二项式定理典型例题解析
二项式定理典型例题
二项式定理典型例题--典型例题一（1 <例1在二项式Jx十一^ 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有< 2仮丿理项.分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决.解：二项式的展开式的通项公式为：前三项的r =0,1,2.1 1 12 1 1得系数为：t1 =1, t2= C n— = — n,t3 = C n— = —n(n -1),2 2 4 81 由已知：2t^t1 t3 n=1 n(n—1),8n = 8通项公式为1 16 J3rT r 1 =c8-r xFr =0,1,2…8,T r 1为有理项，故16-3r是4的倍数, 2r••• r =0,4,8.依次得到有理项为「=X4,T5二c8■丄x二色乂忑二c81x‘1X2.248 28256 说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r的取值，得到了有理项.类似地，C-.2 3 3）100的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r的取值，得到共有17页系数和为3n.典型例题四例4 （1 ）求（1 -X）3（1 - x）10展开式中X5的系数；（2）求（X - 2）6展开式中的常X数项.分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式.3 10 5解：（1）（1-X）（1 X）展开式中的X可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项:3 io c 55用(1 -X )展开式中的常数项乘以 (1 X )展开式中的 x 项，可以得到 C io X ;用(1-X )3展开式中的一次项乘以(1 - X)10展开式中的X 4项可得到(_3x)(C ：o x 4) =-3C ：o x 5；43 2(C 10~C 10 '3C 1o —'Golx63x、.x 17x1— 展开式的通项公式X的常数项为C ；2二924 .说明：问题(2)中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决•这时我们还可以通过 合并项转化为二项式展开的问题来解决.典型例题五2 6 c例5求(1 • x -X )展开式中X 5的系数. 分析：(1，x-x 2)6不是二项式，我们可以通过 1 • X - X 2=(1 • x) -X 2或1・(x-x 2)把它看成二项式展开.解：方法一：(1 • x -x )=(1 x) -x2 665 2 4 4=(1 x ) -6(1 x) x 15(1 x) x -…其中含 x 5 的项为 c ：x 5 -6C ；X 5 15C ；X 5 =6x 5. 含x 5项的系数为6.方法二：(1 x -x 2)6 = 1(X -X 2)F=1 6(x-x 2) 15(x -X 2)220(x -X 2)315(x -X 2)46(x-x 2)5(x-x 2)65 5 555用(1 —x)3中的x 2乘以(1 x)10展开式中的 X 3可得到 3x 2C ；o X 3=3C ；o X 5；用(1 -X )3中的310 2X 项乘以(1 X)展开式中的X 项可得到—3x C 10X = -C 10X ，合并同类项得5X 项为:12由T r 1 二C ；2(、2)12二C ；2X 6_C ，可得展开式其中含x 的项为20(-3)x ，15(-4)x 6x = 6x .5 二x 项的系数为6.方法3 :本题还可通过把（1 • x - X 2）6看成6个1 • x - X 2相乘，每个因式各取一项相乘 可得到乘积的一项，x 5项可由下列几种可能得到.5个因式中取x , —个取1得到C 6x 5.231323个因式中取x , —个取-X ，两个取1得到C 6 C 3X •（-x ）.1个因式中取X ,两个取-x 2，三个取1得到C ； C ；x （_x 2）2 . 合并同类项为（C ； -c l c ； • C ；C ；）X 5 =6x 5, X 5项的系数为6.典型例题六例 6 求证：（1） C 「2C 2zr nV = 2心； （2）c n 〔c ；- C n - （2n 1 -1）.2 3 n 十1 n +1分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证 明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值.解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质c n - Cn -c n -c n =2n .•••左边=n C 0」+ nC ；_1+…+n-n (Cn J ' C^^ ' ，Cnj.) = n ，2 =右边.丄 cn=——=—n!— k 1 k 1 k!(n -k)! (k -1)!(n - k)!丄，(n +1)!二丄cn*n 1 (k 1)!(n -k)! n 1本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质 求解.此外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式， 但这需要逆用二项式定 理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面的例子：求910897822 C io 2 C 10 2 C w■ 2C io 10的结果.仔细观察可以发现该组合数的式与(1 -2)10的展开式接近，但要注意：解: （1）； kc nn! k!(n -k)!n! (k -1)!(n -k)!(n-1)! (k -1)!( n k)!nC(2)•左边(cn 1 ■ c 21cn1"=(2n1"右边.说明: c ： -1(1 2)10二C o Co 2 •C2。
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二项式定理 概 念 篇【例 1】求二项式 ( a － 2b)4 的展开式 . 分析：直接利用二项式定理展开.解：根据二项式定理得(a － 2b)4=C 04 a 4+C 14 a 3( － 2b)+C 24 a 2(－ 2b)2+C 34 a( － 2b)3+C 44 ( －2b) 4=a 4 － 8a 3b+24a 2b 2－ 32ab 3 +16b 4.说明：运用二项式定理时要注意对号入座，本题易误把－ 2b 中的符号“－”忽略 .【例 2】展开 (2x － 32) 5.2x分析一：直接用二项式定理展开式.解法一： (2x －35 05143233 232332x2) =C 5 (2x) +C 5 (2x) (－ 2x 2)+C 5 (2x) (－2x 2 ) +C 5 (2x) (－ 2x2) +C 54 (2x)( －3) 4+C 55(－3)52x 22x 2=32x 5－ 120x 2+180 － 135 + 405－243x4 7 10 .x 8x 32x分析二：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开 .解法二： (2x －35(4x 3 3)5 2x 2) =32x10=110 ［ C 05 (4x 3)5+C 15 (4x 3 )4(－ 3)+C 52 (4x 3)3(－ 3)2+C 35 (4x 3)2(－ 3)3+C 45 (4x 3)(－ 3)4+32xC 55 (－3) 5］1 10 (1024x 15－ 3840x 12+5760x 9－4320x 6+1620x 3－ 243)=32x=32x 5－ 120x 2+180－135+ 405 － 243 .xx 4 8x 732x 10说明：记准、记熟二项式(a+b)n 的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提条件.对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便.【例 3】在 (x － 3 )10 的展开式中， x 6的系数是.解法一：根据二项式定理可知x 6 的系数是 C 104 .解法二： (x － 3 )10 的展开式的通项是r－r(－ 3 )r .T r+1=C 10 x 10令 10－ r =6，即 r=4，由通项公式可知含 x 6 项为第 5 项，即 T 4+1 =C 104 x 6(－ 3 )4=9C 104 x 6.∴ x 6 的系数为 9C 104 .上面的解法一与解法二显然不同，那么哪一个是正确的呢？ 问题要求的是求含x 6 这一项系数，而不是求含x 6 的二项式系数，所以应是解法二正确.如果问题改为求含 x 6 的二项式系数，解法一就正确了，也即是C 104 . 说明：要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异 .二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关， 与二项式无关，后者与二 式、二 式的指数及 数均有关.【例 4】已知二 式(3 x － 2)10，3x(1)求其展开式第四 的二 式系数； (2)求其展开式第四 的系数； (3)求其第四 .分析：直接用二 式定理展开式.解： (3 x －210的展开式的通 是Trx10－r－ 2r， ，⋯，)=C 10 (3) ( ) (r=0 10).3x3x 1(1)展开式的第 4 的二 式系数C 103 =120.(2)展开式的第 43 72 3的系数 C 103 (－) =－ 77760.3(3)展开式的第 4 － 77760( x )7 1，即－ 77760x .x 3明：注意把 (3x － 2) 10写成［ 3 x +(－2)］ 10，从而凑成二 式定理的形式 .3x3x【例 5】求二 式( x 2+ 1)10 的展开式中的常数 .2 x分析：展开式中第r +1C 10r(x 2 )10－r (21)r ，要使得它是常数 ，必 使“x ”的指x数 零，依据是x 0=1， x ≠ 0.解： 第 r +1 常数 ，1 rr 20 51 r 5 r－ rr() =C 10 x( ) (r =0 ， 1，⋯， 10)，令 20－ r=0，得 r=8.T r +1=C 10 (x )2 2x2∴ T 9=C 108( 1)8= 45 .2256∴第 9 常数 ，其45 .256明：二 式的展开式的某一 常数 ，就是 不含 “ 元”，一般采用令通 T r+1中的 元的指数 零的方法求得常数 .【例 6】(1) 求 (1+2x)7 展开式中系数最大 ；(2)求 (1－ 2x)7 展开式中系数最大 .分析：利用展开式的通 公式， 可得系数的表达式，列出相 两 系数之 关系的不等式， 而求出其最大 .解： (1) 第 r+1 系数最大， 有C r 7 2r C r 7 1 2r 1,C r 7 2r C r 7 12r 1,7 !2r7 !2r 1,即 r !(7 r ) !(r 1) !(7 r 1) !7 !2r (r7 ! r2r 1, r !(7 r ) !1) !(7 1) !2 1 ,r 16 ,化 得r8 r 解得3又∵ 0≤ r ≤ 7，∴ r=5.71 r2 .r13.r 13∴系数最大T 6=C 75 25x 5=672x 5.(2)解：展开式中共有 8 ，系数最大 必 正 ，即在第一、三、五、七 四 中取得.又因 (1－ 2x)7 括号内的两 中后两 系数的 大于前 系数的 ，故系数最大必在中 或偏右，故只需比T 57两 系数的大小即可C 74 ( 2)4C 73 ＞ 1，所以系数和 T. 6( 2) =1C 7 4C 7最大 第五 ，即T 5=560x 4.明：本例中(1) 的解法是求系数最大 的一般解法，(2) 的解法是通 展开式多 分析，使解 程得到 化，比.【例 7】 (1+2x)n 的展开式中第6 与第7 的系数相等，求展开式中二 式系数最大的 和系数最大的 .分析：根据已知条件可求出n ，再根据 n 的奇偶性确定二 式系数最大的 .解： T 6=C n 5 (2x)5， T 7=C n 6 (2x)6，依 意有 C 5n 25=C n 6 26，解得 n=8. (1+2 x)8 的展开式中，二 式系数最大的 T 5=C n 4 (2x)4=1120x 4.C 7r 2rC 7r 1 2r 1 ,第 r +1 系数最大， 有C 7r 2rC 7r 1 2r 1.∴ 5≤ r ≤6.∴ r =5 或 r =6.∴系数最大的 T 6=1792x 5 ，T 7=1792x 6.明： (1)求二 式系数最大的 ， 根据二 式系数的性 ，n 奇数 中 两 的二式系数最大； n 偶数 ，中 一 的二 式系数最大 .(2) 求展开式中系数最大 与求二 式系数最大 是不同的，需根据各 系数的正、化情况，一般采用列不等式，再解不等式的方法求得.用 篇【例 8】若 n ∈N * ， (2 +1)n= nnn 、 n ∈Z) ，b n 的()2 a +b (abA. 一定是奇数B. 一定是偶数C.与 b n 的奇偶性相反D.与 a 有相同的奇偶性分析一：形如二 式定理可以展开后考 .解法一：由 ( 2 +1)n =n n ，知 n n2 ) n2 a +b 2 a +b =(1+=C n 0 +C 1n 2 +C n 2 ( 2 )2+C n 3 ( 2 )3+ ⋯ +C n n (2 )n .∴ b n =1+C 2n ( 2 )2+C 4n ( 2 )4+ ⋯∴ b n 奇数 . 答案： A分析二： 的答案是唯一的，因此可以用特殊 法 .解法二： n ∈ N * ，取 n=1 ， (2 +1) 1=( 2 +1) ，有 b 1=1 奇数 .取 n=2 ， ( 2 +1)2=2 2 +5，有 b 2=5 奇数 .答案： A【例 9】若将 (x+y+z)10 展开 多 式， 合并同 后它的 数()A.11B.33C.55D.66分析： (x+y+z)10 看作二 式［( x y)10z ］ 展开 .解：我 把 x+y+z 看成 (x+y)+z ，按二 式将其展开，共有11“ ”，即 (x+y+z)10=10［( x10k10－k ky) z ］ =C 10 (x+y) z .k 0，由于“和”中各 z 的指数各不相同，因此再将各个二 式(x+y) 10－k 展开，不同的乘 C 10k (x+y)10－k z k (k=0， 1，⋯， 10)展开后，都不会出 同 .下面，再分 考 每一个乘C 10k (x+y)10－k z k (k=0 ， 1，⋯， 10).其中每一个乘 展开后的 数由(x+y)10－k 决定，而且各 中 x 和 y 的指数都不相同，也不会出 同 .故原式展开后的 数11+10+9+⋯ +1=66.答案： D明：化三 式 二 式是解决三 式 的常用方法 .【例 10】求 (｜ x ｜ +1－ 2)3 展开式中的常数 .| x |分析：把原式 形 二 式定理 准形状 .解：∵ (｜ x ｜ + 1－ 2)3=(| x | － 1)6，| x || x |∴展开式的通 是T r+1=C 6r ( | x | )6－r (－ 1 )r =(－ 1)r C 6r ( | x | )6－ 2r .| x |若 T r+1 常数 ， 6－ 2r =0， r =3.∴展开式的第 4 常数 ，即 T 4=－C 36 =－ 20.明： 某些不是二 式，但又可化 二 式的 目，可先化 二 式，再求解 .【例 11】求 ( x － 3 x )9 展开式中的有理 .分析：展开式中的有理 ，就是通 公式中x 的指数 整数的.1127 r解：∵ T r+1=C 9r (x 2 )9－r (－ x 3 )r =(－ 1)r C 9r x6.令 27r∈ Z ，即 4+3r∈ Z ，且 r=0 ， 1， 2，⋯， 9.66∴ r=3 或 r =9.当 r=3 ， 27 r =4， T 4=(－ 1)3C 39 x 4=－ 84x 4. 6当 r=9 ，27 r=3， T 10=( － 1)9C 99 x 3=－x 3.6∴ ( x － 3 x )9的展开式中的有理 是第 4 － 84x 4，第 10 － x 3.明：利用二 展开式的通 T r +1 可求展开式中某些特定 .【例 12】若 (3x － 1)77 7 6 61=a x +a x + ⋯ +a x+a ，求(1)a 1 +a 2 ⋯+a 7； (2)a 1 +a 3 +a 5+a 7；0 2 4 6(3)a +a +a +a .分析：所求 果与各 系数有关可以考 用“特殊 ”法，整体解决 .解： (1)令 x=0， a 0=－ 1，令 x=1 ， a 7+a 6+ ⋯ +a 1+a 0=27=128.①∴ a 1+a 2+⋯ +a 7=129.(2)令 x=－ 1， a 7+a 6+a 5+a 4+a 3+a 2+a 1+a 0=( －4) 7.②由(1) ( 2)得： a 1+a 3+a 5+a 7= 1［ 128－ (－ 4)7］ =8256.22(3)由 (1) (2) 得 a 0 +a 2+a 4+a 6 = 1 ［ 128+(－4) 7］ =－ 8128.2 2明： (1)本解法根据 恒等式特点来用“特殊 ”法， 是一种重要的方法，它用于恒等式 .(2)一般地， 于多 式g(x)=( px+q)n =a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4 +a 5x 5+a 6x 6+a 7x 7， g(x)各 的系数和g(1)，g(x)的奇数 的系数和1［ g(1)+ g(－ 1)］，g(x)的偶数 的系数和1［ g(1)22－ g (－ 1)］ .【例 13】 明下列各式(1)1+2C 1n +4C 2n + ⋯ +2n －1C n n 1 +2n C n n =3n ；(2)(C 0n )2+(C 1n ) 2+ ⋯ +(C n n )2=C n 2 n ；(3)C 1n +2C 2n +3C 3n + ⋯ +nC n n =n2n －1.分析： (1)(2) 与二 式定理的形式有相同之 可以用二 式定理，形如数列求和，因此可以研究它的通 求 律 .明： (1)在二 展开式 (a+b)n =C 0n a n +C 1n a n －1b+C 2n a n －2b 2+ ⋯ +C n n 1 ab n －1+C n n b n 中，令 a=1， b=2，得 (1+2) n =1+2C 1n +4C 2n + ⋯ +2n －1C n n 1 +2n C n n ，即1 2+ ⋯ +2n －1n 1 n n =3n.1+2C n +4C nC n +2 C n(2)(1+ x)n (1+x)n =(1+ x) 2n ，12r12r2n.∴ (1+C n x+C n x 2+ ⋯ +C n x r + ⋯ +x n )(1+C n x+C n x 2+ ⋯ +C n x r + ⋯ +x n )=(1+ x)而 Cn 是 (1+ x)2n 的展开式中 x n 的系数，由多 式的恒等定理，得2nC 0n C n n +C 1n C n n 1 + ⋯ +C 1n C n n 1 +C n n C 0n =C n 2n . ∵ C m n =C n n m ， 0≤ m ≤ n ，∴ (C n 0 )2+(C 1n )2+ ⋯ +(C n n )2=C 2n n .(3) 法一：令 S=C 1n +2C n 2 +3C n 3 + ⋯ +nC n n . ①令 S=C 1n +2C n 2 + ⋯ +(n － 1)C n n 1 +nC n n =nC n n +(n － 1)C n n 1 + ⋯ +2C n 2 +C 1n=nC n n +(n － 1)C 1n + ⋯ +2C n n 2 +C n n 1 .②由① +②得 2S=nC 1n +nC n2 +nC n3 + ⋯ +nC n n =n(C n n +C 1n +C n2 +C n3+ ⋯ +C n n ) 0123n=n(C n+C n +C n +C n + ⋯ +C n )=n2n.∴ S=n2n－1，即 C 1n +2C n2 +3C 3n + ⋯ +nC n n =n2n－1.法二：察通：kC n k =k n n( n1) !nC n k11 .k ! (n k) !(k1)! (n k) !∴原式 =nC +C n n11 )= n2n－1，12即C n +2C n0121 +nC3+⋯n 101231 +⋯n 1 +nC n 1+nC n n 1+nC n 1=n(C n 1+C n 1+C n 1 +C n 3⋯n n－1+3C n ++nC n =n2 .明：解法二中 kC n k =nC n k11可作性住 .【例 14】求 1.9975精确到 0.001的近似 .分析：准确使用二式定理把 1.997 拆成二之和形式如 1.997=2－ 0.003.解： 1.9975=(2－ 0.003)5=25－ C 15 240.003+C 52 230.0032－ C 35 220.0033+⋯≈32－0.24+0.00072 ≈ 31.761.明：利用二式定理行近似算，关是确定展开式中的保留，使其足近似算的精确度 .【例 15】求： 5151－1 能被 7 整除 .分析：了在展开式中出7 的倍数，把51 拆成 7 的倍数与其他数的和(或差 )的形式.明： 5151－1=(49+2) 51－1=C 051 4951+C 151 49502+ ⋯ +C 5051 49· 250+C 5151 251－ 1，易知除 C 5151 251－ 1 以外各都能被7 整除 .又 251－ 1=(2 3)17－ 1=(7+1) 17－ 1=C0717+C1716+⋯+C167+C17－171717171=7(C 170 716+C 171 715+⋯ +C 1716 ).然能被 7 整除，所以5151－ 1 能被 7 整除 .明：利用二式定量明有关多式(数 )的整除，关是将所多式通恒等形二式形式，使其展开后的各均含有除式.新篇【例 16】已知 (x lgx+1) n的展开式的最后三系数之和22，中一20000. 求 x.分析：本看似繁，但只要按二式定理准确表达出来，不求解！解：由已知 C n n +C n n 1 +C n n 2 =22，即 n2+n－ 42=0. 又 n∈ N*，∴ n=6.T4中一， T4=C 3lg x 3，即 (xlgx 3lg x=10. 6(x ) =20000)=1000. x两取常用数，有1 lg2x=1， lgx=± 1，∴ x=10 或 x= .10明：当目中已知二展开式的某些或某几之的关系，常利用二式通公式，根据已知条件列出等式或不等式行求解.【例 17】 f(x)=(1+ x)m+(1+ x)n(m， n∈ N* )，若其展开式中关于x 的一次的系数和11， m，n 何，含 x2的系数取最小？并求个最小.分析：根据已知条件得到x2的系数是关于 x 的二次表达式，然后利用二次函数性探最小 .解： C 1m +C 1n =n+m=11. C m2+C n 2 =1(m2－m+n2－ n)=m2n211 ，22∵ n∈N *，∴ n=6 或 5， m=5 或 6 ， x 2 系数最小，最小 25.明：本 是一道关于二次函数与 合的 合 .【例 18】若 (x+ 1－ 2)n 的展开式的常数 －20，求 n.x分析： 中 x ≠ 0，当 x ＞ 0 ，把三 式 (x+1－ 2)n化 ( x －1)2n ；当 x ＜ 0 ，xx同理 (x+1－2) n nx － 1 2 n x 的 指数 零， 而解出 n.x=(－ 1) () .然后写出通 ，令含x解：当 x ＞ 0 ， ( x+ 1－ 2)n =(x －1 )2n ，xx其通 T r+1=C 2n r( x )2n －r (－1)r =(－ 1)r C 2r n ( x )2n －2r .x令 2n － 2r=0 ，得 n=r ，∴展开式的常数 (－ 1)r C 2n n ；当 x ＜ 0 ， (x+ 1－2) n =(－ 1)n(x －1)2n .