(新)整系数多项式的有理根定理及求解方法
关于整系数多项式的根的若干性质
关于整系数多项式的根的若干性质引言在数学中，对于整系数多项式的根的研究是非常重要的。
本文将谈论整系数多项式的根的若干性质，并从理论以及实际例子来探讨这些性质。
整系数多项式的定义首先，我们先来简单的介绍整系数多项式的定义。
整系数多项式是指系数都属于整数的单项式和的形式。
例如：f(x)=x3+2x2−3x+1就是一个整系数多项式。
整系数多项式的根整系数多项式的根指的是让多项式等于0的x值。
例如：f(x)=x3+2x2−3x+1的根为−0.5, −1和0.5。
在教育中，通常称为f(x)的“零点”或“解”。
整系数多项式根的若干性质性质1: 整系数多项式根的对称性整系数多项式的根具有对称性。
即，如果a是多项式P的根，则-p中的一项也是多项式P的根。
例如：有多项式f(x)=x3+2x2−3x+1，则其根为x = -0.5，x = -1和x = 0.5。
在此，如果我们将其变为一个负数，即变成f(-x) = x3-2x2-3x-1，那么其根则为x = -0.5，x=-1和x=-0.5。
所以，一旦我们得到一个多项式的一个根a，我们就可以通过改变符号来获得它的对称根-p。
性质2：整系数多项式根的复合一个多项式的每个根都可以看做是一个函数的输入值，该函数使用多项式系数并对其进行操作，给出0作为输出。
对于点a，所有系数都被处理为多项式p并导致值为0，因此为p（a）= 0. 这个点可以作为一个新的多项式的根，称为q（x），并且确实存在一个多项式，其次数和系数与p（x）完全相同，但是q（x）是将-p除以根a所得到的结果。
因此，如果a是多项式P的一重根，则-p / a是多项式P /（x-a）的一重根。
例如：有一个多项式f（x）=x3+5x2+2x−8，它具有根a= 2。
我们还可以得到，q（x）=x2+7x+4，它的根是-p / a = -4 = q （2）。
Q（x）是由f(x)/（x−2）得到的，我们可以在获取q（x）时以此为例。
复系数,实系数,有理系数多项式
复系数、实系数、 有理系数多项式
一、多项式函数
在这一节， 我们将从函数的观点来考察多项式. 设 f (x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 (1) 是 F[x] 中的多项式，α 是 F 中的数，在 (1) 中用 α 代 x 所得的数 anα n + an-1α n-1 + … + a1α + a0 称为 f (x) 当 x = α 时的值，记为 f (α ) . 时的值 此时，多项式 f (x) 就定义了一个数域 F上的函数. 我们称为数域F 上的多项式函数. 当F是实数域时，就是数学分析中讨论的多项式函数.
每个次数 ≥ 1 的复系数多项式在复数域上都可 以唯一地分解成一次因式的乘积. 因此，复系数多项式具有标准分解式
f ( x ) = an ( x − α 1 ) ( x − α 2 )
l1
l2
( x − αs ) ,
ls
其中 α1 , α2 , … , αs 是不同的复数，l1 , l2 , …, ls 是正整数. 标准分解式说明了每个 n 次复系数多
二、复系数多项式
以上我们讨论了在一般数域上多项式, 下面 考察在复数域与实数域上多项式. 复数域与实数域既然都是数域，因此前面所 得的结论对它们也是成立的. 但是这两个数域又有 它们的特殊性，所以某些结论就可以进一步具体化. 对于复数域，我们有下面重要的定理：
定理 4.4(代数基本定理) 每个次数 ≥ 1 的复系数多项
f (x) = ( x -α ) q(x) + f (α )
如果 f (x) 在 x = α 的函数值 f (α ) = 0，那么α 就称为 f (x) 的一个根或零点. 由余数定理： 零点 f (x) = ( x -α ) q(x) + f (α ) , 得到根与一次因式的关系：
整系数多项式是否存在有理根的几种判别法及应用
整系数多项式是否存在有理根的几种判别法及应用
求解一个多项式有没有有理根是数学中常见的实际求解题目，目前一般通过使用多项式有理根的判别法来求解。
本文介绍了三种多项式有理根的判别法，分别是奇异值定理、四平方和定理、乘法原理，它们的应用范围较广，对解决多项式有理根问题有重要作用。
首先，奇异值定理是近代发展出来的一个判别多项式有理根的方法，它能准确的判断一个多项式是否存在一个有理根。
奇异值定理可以简单的概括为，当某个多项式的奇异值大于其次数时，该多项式必存在有理根。
四平方和定理，也叫四次平方和定理，是指在实数域上，一个正整数可以表示为四次整数的平方和的充要条件。
若一个数字无法表示为四次整数的平方和，则它不是多项式的有理根。
即满足四平方和定理的实数必是多项式的有理根。
另一个能够判别多项式有理根的方法是乘法原理，又称四次乘法判别法。
该方法提出了一个充分且必要的条件，如果某个多项式满足该条件，则该多项式必然存在有理根。
乘法原理说明，如果一个数能被任意式根取整，则它必然是多项式的有理根。
以上三种方法在求解多项式有理根问题上均有广泛的应用，比如奇异值定理可应用在多项式的不可分离性检验上，四平方和定理可以在多项式检验任意给定数是否是其系数的一个复数根上，乘法原理可用于研究自变量满足给定条件时多项式是否存在有理根。
综上所述，奇异值定理、四平方和定理、乘法原理是判别多项式有理根的重要方法，它们的应用也有着广泛的范围。
因此，掌握好这些判别方法，对解决多项式有理根问题有一定的帮助。
整系数多项式有理根的求法-文档资料
整系数多项式有理根的求法一、整系数多项式有理根的检验多项式的求根问题历来是多项式理论的重要内容之一，为了尽可能减少有理根的判别范围，除考虑多项式首项系数及常数项外，再利用次高项和一次项系数作辅助，得到整系数多项式有理根判别的一个必要条件，从而使整系数多项式有理根检验的范围得到缩小。
为讨论方便，给出下面定理。
【定理1.1】设是一个整系数多项式。
若有理数是的一个根，这里和是互素的整数，那么，(1)整除的最高次项系数，而整除的常数项；(2)，这里是一个整系数多项式。
在定理中令或，不难得到下面的推论。
[推论1.1]若是整系数多项式的有理根，则必全为整数。
[推论1.2]若是整系数多项式的有理根,,则且。
[推论1.3]若整系数多项式各项系数之和为素数，则有理数必须满足或。
[推论1.4]若整系数多项式的常数项为奇数，而为偶数，则不是的根。
【定理1.2】设是一个整系数多项式，若有理数(其中是的一个根,则必有。
[推论1.5]设，，若，则一定不是的有理根。
[推论1.6]设，若，则一定不是的有理根。
.二、整系数多项式有理根的求法【定理2.1】设既约分数，多项式除整系数多项式，所得的商式为，余式为常数，多项式除多项式所得的商式为，则(ⅰ)为的一个根的充要条件为的各系数都能被整除，并且；(ⅱ)为的一个根的充要条件是为的一个根；(ⅲ)当为的一个根时，。
