不等式与函数性质的综合应用
不等式与三角函数综合应用
不等式与三角函数综合应用在数学中，不等式和三角函数是两个重要的概念。
不等式是数学中用来描述数之间大小关系的表达式，而三角函数则是用来描述角度和边长之间关系的函数。
本文将探讨不等式与三角函数的综合应用，以及它们在实际问题中的应用。
一、不等式的基本性质和解法不等式是数学中常见的一种关系表达式，它可以描述数之间的大小关系。
常见的不等式有大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等符号。
解不等式的方法主要有图像法、代数法和递推法等。
下面我们通过一个例子来说明不等式的解法。
例子：解不等式2x + 3 > 5。
解法：我们首先将不等式转化为等价的形式，得到2x > 2。
然后通过除以2的方式得到x > 1。
因此不等式2x + 3 > 5的解集为{x | x > 1}。
二、三角函数的基本性质和公式三角函数是数学中用来描述角度和边长之间关系的函数。
常见的三角函数有正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。
三角函数的取值范围一般是[-1, 1]，并且它们之间存在一些重要的性质和公式。
下面我们通过一个例子来说明三角函数的应用。
例子：已知一个角的正弦值为0.6，求这个角的余弦值和正切值。
解法：根据正弦函数的定义，可以得到sinθ = 0.6。
由此可以得到θ ≈ 36.87°。
然后根据余弦函数和正切函数的定义，可以得到cosθ ≈ 0.8，tanθ ≈ 0.75。
因此这个角的余弦值为0.8，正切值为0.75。
三、不等式与三角函数的综合应用不等式与三角函数在实际问题中常常需要综合应用，通过建立不等式和利用三角函数的性质来解决实际问题。
下面我们通过一个例子来说明不等式与三角函数的综合应用。
例子：已知一座山峰的斜率为k，角度为θ，山顶距离地面的垂直高度为h。
如果山顶处禁止爬升的角度不超过α度，那么k和h之间的关系是怎样的？解法：我们可以首先利用三角函数的性质，得到tanθ = h / k。
一次函数和不等式的解题技巧
一次函数和不等式的解题技巧一次函数和不等式是数学中基础的概念，也是学习数学的重要门槛。
在学习这两个知识点时，我们需要掌握一些解题技巧，以便更好地理解和应用这些知识点。
一、一次函数的解题技巧一次函数是指形如y=kx+b的函数，其中k和b为常数。
在解题时，我们需要掌握以下技巧：1. 确定函数的斜率和截距斜率k决定了函数的变化趋势，截距b决定了函数的位置。
因此，我们需要先确定函数的斜率和截距，才能更好地理解函数的性质。
2. 理解函数的图像一次函数的图像是一条直线，我们需要理解直线的性质，比如斜率越大，函数的变化越快；截距越大，函数的位置越高。
3. 利用函数的性质解题一次函数具有一些特殊的性质，比如斜率为正时，函数单调增加；斜率为负时，函数单调减少。
我们可以利用这些性质来解题，比如求函数的最值、最小值等。
二、不等式的解题技巧不等式是指形如a<b或a≤b的数学式子，其中a和b可以是数字、变量或表达式。
在解题时，我们需要掌握以下技巧：1. 理解不等式的含义不等式的含义是比较大小关系，我们需要理解不等式的含义，才能更好地应用不等式解题。
2. 利用不等式的性质解题不等式具有一些特殊的性质，比如加减不等式、乘除不等式、绝对值不等式等，我们可以利用这些性质来解题，比如求不等式的解集、证明不等式等。
3. 注意不等式的变形在解题时，我们需要注意不等式的变形，比如加减、乘除、开方等操作会改变不等式的性质，需要根据具体情况来进行变形。
三、一次函数和不等式的综合应用一次函数和不等式常常在实际生活中综合应用，比如求解线性规划问题、解决经济问题、分析统计数据等。
在综合应用时，我们需要掌握以下技巧：1. 理解实际问题的背景和条件在应用一次函数和不等式解决实际问题时，我们需要先理解问题的背景和条件，才能更好地应用数学知识解决问题。
2. 建立数学模型在理解问题的背景和条件后，我们需要建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，以便更好地进行求解。
凸函数的性质及其在不等式证明中的应用
凸函数的性质及其在不等式证明中的应用凸函数是数学中一个重要的概念，广泛应用于优化理论、经济学、物理学等领域。
在不等式证明中，凸函数可以帮助我们简化证明过程，并且提供了一些常用的不等式。
1. 定义：对于定义在实数域上的函数f(x)，如果对于任意的x1、x2，以及0≤t≤1，都有f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)，则称函数f(x)是凸函数。
如果不等式方向反过来，即f(tx1+(1-t)x2)≥tf(x1)+(1-t)f(x2)，则称函数f(x)是凹函数。
2.一阶导数判别法：如果函数f(x)在区间(a,b)上二次可导，且f''(x)≥0，则f(x)是凸函数；如果f''(x)≤0，则f(x)是凹函数。
3. Jensen不等式：如果函数f(x)是凸函数，则对于任意的实数x1，x2，…，xn，以及任意的正实数λ1，λ2，…，λn，满足λ1+λ2+…+λn=1，有f(λ1x1+λ2x2+…+λnxn)≤λ1f(x1)+λ2f(x2)+…+λnf(xn)。
在不等式证明中，凸函数可以用来简化证明过程，常用的应用有：1. 平均值不等式：对于任意的正实数x1，x2，…，xn，有(x₁+x₂+⋯+xₙ)/n ≥ √(x₁x₂⋯xₙ)。
这个不等式可以通过使用以函数f(x)=ln(x)为代表的凸函数来证明。
由于ln(x)在定义域(0,+∞)上是凸函数，我们可以使用Jensen不等式来证明平均值不等式。
2. Cauchy-Schwarz不等式：对于任意的实数a1，a2，…，an以及b1，b2，…，bn，有(a₁²+a₂²+⋯+aₙ²)(b₁²+b₂²+⋯+bₙ²) ≥(a₁b₁+a₂b₂+⋯+aₙbₙ)²。
这个不等式也可以通过使用凸函数来证明，常用的方法是构造凸函数f(x)=x²，然后应用Jensen不等式。
第二章 考点9 不等式的综合应用
例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
解：设使用x年的平均费用为y万元，由题意得
10 0.9x 0.2 0.2x x
y
2
1 10
x
1 2
x 10 3，
x
x 10
10 x
当10 x 即x＝10时，取等号． x 10
∴使用10年报废最划算．
【回顾反思】 解不等式的应用题，关键是构造不等式模型，即分析题目
例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
【解】 设床价提高10x元/床，则床位减少10x张，由题意得 (50＋10x)(200－10x)>15 000⇒5<x<10， 5×10＋50＝100(元/床)，10×10＋50＝150(元/床).∴价格应定 为100～150元/床．
例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
【提示】
∵ 3a 2b a b 6a 4b 5a 5b a b 0 ，
5
2
10
10
∴a>b.
