2013年高考文科数学(天津卷)
2013年天津高考数学文科试卷带详解
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学（文史类）一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}2,1A x x B x x =∈=∈R R 剟, 则B A = （ ）A. (],2-∞-B.[]1,2C.[]2,2-D. []2,1-【测量目标】集合间的关系，集合的基本运算. 【考查方式】考查了集合的表示法（描述法）、集合的交集运算. 【参考答案】D【试题解析】先化简集合A ，再利用数轴进行集合的交集运算. 由已知得{22}A x x=∈-R 剟,于是{21}A B x x =∈-R 剟2．设变量,x y 满足约束条件360,20,30,x y x y y +-⎧⎪--⎨⎪-⎩………则目标函数2z y x =-的最小值为 （ ）A. 7-B.4-C. 1D. 2 【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出约束条件，作出可行域，通过平移目标函数，求可行域的最值. 【参考答案】A【试题解析】作出可行域，平移直线x y 2=，当直线过可行域内的点)3,5(A 时，Z 有最小值, min 3257Z =-⨯=-.3．阅读程序框图, 运行相应的程序, 则输出n 的值为 （ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】执行程序框图中的循环语句，求值. 【参考答案】D【试题解析】结合循环结构逐步执行求解. .0,1==s n第一次：()211,21,11101=+=<--=⨯-+=n s ，第二次：()312,21,12112=+=<=⨯-+-=n s ，第三次：()31132,22,314s n =+-⨯=--<=+=，第四次：()22,24124==⨯-+-=s ，满足2s …，跳出循环，输出4=n .4．设,a b ∈R 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的 （ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【测量目标】不等式的性质及运算，充分、必要条件.【考查方式】给出关于,a b 的两个不等式，由,a b 关系判断充分、必要条件. 【参考答案】A【试题解析】分别判断由2()0a b a -<是否能得出b a <成立和由b a <是否能得出2()0a b a -<成立.由2()0a b a -<可得b a <，当0=a ,b a <成立；而当0=a ，b a <成立时，2()0a b a -<不成立，所以2()0a b a -<是b a <的充分而不必要条件.5．已知过点()2,2p 的直线与圆225(1)x y +=-相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =（ ） A. 12-B. 1C. 2D.12【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】由线线垂直判断切线方程，根据切线过固定点，圆心到切线的距离等于圆的半径，用点到直线的距离公式列出等式进而求未知数. 【参考答案】C【试题解析】圆的切线与直线10ax y -+=垂直，设切线方程为0=++c ay x ，再代入点(2,2)P 结合圆心到切线的距离等于圆的半径，求出a 的值.由题得圆心()1,0，切线与直线01=+-y ax 垂直，切线方程为0=++c ay x .（步骤1）0=++c ay x 过点p )2,2(22,c a ∴=--=2=a .（步骤2）6．函数π()sin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是 （ ）A.1-B.C. D. 0【测量目标】三角函数的最值.【考查方式】给出正弦函数()f x 及其定义域，由正弦函数的单调性判断最小值.【参考答案】B 【试题解析】确定π24x -的范围，根据正弦函数的单调性求出最小值. πππ3π0,,22444x x ⎡⎤∈∴--⎢⎥⎣⎦剟,（步骤1） 当ππ244x -=-时，π()sin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有最小值22-.（步骤2） 7．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足()()212log log 21f a f a f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭…, 则a 的取值范围是 （ ）A. [1,2]B. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. (0,2]【测量目标】利用函数的奇偶性、单调性求参数范围.【考查方式】已知复合函数()f x 的不等式，先转化再由函数的单调性和奇偶性，求解不等式中的参数范围. 【参考答案】C【试题解析】根据函数的单调性和奇偶性得出关于a 的不等式的求解..12log f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭()2log f a -=()2log f a ,∴原不等式可化为()2log f a ()1f ….（步骤1）又 ()x f 在区间[)0+∞，上单调递增，0∴…2log a …1，即1…2a ….（步骤2）()x f 是偶函数，∴()2log f a ()1f -….（步骤3）又()x f 在区间(]0,∞-上单调递减，1∴-…2log a 0…，112a 剟.（步骤3）综上所知122a 剟.（步骤4）8．设函数2()e 2,()ln 3x x g x x x x f +-=+-=. 若实数,a b 满足()0,()0f a g b ==, 则 （ ） A. ()0()g a f b << B. ()0()f b g a <<C. 0()()g a f b <<D. ()()0f b g a <<【测量目标】利用导数解决不等式问题.【考查方式】已知两个函数，通过导数判断函数的单调性，比较值的大小. 【试题解析】首先确定b a ,的取值范围，再根据函数的单调性求解.()e 10x f x '=+> ，∴()x f 是增函数. （步骤1）∵()x g 的定义域是()0,+∞，∴()120,g x x x'=+>∴()x g 是()0,+∞上的增函数. （步骤2）∵()010,(1)e 10,0 1.f f a =-<=->∴<<（步骤3）(1)20,g =-< (2)ln 210,12,()0,()0.g b f b g a =+>∴<<∴><（步骤4）二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. 9．i 是虚数单位. 复数()()3i 12i +- = . 【测量目标】复数的四则运算.【考查方式】给出两个复数的乘积形式，直接求答案. 【参考答案】55i -【试题解析】()()23i 12i 35i 2i 55i +-=--=-.10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为9π2, 则正方体的棱长为 .【测量目标】空间几何体的结构特征及运算.【考查方式】已知球的体积，利用球内接于正方体的特殊性质，求棱长. 【参考答案】3【试题解析】先求球的半径，再根据正方体的体对角线等于球的直径求棱长.设正方体棱长为a ，求半径为R ，则3493ππ,3,322R R a =∴==∴=11．已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为 .【测量目标】圆锥曲线的方程及性质.【考查方式】已知抛物线方程，双曲线的离心率，两曲线有一个共同焦点，利用抛物线、双曲线的性质求方程.【参考答案】1322=-y x 【试题解析】首先由题设求出双曲线的半焦距，再求出b a ,的值.由题可知抛物线的准线方程为2-=x ，∴双曲线的半焦距2=c .