由以上定理及相关推论,得出求整系数多项式有理根的方法：第一步，判定是否存在有理根；第二步，若有,求出和的所有因数；第三步，用的因数做分母，因数做分子，列出所有可能的既约分数；第四步，先判断出是否为的，再对第二步求出的既约分数进行检验，如果与都是整数，那么的根可能是含有这个；如果两数不全为整数，那么的根一定没有这个；第五步，检验第三步选出来的既约分数可能会是的根，用除（可用综合除法），如果除得余数为零，那么是的根，反之，不是的根。
.我们用以下例子简要说明上述方法的应用。
【例】求整系数多项式的全部有理根。
多项式的根和多项式方程的解法
多项式的根和多项式方程的解法多项式是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
在学习多项式时，我们需要理解多项式的根和多项式方程的解法。
本文将介绍多项式根和多项式方程解法的相关知识，帮助读者更好地理解和应用多项式。
一、多项式的根多项式的根指的是能使多项式等于零的值。
对于一元多项式来说，根可以是实数或复数。
对于二元、三元或更多变量的多项式，根可以是有序对、有序三元组等。
判断一个数是否为多项式的根有多种方法，其中最常用的方法是使用综合除法。
综合除法是通过除法运算找到多项式的根，并将多项式分解为更简单的因式。
例如，对于一元多项式P(x)，如果我们使用综合除法将其除以(x-a)，其中a是实数或复数，如果余数为零，则说明a是P(x)的根。
二、多项式方程的解法多项式方程指的是将多项式与零等式连接的方程。
多项式方程的解即为能使多项式方程成立的值。
对于一元多项式方程来说，我们通常使用求根的方法来求解。
1. 因式分解法如果多项式能够被因式分解，我们就可以根据因式分解的性质来求解多项式方程。
例如，对于一元二次多项式的方程ax^2+bx+c=0，我们可以将其因式分解为(a'x-d)(a''x-e)=0的形式，然后利用因式分解的性质得到x的值。
2. 配方法对于一些无法用因式分解法解决的多项式方程，我们可以使用配方法。
配方法可以将多项式方程转化为完全平方或立方等形式，进而求解方程。
这种方法需要根据方程的类型进行具体分析和操作。
3. 使用求根公式对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以使用求根公式来求解。
求根公式给出了一元二次方程的两个根的表达式：x_1 = (-b + √(b^2-4ac))/(2a)x_2 = (-b - √(b^2-4ac))/(2a)使用求根公式时需要注意判别式(b^2-4ac)的值，如果判别式大于零，则方程有两个不相等的实数根；如果判别式等于零，则方程有两个相等的实数根；如果判别式小于零，则方程没有实数根，但有两个共轭复数根。
关于整系数多项式有理根的几个定理及求解方法
关于整系数多项式有理根的几个定理及求解方法【标题】关于整系数多项式有理根的几个定理及求解方法【引言】在代数学中，多项式函数是一种极其重要的数学对象。
而多项式函数的有理根（或称为有理零点）则是代数方程的根的一种特殊情况，值得我们深入研究和探索。
本文将围绕着整系数多项式的有理根展开论述，介绍其中几个重要定理及其求解方法，以期帮助读者更加全面、深刻地理解这一主题。
【正文】1. 整系数多项式及有理根的基本概念整系数多项式指的是系数全为整数的多项式。
对于一个整系数多项式p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0，其中 a_n \neq 0，整数根（或称整数零点）是指满足 p(x) = 0 的整数解。
而有理根则是指满足 p(x) = 0 的有理数解，可以表示为 p(x) = (x -\frac{p}{q})q_nq^{n-1}...q_1 = 0，其中 p 和 q 都是整数，且 q \neq 0。
2. 整系数多项式有理根的判别式对于整系数多项式 p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x +a_0，假设存在有理根 x = \frac{p}{q}，其中 p 和 q 互质。
那么根据有理根定理，p 必须是 a_0 的因子，而 q 必须是 a_n 的因子。
基于这个结论，我们可以提出整系数多项式有理根的判别式：设整系数多项式 p(x) 的首项系数为 a_n，常数项为 a_0，其所有有理根为\frac{p_i}{q_i} (i = 1,2,...,m)。
那么有理根的判别式可以表示为如下形式：- 对于 p(x) 的每一个有理根 \frac{p_i}{q_i}，其 p_i 为 a_0 的因子，q_i 为 a_n 的因子；- 对于 p(x) 的每一个整数根 x_i，其必为 a_0 的因子。
3. 整系数多项式有理根的求解方法接下来，我们将介绍一些求解整系数多项式有理根的方法，以帮助读者解决类似的问题。
有理系数多项式有理根的计算-文档
有理系数多项式有理根的计算多项式问题中，有理系数多项式有理根的计算非常重要，然而，尽管说已有完整的计算方法，但是人工操作却并非易事；尽管说已有大型的数学软件，但是它们的表现却并非如意.例如多项式：有2重有理根-19162/429459 ，但用Matlab计算的结果却是 -233/5222。
因此，本文研究专门的计算有理系数多项式有理根的算法及程序.1. 理论基础基本定义及结论请参阅文献[1]，下面仅列出主要的。
本原多项式[1] 若整系数多项式 f（x）的系数互素，则称 f （x）为本原多项式.整系数多项式有理根的性质[1] 设 f（x）=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0是整系数多项式.如果有理数u/v 是 f（x）的一个根，其中 u和v 是互素的整数，那么：（1）、整除 f（x）最高次项系数a0 ，而u 整除f（x）的常数项an ；（2）、 f（x）=（x-u/v）/q（x），这里 q（x）是一个整系数多项式.并且，若有理数 u/v （ u，v∈z且（u，v）=1）是 f（x）=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0的有理根，那么f（1）/（v-u）和f（-1）/（v+u）全为整数.综合除法[1] 设f（x）=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 是整系数多项式， c是整数，如果f（x）=（x-c）（bn-1xn-1+bn-2xn-2+...+b1x+b0）+r那么 bn-1=an， b-=ai+1+cbi+1（0≤i≤n-1）， r=a0+cb0.2. 算法设计根据整系数多项式有理根的性质，设计有理系数多项式 f （x）有理根算法如下。
2.1 主函数⑴、输入 f（x）系数。
输入系数需要区分整数与分数，为此用两个数组分别存储分子与分母，并初始化分母数组值为1，这样在输入整数时即可不顾分母。
⑵、调用"多项式输出子函数"，输出f（x）的多项式形式。
关于整系数多项式的不可约性与有理根存在性的新判别法
