第23章电磁场理论

r v ∑ qint 库仑场 ∫∫ E库 ⋅dS = r v ∑ qint ∫∫ E总 ⋅dS =
高斯定理
r v ε0 ∫∫ B稳 ⋅dS = 0 r v ∫∫ Bd ⋅dS = 0 r v ∫∫ B总 ⋅dS = 0
v v ∂B v ∫ E涡 ⋅ dlv = −∫∫ ∂v ⋅ dS t v v ∂B ∫ E总 ⋅ dlr = −∫∫ ∂t ⋅ dS r ∫ H 稳 ⋅ dl = ∑ Ii L r r ∫ H d ⋅ dl = ∑ I d
∂2E 1 ∂2E − 2 2 =0 2 ∂x v ∂t
∂ H 1 ∂ H − 2 =0 2 2 v ∂t ∂x
2 2
解为
x E = E0 cos ω t − v
x H = H 0 cos ω t − v
且有
其中波速
v=
1
εµ
ε E0 = µ H 0
v v v （1）电磁波是横波， ， ， 两两相互垂直。 ）电磁波是横波， E H v 两两相互垂直。 v v （2）偏振性，E ， 分别在各自的平面方向上振动。 ）偏振性， H 分别在各自的平面方向上振动。 v v （3）E ， 同相变化。且 ε E = µ H ） H 同相变化。
E = E库 + E感 r r r D = D库 + D感
库仑场遵循： 库仑场遵循：ur u r 高斯定理 D ⋅dS =
∫
S
环路定理
∫
L
r r E库 ⋅ dl = 0
库
∑q
有旋场遵循： 有旋场遵循： ur 高斯定理
一般场遵循： 一般场遵循：
r r r ∂B u 环路定理 ∫ L E感 ⋅ dl = − ∫∫S ∂t ⋅ d S
(4)波速v = 波速
基本性质： 基本性质：
1
εµ
v v
为有限值,真空中 为有限值 真空中
C=
1
ε 0 µ0
Y
= 2.9979 ×108 m
v v
s
Y
o
v H
v E
X
v E
X
o
Z
Z
v v E H v
H
v v
二、电磁波的能量 1、空间中电磁波的能量密度： 、空间中电磁波的能量密度：
空间中某一区域内电磁波能量： 空间中某一区域内电磁波能量：
d ω = ω ⋅ vdt ⋅ dA
dA vdt
dω v 2 2 S= = ωv = (ε E + µ H ) dAdt 2
dω v S= = ωv = (ε E 2 + µ H 2 ) dAdt 2
= 1 2
v v v 能量密度矢量（坡印廷矢量）： 能量密度矢量（坡印廷矢量）：S = E × H
d 根据位移电流的定义 d Φ D ε 0 S dU Id = = dt d dt QU = U 0 sin ωt dU ε0S ∴ Id = C = CU 0ω cos ωt C= dt d
,
补1 ：两个圆形板组成的平行板电容器，电容 C=1.0×10 － 12 法 拉 ， 加 上 频 率 为 50 周 秒 － 1 、 峰 值 为 × 1.74×105伏特的正弦交流电压，极板间位移电流的最大值 × 伏特的正弦交流电压， 设电容器形板面积为S，板间距离为d 解：设电容器形板面积为 ，板间距离为 r v U 则 Φ = D⋅S
u r ∫ S D感 ⋅ d S = 0 ur
∫
u r ur uu r r r r r r ∂B u ∫ L E ⋅ dl = ∫ L E库 ⋅ dl + ∫ L E感 ⋅ dl = − ∫∫S ∂t ⋅ d S
S
ur u r D⋅dS =
∫
S
ur u r D ⋅dS +
库
∫
S
ur u r D ⋅dS = ∑q
1 1 2 2 ω = ωe + ωm = ( ε E + µ H ) = ( DE + BH ) 2 2
W = ∫ wdV