同理可得，展开式的常数 (－ 1)r C 2n n .xx无 哪一种情况，常数 均 (－ 1)r C 2n n .令 (－ 1)r C 2n n =20.以 n=1，2， 3，⋯，逐个代入，得n=3.明：本 易忽略x ＜ 0 的情况 .【例 19】利用二 式定理 明(2 n －1 2.) ＜n31分析：2 不易从二 展开式中得到，可以考 其倒数n 1 .n 12明：欲 (2)n －1 ＜ 21成立，只需 (3)n －1＜n1成立 .3n22而 ( 3)n － 1=(1+ 1)n － 1=C n1 +C1n 11+C n 21 ( 1)2+ ⋯ +C n n 11 (1)n －122222=1+ n 1 21 2⋯n 1 1) n －12+C n1 () ++C n 1 (22＞n 1.2明：本 目的 明 程中将( 3)n －1化 (1+ 1)n －1，然后利用二 式定理展开式是解2 2决本 的关 .【例 20】求 ： 2≤ (1+1) n ＜ 3(n ∈N * ).n1 n 与二 式定理 构相似，用二 式定理展开后分析.分析： (1+)n明：当 n=1 ， (1+ 1)n =2.n当 n ≥2 ， (1+ 1)n=1+C 1n n又C n k ( 1 )k = n(n 1) (nnk ! n k1 +C n2 1 + ⋯ +C n n ( 1 )n =1+1+C n 2 1 + ⋯ +C n n ( 1 )n＞ 2.n n 2 n n 2n k 1) ≤ 1 ，k !所以 (1+ 1)n≤ 2+1+ 1 + ⋯ + 1＜ 2+1 + 1 + ⋯ + 1n2 !3 !n!1 2 2 3 ( n 1) n=2+(1 －1)+(1 － 1 )+ ⋯ +( 1 － 1)22 3 n 1 n=3－ 1＜ 3.n上有 2≤ (1+1)n ＜ 3.n明：在此不等式的 明中，利用二 式定理将二 式展开，再采用放 法和其他有关知 ，将不等式 明到底 .【例 21】求 ： 于n ∈N *， (1+ 1) n＜ (1+ 1)n+1 .nn 1分析： 构都是二 式的形式，因此研究二 展开式的通 是常用方法 .明： (1+1) n展开式的通 Tr1A n rnr+1 =C n n r=r ! n r= 1 n(n 1)(n 2) (n r 1)r ! n r=1 (1－12 r 1 ).r !)(1 －)⋯ (1－nnn(1+1 )n+1展开式的通 T ′ r+1=C n r11 1) r =A n r 1 rn 1( n r !(n 1)=1 n(n 1)(n 2) (n r1)r !n r= 1 (1－ 1 )(1－ 2)⋯ (1－r1 ).r !n 1n 1n1由二 式展开式的通 可明 地看出 T r+1＜ T ′ r+1所以 (1+ 1 )n＜ (1+1)n+1nn 1明：本 的两个二 式中的两 均 正 ，且有一 相同. 明 ，根据 特点，采用比 通 大小的方法完成本 明.【例 22】 a 、 b 、c 是互不相等的正数，且a 、b 、c 成等差数列， n ∈ N * ，求 ： a n +c n＞2b n .分析： 中 未出 二 式定理的形式，但可以根据a 、b 、c 成等差数列 造条件使用二 式定理 .明： 公差d ， a=b － d ， c=b+d.a n +c n － 2b n =(b － d)n +( b+d)n － 2b nn1n － 12n － 2 2nn n1n － 12n － 22n=［ b － C n b d+C n bd + ⋯ +(－ 1) d ］+［ b +C n bd+C n bd + ⋯ +d ］明：由 a 、 b 、 c 成等差，公差 d ，可得 a=b － d ， c=b+d ， 就 利用二 式定理 明此 造了可能性 . 即(b － d)n +(b+d) n ＞ 2b n ，然后用作差法改(b － d)n +( b+d)n－ 2b n ＞ 0.【例 23】求 (1+2x － 3x 2)6 的展开式中x 5 的系数 .分析：先将 1+2x － 3x 2 分解因式， 把三 式化 两个二 式的 ， 即(1+2 x － 3x 2)6 =(1+3x)6 (1－ x)6.然后分 写出两个二 式展开式的通 ，研究乘x 5 的系数， 可得到解决.解：原式 =(1+3 x)6(1 －x)6，其中 (1+3x)6 展开式之通T k+1=C k 6 3k x k ， (1－ x)6 展开式之通 T r+1=C r 6 (－ x)r .原式 =(1+3x) 6(1－ x)6 展开式的通C 6k C 6r (－ 1)r 3k x k+r .要使 k+r =5，又∵ k ∈ {0 ， 1， 2， 3， 4， 5， 6} ， r ∈{0 ， 1，2， 3， 4， 5， 6} ，必k 0, 或 k 1, 或 k 2, 或 k 3, 或 k 4, 或 k 5,r 5r4r 3r2r 1r 0 .故 x 5 系数 C 60 30C 65 (－ 1)5+C 16 31 C 64 (－ 1)4+C 62 32C 63 ( － 1)3+C 63 33C 62 (－ 1)4+C 64 34C 16(－ 1)+C 65 35 C 60 (－ 1)0=－ 168.明：根据不同的 构特征灵活运用二 式定理是本 的关.【例 24】 (2004年全国必修 + 修 1)(x －1)6 展开式中的常数 ()xA.15B.－ 15C.20D.－ 203r3解析： Trr6－r － rrr 32x) =(－ 1) C2，当 r=2 ，3－2=15.r +1=(－ 1)C 6 (xxr=0 ，T 3=( －1) C62答案： A【例 25】 (2004 年江 )(2x+ x )4 的展开式中 x 3 的系数是 ()A.6B.12C.24D.48解析：T r +12 rr rx ) 4－r (2x) r =( －1) r r r 2，当 r =2 ，2+ r3－ 22=24.=(－ 1) C 4 (2 C 4 x2 =3 ，T =( 2) C 4答案： C【例 26】 (2004年福建理 )若 (1－ 2x )9展开式的第3288， lim 1 1+ ⋯ +1( +2n)nxxx的 是 ()A.2B.11D.2C.52解析： T r+1=( －1) r C r 9 (2 x )r =(－1) r C r 9 2xr ，当 r =2 ， T 3=(－ 1)2C 92 22x =288.∴ x= 3.21 112 ∴ lim3 =2.( + 2 + ⋯+n)= nxxx123答案： A【例 27】 (2004 年福建文 )已知 (x － a)8 展开式中常数1120，其中 数 a 是常数，x展开式中各 系数的和是( )A.28B.38C.1 或 38D.1 或 28解析： Tr+1=( －1) rr8 －ra r rr8－2r，当 r=4 ， T4 4 =1120，∴ a=± 2.C x() =(－ a)C x=(－ a) Cx∴有函数 f(x)=(x － a)8.令 x=1， f(1)=1 或 38.x答案： C【 例 28 】(2004 年 天 津 ) 若 (1 － 2x)20040 12 22004 2004=a +a x+a x + ⋯ +ax(x ∈ R) ， (a +a )+( a +a)+0 10 2(a 0+a 3)+ ⋯ +(a 0+a 2004)= .(用数字作答 )解析：在函数 f(x)=(1 － 2x)2004中， f(0)= a 0 0 1 2+ ⋯ +a 2004，=1， f(1)=a +a +a=1 (a 0+a 1 )+(a 0+a 2)+( a 0 +a 3 )+⋯+( a 0 +a 2004) =2004a 0 +a 1+a 2+ ⋯ +a 2004=2003a 0 +a 0+a 1+a 2+ ⋯ +a 2004 =2003f(0)+ f(1) =2004.答案： 2004。
二项式定理典型例题(含解答)复习课程
解：二项式的展开式的通项公式为:‘ 2n 3rc r丄 >r~4~ C n r X 2前三项的r 0,1,2.得系数为: t 1 1,t 22 2n,t3 c ：2 28n(n 1)，由已知：2t 2 t 1 t 3 n 1(n1)，••• n 816 3r通项公式为Tr1C8P 「01,28,T r 1为有理项，故163r 是4的倍数,81 2 1 2C g -8 xx • 28256说明：本题通过抓特定项满足的条件， 利用通项公式求出了 r 的取值，得到了有理项.类• r 0,4,8.依次得到有理项为T iX4,T 5 C 8^4X ^^X ,T 9 2 8 似地，(■： 2 3 3)100的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有典型例题四310R1 6例4( 1 )求(1 X) (1 X)展开式中X 的系数；(2)求(X 2)展开式中的常数项.X分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题， 视为两个二项展开式相乘；(2)可以经过代数式变形转化为二项式.(1)可以解：(1) (1 x)3(1 x)10展开式中的X 5可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项:用(1 X)3展开式中的常数项乘以 (1 X)10展开式中的 X 5项，可以得到C 10X 5 ； 用 (1 x)3展开式中的一次项乘以(1 X)10展开式中的X 4项可得到(3x)(C ：o X 4)3C 4°X 5 ；3210用(1 X)中的X 乘以(1 X)展开式中的3 2 x 可得到3x33 3 5 mC 10X3C 10X ；用 (1 3X)中的X 3项乘以 (1 X)10展开式中的X2项可得到C 32 23x C 10 xC 20X 5，合并同类项得 X 5 项为:(C 0C 4。
3C 3。
C 0)X 563X 5 .(2)(X121X •由X1x12展开式的通项公式T r' 2)12C12X6 r，可得展开式的常数项为 C ：2 924二项式定理典型例题典型例题一n例1在二项式 x 1的展开式中前三项的系数成等差数列， 求展开式中所有有理项.分析：典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决.说明：问题（2）中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决•这时我们还可以通过 合并项转化为二项式展开的问题来解决.典型例题五例5 求(1 X 2 6 5X ）展开式中X 5的系数.分析 :(1 X2X 1 O ）不是二二项式，我们通过1 2X X(1 X) X 2 或1 (XX ）展开解: 方法一： (1 X X 2 )6(1X26x) X(1 X 6)6(1 x)5x 2 15(1 4 4x) X其中含X 5的项为 C ：x 5 6C ；x 5 15C 14X 5 6x 5 .含 x 5项的系数为 6.方法一二: (1 X 2\6X )1 (X2、6X )1 6(x x 2) 15(x2、22、3x ) 20(x x )15(x x 2 )46(x x2\5/)(x6X )5555其中含X 5的项为20( 3)x 15( 4)x 6x 6x .二x 5项的系数为6.方法3:本题还可通过把（1 xX 2）6看成6个1 xX 2相乘，每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项， x 5项可由下列几种可能得到. 5个因式中取x , —个取1得到C 6x 5.31323个因式中取x , —个取 x 2，两个取1得到C 6 C 3X （ x ）. 1个因式中取X ,两个取 x 2，三个取1得到C 6 C 5x （ x ） •合并同类项为（C ； c l c ； C6C 5）X 5 6x 5, X 5项的系数为6•典型例题六例 6 求证：（1） Cn 2C ： nV n 2n 1 ；（2）c o [c n 垃丄c n 丄⑵1 1）•2 3 n 1 n 1分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证 明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值.解决这两个小题的关键是通过组合数公式1 2C n C n C n2n.解: (1)n! n!k -k!(n k)! (k 1)!( n k)!(n 1)!(k 1)!(n k)!nc n•••左边nC：1 n c n 1nc n1n(C01 C；1 c n 1) n 2n 1右边.将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质求解.此外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式， 但这需要逆用二项式定理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面的例子：求22C 10 10的结果.仔细观察可以发现该组合数的式与10 10 0 1 2 2(1 2)10的展开式接近，但要注意：(12) C W C 10 2 C 10 2从而可以得到：10 2C W28C ；O FC尹 1)•典型例题七例7利用二项式定理证明:32n 2 8n 9是64的倍数.32n 2 8n 9是82的倍数，为了使问题向二项说明：禾U 用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题, 复杂的指数式除以一个数的余数.典型例题八1 2 10 22C 20 29C ；O 210C 1012(10 2C 2O 28C 9O29C 10)式定理贴近，变形 32n2 9n1 (8 1)n 将其展开后各项含有 8k ，与82的倍数联系起来.解：•/ 32n 2 8n 9n18nn 1(8 1) 8n 8n1C n8n c n 1 82 c n8n1 C n 18n c n 1 82 8(n1) 1 8 n 98n1 c n 1 8nc n 1 82(8n18nn 1C n 1)64是64的倍数.例8展开2x3 52x 2•分析1:用二项式定理展开式. 解法1：2x 32x 2C 50(2x)5314C 5(2x)4323药C 5(2x)23 2 x 2n! n! k!(n(k k)!(n 1)! (k 1)!( n k)!1 k 1 c n 1•n 1_c n 1C n 1 n 11C 1nn 1 丄Cn1n 1说明：本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质•••左边 n 1C 2 c ：1c n 1)(2n 1 1)右边.29C 10 28C：O 27C ；OC O 29 C 10 210分析：64是8的平方，问题相当于证明而且可以用此方程求一些180 135 405243 ~x ~x^ ~8x r 32x 10分析2:对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开.解法2:53 53 (4x 3) 1rc0/‘ 3、5 小1/‘ 3、4/ 小2/‘ 3、3/22x10C 5(4) C 5(4 ) ( 3) C 5(4 ) ( 3)C/(4x 3)2( 3)3 C 54(4x 3)1( 3)4 C/( 3)5]180 135 405 243f 炭 32x 10说明：记准、记熟二项式（a b ）n 的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条 件•对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便.典型例题九例9 若将（x y 1 z ）展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（A • 11B • 33C . 55D • 66分析 :(x y 10 z ）看作二项式 10[(x y) z]展开.解: 我们把xy z 看成（x y ） z ，按二项式展开，共有 11 “项”，即(x ioy z)[(x 10y) z]10k 10 k kC io (x y) z •k 0这时，由于“和”中各项 z 的指数各不相同，因此再将各个二项式 （x y ）10 k 展开，不同的乘积C 10（x y ）10 k z k （ k 0,1 ,,10 ）展开后，都不会出现同类项.下面，再分别考虑每一个乘积 C 1'0（x y ）10 k z k （ k 0,1,, 10） •其中每一个乘积展开后的项数由（x y ）10 k 决定，而且各项中x 和y 的指数都不相同,也不会出现同类项•故原式展开后的总项数为11 10 9 1 66 ,•••应选D •典型例题十3Cd)2 /c ；(2x)2x 2C ；32x 5 120x 2 132x 10(1024x 15 3840x 12 5760x 9 4320x 6 1620x 3 2437)32x 5 120x 2 1例10若x -n2 的展开式的常数项为 20,求 n •2n1--- ，其通项为典型例题十二解：设连续三项是第k 、k 1、k 2项（k N 且k 1），则有C ：1：。
二项式定理典型例题(含解答)
二项式定理典型例题典型例题一例1 在二项式nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+421的展开式中前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．分析：典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决．解：二项式的展开式的通项公式为：4324121C 21)(C rn r r n rr n r n r x x x T --+=⎪⎭⎫ ⎝⎛= 前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8141C ,2121C ,123121-=====n n t n t t nn ， 由已知：)1(8112312-+=+=n n n tt t ，∴8=n 通项公式为1431681,82,1,021C +-+==r rr rr T r x T 为有理项，故r 316-是4的倍数，∴.8,4,0=r 依次得到有理项为228889448541256121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-． 说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类似地，1003)32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有典型例题四例4（1）求103)1()1(x x +-展开式中5x 的系数；（2）求6)21(++xx 展开式中的常数项． 分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式．解：（1）103)1()1(x x +-展开式中的5x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：用3)1(x -展开式中的常数项乘以10)1(x +展开式中的5x 项，可以得到5510C x ；用3)1(x -展开式中的一次项乘以10)1(x +展开式中的4x 项可得到54104410C 3)C )(3(x x x -=-；用3)1(x -中的2x 乘以10)1(x +展开式中的3x 可得到531033102C 3C 3x x x =⋅；用 3)1(x -中的3x 项乘以10)1(x +展开式中的2x 项可得到521022103C C 3x x x -=⋅-，合并同类项得5x 项为：5521031041051063)C C 3C C (x x -=-+-．（2）2121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x x 1251)21(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x x ．由121⎪⎪⎭⎫⎝⎛+x x 展开式的通项公式r rrrrr x x T --+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=61212121C 1)2(C ，可得展开式的常数项为924C 612=．说明：问题（2）中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决．这时我们还可以通过合并项转化为二项式展开的问题来解决．典型例题五例5 求62)1(x x -+展开式中5x 的系数．分析：62)1(x x -+不是二项式，我们通过22)1(1x x x x -+=-+或)(12x x -+展开． 解：方法一：[]6262)1()1(x x x x -+=-+ -+++-+=44256)1(15)1(6)1(x x x x x其中含5x 的项为55145355566C 15C 6C x x x x =+-．含5x 项的系数为6．方法二：[]6262)(1)1(x x x x -+=-+其中含5x 的项为555566)4(15)3(20x x x x =+-+-．∴5x 项的系数为6．方法3：本题还可通过把62)1(x x -+看成6个21x x -+相乘，每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项，5x 项可由下列几种可能得到．5个因式中取x ，一个取1得到556C x ．3个因式中取x ，一个取2x -，两个取1得到)(C C 231336x x -⋅⋅． 1个因式中取x ，两个取2x -，三个取1得到222516)(C C x x -⋅⋅． 合并同类项为5525161336566)C C C C (C x x =+-，5x 项的系数为6．典型例题六例6 求证：（1）1212C C 2C -⋅=+++n n n n n n n ；（2）)12(11C 11C 31C 21C 1210-+=++++++n n nn n n n n ． 分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值．解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质nn n n n n 2C C C C 210=++++ ．解：（1）11C )!()!1()!1()!()!1(!)!(!!C --=+--⋅=--=-⋅=k n kn n k n k n n k n k n k n k n k k ∴左边111101C C C ----+++=n n n n n n n =⋅=+++=-----11111012)C C C (n n n n n n n 右边．（2）)!()!1(!)!(!!11C 11k n k n k n k n k k k n --=-⋅+=+11C 11)!()!1()!1(11+++=-++⋅+=k n n k n k n n ． ∴左边112111C 11C 11C 11++++++++++=n n n n n n n =-+=++++=+++++)12(11)C C (C 111112111n n n n n n n 右边． 说明：本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质求解．此外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式，但这需要逆用二项式定理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面的例子：求10C 2C 2C 2C 22108107910810109+++++ 的结果．