x f x -=-，满足题意. （2）由（1）知12111()22221x x x f x +-+==-+++， 由上式易知()f x 在R 上为减函数，又因为()f x 是奇函数，从而不等式()()22220f t t f t k -+-< 等价于()()()222222f t t f t k f t k -<--=-+.因为()f x 是R 上的减函数，由上式推得2222t t t k ->-+.即对一切t ∈R 有2320t t k -->，从而4120k ∆=+<，解得13k <-.21．为打赢打好脱贫攻坚战，实现建档立卡贫困人员稳定增收，某地区把特色养殖确定为脱贫特色主导产业，助力乡村振兴.现计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两养殖池之间保留2米宽的通道.设温室的一边长度为x 米，如图所示.（1）将两个养殖池的总面积y 表示x 为的函数，并写出定义域；（2）当温室的边长x 取何值时，总面积y 最大？最大值是多少？【答案】（1）1500(3)(5)y x x=--，定义域为{|3300}x x <<；（2）当温室的边长x 为30米时，总面积y 取最大值为1215平方米． 【分析】（1）依题意得温室的另一边长为1500x 米．求出养殖池的总面积1500(3)(5)y x x=--，然后求解函数的定义域即可．（2）15004500(3)(5)1515(5)y x x x x=--=-+，利用基本不等式求解函数的最值即可． 【详解】（1）依题意得温室的另一边长为1500x 米． 因此养殖池的总面积1500(3)(5)y x x=--， 因为30x ->，150050x->，所以3300x <<． 所以定义域为{|3300}x x <<．（2）15004500(3)(5)1515(5)y x x x x=--=-+1515-151********=-=，当且仅当45005x x=，即30x =时上式等号成立， 当温室的边长x 为30米时，总面积y 取最大值为1215平方米． 【点睛】本题考查实际问题的解决方法，函数思想的应用，基本不等式求解函数的最值，考查分析问题解决问题的能力．22．已知二次函数2()f x ax bx c =++的图象过点(0,3)，且不等式20ax bx c ++≤的解集为{|13}x x ≤≤.（1）求()f x 的解析式；（2）若()()(24)g x f x t x =--在区间[1,2]-上有最小值2，求实数t 的值；（3）设2()4h x mx x m =-+，若当[1,2]x ∈-时，函数()y h x =的图象恒在()y f x =图象的上方，求实数m 的取值范围.【答案】(1) 2()43f x x x =-+；(2) 1t =或1t =-；(3) 3m >.【分析】（1）通过(0)3f =，求出3c =，利用1和3是方程20ax bx c ++=的两根，结合韦达定理，求解函数的解析式．（2）2()()(24)23g x f x t x x tx =--=-+，[1x ∈-，2]．对称轴为x t =，分当1t -时、当12t -<<时、当2t 时情况讨论函数的单调性求解函数的最值即可．（3）当[1x ∈-，2]时，()()0h x f x ->恒成立．推出2231x m x +>+，[1x ∈-，2]．构造函数通过换元法以及函数的单调性求解函数的最值，转化求解实数m 的取值范围．【详解】（1）由(0)3f =，得3c =，又1和3是方程20ax bx c ++=的两根， 所以3c a =，4b a-=． 解得1a =，4b =-，因此2()43f x x x =-+．（2）2()()(24)23g x f x t x x tx =--=-+，[1x ∈-，2]． 对称轴为x t =，分情况讨论：当1t -时，()g x 在[1-，2]上为增函数，()(1)242min g x g t =-=+=，解得1t =-，符合题意；当12t -<<时，()g x 在[1-，]t 上为减函数，()g x 在[t ，2]上为增函数，2()()32min g x g t t ==-+=，解得1t =±，其中1t =-舍去；当2t 时，()g x 在[1-，2]上为减函数，()min g x g =（2）742t =-=， 解得54t =，不符合题意． 综上可得，1t =或1t =-．（3）由题意，当[1x ∈-，2]时，()()0h x f x ->恒成立． 即2231x m x +>+，[1x ∈-，2]． 设2231x y x +=+，[1x ∈-，2]，则max m y >． 令2x t =，于是上述函数转化为32111t y t t +==+++， 因为[1x ∈-，2]，所以[0t ∈，4]， 又211y t =++在[0，4]上单调递减，所以当0t =时，3max y =， 于是实数m 的取值范围是3m >．【点睛】本题考查函数与方程的应用，构造法的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，分类讨论思想的应用，是难题．。
2020-2021福州市高中必修一数学上期中模拟试卷带答案
2020-2021福州市高中必修一数学上期中模拟试卷带答案一、选择题1．不等式()2log 231a x x -+≤-在x ∈R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．(]1,2C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦2．已知函数()1ln1x f x x -=+，则不等式()()130f x f x +-≥的解集为（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．11,32⎛⎤⎥⎝⎦ C ．12,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭3．已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =，则（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>4．函数()sin lg f x x x =-的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 5．已知函数()245fx x x +=++，则()f x 的解析式为( ) A ．()21f x x =+B ．()()212f x x x =+≥C ．()2f x x =D ．()()22f x x x =≥6．函数223()2xx x f x e +=的大致图像是（ ） A ． B ．C ．D ．7．已知()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若存在三个不同实数a ，b ，c 使得()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ．[-2,0)C ．(]2,0-D ．（0,1）8．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( )A ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,3 9．设a ＝2535⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，c ＝2525⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a>c>bB ．a>b>cC ．c>a>bD ．b>c>a10．方程 4log 7x x += 的解所在区间是（ ）A ．(1,2)B ．(3,4)C ．(5,6)D ．(6,7)11．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0 12．设0.13592,ln,log 210a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．b c a >>二、填空题13．设，则________14．函数6()12log f x x =-的定义域为__________．15．函数的定义域为___．16．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.17．已知函数()log (4)a f x ax =-（0a >，且1a ≠）在[0,1]上是减函数，则a 取值范围是_________．18．某企业去年的年产量为a ，计划从今年起，每年的年产量比上年增加b ﹪，则第x ()x N *∈年的年产量为y =______.19．计算：__________． 20．已知函数()()0f x ax b a =->，()()43f f x x =-，则()2f =_______．三、解答题21．已知3a ≥，函数F （x ）=min{2|x−1|，x 2−2ax+4a−2}，其中min{p ，q}={,.p p q q p q ，，≤> （Ⅰ）求使得等式F （x ）=x 2−2ax+4a−2成立的x 的取值范围；（Ⅱ）（ⅰ）求F （x ）的最小值m （a ）；（ⅱ）求F （x ）在区间[0,6]上的最大值M （a ）.22．已知集合A ＝{x|2a ＋1≤x≤3a －5}，B ＝{x|x ＜－1，或x ＞16}，分别根据下列条件求实数a 的取值范围．（1）A∩B ＝∅；（2）A ⊆（A∩B ）．23．计算下列各式的值：（Ⅰ)22log lg25lg4log (log 16)+- （Ⅱ）2102329273()( 6.9)()()482-----+ 24．已知幂函数2242()(22)mm f x m m x -+=--在(0,)+∞上单调递减.（1）求m 的值并写出()f x 的解析式； （2）试判断是否存在0a >，使得函数()(21)1()a g x a x f x =--+在[1,2]-上的值域为 [4,11]-？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.25．如果f （x ）是定义在R 上的函数，且对任意的x ∈R ，均有f （-x ）≠-f （x ），则称该函数是“X —函数”.（1）分别判断下列函数：①y =211x +；②y =x +1；③y =x 2+2x -3是否为“X —函数”？（直接写出结论）（2）若函数f （x ）=x -x 2+a 是“X —函数”，求实数a 的取值范围； （3）设“X —函数”f （x ）=21,,x x A x x B ⎧+∈⎨∈⎩在R 上单调递增，求所有可能的集合A 与B . 26．已知函数24,02()(2)2,2x x f x xx a x a x ⎧-<≤⎪=⎨⎪-++->⎩，其中a 为实数． （1）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求a 的取值范围．（2）若7a <，满足不等式()0f x a ->成立的正整数解有且仅有一个，求a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】由()2223122-+=-+≥x x x 以及题中的条件，根据对数函数的单调性性，对a 讨论求解即可.【详解】由()2log 231a x x -+≤-可得()21log 23log -+≤a a x x a， 当1a >时，由()2223122-+=-+≥x x x 可知2123-+≤x x a无实数解，故舍去； 当01a <<时，()2212312-+=-+≥x x x a在x ∈R 上恒成立，所以12a ≤，解得112a ≤<. 故选：C【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，涉及到复合函数问题，属于中档题.2．D解析：D【解析】【分析】根据题意可得函数()f x 的奇偶性以及单调性，据此原不等式转化为()()31f x f x ≥-，求解可得x 的取值范围，即可得出结论．【详解】根据题意，函数()1ln1x f x x -=+， 则有101x x->+，解可得11x -<<， 即函数的定义域为()1,1-，关于原点对称， 又由()()11lnln 11x x f x f x x x +--==-=--+， 即函数()f x 为奇函数， 设11x t x-=+，则y lnt =， 12111x t x x -==-++，在()1,1-上为减函数， 而y lnt =在()0,∞+上为增函数， 故()1ln1x f x x -=+在区间()1,1-上为减函数， ()()()()13013f x f x f x f x +-≥⇒≥--()()3131111311x x f x f x x x ≤-⎧⎪⇒≥-⇒-<<⎨⎪-<-<⎩， 解可得：1223x ≤<，即不等式的解集为12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭； 故选:D ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，解题时不要忽略函数的定义域，属于中档题．3．A解析：A【解析】由0.50.6log 0.51,ln 0.50,00.61><<<，所以1,0,01a b c ><<<，所以a c b >>，故选A . 4．D解析：D【解析】【分析】画出函数图像，根据函数图像得到答案.【详解】如图所示：画出函数sin y x =和lg y x =的图像，共有3个交点.当10x >时，lg 1sin x x >≥，故不存在交点.故选：D .【点睛】本题考查了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.5．B解析：B【解析】【分析】利用换元法求函数解析式，注意换元后自变量范围变化.令2x t +=,则2t ≥，所以()()()()2224t 251,2,f t t t t =-+-+=+≥ 即()21f x x =+ ()2x ≥. 【点睛】本题考查函数解析式，考查基本求解能力.注意换元后自变量范围变化.6．B解析：B【解析】由()f x 的解析式知仅有两个零点32x =-与0x =，而A 中有三个零点，所以排除A ，又()2232x x x f x e-++'=，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选B ． 7．C解析：C【解析】【分析】画出函数图像，根据图像得到20a -<≤，1bc =，得到答案.【详解】()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，画出函数图像，如图所示：根据图像知：20a -<≤，20192019log log b c -=，故1bc =，故20abc -<≤. 故选：C .【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.8．B解析：B【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可【详解】解：Q 函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩…单调递增， ()301373a a a a ⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤< 所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：B ．【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 9．A解析：A【解析】 试题分析：∵函数2()5x y =是减函数，∴c b >；又函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，故a c >.从而选A考点：函数的单调性.10．C解析：C【解析】【分析】令函数4()log 7x f x x =+-，则函数()f x 是()0,∞+上的单调增函数，且是连续函数，根据(5)(6)0f f ⋅<，可得函数4()log 7x f x x =+-的零点所在的区间为()5,6，由此可得方程4log 7x x +=的解所在区间．【详解】令函数4()log 7x f x x =+-，则函数()f x 是()0,∞+上的单调增函数，且是连续函数.∵(5)0f <，(6)0>f∴(5)(6)0f f ⋅<∴故函数4()log 7x f x x =+-的零点所在的区间为()5,6∴方程4log 7x x +=的解所在区间是()5,6故选C.零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[,]a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点.11．B解析：B【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点22,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，22,⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，则A B I 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.12．A解析：A【解析】试题分析：，，即，，．考点：函数的比较大小． 二、填空题13．-1【解析】【分析】由分段函数的解析式先求出f(-2)的值并判定符号从而可得f(f(-2))的值【详解】∵fx=1-xx≥0x2x<0-2<0∴f-2=-22=4>0所以f(f(-2))=f4=1- 解析：-1【解析】【分析】由分段函数的解析式先求出的值并判定符号，从而可得的值.【详解】，，所以，故答案为-1.【点睛】 本题主要考查分段函数的解析式，属于简单题. 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值． 14．【解析】要使函数有意义则必须解得：故函数的定义域为：点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0(3)一次函数二次函数的定义域均为R(4 解析：(0,6⎤⎦【解析】要使函数()f x 有意义，则必须6012log 0x x >⎧⎨-≥⎩，解得：06x ≤<， 故函数()f x 的定义域为：(0,6⎤⎦．点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y ＝x0的定义域是{x|x≠0}．(5)y ＝ax(a>0且a≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R.(6)y ＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．(7)y ＝tan x 的定义域为π{|π,}2x x k k ≠+∈Z . 15．(-12)∪(2+∞)【解析】【分析】根据式子成立的条件对数式要求真数大于零分式要求分母不等于零即可求得函数的定义域【详解】要使函数有意义则x+1>012-x≠0解得x>-1且x≠2所以函数的定义域解析：【解析】【分析】根据式子成立的条件，对数式要求真数大于零，分式要求分母不等于零，即可求得函数的定义域.【详解】要使函数有意义，则， 解得且，所以函数的定义域为：，故答案是：.【点睛】 该题考查的是有关函数的定义域的求解问题，在求解的过程中，注意对数式和分式成立的条件即可，属于简单题目.16．6【解析】【分析】先求函数周期再根据周期以及偶函数性质化简再代入求值【详解】由f(x+4)=f(x-2)可知是周期函数且所以【点睛】本题考查函数周期及其应用考查基本求解能力解析：6【解析】【分析】先求函数周期，再根据周期以及偶函数性质化简()()9191f f =-，再代入求值.【详解】由f (x +4)=f (x -2)可知,()f x 是周期函数,且6T =,所以()()()919615311f f f =⨯+= ()16f =-=.【点睛】本题考查函数周期及其应用，考查基本求解能力.17．；【解析】【分析】分为和两种情形分类讨论利用复合函数的单调性结合对数函数的性质求出取值范围【详解】∵函数（且）在上是减函数当时故本题即求在满足时函数的减区间∴求得当时由于是减函数故是增函数不满足题意 解析：(1,4)；【解析】【分析】分为1a >和01a <<两种情形分类讨论，利用复合函数的单调性，结合对数函数的性质求出a 取值范围．【详解】∵函数()log (4)a f x ax =-（0a >，且1a ≠）在[0,1]上是减函数，当1a >时，故本题即求4t ax =-在满足0t >时，函数t 的减区间，∴40a ->，求得14a <<，当01a <<时，由于4t ax =-是减函数，故()f x 是增函数，不满足题意，综上可得a 取值范围为(1,4)，故答案为：(1,4)．【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数，理解“同增异减”以及注意函数的定义域是解题的关键，属于中档题．18．y ＝a （1+b ）x （x∈N*）【解析】【分析】根据条件计算第一年产量第二年产量…根据规律得到答案【详解】设年产量经过x 年增加到y 件第一年为y ＝a（1+b ）第二年为y ＝a （1+b ）（1+b ）＝a （1+解析：y ＝a （1+b %）x （x ∈N *）【解析】【分析】根据条件计算第一年产量，第二年产量…根据规律得到答案.【详解】设年产量经过x 年增加到y 件，第一年为 y ＝a （1+b %）第二年为 y ＝a （1+b %）（1+b %）＝a （1+b %）2，第三年为 y ＝a （1+b %）（1+b %）（1+b %）＝a （1+b %）3，…∴y ＝a （1+b %）x （x ∈N *）．故答案为：y ＝a （1+b %）x （x ∈N *）【点睛】本题考查了指数型函数的应用，意在考查学生的应用能力.19．4【解析】原式=log3332+lg(25×4)+2-(23)3-13=32+2+2-32=4故填4 解析：【解析】原式=,故填.20．【解析】【分析】先由求出的值可得出函数的解析式然后再求出的值【详解】由题意得即解得因此故答案为【点睛】本题考查函数求值解题的关键就是通过题中复合函数的解析式求出函数的解析式考查运算求解能力属于中等题 解析：3【解析】【分析】先由()()43f f x x =-求出a 、b 的值，可得出函数()y f x =的解析式，然后再求出()2f 的值.【详解】由题意，得()()()()()243f f x f ax b a ax b b a x ab b x =-=⋅--=-+=-， 即2430a ab b a ⎧=⎪+=⎨⎪>⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，()21f x x ∴=-，因此()23f =，故答案为3. 【点睛】本题考查函数求值，解题的关键就是通过题中复合函数的解析式求出函数的解析式，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题21．（Ⅰ）[]2,2a ．（Ⅱ）（ⅰ）()20,32{42,2a m a a a a ≤≤=-+->．（ⅱ）()348,34{2,4a a a a -≤<M =≥． 【解析】试题分析：（Ⅰ）分别对1x ≤和1x >两种情况讨论()F x ，进而可得使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数()21f x x =-，()2242g x x ax a =-+-的最小值，再根据()F x 的定义可得()F x 的最小值()m a ；（Ⅱ）分别对02x ≤≤和26x ≤≤两种情况讨论()F x 的最大值，进而可得()F x 在区间[]0,6上的最大值()M a ．试题解析：（Ⅰ）由于3a ≥，故当1x ≤时，()()()22242212120x ax a x x a x -+---=+-->， 当1x >时，()()()22422122x ax a x x x a -+---=--．所以，使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围为[]2,2a ． （Ⅱ）（ⅰ）设函数()21f x x =-，()2242g x x ax a =-+-，则()()min 10f x f ==，()()2min 42g x g a a a ==-+-， 所以，由()F x 的定义知()()(){}min 1,m a f g a =，即()20,32{42,2a m a a a a ≤≤+=-+-> （ⅱ）当02x ≤≤时，()()()(){}()max 0,222F x f x f f F ≤≤==，当26x ≤≤时，()()()(){}{}()(){}max 2,6max 2,348max 2,6F x g x g g a F F ≤≤=-=．所以，()348,34{2,4a a M a a -≤<=≥． 【考点】函数的单调性与最值，分段函数，不等式．【思路点睛】（Ⅰ）根据x 的取值范围化简()F x ，即可得使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数()f x 和()g x 的最小值，再根据()F x 的定义可得()m a ；（Ⅱ）根据x 的取值范围求出()F x 的最大值，进而可得()M a ．22．（1）{a|a≤7}；（2）{a|a ＜6或a ＞152} 【解析】【分析】（1）根据A∩B=∅，可得-1≤2a+1≤x≤3a -5≤16，解不等式可得a 的取值范围；（2）由A ⊆（A∩B ）得A ⊆B ，分类讨论，A ＝∅与A≠∅，分别建立不等式，即可求实数a 的取值范围【详解】（1）若A ＝∅，则A∩B ＝∅成立．此时2a ＋1＞3a －5，即a ＜6． 若A≠∅，则2135{2113516a a a a +≤-+≥--≤解得6≤a≤7．综上，满足条件A∩B ＝∅的实数a 的取值范围是{a|a≤7}．（2）因为A ⊆（A∩B ），且（A∩B ）⊆A ，所以A∩B ＝A ，即A ⊆B ．显然A ＝∅满足条件，此时a ＜6．若A≠∅，则2135{351a a a +≤--<-或2135{2116a a a +≤-+> 由2135{351a a a +≤--<-解得a ∈∅；由2135{2116a a a +≤-+>解得a ＞152． 综上，满足条件A ⊆（A∩B ）的实数a 的取值范围是{a|a ＜6或a ＞152}． 考点：1．集合关系中的参数取值问题；2．集合的包含关系判断及应用23．(Ⅰ)12；(Ⅱ)12. 【解析】 试题分析：（1）根据对数运算法则log ,lg lg lg ,m a a m m n mn =+= 化简求值（2）根据指数运算法则01(),1,m n mn m m a a a aa -===，化简求值 试题解析：（Ⅰ）原式()3111log 3lg 254222222=+⨯-=+-=. （Ⅱ）原式1223233343441112292992⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=--+=--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 24．（1）1()f x x -=；（2）存在，6a =.【解析】【分析】（1）由幂函数的定义和单调性，可得关于m 的方程与不等式；（2）由（1）得1()f x x -=，从而得到()(1)1g x a x =-+，再对1a -的取值进行分类讨论.【详解】（1）因为幂函数2242()(22)m m f x m m x -+=--在(0,)+∞上单调递减，所以22221,420,m m m m ⎧--=⎨-+<⎩解得：3m =或1m =-（舍去）， 所以1()f x x -=.（2）由（1）得1()f x x -=，所以()(1)1g x a x =-+，假设存在0a >使得命题成立，则当10a ->时，即1a >，()g x 在[1,2]-单调递增，所以(1)4,114,6(2)11,22111,g a a g a -=--+=-⎧⎧⇒⇒=⎨⎨=-+=⎩⎩； 当10a -=，即1a =，()1g x =显然不成立；当10a -<，即1a <，()g x 在[1,2]-单调递减，所以(1)11,1111,(2)4,2214,g a g a -=-+=⎧⎧⇒⎨⎨=--+=-⎩⎩a 无解； 综上所述：存在6a =使命题成立.【点睛】本题考查幂函数的概念及解析式、已知一次函数的定义域、值域求参数的取值范围，考查逻辑推理能力和运算求解能力，同时注意分类讨论思想的运用，讨论时要以一次函数的单调性为分类标准.25．（1）①②是“X —函数”，③不是“X —函数”.（2）（0，+∞）（3）A =[0，+∞），B =（-∞，0）【解析】【分析】（1）直接利用信息判断结果；（2）利用信息的应用求出参数的取值范围；（3）利用函数的单调性的应用和应用的例证求出结果.【详解】（1）①②是“X —函数”，③不是“X —函数”；（2）∵f （-x ）=-x -x 2+a ，-f （x ）=-x +x 2-a ，f （x ）=x -x 2+a 是“X —函数”，∴f （-x ）=-f （x ）无实数解，即x 2+a =0无实数解，∴a ＞0，∴a 的取值范围为（0，+∞）；（3）对任意的x ≠0，若x ∈A 且-x ∈A ，则-x ≠x ，f （-x ）=f （x ），与f （x ）在R 上单调增矛盾，舍去； 若x ∈B 且-x ∈B ，f （-x ）=-f （x ），与f （x ）是“X —函数”矛盾，舍去；∴对任意的x ≠0，x 与-x 恰有一个属于A ，另一个属于B ，∴（0，+∞）⊆A ，（-∞，0）⊆B ，假设0∈B ，则f （-0）=-f （0），与f （x ）是“X —函数”矛盾，舍去；∴0∈A ，经检验，A =[0，+∞），B =（-∞，0）符合题意.【点睛】本题考查的知识要点：信息题型的应用，反证法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型.26．（1）2a ≤（2）03a ≤<【解析】【分析】（1）分析当02x <≤时的单调性，可得2x >的单调性，由二次函数的单调性，可得a 的范围；（2）分别讨论当0a <，当02a ≤≤时，当23a <<时，当37a ≤<，结合函数的单调性和最值，即可得到所求范围．【详解】（1）由题意，当02x <≤时，4()f x x x =-为减函数， 当2x >时，()()222f x x a x a =-++-，若2a ≤时，()()222f x x a x a =-++-也为减函数，且()()20f x f <=， 此时函数()f x 为定义域上的减函数，满足条件；若2a >时，()()222f x x a x a =-++-在22,2a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则不满足条件． 综上所述，2a ≤．（2）由函数的解析式，可得()()13, 20f f ==，当0a <时，()()20, 13f a f a =>=>，不满足条件；当02a ≤≤时，()f x 为定义域上的减函数，仅有()13f a =>成立，满足条件； 当23a <<时，在02x <≤上，仅有()13f a =>，对于2x >上，()f x 的最大值为22(2)1244a a f a +-⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭， 不存在x 满足()0f x a ->，满足条件；当37a ≤<时，在02x <≤上，不存在整数x 满足()0f x a ->，对于2x >上，22(2)(4)123444a a a ----=<-， 不存在x 满足()0f x a ->，不满足条件；综上所述，03a ≤<．【点睛】本题主要考查了分段函数的运用，以及函数的单调性的判断和不等式有解问题，其中解答中熟练应用函数的单调性，以及把函数的有解问题转化为函数的最值问题是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档题．。