（步骤1） 又双曲线的离心率为2 ，∴3,1==b a ，（步骤2）∴双曲线的方程为1322=-y x .（步骤3） 12．在平行四边形ABCD 中, 1AD =， 60BAD ︒∠=,E 为CD 的中点. 若1AC BE =, 则AB 的长为 .【测量目标】平面向量的应用.【考查方式】已知平行四边形及向量，用向量表示，运用平面向量简单的四则运算求值. 【参考答案】21 【试题解析】用,AB AD表示AC 与BE ，然后进行向量的数量积运算.由已知得AC =AD AB + ，12BE AD AB =- ，∴AC BE =221122AD AB AD AB AD AB -+-211122AB AD AB =+- 2111cos 60122AB AD AB ︒=+-= ，（步骤1）∴12AB = .（步骤2）13．如图, 在圆内接梯形ABCD 中, AB DC , 过点A 作的切线与CB 的延长线交于点E . 若5AB AD ==, 4BE =, 则弦BD 的长为 .【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】已知圆、内接多边形及切线，利用圆的内接四边形的性质、切割线定理、三角形的相似，求弦长. 【参考答案】215【试题解析】根据圆的内接四边形的性质，切割线定理及三角形的相似的性质列出比例式求解.因为AB DC ，所以四边形ABCD 是等腰梯形，所以5===AB AD BC .（步骤1）又AE 是切线，所以AE BD ，()244536AE BE EC ==+= ，所以6=AE .（步骤2）因为CDB ∠=BAE ∠， BCD ∠=ABE ∠，所以ABE DCB △∽△，所以BCBEDB AE =，于是215465=⨯=BD .（步骤3） 14．设2a b +=，0b > ，则1||2||a a b+的最小值为 . 【测量目标】含绝对值的不等式求最值.【考查方式】根据已知条件，去掉绝对值符号，利用均值不等式判断最小值. 【参考答案】43 【试题解析】分0,0<>a a ，去掉绝对值符号，用均值不等式求解.当0>a 时，1115224444a a ab a b a a b a b a b a b +⎛⎫+=+=+=++ ⎪⎝⎭…； 当0<a 时，1111312244444a a ab a b a a b a b a b a b -+--⎛⎫+=+=+=-++-+= ⎪---⎝⎭… 三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.15．(本小题满分13分)某产品的三个质量指标分别为,,x y z 用综合指标S x y z =++评价该产品的等级. 若4S …, 则该产品为一等品. 先从一批该产品中, 随机抽取10件产品作为样本, 其质量指标列表如下:((Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品,(1) 用产品编号列出所有可能的结果;(2) 设事件B 为 “在取出的2件产品中, 每件产品的综合指标S 都等于4”, 求事件B 发生的概率.【测量目标】随机事件及概率，抽样调查，古典概型.【考查方式】列举法，样本估计总体，古典概型及其概率计算公式等基础知识.【试题解析】用列举法计算随机事件所含的基本事件数,用古典概型及其概率计算公式求出概率. 解：（1）计算10件产品的综合指标S ，如下表：（步骤1）其中4S …的有1A ，2A ，4A ，5A ，7A ，9A ，共六件， 故该样本的一等品率为6.0106=，从而可估计该产品的一等品率为0.6. （步骤2） （2）①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{}12,A A ,{}14,A A ,{}15,A A ,{}17,A A ,{}19,A A ,{}24,A A ,{}25,A A ,{}27,A A ，{}29,A A ,{}45,A A ,{}47,A A {}49,A A ,{}57,A A ,{}59,A A {}79,A A ,共15种. （步骤3）②在该样本的一等品中,综合指标S 等于4的产品编号分别为1A ，2A ，5A ，7A ，则事件B 发生的所有可能结果为{}12,A A ，{}15,A A ,{}17,A A ,{}25,A A ,{}27,A A ，{}57,A A ，共6种. （步骤4） 所以()52156==B P . （步骤5） 16．(本小题满分13分)在ABC △中, 内角C B A ,,所对的边分别是,,a b c .已知sin 3sin b A c B =, a = 3, 2cos 3B =. (Ⅰ) 求b 的值; (Ⅱ) 求πsin 23B ⎛⎫-⎪⎝⎭的值. 【测量目标】正、余弦定理，两角和与差的正弦及二倍角公式.【考查方式】给出关于边角的等式，利用公式和定理求边长和正弦值.【试题解析】⑴先用正弦定理求出c ，再用余弦定理求出b ;⑵用二倍角公式和两角差公式求值.解：⑴在ABC △中，由sin sin a b A B=，可得sin sin b A a B =.（步骤1） 又由sin 3sin b A c B =，可得c a 3=.又3=a ，故1=c .（步骤2）由B ac c a b cos 2222-+=，32cos =B ，可得6=b .（步骤3）⑵由32cos =B ，得35sin =B ，进而得1cos 22cos 2-=B B 91-=， 954cos sin 22sin ==B B B （步骤4） ∴πππsin 2sin 2cos sin cos 2333B B B ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭=18354+.（步骤5） 17． (本小题满分13分)如图, 三棱柱111C B A ABC -中, 侧棱A A 1⊥底面ABC ,且各棱长均相等.F E D ,,分别为棱11,,C A BC AB 的中点. (Ⅰ) 证明EF 平面CD A 1;(Ⅱ) 证明平面CD A 1⊥平面11ABB A ； (Ⅲ) 求直线BC 与平面CD A 1所成角的正弦值.【测量目标】立体几何的结构，线面平行，面面垂直的判定，线面夹角的正弦值.【考查方式】(1)由线线关系⇒线面平行(2)线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直 (3)利用三棱柱中线段关系求出线面角的正弦值. 【试题解析】(1)证明：如图，在三棱柱中111C B A ABC -，11ACAC ，且11AC AC ＝，连接ED ， 在ABC △中，因为D E ，分别为AB BC ，的中点，所以AC DE 21=且DE AC （步骤1）又因为F 为11AC 的中点，可得1A F DE ＝，且1A F D E ，即四边形1A DEF 为平行四边形，所以1EFDA .（步骤2）又EF ⊄平面1ACD ，1DA ⊂平面1ACD ， 所以EF 平面1ACD .（步骤3） (2)证明：由于底面ABC △是正三角形，D AB 为的中点，故CD AB ⊥，（步骤4） 又由于侧棱1A A ⊥底面ABC CD ⊂，平面ABC ， 所以1A A CD ⊥.（步骤5）又1A A AB A ＝，因此CD ⊥平面11A ABB CD ⊂，而平面1ACD ， 所以平面111ACD A ABB ⊥平面.（步骤6） (3)解：在平面11A ABB 内，过点1B BG A D ⊥作交直线1A D 的延长线于点G ，连接CG . 由于平面1ACD ⊥平面11A ABB ，而直线11A D ACD 是平面与平面11A ABB 的交线， 故BG ⊥平面1ACD .由此得BCG ∠为直线BC 与平面1ACD 所成的角．（步骤7）设棱长为a ，可得1A D =由1A AD BGD △∽△，易得BG （步骤8）在Rt BGC △中，sin BCG ∠＝5BG BC =.所以直线BC 与平面1ACD 所成角的正弦值为5.（步骤9） 18．(本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F , , 过点F 且与x 轴垂直的直线被(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设,A B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为K 的直线与椭圆交于,C D 两点. 