仔细观察可以发现该组合数的式与10)21(+的展开式接近，但要注意：10101099102210110010102C 2C 2C 2C C )21(⋅+⋅++⋅+⋅+=+从而可以得到：)13(21C 2C 2C 21010101099108210-=++++ ． 典型例题七例7 利用二项式定理证明：98322--+n n 是64的倍数．分析：64是8的平方，问题相当于证明98322--+n n 是28的倍数，为了使问题向二项式定理贴近，变形1122)18(93++++==n n n ，将其展开后各项含有k 8，与28的倍数联系起来．解：∵98322--+n n 98)18(98911--+=--=++n n n n64)C 8C 8(112111⋅++⋅+=-+-++n n n n n 是64的倍数．说明：利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题，而且可以用此方程求一些复杂的指数式除以一个数的余数．典型例题八例8 展开52232⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ．分析1：用二项式定理展开式．解法1：52232⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 2232524150250523)2(23)2(23)2(⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x C x x C x x C 分析2：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．解法2：10535232)34(232x x x x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-233254315530510)3()4()3()4()4([321-+-+=x C x C x C x 10742532243840513518012032xx x x x x -+-+-=． 说明：记准、记熟二项式nb a )(+的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条件．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．典型例题九例9 若将10)(z y x ++展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（ ）． A ．11 B ．33 C ．55 D ．66 分析：10)(z y x ++看作二项式10])[(z y x ++展开．解：我们把z y x ++看成z y x ++)(，按二项式展开，共有11“项”，即∑=-⋅+=++=++10010101010)(])[()(k k k kz y x C z y x z y x ．这时，由于“和”中各项z 的指数各不相同，因此再将各个二项式ky x -+10)(展开，不同的乘积k kk z y x C ⋅+-1010)(（10,,1,0 =k ）展开后，都不会出现同类项． 下面，再分别考虑每一个乘积k kk z y x C ⋅+-1010)(（10,,1,0 =k ）．其中每一个乘积展开后的项数由ky x -+10)(决定，而且各项中x 和y 的指数都不相同，也不会出现同类项．故原式展开后的总项数为66191011=++++ ，∴应选D ．典型例题十例10 若nx x ⎪⎭⎫⎝⎛-+21的展开式的常数项为20-，求n ．分析：题中0≠x ，当0>x 时，把nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+21转化为nn x x x x 2121⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+；当0<x 时，同理nn n x x x x 21)1(21⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+．然后写出通项，令含x 的幂指数为零，解出n ． 解：当0>x 时nn x x x x 2121⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+，其通项为rn r n r r rn r n r x C xx C T 222221)()1()1()(--+-=-=，令022=-r n ，得r n =， ∴展开式的常数项为n nnC2)1(-；当0<x 时，nn n x x x x 21)1(21⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+， 同理可得，展开式的常数项为n n n C 2)1(-．无论哪一种情况，常数项均为nn n C 2)1(-． 令20)1(2-=-nn n C ，以 ,3,2,1=n ，逐个代入，得3=n ．典型例题十一例11 1031⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式的第3项小于第4项，则x 的取值范围是______________． 分析：首先运用通项公式写出展开式的第3项和第4项，再根据题设列出不等式即可． 解： 1031⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 有意义必须0>x ；依题意有43T T <即3373102382101)(1)(⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛x x C x x C ．∴31123891012910xx ⨯⨯⨯⨯⨯<⨯⨯（∵0>x ）．解得5648980<<x ．∴x 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<5648980x x ．∴应填：5648980<<x ．典型例题十二例12 已知n xx)1(2log +的展开式中有连续三项的系数之比为321∶∶，这三项是第几项？若展开式的倒数第二项为112，求x 的值．解：设连续三项是第k 、1+k 、2+k 项（+∈N k 且1>k ），则有32111∶∶∶∶=+-k n k n k n C C C ， 即321!)1)(1(!!)(!!!)1)(1(!∶∶∶∶=--+-+--k n k n k n k n k n k n ．∴321)1(1)(1)1)((1∶∶∶∶=+-+--k k k n k k n k n ． ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=+-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=+---32)()1(21132)()1(21)1)(()(k n k k n k k n k k k k n k n k n k 14=⇒n ，5=k 所求连续三项为第5、6、7三项．又由已知，1122log 1314=xx C ．即82log =x x ．两边取以2为底的对数，3)(log 22=x ，3log 2±=x ，∴32=x ，或32-=x ．说明：当题目中已知二项展开式的某些项或某几项之间的关系时，常利用二项式通项，根据已知条件列出某些等式或不等式进行求解．典型例题十三例13 nx )21(+的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项． 分析：根据已知条件可求出n ，再根据n 的奇偶性；确定二项式系数最大的项．解：556)2(x C T n =，667)2(x C T n =，依题意有8226655=⇒=n C C n n ． ∴8)21(x +的展开式中，二项式系数最大的项为444851120)2(x x C T ==．设第1+r 项系数最大，则有65222211881188≤≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅++--r C C C C r r r r r r r r ． ∴5=r 或6=r （∵{}8,,2,1,0 ∈r ）．∴系娄最大的项为：561792x T =，671792x T =．说明：(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n 为奇数时中间两项的二项式系数最大，n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，解不等式的方法求得．典型例题十四例14 设nm x x x f )1()1()(+++=(+∈N n m ,)，若其展开式中关于x 的一次项的系数和为11，问n m ,为何值时，含2x 项的系数取最小值？并求这个最小值．分析：根据条件得到2x 的系数关于n 的二次表达式，然后用二次函数性质探讨最小值．解：1111=+=+m n C C n m ．211)(21222222-+=-+-=+n m n n m m C C n m499)211(55112211022+-=+-=-=n n n mn ．∵+∈N n ， ∴5=n 或6，6=m 或5时，2x 项系数最小，最小值为25． 说明：二次函数499)211(2+-=x y 的对称轴方程为211=x ，即5.5=x ，由于5、6距5.5等距离，且对+∈N n ，5、6距5.5最近，所以499)211(2+-n 的最小值在5=n 或6=n 处取得． 典型例题十五例15 若0166777)13(a x a x a x a x ++++=- ，求(1) 721a a a +++ ；(2) 7531a a a a +++；(3) 6420a a a a +++．解：(1)令0=x ，则10-=a ，令1=x ，则128270167==++++a a a a ． ①∴129721=+++a a a ．(2)令1-=x ，则701234567)4(-=+-+-+-+-a a a a a a a a ②由2②①-得：8256]4128[2177531=--=+++）（a a a a (3)由2②①+得：6420a a a a +++][210123456701234567）（）（a a a a a a a a a a a a a a a a +-+-+-+-++++++++=8128])4(128[217-=-+=． 说明：（1）根据问题恒等式特点来用“特殊值”法．这是一种重要方法，它适用于恒等式．(2)一般地，对于多项式nn n x a x a x a a q px x g ++++=+= 2210)()(，)(x g 的各项的系数和为)1(g ：)(x g 的奇数项的系数和为)]1()1([21-+g g ．)(x g 的偶数项的系数和为)]1()1([21--g g ．典型例题十六例16 填空：(1) 3230-除以7的余数_____________；(2) 155555+除以8的余数是___. 分析(1)：将302分解成含7的因数，然后用二项式定理展开，不含7的项就是余数．解：3230-3)2(103-=3)8(10-=3)17(10-+=37771010910911010010-++++=C C C C又∵余数不能为负数，需转化为正数。
二项式定理解析版
7.4 二项式定理题型一 二项式定理公式运用【例1】 (1)求⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4的展开式．（2）化简多项式(2x ＋1)5－5(2x ＋1)4＋10(2x ＋1)3－10(2x ＋1)2＋5(2x ＋1)－1的结果是( )A ．(2x ＋2)5B ．2x 5C ．(2x －1)5D ．32x 5【解析】（1）方法一 ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝(3x )4＋C 14(3x )3·⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋C 24(3x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.方法二 ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝1x 2(1＋3x )4＝1x 2·[1＋C 14·3x ＋C 24(3x )2＋C 34(3x )3＋C 44(3x )4]＝1x2(1＋12x ＋54x 2＋108x 3＋81x 4)＝1x2＋12x＋54＋108x ＋81x 2. （2）原式＝[(2x ＋1)－1]5＝(2x )5＝32x 5. 【举一反三】1.化简：(2x ＋1)5－5(2x ＋1)4＋10(2x ＋1)3－10(2x ＋1)2＋5(2x ＋1)－1.【解析】原式＝C 05(2x ＋1)5－C 15(2x ＋1)4＋C 25(2x ＋1)3－C 35(2x ＋1)2＋C 45(2x ＋1)－C 55(2x ＋1)0＝[(2x ＋1)－1]5＝(2x )5＝32x 5.2．（2020·全国高三专题练习）已知()01223344414729n n n n n n n n C C C C C -+-+⋅⋅⋅+-⋅⋅=，则123n n n n n C C C C +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．64B ．32C ．63D ．31【解析】根据二项式定理展开式的逆运算可知()()0122334441414n nn n n n n n n C C C C C -+-+⋅⋅⋅+-⋅⋅=- 所以()6147293n-==解得6n = 所以12360622163n n n n n n C C C C C +++⋅⋅⋅+=-=-=故选:C3．1－2C 1n ＋4C 2n －8C 3n ＋…＋(－2)n C nn 等于( ) A ．1 B ．1 C ．(－1)nD ．3n【解析】逆用二项式定理，将1看成公式中的a ，－2看成公式中的b ，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n.题型二 指定项的（二项式）系数【例2】（1）（2019·吉林省实验高二期末（理））在二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 的项的系数是 。
二项式定理经典题型及详细答案
二项式定理经典考点例析考点1：二项式系数与项的系数1、在28(2x -的展开式中，求： （1）第5项的二项式系数及第5项的系数.（2）2x 的系数.2.若1()nx x+展开式中第2项与第6项的系数相同，则展开式的中间一项的系数为___________.3.已知二项式102)3x求 （1）第四项（2）展开式第四项的二项式系数（3）展开式第四项的系数考点2：二项式定理逆用1、5432(1)5(1)10(1)10(1)5(1)x x x x x -+-+-+-+-=_____________2、5432)12()12(5)12(10)12(10)12(51+-+++-+++-x x x x x =_____________考点3：求二项式展开式中的特定项、某一项【例题】 1、二项式3522()x x-的展开式中5x 的系数___________；2. 二项式43(1)(1x -的展开式中2x 的系数是___________.3.若4(1a +=+（,a b 为有理数），则a b +=___________.4.二项式8(2-展开式中不含4x 项的系数的和为___________.5、二项式53)31()21(x x -+的展开式中4x 的系数___________.【练习】1.二项式4(1)x +的展开式中2x 的系数为___________..2.二项式210(1)x -的展开式中，4x 的系数为___________.3.二项式6展开式中含2x 项的系数为___________. 4.二项式533)1()21(x x -+的展开式中x 的系数___________.、常数项和有理项【例题】 1. 二项式61(2)2x x-的展开式的常数项是___________.2、二项式100的展开式中x 的系数为有理数的项的个数___________.3. 二项式261(1)()x x x x++-的展开式中的常数项为___________.4.二项式5)12(++xx 的展开式中常数项是___________. 【练习】1.8(2x -的展开式中的常数项___________. 2.在261()x x+的展开式中，常数项是___________.3.二项式5)44(++xx 的展开式中常数项是___________. 4.二项式54)31()21(xx -+的展开式中常数项是___________. 考点4：求展开式中的各项系数之和的问题1、已知7270127(12)...x a a x a x a x -=++++.求：（1）0a ； （2）763210a a a a a a ++++++ ；（3）763210a a a a a a -++-+-（4）6420a a a a +++；（5）7531a a a a +++；（6）2753126420)()(a a a a a a a a +++-+++. （7）||||||||||||763210a a a a a a ++++++ .（8）7766321022842a a a a a a ++++++ ；（9）7766321022842a a a a a a ++++++； 2.在二项式9(23)x y -的展开式中，求：（1）二项式系数之和；（2）各项系数之和；（3）所有奇数项系数之和；（4）所有项的系数的绝对值之和.3.利用二项式nn n n n n n n x C x C x C x C C x +++++=+ 432210)1(展开式nn n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n nn n n n n C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C 32842)4(2)3(0)1()2(2)1(3210153142032103210=+++++=+++=+++=-++-+-=+++++-考点5：多项式的展开式最大项问题【例题】1、二项式9)21(x +展开式中，(1)二项式系数的最大项 (2)系数的最大项 2、二项式12)21(x -展开式中（1）求展开式中系数的绝对值最大的项.（2）求展开式中系数最大的项.（3）求展开式中系数最小的项.3、已知()(1)(12)(,)m n f x x x m n N +=+++∈的展开式中含x 项系数为11，求()f x 展开式中2x 项系数的最小值．4、n xx )1(4+展开式中含x 的整数次幂的项的系数之和为__________．【练习】1、2102()x x+的展开式中系数最大的项； 2、求7(12)x -展开式中系数最大的项．3、设x =50(1)x +展开式中第几项最大？4、已知()nx x 2323+展开式中各项系数的和比各项的二项式系数的和大992，（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项.考点6：含参二次函数求解【例题】1.【特征项】在二项式25()a x x-的展开式中x 的系数是-10，则实数a 的值是___________.2.【常数项】若n的展开式中存在常数项，则n 的值可以是___________.3.【有理项】已知n的展开式中，前三项的系数成等差数列，展开式中的所有有理项________. 4.【特征项】在210(1)x px ++的展开式中，试求使4x 项的系数最小时p 的值.5.【系数最大】已知1(2)2nx +的展开式中，第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项． 【练习】1.若9()a x x-的展开式中3x 的系数是-84，则a =___________.2.已知2)n x的展开式中第5项系数与第3项的系数比56:3，则该项展开式中2x 的系数_____. 3.若二项式22()nx x-的展开式中二项式系数之和是64，则展开式中的常数项为___________ 4.已知(13)nx +的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项．考点7：求解某些整除性问题或余数问题1. 求证22*389()n n n N +--∈能被64整除.2. 9291被100整除所得的余数为_________ 3. 设21(*)n k k N =-∈，则11221777...7nn n n n n n C C C ---+⋅+⋅++⋅被9除所得的余数为_________4. 求证：（1）51511-能被7整除；（2）2332437n n +-+能被64整除.5. 如果今天是星期一，那么对于任意的自然数n ，经过33(275)n n +++天是星期几？考点8：计算近似值1、求60.998的近似值，使误差小于0.001. 2、求51.997精确到的近似值.考点9：有关等式与不等式的证明化简问题1、求121010101010124...2C C C ++++的值. 2、化简：1231248...(2)nnn n n n C C C C -+-++-. 3、求证：01121*(2)!...()(1)!(1)!n nn n n n n n n C C C C C C n N n n -+++=∈-+.4、证明下列等式与不等式（1）123123 (2)nn n n n n C C C nC n -++++=⋅.（2）设,,a b c 是互不相等的正数，且,,a b c 成等差数列，*n N ∈，求证2nnna cb +>. 【练习】1、=++++nn n n n n C C C C 2222210 ；2、=-++-+-nn n n n n n n C C C C C 2)1(22232210 ； 3、求证：12122-⋅=+++n n n n n n nC C C4、求证：nn n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++5、已知7292222210=++++nn n n n n C C C C ，求n n n n C C C +++ 21考点10：创新型题目1、对于二项式(1-x)1999，有下列四个命题：①展开式中T 1000= －C 19991000x999；②展开式中非常数项的系数和是1；③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；④当x=2000时，(1-x)1999除以2000的余数是1．其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确的命题序号都填上） 2、规定!)1()1(m m x x x C m x +--=，其中x ∈R，m 是正整数，且10=x C ，这是组合数m n C （n 、m 是正整数，且m ≤n ）的一种推广．(1) 求315-C的值；(2) 设x >０，当x 为何值时，213)(xxC C 取得最小值(3) 组合数的两个性质；①m n n m n C C -=. ②mn m n m n C C C 11+-=+.是否都能推广到mx C （x ∈R，m 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由.3、对于任意正整数，定义“n的双阶乘n!!”如下：对于n是偶数时，n!!=n·(n－2)·(n－4)……6×4×2；对于n是奇数时，n!!=n·(n－2)·(n－4)……5×3×1．现有如下四个命题：①(2005!!)·(2006!!)=2006!；②2006!!=21003·1003!；③2006!!的个位数是0；④2005!!的个位数是5．正确的命题是________．。