福建省2020学年高一数学上学期期中试题
高一数学上学期期中试题本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡相应的位置上，用2B 铅笔将自己的准考证号填涂在答题卡上。
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；在试卷上做答无效。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁和平整。
第Ⅰ卷 （本卷共计60分）一、选择题：（1-11题只有一个选项，12题是多选题，每小题5分，共计60分） 1．若集合{}2,1,0,1,2M =--，21{|1,}2N y y x x ==-+∈R ，则M N =（ ）A ．{}2,1,0,1--B ．{}2,1,0--C ．{}1,2D ．{}22．已知幂函数)(x f 的图像经过(9,3)，则)1()2(f f -= （） A ． 3 B ．21-C ． 12-D ．13.下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是 ( ) A ．()2x f x =B ．3()f x x =C ．1()f x x=D ．x x x f -=)( 4．函数x xx f 2log 1)(+-=的一个零点落在下列哪个区间 （ ）A ．)1,0(B ．)2,1(C ．)3,2(D ．)4,3(5．已知1)(35++=bx ax x f 且,7)5(=f 则)5(-f 的值是 （ ）A.5-B.7-C.5D.7-6.已知 5.10.9m =，0.90.95.1,log 5.1n p ==，则这三个数的大小关系是( )A.m n p <<B.m p n <<C.p m n <<D.p n m <<7.已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如下面右图所示，则函数()xg x a b =+的图象是()A B C D 8.已知函数2log ,(0)()2,(0)xx x f x x ->⎧=⎨≤⎩，则不等式()1f x >的解集为（）A ．(2,)+∞B ．(,0)-∞C ．(0,2)D ．(,0)(2,)-∞+∞9．一元二次方程2510x x m -+-=的两根均大于2,则实数m 的取值范围是( )A ．21,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．(),5-∞-C ．21,54⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D ．21,54⎛⎫-- ⎪⎝⎭10．已知函数3()log (1)f x ax =-，若()f x 在(],2-∞上为减函数，则a 的取值范围为 ( )A ．()0,+∞B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2D ．(,0)-∞11.已知函数()f x 的定义域为R ，0>()f x 且满足1()()()1=2f x y f x f y f +=⋅且（），如果对任意的,x y ，都有()[()()]0x y f x f y --<，那么不等式2(3)()4f x f x -⋅≥的解集为（ ）A ．(][),12,-∞+∞ B ．[]1,2 C ．()1,2 D ．(,1]-∞12．（多选题）已知函数2()22f x x x =++()0x <与2()ln()g x x x a =++(),0a R a 且∈>的图像上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值可以是下列数据中的 （ ）A ．21eB ．1eC ．eD ．3e 第Ⅱ卷（本卷共计90分）二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分) 13．设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=。
福建省福州第一中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题 答案和解析
福建省福州第一中学【最新】高一上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．函数()f x =( ) A ．{|1}x x > B ．{|1}x x ≥ C ．{|12}x x x >≠且D ．{|12}x x x ≥≠且2．图中的阴影表示的集合中是（ ）A ．UA B ⋂ B ．UB A ⋂C ．()UA B ⋂D ．U()A B ⋃3．已知函数()()1,223,2x x f x x f x x +⎧>⎪=-⎨⎪+≤⎩，则()2f 的值等于( )A ．4B ．3C ．2D ．无意义4．已知全集{}1,2,3U =且{}2U C A =，则集合A 的真子集共有( ) A ．1个B ．3个C ．4个D ．7个5．函数1()=ln f x x x-的零点所在的区间可以是 A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)6．下列大小关系正确的是（ ）A ．30.440.43log 0.3<<B ．30.440.4log 0.33<<C ．30.44log 0.30.43D ．0.434log 0.330.4<<7．下列函数中，满足“()()()f xy f x f y =⋅”且为单调递增函数的是( ) A ．()3x f x =B ．3()log f x x =C ．1()f x x -=D ．3()f x x =8．已知函数()()()f x x a x b =--（其中)a b >的图象如图所示，则函数()x g x a b =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数()212,12,1x x ax x f x a a x ⎧+-≤⎪=⎨⎪->⎩在()0,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(]1,2B ．()1,2C ．[)2,+∞D ．()1,+∞10．已知两条直线1:l y m =和12121441313⨯=，1l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于点A ，B ，2l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于点C, D 。
2020-2021福州市高中必修一数学上期中模拟试卷附答案
2020-2021福州市高中必修一数学上期中模拟试卷附答案一、选择题1．f (x)＝－x 2＋4x ＋a ，x∈[0,1]，若f (x)有最小值－2，则f (x)的最大值( ) A ．－1B ．0C ．1D ．22．若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( ) A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭3．已知(31)4,1()log ,1aa x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．1(0,)3C ．11[,)73D ．1[,1)74．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的（ ）. A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件5．若函数()(1)(0xxf x k a a a -=-->且1a ≠）在R 上既是奇函数,又是减函数,则()log ()a g x x k =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递增，且为奇函数，若(1)1f =，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）． A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]7．设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z8．函数223()2xx xf x e +=的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若存在三个不同实数a ，b ，c 使得()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．[-2,0)C ．(]2,0-D ．（0,1）10．已知函数2221,2,()2,2,x x x x f x x -⎧-++<=⎨≥⎩且存在三个不同的实数123,,x x x ，使得123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围为（ ）A ．(4,5)B ．[4,5)C ．(4,5]D ．[4,5]11．已知函数21(1)()2(1)a x x f x xx x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1 B ．(]0,1 C ．[]1,1- D ．(]1,1- 12．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b二、填空题13．已知函数2()121()f x ax x ax a R =+++-∈的最小值为0，则实数a =_________. 14．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是减函数,则不等式()()1ln f f x <的解集是________.15．函数f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)x ＋1，则当x<0时，f(x)＝________. 16．已知f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1，函数g (x )＝x 2－2x ＋m .如果∀x 1∈[－2,2]，∃x 2∈[－2,2]，使得g (x 2)＝f (x 1)，则实数m 的取值范围是______________.17．已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x 成立，则 127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝ ． 18．10343383log 27()()161255-+--+=__________．19．计算：__________．20．用{}min ,,a b c 表示,,a b c 三个数中最小值，则函数{}()min 41,4,8f x x x x =++-+的最大值是 ．三、解答题21．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x <0时，()111f x x =+-. (1)求f (2)的值；(2)用定义法判断y ＝f (x )在区间(－∞，0）上的单调性． (3)求0()x f x >时，的解析式22．已知函数f (x )＝4x －2·2x ＋1－6，其中x ∈[0,3]． (1)求函数f (x )的最大值和最小值；(2)若实数a 满足f (x )－a ≥0恒成立，求a 的取值范围． 23．已知函数()2xf x =，1()22xg x =+．（1）求函数()g x 的值域；（2）求满足方程()()0f x g x -=的x 的值．24．设()()()log 1log (30,1)a a f x x x a a =++->≠,且()12f =. （1）求a 的值及()f x 的定义域； （2）求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．25．已知函数()()2210g x ax ax b a =-++>在区间[]2,3上有最大值4和最小值1，设()()g x f x x=. （1）求,a b 的值； （2）若不等式()220xxf k -⋅≥在区间[]1,1-上恒成立，求实数k 的取值范围.26．已知定义域为R 的函数()1221x a f x =-++是奇函数. (1)求a 的值；(2)判断函数()f x 的单调性并证明；(2)若关于m 的不等式()()222120f m m f m mt -+++-≤在()1,2m ∈有解，求实数t 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】因为对称轴2[0,1]x =∉，所以min max ()(0)2()(1)31f x f a f x f a ===-∴==+= 选C.2．D解析：D 【解析】 【分析】函数()f x 为偶函数，则()()f x f x =-则()()22f f =-，再结合()f x 在(]1-∞-，上是增函数，即可进行判断. 【详解】函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.又函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数. 则()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-，即()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭故选：D. 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查化归与转化的思想，属于基础题.3．C解析：C 【解析】 【分析】要使函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，则要求①当1x <，()(31)4f x a x a =-+在区间(,1)-∞为减函数，②当1x ≥时，()log a f x x =在区间[1,)+∞为减函数，③当1x =时，(31)14log 1a a a -⨯+≥，综上①②③解方程即可.【详解】令()(31)4g x a x =-+，()log a h x x =.要使函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，则有()(31)4g x a x =-+在区间(,1)-∞上为减函数，()log a h x x =在区间[1,)+∞上为减函数且(1)(1)g h ≥,∴31001(1)(31)14log 1(1)a a a g a a h -<⎧⎪<<⎨⎪=-⨯+≥=⎩,解得1173a ≤<. 故选：C. 【点睛】考查分段函数求参数的问题.其中一次函数y ax b =+，当0a <时，函数y ax b =+在R 上为减函数，对数函数log ,(0)a y x x =>，当01a <<时，对数函数log ay x =在区间(0,)+∞上为减函数.4．B解析：B 【解析】 【分析】化简cos cos a A b B =得到A B =或2A B π+=，再判断充分必要性.【详解】cos cos a A b B =，根据正弦定理得到：sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B =∴=故22A B A B =∴=或222A B A B ππ=-∴+=，ABC ∆为等腰或者直角三角形.所以“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的必要非充分条件 故选B 【点睛】本题考查了必要非充分条件，化简得到A B =或2A B π+=是解题的关键，漏解是容易发生的错误.5．A解析：A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数g (x )的解析式，然后结合函数的解析式即可确定函数的图像. 【详解】∵函数()(1)xxf x k a a -=--(a >0,a ≠1)在R 上是奇函数，∴f (0)=0，∴k =2， 经检验k =2满足题意， 又函数为减函数，所以01a <<， 所以g (x )=log a (x +2)定义域为x >−2，且单调递减， 故选A . 【点睛】本题主要考查对数函数的图像，指数函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】()f x 是奇函数，故()()111f f -=-=- ；又()f x 是增函数，()121f x -≤-≤，即()(1)2(1)f f x f -≤-≤ 则有121x -≤-≤ ，解得13x ≤≤ ，故选D.【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为()(1)2f f x -≤-(1)f ≤，再利用单调性继续转化为121x -≤-≤，从而求得正解.7．D解析：D 【解析】令235(1)x y zk k ===>，则2log x k =，3log =y k ，5log =z k∴22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D. 点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.8．B解析：B 【解析】由()f x 的解析式知仅有两个零点32x =-与0x =，而A 中有三个零点，所以排除A ，又()2232xx x f x e-++'=，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选B ． 9．C解析：C【解析】 【分析】画出函数图像，根据图像得到20a -<≤，1bc =，得到答案. 【详解】()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，画出函数图像，如图所示：根据图像知：20a -<≤，20192019log log b c -=，故1bc =，故20abc -<≤. 故选：C .【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.10．A解析：A 【解析】不妨设123x x x <<，当2x <时，()()212f x x =--+，此时二次函数的对称轴为1x =，最大值为2，作出函数()f x 的图象如图，由222x -=得3x =，由()()()123f x f x f x ==，，且1212x x +=，即122x x +=，12332,x x x x ∴++=+ 由图可知3323,425x x <<∴<+<， 即123x x x ++的取值范围是()4,5，故选A.11．C解析：C 【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1，x >1时,()()21,10a a f x x f x x x=++'=-…在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1， 综上,a ∈[−1,1]， 本题选择C 选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．12．B解析：B 【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gclog c ,log c lg a lg b==，01c <<Q ，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用cy x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.二、填空题13．【解析】【分析】设计算可得再结合图象即可求出答案【详解】解：设则则由于函数的最小值为0作出函数的大致图象结合图象得所以故答案为：【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质考查转化思想考查数形结合思想属解析：±1. 【解析】 【分析】 设2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，计算可得2(),()()()2(),()()g x g x h x f x h x g x h x ≥⎧=⎨<⎩，再结合图象即可求出答案． 【详解】解：设2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，则22()()1g x x ax h x x ⎧=+⎨=-⎩， 则()()()()()f x g x h x g x h x =++-2(),()()2(),()()g x g x h x h x g x h x ≥⎧=⎨<⎩，由于函数()f x 的最小值为0，作出函数()g x ，()h x 的大致图象，结合图象，210x -=，得1x =±， 所以1a =±， 故答案为：±1． 【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质，考查转化思想，考查数形结合思想，属于中档题．14．【解析】由定义在实数集上的偶函数在区间上是减函数可得函数在区间上是增函数所以由不等式得即或解得或即不等式的解集是;故答案为解析：()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭【解析】由定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是减函数,可得函数()f x 在区间()0+∞，上是增函数,所以由不等式()()1ln f f x <得ln 1x >,即ln 1x >或ln 1x <-,解得x e >或10e x <<,即不等式()()1ln f f x <的解集是()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭;故答案为()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭. 15．【解析】当x<0时－x>0∴f(－x)＝＋1又f(－x)＝－f(x)∴f(x)＝故填解析：1x ---【解析】当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝ x -＋1，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝1x ---,故填1x ---.16．－5－2【解析】分析：求出函数的值域根据条件确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论详解：由题意得：在－22上f(x)的值域A 为g(x)的值域B 的子集易得A ＝－33B ＝m －18＋m 从而解得－5≤m≤解析：[－5,－2]. 【解析】分析：求出函数()f x 的值域，根据条件，确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论. 详解：由题意得：在[－2,2]上f (x )的值域A 为g (x )的值域B 的子集. 易得A ＝[－3,3]，B ＝[m －1,8＋m ]，从而解得－5≤m ≤－2.点睛：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数最值之间的关系，综合性较强.17．7【解析】【分析】【详解】设则因为所以故答案为7解析：7 【解析】 【分析】 【详解】 设， 则，因为11222⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x ， 所以，,故答案为7.18．【解析】19．4【解析】原式=log3332+lg(25×4)+2-(23)3-13=32+2+2-32=4故填4 解析：【解析】原式=,故填.20．6【解析】试题分析：由分别解得则函数则可知当时函数取得最大值为6考点：分段函数的最值问题解析：6 【解析】试题分析：由414,418,48x x x x x x +>++>-++>-+分别解得1, 1.4,2x x x >>>，则函数()8,2{4,1241,1x x f x x x x x -+≥=+<<+≤则可知当2x =时，函数{}()min 41,4,8f x x x x =++-+取得最大值为6 考点：分段函数的最值问题三、解答题21．（1）23-；（2）见解析；（3）()1x f x x -=+ 【解析】 【分析】(1)利用函数的奇偶性求解.(2)函数单调性定义，通过化解判断函数值差的正负；（3）函数为R 奇函数，x 〈0的解析式已知，利用奇函数图像关于原点对称，即可求出x 〉0的解析式. 【详解】（1）由函数f (x )为奇函数，知f (2)＝-f (－2)＝23-· (2)在(－∞，0）上任取x 1，x 2，且x 1<x 2，则()()1212121111111111f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+=- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ ()()211211x x x x -=-- 由x 1－1<0，x 2－1<0，x 2－x 1>0，知f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)． 由定义可知，函数y ＝f (x )在区间(－∞，0]上单调递减．·（3）当x >0时，－x <0，()111f x x -=-+ 由函数f (x )为奇函数知f (x )＝-f (－x )，()1111x f x x x -∴=-+=++ 【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用和单调性的定义，利用奇偶性求函数值和解析式主要应用奇偶性定义和图像的对称性；利用定义法证明函数单调性关键是作差后式子的化解，因为需要判断结果的正负，所以通常需要将式子化成乘积的形式. 22．（1）f (x )min ＝－10，f (x )max ＝26；（2）(－∞，－10].【解析】试题分析：（1）由题意可得，f (x )＝4x －2·2x ＋1－6，令t=2x ，从而可转化为二次函数在区间[1，8]上的最值的求解（2）由题意可得，a≤f （x ）恒成立⇔a ≤f （x ）min 恒成立，结合（1）可求 试题解析：(1)f (x )＝(2x )2－4·2x －6(0≤x ≤3)． 令t ＝2x，∵0≤x ≤3，∴1≤t ≤8.则h (t )＝t 2－4t －6＝(t －2)2－10(1≤t ≤8)．当t ∈[1,2]时，h (t )是减函数；当t ∈(2,8]时，h (t )是增函数． ∴f (x )min ＝h (2)＝－10，f (x )max ＝h (8)＝26. (2)∵f (x )－a ≥0恒成立，即a ≤f (x )恒成立， ∴a ≤f (x )min 恒成立．由(1)知f (x )min ＝－10，∴a ≤－10. 故a 的取值范围为(－∞，－10]．23．（1）(2,3]；（2）2log (1x =． 【解析】试题分析：（1）化简函数的解析为||||11()2()222x x g x =+=+，根据||10()12x <≤，即可求解函数的值域；（2）由()()0f x g x -=，得||12202xx --=，整理得到2(2)2210x x -⋅-=，即可求解方程的解．试题解析：（1）||||11()2()222x x g x =+=+， 因为||0x ≥，所以||10()12x <≤，即2()3g x <≤，故()g x 的值域是(2,3]．（2）由()()0f x g x -=，得||12202xx --=， 当0x ≤时，显然不满足方程，即只有0x >时满足12202xx --=，整理得2(2)2210x x -⋅-=，2(21)2x -=，故21x =±因为20x >，所以21x =2log (1x =． 考点：指数函数的图象与性质．24．