若8AC DB AD CB += , 求K 的值.【测量目标】椭圆的定义与几何性质，直线与椭圆的位置关系.【考查方式】利用直线的定义和直线的位置关系求解椭圆的标准方程，利用直线的方程、向量的坐标运算、代数方法研究圆锥曲线的性质，运用方程求直线的斜率. 【试题解析】 ⑴设(),F c o -，用33=a c ，知c a 3=.（步骤1） 过点F 且与x 轴垂直的直线为c x -=，代入椭圆的方程有()12222=+-by a c ， 解得36±=y ，于是334362=b ，解得2=b .（步骤2） 又222b c a =-，从而1,3==c a ，所以椭圆的方程为22=132x y +.（步骤3） (2)设点()11,C x y ，()22,y x D ，由()0,1-F 得直线CD 的方程为()1y k x =+，由方程组221,132y k x x y =(+)⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()0636322222=-+++k x k x k求解可得21x x +＝22623k k -+，21x x ＝223623k k -+.因为A ()0,3-，B ()0,3所以AC DB ＋AD CB())())11222211,,x y x y x y x y =+-+-1212622x x y y =--()()2121262211x x k x x =--++()()222121262222k x x k x x k =-+-+-22212623k k+=++. （步骤5） 由已知得222126823k k++=+，解得=k （步骤6） 19． (本小题满分14分) 已知首项为32的等比数列{}n a 的前n 项和为n S (n *∈N )且234,2,4S S S -成等差数列. (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ) 证明1361n n S S +…(n *∈N ).【测量目标】等差、等比数列的通项公式及前n 项和，不等式的证明.【考查方式】(1)利用数列的定义及性质由等差数列转化求出等比数列的通项公式.(2)将等比数列的前n 项和建立不等式关系，分类讨论. 【试题解析】解：(1)设等比数列{}n a 的公比为q ，因为4324,,2S S S -成等差数列， 所以342342S S S S -=+，即4234S S S S -=-， 可得342a a -=，于是4312a q a ==-.（步骤1） 又=1a 32，所以等比数列{}n a 的通项公式为11313(1)222n n n n a --⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭.（步骤2）(2)证明：由(1)得：112nn S ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，11112112n n nn S S ⎛⎫+=--+ ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭1122212.221n n n nn n +⎧+⎪()⎪=⎨⎪+⎪(-)⎩，为奇数，，为偶数 当n 为奇数时，1n nS S +随n 的增大而减小，所以111113=6n n S S S S ++….当n 为偶数时，1n nS S +随n 的增大而减小，所以221125=12n n S S S S ++…. （步骤3）故对于n *∈N ，有1136n n S S +….（步骤4） 20．(本小题满分14分)设[2,0]a ∈-, 已知函数332(5),0,3,0().2x f x a x x a x x ax x -++-⎧>=⎪+⎪⎨⎩…(Ⅰ) 证明()f x 在区间()1,1-内单调递减, 在区间()1,+∞内单调递增;(Ⅱ) 设曲线()y f x =在点(,())(1,2,3)i i i x f x i P =处的切线相互平行, 且1230,x x x ≠ 证明1213x x x ++-….【测量目标】函数与方程，函数与导数，不等式的性质.【考查方式】给定直线与函数的位置关系，利用导数研究函数的单调性，通过定义域判断值域，由基本不等式判断最小值等知识. 【试题解析】证明：(1)设函数()()()3150f x x a x x =-+…，()=x f 2 3232a x x ax +-+()0x …， ①()213(5)f x x a '+＝－，由[2,0]a ∈－，从而当10x －＜…时，()213(5)350f x x a a '＝－＋＜－－…，所以函数()1f x 在区间(1,0]－内单调递减．（步骤1） ②()223(3)(3)(1)f x x a x a x a x '＝－＋＋＝－－，由于[2,0]a ∈-，所以当01x ＜＜时，()20f x '＜； 当1x ＞时，()20f x '＞.即函数()2f x 在区间(]0,1内单调递减，在区间()1,+∞内单调递增．（步骤2）综合①，②及()()1200f f ＝，可知函数()f x 在区间(1,1)－内单调递减，在区间()1,+∞内单调递增．（步骤3）(2)由(1)知()f x '在区间(0)-∞，内单调递减，在区间306a +⎛⎫⎪⎝⎭，内单调递减，在区间36a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭，内单调递增．（步骤1） 因为曲线()y f x ＝在点()()(1,2,3)i i i P x f x i ，＝处的切线相互平行， 从而123x x x ，，互不相等，且()()()123f x f x f x '''＝＝．（步骤2）不妨设1230x x x ＜＜＜，由22212233(5)(3)(3)x a x a x a x a x a 3-＋=3-＋＋=3-＋＋， 解得222323(3)()0x x a x x ---33＋＝23x x ＋＝33a +，从而20x ＜＜36a +3x ＜.（步骤3） 设()23(3)g x x a x a ＝-＋＋，则36a g +⎛⎫⎪⎝⎭()()20g x g a ＜＜＝.由()2123(5)x a g x a -＋=＜，解得 10x ＜，所以123x x x ＋＋＞33a +.（步骤4）设t =a =2352t -，因为[2,0]a ∈－，所以t ∈⎣⎦，（步骤4） 故123x x x ＋＋＞，2231111(1)6233t t t +-+=---…即123x x x ＋＋…13-.（步骤5）。
2013年普通高等学校招生全国统一考试文数天津卷pdf版含答案
(A) g(a) < 0 < f (b)
(B) f (b) < 0 < g(a)
(C) 0 < g(a) < f (b)
(D) f (b) < g(a) < 0
2013 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
文科数学
第Ⅱ卷
注意事项：
1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2. 本卷共 12 小题, 共 110 分.
若 S≤4, 则该产品为一等品. 现从一批该产品中, 随机抽取 10 件产品作为样本,
其质量指标列表如下:
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
质量指标(x, y, z) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1)
产品编号
A6
A7
A8
A9
A10
质量指标(x, y, z) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2)
·棱柱的体积公式 V = Sh， 其中 S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. ·如果事件 A, B 相互独立, 那么
P( AB) = P( A)P(B)
·球的体积公式V = 4 π R3.
3
其中 R 表示球的半径.