A组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B组 1 2 3
2．设矩形的长为a，宽为b(a>b)，面积为S1，与此矩形周长相
等的正方形的面积为S2，则( A )
A．S1<S2
例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
【例3】 设计一个面积为800 cm2的矩形广告牌，要求左右均 留2 cm的空白，上下边均留1 cm的空白．问：怎样设计使中 间的文字面积最大？并求此最大值．
【思路点拨】 本题是求最值问题，一般选用“基本不等式” 模型或“一元二次函数”模型来解决．
例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
2．常见的应用题类型 (1)分配问题、速度和时间问题、工程问题等一般用一元一次 不等式(组)模型解决． (2)价格问题、面积问题等一般用一元二次不等式(组)模型解 决． (3)最值问题等一般用基本不等式模型(均值定理)解决．
凸函数的性质及其在不等式证明中的应用
凸函数的性质及其在不等式证明中的应用凸函数是一类在数学中非常重要的函数，它具有很多重要的性质，并且在不等式证明中有着广泛的应用。
在本文中，我将介绍凸函数的性质，并给出一些在不等式证明中的具体应用。
一、凸函数的定义：对于定义在区间上的函数，如果对于区间上的任意两个点和以及任意实数，都有那么我们称函数是凸函数。
如果上式中的等号只在时成立，那么我们称函数是严格凸函数。
二、凸函数的性质：1.凸函数的一阶导数是非递减的。
2.凸函数的二阶导数是非负的。
3.函数的局部极小值点是凸函数。
4.凸函数的和、乘积以及复合仍然是凸函数。
三、凸函数在不等式证明中的应用：凸函数具有很多重要的性质，这些性质使得凸函数在不等式证明中有着广泛的应用。
下面是一些具体的应用示例：1.利用凸函数判断不等式的方向：考虑不等式f(x)≥g(x)如果函数和是凸函数，且在区间上有，那么可以得到f(x) ≥ g(x) for a ≤ x ≤ b2.利用凸函数证明不等式：有时候，我们需要证明一个不等式，其中和可能是一些函数或者表达式。
如果我们可以找到一个凸函数，使得在区间上有，以及在边界处有，那么我们就可以得到f(x) ≥ g(x) for a ≤ x ≤ b从而证明原始的不等式。
3.利用凸函数确定不等式的最优解：在一些优化问题中，我们需要求解一个约束条件下的最优解。
如果我们可以找到一个凸函数，使得在区间上有，且在边界处有，那么我们就可以确定约束条件的最优解。
4.利用凸函数证明柯西不等式：对于实数集和，柯西不等式指的是(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... +an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)其中和是任意实数。
我们可以通过构造一些凸函数的性质，如二次函数，来证明柯西不等式。
在不等式证明中，凸函数是一个非常重要的工具。
它的性质使得我们可以利用它来判断不等式的方向，证明不等式，确定不等式的最优解，甚至证明柯西不等式等等。
初二数学-一次函数、方程(组)及不等式的综合应用
不等式在实际问题中的应用
方案优选问题 在多种方案中选择最优方案，可以通过建立和解决不等式来比较各种方案的优劣。 最大值最小值问题 在生产、生活中，经常需要求某个量的最大值或最小值，可以通过建立不等式来解决。 经济问题 在经济学中，价格、成本、利润等变量之间存在不等关系，可以通过建立和解决不等式来分析经济问题。
建立实际问题与数学模型的联系
实际问题的数学建模与解决
通过分析实际问题，将问题转化为数学模型，如线性方程、不等式或函数表达式。
利用数学知识和方法求解数学模型，得出实际问题的解决方案。
实际问题的数学解决方案
将数学解决方案应用到实际问题中，验证其可行性和有效性。
实际问题的应用与验证
综合应用题的解题思路与技巧
方程组在实际问题中的应用
在经济学中，方程组被用来描述和解决各种问题，如供需关系、成本和收益等。
经济问题
在解决物理问题时，经常需要建立和解决方程组，例如在力学、电磁学和热力学等领域。
物理问题
在航天工程中，需要建立复杂的方程组来描述和解决飞行器的轨道、速度和加速度等问题。
航天工程
PART THREE
初二数学-一次函数、方程(组)及不等式的综合应用
答辩学生：XXX 指导老师：XXX
Contents
目 录
目录
绪论
研究 方法
PART ONE
一次函数的应用
3.1关键技术 3.2技术难点 3.3案例分析
一次函数的定义与性质
一次函数是形如$y=kx+b$的函数，其中$k$和$b$是常数，且$k neq 0$。 一次函数的图像是一条直线，其斜率为$k$，截距为$b$。 一次函数的性质包括单调性、奇偶性等，这些性质在解决实际问题中具有重要意义。
凸函数的性质及其在证明不等式中的应用
凸函数的性质及其在证明不等式中的应用凸函数（Convex function）是数学中的一种特殊函数，具有一些特殊的性质和应用。
在证明不等式中，凸函数的性质可以帮助我们简化问题，提供了一种有效的方法。
1. 定义：对于定义在实数集上的函数f(x)，如果对于任意的x1,x2∈R以及0≤t≤1，都有f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)，那么f(x)是凸函数。
2.几何意义：凸函数的几何意义可以通过以下两点来理解。
首先，凸函数的图像上的任意两点形成的线段在函数图像的上方或者处于函数图像上。
其次，凸函数的下方的切线都位于函数图像下方。
3.一阶导数条件：对于凸函数来说，一阶导数是单调递增的。
也就是说，如果f(x)是凸函数，则f'(x)≥0。
4.二阶导数条件：凸函数的二阶导数是非负的。
也就是说，如果f(x)是凸函数，则f''(x)≥0。
凸函数在证明不等式中的应用：1.约束条件：凸函数在一些约束条件下的最大值或最小值通常是问题的关键。
我们可以通过构造一个约束函数和一个目标函数，来求解最优化问题。
通常情况下，约束函数是一个凸函数，而目标函数是可以转化为凸函数的。
2.差分近似：在证明不等式过程中，我们常常需要利用凸函数近似一些复杂的函数。
这是因为凸函数在大部分区间上是递增的，所以可以将复杂的问题简化为凸函数问题。
3. Jensen不等式：Jensen不等式是证明凸函数不等式的重要工具。
Jensen不等式指出，如果f(x)是凸函数且x1, x2, ..., xn是任意实数，那么有f(λ1x1+λ2x2+...+λnxn) ≤λ1f(x1)+λ2f(x2)+...+λnf(xn)，其中λ1, λ2, ..., λn是非负实数且满足λ1+λ2+...+λn=14. Karamata不等式：Karamata不等式是一种更加广义的不等式，可以被用于证明许多重要的几何不等式。
这个不等式是基于对凸函数定义的一个扩展。
取整函数与不等式的应用与证明
取整函数与不等式的应用与证明取整函数是数学中一个常见的函数，在实际问题中有着广泛的应用。