第38卷第4期西南师范大学学报(自然科学版)2013年4月V o l.38N o.4J o u r n a l o f S o u t h w e s t C h i n aN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n)A p r.2013文章编号:10005471(2013)04000104关于整系数多项式的不可约性与有理根存在性的新判别法①罗永超1,畅敏2,张洪11.贵州凯里学院数学科学学院,贵州凯里556011;2.西南大学数学与统计学院,重庆400715摘要:改进了整系数多项式的系数所满足的条件,推广了E i s e n s t e i n的判别法,判定其分解式的唯一性,因式的不可约性和有理根的存在性.并讨论了这个新判别法的应用.关键词:整系数多项式;不可约多项式;有理根;判别法中图分类号:O151.1文献标志码:A整系数多项式的不可约性和有理根的存在性一直被人们所关注(参见文献[1-6]),有效地推广E i s e n s t e i n判别法是研究这一类问题的基本方法,对此,文献[1]得到一个较好的结果:定理1[1]整系数多项式f(x)=a0x n+a1x n-1+a2x n-2+ +a n-1x+a n,若存在一素数p满足条件: (i)p|a0且p2⫮a0,及p|a n且p2⫮a n;(i i)p|a i,其中i=0,1,2, ,m-1,m+1, ,n;(i i i)p⫮a m,0<m<n.则f(x)要么在有理数域上不可约,要么仅能唯一地分解为次数分别为m和n-m的两个有理数域上的不可约多项式的积:f(x)=g(x)h(x)其中g(x)=b0x n-m+b1x n-m-1+b2x n-m-2+ +b n-m-1x+b n-mh(x)=c0x m+c1x m-1+c2x m-2+ +c m-1x+c m均为有理数域上的不可约多项式.当p2|a n时,定理1不能判别f(x)的不可约性和有理根的存在性.对此,我们进一步得到:定理2整系数多项式f(x)=a0x n+a1x n-1+a2x n-2+ +a n-1x+a n,若存在一素数p满足条件: (i)p⫮a0;(i i)p|a i,其中i=1,2, ,m-1,m,但p2⫮a m,mȡn2;(i i i)p2|a j,其中i=m+1,m+2, ,n,但p3⫮a n.则f(x)要么在有理数域上不可约,要么仅能唯一地分解为次数分别为m和n-m的两个有理数域上的不可约多项式的积:f(x)=g(x)h(x)其中①收稿日期:20111105Copyright©博看网. All Rights Reserved.基金项目:贵州省科技厅资助项目(2010G Z56335;黔科合J字[2010]2148号);凯里学院重点学科建设项目(K Z D200901).作者简介:罗永超(1957),男,贵州榕江人,教授,主要从事数论与数学教育的研究.g (x )=b 0x n -m +b 1x n -m -1+b 2x n -m -2+ +b n -m -1x +b n -mh (x )=c 0x m +c 1x m -1+c 2x m -2+ +c m -1x +c m均为有理数域上的不可约多项式.定理2是在取消了条件p 2⫮a n 的限制后,通过对所满足条件的改进得到与定理1完全相同的结果,解决了定理1不能判别的问题.定理2一经证明,立即可得到:推论1 如果整系数多项式f (x )满足定理2的条件,且n 2ɤm ɤn -2,则f (x )无有理根.推论2 如果整系数多项式f (x )满足定理2的条件,且m =n -1,则f (x )要么在有理数域上不可约,要么有唯一一个有理根.为了证明定理2,先给出如下引理:引理1[6] (E i s e n s t e i n 判别法)整系数多项式f (x )=a 0x n +a 1x n -1+a 2x n -2+ +a n -1x +a n 若存在一素数p 满足条件:(i )p ⫮a 0;(i i )p |a i ,其中i =1,2, ,n ;(i i i )p 2⫮a n .则f (x )在有理数域上不可约.定理2的证明 若f (x )在有理数域上不可约,则定理2获证.若f (x )在有理数域上可约,设其分解式如下:f (x )=a 0x n +a 1x n -1+a 2x n -2+ +a n -1x +a n =(b 0x t +b 1x t -1+b 2x t -2+ +b t -1x +b t )(c 0x s +c 1x s -1+c 2x s -2+ +c s -1x +c s )(1)其中t +s =n ,b i 和c j 均为整数(i =0,1,2, ,t ;j =0,1,2, ,s ).情形1 当t <m <s 时,比较(1)式两边的系数,得到:a 0=b 0c 0a 1=b 0c 1+b 1c 0a 2=b 0c 2+b 1c 1+b 2c 0a t =b 0c t +b 1c t -1+ +b t -1c 1+b t c 0a t +1=b 0c t +1+b 1c t + +b t -1c 2+b t c 1a m =b 0c m +b 1c m -1+ +b t -1c m -t +1+b t c m -t a m +1=b 0c m +1+b 1c m + +b t -1c m -t +2+b t c m -t +1 a s -1=b 0c s -1+b 1c s -2+ +b t -1c s -t +b t c s -t -1a s =b 0c s +b 1c s -1+ +b t -1c s -t +1+b t c s -t a s +1=b 1c s +b 2c s -1+ +b t -1c s -t +2+b t c s -t +1a n -3=b t -3c s +b t -2c s -1+b t -1c s -2+b t c s -3a n -2=b t -2c s +b t -1c s -1+b t c s -2a n -1=b t -1c s +b t c s -1a n =b t c s(2)由定理2的条件(i i i )知p 2|a n ,p 3⫮a n 及a n =b tc s .又因p 是素数,则有且仅有以下3种情形之一成立:p 2|b t ,p ⫮c s ;p 2|c s ,p ⫮b t ;p |b t ,p 2⫮b t ,p |c s ,p 2⫮c s .情形1.1 若p 2|b t ,p ⫮c s ,则由p |a n -1及(2)式中的a n -1=b t -1c s +b t c s -1知p |b t -1.由定理2的条2西南师范大学学报(自然科学版) h t t p ://x b b jb .s w u .c n 第38卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.件(i i ),(i i i )及(2)式,依次类推,得到p |b t -2,p |b t -3, ,p |b 1,p |b 0.进而由a 0=b 0c 0知p |a 0,与定理2的条件(i )矛盾.故不能成立p 2|b t ,p ⫮c s .情形1.2 若p 2|c s ,p ⫮b t .同理,由p |a n -1及(2)式中的a n -1=b t -1c s +b t c s -1知p |c s -1.