二项式定理典型例题解析

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二项式定理念篇概4. 的展开式b)【例1】求二项式(a－2.

分析：直接利用二项式定理展开42334201324－()+C)+Ca(－2b=Caa+Ca(－2b)+C(－2b2解：根据二项式定理得(a－b)444444 b)2423243.

－32bab=ab－8a+24ba+16.

b中的符号“－”忽略说明：运用二项式定理时要注意对号入座，本题易误把－235－【例2). 】展开(2x2x2.

分析一：直接用二项式定理展开式333355234321032+ )(2x(－)+C(2x)(解法一：(2x－)(2=Cx)－

+C)(2x)(－)+C55552222x2x2x2x2334554－()x)(－) +CC (255

22x22x40524313518025.

－+－120x－+=32x1074xx8x32x.

分析二：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开53)3?(4x35 x－)=解法二：(2

102x32x2143233353433243120+ －3)(－3)+C(4x)()(4x)(－3)+C(4x)(－3)+C(4x+C=［C(4x)55555 10x3255 3)C］(－513615129=+1620xx(1024x－3840x243) +5760x－－4320

10x3240524313518025. －+－=32x+－120x1074xxx328x n.的展开式是解答

好与二项式定理有关问题的前提条件b)说明：记准、记熟二项式(a+.

对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便6103.

的展开式中，x 的系数是(【例3】在x －)64.

的系数是C解法一：根据二项式定理可知x10r10r10r－33.

=Cx((解法二：x－－))T的展开式的通项是+1r104666443=9Cx－)T项为第5项，即=Cx(. r－令10r=6，即=4，由通项公式可知含x4+1101064的系数为9Cx.

∴10上面的解法一与解法二显然不同，那么哪一个是正确的呢？

66的二项式系数，所以应是解法二正确x问题要求的是求含x.这一项系数，而不是求含64的二项式系数，解法一就正确了，也即是C如果问题改为求含x.

10说明：要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异.

二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项））））））））））．）））））））））

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式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关210x－】已知二项式(3)，【例4x3 求其展开式第四项的二项式系数；(1) (2)求其展开式第四项的系数；.

(3)求其第四项.

分析：直接用二项式定理展开式22r1010rr－xx10).

，1，…，(解：(3－－))的展开式的通项是T=C((3r)=0+1r10x3x33=120. C展开式的第4项的二项式系数为(1)10237377760. )=(2)展开式的第4项的系数为C3(－－10317xx.

)，即－77760(777604(3)展开式的第项为－3x221010xx－(3，从而凑成二项式定理的形式)写成［. 3－+()］说明：注意把x3x31210.

的展开式中的常数项+)x【例5】求二项式(x21r2r10r－”的指xx())，要使得它是常数项，必须使“项为分析：展开式中第r+1C(10x200.

数为零，依据是x≠=1，x 项为常数项，则解：设第r+15115r?20rr10r2rr－2)(r=0，1=C，…，x10)，令20－(r=CT(x=0)，得r(=8. )+1r101022x214588)=. (∴T=C910225645. ∴第9项为常

数项，其值为256T一般采用令通项说明：二项式的展开式的某一项为常数项，就是这项

不含“变元”，+1r.

中的变元的指数为零的方法求得常数项7求(1+2展开式中系数最大项；x)【例6】(1)7.

展开式中系数最大项2x)(2)求(1－列出相邻两项系数之间关系的不等分析：利用展开式的通项公式，可得系数的表达式，.

式，进而求出其最大值rrr?1r?1?C2?C2,?77解：(1)设第r+1项系数最大，则有

?rrr?1r?1?C2?C2,?777!7!?rr?1,2?2?r!(7?r)!(r?1)!(7?r?1)!?即

?7!7!?rr?1,22??(r?1)!(7?r?1)!r!(7?r)!?））））））））））．）））））））））

1621??,??,r????3r8?r解得化简得=5.

，∴r又∵0≤r≤7??1312??.??r.??1r37?r???5555.

2xT=C=672x∴系数最大项为67项，系数最大项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取解：展开式中共有8(2)7故系数最大值括号内的两项中后两项系数的绝对值大于前项系数的绝对值，－2x)得.又因(1344C)?2C(77，所以系数=1＞和必在中间或偏右，故只需比较TT两项系数的大小即可.75661C2)4(C?774.

=560x最大项为第五项，即T5的解法是通过对展开式多项分(1)的解法是求系数最大项的一般解法，(2)说明：本例中.

析，使解题过程得到简化，比较简洁n项的系数相等，求展开式中二项式系数最大项与第【例7】(1+2x)7的展开式中第6.

的项和系数最大的项.

的奇偶性确定二项式系数最大的项分析：根据已知条件可求出n，再根据n655685665的展开式中，(2x)，T=C)=8. (1+2x=C2C2=C，解得n(2x)，依题意有解：T76nnnn444.

=1120=Cx(2x)二项式系数最大的项为T5n1?rrr?1r?,2C2?C?77设第r+1项系数最大，则有

?1?1r?rrr?.2?CC2?77=6.

r=55≤r≤6.∴r或∴65.

，TxT=1792=1792x∴系数最大的项为76为奇数时中间两项的二项说明：(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n.

式系数最大；n为偶数时，中间一项的二项式系数最大求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负(2).

变化情况，一般采用列不等式，再解不等式的方法求得篇应用

n*22) n【例8】若∈N(，(+1)∈=ba+(a、b Z)，则b的值nnnnn A.一定是奇数 B.一定是偶数有相同的奇偶性与的奇偶性相反C.与b a D. n.

分析一：形如二项式定理可以展开后考查nn2222 +b=(1+=+ab，知)解法一：由a(+1)nnnnn2323n102222. ()=C+C…)+ +C+C()+C(nnnnn422422 (…)∴b=1+C+ ()+C nnn. b∴为奇数n A

答案：. 分析二：选择题的答案是唯一的，因此可以用特殊值法1*22.

=1，有+1)b时，n∈解法二：n N，取=1(+1)为奇数=(1））））））））））．

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222.

+5，有=2取n=2时，(b+1)=5为奇数2A

答案：10) 展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为(z)【例9】若将(x+y+D.66

C.55 A.11 B.33

1010］z?y)?［(x.

看作二项式z)展开+分析：(x+y10=