函数定义域值域及表示
函数的定义域与值域
函数的定义域与值域函数是数学中常见的概念，它描述了两个集合之间的映射关系。
在讨论函数时，我们经常会遇到两个重要的概念，即定义域和值域。
本文将详细介绍函数的定义域与值域，并探讨它们在函数理论和实际问题中的重要性。
一、定义域的概念及作用在定义函数时，我们需要明确函数的输入变量的取值范围，这个取值范围称为函数的定义域。
简单来说，定义域是指函数能够接受的实际参数的集合。
例如，考虑一个简单的函数f(x) = 2x，如果我们要求f(x)的定义域为实数集，那么定义域可以表示为D = R。
这意味着函数f(x)可以接受任意实数作为输入。
定义域在函数的数学性质和实际应用中都起着重要作用。
首先，定义域的确定可以帮助我们分析函数的性质。
对于某些函数来说，定义域的限制可能导致函数的不连续、无定义等特殊情况。
其次，在实际问题中，定义域的设定可以帮助我们剔除那些无法满足条件的输入值，从而使得函数描述的问题更加合理和实用。
二、值域的概念及意义值域是函数中输出变量的取值范围，也可以理解为函数所有可能的输出值组成的集合。
考虑函数f(x) = x^2，如果定义域为实数集，那么值域可以表示为R+，即非负实数集合。
这是因为对于任意实数x，函数f(x)总能输出一个非负实数。
值域的确定与函数的图像密切相关。
通过绘制函数的图像，我们可以直观地观察函数的值域。
但需要注意的是，并非所有函数都能通过图像判断值域。
对于某些复杂的函数来说，值域的确定需要借助数学分析和推导。
在实际应用中，值域的确定有助于我们了解问题的解空间和可能的输出结果。
通过对值域的分析，我们可以推断出函数的特性，帮助我们解决实际中遇到的问题。
三、定义域与值域的关系定义域和值域是函数中的两个重要概念，它们之间存在一定的关系。
首先，定义域决定了值域的范围。
也就是说，值域的元素必须是定义域中元素通过函数映射得到的结果。
例如，对于函数f(x) = x^2而言，如果定义域为实数集，则值域为非负实数集。
函数的定义域和值域
函数的定义域和值域函数的定义域、值域⼀、知识回顾第⼀部分：函数的定义域1.函数的概念：设集合A 是⼀个⾮空的数集，对于A 中的任意⼀个数x ，按照确定的法则f ，都有唯⼀的确定的数y 与它对应，则这种关系叫做集合A 上的⼀个函数，记作()x f y =，(A x ∈)其中x 叫做⾃变量，⾃变量的取值范围（数集A ）叫做这个函数的定义域.如果⾃变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作)(a f y =或ax y=，所有的函数值所构成的集合{}A x x f y y ∈=),(叫做这个函数的值域.2.定义域的理解：使得函数有意义的⾃变量取值范围，实际问题还需要结合实际意义在确定⾃变量的范围，注意:定义域是个集合，所以在解答时要⽤集合来表⽰. 3.区间表⽰法：设a ，R b ∈，且b a <.满⾜b x a ≤≤的全体实数x 的集合，叫做闭区间，记作[]b a ,. 满⾜b x a <<的全体实数x 的集合，叫做开区间，记作()b a ,.满⾜b x a ≤<或b x a <≤的全体实数x 的集合，都叫做半开半闭区间，记作(][)b a b a ,,或.b a 与叫做区间的端点，在数轴上表⽰时，包括端点时，⽤实⼼的点，不包括时⽤空⼼点表⽰.4.基本思想：使函数解析式有意义的x 的所有条件化为不等式，或不等式组的解集.5.定义域的确定⽅法：保证函数有意义，或者符合规定，或满⾜实际意义. （1）分式的分母不为零. （2）偶次⽅根式的⼤于等于零. （3）对数数函数的真数⼤于零.（4）指数函数与对数函数的底⼤于零且不等于1. （5）正切函数的⾓的终边不能在y 轴上. （6）零次幂的底数不能为零.（7）分段函数：①分段函数是⼀个函数.②分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.（8）复合函数定义域的求法：①已知)(x f y =的定义域是A ，求()[]x f y ?=的定义域的⽅法为解不等式：A x ∈)(?，求出x 的取值范围.②已知()[]x f y ?=的定义域为A ，求)(x f y =的定义域的⽅法:A x ∈，求)(x ?的取值范围即可.第⼆部分：函数的值域函数值域的确定⽅法：（1）直接观察法对于⼀些⽐较简单的函数，其值域可通过观察得到. （2）分离常数法：分⼦、分母是⼀次函数得有理函数，形如,dcx bax y ++=，,,,,(d c b a 为常数，)0≠c 可⽤分离常数法，此类问题⼀般也可以利⽤反函数法.（3）换元法：运⽤代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另⼀函数，从⽽求得原函数的值域，如d cx b ax y +±+=（d c b a ,,,均为常数且0≠a ）的函数常⽤此法求解. （4）配⽅法：适⽤于⼆次函数值域的求值域. （5）判别式法：适⽤于⼆次函数型值域判定.（6）单调性法：利⽤单调性，端点的函数值确定值域的边界.（7）函数的有界性：在直接求函数值域困难的时候，可以利⽤已学过函数的有界性，反过来确定函数的值域.（8）不等式法：利⽤不等式的性质确定上下边界.（9）数形结合法：函数解析式具有明显的某种⼏何意义，如两点间的距离公式直线斜率等等，这类题⽬若运⽤数形结合法，往往会更加简单，⼀⽬了然，赏⼼悦⽬.⼆、精选例题第⼀部分：函数的定义域例1.函数x x y +-=1的定义域为（）A .{}1x x ≤B .{}0x x ≥ C.{}10x x x ≥≤或 D.{}01x x ≤≤【解析】由题意??≥≤≥≥-01001x x x x 即∈x {}10≤≤x x ，故选D. 例2.函数()()xx x x f -+=01的定义域是（）A .()0,+∞B .(),0-∞C.()(),11,0-∞--UD.()()(),11,00,-∞--+∞U U【解析】由?≠-≠+001x x x 得,01<-≠x x 故选C.例3.若函数()1+=x f y 的定义域是[],3,2-则()12-=x f y 的定义域是（）5.0,2A ??[]4,1.-B []5,5.-C []7,3.-D 【解析】Θ()1+=x f y 的定义域是[],3,2-,32≤≤-∴x[]4,11-∈+∴x ，即()x f 的定义域是[]4,1-.⼜由4121≤-≤-x 解得250≤≤x即()12-=x f y 的定义域是??25,0故选.A例4.设函数()x f y =的定义域是()1,0，则()2x f y =的定义域是什么？【解析】Θ函数()x f y =的定义域是()1,0.102<<∴x 即11<<-x故()2x f y =的定义域是()1,1-∈x 且0≠x .例5.已知函数(),11+=x x f 则函数()[]x f f 的定义域是（） {}1.-≠x x A {}2.-≠x x B {}21.-≠-≠x x x C 且{}21.-≠-≠x x x D 或【解析】：()11+=x x f 的定义域是101-≠?≠+x x 则()[]x f f 的定义域是111-≠+x 即21012-≠-≠?≠++x x x x 且故选.C 例6.已知()x f21-求函数??-xx f 213的定义域是?【解析】由()x f21-可知021≥-x 即0213≥-x x ()2100312≤≤?≤-?x x x故函数-x x f 213的定义域是??∈21,0x例7.若函数y =的定义域是R ，求实数k 的取值范围.【解析】当0=k 时，86+-=x y ，当34>x 时，⽆意义，∴0≠k ；当068y kx x k =-++为开⼝向下的⼆次函数，图像向下延伸，函数值总会出现⼩于零的情况，进⽽，0k 时，同时要求0≤?，即解得1≥k .例8.已知函数x x x f -+=11lg )(，求函数)2(12)1()(xf x x f x F +++=的定义域. 【解析】由题意011>-+xx，即0)1)(1(<+-x x ，解得11<<-x 故函数xxx f -+=11lg )(的定义域为)1,1(-所以??≠+<+<-012111x x 解得02<<-x 且21-≠x .即12)1()(++=x x f x m 的定义域为)0,21()21,2(---Y⼜121<<-x，解得22<<-x ，即)2(x f 的定义域为)2,2(-)2(12)1()(xf x x f x F +++=的定义域即为)(x m 和)2(x f 的定义域的交集，即)0,21()21,2(---Y )2,2(-I =)0,21()21,2(---Y故函数)2(12)1()(xf x x f x F +++=的定义域为)0,21()21,2(---Y .例9.已知函数()23x x f x a b =?+?，其中常数,a b 满⾜0ab ≠. （1）若0ab >，判断函数()f x 的单调性；（2）若0ab <，求(1)()f x f x +>时x 的取值范围. 【解析】（1）当0,0a b >>时，任意1212,,x x R x x ∈<，则121212()()(22)(33)x x x xf x f x a b -=-+-∵121222,0(22)0x x x x a a <>?-<，121233,0(33)0x x x xb b <>?-<，∴12()()0f x f x -<，函数()f x 在R 上是增函数. 当0,0a b <<时，同理，函数()f x 在R 上是减函数. （2）(1)()2230x x f x f x a b +-=? +?>当0,0a b <>时，3()22x a b >-，则 1.5log ()2ax b >-；当0,0a b ><时，3()22x a b <-，则 1.5log ()2ax b<-.第⼆部分：函数的值域1.观察法：例1.求函数x y 1=的值域. 【解析】0≠x Θ01≠∴x0≠∴y ，即值域为：()()+∞∞-,00,Y2.分离常数法：分⼦、分母是⼀次函数得有理函数，形如)0,,,(,≠++=c d c b a dcx bax y 为常数，，可⽤分离常数法，此类问题⼀般也可以利⽤反函数法.通式解析：)(,)(cad b d cx c ad b c a d cx b c ad d cx c a d cx b ax y ≠+-+=++-+=++=故值域为?≠c a y y 例2.求函数125xy x -=+的值域. 【解析】因为177(25)112222525225x x y x x x -++-===-++++，所以72025x ≠+，所以12y ≠-，所以函数125x y x -=+的值域为1{|}2y y ≠-.3.换元法：运⽤代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另⼀函数，从⽽求得原函数的值域，如d cx b ax y +±+=（d c b a ,,,均为常数且0≠a ）的函数常⽤此法求解.例3.(A 类)求函数2y x =.【解析】令x t 21-=（0t ≥），则212t x -=，所以22151()24y t t t =-++=--+因为当12t =，即38x =时，max 54y =，⽆最⼩值所以函数2y x =5(,]4-∞.4.三⾓换元：例4.求函数2)1(12+-++=x x y 的值域.【解析】0)1(12≥+-x Θ1)1(2≤+∴x ，令[]πββ,0,cos 1∈=+x1)4sin(21cos sin cos 11cos 2++=++=-++=∴πβββββy ，,0πβ≤≤Θ4544ππβπ≤+≤，1)4sin(22≤+≤-πβ， 121)4sin(20+≤++≤πβ故值域为：[]12,0+ 5.配⽅法：例5.求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域.【解析】2242(2)6y x x x =-++=--+，因为[1,1]x ∈-，所以2[3,1]x -∈--，所以21(2)9x ≤-≤，所以23(2)65x -≤--+≤，即35y -≤≤，所以函数242y x x =-++在（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-.6.判别式法：例6.求函数2211xx x y +++=的值域. 【解析】原函数化为关于x 的⼀元⼆次⽅程，0)1()1(2=-+--y x x y （1）当1≠y 时，R x ∈，0)1(4)1(22≥---=?y .解得2321≤≤y ，当1=y 时，0=x ，⽽??∈23,211，故函数的值域为??23,21.7.单调性法：例7.求函数x x x f 4221)(-+-=的值域. 【解析】由042≥-x ，解得21≤x ，令x x g 21)(-=，x x m 42)(-=，在21≤x 上)(),(x m x g 均为单调递减函数，所以x x x m x g 4221)()(-+-=+在21≤x 上也是单调递减函数.故0)21()(min ==f x f ，值域为),0[+∞.8.有界性例8.求函数11+-=x x e e y 的值域.【解析】函数变形为11-+=y y e x，0>x e Θ011>-+∴y y ，解得11<<-y ，所以函数的值域为()1,1-.9.不等式法：例9.求函数xx y 4+=的值域；【解析】当0>x 时，4424=?≥+=xx x x y （当x =2时取等号）；所以当0>x 时，函数值域为),4[+∞. 当02)4(-=?-≤+-=xx x x y （当2-=x 时取等号）；所以当010.数形结合法函数解析式具有明显的某种⼏何意义，如两点间的距离公式直线斜率等等，这类题⽬若运⽤数形结合法，往往会更加简单，⼀⽬了然，赏⼼悦⽬. 例10. （1）求函数82++-=x x y 的值域.（2）求函数5413622++++-=x x x x y 的值域. （3）求函数5413622++-+-=x x x x y 的值域.【解析】（1）函数可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2），)8(-B 间的距离之和.由上图可知，当点P 在线段AB 上时，10min ==AB y 当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时，10>=AB y 故所求函数的值域为：),10[+∞ 此题也可以画函数图象来解.（2）原函数可变形为：2222)10()2x ()20()3x (y ++++-+-=可看成x 轴上的点)0,(x P 到两定点)1,2(),2,3(--的距离之和，由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时，如图34)12()23(22min =+++==AB y ，故所求函数的值域为),34[+∞.（3）将函数变形为：2222)10()2()20()3(-++--+-=x x y可看成定点A ()3,2到点P )0,(x 的距离与定点B ()2,1-到点P )0,(x 的距离之差. 如图BP AP y -=由图可知：①当点P 在x 轴上且与A ，B 两点不供线时，如点'P ，则构成'ABP ?，()23()1,2--ABPxyBPA根据三⾓形两边之差⼩于第三边，有26)12()23(22=-++=<'-'AB P B P A所以2626<'-'<-P B P A即2626<<-y②当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时，有26=='-'AB P B P A .综上所述，函数的值域为：]26,26(-.三、课堂训练第⼀部分：函数定义域1.函数()x x x y +-=1的定义域为（）{}0.≥x x A{}1.≥x x B{}{}01.Y ≥x x C{}10.≤≤x x D解析：由题意得()≥≥-001x x x ≥≤≥?001x x x 或即[){}0,1Y +∞∈x ，故选.C 2.()xx f 11211++=的定义域为 .【解析】由分式函数分母不为0得：≠≠+≠++001101121x x x解得≠-≠≠-≠-≠010311x x x x x 或或()1,-∞-∈?x ??? ??-31,1Y ??? ??0,31Y ()+∞,0Y3.已知函数()x f 的定义域为[].2,2- ①求函数()x f 2的定义域；②求函数??-141x f 的定义域. 【解析】①Θ函数()x f 的定义域为[]2,2-222≤≤-∴x 即11≤≤-x 故函数()x f 2的定义域为[]1,1-∈x . ②Θ函数()x f 的定义域为[]2,2-21412≤-≤-∴x 即124≤≤-x 故函数??-141x f 的定义域为[]12,4-. 4.已知函数()42-x f的定义域[]5,3∈x ，则函数()x f 的定义域是？【解析】Θ函数()42-x f 的定义域[]5,3∈x 21452≤-≤∴x即函数()x f 的定义域是[]21,5∈x5.如果函数()()()x x x f -+=11的图像在x 轴上⽅，则()x f 的定义域为（）.{}1.x x B {}11.-≠x x x D 且【解析】对于()(),011>-+x x 当0≥x 时，有()()011<-+x x 11<<-?x 得;10<≤x当0>+x 1-≠?x 得.10-≠6.（1）已知1,,,,≠∈+a R z y x a ，设,,log 11log 11zya a ay ax --==⽤x a ,表⽰z .（2）设ABC ?