二项式定理练习题及答案解析
二项式定理练习题及答案解析一、选择题1．二项式(a＋b)2n的展开式的项数是()A．2n B．2n＋1C．2n－1D．2(n＋1)[答案] B2．(x－y)n的二项展开式中，第r项的系数是()A．Crn B．Cr＋1nC．Cr－1n D．(－1)r－1Cr－1n[答案] D3．在(x－3)10的展开式中，x6的系数是()A．－27C610 B．27C410C．－9C610 D．9C410[答案] D[解析]∵Tr＋1＝Cr10x10－r(－3)r.令10－r＝6，解得r＝4.∴系数为(－3)4C410＝9C410.4．(2010•全国Ⅰ理，5)(1＋2x)3(1－3x)5的展开式中x的系数是() A．－4 B．－2C．2 D．4[答案] C[解析](1＋2x)3(1－3x)5＝(1＋6x＋12x＋8xx)(1－3x)5，故(1＋2x)3(1－3x)5的展开式中含x的项为1×C35(－3x)3＋12xC05＝－10x＋12x＝2x，所以x的系数为2.5．在2x3＋1x2n(n∈N*)的展开式中，若存在常数项，则n的最小值是()A．3 B．5C．8 D．10[答案] B[解析]Tr＋1＝Crn(2x3)n－r1x2r＝2n－r•Crnx3n－5r.令3n－5r＝0，∵0≤r≤n，r、n∈Z.∴n的最小值为5.6．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中x5的系数是()A．－297 B．－252C．297 D．207[答案] D[解析]x5应是(1＋x)10中含x5项与含x2项．∴其系数为C510＋C210(－1)＝207.7．(2009•北京)在x2－1xn的展开式中，常数项为15，则n的一个值可以是()A．3 B．4C．5 D．6[答案] D[解析]通项Tr＋1＝Cr10(x2)n－r(－1x)r＝(－1)rCrnx2n－3r，常数项是15，则2n＝3r，且Crn＝15，验证n＝6时，r＝4合题意，故选D.8．(2010•陕西理，4)(x＋ax)5(x∈R)展开式中x3的系数为10，则实数a等于()A．－1 B.12C．1 D．2[答案] D[解析]Cr5•xr(ax)5－r＝Cr5•a5－rx2r－5，令2r－5＝3，∴r＝4，由C45•a＝10，得a＝2.9．若(1＋2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x的取值范围是()A.112＜x＜15B.16＜x＜15C.112＜x＜23D.16＜x＜25[答案] A[解析]由T2>T1T2>T3得C162x>1C162x>C26(2x)2∴112＜x＜15. 10．在32x－1220的展开式中，系数是有理数的项共有()A．4项B．5项C．6项D．7项[答案] A[解析]Tr＋1＝Cr20(32x)20－r－12r＝－22r•(32)20－rCr20•x20－r，∵系数为有理数，∴(2)r与220－r3均为有理数，∴r能被2整除，且20－r能被3整除，故r为偶数，20－r是3的倍数，0≤r≤20.∴r＝2,8,14,20.二、填空题11．(1＋x＋x2)•(1－x)10的展开式中，x5的系数为____________．[答案]－16212．(1＋x)2(1－x)5的展开式中x3的系数为________．[答案] 5[解析]解法一：先变形(1＋x)2(1－x)5＝(1－x)3•(1－x2)2＝(1－x)3(1＋x4－2x2)，展开式中x3的系数为－1＋(－2)•C13(－1)＝5；解法二：C35(－1)3＋C12•C25(－1)2＋C22C15(－1)＝5.13．若x2＋1ax6的二项展开式中x3的系数为52，则a＝________(用数字作答)．[答案] 2[解析]C36(x2)3•1ax3＝20a3x3＝52x3，∴a＝2.14．(2010•辽宁理，13)(1＋x＋x2)(x－1x)6的展开式中的常数项为________．[答案]－5[解析](1＋x＋x2)x－1x6＝x－1x6＋xx－1x6＋x2x－1x6，∴要找出x－1x6中的常数项，1x项的系数，1x2项的系数，Tr＋1＝Cr6x6－r(－1)rx－r＝Cr6(－1)rx6－2r，令6－2r＝0，∴r＝3，令6－2r＝－1，无解．令6－2r＝－2，∴r＝4.∴常数项为－C36＋C46＝－5.三、解答题15．求二项式(a＋2b)4的展开式．[解析]根据二项式定理(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbnn得(a＋2b)4＝C04a4＋C14a3(2b)＋C24a2(2b)2＋C34a(2b)3＋C44(2b)4＝a4＋8a3b＋24a2b2＋32ab3＋16b4.16．m、n∈N*，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数．[解析]由题设m＋n＝19，∵m，n∈N*.∴m＝1n＝18，m＝2n＝17，…，m＝18n＝1.x2的系数C2m＋C2n＝12(m2－m)＋12(n2－n)＝m2－19m＋171.∴当m＝9或10时，x2的系数取最小值81，此时x7的系数为C79＋C710＝156.17．已知在(3x－123x)n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．[解析](1)Tr＋1＝Crn•(3x)n－r•(－123x)r＝Crn•(x13)n－r•(－12•x－13)r＝(－12)r•Crn•xn－2r3.∵第6项为常数项，∴r＝5时有n－2r3＝0，∴n＝10.(2)令n－2r3＝2，得r＝12(n－6)＝2，∴所求的系数为C210(－12)2＝454.(3)根据通项公式，由题意得：10－2r3∈Z0≤r≤10r∈Z令10－2r3＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r＝10－3k2＝5－32k.∵r∈Z，∴k应为偶数，∴k可取2,0，－2，∴r＝2,5,8，∴第3项、第6项与第9项为有理项．它们分别为C210•(－12)2•x2，C510(－12)5，C810•(－12)8•x－2.18．若x＋124xn展开式中前三项系数成等差数列．求：展开式中系数最大的项．[解析]通项为：Tr＋1＝Crn•(x)n－r•124xr.由已知条件知：C0n＋C2n•122＝2C1n•12，解得：n＝8.记第r项的系数为tr，设第k项系数最大，则有：tk≥tk＋1且tk≥tk－1.又tr＝Cr－18•2－r＋1，于是有：Ck－18•2－k＋1≥Ck8•2－kCk－18•2－k＋1≥Ck－28•2－k＋2即8！(k－1)！•(9－k)！×2≥8！k！(8－k)！，8！(k－1)！•(9－k)！≥8！(k－2)！•(10－k)！×2.∴29－k≥1k，1k－1≥210－k.解得3≤k≤4.∴系数最大项为第3项T3＝7•x35和第4项T4＝7•x74.。
（完整版）二项式定理（习题含答案）
（完整版）⼆项式定理（习题含答案）⼆项式定理⼀、求展开式中特定项 1、在的展开式中，的幂指数是整数的共有（） A ．项 B ．项 C ．项 D ．项【答案】C 【解析】，，若要是幂指数是整数，所以0，6，12，18，24，30，所以共6项，故选C ．3、若展开式中的常数项为．（⽤数字作答）【答案】10【解】由题意得，令，可得展⽰式中各项的系数的和为32，所以，解得，所以展开式的通项为，当时，常数项为， 4、⼆项式的展开式中的常数项为．【答案】112【解析】由⼆项式通项可得，（r=0,1,,8）,显然当时，，故⼆项式展开式中的常数项为112.5、的展开式中常数项等于________．【答案】．【解析】因为中的展开式通项为，当第⼀项取时，，此时的展开式中常数为；当第⼀项取时，，此时的展开式中常数为；所以原式的展开式中常数项等于，故应填． 6、设，则的展开式中常数项是．【答案】 332，30x 4567()r r rrr r x C x x C T 6515303303011--+?==30......2,1,0=r =r 2531()x x+1x =232n =5n =2531()x x+10515r rr T C x -+=2r =2510C=82)x3488838122rrr r rr r x C xx C --+-=-=)()()(T 2=r 1123=T 41(2)(13)x x--1441(2)(13)x x--4(13)x -4C (3)r rx -204C 1=21x-14C (3)12x -=-12141420sin 12cos 2x a x dx π=-+()622x ??+ ?332=-()200sin 12cos sin cos (cos sin )202x a x dx x x dx x x πππ??=-+=+=-+= ??的展开式的通项为，所以所求常数项为．⼆、求特定项系数或系数和7、的展开式中项的系数是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由通式，令，则展开式中项的系数是．8、在x （1+x ）6的展开式中，含x 3项的系数是．【答案】15【解】的通项，令可得．则中的系数为15.9、在的展开式中含的项的系数是．【答案】-55【解析】的展开式中项由和两部分组成，所以的项的系数为． 10、已知，那么展开式中含项的系数为．【答案】135【解析】根据题意，，则中，由⼆项式定理的通项公式，可设含项的项是，可知，所以系数为．11、已知，则等于（）A ．－5B ．5C ．90D ．180【答案】D 因为，所以等于选Ｄ．12、在⼆项式的展开式中，只有第5项的⼆项式系数最⼤，则________；展开式中的第4项＝_______．6(=6663166((1)2r r r r r rr r T C C x ---+==-??3633565566(1)22(1)2T C C --=-??+-?332=-8()x 62x y 5656-2828-r r r y x C )2(88--2=r 62x y 56)2(228=-C ()61x +16r r r T C x +=2r =2615C =()61x x +3x 6(1)(2)x x -?-3x 6(1)(2)x x -?-3x 336)(2x C -226)(x -x C -?）（3x 552-2636-=-C C dx xn 16e 1=nx x ）（3-2x 66e111ln |6e n dx x x=?==n x x ）（3-1r n r r r n T C a b -+=2x 616(3)r rr r T C x -+=-2r =269135C ?=()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-L 8a 1010(1)(21)x x +=-+-8a8210(2)454180.C -=?=1)2nx =n【答案】，．【解析】由⼆项式定理展开通项公式，由题意得，当且仅当时，取最⼤值，∴，第4项为． 13、如果，那么的值等于（）（A ）－1 （B ）－2 （C ）0 （D ）2 【答案】A【解析】令，代⼊⼆项式，得，令，代⼊⼆项式，得，所以，即，故选A ．14、（﹣2）7展开式中所有项的系数的和为【答案】-1 解：把x=1代⼊⼆项式，可得（﹣2）7 =﹣1， 15、（x ﹣2）（x ﹣1）5的展开式中所有项的系数和等于【答案】0 解：在（x ﹣2）（x ﹣1）5的展开式中，令x=1，即（1﹣2）（1﹣1）5=0，所以展开式中所有项的系数和等于0. 16、在的展开式中，所有项的系数和为，则的系数等于．【答案】【解析】当时，，解得，那么含的项就是，所以系数是-270. 17、设，若，则．【答案】0. 【解析】由81937x -21()(2)33111()()22n r n r r r r r r r nn T C x x C x -++=-?=-4n =r n C 8n =119(163)333381()72C x x +-=-7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 017a a a +++L 1x =7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 70127(12)1 a a a a -=++++=-L 0x =7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 70(10)1a -==12711a a a ++++=-L 1272a a a +++=-L *3)()n n N -∈32-1x 270-1=x ()322--=n5=n x1()x x C 1270313225-=-(sin cos )k x x dx π=-?8822108)1(x a x a x a a kx ++++=-K 1238a a a a ++++=0(sin cos )(cos sin )k x x dx x x ππ=-=--?，令得：，即再令得：，即所以18、设（5x ﹣）n 的展开式的各项系数和为M ，⼆项式系数和为N ，若M ﹣N=240，则展开式中x 的系数为 . 【答案】150解：由于（5x ﹣）n 的展开式的各项系数和M 与变量x ⽆关，故令x=1，即可得到展开式的各项系数和M=（5﹣1）n =4n ．再由⼆项式系数和为N=2n ，且M ﹣N=240，可得 4n ﹣2n =240，即 22n ﹣2n ﹣240=0. 解得 2n =16，或 2n =﹣15（舍去），∴n=4. （5x ﹣）n 的展开式的通项公式为 T r+1=（5x ）4﹣r ？（﹣1）r ？=（﹣1）r ？54﹣r ？．令4﹣=1，解得 r=2，∴展开式中x 的系数为（﹣1）r54﹣r=1×6×25=150，19、设，则．【答案】【解析】，所以令，得到，所以三、求参数问题20、若的展开式中第四项为常数项，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据⼆项式展开公式有第四项为，第四项为常数，则必有，即，所以正确选项为B. 21、⼆项式的展开式中的系数为15，则（）(cos sin )(cos0sin 0)2ππ=-----=1x =80128(121)a a a a -?=++++K 01281a a a a ++++=K 0x =80128(120)000a a a a -?=+?+? ++?K 01a =12380a a a a ++++=8877108)1(x a x a x a a x ++++=-Λ178a a a +++=L 255178a a a +++=L 87654321a a a a a a a a +-+-+-+-1-=x =82876543210a a a a a a a a a +-+-+-+-2551256-20887654321=-==+-+-+-+-a a a a a a a a a nn =456725333342)21()(---==n nn nxC xx C T 025=-n 5=n )()1(*N n x n ∈+2x =nA 、5B 、 6C 、8D 、10 【答案】B【解析】⼆项式的展开式中的通项为，令，得，所以的系数为，解得；故选B ． 22、(a ＋x)4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________．【答案】2【解析】∵，∴当，即时，． 23、若的展开式中的系数为10，则实数（） A1 B ．或1 C ．2或 D ．【答案】B．【解析】由题意得的⼀次性与⼆次项系数之和为14，其⼆项展开通项公式，∴或，故选B ． 24、设，当时，等于（）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C ．【解析】令，则可得，故选C ．四、其他相关问题25、20152015除以8的余数为( ) 【答案】7【解析】试题分析：先将幂利⽤⼆项式表⽰，使其底数⽤8的倍数表⽰，利⽤⼆项式定理展开得到余数．试题解析：解：∵20152015=2015=？20162015﹣？20162014+20162013﹣20162012+…+2016﹣，故20152015除以8的余数为﹣=﹣1，即20152015除以8的余数为7，)()1(*N n x n ∈+k n kn k x C T -+?=12=-k n 2-=n k 2x 152)1(22=-==-n n C C n n n 6=n 4r+14T =C r r r a x-43r -=1r =133324T =C 48,2ax ax x a ==∴=()()411x ax ++2x a =53-53-4(1)ax +14r r rr T C a x +=22144101C a C a a +=?=53-23(1)(1)(1)(1)n x x x x ++++++++2012n n a a x a x a x =++++012254n a a a a ++++=n 1x =2 312(21)22222225418721n nn n n +-++++==-=?+=?=-。
高二数学二项式定理例题解析一试题
卜人入州八九几市潮王学校高二数学二项式定理例题解析一一.本周教学内容： 二项式定理 二.重点、难点 1.二项式定理2.〔a ＋b 〕n的展开式的性质3.二项式系数的性质 3.关于通项公式4.〔1＋α〕n的近似计算【典型例题】例1.设〔4x －1〕200＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 200x 200，求：〔1〕展开式中二项式系数之和；〔2〕展开式中各项系数之和；〔3〕|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 200|； 〔4〕展开式中所有偶数项系数之和；〔5〕展开式中所有奇数项系数之和． 解：〔1〕2002002002200120002002=+⋯+++C C C C ；〔2〕令x ＝1，a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 200＝〔4－1〕200＝3200；〔3〕令x ＝－1，｜a 0｜＋｜a 1｜＋｜a 2｜＋…＋｜a 200｜＝〔－4－1〕200＝5200．例2.〔1〕求〔1＋x 〕2·〔1－x 〕5展开式中x 3的系数．〔2〕求〔x －1〕－〔x －1〕2＋〔x －1〕3－〔x －1〕4＋〔x －1〕5的展开式中x 2的系数。
〔1〕分析一：变换→局部展开→确定系数．解法一：〔1＋x 〕2·〔1－x 〕5＝〔1－x 2〕2·〔1－x 〕3＝〔1－2x 2＋x 4〕·〔1－3x ＋3x 2－x 3〕∴x 3系数＝1×〔－1〕＋〔－2〕×〔－3〕＝5其中〔r ∈{0，1，2}，k ∈{0，1，2，3，4}，令k ＋r ＝3． 〔2〕解一：∵a 1＝〔x －1〕，q ＝－〔x －1〕，S 5＝〔x －1〕－〔x －1〕2＋〔x －1〕3－〔x －1〕4＋〔x －1〕5∴展开式中x 2的系数为－20解二：展开式中2x 的系数为： 例3.〔1〕求93)(x x 展开式中的有理项。
〔2〕求〔1＋2x 〕4〔1－x 〕5展开式中按升幂排列的前三项． 〔1〕分析：先明确求展开式中的哪几项，进而求出这些项． 解：展开式中的有理项，即为通项公式中x 的指数为整数的项． ∴r ＝3或者r ＝9〔2〕分析：展开式中按升幂排列的前三项应是常数项、一次项、二次项，一般都是将〔1＋2x 〕4和〔1－x 〕5分别按升幂展开，然后求它的乘积的前三项． 解：〔1＋2x 〕4＝1＋4×〔2x 〕＋6×〔2x 〕2＋…〔1－x 〕5＝1＋5×〔－x 〕＋10〔－x 〕2＋…〔1＋2x 〕4〔1－x 〕5＝〔1＋8x ＋24x 2＋…〕〔1－5x ＋10x 2－…〕＝1＋3x －6x 2＋…所以展开式中按升幂排列的前三项是1，3x ，－6x 2．〔3〕解：设第r ＋1项的系数绝对值t r ＋1最大，那么t r ＋1≥t r 且t r ＋1≥t r ＋2． 即…≤r ≤…，∵r ∈N ，∴r ＝4． 所求的项为T 5＝105000x 6y 4．令3－r －2k ＝0，并考虑到r ∈{0，1，2，3}，k ∈{0，1，…，3－r}，得r ＝1，k ＝1或者r ＝3，k ＝0，将它们代入〔i 〕式，求得常数项为例4.〔1〕求199911除以8的余数．〔2〕求6的近似值，使误差小于。
二项式定理经典习题与答案
二项式定理1. 求(X ? 一丄)9展开式的：2x(1 )第6项的二项式系数； (2) 第3项的系数; (3)X 9的系数。
分析：(1)由二项式定理及展开式的通项公式易得：第6项的二项式系数为 C9 = 126 ;(2)T 3 (x 2)7 •(一丄)2 =9x 12，故第 3 项的系数为 9;2x(3)1=C ； (x 2)9」(-丄)r =(-丄)「C ；伙1…,令 18-3r =9,故 r = 3,所2x2求系数是(-丄)3C3 - -212 22. 求证：5151 -1能被7整除。
分析:5151 _1 =(49 +2)51 _1=C 5I 4951 +C5/ 950・2半…+c 5；49 ”250 + C ；；251 — 1 ,除CH 251 -1以外各项都能被7整除。
又 c ；； 251 -1 = (23)17 一1 =(7 +1)17 -1 =昭717 +c ；7716卄+砖7 + 硝 一1 显然能被7整除，所以5151 -1能被7整除。
3. 求9192除以100的余数。
分析：9192 = (90 +1)92=C 929092 +C 929091 半一+c9290 +c 9；由此可见，除后两项外均能被 100整除，而C 9290 + C 9； =8281 =82汉100+81 故9192除以100的余数为81。
4. (2009北京卷文)若(V 2)^a b. 2(a, b 为有理数)，则a b -A . 33B . 29C . 23D . 19答案】Bw析】本题主要考查二项式定理及其展开式•属于基础知识 ' 基本运算的考查•41234•••( 1+Q +c4(V 2 丨 +c ：(T 2) +c ：W 2) +c ：(T 2)=1 4.212 8 .2 4=1712& ,由已知，得 17 1^. 2 = a b.2 ,••• a - b=17 '12 = 29 •故选 B.5. ( 2009 北京卷理)若(1 • '.2)5 =a • b'，2(a,b 为有理数)，贝U a b = ( )A . 45B . 55C . 70D . 80答案】C解析】本题主要考查二项式定理及其展开式•属于基础知识、基本运算的考查5 0 1 2 3 4 51 =C5 .2 C5 ,2 C5 .2 C5 .2 C5 ,2 C5 ,2=1 20 2^2 20 4、、2 =45 29.2 ,由已知，得41 29.2 = a ^.2 ,二a • b = 41 • 29 二70•故选 C.16.已知（仮-一）n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列2vx（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项分析：依条件可得关于n的方程求出n ,然后写出通项T r d ,讨论常数项和有理项对r 的限制。
(完整版)二项式定理(习题含答案)