一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合 A = {x∈R| |x|≤2}, B = {x∈R| x≤1}, 则 A ∩ B =
（9）5-5i
（10） 3
（11） x2 − y2 = 1 3
（12） 1 2
（13） 15 2
（14） 3 4
三、解答题
2013年天津文科数学试题及答案(精校版)
A3
A8 (2, 2,1)A5 (1, 2,1)
A10 (2,1, 2)
16.
cos B 2 ． 3
（I）求 b 的值；
（II）求
sin
在 ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ．已知 b sin A 3c sin B ， a 3 ，
（i）用产品编号列出所有可能的结果；
（ii）设事件 B 为“在取出的 2 件产品中，每件产品的综合指标 S 都等于 4”，求事件 B 发生的概率．
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，通力根1保过据护管生高线产中敷工资设艺料技高试术中卷0资不配料仅置试可技卷以术要解是求决指，吊机对顶组电层在气配进设置行备不继进规电行范保空高护载中高与资中带料资负试料荷卷试下问卷高题总中2体2资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况1卷中下安，与全要过，加度并强工且看作尽护下可1都关能可于地以管缩正路小常高故工中障作资高；料中对试资于卷料继连试电接卷保管破护口坏进处范行理围整高，核中或对资者定料对值试某，卷些审弯异核扁常与度高校固中对定资图盒料纸位试，置卷编.工保写况护复进层杂行防设自腐备动跨与处接装理地置，线高尤弯中其曲资要半料避径试免标卷错高调误等试高，方中要案资求，料技编试术写5、卷交重电保底要气护。设设装管备备置线4高、调动敷中电试作设资气高，技料课中并3术试、件资且中卷管中料拒包试路调试绝含验敷试卷动线方设技作槽案技术，、以术来管及避架系免等统不多启必项动要方高式案中，；资为对料解整试决套卷高启突中动然语过停文程机电中。气高因课中此件资，中料电管试力壁卷高薄电中、气资接设料口备试不进卷严行保等调护问试装题工置，作调合并试理且技利进术用行，管过要线关求敷运电设行力技高保术中护。资装线料置缆试做敷卷到设技准原术确则指灵：导活在。。分对对线于于盒调差处试动，过保当程护不中装同高置电中高压资中回料资路试料交卷试叉技卷时术调，问试应题技采，术用作是金为指属调发隔试电板人机进员一行，变隔需压开要器处在组理事在；前发同掌生一握内线图部槽 纸故内资障，料时强、，电设需回备要路制进须造行同厂外时家部切出电断具源习高高题中中电资资源料料，试试线卷卷缆试切敷验除设报从完告而毕与采，相用要关高进技中行术资检资料查料试和，卷检并主测且要处了保理解护。现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学试题 (文科) word解析版
是 a b 的充分而不必要条件，选 A.
(5) 已知过点 P(2,2) 的直线与圆 (x 1)2 y2 5 相切, 且与直线 ax y 1 0 垂直, 则 a
(A) 1 (B) 1 2
(C) 2 (D) 1 2
【答案】C
【解析】设直线斜率为 k ，则直线方程为 y 2 k(x 2) ，即 kx y 2 2k 0 ，圆心 (1, 0)
1 2
a
2
，即
a
的取值范围是
1 2
,
2
，选
C.
(8) 设函数 f (x) ex x 2, g(x) ln x x2 3 . 若实数 a, b 满足 f (a) 0, g(b) 0 , 则
(A) g(a) 0 f (b)
(B) f (b) 0 g(a)
(C) 0 g(a) f (b)
3x y 6 0,
(2) 设变量 x, y 满足约束条件 x y 2 0, 则目标函数 z y 2x
y 3 0,
的最小值为
(A) －7 (B) －4 (C) 1 (D) 2
【答案】A
【解析】由 z y 2x 得 y 2x z 。作出可行域如图，平移直线
y 2x z ，由图象可知当直线 y 2x z 经过点 D 时，直线
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2013 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
文科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共 150 分. 考试用时 120 分钟. 第 Ⅰ卷 1 至 2 页, 第Ⅱ卷 3 至 5 页.
2. 本卷共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 参考公式: 如果事件 A, B 互斥, 那么 P(A B) P(A) P(B)
2013年高考文科数学天津卷(含详细答案)
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至6页.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选凃其他答案标号.2.本卷共8小题,每小题5分,共40分. 参考公式：•如果事件A ,B 互斥,那么 •球的体积公式34π3V R =. ()()()P AB P A P B =+.•棱柱的体积公式V Sh =. 其中R 表示球的半径. 其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{|||2}A x x =∈≤R ,{|1}B x x =∈R ≤,则A B =( ) A .(,2]∞-B .[1,2]C .[]2,2-D .[12,]--2.设变量x ,y 满足约束条件0,230,306,x x y y y +----⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤则目标函数2z y x =-的最小值为( ) A .－7B .－4C .1D .23.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出n 的值 为( ) A .7 B .6 C .5D .44.设a ,b ∈R ,则“2()0a b a -<”是“a b <”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件5.已知过点(2,2)P 的直线与圆22(1)5x y -+=相切,且 与直线10ax y -+=垂直,则a = ( ) A .12-B .1C .2D .126.函数π()sin(2)4f x x =-在区间π[0,]上的最小值为( )A .1-B . CD .07.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且在区间[)0,+∞上单调递增.若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f a f +≤,则a 的取值范围是( )A .[1,2]B .1(0,]2C .1[,2]2D .(0,2]8.设函数()e 2x f x x =+-,2()ln 3g x x x =+-.若实数a ,b 满足()0f a =,()0g b =, 则( )A .()0()g a f b <<B .()0()f b g a <<C .0()()g a f b <<D .()()0f b g a <<第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题,共110分.二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.i 是虚数单位,复数(3i)(12i)+-= .10.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为9π2,则正方体的棱长为 .11.已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221x y a b-=（0a >,0b >）的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为 .12.在平行四边形ABCD 中,1AD =,60BAD ∠=,E 为CD 的中点.若1AC BE =,则AB 的长为 .13.如图,在圆内接梯形ABCD 中,AB DC ∥.过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E .若5AB AD ==,4BE =,则弦BD 的长为 .14.设2a b +=,0b >,则1||2||a a b+的最小值为 .--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------姓名________________ 准考证号_____________三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）某产品的三个质量指标分别为x ,y ,z ,用综合指标S x y z =++评价该产品的等级. 若4S ≤,则该产品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取10件产品作为样本,其质（Ⅰ）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率； （Ⅱ）在该样本的一等品中,随机抽取2件产品, （i ）用产品编号列出所有可能的结果；（ii ）设事件B 为“在取出的2件产品中,每件产品的综合指标S 都等于4”,求事件B 发生的概率.16.（本小题满分13分）在ABC △中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知sin 3sin b A c B =,3a =,2cos 3B =.（Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）求πsin(2)3B -的值.17.