本文将分别探讨取整函数在不等式中的应用以及相关的证明方法。
1. 取整函数的定义与性质先来回顾一下取整函数的定义。
对于任意实数x，记[x]为不超过x的最大整数，即[x]≤x<[x]+1。
取整函数的常见性质包括：- [x] ≤ x < [x] + 1- [x] = x 当且仅当x为整数- [n] = n 其中n为整数- [x] = [y] 当且仅当 x和y处在相同的整数区间内2. 取整函数在不等式中的应用取整函数在不等式中有着重要的应用。
例如，当我们面对一些复杂的不等式问题时，可以通过引入取整函数来简化计算。
下面举例说明。
(1) 应用举例：证明不等式3[x] ≤ [3x]考虑不等式左侧3[x]和右侧[3x]。
根据取整函数的性质可知，3[x] ≤3x < 3[x] + 3；[3x] ≤ 3x < [3x] + 1。
所以，当3x为整数时，3[x] = [3x]；当3x不为整数时，有3[x] < [3x]，即不等式成立。
(2) 应用举例：证明不等式 [x] + [-x] ≤ 0考虑不等式左侧[x] + [-x]和右侧0。
根据取整函数的性质可知，[x] ≤ x < [x] + 1；[-x] ≤ -x < [-x] + 1。
所以，当x为整数时，[x] = -x，即[x] + [-x] = 0；当x不为整数时，有[x] + [-x] < 0，即不等式成立。
3. 取整函数在不等式证明中的应用在不等式证明中，取整函数常常可以用来辅助证明或构造合适的方法。
下面我们将通过一个实例来展示取整函数在不等式证明中的具体应用。
(1) 证明问题：证明对于任意实数x，都有[x] + [x + 1/2] ≥ [2x]证明思路：首先我们可以将不等式左侧和右侧均化简为整数形式。
对于不等式左侧[x] + [x + 1/2]，根据取整函数的性质可知，[x] + [x +1/2] = 2[x] 当x不为整数时，[x] + [x + 1/2] = 2[x] + 1 当x为整数时。
八下一元一次不等式与一次函数
一、概述不等式与一次函数作为初中数学的重要内容，是数学中的基础知识之一。
通过学习不等式与一次函数，可以帮助学生更好地理解数学知识，提高数学运算能力，培养数学思维。
在八年级下册中，不等式与一次函数的学习也是一个重点内容，本文将重点介绍八下一元一次不等式与一次函数的相关知识。
二、一元一次不等式的基本概念1. 一元一次不等式的定义一元一次不等式是指一个未知数的一次方程，且不等式关系为大于、小于、大于等于或小于等于。
2. 一元一次不等式的解集一元一次不等式的解集是使不等式成立的所有实数的集合。
解集一般用数轴上的区间表示。
3. 一元一次不等式的性质一元一次不等式的性质包括加减法性质、乘除法性质以及绝对值性质。
这些性质在求解一元一次不等式时起着重要作用。
三、一元一次不等式的解法1. 一元一次不等式的解法求解一元一次不等式时，可以通过加减法、乘除法性质，或者通过绝对值性质来进行变形。
然后求出不等式的解集。
2. 一元一次不等式的解集表示一元一次不等式的解集表示在数轴上的区间，可以用不等号的方向和顶点来表示。
3. 一元一次不等式的解的检验求解一元一次不等式后，需要进行解的检验，即将得到的解集带入不等式中，验证所求解是否正确。
四、一次函数的基本概念1. 一次函数的定义一次函数是指函数y=kx+b，其中k和b是常数，且k≠0。
一次函数的图像是一条直线。
2. 一次函数的图像特征一次函数的图像是一条直线，其斜率k决定了直线的斜率和方向，常数b决定了直线的截距。
3. 一次函数的性质一次函数的性质包括增减性、奇偶性、零点、定义域、值域等。
五、一元一次不等式与一次函数的通联1. 一元一次不等式与一次函数的关系一元一次不等式与一次函数之间存在着密切的通联，通过不等式解的方法可以求出一次函数的定义域和值域，通过一次函数的图像可以帮助理解不等式解集的表示。
2. 一元一次不等式与一次函数的应用一元一次不等式与一次函数的知识可以相互应用，通过一次函数的图像特征可以帮助理解不等式的解集表示，通过不等式解的方法可以求出一次函数的定义域和值域。
不等式与数列函数的综合应用
不等式与数列函数的综合应用在数学中，不等式和数列函数都是非常重要的概念。
它们在实际问题中的应用广泛且深远。
本文将探讨不等式与数列函数的综合应用，并通过具体案例展示其在实际生活中的重要性。
一、不等式的应用1. 购物优惠假设一个商场正在进行促销活动，打折的力度与购买金额成正比。
设商品原价为P，折扣率为r，则购买金额为P × (1-r)。
假设消费满x 元即可获得折扣优惠，我们可以得到不等式 P × (1-r) ≥ x。
通过解不等式可以确定消费满多少金额时才能获得折扣优惠。
2. 借贷利息在借贷过程中，利息是一个重要的考虑因素。
设借款金额为P，年利率为r，借款期限为n年，我们可以得到不等式P × (1+r)^n ≥ P。
通过解不等式可以确定借款期限内所需还款金额的下限。
3. 人口增长人口增长是一个关乎社会发展的重要问题。
设某地初始人口为P0，年增长率为r，则经过n年的发展，该地的人口为P0 × (1+r)^n。
通过解不等式可以预测人口增长的趋势，并为规划社会发展提供依据。
二、数列函数的应用1. 复利计算复利是指资金按照一定的利率进行投资，所获利息在下一期再次作为本金进行投资，使资金不断增值。
设初始本金为P0，年利率为r，经过n年的投资，我们可以得到数列函数 an = P0 × (1+r)^n，其中an表示第n年的资金总额。
通过计算数列的值，可以确定某个时刻的资金总额。
2. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差恒定的数列。
例如，1，3，5，7，9就是一个等差数列，公差为2。
在实际应用中，等差数列可以用来描述许多变化规律。
例如，某公司的销售额每年递增500万元，假设初始销售额为1000万元，则第n年的销售额可以表示为an = 1000 + 500n。
3. 斐波那契数列斐波那契数列是指一个数列中每个数字是前两个数字之和的数列。
例如，1，1，2，3，5，8就是一个斐波那契数列。
函数的不等式性质与应用
函数的不等式性质与应用函数是数学中的重要概念，它描述了两个变量之间的关系。
在实际问题中，我们经常会遇到需要研究函数的不等式性质的情况。
函数的不等式性质不仅能够帮助我们解决实际问题，还能够深化我们对函数的理解。
本文将探讨函数的不等式性质以及其应用。
一、函数的不等式性质函数的不等式性质是指函数在定义域上的取值范围。
通过研究函数的不等式性质，我们可以确定函数的最大值、最小值以及函数值的正负情况。
对于一元函数来说，我们可以通过求导的方法来研究其不等式性质。
当函数的导数大于零时，函数递增；当函数的导数小于零时，函数递减。
通过求导并研究导数的正负情况，我们可以确定函数的增减区间，从而得出函数的不等式性质。
对于二元函数来说，我们可以通过偏导数的方法来研究其不等式性质。
偏导数表示了函数在某个方向上的变化率。
通过研究偏导数的正负情况，我们可以确定函数的增减区域，从而得出函数的不等式性质。
二、函数不等式的应用函数的不等式性质在实际问题中有着广泛的应用。
下面将介绍函数不等式的两个典型应用：最优化问题和约束条件问题。