二项式定理一、求展开式中特定项1、在30的展开式中，x 的幂指数是整数的共有（ ）A ．4项 B ．5项 C ．6项 D ．7项【答案】C【解析】()r r rrr r x C x x C T 6515303303011--+⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=，30......2,1,0=r ，若要是幂指数是整数，所以=r 0，6，12，18，24，30，所以共6项，故选C ． 3、若2531()x x +展开式中的常数项为 ．（用数字作答）【答案】10【解】由题意得，令1x =，可得展示式中各项的系数的和为32，所以232n =，解得5n =，所以2531()x x +展开式的通项为10515r r r T C x -+=，当2r =时，常数项为2510C =，4、二项式82x的展开式中的常数项为 ．【答案】112【解析】由二项式通项可得，3488838122rrr r rr r x C xx C --+-=-=)()()(T （r=0,1,,8）,显然当2=r 时，1123=T ，故二项式展开式中的常数项为112.5、41(23)x x--的展开式中常数项等于________．【答案】14．【解析】因为41(2)(13)x x--中4(13)x -的展开式通项为4C (3)r r x -，当第一项取2时，04C 1=，此时的展开式中常数为2；当第一项取1x-时，14C (3)12x -=-，此时的展开式中常数为12；所以原式的展开式中常数项等于14，故应填14．6、设20sin 12cos 2x a x dx π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰，则()622x ⎛-⋅+ ⎝的展开式中常数项是 ．【答案】332=-332()200sin 12cos sin cos (cos sin )202x a x dx x x dx x x πππ⎛⎫=-+=+=-+= ⎪⎝⎭⎰⎰，6(=6的展开式的通项为663166((1)2r r rr r r r r T C C x ---+==-⋅⋅，所以所求常数项为3633565566(1)22(1)2T C C --=-⋅⋅+-⋅332=-．二、求特定项系数或系数和7、8()x -的展开式中62x y 项的系数是（ ）A ．56B ．56-C ．28D ．28-【答案】A【解析】由通式r r r y x C )2(88--，令2=r ，则展开式中62x y 项的系数是56)2(228=-C ．8、在x （1+x ）6的展开式中，含x 3项的系数是 ．【答案】15【解】()61x +的通项16r rr T C x +=，令2r =可得2615C =．则()61x x +中3x 的系数为15.9、在6(1)(2)x x -⋅-的展开式中含3x 的项的系数是 ．【解析】6(1)(2)x x -⋅-的展开式中3x 项由336)(2x C -和226)(x -x C -⋅）（两部分组成，所以3x 的项的系数为552-2636-=-C C ．10、已知dx x n 16e 1⎰=，那么nxx （3-展开式中含2x 项的系数为 ．【答案】135【解析】根据题意，66e111ln |6e n dx x x=⎰==，则n x x ）（3-中，由二项式定理的通项公式1r n r rr n T C a b -+=，可设含2x 项的项是616(3)r r r r T C x -+=-，可知2r =，所以系数为269135C ⨯=．11、已知()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-L ，则8a 等于（ ）A ．－5B ．5C ．90D ．180【答案】D 因为1010(1)(21)x x +=-+-，所以8a 等于8210(2)454180.C -=⨯=选Ｄ．12、在二项式1)2nx -的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则=n ________；展开式中的第4项＝_______．【答案】8，1937x -．【解析】由二项式定理展开通项公式21()(2)33111()()22n r n r r r r r rr nn T C x x C x -++=-⋅=-，由题意得，当且仅当4n =时，rn C 取最大值，∴8n =，第4项为1193)333381()72C x x +-=-．13、如果7270127(12)x a a x a x a x -=++++ ，那么017a a a +++ 的值等于（ ）（A ）－1 （B ）－2 （C ）0 （D ）2【解析】令1x =，代入二项式7270127(12)x a a x a x a x -=++++ ，得70127(12)1a a a a -=++++=- ，令0x =，代入二项式7270127(12)x a a x a x a x -=++++ ，得70(10)1a -==，所以12711a a a ++++=- ，即1272a a a +++=- ，故选A ．14、（﹣2）7展开式中所有项的系数的和为【答案】-1 解：把x=1代入二项式，可得（﹣2）7 =﹣1，15、（x﹣2）（x﹣1）5的展开式中所有项的系数和等于 【答案】0解：在（x﹣2）（x﹣1）5的展开式中，令x=1，即（1﹣2）（1﹣1）5=0，所以展开式中所有项的系数和等于0.16、在*3)()n n N ∈的展开式中，所有项的系数和为32-，则1x 的系数等于．【答案】270-【解析】当1=x 时，()322--=n，解得5=n ，那么含x1的项就是()x x C 1270313225-=-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯，所以系数是-270.17、设0(sin cos )k x x dx π=-⎰，若8822108)1(x a x a x a a kx ++++=- ，则1238a a a a +++⋅⋅⋅+= ．【答案】0.【解析】由0(sin cos )(cos sin )k x x dx x x ππ=-=--⎰(cos sin )(cos 0sin 0)2ππ=-----=，令1x =得：80128(121)a a a a -⨯=++++ ，即01281a a a a ++++= 再令0x =得：80128(120)000a a a a -⨯=+⨯+⨯++⨯ ，即01a =所以12380a a a a +++⋅⋅⋅+=18、设（5x﹣）n 的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若M﹣N=240，则展开式中x 的系数为 .【答案】150解：由于（5x﹣）n 的展开式的各项系数和M 与变量x 无关，故令x=1，即可得到展开式的各项系数和M=（5﹣1）n =4n ．再由二项式系数和为N=2n ，且M﹣N=240，可得 4n ﹣2n =240，即 22n ﹣2n ﹣240=0.解得 2n =16，或 2n =﹣15（舍去），∴n=4.（5x﹣）n 的展开式的通项公式为 T r+1=？（5x ）4﹣r ？（﹣1）r ？=（﹣1）r？54﹣r ？．令4﹣=1，解得 r=2，∴展开式中x 的系数为 （﹣1）r？54﹣r =1×6×25=150，19、设8877108)1(x a x a x a a x ++++=- ，则178a a a +++= ．【答案】255【解析】178a a a +++= 87654321a a a a a a a a +-+-+-+-，所以令1-=x ，得到=82876543210a a a a a a a a a +-+-+-+-，所以2551256-20887654321=-==+-+-+-+-a a a a a a a a a 三、求参数问题20、若n的展开式中第四项为常数项，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】根据二项式展开公式有第四项为2533333342)21()(---==n nn nxC xx C T ，第四项为常数，则必有025=-n ，即5=n ，所以正确选项为B.21、二项式)()1(*N n x n ∈+的展开式中2x 的系数为15，则=n （ ）A 、5 B 、 6 C 、8 D 、10【答案】B【解析】二项式)()1(*N n x n ∈+的展开式中的通项为k n kn k x C T -+⋅=1，令2=-k n ，得2-=n k ，所以2x 的系数为152)1(22=-==-n n C C n n n ，解得6=n ；故选B ．22、(a ＋x)4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________．【答案】2【解析】∵4r+14T =C r r r a x -，∴当43r -=，即1r =时，133324T =C 48,2ax ax x a ==∴=．23、若()()411x ax ++的展开式中2x 的系数为10，则实数a =（ ）A1 B ．53-或1 C ．2或53- D． 【答案】B．【解析】由题意得4(1)ax +的一次性与二次项系数之和为14，其二项展开通项公式14r r rr T C a x +=，∴22144101C a C a a +=⇒=或53-，故选B ．24、设23(1)(1)(1)(1)n x x x x ++++++⋅⋅⋅++2012n n a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，当012254n a a a a +++⋅⋅⋅+=时，n 等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C． 【解析】令1x =，则可得2312(21)22222225418721n nn n n +-+++⋅⋅⋅+==-=⇒+=⇒=-，故选C ．四、其他相关问题25、20152015除以8的余数为( )【答案】7【解析】试题分析：先将幂利用二项式表示，使其底数用8的倍数表示，利用二项式定理展开得到余数．试题解析：解：∵20152015=2015=？20162015﹣？20162014+？20162013﹣20162012+…+？2016﹣，故20152015除以8的余数为﹣=﹣1，即20152015除以8的余数为7，。
二项式定理例题100道带解析
二项式定理例题100道带解析摘要：一、二项式定理的概念与基本性质1.二项式定理的定义2.二项式系数的性质3.二项式定理的应用场景二、二项式定理的求解方法1.直接展开法2.组合数计算法3.递推法4.矩阵法三、二项式定理的例题解析1.基础题型解析2.进阶题型解析3.难题解析四、二项式定理的拓展与应用1.多项式定理与二项式定理的关系2.二项式定理在其他领域的应用3.相关研究进展与发展正文：一、二项式定理的概念与基本性质1.二项式定理的定义二项式定理是数学中一个重要的定理，它揭示了二项式（a+b）的展开式中各项的系数和幂次的规律。
二项式定理的表述为：(a+b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ...+ C(n,n)b^n其中，C(n,k)表示组合数，即从n个元素中选取k个元素的不同组合的个数。
2.二项式系数的性质二项式系数具有以下性质：性质1：C(n,k) = C(n,n-k)性质2：C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)性质3：C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)3.二项式定理的应用场景二项式定理在数学分析、概率论、物理学等领域具有广泛的应用，例如求解二项式展开式的收敛性、求解概率论中的二项分布等问题。
二、二项式定理的求解方法1.直接展开法直接将二项式（a+b）^n展开，然后根据题目要求求解各项系数。
2.组合数计算法利用二项式系数的性质，通过计算组合数求解二项式定理的问题。
3.递推法利用二项式定理的性质，通过递推关系式求解问题。
4.矩阵法将二项式定理的问题转化为矩阵运算问题，然后利用矩阵的性质求解。
三、二项式定理的例题解析1.基础题型解析例如：(1+x)^5的展开式中，x的幂次为3的项的系数是多少？解析：利用二项式定理，可以直接求得系数为C(5,3) = 10。
2.进阶题型解析例如：求解不等式：(1+x)^6 > 1000解析：将不等式转化为二项式展开式的形式，然后根据二项式系数的性质，判断各项系数的符号，从而求解不等式。
二项式定理题型
二项式定理题型一、求二项展开式中的特定项1. 题目- 求二项式(2x - (1)/(x))^6展开式中的常数项。
2. 解析- 根据二项式定理(a + b)^n=∑_k = 0^nC_n^ka^n - kb^k，对于(2x-(1)/(x))^6，a = 2x，b=-(1)/(x)，n = 6。
- 展开式的通项公式为T_r+1=C_6^r(2x)^6 - r(-(1)/(x))^r。
- 化简T_r + 1=C_6^r(2x)^6 - r(-(1)/(x))^r=C_6^r2^6 - rx^6 - r(-1)^rx^-r=C_6^r2^6 - r(-1)^rx^6 - 2r。
- 要求常数项，则令x的指数6-2r = 0，解得r = 3。
- 把r = 3代入通项公式中，可得常数项为C_6^32^6 - 3(-1)^3。
- 计算C_6^3=(6!)/(3!(6 - 3)!)=(6×5×4)/(3×2×1)=20。
- 所以常数项为20×2^3×(-1)=-160。
二、求二项展开式的系数和1. 题目- 已知二项式(1 + 2x)^n，设(1 + 2x)^n=a_0+a_1x + a_2x^2+·s+a_nx^n，求a_0+a_1+a_2+·s+a_n的值。
2. 解析- 令x = 1，则(1+2×1)^n=(1 + 2)^n=3^n。
- 此时(1 + 2x)^n变为a_0+a_1×1+a_2×1^2+·s+a_n×1^n，即a_0+a_1+a_2+·s+a_n=3^n。
三、二项式系数的性质相关题目1. 题目- 在二项式(x + y)^n的展开式中，二项式系数最大的项是第5项和第6项，求n的值。
2. 解析- 当n为偶数时，二项式系数最大的是中间一项，即第(n)/(2)+1项；当n为奇数时，二项式系数最大的是中间两项，即第(n + 1)/(2)项和第(n+3)/(2)项。
《二项式定理》典型例题
《二项式定理》典型例题【考情分析】本节内容是二项式定理，是高考中的重点，主要涉及二项式定理及其系数的应用，考查内容主要包括：求二项展开式某项的系数、求二项展开式中特定项等，考题角度灵活、综合性较强.题型1求二项展开式某项的系数（数学运算）典例1 [分析计算能力](2020-全国卷I)(x+y 2x)(x+y)5的展开式中x3y3的系数为（）A.5 B.10 C.15 D.20解析本题主要考查二项式定理及其展开式的通项公式,分析题意通过赋值法找到所求项,并转化为求所求项的系数进行计算.(x+y)5展开式的通项公式为T r+1=C5r x5−r y r(r∈N且r⩽5),所以(x+y2x)的各项与(x+y)5展开式的通项的乘积可表示为:xT r+1=xC5r x5−r y r=C5r x6−r y r和y2x T r+1=y2xC5r x5−r y r=C5r x4−r y r+2,在xT r+1=C5r x6−r y r中,令r=3,可得xT4=C53x3y3,该项中x3y3的系数为10,在y2 x T r+1=C5r x4−r y r+2中,令r=1,可得y2xT2=C51x3y3,该项中x3y3的系数为5,所以x3y3的系数为10+5=15.答案C.题型2求二项展开式中特定项（数学抽象）典例2 [概括理解能力、分析计算能力](2020-全国卷III)(x2+2x )6的展开式中常数项是__________.(用数字作答)解析本题考查对二项式定理的概括理解,利用通项公式求解计算二项展开式中的指定项,解题关键是掌握二项式展开通项公式.∵(x2+2x )6的二项式展开通项:T r+1=C6r⋅(x2)6−r⋅(2x)r=C6r⋅x12−2r2r⋅x−r=2r C6r⋅x12−3r,当12−3r=0,解得r=4,∴(x2+2x )6的展开式中常数项是:C64⋅24=C62⋅16=15×16=240.答案240.题型3用计数原理求项（逻辑推理）典例3 [推测解释能力]在(x2+2x+√y)6的展开式中,x3y2的系数为________________.(用数字作答)解析本题考查二项展开式的通项公式,通过多项相加,运用逻辑推理,对具体问题情境进行推测和解释,求出要求的项的系数.(x2+2x+√y)6=[(x2+2x)+y 12]6,它展开式中的第r+1项为T r+1=C6r(x2+2x)6−r y r2,令r2=2,则r=4,T5=C64(x2+2x)2y2=C64(x4+4x3+4x2)y2,x3y2的系数为C64×4=60.答案60.。
二项式定理经典习题及答案
二项式定理1.求()xx2912展开式的：（1）第6项的二项式系数；（2）第3项的系数；（3）x 9的系数。
分析：（1）由二项式定理及展开式的通项公式易得：第6项的二项式系数为C95126；（2）T Cx x x 39227212129()()，故第3项的系数为9；（3）T C x xCxrr rrrrr192991831212()()()，令1839r ，故r ＝3，所求系数是()12212393C2.求证：51151能被7整除。
分析：5114921494924922151515105151150515150515151()C C C C ，除C 51515121以外各项都能被7整除。
又C C C C C5151513171717017171161716171721217117771()()显然能被7整除，所以51151能被7整除。
3.求9192除以100的余数。
分析：919019090909292920929219192919292()C C C C由此可见，除后两项外均能被100整除，而C C929192929082818210081故9192除以100的余数为81。
4.（2009北京卷文）若4(12)2(,a b a b 为有理数），则a bA ．33B ． 29C ．23D ．19【答案】 B【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查.∵4123401234444441222222CCCCC1421282417122，由已知，得171222a b ，∴171229a b.故选B.5.（2009北京卷理）若5(12)2(,a b a b 为有理数），则a b（）A ．45B ．55C ．70D ．80【答案】C【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查.∵51234501234555555512222222CCCCCC15220202204241292，由已知，得412922a b ，∴412970a b.故选 C.6.已知()xxn124的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列。
高考数学《二项式定理》真题含答案
高考数学《二项式定理》真题含答案一、选择题1．(x ＋1)6的展开式中的第二项为( )A ．6xB ．15x 2C ．6x 5D ．15x 4答案：C2.⎝⎛⎭⎫x 2－2x 3 5 的展开式中的常数项为( ) A ．80 B ．－80C ．40D ．－40答案：C解析：由二项展开式通项知T k ＋1＝(－2)k C k 5 ·(x 2)5－k ⎝⎛⎭⎫1x 3 k＝(－2)k C k 5 x 10－5k ，令10－5k ＝0，得k ＝2.∴常数项为T 3＝(－2)2C 25 ＝40.3．(多选)已知(a ＋2b )n 的展开式中第6项的二项式系数最大，则n 的值可能为( )A ．8B ．9C ．10D ．11答案：BCD4．若(x ＋2)⎝⎛⎭⎫a x －x 5 展开式中的常数项为80，则a ＝( )A ．－2B ．2C ．±2D ．4答案：B解析：⎝⎛⎭⎫a x －x 5 的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 5 ·(－1)k ·a 5－k ·x 2k －5，显然，2k －5为奇数，故(x ＋2)⎝⎛⎭⎫a x －x 5 展开式中的常数项为C 25 ·a 3＝80，所以a ＝2. 5．若(x －2y )6的展开式中的二项式系数和为S ，x 2y 4的系数为P ，则P S为( ) A ．152 B ．154C ．120D ．240答案：B解析：由题意得S ＝26＝64，P ＝C 46 (－2)4＝15×16＝240，∴P S ＝24064 ＝154. 6．在二项式⎝⎛⎭⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则展开式中常数项的值为( )A ．6B ．9C ．12D ．18答案：B解析：在⎝⎛⎭⎫x ＋3x n的展开式中令x ＝1，得A ＝4n ，各项二项式系数之和为B ＝2n ，由 4n ＋2n ＝72，得n ＝3，∴⎝⎛⎭⎫x ＋3x n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋3x 3 ，其通项为T k ＋1＝C k 3 (x )3－k ⎝⎛⎭⎫3x k ＝3k C k 3 x 3－3k 2，令3－3k 2＝0，得k ＝1，故展开式的常数项为T 2＝3C 13 ＝9. 7.⎝⎛⎭⎫x ＋y 2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．5 B ．10C ．15D ．20答案：C解析：要求⎝⎛⎭⎫x ＋y 2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数，只要分别求出(x ＋y )5的展开式中x 2y 3和x 4y 的系数再相加即可，由二项式定理可得(x ＋y )5的展开式中x 2y 3的系数为C 35 ＝10，x 4y 的系数为C 15 ＝5，故⎝⎛⎭⎫x ＋y 2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数为10＋5＝15.故选C. 8．设S ＝(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4(x －1)＋1，则S ＝( )A ．(x －2)4B ．(x －1)4C ．x 4D ．(x ＋1)4答案：C解析：S ＝C 04 (x －1)4＋C 14 (x －1)3＋C 24 (x －1)2＋C 34 (x －1)1＋C 44 (x －1)0＝(x －1＋1)4＝x 4.9．(多选)已知(2＋x )(1－2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6，则( )A ．a 0的值为2B ．a 5的值为16C ．a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6的值为－5D ．a 1＋a 3＋a 5的值为120答案：ABC解析：对于A ，令x ＝0，得a 0＝2×1＝2，故A 正确；对于B ，(1－2x )5的展开式的通项T k ＋1＝C k 5 (－2x )k ＝(－2)k C k 5 x k ，所以a 5＝2×(－2)5C 55 ＋1×(－2)4C 45 ＝－64＋80＝16，故B 正确；对于C ，令x ＝1，得(2＋1)(1－2×1)5＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6 ①，即a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝－3－a 0＝－3－2＝－5，故C 正确；对于D ，令x ＝－1，得(2－1)[1－2×(－1)]5＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6 ②，由①②解得a 1＋a 3＋a 5＝－123，故D 不正确．综上所述，选ABC.二、填空题10．[2024·全国甲卷(理)](13＋x )10的展开式中，各项系数中的最大值为______． 答案：5解析：方法一 二项式(13 ＋x )10的展开式的通项为T k ＋1＝C k 10 (13)10－k x k . 由⎩⎨⎧Ck 10 （13）10－k >C k －110 （13）11－k ，C k 10 （13）10－k >C k ＋110 （13）9－k ，解得294 <k <334. 又k ∈N *，所以k ＝8.所以所求系数的最大值为C 810 (13 )2＝5.方法二 展开式中系数最大的项一定在下面的5项中：C 510 (13 )5x 5，C 610 (13)4x 6，C 710 (13 )3x 7，C 810 (13 )2x 8，C 910 (13 )1x 9，计算可得，所求系数的最大值为C 810 (13)2＝5. 11．在二项式(2 ＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是______________.答案：162 5解析：该二项展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 9 (2 )9－k x k ，当k ＝0时，第1项为常数项，所以常数项为(2 )9＝162 ；当k ＝1，3，5，7，9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.12．在(x －1x)7的展开式中，系数最大的是第________项． 答案：5解析：二项式⎝⎛⎭⎫x －1x 7的展开式的通项为T k ＋1＝C k 7 ·x 7－k ·(－1)k x －k ＝(－1)k C k 7 x 7－2k ，故第k ＋1项的系数为(－1)k C k 7 ，当k ＝0，2，4，6时，系数为正，因为C 07 <C 67 <C 27 <C 47 ，所以当k ＝4时，系数最大，是第5项．。
