计算方法52幂法与反幂法

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vk 因此，当k充分大时, k 接近于与 1 对应的特征向量的某个 1 r 线性组合 i xi( 1 , 2 ,, r 不全为零) 。
i 1
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例：求矩阵A的按模最大的特征值
A 1 5
解
k 0 1 2 3 4
1 4
1 6
1.A 特征值中 1为强占优,即 | 1 || 2 | | n | 问题：
设 A (aij ) R ,其特征值为 i ,对应特征向量为 xi (i 1,, n),
n n
即 Axi i xi (i 1,, n) ，且 { x1 ,, xn } ，线性无关。特征值满足：


| 1 || 2 | | r || r 1 | | n | ,求矩阵的主特征值 1 及对应
的特征向量。
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n n 对任意的初始向量 v0 R , 且 v0 0, 有 v0 i xi ,
（且设 1 , 2 , , r 不全为零），则有 k vk Avk 1 A v0
k 1
(1 x1 k )
k 1
2 k n k 其中 k 2 ( ) x2 n ( ) xn 1 1

i | 1 (i 2,, n) 由假设 | 1 || 2 | | n | ,得 | 1
i k lim k 0, lim( ) 0 ( i 2,, n), 即 k 从而 k 1
n v0 i xi （且设 1 0 ） i 1
则 v1 Av0 A(1 x1 2 x2 n xn )
1 Ax1 2 Ax2 n Axn
11 x1 22 x2 nn xn
n （3）幂法： v0 ai xi 0, ( 1 0), vk Avk 1 , ( k 1,2,); i 1
则
(a ) lim
k
k 1
vk
1 x1 ;
(v k 1 )i (b) lim 1。 k (v ) k i
[ i x i
k 1 i 1
r k 1
i 1
r
i k i ( ) xi ] 1 i r 1
n
[ i xi k ]
n
i 1
r v k i k li m k i xi lim k 0, 从而 k 其中 k i ( ) xi ，且 k i 1 1 i r 1
则有
1 ( x1 )i ( k 1 )i 1 , ((vk )i 0) 1 ( x1 )i ( k )i (v k 1 )i lim 1 k (v ) k i
这种由已知的非零向量v0和矩阵A的乘幂构造向量序列vk ，以计 算矩阵A的按模最大特征值及其相应特征向量的方法称为幂法。
§ 5.2 幂法与反幂法
矩阵按模的最大特征值排列往往表现为阈值。如：矩 阵的谱半径。幂法就是一种求矩阵按模最大特征值的方法， 它是最经典的方法。
适合于计算大型稀疏矩阵的主特征值（按模最大的特征 值）和对应的特征向量，也称乘幂法。 优点: 方法简单
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理论依据：迭代法的收敛性
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问题的提法：
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当k =2,3,… 时， k vk Avk 1 A v0
k k 11 x1 22 x2 nn xn )
k
2 k nn kk k ( ) x [ 1 x1 2 ( ) x2 ( ) x n n 2 n n] 1 11 1

u2k , u2k 1
分别收敛到两个数，且绝对值不同。
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定理8 （1）设 A R n n 有n个线性无关的特征向量； （2）设A特征值满足 | 1 || 2 | | n |,