（本小题满分13分）如图,三棱柱111ABC A B C -中,侧棱1A A ⊥底面ABC ,且各棱长均相等,D ,E ,F 分别为棱AB ,BC ,11AC 的中点. （Ⅰ）证明：EF ∥平面1A CD ； （Ⅱ）证明：平面1A CD ⊥平面11A ABB ； （Ⅲ）求直线BC 与平面1A CD 所成角的正弦值.18.（本小题满分13分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,,过点F 且与x 轴垂直的直（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A 、B 分别为椭圆的左、右顶点,过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ,D 两点.若8AC DB AD CB +=,求k 的值.19.（本小题满分14分）已知首项为32的等比数列{}n a 的前n 项和为*()n S n ∈N ,且22S -,3S ,44S 成等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明1136n n S S +≤（*n ∈N ）. 20.（本小题满分14分）设[2,0]a ∈-,已知函数332(5),0,()3,0.2x a x x f x a x x ax x ⎧-+⎪=⎨+-+>⎪⎩≤（Ⅰ）证明()f x 在区间(1,1)-内单调递减,在区间()1,+∞内单调递增；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())i i i P x f x (1,2,3)i =处的切线相互平行,且1230x x x ≠. 证明12313x x x ++>-.{=∈RA B x，再利用数轴进行集合的交集运算.【解析】π0,2x ⎡∈⎢⎣π4=-时，【解析】12log f a ⎛ ⎝又上单调递增，【解析】()e f x '=是(0,)+∞上的增函数(1)2g =-【提示】先判定出零点【考点】利用导数解决不等式问题【解析】由已知得AC =AD AB +，12BE AD AB =-， ∴AC BE =221122AD AB AD AB AD AB -+-2111||22AB AD AB =+-211cos60||12AB AD AB ︒-=.1AB=.||【提示】用AB与AD用AC与BE表示，然后进行向量的数量积运算【考点】平面向量的应用15BE EC=+4(4，所以ABE△数学试卷第16页（共30页）ac B，cos cos5，进而得3数学试卷 第22页（共30页）所以AC DB ＋AD CB12222113,)(3,)(3,)3,y x y x y x y +--++--（）122y y3 1. 2n数学试卷第28页（共30页）。
2013年天津市高考数学试卷(文科)答案与解析
2013年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.共8小题,每小题5分,共40分.2．（5分）（2013•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的，3．（5分）（2013•天津）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为（）25．（5分）（2013•天津）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线axB=26．（5分）（2013•天津）函数f（x）=sin（2x﹣）在区间[0，]上的最小值是（）取值范围，再由正弦函数的性质即可求出所求的最小值．∈，[在区间的最小值为7．（5分）（2013•天津）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递增．若实数a满足f（log2a）+f（log a）≤2f（1），则a的取值范围是（），即≤8．（5分）（2013•天津）设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）（，∴二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）（2013•天津）i是虚数单位．复数（3+i）（1﹣2i）=5﹣5i．10．（5分）（2013•天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为．，所以正方体的体对角线长为：a，．故答案为：11．（5分）（2013•天津）已知抛物线y2=8x的准线过双曲线的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为．，可得的一个焦点为（﹣曲线的离心率的计算公式可得=2，可得由题意可得双曲线的一个焦点为（﹣，∴∴双曲线的方程为．故答案为．12．（5分）（2013•天津）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若，则AB的长为．，=+﹣，，∴故答案为13．（5分）（2013•天津）如图，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC，过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E．若AB=AD=5，BE=4，则弦BD的长为．，．故答案为：．14．（5分）（2013•天津）设a+b=2，b＞0，则的最小值为．由题意得，，1的最小值为故答案为：．三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）（2013•天津）某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作（Ⅱ）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，（i）用产品编号列出所有可能的结果；（ii）设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．件，故样本的一等品率为=16．（13分）（2013•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知bsinA=3csinB，a=3，．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求的值．中，有正弦定理，b=（Ⅱ）由sinB=﹣=17．（13分）（2013•天津）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面A1CD；（Ⅱ）证明：平面A1CD⊥平面A1ABB1；（Ⅲ）求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．ACD=BG==，所成角的正弦值18．（13分）（2013•天津）设椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若=8，求k的值．代入求出弦长使其等于，由，再由韦达定理进行求解．求得（Ⅰ）根据椭圆方程为，得±，=∵离心率为，∴=b=；﹣（﹣（，，（k=19．（14分）（2013•天津）已知首项为的等比数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且﹣2S2，S3，4S4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明．（Ⅱ）根据（Ⅰ）求出，代入，，∴；为奇数时，=，=，，且综上，有20．（14分）（2013•天津）设a∈[﹣2，0]，已知函数（Ⅰ）证明f（x）在区间（﹣1，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增；（Ⅱ）设曲线y=f（x）在点P i（x i，f（x i））（i=1，2，3）处的切线相互平行，且x1x2x3≠0，证明．（Ⅰ）令，）内单调递减，在区间单调递减，在区间利用导数的几何意义可得根据以上等式可得，从而，解得，于是可得t=，已知，①②时，时，，即函数在区间内单调递减，在区间互不相等，且．，解得，从而，则，解得，t=，则，，∴。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)-文科数学
天津文科本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项:1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.2.本卷共8小题,每小题5分,共40分.参考公式:·如果事件A,B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).·棱柱的体积公式V=Sh.其中S表示棱柱的底面面积,h表示棱柱的高.·球的体积公式V=43πR3.其中R表示球的半径.一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013天津,文1)已知集合A={x∈R||x|≤2},B={x∈R|x≤1},则A∩B=().A.(-∞,2]B.[1,2]C.[-2,2]D.[-2,1]答案:D解析:解不等式|x|≤2,得-2≤x≤2,即A={x|-2≤x≤2},A∩B={x|-2≤x≤1},故选D.2.(2013天津,文2)设变量x,y满足约束条件3x+y-6≥0,x-y-2≤0,y-3≤0,则目标函数z=y-2x的最小值为().A.-7B.-4C.1D.2 答案:A解析:作约束条件3x+y-6≥0,x-y-2≤0,y-3≤0所表示的可行域,如图所示,z=y-2x可化为y=2x+z,z表示直线在y轴上的截距,截距越大z越大,作直线l0:y=2x,平移l0,当l0过点A(5,3)时,z取最小值,且为-7,选A.3.