二项式定理例题讲解
二项式定理例题讲解例1．试求：（1）(x 3－22x)5的展开式中x 5的系数； （2）(2x 2－x 1)6的展开式中的常数项； （3）(x －1)9的展开式中系数最大的项；（4）在1003)23(+x 的展开式中，系数为有理数的项的个数．解：（1）T r ＋1＝r r r r r r x C xx C 51552535)2()2()(---=- 依题意15－5r ＝5，解得r ＝2故(－2)2r C 5＝40为所求x 5的系数（2）T r ＋1＝r C 6(2x 2)6－ r r x)1(-＝(－1)r ·26－ r ·r r x C 3126- 依题意12－3r ＝0，解得r ＝4故4)1(-·2226C ＝60为所求的常数项．（3）T r ＋1＝r )1(-r r x C -99∵1265949==C C ，而(－1)4＝1，(－1)5＝-1 ∴ T 5＝126x 5是所求系数最大的项（4）T r ＋1＝r rrrr r rx C x C ---⋅⋅=1003250100310010023)2()3(, 要使x 的系数为有理数，指数50－2r 与3r 都必须是整数， 因此r 应是6的倍数，即r ＝6k （k ∈Z ），又0≤6k ≤100，解得0≤k ≤1632（k ∈Z ） ∴x 的系数为有理数的项共有17项．评述 求二项展开式中具有某特定性质的项，关键是确定r 的值或取值范围．应当注意的是二项式系数与二项展开式中各项的系数不是同一概念，要加以区分．例2．试求：（1）(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数；（2）(x －1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5的展开式中x 2的系数；（3）321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x 的展开式中的常数项. 解：（1）∵ (x ＋2)10＝x 10＋20x 9＋180x 8＋…∴ (x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数是－1＋180＝179（2）∵ (x －1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5 ＝xx x x x x 65)1()1()]1([1})]1([1){1(-+-=------- ∴所求展开式中x 2的系数就是(x －1)6的展开式中x 3的系数36C -＝-20（3）∵ 321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x =61⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ∴ 所求展开式中的常数项是-36C ＝－20评述 这是一组将一个二项式扩展为若干个二项式相乘或相加，或扩展为简单的三项展开式，求解的关键在于转化为二项展开式的问题，转化时要注意分析题目中式子的结构特征．例3．（1）已知(1＋x )n 的展开式中，x 3的系数是x 的系数的7倍，求n 的值；（2）已知(ax ＋1)7（a ≠0）的展开式中，x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项，求a 的值；(3)已知(2x ＋gx x 1)8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求x 的值．解：（1）依题意137n n C C =，即6)2)(1(--n n n ＝7n 由于n ∈N ，整理得n 2－3n －40＝0，解得n ＝8(2) 依题意3474372572a C a C a C =+由于a ≠0，整理得5a 2－10a ＋3＝0，解得a ＝1±510 （3）依题意T 5＝4lg 448)()2(x xx C ＝1120， 整理得x 4(1＋lg x )＝1，两边取对数，得lg 2x ＋lg x ＝0，解得lg x ＝0或lg x ＝－1∴x ＝1或x ＝101 评述 (a ＋b)n 的展开式及其通项公式是a ，b ，n ，r ，T r ＋1五个量的统一体，已知与未知相对的，运用函数与方程的思想方法，应会求其中居于不同位置，具有不同意义的未知数．例4．（1）若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值等于 ；（2）1＋210101021011024C C C +⋯++＝ ． 解（1）令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(32+)4，令x ＝-1，得a 0-a 1＋a 2-a 3＋a 4＝4)23(-，由此可得(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4)( a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4)＝[)23)(23(-+]4＝1（2）在(1＋x )10＝r r r x C 10100∑=中，令x ＝2，得1＋25904932410101010210110==+⋯++C C C评述 这是一组求二项式系数组成的式子的值的问题，其理论依据是(a ＋b)n ＝r r n r n n r b a C -=∑10为恒等式．。
二项式定理典型例题(含解答)
二项式定理典型例题典型例题一例1 在二项式nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+421的展开式中前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项． 分析：典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决．解：二项式的展开式的通项公式为：4324121C 21)(C rn r r n rr n r n r x x x T --+=⎪⎭⎫ ⎝⎛= 前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8141C ,2121C ,123121-=====n n t n t t nn ， 由已知：)1(8112312-+=+=n n n tt t ，∴8=n 通项公式为1431681,82,1,021C +-+==r rr rr T r x T 为有理项，故r 316-是4的倍数，∴.8,4,0=r 依次得到有理项为228889448541256121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-． 说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类似地，1003)32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有典型例题四例4（1）求103)1()1(x x +-展开式中5x 的系数；（2）求6)21(++xx 展开式中的常数项． 分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式．解：（1）103)1()1(x x +-展开式中的5x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项： 用3)1(x -展开式中的常数项乘以10)1(x +展开式中的5x 项，可以得到5510C x ；用3)1(x -展开式中的一次项乘以10)1(x +展开式中的4x 项可得到54104410C 3)C )(3(x x x -=-；用3)1(x -中的2x 乘以10)1(x +展开式中的3x 可得到531033102C 3C 3x x x =⋅；用 3)1(x -中的3x 项乘以10)1(x +展开式中的2x 项可得到521022103C C 3x x x -=⋅-，合并同类项得5x 项为：5521031041051063)C C 3C C (x x -=-+-．（2）2121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x x 1251)21(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x x ．由121⎪⎪⎭⎫⎝⎛+x x 展开式的通项公式r rrrrr x x T--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=61212121C 1)2(C ，可得展开式的常数项为924C 612=．说明：问题（2）中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决．这时我们还可以通过合并项转化为二项式展开的问题来解决．典型例题五例5 求62)1(x x -+展开式中5x 的系数．分析：62)1(x x -+不是二项式，我们通过22)1(1x x x x -+=-+或)(12x x -+展开． 解：方法一：[]6262)1()1(x x x x -+=-+ -+++-+=44256)1(15)1(6)1(x x x x x其中含5x 的项为55145355566C 15C 6C x x x x =+-．含5x 项的系数为6．方法二：[]6262)(1)1(x x x x -+=-+62524232222)()(6)(15)(20)(15)(61x x x x x x x x x x x x -+-+-+-+-+-+=其中含5x 的项为555566)4(15)3(20x x x x =+-+-．∴5x 项的系数为6．方法3：本题还可通过把62)1(x x -+看成6个21x x -+相乘，每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项，5x 项可由下列几种可能得到．5个因式中取x ，一个取1得到556C x ．3个因式中取x ，一个取2x -，两个取1得到)(C C 231336x x -⋅⋅． 1个因式中取x ，两个取2x -，三个取1得到222516)(C C x x -⋅⋅． 合并同类项为5525161336566)C C C C (C x x =+-，5x 项的系数为6．典型例题六例6 求证：（1）1212C C 2C -⋅=+++n n n n n n n ；（2）)12(11C 11C 31C 21C 1210-+=++++++n n nn n n n n ． 分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值．解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质nn n n n n 2C C C C 210=++++ ．解：（1）11C )!()!1()!1()!()!1(!)!(!!C --=+--⋅=--=-⋅=k n kn n k n k n n k n k n k n k n k k ∴左边111101C C C ----+++=n n n n n n n =⋅=+++=-----11111012)C C C (n n n n n n n 右边．（2）)!()!1(!)!(!!11C 11k n k n k n k n k k k n --=-⋅+=+11C 11)!()!1()!1(11+++=-++⋅+=k n n k n k n n ． ∴左边112111C 11C 11C 11++++++++++=n n n n n n n =-+=++++=+++++)12(11)C C (C 111112111n n n n n n n 右边． 说明：本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质求解．此外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式，但这需要逆用二项式定理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面的例子：求10C 2C 2C 2C 22108107910810109+++++ 的结果．仔细观察可以发现该组合数的式与10)21(+的展开式接近，但要注意：10101099102210110010102C 2C 2C 2C C )21(⋅+⋅++⋅+⋅+=+ 10101091092102C 2C 2C 21021++++⨯+= )C 2C 2C 210(21101099108210+++++=从而可以得到：)13(21C 2C 2C 21010101099108210-=++++ ． 典型例题七例7 利用二项式定理证明：98322--+n n 是64的倍数．分析：64是8的平方，问题相当于证明98322--+n n 是28的倍数，为了使问题向二项式定理贴近，变形1122)18(93++++==n n n ，将其展开后各项含有k 8，与28的倍数联系起来．解：∵98322--+n n 98)18(98911--+=--=++n n n n9818C 8C 8C 81211111--+⋅+⋅++⋅+=+-+++n nn n n n n n981)1(88C 8C 8211111--+++⋅++⋅+=-+++n n n n n n n 2111118C 8C 8⋅++⋅+=-+++n n n n n 64)C 8C 8(112111⋅++⋅+=-+-++n n n n n 是64的倍数．说明：利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题，而且可以用此方程求一些复杂的指数式除以一个数的余数．典型例题八例8 展开52232⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ．分析1：用二项式定理展开式．解法1：52232⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 2232524150250523)2(23)2(23)2(⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x C x x C x x C52554245322352323)2(23)2(⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x C x x C x x C10742532243840513518012032xx x x x x -+-+-= 分析2：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．解法2：10535232)34(232x x x x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-233254315530510)3()4()3()4()4([321-+-+=x C x C x C x ])3()3()4()3()4(5554134532335-+-+-+C x C x C)243716204320576038401024(321369121510-+-+-=x x x x x x10742532243840513518012032x x x x x x -+-+-=． 说明：记准、记熟二项式nb a )(+的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条件．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．典型例题九例9 若将10)(z y x ++展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（ ）． A ．11 B ．33 C ．55 D ．66 分析：10)(z y x ++看作二项式10])[(z y x ++展开．解：我们把z y x ++看成z y x ++)(，按二项式展开，共有11“项”，即∑=-⋅+=++=++10010101010)(])[()(k k k kz y x C z y x z y x ．这时，由于“和”中各项z 的指数各不相同，因此再将各个二项式ky x -+10)(展开，不同的乘积k kk z y x C ⋅+-1010)(（10,,1,0 =k ）展开后，都不会出现同类项． 下面，再分别考虑每一个乘积k kk z y x C ⋅+-1010)(（10,,1,0 =k ）．其中每一个乘积展开后的项数由ky x -+10)(决定，而且各项中x 和y 的指数都不相同，也不会出现同类项．故原式展开后的总项数为66191011=++++ ，∴应选D ．典型例题十例10 若nx x ⎪⎭⎫⎝⎛-+21的展开式的常数项为20-，求n ．分析：题中0≠x ，当0>x 时，把nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+21转化为nn x x x x 2121⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+；当0<x 时，同理nn n x x x x 21)1(21⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+．然后写出通项，令含x 的幂指数为零，解出n ． 解：当0>x 时nn x x x x 2121⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+，其通项为rn r n r r rn r n r x C xx C T 222221)()1()1()(--+-=-=，令022=-r n ，得r n =， ∴展开式的常数项为n nnC2)1(-；当0<x 时，nn n x x x x 21)1(21⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+， 同理可得，展开式的常数项为n n n C 2)1(-．无论哪一种情况，常数项均为nn n C 2)1(-． 令20)1(2-=-nn n C ，以 ,3,2,1=n ，逐个代入，得3=n ．典型例题十一例11 1031⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式的第3项小于第4项，则x 的取值范围是______________．分析：首先运用通项公式写出展开式的第3项和第4项，再根据题设列出不等式即可． 解： 1031⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 有意义必须0>x ；依题意有43T T <即3373102382101)(1)(⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛x x C x x C ．∴31123891012910xx ⨯⨯⨯⨯⨯<⨯⨯（∵0>x ）．解得5648980<<x ．∴x 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<5648980x x ．∴应填：5648980<<x ．典型例题十二例12 已知n xx)1(2log +的展开式中有连续三项的系数之比为321∶∶，这三项是第几项？若展开式的倒数第二项为112，求x 的值．解：设连续三项是第k 、1+k 、2+k 项（+∈N k 且1>k ），则有32111∶∶∶∶=+-k n k n k n C C C ， 即321!)1)(1(!!)(!!!)1)(1(!∶∶∶∶=--+-+--k n k n k n k n k n k n ．∴321)1(1)(1)1)((1∶∶∶∶=+-+--k k k n k k n k n ．∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=+-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=+---32)()1(21132)()1(21)1)(()(k n k k n k k n k k k k n k n k n k 14=⇒n ，5=k 所求连续三项为第5、6、7三项．又由已知，1122log 1314=xx C ．即82log =x x ．两边取以2为底的对数，3)(log 22=x ，3log 2±=x ，∴32=x ，或32-=x ．说明：当题目中已知二项展开式的某些项或某几项之间的关系时，常利用二项式通项，根据已知条件列出某些等式或不等式进行求解．典型例题十三例13 nx )21(+的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．分析：根据已知条件可求出n ，再根据n 的奇偶性；确定二项式系数最大的项．解：556)2(x C T n =，667)2(x C T n =，依题意有8226655=⇒=n C C n n ． ∴8)21(x +的展开式中，二项式系数最大的项为444851120)2(x x C T ==．设第1+r 项系数最大，则有65222211881188≤≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅++--r C C C C r r r r r r r r ． ∴5=r 或6=r （∵{}8,,2,1,0 ∈r ）．∴系娄最大的项为：561792x T =，671792x T =．说明：(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n 为奇数时中间两项的二项式系数最大，n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，解不等式的方法求得．典型例题十四例14 设nm x x x f )1()1()(+++=(+∈N n m ,)，若其展开式中关于x 的一次项的系数和为11，问n m ,为何值时，含2x 项的系数取最小值？并求这个最小值．分析：根据条件得到2x 的系数关于n 的二次表达式，然后用二次函数性质探讨最小值．解：1111=+=+m n C C n m ．211)(21222222-+=-+-=+n m n n m m C C n m 499)211(55112211022+-=+-=-=n n n mn ．∵+∈N n ， ∴5=n 或6，6=m 或5时，2x 项系数最小，最小值为25．说明：二次函数499)211(2+-=x y 的对称轴方程为211=x ，即5.5=x ，由于5、6距5.5等距离，且对+∈N n ，5、6距5.5最近，所以499)211(2+-n 的最小值在5=n 或6=n 处取得．典型例题十五例15 若0166777)13(a x a x a x a x ++++=- ，求(1) 721a a a +++ ；(2) 7531a a a a +++；(3) 6420a a a a +++．解：(1)令0=x ，则10-=a ，令1=x ，则128270167==++++a a a a ． ①∴129721=+++a a a ．(2)令1-=x ，则701234567)4(-=+-+-+-+-a a a a a a a a ②由2②①-得：8256]4128[2177531=--=+++）（a a a a (3)由2②①+得：6420a a a a +++][210123456701234567）（）（a a a a a a a a a a a a a a a a +-+-+-+-++++++++=8128])4(128[217-=-+=． 说明：（1）根据问题恒等式特点来用“特殊值”法．这是一种重要方法，它适用于恒等式．(2)一般地，对于多项式nn n x a x a x a a q px x g ++++=+= 2210)()(，)(x g 的各项的系数和为)1(g ：)(x g 的奇数项的系数和为)]1()1([21-+g g ．)(x g 的偶数项的系数和为)]1()1([21--g g ． 典型例题十六例16 填空：(1) 3230-除以7的余数_____________；(2) 155555+除以8的余数是___. 分析(1)：将302分解成含7的因数，然后用二项式定理展开，不含7的项就是余数．解：3230-3)2(103-=3)8(10-=3)17(10-+=37771010910911010010-++++=C C C C2]77[791081109010-+++⨯=C C C又∵余数不能为负数，需转化为正数。