| 1 || 2 | | n | ,即1为强占优。求矩阵的主特征值 1 及对应
的特征向量。
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首先讨论 1及x1与{vk }关系
{ x1 ,, xn } 线性无关 ,即 { x1 ,, xn } 为Rn中一个基，于是对任意 n v 的初始向量 v0 R 且 v0 0 有展开式。 ( 0 用 { xi }的线性组合表示)
可以看出
0 , 1 1 k , vk , 1 1
因此，若序列收敛慢的话，可能造成计算的溢出或归0
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3. 幂法的改进 用幂法计算A的主特征值及对应的特征向量时,如果 1 1 , (或 1 1) ,迭代向量的各个不等于零的分量将随 k 而趋 于无穷（或趋于零），这样造成计算机中的“溢出”。为了 克服这个问题，利用向量的方向与长度无关这一性质，将迭 代向量的长度规范化（“规一化”）以改进幂法。 所谓向量长度规范化 ,就是将向量的分量同除以一个常数 , 使 向量长度为1,向量长度有多种度量法,可以采用 || || 或 || ||2, max( v ) || v || max | (v )i |
可取10.41263 ,v1(0.017451,0.014190)T
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在幂法中，我们构造的序列
k k 2 n k x2 n xn vk 1 1x1 2 1 1
由矩阵A的乘幂构造一向量序列
称 {vk }为迭代向量。
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v1 Av0 v Av A2v 1 0 2 vk 1 Avk Ak 1v0 (k 0,1,, n)
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(1)幂法:
矩阵A有n个线性无关的特征向量x1，x2， ，xn， 相应的特征值为1，2， ，n
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1 0
则k足够大时，有
k vk 1 1x1
k 1 vk 1 1 1x1 1vk
说明，当k充分大时，有 特征向量1x1。 vk
k 1
1x1，或
wk.baidu.com
vk
k 1
越来越接近
可见 vk , vk 1 几乎仅差一个倍数 1
规范化 v v u (或u max( v )
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1i n
v 等) v2
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令 u0 v0 0 (且1 0) 任取初始向量：
迭代 规范化 Av0 v1 u1 m ax( v ) max(Av0 ) 1 2 v2 A v0 u2 2 max( v2 ) max(A v0 ) k vk A v0 uk k max( vk ) max(A v0 )
k k n x 1k x 1 x 1 1 2 2 n n 1 uk k k n x 1k x 1 x 1 1 2 2 n n 1
1 5
取v0=(1,0)T ,计算vk=Avk-1, 结果如下
(vk)1 1 0.25 0.10250 0.042292 0.017451 (vk)2 0 0.2 0.083333 0.034389 0.014190 0.41 0.41260 0.41263 0.41665 0.41267 0.41263 (vk)1 / (vk-1)1 (vk)2 / (vk-1)2
n n A ( a ) R 设 ,其特征值为 i ,对应特征向量为 xi (i 1,, n), ij 即 Axi i xi (i 1,, n)，且 { x1 ,, xn } 线性无关。求矩阵A的主特
征值及对应的特征向量。
n 幂法的基本思想: 任取一个非零初始向量 v0 R 且 v0 0 ，
所以：
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1 vk 1 / vk
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特征向量乘以任意非零常数仍对应于同一特征值的特征向量
k v k Av k 1 A v 0 , k 1,2,
因此，幂法是一种迭代方法。
2 l i m k 1 x1 且收敛速度由比值 r | | 确定。 所以有 k 1 1 vk
其次讨论主特征值 1 的计算。
若(vk )i 表示 vk 的第i个分量，则相邻迭代向量的分量的比值为
k vk 1 (1 x1 k )
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k 1 ( v k 1 )i 1 [1 ( x1 )i ( k 1 )i ] k 1 [1 ( x1 )i ( k )i ] (vk )i
v1 Av0 , 2 v 2 A v0 ,
k vk A v0 ,



则有迭代向量序列{vk }及规范化向量序列 {uk } 。
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即
k k 2 x n x 1k x 1 1 2 n 2 n 1 1 uk k k 2 n k 1 1x1 2 x2 n xn 1 1
即相邻迭代向量分量的比值收敛到主特征值 1,且收敛速度由 2 2 |来度量,r 越小收敛越快, 当 r | | 1 而接近于1时,收 比值 r | 1 1 敛可能很慢。
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定理7：
n n A R （1）设 有n个线性无关的特征向量；
（2）设A的特征值满足 | 1 || 2 | | n |;

（1）若：
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x1 , 1 0 x 1 uk x1 , 1 0 x1
1 2 n
u2k , u2k 1
分别收敛反号的两个数
u k 收敛
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（2）若：
1 2 3 n , 1 2
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2. A的主特征值为实的r重根，即
| 1 || 2 | | r || r 1 | | n |
问题：
设 A (aij ) R ,其特征值为 i ,对应特征向量为 xi (i 1,, n),
n n
即 Axi i xi (i 1,, n) ，且 { x1 ,, xn } ，线性无关。特征值满足：