(2013天津,文3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出n的值为().A.7B.6C.5D.4答案:D解析:由程序框图可知,n=1时,S=-1;n=2时,S=1;n=3时,S=-2;n=4时,S=2≥2,输出n的值为4,故选D.4.(2013天津,文4)设a,b∈R,则“(a-b)·a2<0”是“a<b”的().A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:因为a2≥0,而(a-b)a2<0,所以a-b<0,即a<b;由a<b,a2≥0,得到(a-b)a2≤0可以为0,所以“(a-b)a2<0”是“a<b”的充分而不必要条件.5.(2013天津,文5)已知过点P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切,且与直线ax-y+1=0垂直,则a=().A.-12B.1C.2D.12答案:C解析:由题意知点P(2,2)在圆(x-1)2+y2=5上,设切线的斜率为k,则k·2-02-1=-1,解得k=-12,直线ax-y+1=0的斜率为a,其与切线垂直,所以-12a=-1,解得a=2,故选C.6.(2013天津,文6)函数f(x)=sin2x-π4在区间0,π2上的最小值为().A.-1B.-22C.22D.0答案:B解析:因为x∈0,π2,所以2x-π4∈-π4,3π4,当2x-π4=-π4,即x=0时,f(x)取得最小值-22.7.(2013天津,文7)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数a满足f(log2a)+f(lo g12a)≤2f(1),则a的取值范围是().A.[1,2]B.0,1C.12,2D.(0,2]答案:C解析:因为lo g12a=-log2a,所以f(log2a)+f(lo g12a)=f(log2a)+f(-log2a)=2f(log2a),原不等式变为2f(log2a)≤2f(1),即f(log2a)≤f(1).又因为f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上递增,所以|log2a|≤1,即-1≤log2a≤1,解得12≤a≤2,故选C.8.(2013天津,文8)设函数f(x)=e x+x-2,g(x)=ln x+x2-3.若实数a,b满足f(a)=0,g(b)=0,则().A.g(a)<0<f(b)B.f(b)<0<g(a)C.0<g(a)<f(b)D.f(b)<g(a)<0答案:A解析:由f (a )=e a +a-2=0得0<a<1.由g (b )=ln b+b 2-3=0得1<b<2. 因为g (a )=ln a+a 2-3<0, f (b )=e b +b-2>0,所以f (b )>0>g (a ),故选A .第Ⅱ卷注意事项:1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题,共110分.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.(2013天津,文9)i 是虚数单位,复数(3+i)(1-2i)= . 答案:5-5i解析:(3+i)(1-2i)=3-6i +i -2i 2=5-5i . 10.(2013天津,文10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为9π2,则正方体的棱长为 . 答案: 3解析:由题意知V 球=43πR 3=9π2,R=32.设正方体的棱长为a ,则 22R ,a= 3,所以正方体的棱长为 3. 11.(2013天津,文11)已知抛物线y 2=8x 的准线过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为 . 答案:x 2-y 23=1解析:抛物线y 2=8x 的准线为x=-2,则双曲线的一个焦点为(-2,0),即c=2,离心率e=c a=2,故a=1,由a 2+b 2=c 2得b 2=3,所以双曲线的方程为x 2-y 23=1.12.(2013天津,文12)在平行四边形ABCD 中,AD=1,∠BAD=60°,E 为CD 的中点.若AC ·BE =1,则AB 的长为 . 答案:12解析:取平面的一组基底{AB ,AD },则AC =AB +AD ,BE =BC +CE =-1AB +AD , AC ·BE =(AB +AD )· -1AB+AD =-1|AB |2+1AB ·AD +|AD |2=-1|AB |2+1|AB |+1=1,解方程得|AB |=1(舍去|AB |=0),所以线段AB 的长为12.13.(2013天津,文13)如图,在圆内接梯形ABCD 中,AB ∥DC.过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E.若AB=AD=5,BE=4,则弦BD 的长为 . 答案:152解析:因为在圆内接梯形ABCD 中,AB ∥DC ,所以AD=BC ,∠BAD+∠BCD=180°,∠ABE=∠BCD.所以∠BAD+∠ABE=180°.又因为AE 为圆的切线,所以AE 2=BE ·EC=4×9=36,故AE=6. 在△ABE 中,由余弦定理得cos ∠ABE=AB 2+B E 2-A E 2=1,cos ∠BAD=cos(180°-∠ABE )=-cos ∠ABE=-18,在△ABD 中,BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·AD ·cos ∠BAD=2254,所以BD=152.14.(2013天津,文14)设a+b=2,b>0,则1+|a |的最小值为 .答案:3解析:因为a+b=2,所以a +b =1,1+|a |=a +b2+|a |=a +b +|a |≥a +2 ·|a |=a+1,当且仅当b=2|a|时,等号成立.当a>0时,a 4|a |+1=54,故12|a |+|a |b ≥54;当a<0时,a 4|a |+1=34,12|a |+|a |b ≥34.综上可得最小值为34.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(2013天津,文15)(本小题满分13分)某产品的三个质量指标分别为x ,y ,z ,用综合指标S=x+y+z 评价该产品的等级.若S ≤4,,其质量指标列表如下:(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率; (2)在该样本的一等品中,随机抽取2件产品, ①用产品编号列出所有可能的结果;②设事件B 为“在取出的2件产品中,每件产品的综合指标S 都等于4”,求事件B 发生的概率. 解:(1)计算10其中S ≤4的有A 1,A 2,A 4,A 5,A 7,A 9,共6件,故该样本的一等品率为610=0.6,从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)①在该样本的一等品中,随机抽取2件产品的所有可能结果为{A 1,A 2},{A 1,A 4},{A 1,A 5},{A 1,A 7},{A 1,A 9},{A 2,A 4},{A 2,A 5},{A 2,A 7},{A 2,A 9},{A 4,A 5},{A 4,A 7},{A 4,A 9},{A 5,A 7},{A 5,A 9},{A 7,A 9},共15种.②在该样本的一等品中,综合指标S 等于4的产品编号分别为A 1,A 2,A 5,A 7,则事件B 发生的所有可能结果为{A 1,A 2},{A 1,A 5},{A 1,A 7},{A 2,A 5},{A 2,A 7},{A 5,A 7},共6种.所以P (B )=615=25.16.(2013天津,文16)(本小题满分13分)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c.已知b sin A=3c sinB ,a=3,cos B=23. (1)求b 的值; (2)求sin 2B -π3 的值. 解:(1)在△ABC 中,由a sin A=bsin B,可得b sin A=a sin B ,又由b sin A=3c sin B ,可得a=3c ,又a=3,故c=1.由b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,cos B=23,可得b= 6. (2)由cos B=2,得sin B= 5,进而得cos2B=2cos 2B-1=-19,sin2B=2sin B cos B=4 59.所以sin 2B -π3 =sin2B cos π3-cos2B sin π3=4 5+ 318.17.(2013天津,文17)(本小题满分13分)如图,三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,侧棱A 1A ⊥底面ABC ,且各棱长均相等,D ,E ,F 分别为棱AB ,BC ,A 1C 1的中点.(1)证明EF ∥平面A 1CD ;(2)证明平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1;(3)求直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值.(1)证明:如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AC ∥A 1C 1,且AC=A 1C 1,连接ED ,在△ABC 中,因为D ,E 分别为AB ,BC 的中点,所以DE=12AC 且DE ∥AC ,又因为F 为A 1C 1的中点,可得A 1F=DE ,且A 1F ∥DE ,即四边形A 1DEF 为平行四边形, 所以EF ∥DA 1.又EF ⊄平面A 1CD ,DA 1⊂平面A 1CD ,所以EF ∥平面A 1CD.(2)证明:由于底面ABC 是正三角形,D 为AB 的中点,故CD ⊥AB ,又由于侧棱A 1A ⊥底面ABC ,CD ⊂平面ABC , 所以A 1A ⊥CD ,又A 1A ∩AB=A ,因此CD ⊥平面A 1ABB 1,而CD ⊂平面A 1CD ,所以平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1.