的三边分别为c b a ,,，且⽅程01lg 2)lg(2222=+--+-a b c x x 有等根，判断ABC ?的形状. 【解析】（1）,,log 11log 11 zya a ay ax --==则,log 11log log ,log log log 11log 11zay ax a za a ya a a a -===--y ax a ya a a log 11log log log 11-==-zza a log 11log 1111-=--=所以xz a a log 11log -=，故xa a z log 11-=.（2）原⽅程可以转化为0)(10lg22222=-+-a b c x x ⼜因为⽅程有等根，则0)(10lg 4)2(2222=---=?ab c ，必然有1)(10lg 222=-a b c ，所以10)(10222=-ab c ，即222a b c +=. 故ABC ?为直⾓三⾓形.第⼆部分：函数的值域例1.求函数111++=x y 的值域.【解析】.111,01≥++∴≥+x x Θ∴11110≤++<x ，∴函数的值域为(]1,0.例2.求函数[]2,1,522-∈+-=x x x y 的值域. 【解析】将函数配⽅得：()412 +-=x y []2,1-∈x Θ由⼆次函数的性质可知：当1=x 时，,4min =y 当1-=x 时，8max =y故函数的值域是[]8,4例3.求函数1-+=x x y 的值域.【解析】令()01≥=-t t x ，则12+=t x 故.4321122+??? ??+=++=t t t y⼜,0≥t 由⼆次函数性质知，当0=t 时，;1min =y 当t 不断增⼤时，y 值趋于∞+，故函数的值域为[)+∞,1.例4.求函数2332+-+-=x x x y 的值域.【解析】定义域满⾜?≥+-≥-023032x x x 3≥?x . 令,31-=x y 任取,321≥>x x 由,03333212121>-+--=---x x x x x x1y ∴在[)+∞,3上单调递增.令,2322+-=x x y由,232+-=x x u 对称轴,23=x 开⼝向上，知2y 在[)+∞,3上也单调递增. 从⽽知()=x f 2332+-+-x x x 在定义域[)+∞,3上是单调递增.()∴=≥∴.23f y 值域为[)+∞,2.例5.求函数21+-=x x y 的值域【解析】由1231232≠+-=+-+=x x x y ，可得值域{}1≠y y例6.求13+--=x x y 的值域【解析】可化为 ??>-≤≤---<=3,431,221,4x x x x y 如图：观察得值域{}44≤≤-y y .例7.求函数x y -=3的值域. 【解析】0≥x Θ33,0≤-≤-∴x x 故函数的值域是：[]3,∞-例8.求函数51042+++=x x y 的值域.【解析】配⽅，得().5622+++=x y ().65,6622+≥∴≥++y x Θ∴函数的值域为).,65(+∞+例9.求函数1122+++-=x x x x y 的值域.【解析】Θ1122+++-=x x x x y ，R x ∈，去分母整理得()()01112=-+++-y x y x y.当1=y 时，,0=x 故y 可取1；①当1≠y 时，⽅程①在R 内有解，则()()(),011412≥---+=?y y y,031032≤+-∴y y 解得.331≤≤y ∴函数的值域为.3,31??例10.求函数11--+=x x y 的值域.【解析】原函数可化为：112-++=x x y令,1,121-=+=x y x y 显然21,y y 在[)+∞,1上为⽆上界的增函数所以21,y y y =在[)+∞,1上也为⽆上界的增函数所以当1=x 时，21y y y +=有最⼩值2，原函数有最⼤值22 2= 显然,0>y 故原函数的值域为(]2,0.例11.求函数133+=x xy 的值域【解析】设t x=+13 ，则()111131113113>-=+-=+-+=t ty xx x 101101<<∴<<∴>y tt Θ，()01原函数的值域为∴.例12.求函数53-++=x x y 的值域.【解析】53-++=x x y ??≥-<<--≤+-=)5(22)53(8)3(22x x x x x由图像可知函数53-++=x x y 的值域为[)+∞,8.四、课后作业【训练题A 类】1.函数()f x = ）.A . 1[,)2+∞B . 1(,)2+∞ C. 1(,]2-∞ D. 1(,)2-∞2.函数265x x y ---=的值域是（）525.≤≤y A5.≤y B 50.≤≤y C 5.≥y D 3.函数31---=x x y 在其定义域内有（）.A 最⼤值2，最⼩值2- .B 最⼤值3，最⼩值1- .C 最⼤值4，最⼩值0 .D 最⼤值1，最⼩值3-4.已知函数31++-=x x y 的最⼤值为M ，最⼩值为m ，则Mm的值为（） 41.A 21.B 22.C 23.D 5.函数()=x f 962+-x 的值域是 ( )A 、（－∞，6）B 、]3,(-∞C 、 (0，6)D 、 (0，3) 6.()421-=x x f 的定义域为_____ 7.函数x x y 21-+=的值域是 . 8.求()43 13512-++-=x x x x f 的定义域9.求2045222+-++-=x x x x y 的值域.10.求函数12-+=x x y 的值域.11.已知()x f 的值域为,94,83??试求()()x f x f y 21-+=的值域.【参考答案】1.【答案】C【解析】由根式知21021≤?≥-x x 故选.C 2.【答案】A【解析】425425216022≤+??+-=--≤x x x Θ， 25602≤--≤∴x x ，即525≤≤y3.【答案】A【解析】由题意得()()()??>≤<-≤-=3,231,421,2x x x x y []2,2-∈?y ，故选A4.【答案】C【解析】两边平⽅，即()()312312+-+++-=x x x x y ()41242++-+=x844max 2=+=y ，4min 2=y ，284max min ==y y 故选C . 5.【答案】B 【解析】∴≥+392x Θ3962≤+-x 故选.B6.【答案】()+∞,8 【解析】80421≥?≥-x x ，即()+∞,8 7.【答案】(],1-∞【解析】令x t 21-=则()0212≥-=t t x 即()()021212≥++-=t t t t f ()11212+--=t故1=t 时，取得最⼤值.即().1≤x f8.【解析】1212210431012>>≥>-≥-x x x x x ，即()+∞,129.【解析】()()1624122+-++-=x x y ()()()()2222402201-+-+++-=x x即可看成三点：()()()4,2,2,1,0,B A x P -，PB PA y +=在PAB ?中AB PB PA >+知点()2,1-A 点()4,2B 在数轴异侧时AB 最⼤. PB PA y +==AB 故()()3742212=--+-=≥AB y10.【解析】显然，函数的定义域为21≥x . 当21≥x 时，函数12,21-==x y x y 都是递增的所以在21=x 时，取得最⼩值.即??+∞∈,21y .11.【解析】()(),412191,9483≤-≤∴≤≤x f x f Θ即有(),212131≤-≤x f令(),21,31,21∈-=t x f t ()(),1212t t x f +-=()()t t t g y +-==∴2121()11212+--=t21,311Θ，∴函数()t g y =在区间21,31上单调递增，,9731min =??? ??=∴g y ∴=??? ??=.8721max g y 函数的值域为87,97.【训练题B 类】1.求()52+=x x f 的值域2.求函数xy --=111的值域3.求函数12--=x x y 的值域.4.已知()x f 43-的定义域为[],2,1-∈x 则函数()x f 的定义域是？5.求下列函数的值域：（1）;1342++=x x y （2）5438222+-+-=x x x x y6.对于每个函数x ，设()x f 是2,14+=+=x y x y 和42+-=x y 三个函数中的最⼩者，则()x f 的最⼤值是什么？7.已知??-x f 213的定义域为[]5,1∈x ，则函数()32+x f 的定义域是？8.求下列函数的值域：（1）[);5,1,642∈+-=x x x y（1）245x x y -+=.9.求函数13+--=x x y 的值域.10.函数232+-=kx x y 的值域为??+∞-? -∞-,3232,Y ，求k 的值.11.（1）已知函数?≥<=0,0,)(2x x x x x f ，求))((x f f .（2）求函数12)(2--+=x x x f 的最⼩值.12.若函数432--=x x y 的定义域为[],,0m 值域为,4,425??--求m 的取值范围.【参考答案】1.【解析】25052-≥?≥+x x ，即??+∞-,25 2.【解析】原式化为,11=--x y y ,011≥-=-∴yy x 即01<≥y y 或. 故()[)+∞∞-∈,10,Y y .3.【解析】函数的定义域是{}.,1R x x x ∈≥令()0,1≥=-t t x 则 ,12+=t x8154122222+??-=+-=∴t t t y ，⼜o t ≥，∴结合⼆次函数的图像知()815≥t y .故原函数的值域为?≥815y y . 4.【解析】Θ()x f 43-的定义域为[]2,1-∈x 7435≤-≤-∴x()x f ∴的定义域为[]7,5-∈x .5.【解析】（1）由1342++=x x y 可得,0342=-+-y x yx 当0=y 时，;43-=x 当0≠y 时，,R x ∈故()(),03442≥---=?y y解得,41≤≤-y 且0≠y .当2-=x 时，;1-=y 当21=x 时，.4=y∴所求函数的值域为[].4,1-（2）由5438222+-+-=x x x x y 可得()()0352422=-+---y x y x y ，当02≠-y 时，由,R x ∈得()()()035242162≥----=?y y y ，25≤≤-∴y .25<≤-∴y .经检验2=x 时，5-=y ，⽽2≠y .∴原函数的值域为[]2,5-.6.【解析】在同⼀直⾓坐标系中作出三个函数的图像，由图像可知，()x f 的最⼤值是2+=x y 和42+-=x y 交点的纵坐标，易得()3 8max =x f . 7.【解析】Θ??-x f 213的定义域为[]5,1∈x 2521321≤-≤∴x 即253221≤+≤x 4145-≤≤-∴x 故函数()32+x f 的定义域是??--∈41,45x 8.【解析】（1）配⽅，得().222+-=x y [),5,1∈x Θ∴函数的值域为{}.112<≤y y（2）对根号⾥配⽅得：()30922≤≤?+--=y x y 即[]3,0∈∴y .。
高中数学函数的定义域及值域
高中数学函数的定义域及值域1500字函数是数学中常用的概念，它描述了两个集合之间的对应关系。
函数的定义域是指输入的值的集合，而值域是函数输出的值的集合。
在高中数学中，我们经常需要确定函数的定义域和值域，以便了解函数的性质和行为。
为了确定一个函数的定义域，我们需要考虑两个因素：函数的解析式和函数的定义限制。
函数的解析式告诉我们函数如何计算输出值，而定义限制告诉我们输入值可以是哪些数。
首先，让我们考虑一些常见的函数类型及其定义域和值域。
1. 线性函数：线性函数的解析式可以写为y = mx + c，其中m是斜率，c是截距。
线性函数的定义域是所有实数集合，值域也是所有实数集合。
2. 幂函数：幂函数的解析式可以写为y = x^n，其中n是一个实数。
幂函数的定义域是所有实数集合，但值域取决于指数n的值。
例如，如果n是正偶数，那么幂函数的值域是非负实数集合；如果n是负偶数，那么幂函数的值域是正实数集合；如果n是奇数，那么幂函数的值域是所有实数集合。
3. 指数函数：指数函数的解析式可以写为y = a^x，其中a是一个正实数且不等于1。
指数函数的定义域是所有实数集合，值域是正实数集合。
4. 对数函数：对数函数的解析式可以写为y = log_a(x)，其中a是一个正实数且不等于1。
对数函数的定义域是正实数集合，值域是所有实数集合。
5. 三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
三角函数的定义域是所有实数集合，值域取决于具体的函数类型。
例如，正弦函数的值域是[-1, 1]；余弦函数的值域也是[-1, 1]；正切函数的值域是所有实数集合。
除了上述函数类型外，还有其他函数类型的定义域和值域也需要特别注意。
例如，有理函数的定义域由分母的零点确定，值域取决于分子的次数和分母的次数；反比例函数的定义域是除了零的所有实数，值域也是除了零的所有实数。
在确定函数的定义域和值域时，我们还需要注意一些常见的限制，如根式的奇次指数、分母不能为零、对数的底不能为1等。
函数的定义域和值域
1 函数的定义域和值域要点梳理1．常见基本初等函数的定义域(1)函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)、y ＝sin x 、y ＝cos x 的定义域是R(2) y ＝log a x 的定义域是{x |x ＞0}或(0，＋∞)，y ＝tan x 的定义域是{x |x ≠kπ＋π2，k ∈Z }． 求定义域方法：①分式中的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0；④对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1.2．基本初等函数的值域(1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R .(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a ＞0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫yy ≥4ac －b 24a ；当a ＜0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫yy ≤4ac －b 24a .(3)y ＝k x (k ≠0)的值域是{y |y ≠0}．(4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的值域是{y |y ＞0}．(5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的值域是R .(6)y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是[－1,1]．(7)y ＝tan x 的值域是R .求值域方法：(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域．(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．(3)换元法：形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d (a ，b ，c ，d 均为常数，且a ≠0)的函数常用换元法求值域，形如y ＝ax ＋a －bx 2的函数用三角函数代换求值域．(4)分离常数法：形如y ＝cx ＋d ax ＋b(a ≠0)的函数可用此法求值域．(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域．(6)数形结合法，(7)导数法，(8)利用基本不等式典型例题求函数的定义域例1、函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为________． 例2、函数f (x )＝x 22－x－lg(x －1)的定义域是________． 例3、函数f (x )＝2x ＋12x 2－x －1的定义域是________． 求函数的值域例4、求下列函数的值域．(1)y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])； (2)y ＝1－x 21＋x 2； (3)y ＝x ＋4x(x ＜0)；(4)f (x )＝x －1－2x (5)y ＝log 3x ＋log x 3－1(x ＞1)．例5、若函数f (x )＝ 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围。
第1讲 函数的定义域及值域(教师版)