（1）2a =，定义域为()1,3-；（2）2 【解析】 【分析】（1）由()12f =,可求得a 的值,结合对数的性质,可求出()f x 的定义域; （2）先求得()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性,进而可求得函数的最大值.【详解】（1）()1log 2log l 242og a a a f =+==,解得2a =. 故()()22log 1)g 3(lo f x x x =++-, 则1030x x +>⎧⎨->⎩,解得13x -<<,故()f x 的定义域为()1,3-.（2）函数()()()()()222log 1log 3log 31f x x x x x =++-=-+,定义域为()1,3-,()130,2,3⎡⎤⊆⎥-⎢⎣⎦,由函数2log y x =在()0,∞+上单调递增,函数()()31y x x =-+在[)0,1上单调递增,在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,可得函数()f x 在[)0,1上单调递增,在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 故()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()21log 42f ==.【点睛】本题考查了函数的定义域,考查了函数的单调性与最值,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.25．（1）a=1,b=0;(2) (],0-∞. 【解析】 【分析】（1）依据题设条件建立方程组求解；（2）将不等式进行等价转化，然后分离参数，再换元利用二次函数求解. 【详解】（1）()()2g x a x 11b a =-++-，因为a 0>，所以()g x 在区间[]23，上是增函数， 故()()21{34g g ==，解得1{0a b ==． （2）由已知可得()12=+-f x x x ，所以()20-≥x f kx 可化为12222+-≥⋅x x x k ， 化为2111+222-⋅≥x x k （），令12=x t ，则221≤-+k t t ，因[]1,1∈-x ，故1,22⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t ， 记()221=-+h t t t ，因为1,22⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t ，故()0=min h t ，所以k 的取值范围是(],0∞-． 【点睛】(1)本题主要考查二次函数的图像和性质，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力，（2）本题的关键有两点，其一是分离参数得到2111+222-⋅≥x x k （），其二是换元得到221≤-+k t t ，1,22⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t . 26．（1）1a =（2）见解析（3）1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：（1）由()f x 为奇函数可知，()()f x f x -=--，即可得解；（2）由21xy =+递增可知()11221x f x =-++在R 上为减函数，对于任意实数12,x x ，不妨设12x x <，化简()()12f x f x -判断正负即可证得； （3）不等式()()222120f m m f m mt -+++-≤，等价于()()22212f m m f m mt -++≤-+，即22212m m mmt -++≥-+，原问题转化为121t m m ≤-++在()1,2m ∈上有解，求解11y m m=-++的最大值即可. 试题解析解：(1)由()f x 为奇函数可知，()()f x f x -=--，解得1a =.(2)由21xy =+递增可知()11221x f x =-++在R 上为减函数， 证明：对于任意实数12,x x ，不妨设12x x <，()()()()21121212112221212121x x x x x x f x f x --=-=++++∵2xy =递增，且12x x <，∴1222x x <，∴()()120f x f x ->，∴()()12f x f x >，故()f x 在R 上为减函数.(3)关于m 的不等式()()222120f m m f m mt -+++-≤， 等价于()()22212f m m f m mt -++≤-+，即22212m m mmt -++≥-+，因为()1,2m ∈，所以121t m m≤-++， 原问题转化为121t m m≤-++在()1,2m ∈上有解， ∵11y m m=-++在区间()1,2上为减函数，∴11y m m =-++，()1,2m ∈的值域为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴21t <，解得12t <， ∴t 的取值范围是1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 点晴:本题属于对函数单调性应用的考察，若函数()f x 在区间上单调递增，则()()1212,,x x D f x f x ∈>且时，有12x x >，事实上，若12x x ≤,则()()12f x f x ≤，这与()()12f x f x >矛盾，类似地，若()f x 在区间上单调递减，则当()()1212,,x x D f x f x ∈>且时有12x x <；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.本题中可以利用对称性数形结合即可.。
2020-2021福州市高中必修一数学上期中一模试卷(及答案)
2020-2021福州市高中必修一数学上期中一模试卷(及答案)一、选择题1．设常数a ∈R ，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a ﹣1}，若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，2） B ．（﹣∞，2]C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）2．函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A ，若函数xy a =及log b y x =的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则a ，b 满足．A ．1a b <<B ．1b a <<C ．1b a >>D ．1a b >>4．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-≤≤⋂=Z ，则A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，， 5．1()xf x e x=-的零点所在的区间是（ ） A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．3(1,)2D ．3(,2)26．设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =UA ．{}123,4，， B ．{}123，， C ．{}234，， D ．{}134，， 7．函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是A ．（-2，-1）B ．（-1,0）C ．（0,1）D ．（1,2）8．定义在R 上的奇函数()f x 满足()1(2)f x f x +=-，且在()0,1上()3xf x =，则()3log 54f =（ ）A ．32B ．23-C ．23D ．32-9．已知函数(),1log ,1x a a x f x x x ⎧≤=⎨>⎩（1a >且1a ≠），若()12f =，则12f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．1-B ．12- C ．12 D ．210．函数2ln(1)y 34x x x +=--+的定义域为（ ） A ．(41)--，B ．(41)-，C ．(11)-， D ．(11]-， 11．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，若实数a 满足()()120f a f a +->，则a 的取值范围是（ ） A ．()1,1-B ．()0,1C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭12．已知函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，且()()f x f x -=，若12log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.22b f -=，12c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >> 二、填空题13．若函数()24,43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩恰有2个零点，则λ的取值范围是______. 14．若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围是 15．函数y=232x x --的定义域是 . 16．函数的定义域为______________．17．已知函数(1)4f x x +=-，则()f x 的解析式为_________.18．计算：__________．19．有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两种都没买的有 人.20．若关于 x 的方程2420x x a ---= 在区间 (1, 4) 内有解，则实数 a 的取值范围是_____．三、解答题21．已知函数f (x )＝4x －2·2x ＋1－6，其中x ∈[0,3]． (1)求函数f (x )的最大值和最小值；(2)若实数a 满足f (x )－a ≥0恒成立，求a 的取值范围．22．已知定义域为R 的函数()221x x af x -+=+是奇函数．()1求实数a 的值；()2判断函数()f x 在R 上的单调性，并利用函数单调性的定义加以证明．23．已知函数21()(,,)ax f x a b c Z bx c+=∈+是奇函数，且(1)2,(2)3f f =<（1）求a ，b ，c 的值；（2）判断函数()f x 在[1,)+∞上的单调性，并用定义证明你的结论； （3）解关于t 的不等式：2(1)(3)0f t f t --++>．24．已知二次函数()f x 满足(0)2f =，且(1)()23f x f x x +-=+. （1）求()f x 的解析式；（2）设函数()()2h x f x tx =-，当[1,)x ∈+∞时，求()h x 的最小值；（3）设函数12()log g x x m =+，若对任意1[1,4]x ∈，总存在2[1,4]x ∈，使得()()12f x g x >成立，求m 的取值范围.25．已知函数()lg(2)lg(2)f x x x =++-. （1）求函数()y f x =的定义域； （2）判断函数()y f x =的奇偶性； （3）若(2)()f m f m -<，求m 的取值范围.26．近年来，雾霾日趋严重，雾霾的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题，某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律，每生产该型号空气净化器x （百台），其总成本为()P x （万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()Q x （万元）满足20.522,016(){224,16x x x Q x x -+≤≤=>，假定该产品销售平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）求利润函数()y f x =的解析式（利润=销售收入-总成本）； （2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：B 【解析】 试题分析：当时，，此时成立，当时，，当时，，即，当时，，当时，恒成立，所以a 的取值范围为，故选B.考点：集合的关系2．C解析：C 【解析】 【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论． 【详解】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ． 故选C ． 【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．3．A解析：A 【解析】 【分析】由,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，求得,M N 的坐标，分别代入指数函数和对数函数的解析式，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】由题意知(1,1)A ，且,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，所以11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 把11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数xy a =，即1313a =，解得127a =，把22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数log b y x =，即22log 33b =，即得3222639b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以1a b <<. 故选A.本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答熟练应用指数函数和对数函数的解析式求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．B解析：B 【解析】试题分析：依题意{}{}2,1,0,1,1,0,1,2,3,M N =--=-∴{}1,0,1M N ⋂=-. 考点：集合的运算5．B解析：B 【解析】函数f （x ）=e x ﹣1x 是（0，+∞）上的增函数，再根据f （12）2＜0，f （1）=e ﹣1＞0，可得f （12）f （1）＜0，∴函数f （x ）=e x ﹣1x 的零点所在的区间是（12，1），故选B ．点睛：判定函数的零点所在区间，只需计算区间端点处的函数值，并判断是否异号，只要异号，则区间内至少有一个零点存在.6．A解析：A 【解析】由题意{1,2,3,4}A B =U ，故选A. 点睛:集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．7．B解析：B 【解析】试题分析：因为函数f(x)=2x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=153022-=-<,f （0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B ． 考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．8．D【解析】 【分析】由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()354f log =()3log 23f +， 则()354f log =()31log 21f -+，且()()331log 21log 21f f +=--， 由于()3log 211,0-∈-，故()()31log 2333log 211log 232f f --=--=-=-，据此可得：()()3312log 21log 213f f +=-=-，()354f log =32-.本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．C解析：C 【解析】 【分析】由()12f =，求得2a =，得到函数的解析式，进而可求解1(())2f f 的值，得到答案． 【详解】由题意，函数(),1(1log ,1x a a x f x a x x ⎧≤=>⎨>⎩且1)a ≠，()12f =， 所以()12f a ==，所以()22,1(1log ,1x x f x a x x ⎧≤=>⎨>⎩且1)a ≠，所以121()22f ==所以211(())log 22f f f ===，故选C ． 【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解，以及函数值的运算问题，其中解答中根据题意准确求得函数的解析式，合理利用解析式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．10．C解析：C要使函数有意义，需使210{340x x x +>--+>，即1{41x x >--<<，所以1 1.x -<<故选C11．B解析：B 【解析】 【分析】求出函数()y f x =的定义域，分析函数()y f x =的单调性与奇偶性，将所求不等式变形为()()21f a f a >-，然后利用函数()y f x =的单调性与定义域可得出关于实数a 的不等式组，即可解得实数a 的取值范围. 【详解】对于函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，有1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<，则函数()y f x =的定义域为()1,1-，定义域关于原点对称，()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=--+=-，所以，函数()y f x =为奇函数，由于函数()1ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数，函数()2ln 1y x =-在区间()1,1-上为减函数，所以，函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--在()1,1-上为增函数， 由()()120f a f a +->得()()()1221f a f a f a >--=-，所以，11112121a a a a -<<⎧⎪-<-<⎨⎪>-⎩，解得01a <<.因此，实数a 的取值范围是()0,1. 故选：B. 【点睛】本题考查函数不等式的求解，解答的关键就是分析函数的单调性和奇偶性，考查计算能力，属于中等题.12．B解析：B 【解析】 【分析】由偶函数的性质可得出函数()y f x =在区间()0,∞+上为减函数，由对数的性质可得出12log 30<，由偶函数的性质得出()2log 3a f =，比较出2log 3、 1.22-、12的大小关系，再利用函数()y f x =在区间()0,∞+上的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】()()f x f x -=Q ，则函数()y f x =为偶函数，Q 函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，在该函数在区间()0,∞+上为减函数，1122log 3log 10<=Q ，由换底公式得122log 3log 3=-，由函数的性质可得()2log 3a f =，对数函数2log y x =在()0,∞+上为增函数，则22log 3log 21>=， 指数函数2xy =为增函数，则 1.2100222--<<<，即 1.210212-<<<， 1.22102log 32-∴<<<，因此，b c a >>. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系，同时也考查了利用中间值法比较指数式和代数式的大小关系，涉及指数函数与对数函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题13．【解析】【分析】根据题意在同一个坐标系中作出函数和的图象结合图象分析可得答案【详解】根据题意在同一个坐标系中作出函数和的图象如图：若函数恰有2个零点即函数图象与轴有且仅有2个交点则或即的取值范围是：解析：(1，3](4,)+∞U ． 【解析】 【分析】根据题意，在同一个坐标系中作出函数4y x =-和243y x x =-+的图象，结合图象分析可得答案． 【详解】根据题意，在同一个坐标系中作出函数4y x =-和243y x x =-+的图象，如图：若函数()f x 恰有2个零点，即函数()f x 图象与x 轴有且仅有2个交点， 则13λ<…或4λ>，即λ的取值范围是：(1，3](4,)+∞U 故答案为：(1，3](4,)+∞U ．【点睛】本题考查分段函数的图象和函数的零点，考查数形结合思想的运用，考查发现问题解决问题的能力.14．【解析】【分析】【详解】由得由整数有且仅有123知解得 解析：(5,7)【解析】 【分析】 【详解】 由|3|4x b -<得4433b b x -+<< 由整数有且仅有1，2，3知40134343b b -⎧≤<⎪⎪⎨+⎪<≤⎪⎩，解得57b <<15．【解析】试题分析：要使函数有意义需满足函数定义域为考点：函数定义域解析：[]3,1-【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足2232023031x x x x x --≥∴+-≤∴-≤≤，函数定义域为[]3,1- 考点：函数定义域16．-11【解析】【分析】根据定义域基本要求可得不等式组解不等式组取交集得到结果【详解】由题意得：1-x2≥02cosx -1>0⇒-1≤x≤1cosx>12cosx>12⇒x ∈-π3+2kππ3+2kπ 解析：【解析】 【分析】根据定义域基本要求可得不等式组，解不等式组取交集得到结果.【详解】 由题意得：，函数定义域为：【点睛】本题考查具体函数定义域的求解问题，关键是根据定义域的基本要求得到不等式组.17．【解析】【分析】利用换元法求解析式即可【详解】令则故故答案为【点睛】本题考查函数解析式的求法换元法是常见方法注意新元的范围是易错点 解析：2()23(1)f x x x x =--≥【解析】 【分析】利用换元法求解析式即可 【详解】 令11t x =+≥，则()21x t =-故()()214f t t =--=223(1)t t t --≥ 故答案为2()23(1)f x x x x =--≥ 【点睛】本题考查函数解析式的求法，换元法是常见方法，注意新元的范围是易错点18．4【解析】原式=log3332+lg(25×4)+2-(23)3-13=32+2+2-32=4故填4 解析：【解析】原式=,故填.19．【解析】【分析】【详解】试题分析：两种都买的有人所以两种家电至少买一种有人所以两种都没买的有人或根据条件画出韦恩图：(人)考点：元素与集合的关系 解析：【解析】 【分析】 【详解】试题分析：两种都买的有人，所以两种家电至少买一种有人.所以两种都没买的有人.或根据条件画出韦恩图：(人).考点：元素与集合的关系.20．-6-2)【解析】【分析】转化成f(x)=与有交点再利用二次函数的图像求解【详解】由题得令f(x)=所以所以故答案为-6-2)【点睛】本题主要考查二次方程的有解问题考查二次函数的图像和性质意在考查学解析：[-6,-2) 【解析】 【分析】转化成f(x)=242x x --与y a =有交点, 再利用二次函数的图像求解. 【详解】由题得242x x a --=，令f(x)=()242,1,4x x x --∈,所以()()[)2242266,2f x x x x =--=--∈--， 所以[)6,2a ∈-- 故答案为[-6,-2) 【点睛】本题主要考查二次方程的有解问题，考查二次函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.三、解答题21．（1）f (x )min ＝－10，f (x )max ＝26；（2）(－∞，－10].【解析】试题分析：（1）由题意可得，f (x )＝4x －2·2x ＋1－6，令t=2x ，从而可转化为二次函数在区间[1，8]上的最值的求解（2）由题意可得，a≤f （x ）恒成立⇔a ≤f （x ）min 恒成立，结合（1）可求 试题解析：(1)f (x )＝(2x )2－4·2x－6(0≤x ≤3)． 令t ＝2x ，∵0≤x ≤3，∴1≤t ≤8.则h (t )＝t 2－4t －6＝(t －2)2－10(1≤t ≤8)．当t ∈[1,2]时，h (t )是减函数；当t ∈(2,8]时，h (t )是增函数． ∴f (x )min ＝h (2)＝－10，f (x )max ＝h (8)＝26. (2)∵f (x )－a ≥0恒成立，即a ≤f (x )恒成立，∴a ≤f (x )min 恒成立．由(1)知f (x )min ＝－10，∴a ≤－10. 故a 的取值范围为(－∞，－10]． 22．（1）1；（2）减函数，证明见解析 【解析】 【分析】（1）奇函数在0x =处有定义时，()00f =，由此确定出a 的值，注意检验是否为奇函数；（2）先判断函数单调性，然后根据函数单调性的定义法完成单调性证明即可. 【详解】()1根据题意，函数()221x x af x -+=+是定义域为R 奇函数，则()0020021af -+==+，解可得1a =，当1a =时，()()12121212x xx xf x f x -----=-==-++，为奇函数，符合题意； 故1a =；()2由()1的结论，()12121221x x xf x -==-++，在R 上为减函数； 证明：设12x x <，则()()()()()2212121222112221212121x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 又由12x x <，则()21220x x->，()1210x+>，()2210x+>， 则()()120f x f x ->， 则函数()f x 在R 上为减函数． 【点睛】本题考查函数奇偶性单调性的综合应用，难度一般.(1)定义法证明函数单调性的步骤：假设、作差、变形、判号、下结论；(2)当奇函数在0x =处有定义时，一定有()00f =. 23．⑴1,0a b c ===⑵增函数⑶22t -<< 【解析】 【分析】 【详解】（1）()f x Q 为奇函数，()()f x f x ∴-=-即2211ax ax bx c bx c++=--++得bx c bx c -+=--解得0c =又1(1)221a f b a b+==⇒=+Q 412(2)32021a a fb a +-=<⇒<+Q 解得1201a a Z a a -<<∈∴==Q 或 当0a =时12b =与b Z ∈矛盾舍，当1a =时1b =综上1,0a b c === ⑵函数()f x 在[1,)+∞上为增函数任取1212,[1,),x x x x ∈+∞<且则2212121212121211()(1)()()x x x x x x f x f x x x x x ++---=-= 1212,[1,),x x x x ∈+∞<Q 且1212(1,),0x x x x ∴⋅∈+∞-<且 1212()()0()()f x f x f x f x ∴-<<即得证函数()f x 在[1,)+∞上为增函数⑶222(1)(3)0(3)(1)(1)f t f t f t f t f t --++>∴+>---=+Q211,31t t +≥+>Q ，函数()f x 在[1,)+∞上为增函数 213(1)(2)0t t t t ∴+<+⇒+-<解得222t t <⇒-<<考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明24．（1）2()22f x x x =++；（2）min 252,2,()21, 2.t t h x t t t -⎧=⎨-++>⎩…；（3）7m < 【解析】 【分析】(1) 根据二次函数()f x ,则可设2()(0)f x ax bx c a =++≠,再根据题中所给的条件列出对 应的等式对比得出所求的系数即可.(2)根据(1)中所求的()f x 求得2()2(1)2h x x t x =+-+,再分析对称轴与区间[1,)+∞的位置关系进行分类讨论求解()h x 的最小值即可.(3)根据题意可知需求()f x 与()g x 在区间上的最小值.再根据对数函数与二次函数的单调性求解最小值即可. 【详解】(1)设2()(0)f x ax bx c a =++≠. ①∵(0)2f =,∴(0)2f c ==, 又∵(1)()1f x f x x +-=+,∴22(1)(1)2223a x b x ax bx x ++++---=+,可得223ax a b x ++=+, ∴21,3,a a b =⎧⎨+=⎩解得12a b =⎧⎨=⎩，，即2()22f x x x =++.(2)由题意知,2()2(1)2h x x t x =+-+,[1,)x ∈+∞,对称轴为1x t =-.①当11t -„,即2t „时,函数h (x )在[1,)+∞上单调递增, 即min ()(1)52h x h t ==-；②当11t ->,即2t >时,函数h (x )在[1,1)t -上单调递减,在[1,)t -+∞上单调递增,即2min ()(1)21h x h t t t =-=-++.综上,min 252,2,()21, 2.t t h x t t t -⎧=⎨-++>⎩„ (3)由题意可知min min ()()f x g x >,∵函数()f x 在[1,4]上单调递增,故最小值为min ()(1)5f x f ==, 函数()g x 在[1,4]上单调递减,故最小值为min ()(4)2g x g m ==-+, ∴52m >-+,解得7m <. 【点睛】本题主要考查利用待定系数法求解二次函数解析式的方法,二次函数对称轴与区间关系求解最值的问题,以及恒成立和能成立的问题等.属于中等题型. 25．（1）{|22}x x -<<（2）偶函数（3）01m << 【解析】 【分析】 【详解】（Ⅰ）要使函数有意义，则，得.函数的定义域为. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，函数的定义域为，关于原点对称，对任意，.由函数奇偶性可知，函数为偶函数.（Ⅲ）函数由复合函数单调性判断法则知，当时，函数为减函数又函数为偶函数，不等式等价于，得.26．（Ⅰ）20.51212,016(){21210,16x x x f x x x -+-≤≤=-> ;（Ⅱ）12 .【解析】试题分析：（1）先求得()P x ，再由()()()f x Q x P x =-，由分段函数式可得所求；（2）分别求出各段的最大值，注意运用一次函数和二次函数的单调性求最值法，然后比较两个最值即可得到结果.试题解析：（1）由题意得()1210P x x =+∴()()()20.51212,016{21210,16x x x f x Q x P x x x -+-≤≤=-=-> .（2）当16x >时， 函数()f x 递减，∴()()1652f x f <=万元 当016x ≤≤时，函数()()20.51260f x x =--+当12x =时，()f x 有最大值60万元 所以当工厂生产12百台时，可使利润最大为60万元 .【方法点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏，分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者).。