二项式定理大典型问题及例题
二项式定理大典型问题及例题1. 问题介绍二项式定理是高中数学中的重要概念，它描述了如何展开二项式的幂。
在学习和应用二项式定理时，会遇到一些典型问题，本文将详细介绍这些问题，并给出相应的例题，以便读者更好地理解和掌握二项式定理的应用。
2. 公式回顾在探讨二项式定理的问题之前，我们先回顾一下二项式定理的公式：$$(a + b)^n = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 +C_n^2 a^{n-2} b^2 + \\ldots + C_n^n a^0 b^n$$其中Ck表示从n个不同元素中选择k个元素的组合数。
n在这个公式中，指数n表示二项式的幂，而a和b是二项式定理的底数。
3. 典型问题现在，我们来看一些典型的二项式定理问题。
3.1 求展开式的某一项系数问题：已知展开式(2x+3y)6，求展开式中x2y4的系数。
解析：要求展开式中x2y4的系数，需要找到对应的组合数。
根据二项式定理，x2y4的系数等于 $C_6^2 \\times 2^2\\times 3^4$。
计算得到该系数为 5400。
3.2 求展开式的某一项的值问题：已知展开式 $(1 + \\frac{1}{x})^8$，求展开式中的第四项的值。
解析：展开式中的第四项为 $C_8^3 \\times 1^5 \\times (\\frac{1}{x})^3$。
化简后得到 $C_8^3 \\times\\frac{1}{x^3}$。
根据组合数公式，$C_8^3 =\\frac{8!}{3!5!}$。
计算该值得到 56。
所以，展开式中的第四项的值为 $\\frac{56}{x^3}$。
3.3 求展开式的和问题：求展开式(−2x+5)4的和。
解析：根据二项式定理展开式的形式，展开式的和等于各项的系数之和。
展开式中各项的系数可以通过计算对应的组合数得到。
展开式(−2x+5)4的和等于 $C_4^0 \\times (-2)^4 \\times 5^0 + C_4^1 \\times (-2)^3 \\times 5^1 + C_4^2 \\times (-2)^2 \\times 5^2 + C_4^3 \\times (-2)^1\\times 5^3 + C_4^4 \\times (-2)^0 \\times 5^4$。
（完整版）二项式定理典型例题
（完整版）二项式定理典型例题1. 在二项式nx x ??? ?+421的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决．解：二项式的展开式的通项公式为：4324121C 21)(C rn r r n r r n r n r x x x T --+=??=前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8141C ,2121C ,123121-=====n n t n t t n n ，由已知：)1(8112312-+=+=n n n t t t ，∴8=n通项公式为1431681,82,1,021C +-+==r rr r r T r x T Λ为有理项，故r 316-是4的倍数，∴.8,4,0=r依次得到有理项为228889448541256121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-．说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类似地，1003)32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有系数和为n 3．2.（1）求103)1()1(x x +-展开式中5x 的系数；（2）求6)21(++xx 展开式中的常数项．分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式．解：（1）103)1()1(x x +-展开式中的5x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：用3)1(x -展开式中的常数项乘以10)1(x +展开式中的5x 项，可以得到5510C x ；用3)1(x -展开式中的一次项乘以10)1(x +展开式中的4x 项可得到54104410C 3)C )(3(x x x -=-；用3)1(x -中的2x 乘以10)1(x +展开式中的3x 可得到531033102C 3C 3x x x =?；用 3)1(x -中的3x 项乘以10)1(x +展开式中的2x 项可得到521022103C C 3x x x -=?-，合并同类项得5x 项为： 5521031041051063)C C 3C C (x x -=-+-．（2）2121???? ??+=++x x x x 1251)21(???? ?+=++x x x x ．由121?+x x 展开式的通项公式rr rr r r x x T --+=??? ??=61212121C 1)2(C ，可得展开式的常数项为924C 612=．说明：问题（2）中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决．这时我们还可以通过合并项转化为二项式展开的问题来解决．3. 求62)1(x x -+展开式中5x 的系数．分析：62)1(x x -+不是二项式，我们可以通过22)1(1x x x x -+=-+或)(12x x -+把它看成二项式展开．解：方法一：[]6262)1()1(x x x x -+=-+Λ-+++-+=44256)1(15)1(6)1(x x x x x其中含5x 的项为55145355566C 15C 6C x x x x =+-．含5x 项的系数为6．方法二：[]6262)(1)1(x x x x -+=-+62524232222)()(6)(15)(20)(15)(61x x x x x x x x x x x x -+-+-+-+-+-+=其中含5x 的项为555566)4(15)3(20x x x x =+-+-．∴5x 项的系数为6．方法3：本题还可通过把62)1(x x -+看成6个21x x -+相乘，每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项，5x 项可由下列几种可能得到．5个因式中取x ，一个取1得到556C x ．3个因式中取x ，一个取2x -，两个取1得到)(C C 231336x x -??． 1个因式中取x ，两个取2x -，三个取1得到2 22516)(C C x x -??．合并同类项为5525161336566)C C C C (C x x =+-，5x 项的系数为6． 4.求证：（1）1212C C 2C -?=+++n n n n n n n Λ；（2）)12(11C 11C 31C 21C 1210-+=++++++n n n n n n n n Λ．分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值．解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质nn n n n n 2C C C C 210=++++Λ．解：（1）11C )!()!1()!1()!()!1(!)!(!!C --=+--?=--=-?=k n kn n k n k n n k n k n k n k n k k Θ∴左边111101C C C ----+++=n n n n n n n Λ=?=+++=-----11111012)C C C (n n n n n n n Λ右边．（2）)!()!1(!)!(!!11C 11k n k n k n k n k k k n--=-?+=+ 11C 11)!()!1()!1(11+++=-++?+=k n n k n k n n ．∴左边112111C 11C 11C 11++++++++++=n n n n n n n Λ =-+=++++=+++++)12(11)C C (C 111112111n n n n n n n Λ右边．说明：本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质求解．此外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式，但这需要逆用二项式定理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面的例子：求10C 2C 2C 2C 22108107910810109+++++Λ的结果．仔细观察可以发现该组合数的式与10)21(+的展开式接近，但要注意：10101099102210110010102C 2C 2C 2C C )21(?+?++?+?+=+Λ 10101091092102C 2C 2C 21021++++?+=Λ )C 2C 2C 210(2110 1099108210+++++=Λ从而可以得到：)13(21C 2C 2C 21010101099108210-=++++Λ． 5.利用二项式定理证明：98322--+n n 是64的倍数．分析：64是8的平方，问题相当于证明98322--+n n 是28的倍数，为了使问题向二项式定理贴近，变形1122)18(93++++==n n n ，将其展开后各项含有k 8，与28的倍数联系起来．解：∵98322--+n n98)18(98911--+=--=++n n n n9818C 8C 8C 81211111--+?+?++?+=+-+++n nn n n n n n Λ 981)1(88C 8C 8211111--+++?++?+=-+++n n n n n n n Λ 2111118C 8C 8?++?+=-+++n n n n n Λ64)C 8C 8(112111?++?+=-+-++n n n n n Λ是64的倍数．说明：利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题，而且可以用此方程求一些复杂的指数式除以一个数的余数．8.若将10)(z y x ++展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（）．A ．11B ．33C ．55D ．66 分析：10)(z y x ++看作二项式10])[(z y x ++展开．解：我们把z y x ++看成z y x ++)(，按二项式展开，共有11“项”，即∑=-?+=++=++10010101010)(])[()(k k k kz y x C z y x z y x ．这时，由于“和”中各项z 的指数各不相同，因此再将各个二项式ky x -+10)(展开，不同的乘积k kk z y x C ?+-1010)(（10,,1,0Λ=k ）展开后，都不会出现同类项．下面，再分别考虑每一个乘积k kk z y x C ?+-1010)(（10,,1,0Λ=k ）．其中每一个乘积展开后的项数由ky x -+10)(决定，而且各项中x 和y 的指数都不相同，也不会出现同类项．故原式展开后的总项数为66191011=++++Λ，∴应选D ．9.若nx x ??-+21的展开式的常数项为20-，求n ．分析：题中0≠x ，当0>x 时，把三项式nx x ?-+21转化为nnx x x x 2121??? ??-=??? ??-+；当0<="">n nx x x x 21)1(21??? ?----= ??-+．然后写出通项，令含x 的幂指数为零，进而解出n ．解：当0>x 时nnx x x x 2121??? ?-=??? ??-+，其通项为rn r n r r rn r n r x C xx C T 222221)()1()1()(--+-=-=，令022=-r n ，得r n =，∴展开式的常数项为nn n C 2)1(-；当0<="">n n x x x x 21)1(21??? ?----=??? ??-+，同理可得，展开式的常数项为nn n C 2)1(-．无论哪一种情况，常数项均为nn n C 2)1(-．令20)1(2-=-nn n C ，以Λ,3,2,1=n ，逐个代入，得3=n ．10.1031??+x x 的展开式的第3项小于第4项，则x 的取值范围是______________．分析：首先运用通项公式写出展开式的第3项和第4项，再根据题设列出不等式即可．解：使1031??? ?+x x 有意义，必须0>x ；依题意，有43T T <，即3373102382101)(1)(??31123891012910xx x ）．解得5648980<<="">∴x 的取值范围是?<<5648980x x ．∴应填：5648980<<="" ．="">x)1(2log +的展开式中有连续三项的系数之比为321∶∶，这三项是第几项？若展开式的倒数第二项为112，求x 的值．解：设连续三项是第k 、1+k 、2+k 项（+∈N k 且1>k ），则有32111∶∶∶∶=+-k n k n k n C C C ，即321!)1)(1(!!)()1)(1(!∶∶∶∶=--+-+--k n k n k n k n k n k n ．∴321)1(1)(1)1)((1∶∶∶∶=+-+--k k k n k k n k n ．∴=-+=+-=-+=+---32)()1(21132)()1(21)1)(()(k n k k n k k n k k k k n k n k n k 14=?n ，5=k 所求连续三项为第5、6、7三项．又由已知，1122log 1314=xxC ．即82log =x x ．两边取以2为底的对数，3)(log 22=x ，3log 2±=x ，∴32=x ，或32-=x ．说明：当题目中已知二项展开式的某些项或某几项之间的关系时，常利用二项式通项，根据已知条件列出某些等式或不等式进行求解．12.nx )21(+的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．分析：根据已知条件可求出n ，再根据n 的奇偶性；确定二项式系数最大的项．解：556)2(x C T n =，667)2(x C T n =，依题意有 8226655=?=n C C n n ．∴8)21(x +的展开式中，二项式系数最大的项为444851120)2(x x C T ==．设第1+r 项系数最大，则有65222211881188≤≤≥??≥?++--r C C C C r r r r r r r r ．∴5=r 或6=r （∵{}8,,2,1,0Λ∈r ）．∴系娄最大的项为：561792x T =，671792x T =．说明：(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n 为奇数时中间两项的二项式系数最大，n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，解不等式的方法求得．13. 设nm x x x f )1()1()(+++=(+∈N n m ,)，若其展开式中关于x 的一次项的系数和为11，问n m ,为何值时，含2x 项的系数取最小值？并求这个最小值．分析：根据已知条件得到2x 的系数关于n 的二次表达式，然后利用二次函数性质探讨最小值问题．解：1111=+=+m n C C n m ．211)(21222-+=-+-=+n m n n m m C C nm499)211(55112211022+-=+-=-=n n n mn ．∵+∈N n ，∴5=n 或6，6=m 或5时，2x 项系数最小，最小值为25．说明：二次函数499)211(2+-=x y 的对称轴方程为211=x ，即5.5=x ，由于5、6距5.5等距离，且对+∈N n ，5、6距5.5最近，所以499)211(2+-n 的最小值在5=n 或6=n 处取得．14.若0166777)13(a x a x a x a x ++++=-Λ，求(1) 721a a a +++Λ；(2) 7531a a a a +++；(3) 6420a a a a +++．解：(1)令0=x ，则10-=a ，令1=x ，则128270167==++++a a a a Λ．①∴129721=+++a a a Λ．(2)令1-=x ，则701234567)4(-=+-+-+-+-a a a a a a a a ②由2②①-得：8256]4128[2177531=--=+++）（a a a a (3)由2②①+得： 6420a a a a +++]10123456701234567）（）（a a a a a a a a a a a a a a a a +-+-+-+-++++++++= 8128])4(128[217-=-+=．说明：（1）本解法根据问题恒等式特点来用“特殊值”法．这是一种重要的方法，它适用于恒等式．(2)一般地，对于多项式nn n x a x a x a a q px x g ++++=+=Λ2210)()(，)(x g 的各项的系数和为)1(g ：)(x g 的奇数项的系数和为)]1()1([21-+g g ．)(x g 的偶数项的系数和为)]1()1([21--g g ．18.在52)23(++x x 的展开式中x 的系数为（）．A ．160B ．240C ．360D ．800分析：本题考查二项式定理的通项公式的运用．应想办法将三项式转化为二项式求解．解法1：由5252]2)3[()23(++=++x x x x ，得k kk k x x C T 2)3(5251?+=-+ k k k x x C -+??=525)3(2．再一次使用通项公式得，rk r r k k k r x C C T ---+=21055132，这里50≤≤k ，k r -≤≤50．令1210=--r k ，即92=+r k ．所以1=r ，4=k ，由此得到x 的系数为24032445=??C ．解法2：由5552)2()1()23(++=++x x x x ，知5)1(+x 的展开式中x 的系数为45C ，常数项为1，5)2(+x 的展开式中x 的系数为4452?C ，常数项为52．因此原式中x 的系数为24022445545=?+?C C ．解法3：将52)23(++x x 看作5个三项式相乘，展开式中x 的系数就是从其中一个三项式中取x 3的系数3，从另外4个三项式中取常数项相乘所得的积，即2402344415=C C ．∴应选B ．19.已知92-x x a 的展开式中3x 的系数为49，常数a 的值为___________．分析：利用二项式的通项公式．解：在92-x x a 的展开式中，通项公式为=-??=-+rrr r x x a C T 299192329921)1(--???? ???-r r r r r x a C ．根据题设，3923=-r ，所以8=r ．代入通项公式，得39169ax T =．根据题意，49169=a ，所以4=a ．∴应填：4．20.若+∈N n ，求证明：3724332+-+n n 能被64整除．分析：考虑先将323+n 拆成与8的倍数有关的和式，再用二项式定理展开．解：3724332+-+n n37243322+-?=+n n 3724931+-?=+n n 3724)18(31+-+?=+n n3724]8888[311112111101+-+?++?+?+??=+++-++++n C C C C C n n n n n n n n n n Λ 3724]18)1(888[3121111+-+?+++?+?+?=-+++n n C C n n n n n Λ 3724)]98(8888[3211121111+-++?++?+?+?=-+-+++n n C C C n n n n n n n Λ 3724)98(3]888[831132121112+-+?+++?+?+?=-+-+-+-n n C C C n n n n n n n Λ64]888[6433212111++?+?+?=-+-+-Λn n n n n C C ，∵18-n ，2118-+?n n C ，3218-+?n n C ，…均为自然数，∴上式各项均为64的整数倍．∴原式能被64整除．说明：用二项式定理证明整除问题，大体上就是这一模式，先将某项凑成与除数有关的和式，再展开证之．该类题也可用数学归纳法证明，但不如用二项式定理证明简捷．21. 已知nx x )3(232+的展开式各项系数和比它的二项式系数和大992．(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．分析：先由条件列方程求出n ．(1)需考虑二项式系数的性质；(2)需列不等式确定r ．解：令1=x 得展开式的各项系数之和为n n 22)31(=+，而展开式的二项式系数的和为n n n n n n C C C C 2210=++++Λ，∴有992222=-n n．∴5=n ．(1)∵5=n ，故展开式共有6，其中二项式系数最大的项为第三、第四两项．∴62233225390)3()(x x x C T =?=，32232232354270)3()(x x x C T =?=．(2)设展开式中第1+r 项的系数最大．341052532513)3()(r rr rrr r xC x x C T +-+??=??=，故有≥??≥?++--115511553333r r r r r r r r C C C C即+≥--≥.1351,613r r r r解得2927≤≤r ．∵N r ∈，∴4=r ，即展开式中第5项的系数最大．32642132455405)3()(x x x C T =??=说明：展开式中二项式系数最大的项与系数最大的项是两个不同的概念，因此其求法亦不同．前者用二项式系数的性质直接得出，后者要列不等式组；解不等式组时可能会求出几个r ，这时还必须算出相应项的系数后再比较大小．22. 求二项式(a－2b)4的展开式.解：根据二项式定理得(a－2b)4=C04a4+C14a3(－2b)+C24a2(－2b)2+C34a(－2b)3+C4 4(－2b)4 =a4－8a3b+24a2b2－32ab3+16b4..。