第1讲 函数的定义域及值域【知识梳理】一．函数的基本概念 (1)函数的定义设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A . (2)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (4)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 二．映射的概念设A ，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射． 三．函数解析式的求法求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法． 四．常见函数定义域的求法 (1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R .(4)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R .(5)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z .(6)函数f (x )＝x α的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}．【题型归纳全解】题型一 函数的概念例1. 有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x ≥0)－1 (x <0)表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________． 答案 ②③解析 对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x ≥0)－1 (x <0)的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于③，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于④，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是②③.题型二 求函数的解析式例2. (1)如果f (1x )＝x1－x，则当x ≠0且x ≠1时，f (x )等于( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x －1 (2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________.(3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (1x)·x －1，则f (x )＝________.答案 (1)B (2)2x ＋7 (3)23x ＋13解析 (1)令t ＝1x ，得x ＝1t ，∴f (t )＝1t 1－1t ＝1t －1，∴f (x )＝1x －1.(2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7.(3)在f (x )＝2f (1x )x －1中，用1x代替x ，得f (1x )＝2f (x )1x －1，将f (1x )＝2f (x )x－1代入f (x )＝2f (1x )x －1中，可求得f (x )＝23x ＋13.题型三 求函数的定义域 例3. (1)函数f (x )＝ln (2＋x －x 2)|x |－x 的定义域为( )A ．(－1,2)B ．(－1,0)∪(0,2)C ．(－1,0)D ．(0,2)(2)已知函数f (x )的定义域为[1,2]，则函数g (x )＝f (2x )(x －1)0的定义域为________．答案 (1)C (2)[12，1)解析 (1)f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2＋x －x 2>0，|x |－x ≠0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <2，x <0，∴－1<x <0，∴f (x )的定义域为(－1,0)．(2)要使函数g (x )＝f (2x )(x －1)0有意义，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧1≤2x ≤2x －1≠0，∴12≤x <1，故函数g (x )的定义域为[12，1)． 题型四 分段函数例4. (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)设函数y ＝f (x )在R 上有定义．对于给定的正数M ，定义函数f M (x ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤M ，M ，f (x )>M ，则称函数f M (x )为f (x )的“孪生函数”．若给定函数f (x )＝2－x 2，M ＝1，则f M (0)的值为 ( )A ．2B ．1 C. 2 D ．－ 2 答案 (1)A (2)B解析 (1)由题意知f (1)＝21＝2.∵f (a )＋f (1)＝0， ∴f (a )＋2＝0.①当a >0时，f (a )＝2a,2a ＋2＝0无解；②当a ≤0时，f (a )＝a ＋1，∴a ＋1＋2＝0，∴a ＝－3. (2)由题设f (x )＝2－x 2≤1，得 当x ≤－1或x ≥1时， f M (x )＝2－x 2；当－1<x <1时，f M (x )＝1.∴f M (0)＝1.【课堂训练】1. 函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0ln (x ＋1)≠04－x 2≥0，得－1<x ≤2，且x ≠0.2. (2012·江西)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))等于( )A.15 B ．3 C.23 D.139 答案 D解析 由题意知f (3)＝23，f ⎝⎛⎭⎫23＝⎝⎛⎭⎫232＋1＝139，∴f (f (3))＝f ⎝⎛⎭⎫23＝139.3. 若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 B解析 可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．4. 已知函数f (x )满足f (2x ＋|x |)＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝log 2xB ．f (x )＝－log 2xC ．f (x )＝2－xD ．f (x )＝x －2答案 B解析 根据题意知x >0，所以f (1x )＝log 2x ，则f (x )＝log 21x＝－log 2x .5. 某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝[x10]B ．y ＝[x ＋310]C ．y ＝[x ＋410]D ．y ＝[x ＋510]答案 B解析 方法一 取特殊值法，若x ＝56，则y ＝5，排除C ，D ； 若x ＝57，则y ＝6，排除A ，选B.方法二 设x ＝10m ＋α(0≤α≤9，m ，α∈N )，当0≤α≤6时，[x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＝[x10]，当6<α≤9时，[x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＋1＝[x10]＋1，所以选B.6. 下表表示y答案 {2,3,4,5}解析 函数值只有四个数2、3、4、5，故值域为{2,3,4,5}． 7. 已知f (x －1x )＝x 2＋1x 2，则f (3)＝________.答案 11解析 ∵f (x －1x )＝x 2＋1x 2＝(x －1x )2＋2，∴f (x )＝x 2＋2(x ≠0)，∴f (3)＝32＋2＝11.8. 若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 答案 [－1,0]解析 由题意知2x 2＋2ax －a －1≥0恒成立． ∴x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0.9. 已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.求函数f (x )的解析式． 解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0， ∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx .又∵f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1. ∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝12b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .10. 某人开汽车沿一条直线以60 km /h 的速度从A 地到150 km 远处的B 地．在B 地停留1 h后，再以50 km/h 的速度返回A 地，把汽车与A 地的距离x (km)表示为时间t (h)(从A 地出发开始)的函数，并画出函数的图象． 解x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t 0≤t ≤52150 52<t ≤72150－50(t －72) 72<t ≤132.图象如右图所示．【课下作业】1. 已知a ，b 为两个不相等的实数，集合M ＝{a 2－4a ，－1}，N ＝{b 2－4b ＋1，－2}，f ：x →x表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 D解析 由已知可得M ＝N ，故⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－4a ＝－2，b 2－4b ＋1＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＋2＝0，b 2－4b ＋2＝0，所以a ，b 是方程x 2－4x ＋2＝0的两根，故a ＋b ＝4.2. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋6，x ≤0－x ＋6，x >0，则不等式f (x )<f (－1)的解集是( )A ．(－3，－1)∪(3，＋∞)B ．(－3，－1)∪(2，＋∞)C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(－1,3) 答案 A解析 f (－1)＝3，f (x )<3，当x ≤0时，x 2＋4x ＋6<3， 解得x ∈(－3，－1)；当x >0时，－x ＋6<3，解得x ∈(3，＋∞)，故不等式的解集为(－3，－1)∪(3，＋∞)，故选A.3. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥0，－2x ，x <0，则关于x 的方程f (f (x ))＋k ＝0，给出下列四个命题：①存在实数k ，使得方程恰有1个实根； ②存在实数k ，使得方程恰有2个不相等的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有3个不相等的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有4个不相等的实根．其中正确命题的序号是________．(把所有满足要求的命题序号都填上) 答案 ①②解析依题意，知函数f (x )>0， 又f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧ee x ，x ≥0，e －2x ，x <0，依据y ＝f (f (x ))的大致图象(如右图所示)，知存在实数k ，使得方程f (f (x ))＋k ＝0恰有1个实根或恰有2个不相等的实根；不存在实数k ，使得方程恰有3个不相等的实根或恰有4个不相等的实根．4. 行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫 作刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度． 解 (1)由题意及函数图象，得⎩⎨⎧402200＋40m ＋n ＝8.4602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70. ∵x ≥0，∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．5. 运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米(50≤x ≤100)(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋x 2360)升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．解 (1)行车所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×(2＋x2360)＋14×130x ，x ∈[50,100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是 y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100]．(2)y ＝2 340x ＋1318x ≥2610，当且仅当2 340x ＝1318x ，即x ＝1810时，上述不等式中等号成立．故当x ＝1810时，这次行车的总费用最低，最低费用为2610元．。
函数定义域值域及表示
函数定义域值域及表示 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT函数定义域值域及表示(1)函数的概念设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域．注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合； 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注意：1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)（2）区间的概念及表示法设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a xb <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()=可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程y f x2++=，则在()0a y xb y xc y()()()0a y≠时，由于,x y为实数，故必须有2()4()()0∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．b y a yc y④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．例题讲解[例1] 求下列函数的定义域：⑴y=⑵y=（3）x x x x f -+=0)1()( （4）g(x)=211+-++x x[例2] 求抽象函数求定义域记住两句话：地位相同范围相同，定义域是关于x 的。
2.1函数的定义域、值域、解析式
函数的定义域、值域、解析式一、知识点1、定义域的概念和求法2、值域的概念和求法3、映射、对应法则 区间概念设,a b R ∈且a b <（,a b 称为端点，在数轴上注意实心空心的区分） 满足a x b ≤≤的全体实数x 的集合，叫做闭区间，记作[,]a b 满足a x b <<的全体实数x 的集合，叫做开区间，记作(,)a b满足a x b ≤<或a x b <≤的全体实数x 的集合，叫做半开半闭区间，记作[,)a b 或(,]a b 分别满足,,,x a x a x a x a ≥>≤<的全体实数的集合分别记作[,),(,),(,],(,)a a a a +∞+∞-∞-∞一、定义域1、定义域的概念设集合A 是一个非空实数集，对A 内任意实数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的实数值y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数，记做(),y f x x A =∈。
x 叫做自变量，自变量取值的范围所组成的集合叫做函数的定义域。
函数的定义域和值域一定表示成集合或区间的形式。
（易错点）2、函数定义域的求法（方法对接）:（1）分式中的分母不为零； （2）偶次方根下的数（或式）大于或等于零； （3）a 的零次方没有意义； （后续课程会涉及的定义域：指数式的底数，对数式的底数和真数，正余切函数和反三角函数的定义域）例1、求下列函数的定义域（分母和偶次方根）1()1f x x =+ 221533x x y x --=+-练习、求下列函数的定义域：1()5f x x =- ()13f x x x =-++ ()f x x x =+- 262x y x -=+ 021(21)4111y x x x =+-+-+- 211()1x y x -=-+（选讲）复合函数的定义域：函数()f x 的定义域为(,)a b ,函数()g x 的定义域为(,)m n ,则函数[]()f g x 的定义域为()(,)(,)g x a b x m n ∈⎧⎨∈⎩，解不等式，最后结果才是。