福建省福州八中、仙游一中2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案
仙游一中福州八中2020─2021学年度上学期期中考试高一数学试卷命题：杨超拔 审核：郑加金 满分：150分 答卷时间：120分钟★祝考试顺利★第1卷（选择题 共60分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．命题“对任意x R ∈，都有221x x +<”的否定是（ ）A ．对任意x R ∈，都有221x x +> B ．存在x R ∈，使得221x x +≥ C ．存在x R ∈，使得221x x +>D ．不存在x R ∈，使得221x x +<2．下列各组函数中，两个函数相同的是（ ）A ．()1f x x =-，2()g x = B ．()1f x x =-，()g x =C ．()f x x =，()g x =D ．24()2x f x x -=-，()2g x x =+3．已知点24在幂函数()y f x =的图象上，则()f x 的表达式（ ） A ．3()f x x = B ．()3x f x =C ．2()f x x -=D ．1()()2xf x =4．设:p x >，2:2q x >，则p 是q 成立的（ ）A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．必要不充分条件D ．充分不必要条件5．函数(1)||xxa y a x =>的图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．6．若命题“存在0x R =，使220x x m --=”是真命题，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞-B ．[)1,-+∞C ．[]1,1-D ．()1,-+∞7．已知集合{}2|60M x x x =--=，{}|N x x a =<，若N M ⋂≠∅，则a 的取值范围是（ ）A ．3a ≥B ．2a ≥-C ．3a >D ．2a >-8．已知0x >，0y >，且11132x y +=+，则x y +的最小值为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8二、多项选择题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分． 9．下列判断正确的是（ ）A ．0∈∅B ．1y x=是定义域上的减函数 C ．1x <-是不等式10x x->成立的充分不必要条件 D ．函数11xy a =-+（0a >且1a ≠）过定点()1,2 10．当x R ∈且0x ≠时，下列不等式恒成立的是（ ）A ．2||1012x x <≤+ B ．1||2x x+≥ C ．12x x+≥ D ．12x x+≤- 11．函数()y f x =的图象如图所示，则以下描述正确的是（ ）A ．函数()f x 的定义域为[)4,4-B ．函数()f x 的值域为[0,)+∞C ．此函数在定义域内是增函数D ．对于任意的,()5y ∈+∞，都有唯一的自变量x 与之对应12．非空集合A 中的元素个数用()A 表示，对于非空集合A 、B ，定义()A B -为：当()()A B ≥时，()A B -()()A B =-，当()()A B <时，()()()A B B A -=-．若{}1,2A =，{}2||45|B x x x a =--=，且()1A B -≤，则a 的可能取值为（ ）A ．0B ．6C ．9D ．12第Ⅱ卷（非选择题 共90分）三、填空题（本大题共4题，每题5分，共20分．请将答案填到答题卷上对应的位置处．）131038()0.12527+=___________．14．已知2(1)1f x x +=-，则()f x =___________．15．函数()f x 的定义域为()0,3，则函数(1)1f x y x +=-的定义域是___________．16．若关于x 的函数5420192020()x x f x t x t+=++的最大值为M ，最小值为N ，且8M N +=，则实数t的值为___________．四、解答题（本大题共有6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本题满分10分）已知全集R U=，集合0R 213{|}A x x =∈-≤，集合1|24R 2x B x ⎧⎫=∈<≤⎨⎬⎩⎭．（1）求A B ⋂及()R C A B ⋃；（2）若集合2,{,}0|C x R a x a a C B =∈≤<>⊆，求实数a 的取值范围． 18．（本题满分12分）已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，21()f x x x =-． （1）求()2f -的值；（2）用函数单调性的定义证明：函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； （3）求函数()f x 在R x ∈上的解析式． 19．（本题满分12分）已知函数()2xf x =-．（1）求322(0)22f --的值；（2）若函数()()()h x f x g x =+，且()h x ，()g x 满足下列条件：①()h x 为偶函数；②()2h x ≥且x R ∃∈使得()2h x =；③()0g x >且()g x 恒过()0,1点．写出一个符合题意的函数()g x ，并说明理由．20．（本题满分12分）已知函数2()(1)1,R f x ax a x a =-++∈． （1）若不等式()0f x <的解集为1(,1)2求a 的值； （2）若0a >，讨论关于x 不等式()0f x >的解集． 21．（本题满分12分）已知二次函数2()1()f x x kx k R -+∈=．（1）若()f x 在区间[2,)+∞上单调递增，求实数k 的取值范围； （2）若2k =，当[]1,1x ∈-时，求(2)xf 的最大值；（3）若()0f x ≥在,()0x ∈+∞上恒成立，求实数k 的取值范围． 22．（本题满分12分）某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格()P x （元）与时间x （天）的函数关系近似满足()1kP x x=+（为正常数）．该商品的日销售量()Q x （个）与时间x （天）部分数据如下表所示：已知第10天该商品的日销售收入为121元． （1）求k 的值；（2）给出以下二种函数模型：①()Q x ax b =+，②()25Q x a x b =-+，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量()Q x 与时间x 的关系，并求出该函数的解析式；（3）求该商品的日销售收入()130,()f x x x N +≤≤∈（元）的最小值．（函数()(0,0)kf x x x k x=+>>，在区间上单调递减，在区间)+∞上单调递增．性质直接应用．）仙游一中福州八中2020—2021学年度上学期期中考试高一数学试卷答案与评分标准一、二、选择题（每题5分，共计60分）（1）B （2）C （3）A （4）D （5）C （6）B （7）D （8）A （9）CD （10）AB （11）BD （12）ACD 三、填空题（每题5分，共计20分） 13．5 14．215．()()1,11,2-16．4四、解答题17．（本小题满分10分）解：（1）由02131x -≤=得1x ≤，所以{|1}A x x =≤由1242x <≤即12222x -<≤得12x -<≤， 所以12{|}B x x =-<≤ 所以1|}1{A B x x ⋂=-<≤(){}|1R C A x x =>4 (){}1|R C A B x x =>-（2）因为C B ⊆，且0a >所以22a ≤，1a ≤故所求a 的取值范围为：01a <≤．18．（本小题满分12分）解：（1）因为当0x >时，21()f x x x=-所以217(2)224f =-= 又因为()f x 为奇函数，所以7(2)(2)4f f -=-=- （2）1212,(0,),x x x x ∀∈+∞<则()()()1212122212x x x x x x x x -+=-+()121222121x x x x x x ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭1212222111()()f x f x x x x x -=-+- 2212122212()x x x x x x -=-+因为12,(0,)x x ∈+∞，所以12221210x x x x ++>； 因为12x x <，所以120x x -<．所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x < 所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增 （3）当0x <时，0x ->所以2211()()()()f x f x x x x x ⎡⎤=--=---=+⎢⎥-⎣⎦又因为()00f =所以函数()f x 在x ∈R 上的解析式为：221,0()0,01,0x x x f x x x x x⎧->⎪⎪==⎨⎪⎪+<⎩19．（本小题满分12分）解：（1）由题意知：322(0)22f --⨯3102222222-=-⨯⨯31202212120+-=-=-=．（2）满足题意的函数()2xg x =证明如下：①因为()22xxh x -=+， 所以()()2222()xx x x h x h x -----=+=+=所以()22x xh x -=+为偶函数②()222x x h x -=+≥=== 当且仅当22x x-=，即0x =时等号成立．③()20xg x =>，()g x 恒过()0,1点．20．（本小题满分12分）解：（1）因为()0f x <的解集为1(,1)2所以12，1为方程2(1)10ax a x -++=的两个根由韦达定理得：132112a a a +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2a =（2）由()0f x >得：2(1)10ax a x -++>，所以()()110ax x -->①当01a <<时，11a>，不等式的解集是1|1{}x x x a <>或②当1a =时，不等式可化为2(1)0x ->，不等式的解集是{|}1x x ≠ ③当1a >时，101a <<，不等式的解集是1|1x x x a <>⎧⎫⎨⎬⎩⎭或综上可得，当01a <<时，不等式的解集是1|1{}x x x a<>或； 当1a =时，不等式的解集是{|}1x x ≠； 当1a >时，不等式的解集是1|1x x x a <>⎧⎫⎨⎬⎩⎭或． 21．（本小题满分12分）解：（1）若()f x 在,()2x ∈+∞单调递增，则22k≤， ∴4k ≤（2）当2k =时，2()21f x x x =-+令2xt =，因为[]1,1x ∈-，所以1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以22(2)()21(1)x f f t t t t ==-+=-，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以2()21f t t t =-+在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，[]1,2上单调递增，又11()(2)124f f =<=∴max max (2)()(2)1xf f t f === （3）因为()0f x ≥在,()0x ∈+∞上恒成立，所以210x kx +≥-在,()0x ∈+∞恒成立， 即1k x x≤+在,()0x ∈+∞恒成立 令1()g x x x=+，则1()2g x x x =+≥=，当且仅当1x =时等号成立 ∴2k ≤．21．（本题满分12分）解：（1）依题意知第10天该商品的日销售收入为(10)(10)(1)11012110Q kP ⋅=+⨯=，解1k =． （2）由题中的数据知，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减并不单调，故只能选②()25Q x a x b =-+．从表中任意取两组值代入可求得()12525130),(Q x x x x N +=--≤≤∈ （3）由（2）知100,125,()125|25|150,2530,x x x N Q x x x x x N +++≤<∈⎧=--=⎨-≤≤∈⎩∴100101,125,()()()150149,2530,x x x N xf x P x Q x x x x N x ++⎧++≤<∈⎪⎪=⋅=⎨⎪+≤≤∈⎪⎩当125x ≤<时，100y x x=+在区间[]1,10上是单调递减的，在区间[)10,25上是单调递增， 所以当10x =时，()f x 取得最小值，且()min 121f x =；当2530x ≤≤时，150y x x=-是单调递减的，所以当30x =时，()f x 取得最小值，且()min 124f x =． 综上所述，当10x =时，()f x 取得最小值，且()min 121f x =． 故该商品的日销售收入()f x 的最小值为121元．。
2020-2021福州市高中必修一数学上期中试题附答案
2020-2021福州市高中必修一数学上期中试题附答案一、选择题1．已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-≤≤⋂=Z ，则A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，， 3．设()(),0121,1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2B ．4C ．6D ．84．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③5．设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，6．设log 3a π=，0.32b =，21log 3c =，则（ ） A ．a c b >> B ．c a b >>C ．b a c >>D ．a b c >>7．如图，U 为全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．()M P S ⋂⋂B ．()M P S ⋂⋃C ．()()U M P S ⋂⋂ðD ．()()U M P S ⋂⋃ð8．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是 A ．(,2)-∞- B ．(,1)-∞ C ．(1,)+∞ D ．(4,)+∞10．函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．11．函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．12．三个数20.420.4,log 0.4,2a b c ===之间的大小关系是（ ）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．b c a <<二、填空题13．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，记2()()g x f x x =-，且函数()g x 在区间[0,)+∞上是增函数，则不等式2(2)(2)4f x f x x +->+的解集为_____14．已知函数()32f x x x =+，若()()2330f a a f a -+-<，则实数a 的取值范围是__________．15．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是减函数,则不等式()()1ln f f x <的解集是________.16．若函数()f x 满足()3298f x x +=+，则()f x 的解析式是_________. 17．若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 ．18．函数6()12log f x x =-的定义域为__________．19．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图像关于直线12x =对称，则(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++= ．20．若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的值为_______.三、解答题21．已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><，在同一周期内，当12x π=时，()f x 取得最大值4：当712x π=时，()f x 取得最小值4-. （1）求函数()f x 的解析式； （2）若,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()()21h x f x t =+-有两个零点，求实数t 的取值范围. 22．已知函数24()(0,1)2x xa af x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数. （1）求a 的值：（2）求函数()f x 的值域；（3）当[]1,2x ∈时，()220xmf x +->恒成立，求实数m 的取值范围.23．某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为212m ，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元.如果墙高为3m ，且不计房尾背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低造价是多少？ 24．已知集合A={x|x ＜-1，或x ＞2}，B={x|2p-1≤x≤p+3}．（1）若p=12，求A∩B；（2）若A∩B=B，求实数p 的取值范围． 25．已知函数f (x )=log a (x+1)-log a (1-x ),a>0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域;(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明; (3)当a>1时,求使f (x )>0的解集.26．为了研究某种微生物的生长规律，研究小组在实验室对该种微生物进行培育实验．前三天观测的该微生物的群落单位数量分别为12，16，24．根据实验数据，用y 表示第()*x x ∈N 天的群落单位数量，某研究员提出了两种函数模型；①2y ax bx c =++；②x y p q r =⋅+，其中a ，b ，c ，p ，q ，r 都是常数．（1）根据实验数据，分别求出这两种函数模型的解析式；（2）若第4天和第5天观测的群落单位数量分别为40和72，请从这两个函数模型中选出更合适的一个，并计算从第几天开始该微生物群落的单位数量超过1000．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义， 集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4， 原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.2．B解析：B 【解析】试题分析：依题意{}{}2,1,0,1,1,0,1,2,3,M N =--=-∴{}1,0,1M N ⋂=-.考点：集合的运算3．C解析：C 【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =得2(11)a a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．4．C解析：C 【解析】 【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴Q 为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．5．D解析：D 【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.6．C解析：C 【解析】 【分析】先证明c<0,a>0,b>0,再证明b>1,a<1，即得解. 【详解】 由题得21log 3c =2log 10<=，a>0,b>0. 0.30log 3log 1,22 1.a b πππ====所以b a c >>.故答案为C 【点睛】(1)本题主要考查指数函数对数函数的单调性，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）实数比较大小，一般先和“0”比，再和“±1”比.7．C解析：C 【解析】 【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可．【详解】图中的阴影部分是： M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集,即是C U S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P ）∩(∁U S). 故选C ． 【点睛】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．8．C解析：C 【解析】 【分析】根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20207312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果. 【详解】∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f（x ）的周期为4；∴f（2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C. 【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.9．D解析：D 【解析】由228x x -->0得：x ∈(−∞,−2)∪(4,+∞)， 令t =228x x --，则y =ln t ，∵x ∈(−∞,−2)时,t =228x x --为减函数； x ∈(4,+∞)时,t =228x x --为增函数； y =ln t 为增函数，故函数f (x )=ln(228x x --)的单调递增区间是(4,+∞)， 故选D.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,() y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,()y f x =为外层函数.当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增； 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增.简称为“同增异减”.10．C解析：C 【解析】 由题意知，函数sin 21cos xy x =-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，故排除D ；当1x =时，sin 201cos 2y =>-，故排除A ．故选C ． 点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．11．B解析：B 【解析】 【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果． 【详解】设32()22x x x y f x -==+，则332()2()()2222x x x xx x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ．【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．12．B解析：B 【解析】20.4200.41,log 0.40,21<<Q ,01,0,1,a b c b a c ∴<<∴<<，故选B.二、填空题13．【解析】【分析】根据题意分析可得为偶函数进而分析可得原不等式转化为结合函数的奇偶性与单调性分析可得解可得的取值范围【详解】根据题意且是定义在上的偶函数则则函数为偶函数又由为增函数且在区间上是增函数则 解析：()(),40,-∞-+∞U【解析】 【分析】根据题意，分析可得()g x 为偶函数，进而分析可得原不等式转化为()()22g x g +>，结合函数的奇偶性与单调性分析可得22x +>，解可得x 的取值范围． 【详解】根据题意()()2g x f x x =-，且()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()()()()22g x f x x f x x g x -=---=-=，则函数()g x 为偶函数，()()()()()()()22224222422f x f x x f x x f g x g +->+⇒+--⇒+>>+，又由()g x 为增函数且在区间[0,)+∞上是增函数，则22x +>， 解可得：4x <-或0x >，即x 的取值范围为()(),40,-∞-+∞U ， 故答案为()(),40,-∞-+∞U ； 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析()g x 的奇偶性与单调性，属于中档题．14．(13)【解析】由题意得为单调递增函数且为奇函数所以点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式然后根据函数的单调性去掉转化为具体的不等式(组)此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内解析：(1,3) 【解析】由题意得()f x 为单调递增函数,且为奇函数,所以()()2330f a a f a -+-<22(3)(3)3313f a a f a a a a a ⇒-<-⇒-<-⇒<<点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内15．【解析】由定义在实数集上的偶函数在区间上是减函数可得函数在区间上是增函数所以由不等式得即或解得或即不等式的解集是;故答案为解析：()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭【解析】由定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是减函数,可得函数()f x 在区间()0+∞，上是增函数,所以由不等式()()1ln f f x <得ln 1x >,即ln 1x >或ln 1x <-,解得x e >或10e x <<,即不等式()()1ln f f x <的解集是()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭;故答案为()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭. 16．【解析】【分析】设带入化简得到得到答案【详解】设代入得到故的解析式是故答案为：【点睛】本题考查了利用换元法求函数解析式属于常用方法需要学生熟练掌握解析：()32f x x =+ 【解析】 【分析】设32t x =+，带入化简得到()32f t t =+得到答案. 【详解】()3298f x x +=+，设32t x =+ 代入得到()32f t t =+故()f x 的解析式是() 32f x x =+ 故答案为：()32f x x =+ 【点睛】本题考查了利用换元法求函数解析式，属于常用方法，需要学生熟练掌握.17．