(3)解:在平面A 1ABB 1内,过点B 作BG ⊥A 1D 交直线A 1D 于点G ,连接CG.由于平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1,而直线A 1D 是平面A 1CD 与平面A 1ABB 1的交线, 故BG ⊥平面A 1CD.由此得∠BCG 为直线BC 与平面A 1CD 所成的角. 设棱长为a ,可得A 1D=5a2,由△A 1AD ∽△BGD ,易得BG= 5a5.在Rt △BGC 中,sin ∠BCG=BG BC=55.所以直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值为 55.18.(2013天津,文18)(本小题满分13分)设椭圆x 22+y 2b2=1(a>b>0)的左焦点为F ,离心率为 3,过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为4 3.(1)求椭圆的方程;(2)设A ,B 分别为椭圆的左、右顶点,过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ,D 两点.若AC ·DB +AD ·CB =8,求k 的值.解:(1)设F (-c ,0),由c =3,知a= 3c.过点F 且与x 轴垂直的直线为x=-c ,代入椭圆方程有(-c )22+y 2b2=1,解得y=±6b,于是2 6b =4 3,解得b= 2, 又a 2-c 2=b 2,从而a= 3,c=1, 所以椭圆的方程为x 2+y 2=1. (2)设点C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),由F (-1,0)得直线CD 的方程为y=k (x+1),由方程组 y =k (x +1),x 2+y 2=1消去y ,整理得(2+3k 2)x 2+6k 2x+3k 2-6=0.求解可得x 1+x 2=-6k 22+3k2,x 1x 2=3k 2-62+3k2.因为A (- 3,0),B ( 3,0), 所以AC ·DB +AD ·CB=(x 1+ 3,y 1)·( 3-x 2,-y 2)+(x 2+ 3,y 2)·( 3-x 1,-y 1) =6-2x 1x 2-2y 1y 2=6-2x 1x 2-2k 2(x 1+1)(x 2+1) =6-(2+2k 2)x 1x 2-2k 2(x 1+x 2)-2k 2 =6+2k 2+122+3k 2.由已知得6+2k 2+122+3k 2=8,解得k=± 2.19.(2013天津,文19)(本小题满分14分)已知首项为3的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *),且-2S 2,S 3,4S 4成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式; (2)证明S n +1S n≤136(n ∈N *). (1)解:设等比数列{a n }的公比为q ,因为-2S 2,S 3,4S 4成等差数列,所以S 3+2S 2=4S 4-S 3,即S 4-S 3=S 2-S 4,可得2a 4=-a 3,于是q=a4a 3=-12.又a 1=32,所以等比数列{a n }的通项公式为a n =32× -12n -1=(-1)n-1·32n . (2)证明:S n =1- -12 n ,S n +1S n =1- -12 n +11- -12 n = 2+12n (2n +1),n 为奇数,2+12n (2n -1),n 为偶数. 当n 为奇数时,S n +1S n 随n 的增大而减小,所以S n +1S n ≤S 1+1S 1=136.当n 为偶数时,S n +1n 随n 的增大而减小,所以S n +1n ≤S 2+12=25.故对于n ∈N *,有S n +1S n ≤136.20.(2013天津,文20)(本小题满分14分)设a ∈[-2,0],已知函数f (x )= x 3-(a +5)x ,x ≤0,x 3-a +32x2+ax ,x >0.(1)证明f (x )在区间(-1,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增;(2)设曲线y=f (x )在点P i (x i ,f (x i ))(i=1,2,3)处的切线相互平行,且x 1x 2x 3≠0.证明x 1+x 2+x 3>-1. 证明:(1)设函数f 1(x )=x 3-(a+5)x (x ≤0),f 2(x )=x 3-a +3x 2+ax (x ≥0), ①f 1'(x )=3x 2-(a+5),由a ∈[-2,0],从而当-1<x<0时,f 1'(x )=3x 2-(a+5)<3-a-5≤0,所以函数f 1(x )在区间(-1,0]内单调递减.②f 2'(x )=3x 2-(a+3)x+a=(3x-a )(x-1),由于a ∈[-2,0],所以当0<x<1时,f 2'(x )<0;当x>1时,f 2'(x )>0.即函数f 2(x )在区间[0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增.综合①,②及f 1(0)=f 2(0),可知函数f (x )在区间(-1,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增.(2)由(1)知f'(x )在区间(-∞,0)内单调递减,在区间 0,a +36 内单调递减,在区间 a +36,+∞ 内单调递增. 因为曲线y=f (x )在点P i (x i ,f (x i ))(i=1,2,3)处的切线相互平行,从而x 1,x 2,x 3互不相等,且f'(x 1)=f'(x 2)=f'(x 3).不妨设x 1<0<x 2<x 3,由3x 12-(a+5)=3x 22-(a+3)x 2+a=3x 32-(a+3)x 3+a ,可得3x 22-3x 32-(a+3)(x 2-x 3)=0,解得x 2+x 3=a +33,从而0<x 2<a +36<x 3. 设g (x )=3x 2-(a+3)x+a ,则g a +36<g (x 2)<g (0)=a. 由3x 12-(a+5)=g (x 2)<a ,解得- 2a +53<x 1<0,所以x 1+x 2+x 3>- 2a +53+a +33, 设t=2a +5,则a=3t 2-5,因为a∈[-2,0],所以t∈33,15 3,故x1+x2+x3>-t+3t 2+16=12(t-1)2-13≥-13,即x1+x2+x3>-13.。
da2013年高考数学试卷答案 天津文
2013年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基础运算。
每小题5分。
满分40分。
1.D2.A3.D4.A5.C6.B7.C8.A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。
每小题5分，满分30分。
9.5-5i 11.2213y x -= 12.12 13.152 14.34三、解答题15.本小题主要考查样本估计总体的方法、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识。
考查数据处理能力和运用概率知识解决简单问题的能力。
满分13分。
其中S ≤4的有1A ，2A ，4A ，5A ，7A ，9A ，共6件，故该样本的一等品率为610=0.6， 从而可估计该批产品的一等品率为0.6.（2）①解：在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{}1,2A A ，{}1,4A A ，{}1,5A A ，{}1,7A A ，{}1,9A A ，{}24,A A ，{}25,A A ，{}27,A A ，{}29,A A ，{}45,A A ，{}47,A A ，{}49,A A ，{}57,A A ，{}59,A A ，{}79,A A ，共15种.②解：在该样本的一等品中，综合指标S 等于4的产品编号分别为1A ，2A ， 5A ，7A ，则事件B 发生的所有可能结果为{}1,2A A ，{}1,5A A ，{}1,7A A ，{}25,A A ，{}27,A A ，{}57,A A 共6种。
所以P(B)= 62155=.16.本小题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦公式 、两角差的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查基本运算求解能力.满分13分。
（1）解：在ABC ∆中，由s i n a A =sin bB，可得s i n s i n b A a B =,又由s i n 3s i n b A c B =，可得a=3c ，又a=3，故c=1.由2222cos b a c ac B =+-，cos B =23，可得b =（2）解：由cos B =23，得sin B =，进而得cos 2B =22cos 1B -=19-，sin 22sin cos B B B ==.所以sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭=sin 2cos 3B πcos 2sin 3B π-=17.本小题主要考查直线与平面平行、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识。
2013年高考文科数学天津卷
数学（文史类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分 钟.第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 4 至 6 页. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用 条形码.答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后,将本试 卷和答题卡一并交回. 祝各位考生考试顺利!