函数的定义域与值域
函数的定义域与值域函数是数学中一个非常重要的概念，在各个数学分支中都有应用。
函数的定义域和值域是函数研究的基本内容之一。
本文将详细介绍函数的定义域与值域的概念及其应用。
一、函数的定义域函数的定义域是指函数中自变量（x）的取值范围。
简单来说，定义域就是使函数有意义的所有可能自变量值的集合。
如果自变量取值超出定义域，则函数无法计算。
下面通过几个例子来说明。
例子1：考虑函数f(x) = √x由于方根函数的自变量必须是非负实数，所以其定义域为x ≥ 0。
任何小于0的自变量将使得函数无法计算。
例子2：考虑函数 g(x) = 1/x在这种情况下，我们不能让自变量 x 等于0，因为除数不能为0。
所以函数 g(x) 的定义域为x ≠ 0。
其他所有实数都是函数的定义域。
函数的定义域可以是一个具体的数轴区间，也可以是由多个区间组成的集合。
定义域的范围可以是全体实数，也可以是局限于特定范围内。
二、函数的值域函数的值域是函数所有可能输出值的集合。
也就是说，如果我们遍历自变量的所有可能取值，函数的值域就是对应的函数值的集合。
同样地，我们使用几个例子来说明。
例子1：考虑函数 f(x) = x^2对于这个函数，自变量可以取任何实数值。
但是根据平方函数的图像，我们可以看出函数的值域是y ≥ 0。
因为平方的结果不会为负数。
例子2：考虑函数 g(x) = sin(x)由三角函数的周期性可知，对于任何自变量，都存在对应的函数值。
因此，函数 g(x) 的值域是 (-1, 1) 的闭区间。
有时候，函数的值域是一个区间，也可以是由多个不相交区间组成的集合。
三、定义域与值域的应用函数的定义域和值域在数学中广泛应用于各个领域。
例如，在微积分中，对函数进行求导和积分时，必须要考虑函数的定义域。
此外，在解方程和不等式时，也要考虑函数的定义域和值域。
在实际问题中，函数的定义域和值域还可以帮助我们理解现象的范围和取值情况。
例如，当我们研究某种物理模型时，函数的定义域可以帮助我们确定变量的有效范围，而函数的值域则可以帮助我们计算物理量的可能取值。
高中数学课件 第2章 第2节 《函数的定义域和值域》
因此， 因此，g(x)min＝g(2)＝1－2a， ＝ － ， 而g(3)－g(1)＝(2－3a)－(1－a)＝1－2a， － ＝ － － － ＝ － ， 故当0≤a≤ 故当 当 时，g(x)max＝g(3)＝2－3a，有h(a)＝1－a； ＝ － ， ＝ － ；
＜a≤1时，g(x)max＝g(1)＝1－a，有h(a)＝a， 时 ＝ － ， ＝ ，
3.不等式法：借助于基本不等式a＋b≥2 不等式法：借助于基本不等式 ＋ 不等式法
(a>0，b>0)求数 ， 求数
的值域.用不等式法求值域时， 的值域 用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用 用不等式法求值域时 条件“一正、二定、三相等”. 条件 一正、二定、三相等 一正 4.单调性法：首先确定函数的定义域， 4.单调性法：首先确定函数的定义域，然后再根据其单调 单调性法 性求函数的值域，常用到函数 ＝ ＋ 性求函数的值域，常用到函数y＝x＋ 增区间为(－ ，－ 增区间为 －∞，－ (0， ). ， ]和[ 和 (p>0)的单调性： 的单调性： 的单调性
＋∞)，减区间为 － ,0)和 ，减区间为(－ 和
[特别警示 (1)用换元法求值域时，需认真分析换元后变 特别警示] 用换元法求值域时， 特别警示 用换元法求值域时 量的范围变化；用判别式求函数值域时， 量的范围变化；用判别式求函数值域时，一定要注意自变 量x是否属于 是否属于R. 是否属于 (2)用不等式法求函数值域时，需认真分析其等号能否成立； 用不等式法求函数值域时，需认真分析其等号能否成立； 用不等式法求函数值域时 利用单调性求函数值域时，准确地找出其单调区间是关键 利用单调性求函数值域时，准确地找出其单调区间是关键. 分段函数的值域应分段分析，再取并集 分段函数的值域应分段分析，再取并集. (3)不论用哪种方法求函数的值域，都一定要先确定其定义 不论用哪种方法求函数的值域， 不论用哪种方法求函数的值域 域，这是求值域的重要环节. 这是求值域的重要环节
数学中的函数定义域与值域
数学中的函数定义域与值域一、函数定义域的概念1.函数定义域是指函数中自变量可以取的所有可能值的集合。
2.函数定义域通常用区间表示，如实数集R、有理数集Q、整数集Z等。
3.函数定义域可以是无限的，如f(x) = x^2的定义域为实数集R。
4.函数定义域可以是有限的，如f(x) = sin(x)的定义域为[-1, 1]。
二、函数值域的概念1.函数值域是指函数中因变量可以取的所有可能值的集合。
2.函数值域通常用区间表示，如实数集R、有理数集Q、整数集Z等。
3.函数值域可以是无限的，如f(x) = x^2的值域为非负实数集[0, +∞)。
4.函数值域可以是有限的，如f(x) = sin(x)的值域为[-1, 1]。
三、函数定义域与值域的关系1.函数的定义域与值域不一定相同，它们可以是不同的集合。
2.函数的定义域是函数值域的子集，即函数的所有自变量取值都在值域中。
3.函数的值域可以小于、等于或大于定义域，这取决于函数的特性。
四、确定函数定义域的方法1.对于多项式函数，定义域通常为实数集R。
2.对于三角函数，定义域通常为实数集R。
3.对于指数函数和对数函数，定义域通常为正实数集(0, +∞)。
4.对于分式函数，定义域为除数不为零的所有实数。
5.对于绝对值函数，定义域为所有实数。
五、确定函数值域的方法1.对于多项式函数，值域通常为实数集R。
2.对于三角函数，值域通常为闭区间[-1, 1]。
3.对于指数函数，值域为正实数集(0, +∞)。
4.对于对数函数，值域为实数集R。
5.对于分式函数，值域为非零实数集。
6.对于绝对值函数，值域为非负实数集[0, +∞)。
六、函数定义域与值域的应用1.函数的定义域与值域是研究函数性质的基础，如单调性、奇偶性、周期性等。
2.函数的定义域与值域可以帮助我们理解和解决实际问题，如最值问题、方程问题等。
3.函数的定义域与值域可以用来判断函数的合理性和有效性。
4.函数定义域是指函数中自变量可以取的所有可能值的集合，函数值域是指函数中因变量可以取的所有可能值的集合。
函数及其表示、定义域、解析式、值域的求法
小结:已知f[g(x)]的定义域是B，求f(x)的 定义域.其实质是已知f[g(x)]中的x取值范围 是B．求出g(x)的值域，此范围就是f(x)的定 义域。
求函数值域常用方法
（一）观察法:当函数结构不复杂时，通过简
单变形和观察，利用熟知函数值域来求。
2
由 f ( x 2) f ( x 2)
得 4a b 0
x1 x2 2 2 b2 4ac 8a2 a
又 c 1
1 解得 a , b 2, c 1 2 1 2 f ( x) x 2 x 1 2
• 解法二、 由 f ( x 2) f ( x 2) 得 y f ( x) 的对称轴为
函数解析式的常用方法有： 待定系数法 换元法 凑配法 解函数方程组法 代入法
（一）、待定系数法
例1 设二次函数 f ( x) 满足 f ( x 2) f ( x 2) y 且图象在 轴上的截距为1，在 x 轴截
得的线段长为 2 2 ，求
f ( x)
的解析式。
• 解法一、 设 f ( x) ax bx c(a 0)
9.已知 F(x)=f(x)-g(x), 其中 f(x)=loga(x-b), 当且仅当点 (x0, y0) 在 f(x) 的图象上时, 点 (2x0, 2y0) 在 y=g(x) 的图象上(b>1, a>0 且 a≠1), (1)求 y=g(x) 的解析式; (2)当 F(x)≥0 时, 求 x 的范围. y0=loga(x0-b), g(x)=2loga( x -b). 解: (1) 由已知 2y =g(2x ) 2 0 0 x (2) 由(1) 知: F(x)=f(x)-g(x)=loga(x-b)-2loga( 2 -b). 故由 F(x)≥0 可得: loga(x-b)≥2loga( x -b). 2 x-b≥( x -b)2, 2 当 a>1 时, x 解得: 2b<x≤2b+2+2 b+1 . 2 -b>0, x-b≤( x -b)2, 2 解得: x≥2b+2+2 b+1 . 当 0<a<1 时, x -b>0, 2 综上所述: 当 a>1 时, 2b<x≤2b+2+2 b+1 ; 当 0<a<1 时, x≥2b+2+ 2 b+1.
函数的定义域与值域(含解析)
函数的定义域和值域1.知函数解析式求定义域的基本依据： （1）分式的分母 ；（2）偶次根式的被开方数 ； （3）对数函数的真数必须 ；（4）指数函数和对数函数的底 ； （5）正切函数的角的终边 ； （6）零次幂的底数 。
2.求复合函数定义域方法：（1）已知()y f x =的定义域是A ，求[]()yf x ϕ=的定义域的方法：解不等式 ，求出x 的范围，再将所得范围写成集合或区间形式，即得所求[]()y f x ϕ=的定义域。
（2）已知[]()yf x ϕ=的定义域是A ，求()y f x =的定义域的方法：求出 时，()x ϕ的范围，再将所得范围写成集合或区间形式，即得所求()y f x =的定义域。
3.反函数的定义域是原函数的 。
4.函数的值域：（1）值域是函数值组成的集合，它是由 和 确定的，因此求值域时一定要看 。
（2）函数的最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （I ）对任意的x I ∈，都有 ；（II ）存在0x I ∈使得 ，那么，我们称M 是函数()y f x =的最大值。
5.函数的最小值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数N 满足： （1）对任意的x I ∈，都有 ；（2）存在0x I ∈使得 ，那么，我们称N 是函数()y f x =的最小值。
6.常见基本初等函数的值域： （1）一次函数(0)ykx b k =+≠的值域是R 。
（2）二次函数2(0)y axbx c a =++≠，当0a >时，值域是 ， 当0a <时，值域是 。
（3）反比例函数(0)ky k x=≠的值域是 。
（4）指数函数(0,1)xy a a a =>≠的值域是 。
（5）对数函数log (0,1)a yx a a =>≠的值域是 。
7.求函数值域及最值的基本类型及方法： （1）形如2(0)y ax bx c a =++≠的函数，用 求值域，要特别注意定义域。
函数的定义域、值域--高考数学【解析版】
专题06 函数的定义域、值域函数的定义域作为函数的要素之一，是研究函数的基础，函数的定义域问题也是高考的热点.函数的值域（最值）也是高考中的一个重要考点，并且值域（最值）问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分.【重点知识回眸】1.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． (4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．提醒：两个函数的值域和对应关系相同，但两个函数不一定相同，例如，函数f (x )＝|x |，x ∈[0,2]与函数f (x )＝|x |，x ∈[－2,0]． 2．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 3.常见函数定义域的求法类型x 满足的条件2()nf x (n ∈N *) f (x )≥0 21()n f x (n ∈N *)f (x )有意义 1()f x 与[f (x )]0 f (x )≠0 log a f (x )(a ＞0且a ≠1) f (x )＞0 a f (x )(a ＞0且a ≠1)f (x )有意义 tan[f (x )]f (x )≠π2＋k π，k ∈Z四则运算组成的函数 各个函数定义域的交集实际问题使实际问题有意义4.①若()y f x =的定义域为(),a b ，则不等式()a g x b <<的解集即为函数()()y f g x =的定义域；②若()()y f g x =的定义域为(),a b ，则函数()g x 在(),a b 上的的值域即为函数()y f x =的定义域．5.常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归.（1）一次函数（y kx b =+）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域.（2）二次函数（2y ax bx c =++），给定区间.二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解.（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内）.（3）反比例函数：1y x=（1）图像关于原点中心对称（2）当,0x y →+∞→ ，当,0x y →-∞→. （4）对勾函数：()0ay x a x=+> ① 解析式特点：x 的系数为1；0a >注：因为此类函数的值域与a 相关，求a 的值时要先保证x 的系数为1，再去确定a 的值 例：42y x x =+，并不能直接确定4a =，而是先要变形为22y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求得2a =② 极值点：,x a x a ==③ 极值点坐标：(,2,,2a a a a --④ 定义域：()(),00,-∞+∞⑤ 自然定义域下的值域：(),22,a a ⎡-∞-+∞⎣（5）函数：()0ay x a x=-> 注意与对勾函数进行对比① 解析式特点：x 的系数为1；0a > ② 函数的零点：x a =③ 值域：R（5）指数函数（xy a =）：其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（6）对数函数（log a y x =）其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（7）三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-. 6.函数值域问题处理策略 （1）换元法：① ()()(),log ,sin f x a y ay f x y f x ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦：此类问题在求值域时可先确定()f x 的范围，再求出函数的范围.② ()()(),log ,sin x a y f a y f x y f x ===：此类函数可利用换元将解析式转为()y f t =的形式，然后求值域即可.③形如y ax b cx d =++（2）均值不等式法：特别注意“一正、二定、三相等”.（3）判别式法：若原函数的定义域不是实数集时，应结合函数的定义域，将扩大的部分剔除.（4）分离常数法:一般地， ① ax by cx d+=+：换元→分离常数→反比例函数模型② 2ax bx c y dx e ++=+：换元→分离常数→ay x x=±模型③ 2dx ey ax bx c+=++：同时除以分子：21y ax bx c dx e=+++→②的模型④ 22ax bx cy dx ex f++=++：分离常数→③的模型（5）单调性性质法：利用函数的单调性（6）导数法：利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值, 然后求出值域 （7）数形结合法【典型考题解析】热点一 已知函数解析式求定义域【典例1】（广东·高考真题（文））函数f (x )＝11x-＋lg(1＋x )的定义域是（ ）A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)【答案】C 【解析】根据函数解析式建立不等关系即可求出函数定义域. 【详解】 因为f (x )＝11x-＋lg(1＋x )， 所以需满足1010x x -≠⎧⎨+>⎩，解得1x >-且1x ≠，所以函数的定义域为(－1，1)∪(1，＋∞)， 故选：C【典例2】（山东·高考真题（文））函数21()4ln(1)f x x x =-+( )A ．[－2，0)∪(0，2]B ．(－1，0)∪(0，2]C ．[－2，2]D ．(－1，2]【答案】B 【解析】 【详解】x 满足2101140x x x +>⎧⎪+≠⎨⎪-≥⎩，即1022x x x >-⎧⎪≠⎨⎪-≤≤⎩. 解得－1<x <0或0<x ≤，选B.【典例3】（2019·江苏·高考真题）函数276y x x =+-_____. 【答案】[1,7]-. 【解析】 【分析】由题意得到关于x 的不等式，解不等式可得函数的定义域. 【详解】由已知得2760x x +-≥, 即2670x x --≤ 解得17x -≤≤， 故函数的定义域为[1,7]-.【典例4】（2022·北京·高考真题）函数1()1f x x x=-_________． 