由定理2的条件(i i ),(i i i )及(2)式,依次类推,得到p |c s -2,p |c s -3, ,p |c 1,p |c 0.由a 0=b 0c 0知p |a 0,亦与定理2的条件(i )矛盾.故不能成立p 2|c s ,p ⫮b t .情形1.3 若p |b t ,p 2⫮b t ,p |c s ,p 2⫮c s .则由a n -1=b t -1c s +b t c s -1及p 2|a n -1得到p |b t -1c s ,p |b t c s -1.由a n -2=b t -2c s +b t -1c s -1+b t c s -2及p 2|a n -2,知p |b t -1c s -1,即p |b t -2c s ,p |b t -1c s -1,p |b t c s -2.又因p 是素数,所以由p |b t -1c s -1知p |b t -1或p |c s -1.再由a n -3=b t -3c s +b t -2c s -1+b t -1c s -2+b t c s -3及p 2|a n -3得到:若p |b t -1,则p |b t -2c s -1;若p |c s -1,则p |b t -1c s -2,即p |b t -3c s ,p |b t -2c s -1,p |b t -1c s -2,p |b t c s -3.由定理2的条件,利用(2)式依次类推,得到p |b i c j(3)其中i =0,1,2, ,t ;j =0,1,2, ,s ;i +j ʂ0.另一方面,由于a 0=b 0c 0,且p ⫮a 0,所以p ⫮b 0,且p ⫮c 0.故在(3)式中,令j =0,得到p |b i i =1,2, ,t (4)令i =0,得到p |c jj =1,2, ,s (5)由m <s ,及定理2的条件(i i i ),知p 2|a s ,且在(2)式中有a s =b 0c s +b 1c s -1+ +b t -1c s -t +1+b t c s -t 又由(4),(5)两式,知p 2|(b 1c s -1+ +b t -1c s -t +1+b t c s -t ),所以p 2|b 0c s ,但p 2⫮c s 且p ⫮b 0.矛盾.综上所述,t <m <s 不能成立.情形2 当s <m <t 时,与情形1类似(只须交换t ,s )得到矛盾,即s <m <t 不能成立.情形3 当m >s >t 时,比较(1)式两边的系数,得到a m =b m -s c s +b m -s +1c s -1+ +b t -1c m -t +1+b t c m -t 由情形1,显然p 2|(b m -s c s +b m -s +1c s -1+ +b t -1c m -t +1+b t c m -t ),所以p 2|a m ,这与p 2⫮a m 矛盾,即m >s >t 不能成立.情形4 与情形3同理,m >s >t 不能成立.情形5 由m ȡn 2及s +t =n ,显然0<m <s ɤt 和0<m <t ɤs 都不能成立.综上所述,我们得到:若f (x )可约,则它仅能分解为次数分别为m 和n -m 的两个有理数域上多项式的积,即f (x )=(b 0x n -m +b 1x n -m -1+b 2x n -m -2+ +b n -m -1x +b n -m )(c 0x m +c 1x m -1+c 2x m -2+ +c m -1x +c m )令g (x )=b 0x n -m +b 1x n -m -1+b 2x n -m -2+ +b n -m -1x +b n -mh (x )=c 0x m +c 1x m -1+c 2x m -2+ +c m -1x +c m下面证明g (x )与h (x )在有理数域上不可约.设n -m =t ,m =s ,由情形1的证明知p ⫮b 0,且p ⫮c 0,及p 2⫮b n -m ,且p 2⫮c m .故由(4)式知,g (x )满足引理1的条件,即g (x )在有理数域上不可约.又由(5)式知,h (x )满足引理1的条件,故h (x )在有理数域上不可约.定理2证毕.在定理2中,若令y =1x,立即得到下列定理成立:定理3 整系数多项式f (x )=a 0x n +a 1x n -1+a 2x n -2+ +a n -1x +a n ,若存在一素数p 满足条件:(i )p ⫮a n ;(i i )p |a i ,其中i =m ,m +1,m +2, ,n -1,但p 2⫮a m ,m ɤn 2;(i i i )p 2|a j ,其中j =0,1,2, ,m -1,但p 3⫮a 0.则f (x )要么在有理数域上不可约,要么仅能唯一地分解为次数分别为m 和n -m 的两个有理数域上的不可3第4期 罗永超,等:关于整系数多项式的不可约性与有理根存在性的新判别法Copyright ©博看网. All Rights Reserved.约多项式的积:f (x )=g (x )h (x )其中g (x )=b 0x n -m +b 1x n -m -1+b 2x n -m -2+ +b n -m -1x +b n -mh (x )=c 0x m +c 1x m -1+c 2x m -2+ +c m -1x +c m均为有理数域上的不可约多项式.由定理2可直接证明以下例子例1 设f (x )=a 0x n +a 1x n -1+a 2x n -2+ +a n -1x +a n 是一个整系数多项式(n ȡ3),如果有一素数p ,使得(i )p ⫮a 0;(i i )p |a i ,其中i =1,2, ,n ;(i i i )p 2⫮a n -1.则多项式f (x )要么在有理数域上不可约,要么只有一个有理根.若f (x )存在有理根r s,其中(s ,r )=1,设f (x )=(s x -r )g (x ),则g (x )在有理数域上不可约.例2 设f (x )=a 0x n +a 1x n -1+a 2x n -2+ +a n -1x +a n 是一个整系数多项式(n ȡ3),如果有一素数p ,使得(i )p ⫮a 0;(i i )p |a i ,其中i =1,2, ,m -1,m ,但p 2⫮a m ,且m ɤ(n -2);(i i i )p 2|a j ,其中i =m +1,m +2, ,n ,但p 3⫮a n .则f (x )无有理根.参考文献:[1]罗永超.一类整系数多项式的不可约性与有理根存在性的判别[J ].数学的实践与认识,2007,37(21):94-99.[2] 罗永超.整系数多项式无理根的一个判别法[J ].贵州师范大学学报:自然科学版,1993,11(4):54-58.[3] 卫东舟.E i s e n s t e i n 判别法的一种推广[J ].数学通报,1992(8):24-25.[4] 罗永超.推广E i s e n s t e i n 判别法判定整系数多项式有理根的存在性[J ].大学数学,2007,23(5):63-69.[5] 罗永超.关于整系数多项式无理根的一个判别法的注记[J ].贵州师范大学学报:自然科学版,2011,29(1):43-44.[6] 王萼芳,石生明.