最优化问题是指在一定条件下，寻找函数的最大值或最小值。
通过研究函数的不等式性质，我们可以确定函数的最大值或最小值所对应的自变量取值。
例如，在生产过程中，我们希望找到一种材料的最佳用量，使得成本最小或者产量最大。
这个问题可以通过建立成本函数或产量函数，并研究其不等式性质来解决。
约束条件问题是指在一定条件下，寻找函数的最大值或最小值，同时满足一定的约束条件。
通过研究函数的不等式性质以及约束条件，我们可以确定函数在约束条件下的最大值或最小值所对应的自变量取值。
例如，在生产过程中，我们希望找到一种材料的最佳用量，使得产量达到一定的要求，同时成本最小。
这个问题可以通过建立成本函数和产量函数，并研究其不等式性质以及约束条件来解决。
三、函数不等式性质的实例为了更好地理解函数的不等式性质与应用，我们来看一个具体的实例。
假设有一块长方形的土地，其中一条边是河流。
中考数学专题11方程、不等式和函数的应用综合(原卷板)
2014年中考数学试题分项版解析汇编(30套30专题)专题11：方程、不等式和函数的应用综合一、选择题目1.（遵义）已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是【】二、填空题目三、解答题1.（玉林、防城港）（12分）给定直线l：y=kx，抛物线C：y=ax2+bx+1．（1）当b=1时，l与C相交于A，B两点，其中A为C的顶点，B与A关于原点对称，求a的值；（2）若把直线l向上平移k2+1个单位长度得到直线r，则无论非零实数k取何值，直线r与抛物线C都只有一个交点．①求此抛物线的解析式；②若P是此抛物线上任一点，过P作PQ∥y轴且与直线y=2交于Q点，O为原点．求证：OP=PQ．2.（毕节）（12分）某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．（1）若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1≤x≤10），求出y关于x的函数关系式；（2）若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．3.（黔东南）（12分）黔东南州某超市计划购进一批甲、乙两种玩具，已知5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元．（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？（2）如果购进甲种玩具有优惠，优惠方法是：购进甲种玩具超过20件，超出部分可以享受7折优惠，若购进x（x＞0）件甲种玩具需要花费y元，请你求出y与x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，超市决定在甲、乙两种玩具中选购其中一种，且数量超过20件，请你帮助超市判断购进哪种玩具省钱．4.（遵义）（10分）为倡导低碳生活，绿色出行，某自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行”活动．自行车队从甲地出发，途径乙地短暂休息完成补给后，继续骑行至目的地丙地，自行车队出发1小时后，恰有一辆邮政车从甲地出发，沿自行车队行进路线前往丙地，在丙地完成2小时装卸工作后按原路返回甲地，自行车队与邮政车行驶速度均保持不变，并且邮政车行驶速度是自行车队行驶速度的2.5倍，如图表示自行车队、邮政车离甲地的路程y（km）与自行车队离开甲地时间x（h）的函数关系图象，请根据图象提供的信息解答下列各题：（1）自行车队行驶的速度是▲ km/h；（2）邮政车出发多少小时与自行车队首次相遇？（3）邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地多远？5.（河北）（本小题满分13分）某景区的环形路是边长为800米的正方形ABCD，如图，现有1号，2号两游览车分别从出口A和经典C同时出发，1号车顺时针，2号车逆时针沿环形路连续循环行驶，供游客随时乘车（上，下车的时间忽略不计），两车的速度均为200米/分.探究：设行驶时间为t分（1）当0≤t≤s时，分别写出1号车，2号车在左半环线离出口A的路程y1，y2（米）与t（分）的函数关系式，并求出当两车相距的路程是400米时t的值；（2）t为何值时，1号车第三次恰好经过点C？，并直接写出这一段时间内它与2号车相遇过的次数.发现：如图，游客甲在BC上一点K（不与点B,C重合）处候车，准备乘车到出口A，设CK=x米.情况一：若他刚好错过2号车，便搭乘即将到来的1号车；情况二：若他刚好错过1号车，便搭乘即将到来的2号车；比较哪种情况用时较多？（含候车时间）决策：已知游客乙在DA上从D向出口A走去，步行的速度是50米/分，当行进到DA上一点P（不与D,A重合）时，刚好与2号车相遇.（1）他发现，乘1号车会比乘2号车到出口A用时少，请你简要说明理由；（2）设PA=s（0<s<800）米，若他想尽快到达出口A，根据s的大小，在等候乘1号车还是步行这两种方式中，他该如何选择？6.（河南）(10分）某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍。
函数与不等式综合题
函数与不等式综合题摘要：1.函数与不等式的概念2.函数与不等式综合题的解题方法3.函数与不等式综合题的实例解析4.总结与展望正文：一、函数与不等式的概念函数是数学中描述一种特定关系的方法，通常表示为一个数的集合（自变量）与另一个数的集合（因变量）之间的对应关系。
不等式是数学中表示大小关系的一种符号，如大于、小于、大于等于、小于等于等。
在数学问题中，函数与不等式常常结合在一起，形成函数与不等式综合题。
二、函数与不等式综合题的解题方法解决函数与不等式综合题，通常需要运用函数的性质（如单调性、奇偶性、周期性等）和不等式的解法（如解不等式、判断不等式的解集等）。
具体解题步骤如下：1.分析题目，明确题目所求，如求函数的值域、定义域，或求解不等式等。
2.根据题目所给条件，建立函数关系式。
3.利用函数的性质，进行函数的变换或求解不等式，得到函数的值域、定义域等信息。
4.根据题目要求，得出最终答案。
三、函数与不等式综合题的实例解析例题：已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1，求解不等式f(x) > 0 的解集。
解：首先，根据题目要求，我们需要解不等式f(x) > 0。
其次，对函数f(x) 求导，得到f"(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x - 1)(x + 2)。
然后，分析函数的单调性，得知f(x) 在(-∞, -2) 和(1, +∞) 上单调递增，在(-2, 1) 上单调递减。
最后，求出f(x) 的极值点，即x = -2, 1，代入原函数，得到f(-2) = -15, f(1) = -12，因此，不等式的解集为(-∞, -2)∪(1, +∞)。
四、总结与展望函数与不等式综合题是数学中常见的题型，解决这类问题需要掌握函数与不等式的基本概念和解法。