【答案】()(],00,1-∞⋃【解析】 【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可； 【详解】 解：因为()11f x x x =-100x x -≥⎧⎨≠⎩，解得1x ≤且0x ≠，故函数的定义域为()(],00,1-∞⋃； 故答案为：()(],00,1-∞⋃ 【总结提升】已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)简单函数的定义域：若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可． 热点二 求抽象函数的定义域【典例5】（全国·高考真题（理））已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为 （ ） A ．(1,1)- B ．1(1,)2--C ．(1,0)-D ．1(,1)2【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：因为函数()f x 的定义域为(1,0)-，故函数(21)f x +有意义只需-1210x <+<即可，解得1-1-2x <<，选B ．【典例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()31f x +的定义域为[]1,7，求函数()f x 的定义域． 【答案】[]4,22 【解析】 【分析】根据复合函数定义域的性质进行求解即可. 【详解】因为()31f x +的定义域为[]1,7，所以17x ≤≤，所以43122x ≤+≤．令31x t +=，则422t ≤≤．即()f t 中，[]4,22t ∈． 故()f x 的定义域为[]4,22．【典例7】（2022·全国·高三专题练习）已知函数(1)y f x +＝的定义域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，则函数2(log )y f x ＝的定义域为（ ）A ．(0,)+∞B ．(0,1)C ．22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2⎡⎤⎣⎦，【答案】D 【解析】 【分析】根据(1)y f x +＝的定义域可知1122x ≤+≤，故21log 22x ≤≤，即可求出答案. 【详解】解：∵函数(1)y f x +＝的定义域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， ∴112x -≤≤，1122x ≤+≤∴函数2(log )y f x ＝中，21log 22x ≤≤ 24x ≤≤所以函数2(log )y f x ＝的定义域为2，]． 故选：D 【总结提升】(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出． (2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． 热点三 求函数的值域（最值）【典例8】（江西·高考真题（理））若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是（ ） A ．1[,3]2B ．10[2,]3 C ．510[,]23D ．10[3,]3【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：设()f x =t,则1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,从而()F x 的值域就是函数11,,32y t t t ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦的值域，由“勾函数”的图象可知，102()3F x ≤≤，故选B ．【典例9】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =的定义域是R ，值域为[]1,2，则下列四个函数①()21y f x =-；①()21y f x =-；①()12f x y -=；①()2log 11y f x =++，其中值域也为[]1,2的函数个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】B 【解析】 【分析】求出①②③④中各函数的值域，即可得出合适的选项. 【详解】对于①，因为()12f x ≤≤，则()[]211,3y f x =-∈，①不满足条件；对于②，对于函数()21y f x =-，21x -∈R ，则函数()21y f x =-的值域为[]1,2，②满足条件；对于③，因为()12f x ≤≤，则()[]1,221f x y -∈=，③满足条件； 对于④，因为()12f x ≤≤，()[]11,2f x +∈，则()[]2log 111,2y f x =++∈，④满足条件. 故选：B.【典例10】（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(2)sin(1)1xf x x x x x =--+-在[1,1)-(1,3]⋃上的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】令1x t -=，()f x 转化为()21sin sin 1g t t t t t =+-+，令()21sin sin h t t t t t=+-，根据奇偶性的定义，可判断()h t 的奇偶性，根据奇偶性，可得()h t 在(][2,0)0,2-⋃最大值与最小值之和为0，分析即可得答案. 【详解】由21()[(1)1]sin(1)11f x x x x =---++- 令1x t -=，因为[1,1)(1,3]x ∈-⋃，所以(][2,0)0,2t ∈-⋃；那么()f x 转化为()21sin sin 1g t t t t t =+-+，(][2,0)0,2t ∈-⋃，令()21sin sin h t t t t t=+-，(][2,0)0,2t ∈-⋃，则()()()()()()2211sin sin sin sin h t t t t t t t h t t t ⎛⎫-=--+--=-+-=- ⎪-⎝⎭，所以()h t 是奇函数可得()h t 的最大值与最小值之和为0， 那么()g t 的最大值与最小值之和为2． 故选：B ．【典例11】（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（文））高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如：[]1.32-=-，[]3.43=，已知()11313x f x =-+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为______． 【答案】{}1,0- 【解析】 【分析】根据指数函数的性质分析()f x 的值域，进而得到()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域即可 【详解】 ∵()11313x f x =-+，()30,x∈+∞， ∴令30x t =>，则()()1112,1333f x g t t ⎛⎫==-∈- ⎪+⎝⎭故函数()()y f x g t ==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的值域为{}1,0-， 故答案为：{}1,0-【典例12】（2023·全国·高三专题练习）函数()21f x x x =+-________；函数24y x x =-________．【答案】 2 22,2⎡⎤-⎣⎦【解析】 【分析】()f x 1x t -换元后化为二次函数可得最大值，函数24y x x =-2cos ([0,])x θθπ=∈，然后利用两角和的余弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，再由余弦函数的性质得取值范围． 【详解】(1)1x -t (t ≥0)，所以x =1－t 2.所以y =f (x )=x 1x -－t 2+2t =－t 2+2t +1=－(t －1)2+2.所以当t =1即x =0时，y max =f (x )max =2. (2)由4－x 2≥0，得－2≤x ≤2， 所以设x =2cos θ(θ∈[0，π])，则y =2cos θ244cos θ-θ－2sin θ2()4πθ+，因为5[,]444πππθ+∈， 所以cos ()4πθ+∈2⎡-⎢⎣⎦，所以y ∈[－22]．故答案为：2；[2,2]-．【典例13】（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（文））已知函数()211122f x x x =++． (1)求()f x 的图像在点()()22f ,处的切线方程； (2)求()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．【答案】(1) 7420x y --=； (2)[]2,3． 【解析】 【分析】对于第一小问，把点()()22f ,代入函数解析式，得切点坐标，通过函数求导，得到过切点的切线的斜率，根据直线的点斜式方程，求切线方程．对于第二小问，解不等式()0f x '>，得函数增区间，解不等式()0f x '<，得函数减区间，结合1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，确定函数单调性，求得最值，进而得值域．(1) 因为()211122f x x x =++，所以()21f x x x '=-，所以()23f =，()724f '=， 故所求切线方程为()7324y x -=-，即7420x y --=． (2)由（1）知()()()2322111x x x x f x x x -++-'==，1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦． 令()0f x '>，得12x <≤；令()0f x '<，得112x ≤<．所以()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[]1,2上单调递增，所以()()min 12f x f ==． 又12128f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()23f =，所以()23f x ≤≤，即()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,3．热点四 求参数的值或取值范围【典例14】（2023·全国·高三专题练习）设a R ∈，函数()2229,1163,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩，若()f x 的最小值为()1f ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]1,2 B ．[]1,3 C ．[]0,2 D ．[]2,3【答案】A 【解析】 【分析】当1x >时，结合不等式求得其最小值为123a -，当1x ≤时，()()229f x x a a =-+-，根据函数()f x 的最小值为()1f ，列出不等式组，即可求解. 【详解】 当1x >时，22231688883333123x a x a x a a x x x x x+-=++-≥⨯⨯=-， 当且仅当28x x=时，等号成立； 即当1x >时，函数()f x 的最小值为123a -，当1x ≤时，()()222299f x x ax x a a =-+=-+-，要使得函数()f x 的最小值为()1f ，则满足()11102123a f a a ≥⎧⎨=-≤-⎩，解得12a ≤≤，即实数a 的取值范围是[]1,2. 故选：A.【典例15】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()221f x ax x =++R ，则实数a 的取值范围是__． 【答案】[1，+∞） 【解析】 【分析】等价于ax 2+2x +1≥0恒成立，再对a 分类讨论得解. 【详解】解：函数()221f x ax x ++R ， 即为ax 2+2x +1≥0恒成立， 若a ＝0，则2x +1≥0不恒成立； 当a ＞0，∆＝4﹣4a ≤0， 解得a ≥1；当a ＜0，ax 2+2x +1≥0不恒成立． 综上可得，a 的取值范围是[1，+∞）． 故答案为：[1，+∞）．【典例16】（2016·北京·高考真题（理））设函数33,(){2,x x x af x x x a -≤=->. ①若0a =，则()f x 的最大值为____________________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是_________________. 【答案】2 (,1)-∞- 【解析】 【分析】试题分析：如图，作出函数3()3g x x x =-与直线 2y x =-的图象，它们的交点是(1,2),(0,0),(1,2)A O B --，由 2'()33g x x =-，知1x =是函数 ()g x 的极小值点，①当0a =时， 33,0(){2,0x x x f x x x -≤=->，由图象可知()f x 的最大值是 (1)2f -=；②由图象知当1a ≥-时， ()f x 有最大值(1)2f -=；只有当 1a <-时，332a a a -<-，()f x 无最大值，所以所求 a 的取值范围是(,1)-∞-．【精选精练】1．（2023·全国·高三专题练习）若集合-1|2M x y x ==⎧⎨⎩，{}2|N y y x -==，则（ ）A ．M N ⋂=∅B ．M N ⊆C ．N M ⊆D ．M ＝N【答案】B 【解析】 【分析】利用集合间的基本关系来进行运算即可. 【详解】集合M 表示函数21y x =-2x －1>0，解得12x >.集合N 表示函数2y x 的值域，值域为()0,∞+，故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是（ ） A ．y ＝x B ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y x【答案】D 【解析】 【分析】求出函数lg 10x y =的定义域和值域，对选项逐一判断即可. 【详解】因函数lg 10x y =的定义域和值域均为()0,∞+， 对于A ，y x =的定义域和值域均为R ，故A 错误；对于B ，lg y x =的定义域和值域分别为()0,,R +∞，故B 错误； 对于C ，2y x =的定义域和值域均为R ，故C 错误；对于D ，y x=定义域和值域均为()0,∞+，故D 正确； 故选：D ．3．（2022·全国·高三专题练习）若函数()21f x ax ax =-+R ，则a 的范围是（ ） A ．()0,4 B ．[)0,4 C ．(]0,4 D ．[]0,4【答案】D 【解析】 【分析】分0a =、0a >、0a <讨论即可求解. 【详解】若()f x 的定义域为R ，则当0a =时，()1f x =满足题意；当0a ≠时，20Δ40a a a >⎧⎨=-≤⎩，解得：04a <≤； 当0a <时，无法满足定义域为R ． 综上所述：04a ≤≤，D 正确． 故选：D4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为[]0,1，值域为[]1,2，那么函数()2f x +的定义域和值域分别是（ ）A ．[]0,1，[]1,2B ．[]2,3，[]3,4C ．[]2,1--，[]1,2D ．[]1,2-，[]3,4【答案】C 【解析】 【分析】由[]20,1x +∈可求出函数的定义域，由于()2y f x =+的图象是由()y f x =的图象向左平移2个单位得到，所以其值域不变，从而可得答案 【详解】令[]20,1x +∈得[]2,1x ∈--，即为函数()2y f x =+的定义域， 而将函数()y f x =的图象向左平移2个单位即得()2y f x =+的图象， 故其值域不变． 故选：C ．5．（2022·江西·高三阶段练习（文））函数()s 2π2inxf x x =+在[0,1]上的值域为（ ） A ．[1,2] B ．[1,3] C ．[2,3] D ．[2,4]【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数与正弦函数的单调性可得函数()f x 在上单调递增，从而可求()f x 的值域. 【详解】解：易知函数()s 2π2inxf x x =+在[0,1]上单调递增，且(0)1f =，(1)3f =， 所以()f x 在[0,1]上的值域为[1,3]． 故选:B ．6．（2022·全国·高三专题练习）已知(12)3,1()ln ,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，那么a 的取值范围是( ) A ．(﹣∞，﹣1] B ．