高等代数[M ].3版.北京:高等教育出版社,2003.O nn e wD i s c r i m i n a t i n g M e t h o d f o r I r r e d u c i b i l i t y o f I n t e ge r C o ef f i c i e n t sP o l yn o m i a l a n d t h eE x i s t e n c e o f t h eR a t i o n a lR o o t s L U O Y o n g -c h a o 1, C HA N G M i n 2, Z HA N G H o n g 11.S c h o o l o fM a t h e m a t i c a l S c i e n c e ,K a i l i U n i v e r s i t y ,K a i l i G u i z h o u 556011,C h i n a ;2.S c h o o l o fM a t h e m a t i c sa n dS t a t i s t i c s ,S o u t h w e s t U n i v e r s i t y ,C h o n g q i n g 400715,C h i n a A b s t r a c t :I n t h i s p a p e r ,w e f i r s tm o d i f y c o n d i t i o n s o f i n t e g e r c o e f f i c i e n t s p o l y n o m i a l ,t h e nw e e x t e n d t h eE i s e n -s t e i n d i s c r i m i n a t i o n .T h e u n i q u e n e s s o f d i s c r i m i n a t i o n f o r r e d u c i b l e p o l y n o m i a l ,t h e i r r e d u c i b i l i t y a n d t h e e x i s t e n c e o f t h e r a t i o n a l r o o t a r e s t u d i e d .F i n a l l y w e i n v e s t i g a t e t h e a p p l i c a t i o n o f t h e n e wd i s c r i m i n a t i n g me t h o d .K e y wo r d s :i n t e g e r c o e f f i c i e n t s p o l y n o m i a l ;r e d u c i b l e p o l y n o m i a l ;r a t i o n a l r o o t ;d i s c r i m i n a t i o n 责任编辑 廖 坤4西南师范大学学报(自然科学版) h t t p ://x b b jb .s w u .c n 第38卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
(新)整系数多项式的有理根定理及求解方法
整系数多项式的有理根的定理及求解方法系别 & 专业： 数学系-数学与应用数学专业 姓名 & 学号： 刘玉丽 0934118 年级 & 班别： 2009级1班 教师 & 职称： 张洪刚2018年 9月 1日吉林师范大学博达学院 毕业论文<设计） 论文分类号O174.14 密 级：无摘要：整系数多项式在多项式的研究中占有重要的地位，其应用价值也越来越被人们所认识。
本文是关于整系数多项式有理根的求解的一个综述，希望能够给对整系数多项式感兴趣的朋友提供一定的参考。
本文根据相关文献资料，给出了关于整系数多项式有理根的较为系统的求法。
求解整系数多项式的有理根时，首先要判定整系数多项式是否存在有理根。
若存在，则可利用求解有理根的方法法将所有可能的有理根求出。
为了简化求解过程，可以先运用本文中的相关定理，将可能的有理根的范围尽量缩小，然后再用综合除法进行检验，进而求出整系数多项式的全部有理根。
关键词：整系数多项式；有理根的求法；有理根的判定Abstract：Integral coefficients polynomial plays an important role in the research of polynomial, and its application value will be known by more and more people. This article is about solving of rational root of integral coefficients polynomial, and I hope this can provide some references to people interested in this. There are some systematic methods of rational root of integral coefficients polynomial in some related document literature. And by which, we know we must make sure integral coefficients polynomial f(x> has rational root when we want to solve the rational root of integral coefficients.If it exists, we can get all the possible rational roots. However, in order to make the procedure easier, we can apply the related theorem in this article and narrow down the extent. And then we can testify them and get all the rational roots.Keywords: Integral coefficients polynomial method to solve rational roots judgment of rational roots第一章整系数多项式的基本内容【1】本节给出了整系数多项式的基本定理----高斯(Gauss>引理。
整系数多项式
使得a - b = 0
• 结果：-3x^3 + x^2 + x + 4
整系数多项式的乘法
整系数多项式乘法的定义
整系数多项式乘法的性
质
例子
• 将两个整系数多项式相乘，得到
• 交换律：a * b = b * a
• (x^2 - 2x + 1) * (3x^3 - 2x^2 +
谢谢观看.
Thank you for watching.