通过实例解析，我们可以发现，解决函数与不等式综合题的关键在于灵活运用函数的性质和不等式的解法。
高一不等式与函数知识点
高一不等式与函数知识点高一是学习数学的重要阶段，其中不等式与函数是数学的重要知识点之一。
不等式与函数的学习对于提高学生的数学思维能力和解决实际问题的能力至关重要。
本文将从概念、性质、应用等方面论述高一不等式与函数的知识点。
一、不等式的概念和性质不等式是数学中研究大小关系的重要工具，它描述了数之间的大小关系。
在高一中，我们主要学习一元一次不等式、一元二次不等式和绝对值不等式等。
不等式的概念很简单，就是用不等号连接的两个数或者两个表达式。
而不等式的性质主要有以下几个方面：1. 不等式的基本性质：对于一个不等式，可以在两边同时加上（减去）同一个数，并且不等号的方向不变。
例如，对于不等式3x+1≥5，我们可以两边同时减去1得到3x≥4，不等号的方向保持不变。
2. 不等式的乘法性质：对于不等式ab≥0，如果a和b的符号相同（均为正数或负数），那么不等式成立；如果a和b的符号不同，那么不等式不成立。
可以通过画出数轴图来分析解的情况。
3. 不等式的加法性质：对于不等式a≥b和c≥d，如果a和c的符号相同，b和d的符号相同，那么不等式相加得到的不等式仍然成立。
4. 不等式的平方性质：对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0（或<0），其中a≠0，可以通过求解一元二次方程ax^2+bx+c=0的根来确定不等式的解的情况。
二、函数的概念和性质函数是数学中的重要概念，它描述了两个变量之间的关系。
在高一中，我们主要学习了一元函数和二元函数。
一元函数就是一个变量和一个函数之间的关系，通常用y=f(x)表示，其中x是自变量，y是因变量，f(x)是函数的表达式。
而二元函数则是两个变量之间的关系，例如z=f(x,y)。
函数的性质主要有以下几个方面：1. 函数的定义域：函数的定义域是指自变量的取值范围，它决定了函数的可能取值。
2. 函数的值域：函数的值域是指因变量的取值范围，它是函数在定义域内可取的所有值的集合。
3. 函数的奇偶性：函数的奇偶性可以通过函数的图像关于y轴对称性来判断。
专题06 利用函数性质解决抽象函数不等式
专题06利用函数性质解决抽象函数不等式【高考地位】函数的单调性是函数的一个非常重要的性质，也是高中数学考查的重点内容。
而抽象函数的单调性解函数不等式问题，其构思新颖，条件隐蔽，技巧性强，解法灵活，往往让学生感觉头痛。
因此，我们应该掌握一些简单常见的几类抽象函数单调性及其应用问题的基本方法。
确定抽象函数单调性解函数不等式万能模板内容使用场景几类特殊函数类型解题模板第一步（定性）确定函数)(x f 在给定区间上的单调性和奇偶性；第二步（转化）将函数不等式转化为)()(N f M f <的形式；第三步（去f ）运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f ”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步（求解）解不等式或不等式组确定解集；第五步（反思）反思回顾，查看关键点，易错点及解题规范.例1已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的实数12,x x ，且12x x ≠，不等式()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+恒成立，则不等式()()1120x f x +-<的解集为__________．【答案】11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】第一步，（去f ）运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f ”，转化成一般的不等式或不等式组：若对于任意给定的实数12,x x ，且12x x ≠，，不等式()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+恒成立，等价为()()()12120x x f x f x ⎡⎤--<⎣⎦恒成立，即()f x 是定义在R 上的减函数，第二步，（定性）确定函数)(x f 在给定区间上的单调性和奇偶性：又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，第三步，（求解）解不等式或不等式组确定解集：当10x +>时，()120f x -<，所以120x ->，联立解得112x >>-，当10x +<时，()120f x ->，所以120x -<，无解，综上应填11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.【变式演练1】若定义在R 上的奇函数()f x 在()0,∞+上单调递增，且()20f =，则不等式()10xf x -≤的解集为（）A ．(][),13,-∞-+∞B ．(][],11,3-∞- C ．[][]1,01,3- D ．[][)1,03,-+∞ 【答案】C【分析】首先将()10xf x -≤转化为()010x f x ≤⎧⎨-≥⎩或()010x f x ≥⎧⎨-≤⎩，根据函数单调性解()10f x -≥和()10f x -≤，进而可以求出结果.【详解】因为()10xf x -≤，所以()010x f x ≤⎧⎨-≥⎩或()010x f x ≥⎧⎨-≤⎩，因为()f x 在()0,∞+上单调递增，且()20f =，所以()001310012x x x f x x ≥≥⎧⎧⇒⇒≤≤⎨⎨-≤≤-≤⎩⎩，因为()f x 在R 上为奇函数，所以()f x 在(),0-∞上单调递增，且()20f -=，因此()001010211x x x f x x ≤≤⎧⎧⇒⇒-≤≤⎨⎨-≥-≤-≤-⎩⎩，综上：不等式()10xf x -≤的解集为[][]1,01,3- .故选：C.【变式演练2】已知定义在[1,)+∞上的函数()f x 满足()ln ()0f x x xf x '+<且(2021)0f =，其中()'f x 是函数()f x 的导函数，e 是自然对数的底数，则不等式()0f x >的解集为（）A ．(1,2021)B ．(2021,)+∞C ．(1,)+∞D ．[1,2021)【答案】A【分析】令()ln ()g x xf x =，1≥x ，利用导数可知()g x 在[1,)+∞上为单调递减函数，将不等式()0f x >化为1x >且()(2021)g x g >，再利用()g x 的单调性可解得结果.【详解】令()ln ()g x xf x =，1≥x ，则1()ln ()()()()ln f x x xf x g x f x f x x x x'+''=+=，因为1≥x ，()ln ()0f x x xf x '+<，所以()0g x '<，所以()g x 在[1,)+∞上为单调递减函数，当1x =时，由()ln ()0f x x xf x '+<可知(1)0f <，不满足()0f x >；当1x >时，ln 0x >，所以()0f x >可化为()ln 0f x x >(2021)ln 2021f =，即()(2021)g x g >，因为()g x 在(1,)+∞上为单调递减函数，所以12021x <<，所以不等式()0f x >的解集为(1,2021).