-8【解析】试题分析：设当且仅当时成立考点：函数单调性与最值解析：-8 【解析】 试题分析：2tan 1tan 1,42xx x ππ∴∴Q设2tan t x =()()()2221412222142248111t t t y t t t t -+-+∴==-=----≤-⨯-=----当且仅当2t =时成立考点：函数单调性与最值18．【解析】要使函数有意义则必须解得：故函数的定义域为：点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0(3)一次函数二次函数的定义域均为R(4解析：(0,6⎤⎦ 【解析】 要使函数()f x 有意义，则必须6012log 0x x >⎧⎨-≥⎩，解得：06x ≤<， 故函数()f x 的定义域为：(0,6⎤⎦．点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y ＝x0的定义域是{x|x≠0}．(5)y ＝ax(a>0且a≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R.(6)y ＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．(7)y ＝tan x 的定义域为π{|π,}2x x k k ≠+∈Z . 19．0【解析】试题分析：的图像关于直线对称所以又是定义在上的奇函数所以所以考点：函数图象的中心对称和轴对称解析：0【解析】试题分析：()y f x =的图像关于直线12x =对称，所以()(1)f x f x =-，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(5)(15)(4)(4)f f f f =-=-=-，(3)(13)(2)(2)f f f f =-=-=-，(1)(11)(0)0f f f =-==，所以(1)(2)(3)(4)(5)0f f f f f ++++=.考点：函数图象的中心对称和轴对称.20．3【解析】令fx=x2-2x-2则由题意可得函数y=fx 与函数y=m 的图象有三个公共点画出函数fx=x2-2x-2的图象如图所示结合图象可得要使两函数的图象有三个公共点则m=3答案：3解析：3【解析】令，则由题意可得函数与函数的图象有三个公共点．画出函数的图象如图所示，结合图象可得，要使两函数的图象有三个公共点，则．答案：3 三、解答题21．（1）()4sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ （2）1439t +< 【解析】【分析】（1）根据三角函数性质确定振幅、周期以及初相，即得解析式；（2）先确定23x π+范围，再结合正弦函数图象确定实数t 满足的条件，解得结果. 【详解】（1）解：由题意知74,212122T A πππ==-=，得周期T π= 即2ππω=得，则2ω=，则()()4sin 2f x x ϕ=+ 当12x π=时，()f x 取得最大值4，即4sin 2412πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，得πsin φ16骣琪+=琪桫 得2()62k k Z ππϕπ+=+∈，，得23()k k Z πϕπ=+∈， ,ϕπ<∴Q 当0k =时，=3πϕ，因此()4sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （2）()()210h x f x t =+-=，即()12t f x -=当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，则220,33x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 当232x ππ+=时，4sin 42π= 要使()12t f x -=有两个根，则12342t -≤<，得1439t +≤< 即实数t 的取值范围是1439t +<【点睛】本题考查三角函数解析式以及利用正弦函数图象研究函数零点，考查综合分析求解能力，属中档题.22．（1）2a =（2）()1,1-（3）(10,3)+∞ 【解析】【分析】（1）利用函数是奇函数的定义求解a 即可(2)判断函数的单调性，求解函数的值域即可(3)利用函数恒成立，分离参数m ,利用换元法，结合函数的单调性求解最大值，推出结果即可.【详解】（1）∵()f x 是R 上的奇函数，∴()()f x f x -=- 即：242422x x x x a a a a a a a a---+-+=-++. 即2(4)2422x x x x a a a a a a a a+-+⋅-+-=+⋅+ 整理可得2a =.（2）222212()12222121x x x x x f x ⋅--===-⋅+++在R 上递增 ∵211x +>，22021x ∴-<-<+, 211121x ∴-<-<+ ∴函数()f x 的值域为()1,1-.（3）由()220xmf x +-> 可得，()2 2xmf x >-，21()2221x x x mf x m -=>-+. 当[]1,2x ∈时，(21)(22)21x x x m +->- 令(2113)x t t -=≤≤）， 则有(2)(1)21t t m t t t+->=-+， 函数21y t t =-+在1≤t ≤3上为增函数， ∴max 210(1)3t t -+=，103m ∴>， 故实数m 的取值范围为(10,3)+∞ 【点睛】 本题主要考查了函数恒成立条件的应用，函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，属于中档题.23．当底面的长宽分别为3m ，4m 时，可使房屋总造价最低，总造价是34600元【解析】 设房屋地面的长为米，房屋总造价为元.24．（1）722x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；（2）3 4.2p p ><-或 【解析】【分析】(1)根据集合的交集得到结果即可；（2）当A∩B=B 时，可得B ⊆A ，分B 为空集和不为空集两种情况即可.【详解】（1）当时，B={x |0≤x ≤}， ∴A∩B={x |2＜x ≤}；（2）当A∩B=B 时，可得B ⊆A ；当时，令2p -1＞p +3，解得p ＞4，满足题意； 当时，应满足解得； 即综上，实数p 的取值范围．【点睛】 与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集;（2）看这些元素满足什么限制条件;（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．25．（1）{}11x x -<<（2）函数()f x 为奇函数，证明见解析（3）{}01x x <<【解析】【分析】（1）根据题意，求函数定义域结合对数函数真数大于零得到关于x 的不等式组，求解即可得出答案。
2020-2021学年第一学期高一数学期中考试联考试卷福建省
2020-2021学年高一第一学期期中数学（时间: 120分钟， 满分: 150 分）一.选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分）1.已如集合M={-1，1，3， 5}， N=(-2，1，2，3，5} 则M ∩N=（ ）A. {-1，1，3}B.{1，2，5)C.{1，3, 5}D. ∅2.已知幂函数y= f(x)的图像过(36, 6),则此幂函数的解析式是（ ） A.31x y = B. 3x y = C.21x y = D. 2x y = 3.函数112)(2--=x x x f 的定义城为（ ） A.),21[+∞ B. (1+∞) C. )∞(1,+)21(-1, ⋃ D. )∞,1)U(1,+21[4.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )A.0>1+2x +x R,∈x 2∀B.所有菱形的4条边都相等C.若2x 为偶数，则x ∈ND.π是无理数5.设x ∈R ，则“|x-3|<1"是“x>2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6.已知x ，Y 都是正数，xy=1,则yx 41+的最小值为( ) A.3 B. 4 C. 5 D.67. 定义在R 上的偶函数f(x)满足:对任意的2121),,0[,x x x x ≠+∞∈,有0)]()()[(1212<--x f x f x x ，则（ ）A. f(3)<f(-2)<f(1)B. f(1)<f(-2)<f(3)C. f(3)<f(1)<f(-2)D. f(-2)<f(1)<f(3)8.已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x)=2f(x+2)，且当x ∈[-2,0) 时，491)(++=x x x f ，若对任意的m ∈[m ，+∞)，都有31≤f(x)，则m 的取值范围为（ ） ),511.[+∞-A ),310.[+∞-B ),25.[+∞-C ),411.[+∞-D 二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分，)9.若集合A={x|x 2-3x=0,则有（ ）A. 0⊆AB.{3}∈AC. {0,3}⊆AD.A ⊆{y|y<4}10.下列各组的数表示不同函数的是（ ） A.f （x ）=2x ，g （x ）=|x|11)(,1)(.)()(,)(.)(,1)(.2220--=+=====x x x g x x f D x x g x x f C x x g x f B11.若非零实数a ，b 满足a<b ，则下列不等式不一定成立的是（ ） A.1<b a B.2≥+b a a b C.2211baab < D.b b a a +<+22 12.对x ∈R, [x] 表示不超过x 的最大整数.十八世纪，y=[x]被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列结论中正确的是（ ）A. 任意x ∈R, x<[x]+1B. y=[x]，x ∈R 的图像关于原点对称C.函数y=x-[x]，(x ∈R)，y 的取值范围为[0,1)D. 任意x,y ∈R, [x]+[y]≤[x+y]恒成立三填空愿(每小题5分，共20分)13. 命题“21)21(,100≥>∃x x ”的否定是： ; 14.已知函数⎩⎨⎧>-<+0,40x 4,x =f(x)x x 则f[f(-3)]的值： ;15.若函数f （x ）=a ax x ++2的定义域为R ，则实数a 的取值范围是： ;16.某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2 400元.为了减少木材消耗，决定按销售收人的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少2.5t 万立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收人每年不少于900万元，求实数t 的取值范围 ;四.解答题:本大题共6小题，共70分。
2020-2021学年福建省福州一中高一上学期期中考试数学试题
福建省福州一中2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1.命题“存在0x ∈R ，020x ≤”的否定是（ ）A.对任意的x ∈R ，20x ≤B.对任意的x ∈R ，20x >C.不存在0x ∈R ，020x > D.存在0x ∈R ，20x ≥2.幂函数的图象过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则它的单调增区间是（ ） A.(,0)-∞B.(0,)+∞C.[0,)+∞D.(,)-∞+∞3.若集合{}2120A x x x =--≤，101x B x x ⎧+⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{} C x x A x B =∈∉且，则集合C =（ ） A.[3,1)(1,4]--⋃B.[3,1](1,4]--⋃C.[3,1)[1,4]--⋃D.[3,1][1,4]--⋃4.若0a b >>，0c d <<，则一定有（ ） A.a bd c> B.a b d c < C .a b c d> D.a b c d< 5.设0.60.6a =， 1.50.6b =，0.61.5c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A.a b c << B.a c b << C.b a c << D.b c a << 6.设函数||()2x f x =，则下列结论正确的是（ ）A.(1)(2)(f f f -<<B.((1)(2)f f f <-<C.(2)((1)f f f <<-D.(1)((2)f f f -<<7.若221xy+=，则x y +的取值范围是（ ） A.[0,2] B.[2,0]- C.[2,)-+∞ D.(,2]-∞-8.已知()1()121(0)x a f x x x -⎛⎫=-->⎪⎝⎭，则“1a =”是“()0f x ≤恒成立”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9.设{}28150A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若A B B =，则实数a 的值可以为（ ） A.15B.0C.3D.1310.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是（ ）A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 11.函数2()xf x x a=+的图象可能是（ ） A. B.C. D.12.已知a ，b ，c ∈R ，若2221a b c ++=，且(1)(1)(1)a b c abc ---=，则下列结论正确的是（ ） A.1a b c ++=B.1ab bc ca ++<C.c 的最大值为1D.a 的最小值为-1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.1132081()274e π-⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=________. 14.函数()f x 的定义域为[0,8]，则函数(2)4f x x -的定义域是________. 15.已知21(31)4,1,()1,12x a x a x f x a x --+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩满足对于任意实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围是________.16.若函数224,,()22,,xx x x a f x x a ⎧-+≤=⎨+>⎩（0a >，且1a ≠）的值域为[3,)+∞，则实数a 的取值范围是________.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分）已知集合{}02A x x =≤≤，{}32B x a x a =≤≤-. （1）若()U C A B R ⋃=，求a 的取值范围； （2）若A B B ≠，求a 的取值范围.已知函数1()max ,22x f x x ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，(),1,()1,1,f x x g x x x x ≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩（1）填写表格后描点，并画出()y g x =的图象；（2）写出()g x 的最小值，以及不等式()20g x ->的解集.19.（本题满分12分） 已知2()21xf x a =-+为奇函数. （1）求证：()f x 为增函数； （2）求()f x 的值域.已知定义在R 上的函数()f x 对任意x ，y ∈R 都有等式()()() 1f x y f x f y +=+-成立，且当0x >时，有()1f x >.（1）求证：函数()f x 在R 上单调递增；（2）若()34f =，且当0x >时，()()9233xxf f m m ++-⋅>恒成立，求实数m 的取值范围.21.（本题满分12分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示：当S 中()%0100x x <<的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为30,030()1800290,30100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： （1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间； （2）求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式；讨论()g x 的单调性，并说明其实际意义.已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠满足()01f =，对于任意x ∈R ，()f x x ≥-，且1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求函数()f x 解析式；（2）讨论方程()|1|(0)f x mx m =->在区间(0,1)上的根个数.——★ 参 考 答 案 ★——一、单项选择题 1-8：BADB CDDC 二、多项选择题9.ABD 10.BD 11.BCD 12.ABC12.『解答』由(1)(1)(1)a b c abc ---=，得1abc ab bc ca a b c abc ---+++-=1ab bc ca a b c ∴++=++-设a b c x ++=，则1ab bc ca x ++=-.2222()2()1a b c a b c ab bc ca ++=++-++=，22(1)1x x ∴--=，解得1x =，即1a b c ++=，0ab bc ca ++=. ()0ab a b c ∴++=，即()(1)0ab a b a b ++--=. 220a b ab a b ∴++--=，即22(1)0b a b a a +-+-=.由a ，b R ∈知，()()22140a a a ∆=---≥.∴23210a a --≤，解得113a -≤≤.因此13a ≥-. 又当1=3a -时，代入前面解得，23b c ==.符合题设要求.∴a 的最小值为13-.三、填空题13.2 14.[0,4) 15.11,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭16.[1,)+∞ 四、解答题 17.解：（1）{}02A x x =≤≤，{}0 2U C A x x x ∴=<>或，若()U C A B R ⋃=，则320322a a a a -≥⎧⎪≤⎨⎪-≥⎩，即0a ≤ ∴实数a 的取值范围是(,0]-∞.（2）若AB B =，则B A ⊆.当B =∅时，则32a a -<得1a >当B =∅时，1a ≤，∴当B A ⊆，则0322a a ≥⎧⎨-≤⎩，得1,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦综上故a 的取值花围为1,2a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭.18.解：（1）由题意1,12()2,111,1x x x g x x x x x ⎧--<-⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪+≥⎩，，，图像如下：（2）当1x =-时，min 1()2g x =； 解集：5,(1,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭. 19.解：（1）∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，即222121x xa a --=-+++ 整理得(2)2221212x x x xa a a a-+-⋅+-=++ 则22a aa a-=-⎧⎨=-⎩，解得1a =.2()121xf x ∴=-+. ()f x 的定义域为R ，设12,x x ∈R ，且12x x <，()()()()()121212122222221211212x x x x x x f x f x a a ⋅--=--+=++++ 12x x <，12220x x ∴-<，()()1212120x x ++>，()()120f x f x ∴-<即()()12f x f x <，所以()f x 为增函数.（2）2()121x f x =-+，211x +>，10121x ∴<<+ 22021x ∴-<-<+，211121x ∴-<-<+，即11()1f x -<<故当()f x 为奇函数时，其值域为(1,1)-. 另解：2()121x f x =-+. 由2121xy =-+，得(1)21xy y -=--， 当1y =时，得02=-，矛盾，所以1y ≠； 故有121xy y --=-. 当x R ∈时，20x >，所以101y y -->-，解得11y -<<. 故当()f x 为奇函数时，其值域为(1,1)-.20.解：（1）任取12,x x ∈R ，且12x x <，则210x x ->，()211f x x ∴->，()()()212110f x f x f x x -=-->，()()21f x f x ∴>.故函数()f x 在R 上单调递增.（2）(3)(1)(2)1(1)1(1)(1)13(1)2f f f f f f f =+-=-++-=-，(1)2f ∴=， 原不等式等价于()()92312xxf f m m ++-⋅->，即()()9231x xf m m f ++-⋅>，故9231xx m m ++-⋅>恒成立，即0x >时，()3191xxm -<+，9131x x m +<-.设31xt -=，则0t >，且291(1)122231x xt t t t+++==++≥-，当且仅当t =时等号成立。
福建省福州市高一数学上学期期中试题(有答案)(精选)
福建省福州市高一数学上学期期中试题（完卷时间：120分钟，总分150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．） 1．下列关系正确．．的是（ ） A ．{}10,1∈B ．{}10,1∉C ．{}10,1⊆D ．{}{}10,1∈2．下列四组函数中，相等的两个函数是（ ）A ．2(),()x f x x g x x == B ．,0()||,(),0x x f x x g x x x ≥⎧==⎨-<⎩C ．lg y x =,21lg 2y x =D ．(),()f x g x x == 3．函数()12log 21-=x y 的定义域为（ ）A ． （，+∞） B ．（ ，1 C ．［1，+∞ D ．()+∞,14．已知幂函数()αx x f =的图象经过点22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则()4f 的值为（ ） A ．116 B ． 16 C ．2 D ． 125．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,)+∞上单调递增的函数为（ ） A 1y x=B ln y x =C 3y x = D 2y x = 6．下列大小关系正确的是（ ）A 3.0log 34.044.03<< B 4.04333.0log 4.0<<C 4.03434.03.0log << D 34.044.033.0log <<7．若函数()xa x f =（0>a ，且1≠a ）的图象如图，其中a 为常数．则函数()()0≥=x xx g a的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．8．随着我国经济不断发展，人均GDP （国内生产总值）呈高速增长趋势，已知2008年年底我国人均GDP 为22640元，如果今后年平均增长率为%9，那么2020年年底我国人均GDP 为( ) A ．1322640(1 1.09)⨯+元 B ．1222640(1 1.09)⨯+元 C ．1322640 1.09⨯元D ．1222640 1.09⨯元9．根据表格中的数据，可以断定方程20xe x --=的一个根所在的区间是（ ）A ． （－1，0）B ． （0，1）C ． （1，2）D ． （2，3） 10．可推得函数2()21f x ax x =-+在区间[1,2]上为增函数的一个条件是( ) A ．0a =B ．011a a<⎧⎪⎨<⎪⎩C ．012a a >⎧⎪⎨>⎪⎩D ．011a a>⎧⎪⎨<⎪⎩11．已知函数()x x f x3log 21-⎪⎭⎫⎝⎛=，若实数0x 是方程()0=x f 的解，且010x x <<，则()1x f 的值( )A. 恒为正值B.恒为负值C. 等于0D.不能确定12．定义在R 上的偶函数()f x ，当[1,2]x ∈时，()0f x <且()f x 为增函数，给出下列四个结论： ①()f x 在[2,1]--上单调递增； ②当[2,1]x ∈--时，有()0f x <； ③()f x -在[2,1]--上单调递减； ④ ()x f 在[2,1]--上单调递减． 其中正确的结论是( ) A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
福建省福州市2022-2021学年高一数学上学期期中联考试题(含解析)
福建省福州市2020-2021学年高一上学期期中联考数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求。