Docs
• 因式分解：x^2 - 2x + 1 = (x - 1)(x - 1)
整系数多项式的因式分解方法
因式分解方法
例子
• 长除法
• 3x^3 - 2x^2 + x - 5
• 配方法
• 待定系数法
• 图形法
• 因式分解：3x^3 - 2x^2 + x - 5 = (x - 1)(3x^2 - x
+ 5)
• 相等：不成立，因为系数不相等
• 相似：成立，因为次数相同，且对应项的系数成比例
⌛️
02
整系数多项式的运算
整系数多项式的加法
整系数多项式加法的性
质
整系数多项式加法的定义
例子
• 将两个整系数多项式的对应项相
• 交换律：a + b = b + a
• x^2 - 2x + 1 + 3x^3 - 2x^2 +
整系数多项式的有理根与无理根
有理根的定义
• 一个整系数多项式的一个根为有理数
无理根的定义
• 一个整系数多项式的一个根为无理数
例子
多项式的根和有理域上的多项式6
定理7.3.8 实数域上，质式只能是一次式或 二次式。二次式aх2+bx+c是质式，当且仅 当判别式b2-4ac<0。
证明：显然一次式是质式,二次式有质式,比 如，x2+a2。
往证三次式以上都不是质式。用反证法。设g （x）为实数域上的多项式，
且次g（x）>2，若g（x）有实根α， 则x-α∣g（x），故g（x）非质式； 若g（x）有虚根a+bi，b≠0，命 h(x)=(x-(a+bi))(x-(a-bi))
在有理域、实数域、复数域等无限域上相等 与恒等一样，但在一般域上二者不同。
例7.3.1 考虑R2={0，1}上的多项式： f（x） = x3+x2+x， g（x） = x。
显然，f（x）g（x）， 但f（x） g（x）， 因为f（0）=0=g（0），
f（1）=1=g（1）。
定理7.3.3 设F中有无穷多个元素，ƒ（х） 和g（х）恒等，当且仅当二者相等。
除了这些，ƒ（х）没有另外的根α，因否则 х-α应是ƒ（х）的质因式，
而分解式（1）中没有这个质因式。 可见，k重根算k个根时，ƒ（х）共有
k1+…+kr个根，由（2），此数≤n。
注意：（1）这里系数在任意域中， 可扩充到无零因子交换环中。
（2）有零因子环不能成立。 例 如 ， x2 在 模 16 环 中 有 四 个 根 0,4,8,12
设(x)=a0+a1x+…+anxn,系数为0的项拿掉. ’(x)=a1+2a2x+…+nanxn-1=0，
这时各系数应为0。诸ai当然不为0，故必有 iaixi-1中ia=0，即原 (x)中各项指数是域 F特征的倍数。即可写成xp的多项式而可记 为 (xp)。
关于整系数多项式有理根的几个定理
关于整系数多项式有理根的几个定理作者：孙森凤 单位：揭东县登岗镇洋淇初级中学0引言我们知道：讨论有理数域上多项式的有理根，实际上只需对整系数多项式的有理根进行讨论,对于整系数多项式n n n n n a x a x a x a x a x f +++++=---122110)( (1),欲检定)(x f 的有理根，我们只需对n a 的因数做分子和0a 的因数做分母组成的有限个有理数jiq p （t i ,,2,1 =; s j ,,2,1 =）(其中设)(x f 的最高项系数0a 的因数是s q q q ,,,21 ,常数项n a 的因数是t p p p ,,,21 )用综合除法来进行检验是否是(1)的根,当有理数jiq p 的个数较多时，对他们逐个进行检验是比较麻烦的，为方便某些整系数多项式)(x f 有理根的求解，下面给出的几个定理，可以方便某些整系数多项式)(x f 有理根的检定.（注：以下给出的多项式都是按降幂排列的整系数多项式）1 定理及其证明定理1 设整系数多项式,)(0121a x b x b x b x a x f t t s s n n +++++=- (s>t),qp 是)(x f 的一个有理根，（p , q ）=1, 则有n s n a q |-；0|a p t 证明：∵qp是)(x f 的一个根 ∴0)()()()(0121=+++++-a qpb q p b q p b q p a t t s s n n （*）（*）式两边同乘t q 后移项得：)(0121s t s t t s s sn nn q a q p b q p b p b qp a ++++-=--- （1）（*）式两边同乘以t npq 后移项得：)(11210tn t s n t s s n t s t n n t n q b q p b q p b p a pq a -+------++++-= （2） 由(1)(2)可知: n n s n p a q |-且n t q a p 0| ∵(p , q )=1∴(p n , q n-s )=1, (p t , q n )=1 ∴n s n a q |-；0|a p t例题1 求多项式4415231178)(24713++-+=x x x x x f 的全部有理根。
高等代数多项式求有理根
高等代数多项式求有理根摘要：一、高等代数多项式的概念二、有理根的定义及其性质三、求有理根的方法1.因式分解法2.有理根定理3.综合法求有理根四、有理根的应用1.多项式的约分2.多项式的有理化正文：高等代数中的多项式是一个非常重要的概念，它可以用来描述和刻画很多数学对象。
在研究多项式的过程中，我们经常会遇到有理根的问题。
本文将详细介绍多项式有理根的求法及其应用。
首先，我们需要明确有理根的概念。
设P(x) 是一个多项式，如果存在一个有理数Q(x)，使得P(x) = Q(x) * R(x)，其中R(x) 是一个多项式且其根为有理数，那么我们称Q(x) 为P(x) 的一个有理根。
显然，有理根是一种特殊的根，它可以使多项式因子分解更加明确。
求有理根的方法有很多，这里我们介绍三种常用的方法。
首先是因式分解法，如果多项式P(x) 可以分解为两个有理数的乘积，那么这两个有理数就是P(x) 的有理根。
例如，对于多项式P(x) = x^2 - 6x + 9，我们可以将其分解为(x - 3)(x - 3)，那么有理根就是3。
其次是使用有理根定理。
有理根定理给出了多项式有理根存在性的条件，以及有理根的性质。
根据有理根定理，如果多项式P(x) 的首项系数和常数项都是有理数，那么P(x) 一定有有理根。