(﹣1，12)C ．[﹣1，12)D ．(0，1)【答案】C 【解析】 【分析】先求出ln ,1y x x =≥的值域，然后确定(12)3,1y a x a x =-+<的值域所包含的集合，利用一次函数性质可得． 【详解】当x ≥1时，f (x )=ln x ，其值域为[0，+∞)，那么当x <1时，f (x )=(1﹣2a )x +3a 的值域包括(﹣∞，0)， ∴1﹣2a >0，且f (1)=(1﹣2a )+3a ≥0， 解得：12a <，且a ≥﹣1. 故选：C.7．（2023·全国·高三专题练习）函数f （x 2sin 12x π- ）A ．54,433k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z ) B ．154,433k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z )C ．54,466k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ) D ．154,466k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得2sin 102x π-≥，然后利用正弦函数的性质求解即可【详解】 由题意，得2sin 102x π-≥，1sin22x π≥， 所以522,Z 626k x k k πππππ≤+≤≤+∈， 解得1544,Z 33k x k k +≤≤+∈，所以函数的定义域为()154,4Z 33k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故选：B8．（2023·山西大同·高三阶段练习）函数6()e 1||1x mxf x x =+++的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（ ） A ．3 B ．4C ．6D ．与m 值有关【答案】C 【解析】 【分析】利用分离常数法对函数的式子变形，结合函数奇函数的定义及奇函数最值的性质即可求解. 【详解】由题意可知，()3e 16()3e 1||1e 1||1x x x mx mxf x x x =+=--+++++， 设()()3e 1e 1||1x x mxg x x =--+++，则()g x 的定义域为(),-∞+∞， 所以()()()()()3e 13e 1e 1||1e 1||1x x xx m x mx g x g x x x --⎡⎤-⎢⎥-=-+=--+=-+-+++⎢⎥⎣⎦--， 所以()g x 为奇函数， 所以()()max min 0g x g x +=，所以()()()()max min max min 336f x f x M N g x g x +=+=+++=, 故选：C.9．（2022·江苏南京·高三开学考试）已知函数()()()()5sin sin ,99f x x x g x f f x ππ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()g x 的最大值为（ ）A 2B 3C ．32D ．2【答案】B 【解析】 【分析】 记9t x π=+，()()33sin 2f x h t t t ==+，由三角函数的性质即可求出()g x 的最大值. 【详解】 记9t x π=+，则()()33sin sin sin 32f x h t t t t t π⎛⎫==++= ⎪⎝⎭， 所以()3sin 3,36h t t π⎛⎫⎡=+∈- ⎪⎣⎝⎭， 33π>，所以()()f f x 3故选：B.10．（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）函数()12cos f x x x x =+-的最小值为（ ） A ．1ππ B ．22ππC ．-1D ．0【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到()f x 为偶函数，由0x ≥时，()12cos f x x x x =+-，利用导数求得函数的的单调区间，进而求得函数的最小值. 【详解】由题意，函数()12cos f x x x x =+-的定义域为R ，关于原点对称，且满足()()()1122cos cos f x x x x x x x f x -=-+---=+-=，所以()f x 为偶函数，当0x ≥时，()12cos f x x x x =+-， 可得()1sin 11022f x x xx=≥'+>，()f x 在单调递增，又由()f x 为偶函数，所以()f x 在(),0∞-单调递减，[)0,∞+单调递增， 所以()()min 01f x f ==-. 故选：C. 二、多选题11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数122()log (2)log (4)f x x x =--+，则下列结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 的定义域是[4,2]-B ．函数(1)=-y f x 是偶函数C ．函数()f x 在区间[1,2)-上是减函数D ．函数()f x 的图象关于直线1x =-对称 【答案】BD 【解析】 【分析】求出函数定义域为(4,2)-，A 选项错误；利用定义证明函数(1)=-y f x 是偶函数，B 选项正确；函数()f x 在区间[)1,2-上是增函数，故C 选项错误；可以证明f (x )的图象关于直线1x =-对称，故D 选项正确. 【详解】解：函数()()()()()1222log 2log 4log 24f x x x x x ⎡⎤=--+=--+⎣⎦， 由20,40x x ->+>可得42x -<<，故函数定义域为(4,2)-，A 选项错误；()()()21log 33y f x x x ⎡⎤=-=--+⎣⎦的定义域为()3,3-，设()()()2log 33,g x x x ⎡⎤=--+⎣⎦所以()()()()2log 33,g x x x g x ⎡⎤-=-+-+=⎣⎦即()1y f x =-是偶函数，B 选项正确；()()()()222log 24log 28f x x x x x ⎡⎤=--+=---+⎣⎦()22log 19x ⎡⎤=--++⎣⎦()212log 19x ⎡⎤=-++⎣⎦，当[)1,2x ∈-时，()219t x =-++是减函数，外层12log y t =也是减函数，所以函数()f x 在区间[)1,2-上是增函数，故C 选项错误；由()()()()22log 42=f x x x f x ⎡⎤--=-+-⎣⎦，可得f (x )的图象关于直线1x =-对称，故D 选项正确. 故选：BD 三、双空题12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()ln ,1e 2,1xx b x f x x +>⎧=⎨-≤⎩,若(e)3(0)f f =-，则b =_____，函数()f x 的值域为____． 【答案】 2 (][)2,e 22,--+∞【解析】【分析】根据(e)3(0)f f =-可解得b 的值，代入分段函数，结合对数函数及指数函数的值域求解分段函数的值域即可. 【详解】由(e)3(0)f f =-得13(1)b +=-⨯-，即2b =，即函数()ln 2,1e 2,1xx x f x x +>⎧=⎨-≤⎩, 当1x >时，ln 22y x =+>；当1x ≤时，(]e 22,e 2xy =-∈--．故函数()f x 的值域为(][)2,e 22,--+∞．故答案为：2；(][)2,e 22,--+∞.13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()121x f x a =+-为奇函数，则实数a ＝__，函数f （x ）在[1，3]上的值域为__． 【答案】 1293,142⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】由()f x 是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数可得f （﹣x ）＝﹣f （x ），代入可求出实数a ；再判断数f （x ）在[1，3]上单调性，即可求出答案. 【详解】解：∵f （x ）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上是奇函数， ∴f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 即121x -+-a121x =---a ， 即212xx+-a 121x=---a ， 则2a 121221121212x x xx x x=--=-=----1， 则a 12=， 则f （x ）11212x =+-在[1，3]为减函数， 则f （3）≤f （x ）≤f （1）， 即914≤f （x ）32≤， 即函数的值域为[914，32]，故答案为：12；[914，32] 四、填空题14．（2022·全国·高三专题练习）函数()02lg 2112x y x x x -=++-的定义域是________．【答案】(3,1)(1,2)--⋃- 【解析】 【分析】要使该函数表达式有意义，只需20x ->，2120x x +->，10x +≠同时成立，解不等式即可求出结果． 【详解】 函数()02lg 2112x y x x x -=++-的解析式有意义，由22012010x x x x ->⎧⎪+->⎨⎪+≠⎩，即2341x x x <⎧⎪-<<⎨⎪≠-⎩，所以31x -<<-或12x -<<， 故该函数的定义域为(3,1)(1,2)--⋃-． 故答案为：(3,1)(1,2)--⋃-15．（2022·上海闵行·二模）已知函数()()41log 42x f x m x =+-的定义域为R ，且对任意实数a ，都满足()()f a f a ≥-，则实数m =___________；【答案】1 【解析】 【分析】根据条件得到()()f a f a =-，即()()41log 42xf x m x =+-为偶函数，根据()()f x f x -=列出方程，求出实数m 的值. 【详解】因为()()41log 42xf x m x =+-的定义域为R ，所以40x m +>恒成立， 故0m ≥，又因为对任意实数a ，都满足()()f a f a ≥-， 则对于实数a -，都满足()()f a f a -≥， 所以()()f a f a =-，所以()()41log 42x f x m x =+-为偶函数， 从而()()4411log 4log 422x x m x m x -++=+-， 化简得：()()4110x m --=，要想对任意x ，上式均成立，则10m -=，解得：1m =故答案为：116.（2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测）已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，且当0x <时，()1a f x x x=++．若函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3，则实数a 的值为________．【答案】3【解析】【分析】根据已知条件及奇函数的定义求出当0x <时函数的解析式，再利用函数的单调性对a 进行分类讨论，确定单调性即可求解.【详解】由题意可知，因为0x >，所以0x -<， 所以()1a f x x x -=--+， 因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()()1a f x f x x x=--=+-. 因为函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3当0a ≤时，由函数的性质知，函数()f x 在[)3,+∞上单调递增；当3x =时，()f x 取得最小值为(3)23a f =+， 因为函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3，所以233a +=，解得3a =（舍）， 当09a <≤时，由函数的性质知，函数()f x 在[)3,+∞上单调递增；当3x =时，()f x 取得最小值为(3)23a f =+， 因为函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3，所以233a +=，解得3a =， 当9a >时，由对勾函数的性质知，函数()f x 在),a ⎡+∞⎣上单调递增；在(a 上单调递减； 当x a =()f x 取得最小值为(11f a a a a ==，因为函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3，所以213a =，解得1a =（舍）， 综上，实数a 的值为3.故答案为：3.17．（2022·北京·清华附中模拟预测）已知函数()()2ln ,1,1x a x f x x a x +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，下列说法正确的是___________.①当0a ≥时，()f x 的值域为[0,)+∞；②a ∀∈R ，()f x 有最小值；③R a ∃∈，()f x 在(0,)+∞上单调递增：④若方程1f x有唯一解，则a 的取值范围是(,2)-∞-.【答案】①②【解析】【分析】由分段函数解析式，讨论参数a ，结合二次函数、对数函数的性质研究()f x 的单调性、最值及对应值域，利用函数()f x 与1y =的交点情况判断参数范围.【详解】由2()y x a =+的对称轴x a =-，当1a >-时，则1x a =-<，且(,)a -∞-上递减，(,1)a -上递增，值域为[0,)+∞， 当1a =-时，则(,1)-∞上递减，值域为[0,)+∞，当1a <-时，则1x a =->，(,1)-∞上递减，值域为2((1),)a ++∞，对于ln y x a =+在[1,)+∞上递增，且值域为[,)a +∞，综上，0a ≥时()f x 的值域为[0,)+∞，①正确；当0a ≥时()f x 最小值为0，当0a <时()f x 最小值为a ，②正确；由211|(1)|ln1x x y a y a a ===+>=+=恒成立，故在(0,)+∞上不可能递增，③错误； 要使1f x 有唯一解，当1a <-时，在[1,)+∞上必有一个解，此时只需2(1)1a +≥，即2a ≤-；当1a =-时，在R 上有两个解，不合题设；当1a >-时，在(,)a -∞-上必有一个解，此时()211{1a a +≤>，无解.所以④错误.故答案为：①② 18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）()221mx m x m =--+-的值域是[0，+∞），则实数m 的取值范围是__． 【答案】230⎡⎢⎣⎦， 【解析】【分析】将m 分为000m m m =><，， 三种情况讨论：当0m =时，()210f x x - 满足条件；当0m <时，由二次函数知开口向下，不满足条件；当0m >时，只需二次函数的0∆≥即可，解出m 的取值范围，综上得m 的取值范围.【详解】解：当0m =时，()()22121f x mx m x m x =--+--[0，+∞），满足条件；令()()221g x mx m x m =--+- ，()()0g x ≥当m ＜0时，()g x 的图象开口向下，故f （x ）的值域不会是[0，+∞），不满足条件；当m ＞0时，()g x 的图象开口向上，只需()2210mx m x m --+-=的0∆≥，即（m ﹣2）2﹣4m （m ﹣1）≥0， ∴2323m ≤≤，又0m > ，所以230m <≤ 综上，230m ≤≤∴实数m 的取值范围是：230⎡⎢⎣⎦，， 故答案为：230⎡⎢⎣⎦，.。
函数定义域及值域的求法
对应练习2
1 y 2 x 5, x 1,3 2 y 3 x 1, x [2,5)
1 3 y , x (0,4) x 1 4 y , x ,1 1, x
小结：其他函数在给定区间求值域，都可以通过数形结 合的方式解决。
叫做这个函数的值域（用区间或集合表示）
区间表示：
开区间：（a,b） 闭区间:[ a,b ] 半开半闭区间：(a,b] 实数集R用区间表示:
,
一、求函数定义域：
例1.根据解析式求定义域
① 解：要使函数有意义， 则必须满足
x 2 0 x 4 0 解得：x 2且x 4
总结：
(1)求函数定义域： 对于具体函数求定义域，要保证式子有意义
（2）求函数值域：
求基本函数在R上或某一区间上的值域，通常数形结合
对应练习1：
1 f ( x) x 5 x 6, x R 2 2 f x 2 x 4 x 5, x 2,5 2 3 f x 2 x 3x 1, x 1,2 2 4 f x x 3x 4, x (0,3]
x 2 x 4且x 4
x2 1y x 4
x x 2且x 4 定义域为
小结：对于二次根号下的式子必须保证大于等于零 对于分式要保证分母不等于零
对应练习：
1y
x 1
1 x2
x2 2y x 3 8
3 f ) x 1 x 2
二、求函数值域：
例2.