2、辐射强度： 、辐射强度： 单位时间内通过垂直于传播方向单位面积的辐射能（ 单位时间内通过垂直于传播方向单位面积的辐射能（电磁 波携带的能量），称辐射强度。 ），称辐射强度 波携带的能量），称辐射强度。
( εµ
ε E ⋅ µ H + µ H ⋅ ε E = EH
)
如图所示，半径为a的长直导线载有沿轴线方向 补2 ：如图所示，半径为 的长直导线载有沿轴线方向 均匀地分布在横截面上。证明： 的电流 I ，设电流 I 均匀地分布在横截面上。证明：导线 内消耗的焦耳热等于坡印廷矢量传递的能量。 内消耗的焦耳热等于坡印廷矢量传递的能量。 r r r r 和安培环路定理知， r 解：由 j = γ E 和安培环路定理知，导线表面处的 E 和 H 的 r r 方向如图所示。 方向如图所示。坡印廷矢量S = E × H，垂直导线表面指向 轴心。即电磁场的能量是从导线表面向轴心方向传递的。 轴心。即电磁场的能量是从导线表面向轴心方向传递的。 每秒传送给长为 l 的一段导线的能量为
第二十三章 麦克斯韦方程组与电 磁波
基本概念：位移电流、坡印亭矢量（计算） 基本概念：位移电流、坡印亭矢量（计算） 基本规律：麦克斯韦方程组（了解物理意义） 基本规律：麦克斯韦方程组（了解物理意义）
§23-0电场、磁场知识的回顾 电场、
一、电场方面 电场可分为库仑场和有旋场（感生电场）， ），一般是它们的 电场可分为库仑场和有旋场（感生电场），一般是它们的 叠加： 叠加： r r r
感
二、磁场方面 稳恒磁场遵循的高斯定理： 稳恒磁场遵循的高斯定理：
v v ∫ B ⋅ dS = 0
稳恒磁场遵循的环路定理： 稳恒磁场遵循的环路定理：
∫
L
uu r r H ⋅ dl = ∑ I i
i
问题：非稳恒情况如何？ 问题：非稳恒情况如何？
§23-1位移电流与全电流定律
一、位移电流
∫
( S1面 )
D
D = ε0E = ε0
故位移电流的最大值为
I d = CU 0ω = 1.0 ×10−12 × 2π × 50 ×1.74 × 105 = 5.5 × 10
−5
有一平板电容器，两极板是半径R=0.1m的导 例23-1有一平板电容器，两极板是半径 的导 体圆板， 体圆板，匀速充电使电容器两极板间电场的变化率为 dE = 2×1013V ⋅ m−1 ⋅ s−1 ：(1)位移电流；(2)两极板间 位移电流； Hale Waihona Puke Baidu极板间 。求 位移电流 dt 离两板中心连线为r=5cm处的磁感强度 B 离两板中心连线为 处的磁感强度 。
v v ∫ B ⋅ dS = 0 （磁感应线是无头无尾的）
v v dΦD ∫ H ⋅ dl = I + dt （传导电流或变化的电场产生磁场）
三个介质方程
v v D =εE v v B = µH v v j =γE
§23-3电磁波
电磁场的传播——电磁波 一、电磁场的传播 电磁波 变化着的电场和磁场相互激发、交替产生、 变化着的电场和磁场相互激发、交替产生、由近 及远地以有限的速度在空间中传播，就形成了电磁波。 及远地以有限的速度在空间中传播，就形成了电磁波。 在无自由电荷、传导电流的均匀空间中， 在无自由电荷、传导电流的均匀空间中，电磁振源作简谐 振动，且波沿X轴传播 轴传播： 振动，且波沿 轴传播：
四、传导电流与位移电流的区别与联系： 传导电流与位移电流的区别与联系： 1、产生原因不同：传导电流由电荷定向运动产生； 、产生原因不同：传导电流由电荷定向运动产生； 位移电流由变化着的电场产生。 位移电流由变化着的电场产生。 2、传导电流在导体中产生焦耳热；而位移电流不会。 、传导电流在导体中产生焦耳热；而位移电流不会。 3、在真空和电介质中主要是位移电流；导体中主要是穿 、在真空和电介质中主要是位移电流； 导电流。 导电流。 4、在高频电流情况下，导体内位移电流和传导电流同样 、在高频电流情况下， 起作用。 起作用。 5、相同的是都产生涡旋的磁场，并符合右手螺旋。 、相同的是都产生涡旋的磁场，并符合右手螺旋。