1.集合A＝{1，3}，B＝{x|2≤x≤5，x∈Z}，则A∩B＝（）A. {1}B. {3}C. {1，3}D. {2，3，4，5}【答案】B【解析】【分析】化简集合B，根据交集的定义写出A∩B．【详解】集合A＝{1，3}，B＝{x|2≤x≤5，x∈Z}＝{2，3，4，5}，则A∩B＝{3}．故选：B．【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.下列函数中哪个与函数y＝x相等（）A. y ＝（）2 B. y C. y D. y【答案】C【解析】【分析】可看出y＝x的定义域为R，通过求定义域可得出选项A，B的两函数的定义域和y＝x的定义域都不相同，从而判断A，B都错误．而通过化简选项D的函数解析式，可得出D的解析式和y＝x不同，从而判断D也错误，只能选C．【详解】y＝x的定义域为R；A .的定义域为{x|x≥0}，定义域不同，与y＝x不相等；B.的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，不相等；C.的定义域为R，且解析式相同，与y＝x相等；D.，解析式不同，不相等．故选：C．【点睛】本题考查函数的定义，判断两函数是否相等的方法：定义域和解析式是否都相同．3.若偶函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上是减函数，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得f（2）＝f（﹣2），结合函数的单调性分析可得答案．【详解】根据题意，f（x）为偶函数，则f（2）＝f（﹣2），又由函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上是减函数，则f（﹣1）＜f（）＜f（﹣2），即f（﹣1）＜f（）＜f（2），故选：B．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意利用奇偶性分析函数值的关系，属于基础题．4.三个数a＝0.312，b＝log20.31，c＝20.31之间大小关系为（）A. a＜c＜bB. a＜b＜cC. b＜a＜cD. b＜c＜a 【答案】C【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性即可得出．【详解】∵0＜0.312＜0.310＝1，log20.31＜log21＝0，20.31＞20＝1，∴b＜a＜c．【点睛】熟练掌握指数函数和对数函数的单调性是解题的关键．5.若2x＝3，则x等于（）A. log32B. lg2﹣lg3C.D.【答案】D【解析】【分析】化指数式为对数式，再由换底公式得答案．【详解】由2x＝3，得x．故选：D．【点睛】本题考查指数式与对数式的互化，考查换底公式的应用，是基础题．6.函数f（x）的零点所在的大致区间（）A. （0，1）B. （1，2）C. （2，3）D. （3，4）【答案】B【解析】【分析】根据零点存在性定理，验证所给的区间的两个端点处的函数值是同号还是异号即可．【详解】∵函数f（x），在x＞0时，是连续函数且为增函数，f（1）＝1﹣2＝﹣1＜0，f（2）＝e﹣1＞0，∴函数的零点在（1，2）上，故选：B．【点睛】本题考查函数零点存在性定理的应用，考查了函数单调性的应用，属于基础题．7.设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m＝0}．若A∩B＝{1}，则集合B的子集个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】【分析】由题意知1是方程x2﹣4x+m＝0的实数根，求出m的值和集合B，即知集合B的子集个数．【详解】集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m＝0}，若A∩B＝{1}，则1是方程x2﹣4x+m＝0的实数根，∴m＝4﹣1＝3，∴集合B＝{x|x2﹣4x+3＝0}＝{x|x＝1或x＝3}＝{1，3}，∴集合B的子集有22＝4（个）．故选：D．【点睛】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．8.若f（x），则f（x）的定义域为（）A. （）B. （）C. （）D. （）∪（1，+∞）【答案】D【解析】【分析】由对数式的真数大于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．【详解】由，得x且x≠1．∴f（x）的定义域为（）∪（1，+∞）．故选：D．【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．9.函数y的图象是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据奇偶性，单调性再带入特殊点即可选出答案．【详解】函数y是奇函数，排除B，C；当x时，x2﹣1＜0，∴y0，图象在x轴的下方．排除D；故选：A．【点睛】本题考查了函数图象的识别，利用函数的性质及特殊函数值进行排除是解决此类问题的常见方法，是基础题．10.某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：x 1.99 2.8 4 5.1 8y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00现有如下4个模拟函数：①y＝0.6x﹣0.2；②y＝x2﹣55x+8；③y＝log2x；④y＝2x﹣3.02．请从中选择一个模拟函数，使它比较近似地反应这些数据的规律，应选（）A. ①B. ②C. ③D. ④【答案】C【解析】【分析】根据表中提供的数据，可通过描点，连线，画出图象，看哪个函数的图象能接近所画图象，这个函数便可反应这些数据的规律．【详解】根据表中数据，画出图象如下：通过图象可看出，y＝log2x能比较近似的反应这些数据的规律．故选：C．【点睛】本题考查画函数图象的方法：列表，描点，连线，熟悉对数函数、指数函数、一次函数和二次函数的图象是关键．11.已知函数f（x）＝x2﹣kx﹣6在[2，8]上是单调函数，则k的取值范围是（）A. （4，16）B. [4，16]C. [16，+∞）D. （﹣∞，4]∪[16，+∞）【答案】D【解析】【分析】根据题意，求出二次函数f（x）的对称轴，结合二次函数的性质可得2或8，解可得k 的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，函数f（x）＝x2﹣kx﹣6的对称轴为x，若f（x）在[2，8]上是单调函数，必有2或8，解可得：k≤4或k≥16，即k的取值范围是（﹣∞，4]∪[16，+∞）；故选：D．【点睛】本题考查二次函数单调性的性质，注意二次函数的性质，属于基础题．12.已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）＝f（x）+f（y）且当x＞0，f（x）＜0．给出下列四个结论：①f（0）＝0；②f（x）为偶函数；③f（x）为R上减函数；④f（x）为R上增函数．其中正确的结论是（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】A【解析】【分析】根据题意，令y＝x＝0计算f（0）的值，判断①正确；令y＝﹣x，得出f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）是奇函数，判断②错误；根据x＞0，f（x）＜0，x＝0时f（x）＝0，x＜0时，f（x）＞0，判断f（x）为R上的减函数，③正确，④错误．【详解】对于①，令x＝y＝0，则f（0）＝f（0）+f（0）＝2f（0），∴f（0）＝0，①正确；对于②，令y＝﹣x，则f（x﹣x）＝f（x）+f（﹣x）＝0，∴f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）是奇函数，②错误；对于③，当x＞0，f（x）＜0，令＜，f（）﹣f（）＝f（﹣）＜0，∴f（）＜f（），∴f（x）为R上的减函数，③正确；对于④，f（x）为R上增函数，④错误．综上，其中正确的结论是①③．故选：A．【点睛】本题考查了抽象函数的性质与应用问题，要注意抽象函数的性质证明要紧扣定义，是基础题．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（2，）则f（3）＝__________【答案】【解析】 【分析】求出幂函数的解析式，然后求解f （3）的值． 【详解】因为幂函数y ＝f （x ）的图象经过点（2，），所以幂函数的解析式为：f （x ），则f （3）． 故答案为：．【点睛】本题考查幂函数的解析式的求法，函数值的求法，考查计算能力．14.已知集合A ＝{x |2x +1＜0}，B ＝{x |2x ≤1}，则A ∪B ＝__________ 【答案】【解析】 【分析】可求出A ，B ，然后进行并集的运算即可． 【详解】，B ＝{x |x ≤0}； ∴A ∪B ＝{x |x ≤0}． 故答案为：（【点睛】本题考查描述法的定义，考查了指数函数的单调性的应用及并集的运算，属于基础题．15.已知函数f （x ），则______________.【答案】 【解析】 【分析】先利用分段函数及对数运算求出f （），再由指数的运算求出．【详解】∵函数f （x ），∴f（）2，∴f（﹣2）＝2﹣2．故答案为：．【点睛】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数性质的合理运用．16.若函数f（x）同时满足：①对于定义域上的任意x恒有f（x）+f（﹣x）＝0，②对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有0，则称函数f（x）为“理想函数”．给出下列四个函数中①f（x）；②f（x）；③f（x）；④f（x），能被称为“理想函数”的有_______________（填相应的序号）．【答案】③④【解析】【分析】由题意可得f（x）为定义域上的奇函数和减函数，可得f（x）为“理想函数”，对四个函数，分别考虑其奇偶性和单调性，即可得到正确结论．【详解】由题意可得f（x）为定义域上的奇函数和减函数，可得f（x）为“理想函数”，由①f（x）为{x|x≠0}的奇函数，在x＞0，x＜0函数递减，不为“理想函数”；由②f（x），可得f（﹣x）＝f（x），即f（x）为偶函数，不为“理想函数”；由③f（x）（﹣1＜x＜1），f（﹣x）+f（x）＝log2log2log21＝0，可得f（x）为﹣1＜x＜1的奇函数，且0＜x＜1时，f（x）＝log2（1）递减，即有f（x）在（﹣1，1）递减，为“理想函数”；对于④f（x），即f（x）＝﹣x|x|，可得f（x）为R上的奇函数，且为减函数，故④为“理想函数”．故答案为：③④．【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用定义法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.化简求值（1）；（2）lg lg25+ln．【答案】（1）3；（2）.【解析】【分析】（1）利用指数运算性质即可得出．（2）利用对数运算性质即可得出．【详解】（1）原式3＝2+3﹣2＝3．（2）原式2．【点睛】本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.已知集合A＝{x|1＜x＜6}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|5﹣a＜x＜a}．（1）求A∪B，（∁R A）∩B；（2）若C⊆B，求实数a的取值范围．【答案】（1）A∪B＝{x|1＜x＜10},（∁R A）∩B＝{x|6≤x＜10} ；（2）.【解析】【分析】（1）进行并集、交集和补集的运算即可；（2）根据C⊆B，可讨论C是否为空集：C＝∅时，5﹣a≥a；C≠∅时，，这样即可得出实数a的取值范围．【详解】（1）∵A＝{x|1＜x＜6}，B＝{x|2＜x＜10}，A∪B＝{x|1＜x＜10}，∁R A＝{x|x≤1，或x≥6}；∴（∁R A）∩B＝{x|6≤x＜10}；（2）∵C⊆B；①C＝∅时，5﹣a≥a；∴；②C≠∅时，则；解得；综上得，a≤3；∴a的取值范围是（﹣∞，3]．【点睛】本题考查描述法的定义，交集、并集和补集的运算，以及子集的定义，考查了分类讨论思想，属于基础题．19.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）＝x2+2x．现已画出函数f （x）在y轴左侧的图象如图所示，（1）画出函数f（x），x∈R剩余部分的图象，并根据图象写出函数f（x），x∈R的单调区间；（只写答案）（2）求函数f（x），x∈R的解析式．【答案】（1）图象见解析；递减区间为（﹣∞，﹣1]，[1，+∞）；增区间为（﹣1，1）；（2）f（x）．【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质结合函数f（x）在y轴左侧的图象，即可补充函数图象，据此写出函数的单调区间即可得答案；（2）根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝0，设x＞0时，则﹣x＜0，由函数的解析式可得f（﹣x），结合奇函数的性质可得f（x）的解析式，综合即可得答案．【详解】（1）根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，则其图象如图：其递减区间为（﹣∞，﹣1]，[1，+∞）；增区间为（﹣1，1）；（2）根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）＝0，满足f（x）＝x2+2x；当x＞0时，则﹣x＜0，则f（﹣x）＝（﹣x）2+2（﹣x）＝x2﹣2x，又由函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2+2x，综上：f（x）．【点睛】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数解析式的计算，关键是补充函数的图象，属于基础题．20.某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的16%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5（A+1）进行奖励．记奖金y（单位：万元），销售利润x（单位：万元）（1）写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型；（2）如果业务员老张获得5.6万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元．【答案】（1）见解析；（2）老张的销售利润是34万元.【解析】（1）直接由题意列出分段函数解析式；（2）由y＝5.6，可知x＞10，代入第二段函数解析式求解．【详解】（1）由题意得；（2）由x∈（0，10]，0.16x≤1.6，而y＝5.6，∴x＞10．因此1.6+2log5（x﹣9）＝5.6，解得x＝34（万元）．∴老张的销售利润是34万元．【点睛】本题考查简单的数学建模思想方法，考查了分段函数的求值问题，是基础的计算题．21.已知二次函数f（x）＝x2+bx+c有两个零点1和﹣1．（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x），试判断函数g（x）在区间（﹣1，1）上的单调性并用定义证明；（3）由（2）函数g（x）在区间（﹣1，1）上，若实数t满足g（t﹣1）﹣g（﹣t）＞0，求t的取值范围．【答案】（1）f（x）＝x2﹣1；（2）见解析；（3）（0，）.【解析】【分析】（1）由题意可得﹣1和1是方程x2+bx+c＝0的两根，运用韦达定理可得b，c，进而得到函数f（x）的解析式；（2）函数g（x）在区间（﹣1，1）上是减函数．运用单调性的定义，注意取值、作差和变形、定符号以及下结论等；（3）由题意结合（2）的单调性可得﹣1＜t﹣1＜﹣t＜1，解不等式即可得到所求范围．【详解】（1）由题意得﹣1和1是方程x2+bx+c＝0的两根，所以﹣1+1＝﹣b，﹣1×1＝c，解得b＝0，c＝﹣1，所以f（x）＝x2﹣1；（2）函数g（x）在区间（﹣1，1）上是减函数．证明如下：设﹣1＜x1＜x2＜1，则g（x1）﹣g（x2），∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴x2﹣x1＞0，x1+1＞0，x2+1＞0，可得g（x1）﹣g（x2）＞0，即g（x1）＞g（x2），则函数g（x）在区间（﹣1，1）上是减函数；（3）函数g（x）在区间（﹣1，1）上，若实数t满足g（t﹣1）﹣g（﹣t）＞0，即有g（t﹣1）＞g（﹣t），又由（2）函数g（x）在区间（﹣1，1）上是递减函数，可得﹣1＜t﹣1＜﹣t＜1，解得0＜t．则实数t的取值范围为（0，）．【点睛】本题考查函数的零点的定义和单调性的判断和证明，考查了单调性的应用，考查运算能力和推理能力，属于中档题．22.已知奇函数f（x）＝a（a为常数）．（1）求a的值；（2）若函数g（x）＝|（2x+1）f（x）|﹣k有2个零点，求实数k的取值范围；（3）若x∈[﹣2，﹣1]时，不等式f（x）恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）k∈（0，1）；（3）[4，+∞）.【解析】【分析】（1）由f（x）为R上的奇函数可得f（0）＝0，解方程可得a；（2）由题意可得方程|2x﹣1|﹣k＝0有2个解，即k＝|2x﹣1|有2个解，即函数y＝k和y＝|2x﹣1|的图象有2个交点，画出图象即可得到所求范围；（3）由题意可得m≥2﹣x x∈[﹣2，﹣1]时恒成立，由g（x）＝2﹣x在R上单调递减，即可得到所求范围．【详解】（1）f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（0）＝a﹣1＝0，即a＝1，可得f（x）＝1，由f（﹣x）+f（x）0，即f（x）为R上的奇函数，故a＝1；（2）函数g（x）＝|（2x+1）f（x）|﹣k有2个零点⇔方程|2x﹣1|﹣k＝0有2个解，即k＝|2x﹣1|有2个解，即函数y＝k和y＝|2x﹣1|的图象有2个交点，由图象得k∈（0，1）；（3）x∈[﹣2，﹣1]时，f（x），即1，即m≥2﹣x在x∈[﹣2，﹣1]时恒成立，由g（x）＝2﹣x在R上单调递减，x∈[﹣2，﹣1]时，g（x）的最大值为g（﹣2）＝4，则m≥4，即m的取值范围是[4，+∞）．【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性、以及函数零点个数、函数恒成立问题解法，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．。
2020-2021学年福建省福州市八县市一中高一上学期期中联考数学试题
2020--2021学年度第一学期八县（市）一中期中联考高中一年数学科试卷命题学校： 命题教师： 审核教师：考试日期: 2020年11月12日 完卷时间：120分钟 满分：150分★★★★★ 祝考试顺利 ★★★★★第Ⅰ卷一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1．设{}1,2,4,6,8U =，{}1,2,4A =，{}2,4,6B =，则下列结论中正确的是（ ） A. A B ⊆ B ．B A ⊆C. {}=2ABD ．(){}1U AC B =2．存在量词命题:p “2,220x R x x ∃∈-+≤”的否定是( )A. 2,220x R x x ∃∈-+≥B ．2,220x R x x ∃∈-+>C. 2,220x R x x ∀∈-+> D ．2,220x R x x ∀∈-+≤3．已知函数1,2()(3),2x f x f x x ≥=+<⎪⎩，则(1)(9)f f -=（ ）A. 1-B ．2-C. 6D ．74．下列函数中，()f x 与()g x 表示同一函数的一组是（ ）A. ()f x x =与2()xg x x= B ．()f x = ()g x = C.()f x x =与()||g x x = D ．()||f x x =与,0(),0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩5. 某人骑自行车沿直线匀速．．行驶，先前进了a 千米，休息了一段时间，又沿原路返回b 千米()a b >， 再前进c 千米，则此人离起点的距离S 与时间t 的关系示意图是（ ）A. B ． C. D ．6. 已知函数2()=1f x x mx -+在区间(,2]-∞-上为减函数，则下列选项正确的是（ ）A. (1)6f < B ．(1)6f ≤ C. (1)2f ->- D ．(1)2f -≤-7. 若不等式()(2)0a x x ++<成立的一个充分不必要条件是21x -<<，则实数a 的取值范围为（ ）A. 1a ≤- B ．1a <- C. 2a ≤- D ．2a <-8．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为,,a b c ，三角形的面积S 可由公式()()()S p p a p b p c ---求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦----秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足10,8a b c +==，则此三角形面积的最大值为( )A. 6 B ．9 C. 12 D ．18二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9. 下列命题是真命题的是（ ）A. 若,a b c d ><，则a c b d ->- B ．若a b >,则11a b< C. 若0,0a b m >>>，则a a m b b m+>+ D ．若,a b c d >>，ac bd >10. 设全集{}{0,1,2,3,4,5}0,(){2,4}U U A B C A B ===，且，{}()1,3U C B A =，则下列判断正确的是（ ）A. {}1,3A = B ．{}0,2,4B =C. {}0,1,2,3,4AB = D ． {}()5UC A B =高一数学试卷 第 1页 共4页11. 若0,0m n >>，且11=1m n+，则下列说法正确的是（ ） A. mn 有最大值4 B ．2211m n+有最小值12C. 0,0m n ∀>>≤．0,0,m n ∃>>使得2m n += 12. 某同学在研究函数 2()=1xf x x+()x R ∈时，分别给出几个结论，其中错误．．的是（ ） A.,x R ∀∈都有 ()()=0f x f x -+ B ．()f x 的值域为11()22-， C. 若12=1x x ，则12()=()f x f x D ．()f x 在区间[1,1]-上单调递减第Ⅱ卷三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置上）13.已知函数()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，22()=f x x x-，则(1)=f -________ 14. 已知正数．．,x y 满足11x y +=，则4y x+的最小值为____________ 15.已知函数()f x 满足()=()f x f x -,当12,(,0]x x ∈-∞时，总有1212()[()()]0x x f x f x -->， 若(21)(1)f m f ->，则实数m 的取值范围是___________16.设偶函数．．．()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，且满足(1)=1f ，对于任意1212,(0,)x x x x ∈+∞≠，，都有20202020211212()()0x f x x f x x x ->- 成立，则2020()1f x x ≥的解集为______________四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题满分10分）已知集合{}2=60A x x x --≤ ，集合{}131B x a x a =-<≤+（1）当1a =时，求A B ，A B ；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围。
福建省福州市2021-2022学年高一上学期期中考试数学试题含解析
福州2021-2022学年第一学期期中考数学试卷（答案在最后）一､选择题（共8小题）1.已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}2,3,5A =，集合{}1,3,4,6B =，则集合U A B ⋂=（）ðA.{}3 B.{}2,5 C.{}1,4,6 D.{}2,3,5【答案】B 【解析】【详解】{}2,3,5A =,{}2,5U B =ð,则{}2,5U A B ⋂=（）ð,故选B.考点：本题主要考查集合的交集与补集运算.2.命题“2,10x Q x x ∀∈++>”的否定为（）A.2,10x Q x x ∃∈++>B.2,10x Q x x ∀∈++≤C.2,10x Q x x ∃∈++≤D.2,10x Q x x ∃∉++≤【答案】C 【解析】【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解.【详解】解：因为全称命题的否定为特称命题，所以命题“2,10x Q x x ∀∈++>”的否定为“2,10x Q x x ∃∈++≤”，故选：C.3.下列函数中既是奇函数，又是增函数的是（）A.1()f x x=-B.()3xf x = C.3()log f x x= D.()f x =【答案】AD 【解析】【分析】由幂函数、指数函数、对数函数的奇偶性与单调性即可求解.【详解】解：对A ：1()f x x=-是奇函数，且是增函数，符合题意；对B ：()3x f x =不具有奇偶性，是增函数，不符合题意；对C ：3()log f x x =不具有奇偶性，是增函数，不符合题意；对D ：13()f x x==是奇函数，且是增函数，符合题意；故选：AD.4.设()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()1x f x e -=-，则当0x <时，()f x =（）A.e 1x -- B.e 1x -+ C.e 1x --- D.1x e -+【答案】D 【解析】【分析】首先设0x <，得到0x ->，再代入()1x f x e -=-，利用函数的奇偶性求解即可.【详解】设0x <，则0x ->，因为函数()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()1x f x e -=-，()()1x f x e f x -=-=-，即：()1x f x e =-+.故选：D5.某高校为加强学科建设，制定了第“十四五”（2021-2025）规划，计划逐年加大科研经费投入，已知该校计划2021年全年投入科研资金20万元，2025年全年投入科研资金28万元，则第“十四五”期间，投入科研资金的年均增长率约为（）A.141.41- B.151.41- C. 1.4log 51- D.1.4log 41-【答案】A 【解析】【分析】设年增长率为x ，由题意可得()420128x +=，从而即可求解.【详解】解：设年增长率为x ，由题意可得()420128x +=，即()4281 1.420x +==，所以141 1.4x +=，解得141.41x =-，所以投入科研资金的年均增长率约为141.41-，故选：A.6.函数2()21x xf x x =-+的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据奇偶函数的定义证明()f x 是偶函数，可排除B 、C ；再由()20f >可排除D.【详解】由题意知，函数()f x 的定义域为R ，()221x x f x x =-+2=21xxx x⋅-+，则()f x -22=2121x x xxx x x x---⋅+⋅-=++，所以()()f x f x =-，即函数()f x 为偶函数，故可排除B 和C ；当2x =时，()605f x =>，故可排除D.故选：A7.冈珀茨模型()tb y k a=⋅是由冈珀茨（Gompertz ）提出，可作为动物种群数量变化的模型，并用于描述种群的消亡规律.已知某珍稀物种t 年后的种群数量y 近视满足冈珀茨模型：0.1251.40tey k e -=⋅（当0=t 时，表示2020年初的种群数量），若()m m N*∈年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半，则m 的最小值为（）(ln 20.7)≈A.9 B.7 C.8D.6【答案】D 【解析】【分析】由已知模型列出不等式后，取对数变形求解．【详解】由已知0.12501.4 1.40012me e k ek e -⋅≤⋅，显然00k >，0.1251.4 1.412me ee -≤，两边取自然对数有：0.1251.4 1.4ln 20.7m e -≤-≈，0.12512m e -≤，所以0.125ln 20.7m -≤-≈-， 5.6m ≥．m 的最小值为6．故选：D ．8.设34c =，4log 3b =，5log 4a =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.b c a >>B.b a c >>C.a b c>> D.c b a>>【答案】C 【解析】【分析】对于a ，b 的比较，构造函数，通过研究函数的单调性来进行比较，对于a ，c 或b ，c 的比较通过作差法来进行比较【详解】444444log 33l 8164og og 0l b c ---=>=，故b c>；555444log 43lo 2561250g log a c --=->=，故a c >；4ln 3log 3ln 4b ==，5ln 4log 4ln 5a ==令()()ln ln 1xf x x =+，（0x >），则()()()()()()()()()()2221ln 1ln ln 1ln 11ln 1ln 1ln 11ln 11ln 1x xx x x x x x x x x f x x x x x x x x ⎛⎫++++- ⎪++-⎝⎭+'===+++++因为0x >，所以111x +>，1ln 10x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，()ln 10x +>，故()0f x '>恒成立，()()ln ln 1xf x x =+在0x >上单调递增，所以()()43f f >，故a b>综上：a b c >>故选：C二､多选题（共4小题）9.下列结论正确的是（）A.lg(25)lg 2lg 5+=⋅B.1= C.1383272-⎛⎫=⎪⎝⎭D.24log 3log 6=【答案】BC 【解析】【分析】AD 选项应用对数运算法则进行计算，B 选项利用根式化简法则进行求解；C 选项，利用指数运算法则进行计算【详解】lg(25)lg 2lg 5+=⋅错误，正确的应该是lg(25)lg 2lg 5⨯=+，故A错误；，B 选项正确；1131338223==27332---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，C 选项正确；4221log 6=log 6=log 2D 选项错误.故选：BC10.下列四个命题中，真命题是（）A.22a b ac bc >⇒> B.22||a b a b >⇒> C.11a b a b>⇒< D.22||a b a b>⇒>【答案】BD 【解析】【分析】利用不等式的性质分别对选项进行验证，即可得到答案.【详解】对于A 选项，当0c =时，22=ac bc ，故A 错误；已知||0b ≥，即||0a b >≥，左右两边同时平方即可得到22a b >，故B 正确.；当,a b 同号时，11a b a b>⇒<，当,a b 异号时，11a b a b>⇒>，故C 错误；22||||||a b a b a b >⇒>⇒>，故D 正确.故选：BD.11.下列命题中真命题的是（）A.“1x >”是“21x >”的充分不必要条件B.若(1)f x +是偶函数，则()f x 的图像关于直线1x =-轴对称C.若(2)()f x f x +=--，则()f x 的图像关于点(1,0)-中心对称D.[1,1]x ∃∈-，使得方程21ax =有解的充要条件是1a ≥【答案】AD 【解析】【分析】解不等式21x >，再根据充分条件和必要条件的定义即可判断A ；根据偶函数的图像的特征及函数()f x 与函数(1)f x +图像的关系即可判断B ；由(2)()f x f x +=--，可得()()()111f x f x f x +=---=--+⎡⎤⎣⎦，再根据函数()f x 与函数(1)f x +图像的关系即可判断C ；根据方程21ax =有解，求得a 的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可判断D.【详解】解：对于A ，由21x >，得1x >或1x <-，所以“1x >”是“21x >”的充分不必要条件，故A 正确；对于B ，若(1)f x +是偶函数，则(1)f x +的图像关于y 轴对称，()f x 的图像是由函数(1)f x +向右平移1个单位得到的，所以函数()f x 的图像关于直线1x =轴对称，故B 错误；对于C ，若(2)()f x f x +=--，所以()()()111f x f x f x +=---=--+⎡⎤⎣⎦，令1m x =+，则()()f m f m =--，所以函数()f m 关于原点对称，又()f x 是由函数()f m 向右平移1个单位得到的，所以函数()f x 的图像关于点(1,0)中心对称，故C 错误；对于D ，[1,1]x ∃∈-，使得方程21ax =有解，当0x =时，01=不成立，舍去，当0x ≠时，即[)(]1,00,1x ∈- ，则211a x=≥，所以1a ≥，综上所述1a ≥，所以[1,1]x ∃∈-，使得方程21ax =有解的充要条件是1a ≥，故D 正确.