函数f x x 3 x 4,
2
1x R, 求函数值域 2x 1,5, 求函数值域 3x 3,5, 求函数值域
小结：对于二次函数 在R上求值域，需要考虑顶点的纵坐标和开口方向； 对于在某一区间求值域，要考虑对称轴在区间内还 是在区间外，数形结合。
2.2函数的定义域和值域
【自主解答】(1)(换元法)令 t＝ 1－2x(t≥0)，则 x＝1－2 t2. ∵y＝－t2＋t＋1＝－(t－12)2＋54， ∴当 t＝12，即 x＝38时 ymax＝54，无最小值． ∴函数的值域为(－∞，54]．
(2)(三角代换法)函数的定义域是{x|－1≤x≤1}．
设x＝sin t，－π2≤t≤π2，则 y＝x＋ 1－x2化为y＝sin t＋cos t ＝ 2 sint＋π4. ∵－π2≤t≤2π，∴－π4≤t＋4π≤34π，
号内大的于式或子等于零
的实数的集合．
(4)如果f(x)是由几个部分的函数式子构成的，那么 函数的定义域是使各部分式子同时有意义的实数 的集合．
求函数的定义域往往归结为解不等式或不等式组
的问题．可以借助数轴求交集，特别要注意区间
端点是实点还是虚点．
集合 区间
求定义域时需注意最终结果一定要写成 的形式．
4sin (4)(图象法)y＝2cos
xx＋－142＝2·sincoxs－x－－214，
上式可看作单位圆外一点 P(2，－14)与圆 x2＋y2＝1 的点
(cos x，sin x)所连线段的斜率的 2 倍．
由图可知 2kPQ≤y≤2kPT.
设过 P 点的直线方程为 y＋14＝k(x－
2)，
【题后总结】在解题中，容易忽视了复合函数f(x) 的定义域，误认为函数y＝f(x2)＋f2(x)的定义域是 f(x)的定义域，而导致出错，在解题中，应注意隐 含条件的挖掘与应用，避免错误的发生．
函数定义、表示、定义域、值域
一、函数概念及其定义域
函数的概念：设是 非空数集，如果按某个确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为集合 到集合 的函数，记作： 。其中 叫自变量， 的取值范围 叫做函数的定义域；与 的值相对应的 的值叫做函数值.
注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；
∴y＝ ，y∈（0，＋∞），∴此时x∈（1，＋∞），
∴log81x＝ ，x＝81 ＝3。
变式题：（2006山东文2）设 （）
A．0B．1C．2 D．3
解：选项为C。
例2．（2006安徽文理15）
（1）函数 对于任意实数 满足条件 ，若 则 __________；
（2）函数 对于任意实数 满足条件 ，若 则 __________。
⑥基本不等式法：转化成型如： ，利用平均值不等式公式来求值域；
⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。
⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。
题型1：函数概念
例1．（1）设函数
（2）设函数f（x）＝ ，则满足f（x）= 的x值为。
解：（1）这是分段函数与复合函数式的变换问题，需要反复进行数值代换，
函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等=
=
（2）当x∈（－∞，1 ，值域应为［ ，＋∞］，
当x∈（1，＋∞）时值域应为（0，＋∞），
解：（1）（配方法） ，
∴ 的值域为 。
改题：求函数 ， 的值域。
解：（利用函数的单调性）函数 在 上单调增，
∴当 时，原函数有最小值为 ；当 时，原函数有最大值为 。
函数的定义域、值域及解析式
§2.2 函数的定义域、值域及解析式知识点： 1． 函数的定义域(1)函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围． (2)求定义域的步骤①写出使函数式有意义的不等式(组)； ②解不等式组；③写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出) (3)常见基本初等函数的定义域 ①分式函数中分母不等于零．②偶次根式函数、被开方式大于或等于0. ③一次函数、二次函数的定义域为R .④y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R . ⑤y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z .⑥函数f (x )＝x 0的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}． 2． 函数的值域(1)在函数y ＝f (x )中，与自变量x 的值相对应的y 的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域．(2)基本初等函数的值域 ①y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R .②y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为⎣⎡⎭⎫4ac －b24a ，＋∞；当a <0时，值域为⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a .③y ＝kx (k ≠0)的值域是{y |y ∈R 且y ≠0}．④y ＝a x (a >0且a ≠1)的值域是(0，＋∞)． ⑤y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是R . ⑥y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是[－1,1]． ⑦y ＝tan x 的值域是R . 3． 函数解析式的求法(1)换元法；(2)待定系数法；(3)消去法：若所给解析式中含有f (x )、f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (x )、f (－x )等形式，可构造另一个方程，通过解方程组得到f (x )．(4)配凑法或赋值法：依据题目特征，能够由一般到特殊或由特殊到一般寻求普遍规律，求出解析式． [难点]1． 函数的定义域是研究函数问题的先决条件，它会直接影响函数的性质，所以要树立定义域优先的意识．2． (1)如果函数f (x )的定义域为A ，则f (g (x ))的定义域是使函数g (x )∈A 的x 的取值范围．(2)如果f (g (x ))的定义域为A ，则函数f (x )的定义域是函数g (x )的值域． (3)f [g (x )]与f [h (x )]联系的纽带是g (x )与h (x )的值域相同． 自测：1． (2012·山东改编)函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为____________．答案 (－1,0)∪(0,2] 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，ln (x ＋1)≠0，4－x 2≥0得－1<x ≤2，且x ≠0.2． 设g (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则f (x )＝________.答案 2x ＋7解析 由g (x )＝2x ＋3，知f (x )＝g (x ＋2)＝2(x ＋2)＋3＝2x ＋7.3． 若f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，则可写出满足条件的一个函数解析式f (x )＝2x .类比可以得到：若定义在R 上的函数g (x )，满足(1)g (x 1＋x 2)＝g (x 1)g (x 2)；(2)g (1)＝3；(3)∀x 1<x 2，g (x 1)<g (x 2)，则可以写出满足以上性质的一个函数解析式为__________． 答案 g (x )＝3x解析 由①知g (x )应该是指数函数模型，结合②③知g (x )＝3x .抽象离不开具体，对于一些常见的恒等式，其对应的函数模型应该熟悉．如：一、指数函数模型，对应的性质为：f (m ＋n )＝f (m )·f (n )或f (m －n )＝f (m )f (n )；二、对数函数型，对应的性质为：f (mn )＝f (m )＋f (n )或f (mn )＝f (m )－f (n )；三、正比例函数模型，对应的性质为：f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )；四、余弦函数型，对应的性质为：f (m ＋n )＋f (m －n )＝2f (m )f (n )． 4．函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为___________________．答案 (0，＋∞)解析 由3x >0知3x ＋1>1.又f (x )在(0，＋∞)为增函数且f (1)＝0， ∴f (x )＝log 2(3x ＋1)>0.5． 已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1＋x21－x 2，则f (x )＝__________.答案 x 2＋1x 2－1(x ≠0)解析 令1x ＝t ，则x ＝1t 且t ≠0，∴f (t )＝1＋⎝⎛⎭⎫1t 21－⎝⎛⎭⎫1t 2＝t 2＋1t 2－1，即f (x )＝x 2＋1x 2－1(x ≠0).题型一 求函数的定义域 例1 (1)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为______________．(2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是____________．思维启迪：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；抽象函数的定义域要注意自变量的取值和各个字母的位置． 答案 (1)(－1,1) (2)[0,1)解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0－x 2－3x ＋4>0，得－1<x <1.(2)依已知有⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解之得0≤x <1，定义域为[0,1)．探究提高 (1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集．(2)已知f (x )的定义域是[a ，b ]，求f [g (x )]的定义域，是指满足a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围，而已知f [g (x )]的定义域是[a ，b ]，指的是x ∈[a ，b ]．(1)若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是__________．答案 ⎣⎡⎭⎫0，34解析 f (x )的定义域为R ，即mx 2＋4mx ＋3≠0恒成立． ①当m ＝0时，符合条件．②当m ≠0时，Δ＝(4m )2－4×m ×3<0， 即m (4m －3)<0，∴0<m <34.综上所述，m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，34. (2)已知f (x )的定义域是[0,4]，则f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域是__________． 答案 [1,3]解析 由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋1≤4，0≤x －1≤4得1≤x ≤3.故f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域为[1,3]． 题型二 求函数的值域 例2 求下列函数的值域：(1)y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])； (2)y ＝x －3x ＋1；(3)y ＝x －1－2x ； (4)y ＝log 3x ＋log x 3－1.思维启迪：根据各个函数解析式的特点，考虑用不同的方法求解．(1)配方法；(2)分离常数法；(3)换元法或单调性法；(4)基本不等式法． 解 (1)(配方法) y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，y ＝(x ＋1)2－1在[0,3]上为增函数，∴0≤y ≤15， 即函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域为[0,15]． (2)(分离常数法)y ＝x －3x ＋1＝x ＋1－4x ＋1＝1－4x ＋1. 因为4x ＋1≠0，所以1－4x ＋1≠1，即函数的值域是{y |y ∈R ，y ≠1}． (3)方法一 (换元法)令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t 22，于是y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，由于t ≥0，所以y ≤12，故函数的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤12.方法二 (单调性法)容易判断函数y ＝f (x )为增函数，而其定义域应满足1－2x ≥0，即x ≤12，所以y ≤f ⎝⎛⎭⎫12＝12，即函数的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤12.(4)(基本不等式法)函数定义域为{x |x ∈R ，x >0，且x ≠1}． 当x >1时，log 3x >0， 于是y ＝log 3x ＋1log 3x－1≥2log 3x ·1log 3x－1＝1；当0<x <1时，log 3x <0，于是 y ＝log 3x ＋1log 3x －1＝－⎣⎡⎦⎤(－log 3x )＋⎝⎛⎭⎫1－log 3x －1 ≤－2－1＝－3.故函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．探究提高 (1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；(2)若与二次函数有关，可用配方法；(3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换元法或单调性法；(4)当函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等式求解；(5)分段函数宜分段求解；(6)当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解．求下列函数的值域：(1)y ＝x 2－xx 2－x ＋1； (2)y ＝2x －1－13－4x .解 (1)方法一 (配方法) ∵y ＝1－1x 2－x ＋1，又x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34， ∴0<1x 2－x ＋1≤43，∴－13≤y <1.∴函数的值域为⎣⎡⎭⎫－13，1. 方法二 (判别式法) 由y ＝x 2－xx 2－x ＋1，x ∈R ，得(y －1)x 2＋(1－y )x ＋y ＝0. ∵y ＝1时，x ∈∅，∴y ≠1.又∵x ∈R ，∴Δ＝(1－y )2－4y (y －1)≥0， 解得－13≤y ≤1.综上得－13≤y <1.∴函数的值域为⎣⎡⎭⎫－13，1. (2)方法一 (换元法)设13－4x ＝t ，则t ≥0，x ＝13－t 24，于是f (x )＝g (t )＝2·13－t 24－1－t＝－12t 2－t ＋112＝－12(t ＋1)2＋6，显然函数g (t )在[0，＋∞)上是单调递减函数， 所以g (t )≤g (0)＝112，因此原函数的值域是⎝⎛⎦⎤－∞，112. 方法二 (单调性法) 函数定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤134，当自变量x 增大时，2x －1增大，13－4x 减小， 所以2x －1－13－4x 增大，因此函数f (x )＝2x －1－13－4x 在其定义域上是一个单调递增函数， 所以当x ＝134时，函数取得最大值f ⎝⎛⎭⎫134＝112， 故原函数的值域是⎝⎛⎦⎤－∞，112. 题型三 求函数的解析式例3 (1)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )；(2)设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式；(3)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式． 思维启迪：求函数的解析式，要在理解函数概念的基础上，寻求变量之间的关系． 解 (1)令t ＝2x ＋1，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2，∴a ＝1，b ＝2， ∴f (x )＝x 2＋2x ＋c .又∵方程f (x )＝0有两个相等实根， ∴Δ＝4－4c ＝0，c ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1. (3)当x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① 以－x 代替x 得，2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．② 由①②消去f (－x )得，f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．探究提高 函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (4)消去法：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．给出下列两个条件： (1)f (x ＋1)＝x ＋2x ；(2)f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.试分别求出f (x )的解析式． 解 (1)令t ＝x ＋1，∴t ≥1，x ＝(t －1)2. 则f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1， ∴f (x )＝x 2－1 (x ≥1)．(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝c ＝3. ∴f (x )＝ax 2＋bx ＋3，∴f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝44a ＋2b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－1， ∴f (x )＝x 2－x ＋3.函数问题首先要考虑定义域典例：(14分)已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，试求函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的值域．审题视角 (1)f (x )的定义域；(2)y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域与f (x )的定义域不同；(3)如何求y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域．规范解答解∵f(x)＝2＋log3x的定义域为[1,9]，要使[f(x)]2＋f(x2)有意义，必有1≤x≤9且1≤x2≤9，∴1≤x≤3，[4分]∴y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域为[1,3]．又y＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2＝(log3x＋3)2－3.[8分]∵x∈[1,3]，∴log3x∈[0,1]，∴y max＝(1＋3)2－3＝13，y min＝(0＋3)2－3＝6.[12分]∴函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的值域为[6,13]．[14分]温馨提醒(1)本题考查了函数的定义域、值域的概念及求法，是函数的重点知识．(2)本题易错原因是忽略对定义域的研究，致使函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的讨论范围扩大．(3)解答有关函数的问题要规范，研究函数问题，首先研究其定义域，这是解答的规范，也是思维的规范.方法与技巧1．函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先意识．求函数的定义域关键在于列全限制条件和准确求解方程或不等式(组)；对于含有字母参数的函数定义域，应注意对参数取值的讨论；对于实际问题的定义域一定要使实际问题有意义．2．函数值域的几何意义是对应函数图象上点的纵坐标的变化范围．利用函数几何意义，数形结合可求某些函数的值域．3．函数的值域与最值有密切关系，某些连续函数可借助函数的最值求值域，利用配方法、判别式法、基本不等式求值域时，一定注意等号是否成立，必要时注明“＝”成立的条件．失误与防范1．求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别注意定义域对值域的制约作用．函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用．特别要重视实际问题中的最值的求法．2．对于定义域、值域的应用问题，首先要用“定义域优先”的原则，同时结合不等式的性质.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：62分)一、填空题(每小题5分，共35分) 1． 若f (x )＝1log 12(2x ＋1)，则f (x )的定义域为____________．答案 ⎝⎛⎭⎫－12，0 解析 要使f (x )有意义，需log 12(2x ＋1)>0＝log 121，∴0<2x ＋1<1，∴－12<x <0.2． (2012·福建改编)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为________． 