L
则位移电流的磁场关系： 则位移电流的磁场关系：
r r r d φD ∂D r ∫ H d ⋅ dl = ∑ I d = ∑ dt = −∫∫ ∂t ⋅ dS L S
全电流的安培环路定律： 全电流的安培环路定律：
v Hd
v r dD jd = dt
r r d φD ∫ H 全 ⋅ dl = I全 = I + Id = I + dt L
v v v v v dD dΦD I全 = I + I d = I + j全 = j + jd = j + 和 dt dt v I 在整个回路中仍然是连续的。 则 j全 ， 全 在整个回路中仍然是连续的。
三、位移电流的磁场 传导电流的磁场关系（安培环路定律） 传导电流的磁场关系（安培环路定律）
r r ∫ H ⋅ dl = ∑ Ii
R
r
dΦD dD dE 2 = S′ = π r ε0 dt dt dt
所以
H=
ε 0 dE
2 r dt
B = µ0 H =
B= r
µ0ε 0 dE
2 r dt
= 5.56 × 10−6 T
ε 0 µ0 dE
2 dt
§23-2麦克斯韦方程组
1、 、
r v ε0 涡旋场 ∫∫ E涡 ⋅dS = 0
总电场 稳恒电 流磁场 位移电 流磁场 总磁场
W = 2π alS = 2π alEH I I H = E=ρj=ρ 2 2π a πa I I 2 W = 2π al ρ 2 =I R π a 2π a
I R恰好为一段导线所产生
的焦耳热功率
2
r
（1）电容器两极板 间的位移电流 dΦD dD dE 2 Id = =S = π R ε0 dt dt dt = 5.56( A)
解:
R
r
（2）以两板中心连线为轴，取半径为r的圆形回路，应 用全电流定律 v v dΦ D ∫L H ⋅ dl = I +
dt
当r < R时
∫
L
v v H ⋅ dl = H ⋅ 2π r
d Φ D dq = = I (传导电流强度） dt dt
I
v + σ D −σ
dD dt
v + σ D −σ
dD dt
I
ε
R
R
(b)放电时 放电时
(a)充电时 充电时
定义： 定义： 位移电流密度 位移电流强度
v r dD jd = dt dΦD Id = dt
电场中某点的位移电流密度等于该点的电位移矢 量对时间的变化率； 量对时间的变化率；通过电场中的某截面的位移电流 强度等于通过该截面的电位移通量对时间的变化率。 强度等于通过该截面的电位移通量对时间的变化率。 二、全电流 电路中同时有传导电流和位移电流，称全电流。 电路中同时有传导电流和位移电流，称全电流。
v v ∫ L E库 ⋅ dl = 0 v
环路定律
r r d φD ∫ H总 ⋅ dl = I + dt L
L
2、麦克斯韦方程组（1865）： 、麦克斯韦方程组（ ）：
v v ∫ D ⋅ dS = ∑ q （电荷总伴随有电场） v v v ∂B v ∫ E ⋅ dl = − ∫∫ ∂t ⋅ dS (变化的磁场一定伴随有电场）
r r L H ⋅ dl = i
∫
( S2面 )
r r L H ⋅ dl = 0
为解决这一矛盾， 为解决这一矛盾，麦克斯韦提出 位移电流假说。 位移电流假说。
q D =σ = S
ΦD = D ⋅ S = σ S = q
dD dσ dq 1 I = = = = j (传导电流密度） dt dt dt S S