故选：AD.12.已知函数()2xf x e x =+-的零点为1x ，函数()ln 2g x x x =+-的零点为2x ，则（）A.122x x +=B.122x x > C.122x x e e e+> D.122x x <【答案】ACD 【解析】【分析】依题意可得112x e x =-，22ln 2x x =-，根据反函数的性质可得122x x +=，再利用基本不等式判断C ，利用零点存在性定理得到1102x <<、21x <<函数的单调性判断B 、D ；【详解】解：函数()2x f x e x =+-的零点为1x ，函数()ln 2g x x x =+-的零点为2x ，可得112x e x =-，22ln 2x x =-，即有1221ln 4()x e x x x +=-+，由x y e =的反函数ln y x =关于直线y x =对称，x y e =与直线2y x =-的交点为11(,2)x x -，ln y x =与直线2y x =-的交点为22(,2)x x -，可得122x x =-，即122x x +=，故A 正确；由基本不等式得，122x x e e e += ，而12x x ≠，∴等号不成立，故122x x e e e +>，故C 正确；因为()010f =-<，11221112 2.2520222f e ⎛⎫=+->+-= ⎪⎝⎭，所以1102x <<所以()12111220232x x x x x =----<=，所以122x x <，故B 错误；又()1ln1121g =+-=-，11221122 2.252022g e ==+->+-=，所以21x <<则()1222222ln x x x x x x -==，因为ln y x x =在(上单调递增，所以1222ln 2x x x x =<=，故D 正确；故选：ACD三､填空题（共4小题）13.函数()f x =___________，值域为___________.【答案】①.(,3]-∞②.[0,)+∞【解析】【分析】由真数大于0和被开方数大于等于0，可得不等式组，解不等式组，即可得定义域，根据对数函数的值域可知()f x 的值域.【详解】由题意得：()40,4,3lg 40,3,x x x x x -><⎧⎧⇒⇒≤⎨⎨-≥≤⎩⎩，∴函数的定义域为(],3-∞,(,3]x ∈-∞ ,lg(4)0x ∴-≥,0≥∴,即()f x =的值域为[0,)+∞.故答案为：(],3-∞；[0,)+∞14.已知函数()22x x f x a -=⋅-是偶函数，则=a ___________.【答案】-1【解析】【分析】根据奇偶函数的性质可得()()f x f x =-，列出方程，进而解出a 的值.【详解】因为函数()22x x f x a -=⋅-是偶函数，所以()()f x f x =-，又()22x x f x a --=⋅-，所以22x x a -⋅-=22x x a -⋅-，即(1)(22)0x x a -+-=，所以1a =-.故答案为：-115.已知a R ∈，函数2()log f x a x =.若2t ∀≥，使得(2)()1f t f t +-≤，则实数a 的最大值是___________.【答案】1【解析】【分析】化简(2)()1f t f t +-≤，得到212log a t t≤+在2t ∀≥上恒成立，故求出212log t t+在2t ≥的最小值1，让1a ≤即可【详解】(2)()1f t f t +-≤，即2222log (2)log log 1t a t a t a t++-=≤，因为2t ≥，所以22222log log 1log 10t t t +⎛⎫=+>= ⎪⎝⎭，所以212log a t t≤+恒成立，其中2222log log 1t y t t +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭在2t ≥时单调递减，故22222log log 12t t ++≤≤，所以2112log t t≥+，所以1a ≤，故实数a 的最大值是1故答案为：116.已知函数()f x 满足21,0()lg ,0x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程22[()]4()20f x mf x m -++=有四个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为___________.【答案】3m >或13m <<【解析】【分析】令()t f x =，则方程22[()]4()20f x mf x m -++=转化为22420t mt m -++=，作出函数()f x 的图象，由题意，原问题等价于22420t mt m -++=有两个大于1的不等实数根，根据一元二次方程根的分布列出不等式组求解即可得答案.【详解】解：令()t f x =，则方程22[()]4()20f x mf x m -++=转化为22420t mt m -++=，作出函数()f x的图象如下图所示，由题意，方程22[()]4()20f x mf x m -++=有四个不相等的实数根，即22420t mt m -++=有两个大于1的不等实数根，令22()42h t t mt m =-++，则()()22224420412(1)1420m m m h m m ⎧∆=--+>⎪⎪-->⎨⎪=-++>⎪⎩解得3m >或13m <<，则实数m 的取值范围为3m >或13m <<，故答案为：3m >或13m <<.四､解答题（共6小题）17.已知全集U =R ，集合{}{}2log 21,3327xA x x aB x =-≥=<<.（1）当3a =时，求A B ；（2）在①B A ⊆；②A B ⋂≠∅；③()U A B A ⋃=ð中任选一个条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）5|32x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭（2）答案见解析【解析】【分析】（1）首先解指数不等式、对数不等式及绝对值不等式求出集合A 、B ，再根据交集的定义计算可得；（2）根据所选条件，得到不等式组，即可求出参数的取值范围；【小问1详解】解：由3327x <<，即13333x <<，解得13x <<，即{}{}|3327|13xB x x x =<<=<<，由21l g 2o x a -≥，即22log log 22x a -≥，所以22x a -≥，即22x a -≥或22x a -≤-，解得12a x ≥+或12a x ≤-，即{}2log 21A x x a =-≥{|12a x x =≥+或1}2a x ≤-当3a =时5{|2A x x =≥或1}2x ≤所以5|32⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭A B x x 【小问2详解】解：由（1）可知{|12a A x x =≥+或1}2ax ≤-，{}|13B x x =<<；若选①，B A ⊆，则112a +≤或132-≥a，解得0a ≤或8a ≥，即(][),08,a ∈-∞⋃+∞；若选②，若A B =∅ ，则132112a a ⎧+≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得4a =，所以4a ≠时A B ⋂≠∅；若选③，因为{}|13B x x =<<，所以{|1U B x x =≤ð或3}x ≥，因为()U A B A ⋃=ð，所以()U B A ⊆ð，所以132112aa ⎧+≤⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，解得4a =；18.设函数2()2(2)1f x mx m x =+++.（1）若()f x 在[1,)+∞单调递增，求实数m 的取值范围；（2）解关于x 的不等式()0f x ≤.【答案】（1）0m ≥（2）当2m ≤-时，11,,2m ⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ ；当20m -<<时，11,,2m ⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；当0m =时，1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；当02m <<时，11,2m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；当2m ≥时，11,2m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）根据m 是否为0分类讨论，不等于0时根据二次函数的性质列式求解即可；（2）根据m 与0的大小分类讨论求解即可.【小问1详解】当实数0m =，()21f x x =+，()f x 在[1,)+∞单调递增，符合题意.当实数0m ≠，根据二次函数的性质，函数()f x 的对称轴为24m m+-，要使得()f x 在[1,)+∞单调递增，则2140m m m +⎧-≤⎪⎨⎪>⎩，解得0m >综上述，0m ≥.【小问2详解】当实数0m =，()21f x x =+，()0f x ≤时，12x ≤-.当实数0m >，()()2()2(2)11210f x mx m x mx x =+++=++≤如果112m -<-，即02m <<时，()0f x ≤得112x m -≤≤-，如果112m -≥-，2m >时，()0f x ≤得112x m-≤≤-.当实数0m <，此时1102m ->>-，()()()1210f x mx x =++≤，()()()1210f x mx x =--+≥解得12x ≤-或1x m ≥-综上述，()0f x ≤的解集为：当0m <时，11,,2m ⎛⎤⎡⎫-∞--+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；当0m =时，1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；当02m <<时，11,2m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；当2m ≥时，11,2m ⎡⎤--⎢⎣⎦.19.已知函数2()4mx n f x x +=+是定义在[2,2]-上的奇函数，且1(1)5f =.（1）求m ，n 的值，判断函数()f x 的单调性并用定义加以证明；（2）求使()2(1)10f a f a -+-<成立的实数a 的取值范围.【答案】（1）1,0==m n ，增函数，证明见解析（2）11a -≤<【解析】【分析】（1）因为函数()f x 为定义在[2,2]-上的奇函数，所以(0)0f =，又1(1)5f =，由此可得m ，n 的值，再由单调性定义判断函数的单调性；（2）()2(1)10f a f a -+-<，即()2(1)1f a f a -<-，根据定义域及单调性列出不等式组，从而可得出答案.【小问1详解】解：因为函数2()4mx nf x x +=+是定义在[2,2]-上的奇函数，所以()00f =，即04n=，解得0n =，又因1(1)55m f ==，所以1m =，所以1,0==m n ，2()4xf x x =+，经检验符合题意，在[2,2]-上任取1x ，2x ，且12x x <，则1212121222221212()(4)()()44(4)(4)x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++，因为1222x x -< ，所以120x x -<，1240x x ->，所以12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，所以函数()f x 在[2,2]-单调递增；【小问2详解】解：因为()2(1)10f a f a -+-<，所以()2(1)1f a f a -<--，即()2(1)1f a f a -<-，因为函数()f x 在[2,2]-单调递增，所以2211212212a a a a ⎧-<-⎪-≤-≤⎨⎪-≤-≤⎩，解得11a -≤<.20.已知函数44()32log ,()log f x x h x x =-=.（1）当[1,16]x ∈时，求函数()[()1]()g x f x h x =+⋅的值域；（2）如果对任意的[1,16]x ∈，不等式()2()f x f m h x ⋅>⋅恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）[0,2]（2）3m <-【解析】【分析】（1）设4log t x =，把函数转化为二次函数，利用二次函数性质可得值域；（2）设4log t x =换元，分类0=t 时不等式成立，在(0,2]t ∈时，分离参数后应用函数单调性求得最小值得结论．【小问1详解】设4log t x =，由[1,16]x ∈得[0,2]t ∈，22()(321)242(1)2g x t t t t t =-+=-+=--+，所以1t =时，max ()2g x =，2t =或0时，min ()0g x =，所以所求值域为[0,2]；【小问2详解】设4log t x =，又[1,16]x ∈，所以[0,2]t ∈，不等式()2()f xf m h x ⋅>⋅为2444(32log )(32log log x m x -->，即(34)(3)t t mt -->，0=t ，不等式显然成立，(]0,2t ∈时，不等式化为(34)(3)9415t t m t t t--<=+-，9415153t t +-≥-=-,当且仅当32t =时，等号成立，所以3m <-．综上，3m <-．21.已知福州地铁2号线路通车后，地铁的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤，经市场调研测算，地铁的载客量与发车的时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时，地铁为满载状态，载客量为400人；当210t ≤<时，载量会减少，减少的人数与()210t -成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记地铁的载客量为()p t .（1）求()p t 的表达式，并求发车时间间隔为6分钟时地铁的载客量；（2）若该线路每分钟的净收益为()123000150p t Q t-=-（元）.问：当地铁发车时间间隔多少时，该线路每分钟的净收益最大？【答案】（1）()()2400210,210400,1020t t p t t ⎧--≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩，发车时间间隔为6分钟时地铁的载客量为368人.（2）当地铁发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大.【解析】【分析】（1）当210t ≤<时，设()()240010p t k t =--，由()2272p =可求出k 的值，结合已知条件可得出函数()p t 的函数解析式，进而可求得()6p 的值；（2）分210t ≤<、1020t ≤≤两种情况讨论，求出Q 关于t 的函数解析式，利用基本不等式以及函数的单调性可求得Q 的最大值及其对应的t 值，即可得出结论.【小问1详解】解：当210t ≤<时，设()()240010p t k t =--，则()240064272p k =-=，解得2k =.由题意可得()()2400210,210400,1020t t p t t ⎧--≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩.所以，发车时间间隔为6分钟时地铁的载客量为()2640024368p =-⨯=（人）.【小问2详解】解：当210t ≤<时，()21230004802460060015015033024p t t t Q t t t t ---⎛⎫=-=-=-+ ⎪⎝⎭33090≤-（元），当且仅当5t =时，等号成立；当1020t ≤≤时，()1230001800150150p t Q tt-=-=-，此时函数1800150Q t =-单调递减，则18001503010Q ≤-=，当且仅当10t =时，等号成立.综上所述，当地铁发车时间间隔为6分钟时，该线路每分钟的净收益最大.22.对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数.①对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥；②当11120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有()()()1212f x x f x f x +≥+成立.已知函数2()g x x =与()21x h x a =⋅-是定义在[0,1]上的函数.（1）试问函数()g x 是否为G 函数？并说明理由；（2）若函数()h x 是G 函数，（i ）求实数a 的值；（ii ）讨论关于x 的方程()21()()xg h x m m R --=∈解的个数情况.【答案】（1）是，理由见解析；（2）（i ）1；（ii ）详见解析.【解析】【分析】（1）根据G 函数的定义求解；（2）（i ）根据函数()h x 是G 函数，由[0,1]x ∈，总有021x a ⋅-≥成立，求得1a ≥再由②当11120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有()121221222x x x x a a +≥⋅-+-成立，由()()12111221x x a -≤--，对11120,0,1x x x x ≥≥+≤时成立，求得1a ≤求解；（ii ）将方程()21()()xg h x m m R --=∈，转化为()()22121x xm ---=，令[]210,1xt =-∈，转化为221124m t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭求解.【小问1详解】解：函数()g x 是为G 函数，理由如下：①对任意的[0,1]x ∈，总有2()0g x x =≥；②当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，()()()()222212122121212122x x x x x x g g x x x x x g x ==+++⋅=++≥+，所以函数()g x 是为G 函数，【小问2详解】（i ）因为函数()h x 是G 函数，则①[0,1]x ∈，总有021x a ⋅-≥成立，即12xa ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，对[0,1]x ∈成立，所以1a ≥②当11120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有()121221222x x x x a a +≥⋅-+-成立，即()()12111221x x a -≤--，对11120,0,1x x x x ≥≥+≤时成立因为11120,0,1x x x x ≥≥+≤，所以12211,21100x x ≤≤--≤≤，因为12,x x 不同时为1，所以()()120211211xx <---≤，当120x x ==时，等号成立，所以1a ≤，综上：1a =，（ii ）方程()21()()xg h x m m R --=∈，即为()()22121x xm ---=，令[]210,1xt =-∈，则方程为221124m t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，当14m <-或0m >时，方程无解；当14m=-时，方程一个解；当104m-<≤时，方程有两个解.。
2020-2021学年福建省某校高一(上)期中数学试卷 (1)
2020-2021学年福建省某校高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．)1. 己知集合A＝{−1, 1}，B＝{x∈N|x≤2}，则A∪B＝（）A.{1}B.{−1, 1, 2}C.{−1, 0, 1, 2}D.{0, 1, 2}2. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A.y=1xB.y=√xC.y＝2xD.y＝−x|x|3. 设函数f(x)={x2+1,x≤12x,x>1，则f（f(4)）＝（）A.1 2B.2C.32D.544. 已知集合A={0, 1, a2}，B={1, 0, 2a+3}，若A=B，则a等于（）A.−1或3B.0或−1C.3D.−15. 已知a>0，b>0，a+b=2，则y=1a +4b的最小值是()A.7 2B.4C.92D.56. 若a＝1.70.6，b＝0.61.7，c＝0.60.6，则（）A.b>a>cB.a>c>bC.a>b>cD.c>a>b7. 已知不等式ax2−5x+b>0的解集为{x|−3<x<2}，则不等式bx2−5x+a<0的解集是（）A.{x|−13<x<12} B.{x|−12<x<13}C.{x|x<−13或x>12} D.{x|x<−12或x>13}8. 定义在R上的函数f(x)满足对任意x1，x2(x1≠x2)都有(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]<0，则下列关系式恒成立的是（）A.f(a)>f(2a)B.f(a2)<f(a)C.f(a2+1)<f(2a)D.f(a2+2)<f(2a)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．)9. 下列四组函数，不表示同一函数的是（ ） A.f(x)＝x ，g(x)=√x 2B.f(x)＝x ，g(x)=(√x)2C.f(x)＝x 2，g(x)=√x 63D.f(x)=√x +1⋅√x −1，g(x)=√x 2−110. 函数f(x)＝|x 2−6x +8|在下列区间（ ）上单调递减 A.(−∞, 2) B.(−∞, 3) C.[3, 4] D.(2, 3)11. 下列命题是真命题的是（ ） A.∀x ∈R ，x 2+x +1>0B.命题“∃x ∈R ，使得x 2+x −1<0”的否定是“∀x ∈R ，均有x 2+x −1>0”C.“x 2−x ＝0”是“x ＝1”的必要不充分条件D.如果a <b <0，那么1a 2<1b 212. 关于函数f(x)=√x 2−x 4|x|的性质的描述，正确的是（ ）A.f(x)的定义域为[−1, 0)∪(0, 1]B.f(x)的值域为(−1, 1)C.f(x)的图象关于y 轴对称D.f(x)在定义域上是增函数二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．)13. 函数f(x)=√4−x 2+11−x 的定义域是________．14. 函数f(x)=12x +1在[−1, 2]上的值域是________．15. 函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)＝x 2+x ，则f(x)在R 上的解析式为________（________）={x 2+x,x ≥0−x 2+x,x <0 ．16. 已知函数f(x)={(a −2)x +1,x <2a x−1,x ≥2 ，在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17. （1）计算：√(−4)33−(−9.6)0+0.2512×(√2)−4； 17.（2）已知实数a ，b 满足2a ＝3b ＝6，求1a+1b的值．18. 已知集合A ＝{x|2−a ≤x ≤2+a}，B ＝{x|1≤x ≤6}． （1）当a ＝3时，求A ∩B ，(∁R A)∪(∁R B)；（2）若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19. 设命题P:∀x ∈[−2, −1]，x 2−a ≥0；命题q:∃x 0∈R ，使x 02+2ax 0−(a −2)＝0．（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题p ，q 一真一假，求实数a 的取值范围．20. 已知函数f(x)=ax+b 1+x 2是定义在(−1, 1)上的奇函数，且f(12)=25．（1）求函数f(x)的解析式；（2）判断并证明函数f(x)在(−1, 1)上的单调性；（3）解不等式f(t −1)+f(2t)<0．21. 某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润y 1与投资成正比，其关系如图①；B 产品的利润y 2与投资的算术平方根成正比，其关系如图②．（注：利润和投资单位：万元）（1）分别求出A ，B 两种产品的利润与投资之间的函数关系式；（2）已知该企业已筹集到20万元资金，并将其全部投入A ，B 两种产品的生产，怎样22. 已知：函数f(x)＝x2−2ax+2，x∈[−1, 1]．（1）求f(x)的最小值g(a)；（2）求g(a)的最大值．参考答案与试题解析2020-2021学年福建省某校高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1.【答案】 C【考点】 并集及其运算 【解析】可求出集合B ，然后进行并集的运算即可． 【解答】∵ A ＝{−1, 1}，B ＝{0, 1, 2}， ∴ A ∪B ＝{−1, 0, 1, 2}． 2.【答案】 D【考点】奇偶性与单调性的综合 【解析】由函数的单调性与奇偶性逐一判断即可． 【解答】对于A ，函数y =1x 为奇函数，且在(−∞, 0)，(0, +∞)上单调递减，但在定义域内不具有单调性，故A 不符合题意；对于B ，函数y =√x 为非奇非偶函数，故B 不符合题意； 对于C ，函数y ＝2x 为非奇非偶函数，故C 不符合题意；对于D ，函数y ＝−x|x|={x 2,x ≤0−x 2,x >0为奇函数，且在定义域R 上为减函数，符合题意．3.【答案】 D【考点】 求函数的值 函数的求值【解析】直接利用分段函数求解函数值即可． 【解答】f(4)=12，f(f(4))=f(12)=(12)2+1=54． 4.【答案】 C【考点】【解析】根据A＝B即可得出a2＝2a+3，解出a，并检验是否满足集合元素的互异性即可．【解答】解：∵A=B，∴a2=2a+3，解得a=−1，或3，a=−1不满足集合元素的互异性，应舍去，∴a=3．故选C.5.【答案】C【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】利用题设中的等式，把y的表达式转化成(a+b2)(1a+4b)展开后，利用基本不等式求得y的最小值．【解答】解：∵a+b=2，∴a+b2=1，∴y=1a +4b=(a+b2)(1a+4b)=52+b2a+2ab≥52+2=92(当且仅当b=2a=43时等号成立).∴y=1a +4b的最小值是92.故选C.6.【答案】B【考点】指数函数的单调性与特殊点指数函数的图象与性质【解析】由指数函数y＝1.7x的图象知a>1，由指数函数y＝0.6x的图象与性质知b<c<1；由此得出a、b、c的大小关系．【解答】由指数函数y＝1.7x的图象知，1.70.6>1.70＝1，所以a＝1.70.6>1；由指数函数y＝0.6x的图象与性质知，0.61.7<0.60.6<0.60＝1，所以b＝0.61.7<c＝0.60.6<1；综上知，a、b、c的大小关系是a>c>b．7.【考点】一元二次不等式的应用【解析】由题意可知，−3和2是方程ax2−5x+b＝0的两根，再结合韦达定理以及十字相乘法，即可得解．【解答】由题意可知，−3和2是方程ax2−5x+b＝0的两根，且a<0，∴−3+2=5a ，(−3)×2=ba，∴a＝−5，b＝30，∴不等式bx2−5x+a<0为30x2−5x−5<0，即5(3x+1)(2x−1)<0，解得−13<x<12．8.【答案】D【考点】函数单调性的性质与判断【解析】由条件(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]<0可知函数f(x)为单调递减函数，然后根据单调性进行判断．【解答】∵函数f(x)满足(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]<0，即函数f(x)为单调递减函数，∵a2+2−2a＝(a−1)2+1>0，∴a2+2>2a，∴f(a2+2)<f(2a)．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.【答案】A,B,D【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．【解答】对于A，f(x)＝x的定义域为R，g(x)=√x2=|x|的定义域为R，两函数的对应关系不同，不是同一函数；对于B，f(x)＝x的定义域为R，g(x)=(√x)2=x的定义域为{x|x≥0}，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于C，f(x)＝x2的定义域为R，g(x)=√x63=x2的定义域为R，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于D，f(x)=√x+1⋅√x−1=√x2−1的定义域为[1, +∞), g(x)=√x2−1的定义域为(−∞, −1]∪[1, +∞)，【答案】 A,C【考点】函数单调性的性质与判断 【解析】结合函数的图象，求出函数的递减区间即可． 【解答】画出函数f(x)的图象，如图示：，显然f(x)在(−∞, 2)递减，在(2, 3)递增，在(3, 4)递减，在(4, +∞)递增， 11. 【答案】 A,C,D【考点】全称命题与特称命题 全称量词与存在量词充分条件、必要条件、充要条件 命题的否定命题的真假判断与应用【解析】由配方法求得x 2+x +1的范围判断A ；写出特称命题的否定判断B ；由充分必要条件的判定方法判断C ；由不等式的性质判断D ． 