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）））））））））二项式定理念篇概4. 的展开式b)【例1】求二项式(a－2.分析：直接利用二项式定理展开42334201324－()+C)+Ca(－2b=Caa+Ca(－2b)+C(－2b2解：根据二项式定理得(a－b)444444 b)2423243.－32bab=ab－8a+24ba+16.b中的符号“－”忽略说明：运用二项式定理时要注意对号入座，本题易误把－235－【例2). 】展开(2x2x2.分析一：直接用二项式定理展开式333355234321032+ )(2x(－)+C(2x)(解法一：(2x－)(2=Cx)－+C)(2x)(－)+C55552222x2x2x2x2334554－()x)(－) +CC (25522x22x40524313518025.－+－120x－+=32x1074xx8x32x.分析二：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开53)3?(4x35 x－)=解法二：(2102x32x2143233353433243120+ －3)(－3)+C(4x)()(4x)(－3)+C(4x)(－3)+C(4x+C=［C(4x)55555 10x3255 3)C］(－513615129=+1620xx(1024x－3840x243) +5760x－－432010x3240524313518025. －+－=32x+－120x1074xxx328x n.的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提条件b)说明：记准、记熟二项式(a+.对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便6103.的展开式中，x 的系数是(【例3】在x －)64.的系数是C解法一：根据二项式定理可知x10r10r10r－33.=Cx((解法二：x－－))T的展开式的通项是+1r104666443=9Cx－)T项为第5项，即=Cx(. r－令10r=6，即=4，由通项公式可知含x4+1101064的系数为9Cx.∴10上面的解法一与解法二显然不同，那么哪一个是正确的呢？66的二项式系数，所以应是解法二正确x问题要求的是求含x.这一项系数，而不是求含64的二项式系数，解法一就正确了，也即是C如果问题改为求含x.10说明：要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异.二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项））））））））））．）））））））））.式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关210x－】已知二项式(3)，【例4x3 求其展开式第四项的二项式系数；(1) (2)求其展开式第四项的系数；.(3)求其第四项.分析：直接用二项式定理展开式22r1010rr－xx10).，1，…，(解：(3－－))的展开式的通项是T=C((3r)=0+1r10x3x33=120. C展开式的第4项的二项式系数为(1)10237377760. )=(2)展开式的第4项的系数为C3(－－10317xx.)，即－77760(777604(3)展开式的第项为－3x221010xx－(3，从而凑成二项式定理的形式)写成［. 3－+()］说明：注意把x3x31210.的展开式中的常数项+)x【例5】求二项式(x21r2r10r－”的指xx())，要使得它是常数项，必须使“项为分析：展开式中第r+1C(10x200.数为零，依据是x≠=1，x 项为常数项，则解：设第r+15115r?20rr10r2rr－2)(r=0，1=C，…，x10)，令20－(r=CT(x=0)，得r(=8. )+1r101022x214588)=. (∴T=C910225645. ∴第9项为常数项，其值为256T一般采用令通项说明：二项式的展开式的某一项为常数项，就是这项不含“变元”，+1r.中的变元的指数为零的方法求得常数项7求(1+2展开式中系数最大项；x)【例6】(1)7.展开式中系数最大项2x)(2)求(1－列出相邻两项系数之间关系的不等分析：利用展开式的通项公式，可得系数的表达式，.式，进而求出其最大值rrr?1r?1?C2?C2,?77解：(1)设第r+1项系数最大，则有?rrr?1r?1?C2?C2,?777!7!?rr?1,2?2?r!(7?r)!(r?1)!(7?r?1)!?即?7!7!?rr?1,22??(r?1)!(7?r?1)!r!(7?r)!?））））））））））．）））））））））1621??,??,r????3r8?r解得化简得=5.，∴r又∵0≤r≤7??1312??.??r.??1r37?r???5555.2xT=C=672x∴系数最大项为67项，系数最大项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取解：展开式中共有8(2)7故系数最大值括号内的两项中后两项系数的绝对值大于前项系数的绝对值，－2x)得.又因(1344C)?2C(77，所以系数=1＞和必在中间或偏右，故只需比较TT两项系数的大小即可.75661C2)4(C?774.=560x最大项为第五项，即T5的解法是通过对展开式多项分(1)的解法是求系数最大项的一般解法，(2)说明：本例中.析，使解题过程得到简化，比较简洁n项的系数相等，求展开式中二项式系数最大项与第【例7】(1+2x)7的展开式中第6.的项和系数最大的项.的奇偶性确定二项式系数最大的项分析：根据已知条件可求出n，再根据n655685665的展开式中，(2x)，T=C)=8. (1+2x=C2C2=C，解得n(2x)，依题意有解：T76nnnn444.=1120=Cx(2x)二项式系数最大的项为T5n1?rrr?1r?,2C2?C?77设第r+1项系数最大，则有?1?1r?rrr?.2?CC2?77=6.r=55≤r≤6.∴r或∴65.，TxT=1792=1792x∴系数最大的项为76为奇数时中间两项的二项说明：(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n.式系数最大；n为偶数时，中间一项的二项式系数最大求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负(2).变化情况，一般采用列不等式，再解不等式的方法求得篇应用n*22) n【例8】若∈N(，(+1)∈=ba+(a、b Z)，则b的值nnnnn A.一定是奇数 B.一定是偶数有相同的奇偶性与的奇偶性相反C.与b a D. n.分析一：形如二项式定理可以展开后考查nn2222 +b=(1+=+ab，知)解法一：由a(+1)nnnnn2323n102222. ()=C+C…)+ +C+C()+C(nnnnn422422 (…)∴b=1+C+ ()+C nnn. b∴为奇数n A答案：. 分析二：选择题的答案是唯一的，因此可以用特殊值法1*22.=1，有+1)b时，n∈解法二：n N，取=1(+1)为奇数=(1））））））））））．）））））））））222.+5，有=2取n=2时，(b+1)=5为奇数2A答案：10) 展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为(z)【例9】若将(x+y+D.66C.55 A.11 B.331010］z?y)?［(x.看作二项式z)展开+分析：(x+y10=)y+z(x+y)+z，按二项式将其展开，共有11“项”，即(x+解：我们把x+y+z看成10?kk10k10－］?z［(x?y)C. (=x+y)z100k?k 10－展开，不同)这时，由于“和”中各项z的指数各不相同，因此再将各个二项式(x+y k10kk－.)，…，10)z展开后，都不会出现同类项(k=0，1(的乘积Cx+y10k10kk－10).z，…，()k=0，1下面，再分别考虑每一个乘积C(x+y10k10－的指数都不相同，也x决定，而且各项中和x+y)y其中每一个乘积展开后的项数由(+1=66.不会出现同类项.故原式展开后的总项数为11+10+9+…D答案：.说明：化三项式为二项式是解决三项式问题的常用方法13.展开式中的常数项－2)｜x｜+10【例】求(||x. 分析：把原式变形为二项式定理标准形状1136|x| )解：∵(｜x｜+=(，－－2)||x||x1rrrr662rr－－||x|x|－(. ()()∴展开式的通项是T)=(－1)C=C+1r66||x=3.=0，rT为常数项，则6－2r若+1r320.=－项为常数项，即T=－C∴展开式的第446. 说明：对某些不是二项式，但又可化为二项式的题目，可先化为二项式，再求解93xx展开式中的有理项.(－【例11】求)分析：展开式中的有理项，就是通项公式中x的指数为整数的项.127?r1rr9rrr－362.=(－)1)x)(解：∵T=C(x－Cx+1r9927?r3?r∈Z，即4+∈Z，且r=0，1，2，…，9. 令66=9. r=3或∴rr?273443.x=－T=(－1)C84x=4r当=3时，，496r?279339.－x=(，T－1)C=x=3时，r当=91096））））））））））．）））））））））9433xx. 项－x，第)10∴的展开式中的有理项是第(4项－－84x说明：利用二项展开式的通项T 可求展开式中某些特定项.+1r776+ …+axax+a【例12】若(3x－1)，求=ax +0617(1)a+a…+a；712(2)a+a+a+a；7315(3)a+a+a+a. 6204分析：所求结果与各项系数有关可以考虑用“特殊值”法，整体解决.7=128. +a+a=2 －1，令x=1，则a+a+ …解：(1)令x=0，则a=01670①=129.aa+a+…+∴7127+a+a=(－4) . (2)令x=－1，则a+a+a+a+a+a07416253②1(1)?(2)7］=8256.－4)=［128－(得：由a+a+a+a7135221(1)?(2)7］=－8128.=［128+(－4)由得a+a+a+a(3)642022说明：(1)本解法根据问题恒等式特点来用“特殊值”法，这是一种重要的方法，它用于恒等式.n234567，g(xaxax)+ax=a+ax+ax各项的+axx+a++(2)一般地，对于多项式g(x)=(px+q)7420315611系数和为g(1)，g(x)的奇数项的系数和为［g(1)+g(－1)］，g(x)的偶数项的系数和为［g(1)22－g(－1)］.【例13】证明下列各式n1nn1?nn21－=3；+ …C+2 C+2+4C(1)1+2C nnnn222nn10)+(C)+ …(2)(C+(C)=C；nnnn2n123n1－2=n+nC.+2C+3C+ …(3)C nnnn分析：(1)(2)与二项式定理的形式有相同之处可以用二项式定理，形如数列求和，因此可以研究它的通项寻求规律.nn22n1nn1nn?1n201－－－b中，aba=C+Cb+Cab+ …+Ca(1)证明：在二项展开式(a+b)+C nnnnnn1nn1n?n21－，即+2C…=1，b=2，得(1+2)+4C=1+2C+ C+2令a nnnnn1nn1n?n12－.=3 C+2+4C1+2C+ C+2…nnnnnn2n，)) =(1+(2)(1+x)x(1+x nn2n2r2r12rr12x+Cx+ …+Cx+ …+x)(1+Cx+C(1+Cx+ …+Cx+ …+x)=(1+x). ∴nnnnnn2nnn是(1+x)的展开式中x而C的系数，由多项式的恒等定理，得n2n?1n?1n11n0n0C+CC+ …+CC+CC=CC. nnnn2nnnnnn?mm，0≤m≤Cn，=C∵nn222n0n1)+(C)+ …+(C)∴(C=C.nn2nn23n1+2C+3C+ …+nC. =C(3)证法一：令S ①nnnn1n?12n Cn令S=C+2C+ …+(－1)C+n nnnn1n?n21 +2C+C+ －1)C…C=nn+(nnnnn?1n?n21+2C…+ －+(. C=n+C n1)C ②nnnn））））））））））．）））））））））23nn123n1+nC+nC+ …+nC=n(C+C+C+C+ …由①+②得2S=nC+C)nnnnnnnnnn123n0 +C+C+C+ …+C)==n(Cn2.nnnnnn1n113n2－－2=n…+n，即CC. +2C+3C+ =∴Sn2nnnn!1)n(n?k?1k Cn?n?.=Ck证法二：观察通项：k n1?n!k)!(n??k)!(k?1)k!(n123n?101230+nC+nC+nC+ …+nC=∴原式=nCn(C+C+C+C+…1?n?11?1?nn?1?nn?1?11n?1nnnn1?1n－2)=+Cn，1?nn123n1－2=n+nC. +2C+3C+ …即C nnnnk?1k=nCC可作为性质记住. 说明：解法二中k1?nn5精确到0.001的近似值】求1.997.【例14分析：准确使用二项式定理应把1.997拆成二项之和形式如1.997=2－0.003.55－1.9970.003)=(2解：42332512320.003+C20.003－C20.003+…=2 －C555≈32－0.24+0.00072≈31.761.说明：利用二项式定理进行近似计算，关键是确定展开式中的保留项，使其满足近似计算的精确度.51－1能被7整除【例15】求证：51.分析：为了在展开式中出现7的倍数，应把51拆成7的倍数与其他数的和(或差)的形式. 505051515151501510492+ …+C49·2－1=C49+C+C2－1证明：51，－1=(49+2) 5151515151512－1以外各项都能被易知除C7整除.5151317171716161017－7+C+ －1=C7…+C又2 －1=(2)7－1=(7+1)+C1717171716151016).7+…+C1=7(C7+C17171751－1能被517整除.显然能被7整除，所以说明：利用二项式定量证明有关多项式(数值)的整除问题，关键是将所给多项式通过恒等变形变为二项式形式，使其展开后的各项均含有除式.创新篇lgxn的展开式的最后三项系数之和为22，中间一项为20000.(x求x+1). 【例16】已知分析：本题看似较繁，但只要按二项式定理准确表达出来，不难求解！2*1n?nn?2，∴n=6. +C+C42=0. 又n∈解：由已知C N=22，即n+n－nnnlgx3lgx3lgx3 (x)=20000，即(x)T为中间一项，T=C=1000. x=10.44612x=1，lgx=±1，∴x=10或x=.lg两边取常用对数，有10说明：当题目中已知二项展开式的某些项或某几项之间的关系时，常利用二项式通项公式，根据已知条件列出等式或不等式进行求解.mn*)，若其展开式中关于N x的一次项的系数和为(m，n)【例17】设f(x)=(1+x∈+(1+x)2项的系数取最小值？并求这个最小值.为何值时，含x11，问m，n2的系数是关于xx的二次表达式，然后利用二次函数性质探分析：根据已知条件得到讨最小值问题.22?11?nm1222121=(m－m+n－n)=，+C=11. C+=C解：+Cnm nnmm22*，N n∵∈））））））））））．）））））））））225.项系数最小，最小值为=5或6时，x∴n=6或5，m.说明：本题是一道关于二次函数与组合的综合题1n+x. 18】若(－2)【例的展开式的常数项为－20，求n x11n2n x时，－)；当x＜时，把三项式(x+－2)0转化为(≠分析：题中x0，当x＞0xx11nn2n x. (n－).－2)然后写出通项，令含=(－1)x的幂指数为零，进而解出同理(x+xx11n2n x ，=(－2)－)＞解：当x0时，(x+xx1r2rr2nr2nrr－－xx)－)=(－1)=CC()((. 其通项为T+1rnn22x rn C；n=r，∴展开式的常数项为(－1)令2n－2r=0，得n211rnnn2n x. －1)C－)－2).=(－1)同理可得，展开式的常数项为(x当x＜0时，(+(n2xx rn.－1)C无论哪一种情况，常数项均为(n2rn=20.以n=1，2，3，…，逐个代入，得n令(－1)C=3. n2说明：本题易忽略x＜0的情况.22n1－＜().【例19】利用二项式定理证明3n?12n?1不易从二项展开式中得到，可以考虑其倒数. 分析：21?n321?2n1nn1－－.成立成立，只需证()证明：欲证()＜＜2321n?1111311n21nnn1?102－－－(+C+C(=C)+C 而())+ =(1+)…11?n?11n?n?n22222111?n1n2n12?－(() +C…)+ +C=1+1n?n?12221?n.＞2131nn1－－然后利用二项式定理展开式是解，转化为(1+)(说明：本题目的证明过程中将)22.决本问题的关键1*n).∈N＜3(n【例20】求证：2≤(1+)n1n.与二项式定理结构相似，用二项式定理展开后分析分析：(1+)n1n=2.)n=1时，(1+证明：当n111111nnn212nn(2. )＞+ …)+C=1+C=1+1+C+C+ …+C()(1+n当≥2时，nnnnn22nnnnnn1)?k1)?(n?1n(n?1kk( ≤)=C又，nk!knn!k））））））））））．）））））））））1111111n)≤2+++ …+＜2++所以(1++ …+n?1)!(n?2!3!nn22?31?11111)+(－)+ …－+(－) =2+(1n3221n?1＜－3. =3n1n)＜3. 综上有2≤(1+n再采用放缩法和其他有关在此不等式的证明中，利用二项式定理将二项式展开，说明：.知识，将不等式证明到底11n+1*n.∈N(1+，(1+))＜【例21】求证：对于n n1n?.分析：结构都是二项式的形式，因此研究二项展开式的通项是常用方法r A11nrn证明：(1+)展开式的通项T=C= +1rn rr nnr!n1n(n?1)(n?2)?(n?r?1) =r!rn1211r?). (1－－)…=(1－)(1!rnnn r A11n+1rn?1(1+)展开式的通项T′=C= +1r 1n?rr1?n)r!(n?11)(n?1n(n?1)(n?2)?(n?r?1) =r!rn11?2r1). －…(1(1－)(1－)=!r1?1nn?1n?由二项式展开式的通项可明显地看出T＜T′+1r+1r11n+1n)＜(1+) 所以(1+n1?n证明时，根据题设特点，说明：本题的两个二项式中的两项均为正项，且有一项相同..采用比较通项大小的方法完成本题证明n*n cac成等差数列，n∈N+，求证：b【例22】设a、b、c 是互不相等的正数，且a、、n.b＞2成等差数列创造条件使用b、c分析：题中虽未出现二项式定理的形式，但可以根据a、.二项式定理.b+db－d，c==证明：设公差为d，则a nnnnnn b－2+(b++cd－2b)=(b－d)a n1n22n1n22nnnnn2121－－－－bbb+ …+d+(d+ …－1)bd［］+b］+C d+Cb=［d－Cd+C nnnnn22n4424－－b＞0. bd+Cd…)=2(C nn，这就给利用二项式定理证+dd，c=bda、b、c成等差，公差为，可得a=b－说明：由nnnnn)dd)+(b+－d问题即变为.(b－)b+(+d)＞2b，然后用作差法改证(b明此问题创造了可能性n0.b－2＞526.x)x的展开式中项的系数3x】求【例23(1+2－））））））））））．）））））））））6226))xxx分解因式，把三项式化为两个二项式的积，即(1+2x－3=(1+3分析：先将1+2x－36.)(1－x5.的系数，问题可得到解决然后分别写出两个二项式展开式的通项，研究乘积项x6kk666k展开式之)(1－x)x展开式之通项为T=C3x解：原式=(1+3x)，(1－x)，其中(1+3+1k6rr.)(－x通项为T=C+1r6rrkk+66rk.31)x展开式的通项为CC原式=(1+3x)((1－x)－66 5，，6}1，2，3，4，，1，2，3，4，5，6}，r∈{0，r现要使k+=5，又∵k∈{0,5k?k?3,k?4,k?0,k?1,k?2,??????或或或或或必须??????.0r?3r?2r?1r?4r?5?r??????53405434120524331142 C33C(－1)+C+C3C(－1)+C3C(－1)故x+C项系数为C3C(－1)66666666660550168.－3C(－1)(－1)+C=66.说明：根据不同的结构特征灵活运用二项式定理是本题的关键16x) ()【例24】(2004年全国必修+选修1)(展开式中的常数项为－x20D.－ C.20 A.15 －B.1533r?32rr6rr2rr－－x2=15. (CT=(=2时，－1)3)－－1)x=(－1)r=0CC，x，当r=(解析：T3+1r6662A答案：34x) x)(2x+的系数是)(的展开式中(2004【例25】年江苏B.12 C.24 D.48 A.6r r?224rrrrr2rr－x2=24. －2)2+(C)=3，T=((21)xC)=(x－1)2，当r=2时，解析：T=(－C3r+14442C答案：1119x lim++ …+)则展开式的第3项为288，)( 【例26】(2004年福建理)若(1－2n2xxx??n的值是()12 B.1 D. C. A.2 52xr2xrxrr22rr C2=288.T=(－1)－=(1)=2C2，当r时，=(解析：T－1)C(2)3+1r9993. x=∴221113lim=2.+)=+ (+…∴2n2xxx?n?1?3答案：A））））））））））．）））））））））a8)展开式中常数项为1120，其中实数(x－a是常数，【例27】(2004年福建文)已知x)则展开式中各项系数的和是(8888或2 A.2 B.3 C.1或3D.1a r82r8rrr44rr－－C=1120－解析：T=(1)，∴Cx(a=±2. r=4时，T=(－a))=(－a)xC，当3+1r888xa88. 或3，则f－(1)=1).令x=1∴有函数f(x)=(x x答案：C 200422004(x∈R)…+ax，x)a=+ax+ax则+若28【例】(2004年天津)(1－22004012)+a)+(a+(a+a2010)用数字作答.( +…+(aa)= +(aa)+ 20043002004，a +=1a+a+a+ …x解析：在函数f(x)=(1－2)=1中，f(0)=a，f(1)=20040210) aa++a)+…+()+(+(aa)+(a+aa20040002031 +aa+ …=2004a+a+2004021 a +++aa+ …a=2003a+20041020(1) (0)+f=2003f=2004. 2004答案：精品文档考试教学资料施工组织设计方案））））））））））．。