此外，如果P(x) 有一个有理根，那么它的其他有理根也是有理数。
最后是综合法求有理根。
这种方法综合了因式分解法和有理根定理，可以用来求解较为复杂的有理根问题。
具体操作是，首先尝试因式分解，如果无法分解，则根据有理根定理寻找可能有理根的值，再进行验证。
多项式的有理根在代数中有着广泛的应用。
例如，在多项式约分中，我们可以将有理根约掉，从而简化多项式；在多项式有理化中，我们可以通过有理根将有理数表示为多项式的形式，从而实现有理化。
求多项式有理根的步骤
求多项式有理根的步骤
整系数方程anx^n a(n-1)x^(n-1) .... a2x2 a1x a0=0的有理根x=p/q。
满足：p能整除a0，q能整除an。
要求整系数方程的有理根，只须把an、a0分解质因数，然后找出所有的p/q，代入一一试验，满足的是根，不满足的不是根。
扩展资料
多项式函数及其根
给出多项式f∈R[x1,...,xn]以及一个R-代数A。
对(a1，...，an)∈An，我们把f中的xj都换成aj，得出一个A中的元素，记作f(a1...an)。
如此，f可看作一个由An到A的函数。
若然f(a1...an)=0，则(a1...an)称作f的根或零点。
例如f=x^2 1。
若然考虑x是实数、复数、或矩阵，则f会无根、有两个根、及有无限个根！
例如f=x-y。
若然考虑x是实数或复数，则f的零点集是所有(x,x)的集合，是一个代数曲线。
事实上所有代数曲线由此而来。
另外，若所有系数为实数多项式P(x)有复数根Z，则Z的共轨复数也是根。
若P（x）有n个重叠的根，则P‘(x)有n-1个重叠根。
即若P(x)=(x-a)^nQ(x)，则有a是P’(x)的重叠根且有n-1个。
有理根定理应用
为了确定一个多项式是否有任何有理根，使用该定理，如果是这样就可以找出它们。
由于定理给出了完全减少的有理根的分子和分母作为某些数的`除数的约束，所以可以检查除数的所有可能的组合，或者找出合理的根，或者确定没有一个。
如果找到一个或多个，则可以将它们从多项式中分解出来，导致较低程度的多项式，其根也是原始多项式的根。
高等代数多项式求有理根
高等代数多项式求有理根一、多项式的基本概念及其性质高等代数中的多项式是指一个或多个变量的一系列代数表达式，通常用字母表示。
多项式具有以下性质：1.多项式的系数为有理数或复数。
2.多项式的次数是指其中最高次项的次数。
3.多项式可以进行加、减、乘等基本运算。
4.多项式可以进行因式分解，分解后的因式称为多项式的因子。
二、有理根的定义及其求解方法有理根是指多项式在有理数域上的根，即满足多项式方程的解。
求解有理根的方法主要包括以下两种：1.试除法：对于一个多项式，可以先尝试用有理数去除其首项，若得到一个整数，则该数可能是有理根。
2.图像法：在直角坐标系中，将多项式表示为y = ax^2 + bx + c的形式，观察其图像与x轴的交点，即为有理根的可能值。
三、利用韦达定理和因式定理寻找有理根1.韦达定理：对于一个多项式方程ax^n + bx^(n-1) + ...+ z = 0，其根的和与积分别等于常数项与首项系数的比值，即：根的和= -b / a根的积= c / a2.因式定理：若多项式f(x)的一个因子为(x - a)，则f(a) = 0。
四、实例分析以多项式3x^2 + 2x - 1为例，寻找其有理根：1.利用韦达定理，计算根的和与积：根的和= -2 / 3根的积= -1 / 32.利用因式定理，尝试找到有理根：首先，求出多项式的因式：3x^2 + 2x - 1 = (3x - 1)(x + 1)根据因式定理，当x = 1/3时，多项式值为0，故1/3是有理根。
五、总结与拓展通过本篇文章，我们学习了多项式的基本概念及其性质，了解了有理根的定义及其求解方法。
在实际求解过程中，可以利用韦达定理和因式定理寻找有理根。
此外，还可以运用其他方法，如试错法、图像法等。
§9有理系数多项式
p
整除的数，即 又
p | b 0 , p | b1 , , p | b j 1 , p b j . |
d i j a i b j a i 1b j 1 ,
在这里 p | d i j , p | a i b j , p | a i 1 b j 1 , 故 h ( x )是本原的．
解： 令 g ( x ) p ! f ( x ), 即
g ( x ) p ! p ! x p! 2 x
2
p! ( p 1) !
x
p1
x ,
p
则 g ( x ) 为整系数多项式．
p 1, | p| , , , p ! , ( p 1) ! ( p 2 ) ! p! p!
设整系数多项式有分解式这里皆为本原多项式由定理10本原是整系数多项式且是本原是一个整系数多项式而是它的一个有理根在有理数域上由上推论有sx定理12是判断整系数多项式有理根的一个必要条件而非充分条件
一、本原多项式
二、整系数多项式的因式分解
问题的引入
1. 由因式分解定理，作为一个特殊情形： 对 f ( x ) Q [ x ], f ( x ) 1, 则 f ( x ) 可唯一分解 成不可约的有理系数多项式的积. 但是，如何作出它的分解式却很复杂，没有一个 一般的方法.
另一方面， p | a n .
p bl , p c m . | |
假设 b 0 , b1 , , b l 中第一个不能被 p 整除的数为 b k , 比较两端
x
k
的系数，得
a k bk c 0 bk 1c1 b0 c k
上式中 a k , b k 1 , , b 0 皆能被 p 整除，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
证明：因为q是整系数多项式 f x 的整数根,所以
f x x q g x ,其中 g x 是整系数多项式.
m z , m q ,则有 f m q m g m .
又 m z ,故 g m z ,所以 q m f m . 当 m 0 时,
q ( p, q 互素)是有理数 p
an 1 a a ... n11 0 0 ,则 d 是 f x 的根. d d dn a a a 0, 证明：因为 an n 1 ... n11 0 d d dn
时,若 an
在上式两边同时乘以 d n ,则有 an d n an 1d n 1 ... a1d a0 0 即
.