答案 0解析 根据题设条件，∵π是无理数，∴g (π)＝0， ∴f (g (π))＝f (0)＝0.3． 已知f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)＝________.答案 6解析 由f (1)＝f (2)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧12＋p ＋q ＝022＋2p ＋q ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－3q ＝2，∴f (x )＝x 2－3x ＋2. ∴f (－1)＝(－1)2＋3＋2＝6.4． 已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2，则f (x )的解析式为____________． 答案 f (x )＝2x1＋x 2(x ≠－1)解析 令t ＝1－x 1＋x (t ≠－1)，由此得x ＝1－t 1＋t ，所以f (t )＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 2＝2t1＋t 2，从而f (x )的解析式为f (x )＝2x1＋x 2(x ≠－1)． 5． 若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．答案 [－1,0]解析 由题意知2x 2＋2ax －a －1≥0恒成立． ∴x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0.6． 若函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域是__________．答案 ⎣⎡⎦⎤12，2解析 由－1≤log 2x ≤1得log 212≤log 2x ≤log 22，由y ＝log 2x 在(0，＋∞)上递增，得12≤x ≤2.7． 若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是__________．答案 [－5，－1]解析 ∵1≤f (x )≤3，∴1≤f (x ＋3)≤3， ∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2，∴－5≤F (x )≤－1. 二、解答题(共27分)8． (13分)记f (x )＝lg(2x －3)的定义域为集合M ，函数g (x )＝1－2x －1的定义域为集合N ，求：(1)集合M 、N ；(2)集合M ∩N ，M ∪N . 解 (1)M ＝{x |2x －3>0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >32，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1－2x －1≥0＝{x |x ≥3或x <1}；(2)M ∩N ＝{x |x ≥3}，M ∪N ＝{x |x <1或x >32}．9． (14分)已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x 2－2)的值域． 解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 又f (0)＝0，∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx .又f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1.∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝b ＋1a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧ a ＝12b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x . (2)由(1)知y ＝f (x 2－2)＝12(x 2－2)2＋12(x 2－2) ＝12(x 4－3x 2＋2)＝12⎝⎛⎭⎫x 2－322－18， 当x 2＝32时，y 取最小值－18. ∴函数y ＝f (x 2－2)的值域为⎣⎡⎭⎫－18，＋∞. B 组 专项能力提升(时间：35分钟，满分：58分)一、填空题(每小题5分，共30分)1． (2012·江苏)函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为________．答案 (0，6]解析 要使函数f (x )＝1－2log 6x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1－2log 6x ≥0. 解得0<x ≤ 6.2． 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x |≥1，x ，|x |<1，g (x )是二次函数，若f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则g (x )的值域是____________．答案 [0，＋∞)解析 f (x )的图象如图．g (x )是二次函数，且f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，∴g (x )的值域是[0，＋∞)．3． 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x >2，x ＋a 2，x ≤2，若f (x )的值域为R ，则常数a 的取 值范围是______________．答案 a ≥2或a ≤－1解析 易知两段函数都是增函数，当x >2时，y >4＋a ；当x ≤2时，y ≤2＋a 2，要使f (x )的值域为R ，则4＋a ≤2＋a 2，解得a ≥2或a ≤－1.4． 已知f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x 2，则f (3)＝________. 答案 11解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋2， ∴f (x )＝x 2＋2，∴f (3)＝32＋2＝11.5． 设函数g (x )＝x 2－2 (x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ g (x )＋x ＋4，x <g (x )g (x )－x ， x ≥g (x )， 则f (x )的值域是________________．答案 ⎣⎡⎦⎤－94，0∪(2，＋∞) 解析 由x <g (x )可得x <－1或x >2，由x ≥g (x )可得－1≤x ≤2；∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2， x <－1或x >2，x 2－x －2， －1≤x ≤2. 由f (x )的图象可得：当x <－1或x >2时，f (x )>f (－1)＝2，当－1≤x ≤2时，f ⎝⎛⎭⎫12≤f (x )≤f (2)，即－94≤f (x )≤0，∴f (x )值域为⎣⎡⎭⎫－94，0∪(2，＋∞)． 6． 设x ≥2，则函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值是________． 答案 283解析 y ＝[(x ＋1)＋4][(x ＋1)＋1]x ＋1，设x ＋1＝t ，则t ≥3，那么y ＝t 2＋5t ＋4t ＝t ＋4t ＋5，在 区间[2，＋∞)上此函数为增函数，所以t ＝3时，函数取得最小值即y min ＝283. 二、解答题(共28分)7． (14分)已知函数f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋6 (a ∈R )．(1)若函数的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数的值域为非负数，求函数g (a )＝2－a |a ＋3|的值域．解 (1)∵函数的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0，∴2a 2－a －3＝0，∴a ＝－1或a ＝32. (2)∵对一切x ∈R 函数值均为非负，∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝8(2a 2－a －3)≤0.∴－1≤a ≤32.∴a ＋3>0， ∴g (a )＝2－a |a ＋3|＝－a 2－3a ＋2＝－⎝⎛⎭⎫a ＋322＋174 ⎝⎛⎭⎫a ∈⎣⎡⎦⎤－1，32. ∵二次函数g (a )在⎣⎡⎦⎤－1，32上单调递减， ∴g ⎝⎛⎭⎫32≤g (a )≤g (－1)．即－194≤g (a )≤4. ∴g (a )的值域为⎣⎡⎦⎤－194，4. 8． (14分)已知定义在[0,6]上的连续函数f (x )，在[0,3]上为正比例函数，在[3,6]上为二次函数，并且当x ∈[3,6]时，f (x )≤f (5)＝3，f (6)＝2，求f (x )的解析式．解 由题意，当x ∈[3,6]时，可设f (x )＝a (x －5)2＋3 (a <0)．∵f (6)＝2，∴a (6－5)2＋3＝2，解得a ＝－1，∴f (x )＝－(x －5)2＋3＝－x 2＋10x －22.当x ∈[0,3]时，设f (x )＝kx (k ≠0)．∵x ＝3时，f (x )＝－(3－5)2＋3＝－1，∴－1＝3k ，k ＝－13，∴f (x )＝－13x . 故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －13x (0≤x <3)，－x 2＋10x －22 (3≤x ≤6).。
函数定义域,值域求法以及分段函数
1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．注意：○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论（二）映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B 为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作“f：A→B”说明：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。
1．例题分析：下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？（1）A={P | P是数轴上的点}，B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）A={ P | P是平面直角体系中的点}，B={（x，y）| x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角体系中的点与它的坐标对应；（3）A={三角形}，B={x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）A={x | x是新华中学的班级}，B={x | x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．思考：将（3）中的对应关系f改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对应关系f 改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应f： B→A是从集合B到集合A的映射吗？（三）函数的表示法常用的函数表示法：（1）解析法；（2）图象法；（3）列表法．三、典例解析1、定义域问题例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式21-x 无意义，而2≠x 时，分式21-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .②∵3x+2<0，即x<-32时，根式23+x 无意义，而023≥+x ，即32-≥x 时，根式23+x 才有意义，∴这个函数的定义域是{x |32-≥x }.③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x-21同时有意义，∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }另解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ? ⎩⎨⎧≠-≥21x x例2 求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f③=)(x f x11111++④xx x x f -+=0)1()(⑤373132+++-=x x y解：①要使函数有意义，必须：142≥-x 即： 33≤≤-x∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： [3,3-]②要使函数有意义，必须：⎩⎨⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--13140210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--<⇒x x x 或或∴定义域为：{ x|4133≥-≤<--<x x x 或或}③要使函数有意义，必须： 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧xx x ? 2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x∴函数的定义域为：}21,1,0|{--≠∈x R x x 且④要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴定义域为：{}011|<<--<x x x 或⑤要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x R x 即 x<37-或 x>37- ∴定义域为：}37|{-≠x x 例3 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围 解：∵定义域是R,∴恒成立，012≥+-aax ax ∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于 例4 若函数)(x f y =的定义域为[?1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域解：要使函数有意义，必须：43434543434514111411≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4343|x x 例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。
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函数定义域值域及表示
(1)函数的概念
设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域．
注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有
意义的实数的集合； 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 再注意：
1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，
如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数） 2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无
关。
相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)
（2）区间的概念及表示法
设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足
a x
b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的
集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．
注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．
（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：
①()f x 是整式时，定义域是全体实数．
②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．
③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．
④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．
⑤tan y x =中，()2
x k k Z π
π≠+
∈．
⑥零（负）指数幂的底数不能为零．
⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．
⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数
[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．
⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．
（4）求函数的值域或最值
求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：
①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．
②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．
③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程
2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．
④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．
⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．
⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．
例题讲解
[例1] 求下列函数的定义域：
⑴y =⑵y
（3）x
x x x f -+=0)1()( （4）g(x)=211+-++x x
[例2] 求抽象函数求定义域
记住两句话：地位相同范围相同，定义域是关于x 的。
1）设)(x f 的定义域是[-3]，求函数)2(-x f 的定义域。
2) 已知y=f(2x+1)的定义域为[-1，1]，求f(x)的定义域；
3) 已知y=f(x+3)的定义域为[1，3]，求f(x-1)的定义域.
4）若函数)(x f y =的定义域为[-1,1],求函数)41(+=x f y +)4
1(-x f 定义域
[例3] 设x 取实数，则f(x)与g(x)表示同一个函数的是（ ）
A 、x )x (f =，2
x )x (g = B 、x )x ()x (f 2
=，2
)
x (x )x (g = C 、1)x (f =，0
)1x ()x (g -= D 、3
x 9
x )x (f 2+-=，3x )x (g -=
[例 4] 下列四个函数中,与y=x 表示同一函数的是（ ）
A.y=(x )2
B.y=33
x
C.y=2
x
D.y=x x 2
[例5] 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）
⑴3)
5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ；
⑵111-+=
x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；
⑶x x f =)(，2)(x x g =；
⑷()f x =
()F x =
⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。
A ．⑴、⑵
B ．⑵、⑶
C ．⑷
D ．⑶、⑸
[例6] 在映射中B A f →:，},|),{(R y x y x B A ∈==，且),(),(:y x y x y x f +-→，则与A 中的元素)2,1(-对应的B 中的元素为（ ）
（A ）)1,3(-
（B ）)3,1( （C ）)3,1(-- （D ）)1,3(
[例7] 若:f A B →能构成映射，下列说法正确的有 （ ） （1）A 中的任一元素在B 中必须有像且唯一； （2）A 中的多个元素可以在B 中有相同的像； （3）B 中的多个元素可以在A 中有相同的原像； （4）像的集合就是集合B .
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
[例8]求函数值域
1）观察法 2）图象法 3）分式分离常数法 4）换元法
5）判别式法 6）配方法 7）函数单调性法 8）反解1）3
3
5-+=x x y （2） 22++-=x x y
（3）1
3
2222++++=x x x x y （4）x x y 314--=
[例9]求函数解析式
（1）配凑法； （2）换元法； （3）待定系数法； （4）方程组法． （1）已知3
3
11
()f x x x
x +=+，求()f x ；
（2）已知f (x －1)=3x －1，求()f x ；
（3）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；
（4）已知()f x 满足12()()3f x f x x
+=，求()f x ．。