故选：A【变式演练3】定义在非零实数集上的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，且()f x 是区间(0,)+∞上的递增函数．（1）求(1),(1)f f -的值；（2）求证：()()f x f x -=；（3）解不等式1(2)(02f f x +-≤．【答案】（1）(1)0f =,(1)0f -=；（2）证明见解析；（3）⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,2121,0 ．【解析】试题分析：（1）利用赋值法可求)1(f ,)1(-f ；（2）根据函数的奇偶性定义即可证明函数是偶函数；（3）根据函数奇偶性,利用数形结合可解得不等式的解集．试题解析：解：（1）令1x y ==，则(1)(1)(1)f f f =+，∴(1)0f =，令1x y ==-，则(1)(1)(1)f f f =-+-，∴(1)0f -=（2）令1y =-，则()()(1)()f x f x f f x -=+-=，∴()()f x f x -=（3）据题意可知，函数图象大致如下：1(2)()(21)02f f x f x +-=-≤，∴1210x -≤-<或0211x <-≤，∴102x ≤<或112x <≤.考点：抽象函数及应用．【变式演练4】定义在(1,1)-上的函数()f x 满足下列条件：①对任意,(1,1)x y ∈-，都有()()()1x y f x f y f x y++=++；②当(1,0)x ∈-时，有()0f x >，求证：（1）()f x 是奇函数；（2）()f x 是单调递减函数；（3）21111((()()1119553f f f f n n +++>++ ，其中*n N ∈．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【解析】试题分析：（1）由奇函数的定义及特殊值0)0(=f 即可证明；（2）由单调性的定义,做差证明；（3）先由题中已知的恒等式赋值,得出要求数列的通项,再利用裂项求和的方法求得不等式左边的最简形式,最后比较左右两边的大小关系,即可得证．试题解析：证明：（1）令0x y ==代入()()()1x y f x f y f xy++=+，得到(0)0f =．令y x =-，得()()(0)0f x f x f +-==，即()()f x f x -=-．∴()f x 在(1,1)-上是奇函数．（2）设1211x x -<<<，则12121212()()()()()1x x f x f x f x f x f x x --=+-=-∵1211x x -<<<，∴1212||||||1x x x x =<，1211x x -<<．又120x x -<，∴121201x x x x -<-且12121212(1)(1)1011x x x x x x x x -+++=>--，∴1212101x x x x --<<-，∴1212(01x x f x x ->-，∴12()()0f x f x -<，∴12()()f x f x <所以()f x 在(1,1)-上是单调递减函数．（3）211(1(3)(2)23([][]1155(2)(3)11()23n n n n f f f n n n n n n +-+-+++==++++-+-++1111(()((2323f f f f n n n n =+-=-++++∴2111(()(111955f f f n n +++++ 111111[(([()()][()()]344523f f f f f f n n =-+-++-++ 1111()()()(3333f f f f n n =-=+-++∵1013n <<+，∴1()03f n ->+，∴111(()()333f f f n +->+．故21111(()((1119553f f f f n n +++>++ ．考点：1．抽象函数；2．函数的单调性,奇偶性；3．数列求和．。
不等式与函数性质的综合应用
不等式与函数性质的综合应用数学竞赛中我们经常遇到这类不等式：函数f(x)在(a,b)连续，x 1,x 2,x 3∈(a,b)，且x 1+x 2+x 3为定值，求或证明f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)的最值。
本文将举例给出解决此类问题的方法。
首先我们建立以下三个定理。
定理1 若连续函数f(x)在(a,b)上下凸，对任意x 0∈(a,b)，不等式)())(()(000x f x x x f x f +-'≥成立；若连续函数f(x)在(a,b)上上凸，给定的对任意x 0∈(a,b)，不等式)())(()(000x f x x x f x f +-'≤成立。
定理1的几何意义为：设M(x 0，y 0)为函数f(x)图像上任意一点，若连续函数f(x)在(a,b)上下凸，则除切点外，函数f(x)的图像一定在点M(x 0，y 0)处的切线(如果存在切线)上方；若连续函数f(x)在(a,b)上上凸，则除切点外，函数f(x)的图像一定在点M(x 0，y 0)处的切线(如果存在切线)下方。
定理2 对任意),(),(b a n m ⊆，若连续函数f(x)在(a,b)上下凸，当),(n m x ∈时，不等式)()()()()(m f m x m n m f n f x f +---≤成立；若连续函数f(x)在(a,b)上上凸，当),(n m x ∈时，不等式)()()()()(m f m x m n m f n f x f +---≥成立。
定理2的几何意义为：若连续函数f(x)在(a,b)上下凸，函数f(x)的图像夹在点M ，N 之间的部分在过这两点的弦的下方；若连续函数f(x)在(a,b)上上凸，函数f(x)的图像夹在点M ，N 之间的部分在过这两点的弦的上方。
定理3 函数f(x)在(a,b)上连续，给定的x 0∈(a,b)，若对任意x ∈(a,b)，不等式)())(()(000x f x x x f x f +-'≥成立，则当x 1,x 2∈(a,b)，且x 1+x 2=2x 0时，f(x 1)+f(x 2)≥2f(x 0)成立；若对任意x ∈(a,b)，不等式)())(()(000x f x x x f x f +-'≤成立，则当x 1,x 2∈(a,b)，且x 1+x 2=2x 0时，f(x 1)+f(x 2)≤2f(x 0)成立。
专题07 利用函数性质解函数不等式的方法-备战高考数学之学会解题必备方法技巧规律(全国通用)
【详解】因为 ，
所以 或 ，
因为 在 上单调递增，且 ，
所以 ，
因为 在 上为奇函数，
所以 在 上单调递增，且 ，
因此 ，
综上：不等式 的解集为 .
故选：C.