所以,研究整系数多项式有理根的存在性问题,明智的选择还是从系数开始。整 系数多项式无有理根的判别法： 定理3.1.1[1](Eisenstein判别法)：设 f ( x) an x n an 1 x n 1 ... a1 x a0 是一 个整系数多项式。如果有一个素数 p ，使得
2
第一章
整系数多项式的基本内容【1】
本节给出了整系数多项式的基本定理----高斯(Gauss)引理。
n n 1 定义1[1]如果一个多项式 f ( x) an x an 1 x ... a1 x a0 ，其所有系数
a 0 , a1 ,......a n 都是整数，就称此多项式为整系数多项式。
p | b0 , , p | b j 1 , p / | bj
我们来看 h( x) 的系数 d i j ，由乘积定义
3
d i j ai b j ai 1b j 1 ai 2 b j 2 ai 1b j 1 ai 2 b j 2
的一个有理根,其中r,s互素,那么必有 s | a n , r | a 0 .特别地，如果
1 ，那么 f x 的有理根都是整根，而且是 a 0 的因子。
f x
的首项系数
an
r r （ x )| f x 的一个有理根,因此在有理数领域上 s f x ，从而 证明：因为 s 是
. 所以
q 不是 f x 的有理根. p
5
定理2.5（关于整根的牛顿法）【2】
n n 1 如果d是整系数方程 f x a0 x a1 x ... an 1 x an 0 （ a0 0 ）的整根,
那么 d 能够整除 an , an 1
a0
an a a , an 2 n 1 n , ... , d d d2
由上面的假设， p 整除等式左端的 d i j ， p 整除右端 ai b j .这是不可能的.这就 证明了，
h( x) 一定也是本原多项式.由此我们可以得到下面的定理及推论
定理1.2 如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积 ，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积. 推论1.2.1 设 f ( x) ， g ( x) 是整系数多项式，且 g ( x) 是本原的.如果 f ( x) =
a1
a a1 ... nn1 ,并且 d d
a a a1 a ... n 0 .反之,如果 a0 1 ... n 0 ,那么 d 是 f x 0 的根. n d d d dn
由以上定理可得下面推论： 推论
n n 1 整系数多项式 f x an x an 1 x ... a1 x a0 ,当 d
2
n
an 2
n 1
n 1 an 1 ... 2 a1 a0 2 p q 2 bn 1 ... 2 b1 b0
又因为 a0 是奇数,
2 p q 是偶数.在上式中,等号左边是奇数,等号右边是偶数,矛盾.故假设不成立
q f 0 .因为 f 0 是常数项,故 q 为常数项 a0 的约数,所以
q f 0 .
定理2.4 若整系数多项式 f x an x n an 1 x n 1 ... a1 x a0 的常数项 a0 为奇数,而 2 p q 为偶数,则
q 不是 f x 的有理根. p q 是 f x 的有理根,则 p, q 1 , p
吉林师范大学博达学院 毕业论文（设计）
论文分类号O174.14 密 级：无
整系数多项式的有理根的定理及求解方 法
系别 & 专业： 姓名 & 学号： 年级 & 班别： 教师 & 职称：
数学系-数学与应用数学专业 刘玉丽 0934118 2009级1班 张洪刚
1
2012年
摘
9月
1日
要：整系数多项式在多项式的研究中占有重要的地位，其应用价值也越来越被人们所认识 。本文是关于整系数多项式有理根的求解的一个综述，希望能够给对整系数多项式感兴趣 的朋友提供一定的参考。本文根据相关文献资料，给出了关于整系数多项式有理根的较为 系统的求法。求解整系数多项式的有理根时，首先要判定整系数多项式 f x 是否存在有 理根。若存在，则可利用求解有理根的方法法将所有可能的有理根求出。为了简化求解过 程，可以先运用本文中的相关定理，将可能的有理根的范围尽量缩小，然后再用综合除法 进行检验，进而求出整系数多项式 f x 的全部有理根。 关键词：整系数多项式； 有理根的求法； 有理根的判定 Abstract：Integral coefficients polynomial plays an important role in the research of polynomial, and its application value will be known by more and more people. This article is about solving of rational root of integral coefficients polynomial, and I hope this can provide some references to people interested in this. There are some systematic methods of rational root of integral coefficients polynomial in some related document literature. And by which, we know we must make sure integral coefficients polynomial f(x) has rational root when we want to solve the rational root of integral coefficients.If it exists, we can get all the possible rational roots. However, in order to make the procedure easier, we can apply the related theorem in this article and narrow down the extent. And then we can testify them and get all the rational roots. Keywords: Integral coefficients polynomial method to solve rational roots judgment of rational roots
f ( x) an x n an 1 x n 1 ... a1 x a0
g ( x) bm x m bm 1 x m 1 b0
是两个本原 x n m d n m 1 x n m 1 d 0 是它们的乘积.我们用反证法.
( sx r ) | f ( x) ,因为r,s互素，所以 sx r 是一个本原多项式.根据上述推论1.2.1，
f ( x) ( sx r )(bn 1 x n 1 ... b0 ) ，式中 bn 1 ,..., b0 都是整数.令 g ( x) bn 1 x n 1 ... b0 ，比较两边系数，即得 a n sbn 1 , a 0 rb0. 因此
定义2 如果一个非零的整系数多项式 g ( x) bn x n bn 1 x n 1 b0 的系数
bn , bn 1 , , b0 没有异于 1 的公因子，也就是说，它们是互素的，它就称为一个
本原多项式。 下面的重要结果，称为高斯引理，是研究整系数多项式的基础。 定理1.1（高斯引理）两个本原多项式的乘积还是本原多项式。 证明 设
证明：（反证法）设
f x px q h x ,其中 h x 是整系数多项式,
于是有 an x n an 1 x n 1 ... a1 x a0 px q h x 设 h x bn 1 x n 1 ... b1 x b0 ,令 x 2 ,则有
s | a n , r | a 0 。将 x 1, 1 代入上式得 f (1) ( s r ) g (1) , f (1) ( s r ) g (1)
由定理2.1的证明过程可得如下定理： 定理2.2 若 f x an x n an 1 x n 1 ... a1 x a0 是一个次数 n 大于 0 的整系数多项式,如果
4
f 1 f 1 q 是 f x 的一个有理根,其中 p, q 是互素的整数,那么 z, 且 z. pq pq p
定理2.3
若 q 为整系数多项式 f x 的整数根,则 q 为常数项 a0 的约数,且对于
m z m q , q m f m .