初一常用几何证明的定理

初一常用几何证明的定理总结

对顶角相等：

几何语言：∵∠1、∠2是对顶角

∴∠1＝∠2（对顶角相等）

垂线：

几何语言：正用反用：

∵∠AOB＝90°∵AB⊥CD

∴AB⊥CD（垂直的定义）∴∠AOB＝90°（垂直的定

义）

证明线平行的方法：

1、平行公理

如果两条直线都与第三条直线平行，那么，这两条直线也平行。简述为：平行于同一直线的两直线平行。

几何语言叙述：

如图：∵AB∥EF，CD∥EF

∴AB∥CD（平行于同一直线的两直线平行。）

2、同位角相等，两直线平行。

几何语言叙述：

如图：∵直线AB、CD被直线EF所截

∠1＝∠2

∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行。）

3、内错角相等，两直线平行。

几何语言叙述：

如图：∵直线AB、CD被直线EF所截，∠1＝∠2 ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行。）

4、同旁内角互补，两直线平行。

几何语言叙述：

如图：∵直线AB、CD被直线EF所截，∠1+∠2＝180O ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行。）

5、垂直于同一直线的两直线平行。

几何语言叙述：

如图：∵直线a⊥c，b⊥c

∴a∥b（垂直于同一直线的两直线平行。）

平行线的性质：

1、两直线平行，同位角相等。

几何语言叙述：∵AB∥CD

∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等。）

2、两直线平行，内错角相等。

几何语言叙述：

如图：∵AB∥CD

∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等。）

3、两直线平行，同旁内角互补。

几何语言叙述：

如图：∵AB∥CD

∴∠1+∠2＝180O（两直线平行，同旁内角互补。）

证明角相等的其余常用方法：

1、余角的性质：

同角或等角的余角相等。

例：∵如图∠AOB＋∠BOC＝90°

∠BOC＋∠COD＝90°

∴∠AOB＝∠COD（同角的余角相等）

2、补角的性质：

同角或等角的补角相等。

例：∵如图∠AOB＋∠BOD＝180°，∠AOC＋∠COD＝180°且∠BOD＝∠AOC

∴∠AOB＝∠COD（同角的补角相等）

三角形中三种重要线段：

1、三角形的角平分线：

几何语言叙述：∵如图BD 是△ABC 的角平分线

∴∠ABD ＝∠CBD=1

2

∠ABC

2、三角形的中线：

几何语言叙述：∵如图BD 是△ABC 的中线

∴AD ＝BD ＝1

2

AB

3、三角形的高线：

几何语言叙述：∵如图AD 是△ABC 的高 ∴∠ADB ＝∠ADC ＝90° 三角形的分类：

⎧⎪

⎧⎨

⎨⎪

⎩⎩

不等边三角形三角形（按边分）底和腰不等的等腰三角形等腰三角形等边三角形⎧⎪

⎧⎨

⎨⎪

⎩⎩

直角三角形三角形（按角分）锐角三角形斜三角形钝角三角形

三角形三边的关系：

三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 如图：|AB －AC|

三角形内角和定理及推论

三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°

几何语言叙述：

如图：∠A＋∠B＋∠C＝108°（三角形三个内角的和等于

180°）

三角形内角和定理推论1：

直角三角形的两锐角互余。

几何语言叙述：如图：∵△ABC中，∠C＝90°

∴∠A＋∠B＝90°（直角三角形的两锐

角互余）

三角形内角和定理推论2：

三角形的一个外交等于和它不相邻的两内角之和。

几何语言叙述：如图：∵∠ACD是△ABC的外角

∴∠ACD＝∠A＋∠B（三角形的一个外

角等于和它不相邻的两内角之和）

三角形内角和定理推论3：

三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

几何语言叙述：如图：∵∠ACD是△ABC的外角

∴∠ACD>∠B（三角形的一个外角大于

任何一个与它不相邻的内角）

平面直角坐标系各个象限内和坐标轴的点的坐标的符号规律：

（1）x轴将坐标平面分为两部分，x轴上方的纵坐标为正数；x轴下方的点纵坐标为

负数。即第一、二象限及y轴正方向（也称y轴正半轴）上的点的纵坐标为正数；第三、四象限及y轴负方向（也称y轴负半轴）上的点的纵坐标为负数。

反之，如果点P（a ，b）在x轴上方，则b>0；如果P（a ，b）在x轴下方，则b<0。

(2)y轴将坐标平面分成两部分，y轴左侧的点的横坐标为负数；y轴右侧的点的横坐标为正数。即第二、三象限和x轴的负半轴上的点的横坐标为负数；第一、四象限和x 轴正半轴上的点的横坐标为正数。

（3）规定坐标原点的坐标为（0 ，0）

（4）各个象限内的点的符号规律如下表：

上表反推也成立。如：若点P（a ，b）在第四象限，则a>0，b<0

(5)坐标轴上的点的符号规律：

定义

当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边。

(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。

(3)有公共边的，公共边一定是对应边。

(4)有公共角的，角一定是对应角。

(5))

1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。

2、．有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等“边角边”)。

3、．有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等“角边角”)。