【2021届高三5月卫冕联考】
4.已知函数 的定义域为 ， ， 是偶函数，任意 满足 ，则不等式 的解集为（）
所以f(x)＞f（0）＝0，故x＞sinx，
因为 ，
所以 ，所以g（α）＜g（2β），
令g(x)＝3x+x，显然g(x)单调递增，所以α＜2β．
故选：D．
【2021安徽省池州市第一中学临门一脚】
3.若定义在 上的奇函数 在 上单调递增，且 ，则不等式 的解集为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
所以 ，两边平方得 ，
解得 ，
所以实数m的取值范围是（﹣∞， ]，
故选：D
【百校联盟2021届高三5月教育质检】
6.设函数 是奇函数 的导函数， .当 时， ，则使得 成立的 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令 ，由已知条件可得 ，所以 在 上单调递增，由 和 为奇函数，可得 为奇函数，且 ，从而由 的单调性可得答案
解：因为 ， ，所以 ，所以 偶函数.因为 当 时， ，所以 在 上单调递增.又因为 是偶函数，所以 在 上单调递减.所以 ，即 ，所以 ，即 ，解得 或 .故答案为： .
方法】偶函数+单调性
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【2021福建省宁德市三模】
1.已知函数 ，实数 ， 满足不等式 ，则下列不等式成立的是（）
凸函数及其性质在不等式证明中的应用
凸函数及其性质在不等式证明中的应用
凸函数是数学中重要的一个分支，它的性质直接关系到许多应用中的非线性规划问题的求解。
它的作用横跨金融、优化运筹、机器学习等多个领域，能够极大地提高工作效率和解决方案质量，是越来越受到重视的数学工具。
在不等式证明这一领域，凸函数的优势表现得淋漓尽致。
它可以快速、准确地解决诸如约束最优化等复杂的数学模型，使收敛性更高、解决效果更佳，从而大大提高工作效率。
此外，它还可以有效、精确地计算任意函数的边界，并可以根据实际情况求解凸集或凸函数的局部参数最优化问题。
凸函数还有一个重要的特点，即它的近似性可以在一定程度上控制在可接受范围内。
这一特点与一般的函数相比，在处理复杂场景时有着重要的意义，可有效减少误差，从而获得更准确的结果。
凸函数具备多种强大的优势，同时也是一种理想的数学工具，可以最大限度地满足一般不等式证明所需的要求。
因此，强烈推荐从事不等式证明研究的专家学者们使用凸函数，作为解决复杂问题的利器，可以从根本上有效解决约束最优化等复杂的算法问题，实现更高效的计算证明。
二次函数的不等式与应用
二次函数的不等式与应用二次函数是一种重要的数学模型，广泛应用于各个领域，如经济学、物理学、工程学等。
其中，二次函数的不等式是研究二次函数性质的重要工具之一。
本文将重点探讨二次函数的不等式及其在实际问题中的应用。
一、二次函数的不等式1. 二次函数的基本形式二次函数的一般形式为：f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。
当a > 0时，二次函数的图像开口向上；当a < 0时，二次函数的图像开口向下。
2. 二次函数的零点二次函数的零点即方程f(x) = 0的解，求解零点可以通过因式分解、配方法或求根公式等方法。
根据二次函数的零点，可以确定函数的图像与坐标轴的交点，为后续讨论不等式提供基础。
3. 二次函数的不等式解法(1) 一元二次不等式一元二次不等式的解法与一元二次方程类似，可以使用因式分解、配方法或求根公式等方法求解。
然而，由于二次函数是连续的，解集通常为一个区间或多个区间的并集。
(2) 非一元二次不等式非一元二次不等式指的是含有二元及以上变量的二次不等式。
对于非一元二次不等式，常常需要确定函数的最值、绘制函数的图像等进一步研究，以确定不等式的解集。
二、二次函数不等式的应用1. 几何问题二次函数的不等式可应用于解决几何问题，如寻找最值、确定区域等。
例如，在给定周长的情况下，如何确定矩形的长和宽，使得矩形的面积最大？这可以通过二次函数的不等式求解，并得到最优解。
2. 经济学问题二次函数的不等式也可应用于解决经济学问题，如成本、利润、产量等相关的优化问题。
例如，如何确定生产商品的数量，使得成本最小或利润最大？这可以通过建立二次函数模型并求解相关的不等式来实现。
3. 物理学问题在物理学中，许多问题可以用二次函数的不等式进行建模和求解。
例如，一个抛物线形的跳台可以用二次函数描述，通过求解相关的不等式可以确定弹跳的最大高度以及最远的水平距离。
4. 工程学问题在工程学领域，二次函数的不等式在电路设计、结构设计等方面有着广泛的应用。
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不等式与函数性质的综合应用数学竞赛中我们经常遇到这类不等式：函数f(x)在(a,b)连续，x 1,x 2,x 3∈(a,b)，且x 1+x 2+x 3为定值，求或证明f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)的最值。
本文将举例给出解决此类问题的方法。
首先我们建立以下三个定理。
定理1 若连续函数f(x)在(a,b)上下凸，对任意x 0∈(a,b)，不等式)())(()(000x f x x x f x f +-'≥成立；若连续函数f(x)在(a,b)上上凸，给定的对任意x 0∈(a,b)，不等式)())(()(000x f x x x f x f +-'≤成立。
定理1的几何意义为：设M(x 0，y 0)为函数f(x)图像上任意一点，若连续函数f(x)在(a,b)上下凸，则除切点外，函数f(x)的图像一定在点M(x 0，y 0)处的切线(如果存在切线)上方；若连续函数f(x)在(a,b)上上凸，则除切点外，函数f(x)的图像一定在点M(x 0，y 0)处的切线(如果存在切线)下方。
定理2 对任意),(),(b a n m ⊆，若连续函数f(x)在(a,b)上下凸，当),(n m x ∈时，不等式)()()()()(m f m x m n m f n f x f +---≤成立；若连续函数f(x)在(a,b)上上凸，当),(n m x ∈时，不等式)()()()()(m f m x m n m f n f x f +---≥成立。
定理2的几何意义为：若连续函数f(x)在(a,b)上下凸，函数f(x)的图像夹在点M ，N 之间的部分在过这两点的弦的下方；若连续函数f(x)在(a,b)上上凸，函数f(x)的图像夹在点M ，N 之间的部分在过这两点的弦的上方。
定理3 函数f(x)在(a,b)上连续，给定的x 0∈(a,b)，若对任意x ∈(a,b)，不等式)())(()(000x f x x x f x f +-'≥成立，则当x 1,x 2∈(a,b)，且x 1+x 2=2x 0时，f(x 1)+f(x 2)≥2f(x 0)成立；若对任意x ∈(a,b)，不等式)())(()(000x f x x x f x f +-'≤成立，则当x 1,x 2∈(a,b)，且x 1+x 2=2x 0时，f(x 1)+f(x 2)≤2f(x 0)成立。
定理3容易推广到n 个变量的情况。
利用函数极限的性质与导数的定义，凸函数的定义不难证明这三个定理，本文从略。
定理1，2实质是“化曲为直”，利用切线或弦估计函数f(x)的情况。
例1 已知1,,,a b c a b c R +++=∈，求证：22222264(1)(1)(1)27a b c -+-+-≤证：记22()(1),(01)f x x x =-<<，则3132()44,()327f x x x f ''=-=-， 222232164(1)()27(1)32(1)27381x x x x -≤--+⇔-≤-2(31)(1)(35)0x x x ⇔--+≥而01x <<，故上式恒成立。