【解答】∵ x 2+x +1=(x +12)2+34>0，故A 正确；命题“∃x ∈R ，使得x 2+x −1<0”的否定是“∀x ∈R ，均有x 2+x −1≥0”，故B 错误； 由x 2−x ＝0，得x ＝0或x ＝1，反之，由x ＝1，可得x 2−x ＝0，则“x 2−x ＝0”是“x ＝1”的必要不充分条件，故C 正确；由a <b <0，得a 2>b 2>0，则1a 2<1b 2，故D 正确． 12.【考点】函数的定义域及其求法函数的值域及其求法【解析】先对已知函数解析式进行化简，然后结合函数的性质分别检验各选项即可判断．【解答】当x≠0时，f(x)=√x2−x4|x|=|x|√1−x2|x|=√1−x2，故1−x2≥0，解得−1≤x≤1且x≠0，A正确；因为0≤1−x2<1，所以0≤f(x)<1，B错误，因为f(−x)=√1−(−x)2=√1−x2=f(x)，故f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，C 正确；结合C可知f(x)为偶函数，在定义域上不单调，D错误．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.【答案】[−2, 1)∪(1, 2]【考点】函数的定义域及其求法【解析】根据二次根式的性质求出函数的定义域即可．【解答】由题意得：{4−x2≥01−x≠0，解得：−2≤x≤2且x≠1，故函数的定义域是[−2, 1)∪(1, 2]，14.【答案】[15, 23]【考点】函数的值域及其求法【解析】先根据指数函数的性质求出2x的取值范围，再结合反比例函数的性质即可得解．【解答】∵x∈[−1, 2]，∴2x∈[12, 4]，2x+1∈[32, 5]，∴f(x)=12x+1∈[15, 23]．15.【答案】f,x【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据题意，设x <0，则−x >0，由函数的解析式求出f(−x)的表达式，结合函数的奇偶性分析f(x)的解析式，综合即可得答案． 【解答】根据题意，设x <0，则−x >0，则f(−x)＝(−x)2+(−x)＝x 2−x ， 又由f(x)为奇函数，则f(−x)＝−f(x)＝−x 2+x ， 故f(x)={x 2+x,x ≥0−x 2+x,x <0 ，16.【答案】 (2, 3] 【考点】分段函数的应用函数单调性的性质与判断【解析】运用指数函数和一次函数的单调性，求出a 的范围，简化函数的单调性的性质，列出不等式求出a ，求交集，即可得到所求范围． 【解答】函数f(x)={(a −2)x +1,x <2a x−1,x ≥2，若函数f(x)在定义域R 上单调递增，由x ≥2，f(x)＝a x−1递增，可得a >1；由x <2时，f(x)＝(a −2)x +1递增，可得a −2>0，即a >2； 由单调性的定义可得2(a −2)+1≤a 2−1，即a ≤3． 综上可得a 的范围是2<a ≤3．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.【答案】原式＝−4−1+0.5×4＝−3， 实数a ，b 满足2a ＝3b ＝6， 则a ＝log 26，b ＝log 36，∴ 1a +1b =log 62+log 63＝log 66＝1．【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值 【解析】（1）根据指数幂的运算性质可得，（2）利用换底公式的性质log a b ⋅log b a ＝1，即可求出． 【解答】原式＝−4−1+0.5×4＝−3， 实数a ，b 满足2a ＝3b ＝6， 则a ＝log 26，b ＝log 36，∴ 1a +1b =log 62+log 63＝log 66＝1．【答案】当a＝3时，A＝{x|−1≤x≤5}，B＝{x|1≤x≤6}，∴∁R A＝{x|x<−1或x>5}，∁R B＝{x|x<1或x>6}，∴A∩B＝{x|1≤x≤5}；(∁R A)∪(∁R B)＝{x|x<1或x>5}．由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，得A⫋B且A≠⌀，∴{2−a≤2+a2−a≥12+a≤6，等号不能同时成立，得0≤a≤1．∴综上述：a的取值范围是{a|0≤a≤1}．【考点】交、并、补集的混合运算充分条件、必要条件、充要条件【解析】（1）求出a＝3时集合A，根据交集的定义写出A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则求出满足A⫋B且A≠⌀时a的取值范围即可．【解答】当a＝3时，A＝{x|−1≤x≤5}，B＝{x|1≤x≤6}，∴∁R A＝{x|x<−1或x>5}，∁R B＝{x|x<1或x>6}，∴A∩B＝{x|1≤x≤5}；(∁R A)∪(∁R B)＝{x|x<1或x>5}．由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，得A⫋B且A≠⌀，∴{2−a≤2+a2−a≥12+a≤6，等号不能同时成立，得0≤a≤1．∴综上述：a的取值范围是{a|0≤a≤1}．19.【答案】∵∀x∈[−2, −1]，x2−a≥0，∴a≤1，故a的范围(−∞, 1]，∵∃x0∈R，使x02+2ax0−(a−2)＝0．即x2+2ax−(a−2)＝0有解，∴△＝4a2+4(a−2)≥0，∴a2+a−2≥0，解得a≥1或a≤−2，∵命题p，q一真一假，当p真q假时，{a≤1−2<a<1，解得−2<a<1，当p假q真时，{a>1a≥1a≤−2，解得a>1，综上，a的范围{a|a>1或−2<a<1}．【考点】复合命题及其真假判断【解析】（1）结合不等式的恒成立，先进行分离常数，然后结合二次函数的性质可求；（2）由已知可得x 2+2ax −(a −2)＝0有解，结合二次方程的根的存在条件可求a 的范围，然后结合复合命题的真假关系进行求解．【解答】∵ ∀x ∈[−2, −1]，x 2−a ≥0，∴ a ≤1，故a 的范围(−∞, 1]，∵ ∃x 0∈R ，使x 02+2ax 0−(a −2)＝0．即x 2+2ax −(a −2)＝0有解，∴ △＝4a 2+4(a −2)≥0，∴ a 2+a −2≥0，解得a ≥1或a ≤−2，∵ 命题p ，q 一真一假，当p 真q 假时，{a ≤1−2<a <1，解得−2<a <1， 当p 假q 真时，{a >1a ≥1a ≤−2，解得a >1， 综上，a 的范围{a|a >1或−2<a <1}．20.【答案】由奇函数的性质可知，f(0)＝0，∴ b ＝0，f(x)=ax 1+x 2，∵ f(12)=12a 1+14=25， ∴ a ＝1，f(x)=x 1+x 2．函数f(x)在(−1, 1)上是增函数．证明：任取−1<x 1<x 2<1，则f(x 1)−f(x 2)=(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(1+x 12)(1+x 22)，∵ −1<x 1<x 2<1，所以x 1−x 2<0，1−x 1x 2>0，∴ f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，∴ 函数f(x)在(−1, 1)上为增函数．由题意，不等式f(t −1)+f(2t)<0可化为f(t −1)<−f(2t)，∴ f(t −1)<f(−2t)，∴ {t −1<−2t −1<t −1<1−1<2t <1，解得0<t <13， 故不等式的解集为(0, 13)．【考点】函数解析式的求解及常用方法奇偶性与单调性的综合函数单调性的性质与判断【解析】（1）由奇函数的性质可知，f(0)＝0，代入可求b ，然后根据f(12)=25．，代入可求a ； （2）任取−1<x 1<x 2<1，然后利用作差法比较f(x 1)与f(x 2)的大小即可判断；（3）结合（2）的单调性即可求解不等式．【解答】由奇函数的性质可知，f(0)＝0，∴ b ＝0，f(x)=ax 1+x 2，∵ f(12)=12a 1+14=25， ∴ a ＝1，f(x)=x1+x 2．函数f(x)在(−1, 1)上是增函数．证明：任取−1<x 1<x 2<1，则f(x 1)−f(x 2)=(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(1+x 12)(1+x 22)，∵ −1<x 1<x 2<1，所以x 1−x 2<0，1−x 1x 2>0，∴ f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，∴ 函数f(x)在(−1, 1)上为增函数．由题意，不等式f(t −1)+f(2t)<0可化为f(t −1)<−f(2t)，∴ f(t −1)<f(−2t)，∴ {t −1<−2t −1<t −1<1−1<2t <1，解得0<t <13，故不等式的解集为(0, 13)．21.【答案】根据题意可设f(x)＝kx ，g(x)＝k √x ．则f(x)＝0.25x(x ≥0)，g(x)＝2√x(x ≥0)．设B 产品投资x 万元，则A 产品投资20−x 万元，企业获利f(x)=0.25(20−x)+2√x =−14(√x −4)2+9x ∈[0,20]，当x ＝16时，f(x)max ＝9万元，所以A 产品投资4万元，B 产品投资16万元时，企业获利最大为9万元．【考点】根据实际问题选择函数类型函数最值的应用【解析】（1）根据题意可设f(x)＝kx ，g(x)＝k √x 代值即可求出相对应的参数，即可得到函数的解析式，（2）设B 产品投资x 万元，则A 产品投资20−x 万元，企业获利f(x)=0.25(20−x)+2√x =−14(√x −4)2+9x ∈[0,20]，利用二次函数的性质即可求出【解答】根据题意可设f(x)＝kx，g(x)＝k√x．则f(x)＝0.25x(x≥0)，g(x)＝2√x(x≥0)．设B产品投资x万元，则A产品投资20−x万元，企业获利f(x)=0.25(20−x)+2√x=−1(√x−4)2+9x∈[0,20]，4当x＝16时，f(x)max＝9万元，所以A产品投资4万元，B产品投资16万元时，企业获利最大为9万元．22.【答案】当a≥1时，f(x)在区间[−1, 1]上是减函数，最小值g(a)＝3−2a；当−1<a<1时，f(x)在区间[−1, 1]上是先减后增函数，最小值g(a)＝2−a2；当a≤−1时，f(x)在区间[−1, 1]上是增函数，最小值g(a)＝3+2a；由（1）可知g(a)在[1, +∞)上是减函数，g(a)最大值为1；g(a)在(−1, 1)上是先增再减函数，g(a)最大值为2；g(a)在(−∞, −1]上是增函数，g(a)最大值为1；所以g(a)最大值为2．【考点】二次函数的性质二次函数的图象【解析】（1）通过对称轴x＝a是否在区间内，利用二次函数的性质求解最小值即可．（2）求出g(a)的表达式，然后求解最大值即可．【解答】当a≥1时，f(x)在区间[−1, 1]上是减函数，最小值g(a)＝3−2a；当−1<a<1时，f(x)在区间[−1, 1]上是先减后增函数，最小值g(a)＝2−a2；当a≤−1时，f(x)在区间[−1, 1]上是增函数，最小值g(a)＝3+2a；由（1）可知g(a)在[1, +∞)上是减函数，g(a)最大值为1；g(a)在(−1, 1)上是先增再减函数，g(a)最大值为2；g(a)在(−∞, −1]上是增函数，g(a)最大值为1；所以g(a)最大值为2．。
2020-2021学年福建省某校高一(上)期中数学试卷112
2020-2021学年福建省某校高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．)<3x<27}，B＝{x|x2+2x−8<0}，则A∩B＝1. 设A={x|19（）A.(−4, 3)B.(−3, 2)C.(−2, 2)D.(−2, 3)2. 设a，b∈R，则“a+b≤4”是“a≤2，且b≤2”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件的图象不可3. 在同一坐标系中，函数y＝x a(a≠0)和y=ax−1a能是（）A. B.C.D.4. 设函数f(x)为定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，f(x)=(12)x +2x +b （其中b 为实数），则f(1)的值为( ) A.−3B.−1C.1D.35. 若√ax 2−2ax+2对任意的x 都有意义，则实数a 的取值范围是（ ）A.0<a <2B.0≤a ≤2C.0<a ≤2D.0≤a <2 6. 已知函数f(x)={(a −3)x +5,x ≤12a x,x >1 ，若对R 上的任意实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，恒有(x 1−x 2)[f(x 1)−f(x 2)]<0成立，那么a 的取值范围是（ ）A.(0, 3)B.(0, 3]C.[2, 3)D.(0, 2]7. 定义|ab cd |=ad −bc ，如|1234|=1×4−2×3＝−2，且当x ∈[0, 2]时，|4x 32x+11|≥k 有解，则实数k 的取值范围是（ ） A.(−∞, −5] B.(−∞, −9] C.(−∞, −8] D.(−∞, −2]8. 定义在R 内的函数f(x)满足f(x +2)＝2f(x)，且当x ∈[2, 4)时，f(x)={−x 2+4x,2≤x ≤3x 2+2x,3<x <4 g(x)＝ax +1，对∀x 1∈[−2, 0),∃x 2∈[−2, 1]，使得g(x 2)＝f(x 1)，则实数a 的取值范围为（ ）A.(−∞, −18]∪[18, +∞)B.[−14, 0)∪(0, 18]C.(0, 8]D.(−∞, −14]∪[18, +∞) 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个是符合题目要求，全部选出得5分，漏选得3分，选错或多选得0分．)9. 下列说法正确是（ ）A.命题“∃x >1，x +e x ≥2”的否定形式是“∀x >1，x +e x <2”B.若函数y ＝f(x)的定义域是[12,2]，则函数y ＝f(2x )的定义城为[−1, 1]C.若x ∈R ，则函数y =√x 2+4+√x 2+4的最小值为2D.若−1≤x <y ≤5，则−6≤x −y <010. 若a <b <−1，c >0，则下列不等式中一定成立的是（ ） A.a −1a >b −1b B.a −1b <b −1a C.b a >b−c a−cD.(ab )c>(ba)c11. 已知函数f(x)满足f(1x )=2x+1x+1，则关于函数f(x)正确的说法是（）A.f(x)的定义域为{x|x≠−1}B.f(x)值域为{y|y≠1, 且y≠2}C.f(x)在(0, +∞)单调递减D.不等式f(x)>2的解集为(−1, 0)12. 定义：若函数F(x)在区间[a, b]上的值域为[a, b]，则称区间[a, b]是函数F(x)的“完美区间”，另外，定义区间[a, b]的“复区间长度”为2(b−a)，已知函数f(x)＝|x2−1|，则（）A.[0, 1]是f(x)的一个“完美区间”B.[1−√52, 1+√52]是f(x)的一个“完美区间”C.f(x)的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+√5D.f(x)的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+2√5三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．其中第16题为双空题，第一空2分，第二空3分．)13. 函数f(x)=2−x2+4x+5的单调递减区间为________．14. 若幂函数f(x)＝(m2−5m+7)x m在R上为增函数，则log m√27+2lg5+lg4−m log m12=________．15. 已知函数f(x)＝a x+2−3(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在一次函数y＝mx−n的图象上，其中实数m，n满足mn>0，则1m +2n的最小值为________．16. 设y＝f(x)是定义在R上的函数，对任意的x∈R，恒有f(x)+f(−x)＝x2成立，函数g(x)满足g(x)＝f(x)−x22，则g(x)是________（填：“奇函数”、“偶函数”、“非奇非偶函数”、“既奇又偶函数”），若y＝f(x)在(−∞, 0]上单调递增，且f(2−a)−f(a)≥2−2a，则实数a的取值范围是________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17. 已知函数f(x)＝x2−2|x|．（1）判断f(x)的奇偶性；（2）作出f(x)的图象，并写出f(x)的单调区间（只需写出结果）；（3）若方程f(x)＝a有四个不等实根，求实数a的取值范围．18. 已知命题p:−x2+6x+16≥0，q:x2−4x+4−m2≤0．（1）若m＝3且p，q都为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．19. 已知幂函数f(x)＝x−3x+5(m∈N)为偶函数，且在区间(0, +∞)上单调递增．(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)设函数g(x)＝f(x)+2λx−1，若g(x)<0对任意x∈[1, 2]恒成立，求实数λ的取值范围．20. 某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x(x≥0)万元时，经销A，B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元．其中f(x)=x+1，g(x)={10x+1x+1(0≤x≤3),−x2+9x−12(3<x≤5).如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其最大收益．21. 已知函数f(x)＝k⋅2x−2−x是定义域为R上的奇函数．（1）求k的值；（2）求不等式f(x2+2x)+f(x−4)>0的解集；（3）若g(x)＝22x+2−2x−2mf(x)在[1, +∞)上的最小值为−2，求m的值．−5|.22. 已知定义在区间(0, +∞)上的函数f(x)=|x+4x(1)判定函数g(x)=x+4在(2, +∞)的单调性，并用定义证明；x(2)设方程f(x)=m有四个不相等的实根x1，x2，x3，x4．①求乘积x1⋅x2⋅x3⋅x4的值；②在[1, 4]是否存在实数a，b，使得函数f(x)在区间[a, b]单调，且f(x)的取值范围为[ma, mb]，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．。
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福州一中2020—2021学年第一学期第一学段模块考试高一数学学科一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.命题“存在0R x ∈，020x ≤”的否定是（ ）A.对任意的x R ∈，20x ≤B.对任意的x R ∈，20x >C.不存在0R x ∈，020x > D.存在0R x ∈，20x ≥2.幂函数的图象过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则它的单调增区间是（ ） A.(,0)-∞B.(0,)+∞C.[0,)+∞D.(,)-∞+∞3.若集合{}2120A x x x =--≤，101x B x x ⎧+⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{} C x x A x B =∈∉且，则集合C =（ ） A.[3,1)(1,4]--⋃ B.[3,1](1,4]--⋃ C.[3,1)[1,4]--⋃D.[3,1][1,4]--⋃4.若0a b >>，0c d <<，则一定有（ ） A.a bd c> B.a b d c< C.a b c d> D.a b c d< 5.设0.60.6a =， 1.50.6b =，0.61.5c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A.a b c <<B.a c b <<C.b a c <<D.b c a <<6.设函数||()2x f x =，则下列结论正确的是（ ）A.(1)(2)(f f f -<<B.((1)(2)f f f <-<C.(2)((1)f f f <<-D.(1)((2)f f f -<<7.若221xy+=，则x y +的取值范围是（ ） A.[0,2] B.[2,0]-C.[2,)-+∞D.(,2]-∞-8.已知()1()121(0)x a f x x x -⎛⎫=-->⎪⎝⎭，则“1a =”是“()0f x ≤恒成立”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9.设{}28150A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若A B B =，则实数a 的值可以为（ ）A.15B.0C.3D.1310.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是（ ）A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 11.函数2()xf x x a=+的图象可能是（ ） A. B.C. D.12.已知a ，b ，c R ∈，若2221a b c ++=，且(1)(1)(1)a b c abc ---=，则下列结论正确的是（ ）A.1a b c ++=B.1ab bc ca ++<C.c 的最大值为1D.a 的最小值为-1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.1132081()274e π-⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=________. 14.函数()f x 的定义域为[0,8]，则函数(2)4f x x -的定义域是________. 15.已知21(31)4,1,()1,12x a x a x f x a x --+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩满足对于任意实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a的取值范围是________.16.若函数224,,()22,,xx x x a f x x a ⎧-+≤=⎨+>⎩（0a >，且1a ≠）的值域为[3,)+∞，则实数a 的取值范围是________.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分）已知集合{}02A x x =≤≤，{}32B x a x a =≤≤-. （1）若()U C A B R ⋃=，求a 的取值范围； （2）若AB B ≠，求a 的取值范围.18.（本题满分12分）已知函数1()max ,22x f x x ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，(),1,()1,1,f x x g x x x x ≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩（1）填写表格后描点，并画出()y g x =的图象；（2）写出()g x 的最小值，以及不等式()20g x ->的解集. 19.（本题满分12分） 已知2()21x f x a =-+为奇函数. （1）求证：()f x 为增函数； （2）求()f x 的值域. 20.（本题满分12分）已知定义在R 上的函数()f x 对任意x ，y R ∈都有等式()()() 1f x y f x f y +=+-成立，且当0x >时，有()1f x >.（1）求证：函数()f x 在R 上单调递增；（2）若()34f =，且当0x >时，()()9233x x f f m m ++-⋅>恒成立，求实数m 的取值范围. 21.（本题满分12分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示：当S 中()%0100x x <<的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为30,030()1800290,30100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式；讨论()g x 的单调性，并说明其实际意义. 22.（本题满分12分）已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠满足()01f =，对于任意x R ∈，()f x x ≥-，且1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求函数()f x 解析式；（2）讨论方程()|1|(0)f x mx m =->在区间(0,1)上的根个数.参考答案：2020级福州一中高一数学期中考试参考答案1-8：BADB CDDC9.ABD 10.BD 11.BCD 12.ABC12.【解答】由(1)(1)(1)a b c abc ---=，得1abc ab bc ca a b c abc ---+++-=1ab bc ca a b c ∴++=++-设a b c x ++=，则1ab bc ca x ++=-.2222()2()1a b c a b c ab bc ca ++=++-++=，22(1)1x x ∴--=，解得1x =，即1a b c ++=，0ab bc ca ++=. ()0ab a b c ∴++=，即()(1)0ab a b a b ++--=.220a b ab a b ∴++--=，即22(1)0b a b a a +-+-=.由a ，b R ∈知，()()22140a a a ∆=---≥.∴23210a a --≤，解得113a -≤≤.因此13a ≥-. 又当1=3a -时，代入前面解得，23b c ==.符合题设要求.∴a 的最小值为13-.13.2 14.[0,4) 15.11,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭16.[1,)+∞ 17.解：（1）{}02A x x =≤≤，{}0 2U C A x x x ∴=<>或，若()U C A B R ⋃=，则320322a a a a -≥⎧⎪≤⎨⎪-≥⎩，即0a ≤ ∴实数a 的取值范围是(,0]-∞. （2）若AB B =，则B A ⊆.当B =∅时，则32a a -<得1a >当B =∅时，1a ≤，∴当B A ⊆，则0322a a ≥⎧⎨-≤⎩，得1,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦综上故a 的取值花围为1,2a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭.18.解：（1）由题意1,12()2,111,1x x x g x x x x x ⎧--<-⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪+≥⎩，，，图像如下：（2）当1x =-时，min 1()2g x =； 解集：5,(1,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭. 19.解：（1）∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，即222121x xa a --=-+++ 整理得(2)2221212x x x xa a a a-+-⋅+-=++ 则22a aa a-=-⎧⎨=-⎩，解得1a =.2()121x f x ∴=-+. ()f x 的定义域为R ，设12,x x R ∈，且12x x <，()()()()()121212122222221211212x x x x x x f x f x a a ⋅--=--+=++++ 12x x <，12220x x ∴-<，()()1212120x x ++>，()()120f x f x ∴-<即()()12f x f x <，所以()f x 为增函数.（2）2()121x f x =-+，211x+>，10121x∴<<+ 22021x ∴-<-<+，211121x ∴-<-<+，即11()1f x -<<故当()f x 为奇函数时，其值域为(1,1)-. 另解：2()121xf x =-+. 由2121xy =-+，得(1)21xy y -=--， 当1y =时，得02=-，矛盾，所以1y ≠； 故有121xy y --=-. 当x R ∈时，20x >，所以101y y -->-，解得11y -<<. 故当()f x 为奇函数时，其值域为(1,1)-.20.解：（1）任取12,x x R ∈，且12x x <，则210x x ->，()211f x x ∴->，()()()212110f x f x f x x -=-->，()()21f x f x ∴>.故函数()f x 在R 上单调递增.（2）(3)(1)(2)1(1)1(1)(1)13(1)2f f f f f f f =+-=-++-=-，(1)2f ∴=， 原不等式等价于()()92312x x f f m m ++-⋅->，即()()9231x x f m m f ++-⋅>，故9231x x m m ++-⋅>恒成立，即0x >时，()3191xxm -<+，9131x x m +<-.设31xt -=，则0t >，且291(1)122231x xt t t t+++==++≥-，当且仅当t =时等号成立。