从而()()()f a f b f c ++≤326464(1)272727a b c -++-+=，等号再a=b=c 是成立。
例2 已知x ，y ，z 是正实数，且x+y+z=1，求证：0131313222222≥+-++-++-zzz y y y x x x (2003湖南省高中数学竞赛试题)证：记2213)(x x x x f +-=（0<x<1），则f(x)的导函数为=)(/x f 222)1(16+-+x x x ，当31=x 时，=)31(/f 109，所以f(x)在31=x 处的切线方程为：)31(109-=x y ，下证：当0<x<1时，不等式≥+-2213xx x 103109-x 事实上，当0<x<1时，0)3()13(2≤--x x 成立，故)39)(1()3(1022-+≥-x x x x 成立，所以当0<x<1时，不等式≥+-2213x x x 103109-x 成立。
由定理3知：0109)(109131313222222=-++≥+-++-++-z y x z z z y y y x x x ，当且仅当z y x ==时取等号。
说明：(1)对给定的x 0，若))(()()()(000x x x f x f x f -'≤≥-在(a,b)上成立，f(x)在(a,b)上并不一定下凸(或上凸)；(2)x 0的选择可视原不等式成立的条件而定。
例3 已知a ，b ，c>0，证明：)222(29ab cc a b c b a a b c c a b c b a +++++-≥+++++ 证：不仿a+b+c=3，a,b,c,>0，则原不等式等价于29323232333≥-+-+-+-+-+-c c b b a a c c b b a a . 记x x x x x f -+-=323)(（0<x<3）在x=1处的切线为x y 23=，下证：当0<x<3时， 23323xx x x x ≥-+-. ① 事实上，当373≥>x 时,032>-x x ,0)3(2)37(323≤--=--x x x x x x ,故23323x x x x x ≥-+-， 当370<<x 时，0)83()1(233232≤--⇔≥-+-x x x x x x x ,从而当0<x<3时，不等式①成立，由定理3知：29)(23323232333=++≥-+-+-+-+-+-c b a c c b b a a c c b b a a ，等号在a=b=c=1时取到。
说明：将本题的结论稍作变形，即可得出另一优美的不等式。
6)21()21()21(222≥++++++++b a c a c b c b a （a ，b ，c +∈R ），此不等式与本例的不等式均出自《中等数学》数学奥林匹克问题栏目。
例4 正实数a,b,c 满足a 2+b 2+c 2=1.求:222111ccb b a a -+-+-的最小值.（加拿大国家集训队训练题，1989）解：令x=a 2,y=b 2,z=c 2，则原题等价于正实数x,y,z 满足x+y+z=1.求:zzy y x x -+-+-111的最小值.记函数x x x f -=1)(（0<x<1）在31=x 处的切线方程为23)31(233+-=x y ，下证：0<x<1时，≥-x x 123)31(233+-x ② 事实上，当0<x<1时，≥-x x 123)31(233+-x ⇔0)43()13(2≤--x x ，从而不等式②成立，由定理3知：233233)1(233111=+-++≥-+-+-z y x z z y y x x ，即222111c c b b a a -+-+-的最小值为233，当且仅当c b a ==时取等号。
例5 已知,,αβγ均为锐角，且333sin sin sin 1αβγ++=，求证：222tan tan tan αβγ++≥证明：令333sin ,sin ,sin x y z αβγ===，则1x y z ++=，于是222222222sin sin sin tan tan tan 1sin 1sin 1sin αβγαβγαβγ++=++---222333222333111x y zx y z =++---记()1)f x x =<<，则()f x '=，1)3x ≥-+, ①为方便，记p q ==则①223322222()13(1)1p q p q p q q q⇔≥-+---22322()(1)[24(31)(2)]0p q q p p q q p q ⇔--++-+≥因为232223110,20,240,10,()0q p q p p q q p q -=>+>+>->-≥，所以①式成立。
从而1)x y z≥++-=，即222tan tan tanαβγ++≥成立。
例6 已知1,,,2a b c a b c R+++=∈+的最大值。
解：记1(),(0)412f x xx=<<+，则2()()f x f x'''==，所以当1(0,]4x∈时，()0,()f x f x''<上凸，1)4150610xx≤-++恒成立；当11[,)42x∈时，11()()())46f x f x f x'<=≤≤-+即当1(0,)2x∈1)6x≤-恒成立。
从而()()()f a f b f c++≤1)2a b c≤++-=a=b=c是成立。
例7设a,b,c为正实数，证明：2>+++++bacacbcba证：由于齐次性，不妨设a+b+c=3，则问题等价于2333>-+-+-ccbbaaxxxf-=3)(（0<x<3）在5.1=x处的切线方程为：321)23(32xxy=+-=，易证当0<x<3时，xxx323≥-，③事实上，当0<x<3时，xxx323≥-)32(2≥-⇔x，从而不等式③成立。
由定理3知：2)(32=++≥+++++cbabacacbcba，但等号不能取到。
例8已知a,b,c为直角或钝角三角形三边，求证：102535222222222<+++++≤bacacbcba证：不仿a ≤b<c,a 2+b 2+c 2=3，由于已知a,b,c 为直角或钝角三角形三边，故3=a 2+b 2+c 2≤2c 2，c 2≥23,又a+b>c>0，故2(a 2+b 2)≥(a+b)2>c 2,从而3=a 2+b 2+c 2〉23c 2，c 2<2，总之23≤c 2<2，1<a 2+b 2≤23。
(1) 记函数xxx f -=3)((0<x<3)，则2)3(3)(x x f -='，3)3(6)(x x f -=''，当0<x<3时，0)(>''x f ，从而函数x x x f -=3)(在(0，3)上下凸，所以23)2(23322222222ba b a b b a a +-+≥-+-22326c c +-=， 故≥+++++222222222b a c a c b c b a 4242222918933326cc c c c c c -+-=-++-. 由于424291893)(c c c c g -+-=在)2,5.1[上是增函数，所以35)5.1()(2=≥g c g ， 故35222222222≥+++++ba c a cbc b a ，等号当且仅当a 2=b 2=43,c 2=23时取到. (2) 设a 2+b 2=k ，则c 2=3-k ，1<k ≤1.5，由定理2知：当x ∈(0,k)时，曲线全在直线y=kx-3的下方，所以k k b b a a -≤-+-3332222,从而5.2392332222222222<-+-=-+-≤+++++k k k k k k b a c a c b c b a 由(1)(2)本例不等式得证。