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绝密★启用前
在
3.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 n 的值 为 A. 7 C. 5 ( B. 6 D. 4 ) 2.本卷共 12 小题,共 110 分. ) 注意事项：
第Ⅱ卷2013 年普通高等校招生全国统一考试（天津卷）19.（本小题满分 14 分）
3 的等比数列 an 的前 n 项和为 Sn (n N* ) ,且 2S2 , S3 , 4S4 成等差数列. 2 （Ⅰ）求数列 an 的通项公式；
B.1
1 D. 2
( D.0 )
线的离心率为 2 ,则该双曲线的方程为
姓名________________
答
--------------------
P( A
B) P( A) P( B) .
4 3 πR . 3
π π 6.函数 f ( x) sin(2 x ) 在区间 [0, ] 上的最小值为 4 2 2 2 A. 1 B. C. 2 2
8.设函数 f ( x) e x x 2 , g ( x) ln x x2 3 .若实数 a , b 满足 f (a) 0 , g (b) 0 , 则 ( D. [-2, -1] ( ) ) A. g (a) 0 f (b) C. 0 g (a) f (b) B. f (b) 0 g (a) D. f (b) g (a) 0 14.设 a b 2 , b 0 ,则 ( )
2013年天津高考数学试题及答案(文科)
2013年天津高考数学试题及答案(文科)一、选择题1． 已知集合A ＝{x ∈||x |≤2}，B ＝{x ∈|x ≤1}，则A ∩B ＝( ) A ．(－∞，2] B ．[1，2] C ．[－2，2] D ．[－2，1]1．D [解析] A ∩B ＝{x ∈|－2≤x ≤2}∩{x ∈|x ≤1}＝{x ∈|－2≤x ≤1}．2． 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．22．A [解析] 可行域如图：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，x －y －2＝0，得A (5，3)，当目标函数线过可行域内A 点时，目标函数有最小值z＝3－2×5＝－7.3． 阅读如图1－1所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n 的值为( )图1－1A ．7B ．6C ．5D ．43．D [解析] 当n ＝1时，S ＝0＋(－1)×1＝－1；当n ＝2时，S ＝－1＋(－1)2×2＝1；当n ＝3时，S ＝1＋(－1)3×3＝－2；当n ＝4时，S ＝－2＋(－1)4×4＝2满足题意，输出n ＝4.4． 设a ，b ∈，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．A [解析] 当(a －b )·a 2<0时，易得a <b ，反之当a ＝0，b ＝1时，(a －b )·a 2＝0，不成立．故选A.5．， 已知过点P (2，2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．－12 B ．1C ．2 D.125．C [解析] 设过点P (2，2)的圆的切线方程为y －2＝k (x －2)，由题意得|k －2|1＋k 2＝5，解之得k ＝－12.又∵切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，∴a ＝2.6． 函数f (x )＝sin2x －π4在区间0，π2上的最小值为( )A ．－1B ．－22C.22D ．0 6．B [解析] ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，当2x －π4＝－π4时，f (x )有最小值－22. 7．， 已知函数f (x )是定义在上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1，2]B ．0，12C.12，2 D ．(0，2] 7．C [解析] ∵f (x )为偶函数，∴f (log 2a )＝f (log 12a )，又∵f (log 2a )＋f ⎝⎛⎭⎫log 12a ≤2f (1)，∴f (log 2a )≤f (1)，即|log 2a |≤1，解之得12≤a ≤2.8． 设函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( ) A ．g (a )<0<f (b ) B ．f (b )<0<g (a ) C ．0<g (a )<f (b ) D ．f (b )<g (a )<08．A [解析] 由数形结合及f (a )＝0，g (b )＝0得a ∈(0，1)，b ∈(1，2)，∴a <b ，且f (x )，g (x )都是递增的，所以g (a )<0<f (b )．9． i 是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝________．9．5－5i [解析] (3＋i)(1－2i)＝3×1＋2＋(1－6)i ＝5－5i.10． 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为9π2，则正方体的棱长为________．10.3 [解析] 设正方体的棱长为a ，则43π⎝⎛⎭⎫3a 23＝92π，解之得a ＝ 3.11．， 已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．11．x 2－y 23＝1 [解析] 由抛物线的准线方程为x ＝－2，得a 2＋b 2＝4，又∵双曲线的离心率为2，得c a ＝2，得a ＝1，b 2＝3，∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1.12． 在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．12.12 [解析] 由题意得BE →＝AE →－AB →＝AD →＋12AB →－AB →＝AD →－12AB →，AC →＝AD →＋AB →， 所以AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·⎝⎛⎭⎫AD →－12AB →＝AD →2－12AB →2＋12AD →·AB →＝1－12AB →2＋12|AB →|×1×12＝1，解之得|AB →|＝12或0(舍去)．13． 如图1－2所示，在圆内接梯形ABCD 中，AB ∥DC .过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E .若AB ＝AD ＝5，BE ＝4，则弦BD 的长为________．图1－213.152 [解析] 联结AC .由圆内接梯形的性质得，∠DCB ＝∠ABE ，∠DAB ＋∠DCB ＝180°，∠ABC ＋∠DCB ＝180°，∴∠DAB ＝∠ABC ，∠DAB ＋∠ABE ＝180°，又∵∠ADB ＝∠ACB ，∴∠CAB ＝∠DBA ，又∠ADB ＝∠ABD ，∴∠BAC ＝∠BCA ，∴BC ＝AB ＝5.由切割线定理得AE 2＝BE ·EC ＝4×(4＋5)＝36，由cos ∠ABE ＝－cos ∠DAB ，得－AD 2＋AB 2－BD 22AD ·AB ＝AB 2＋BE 2－AE 22AB ·BE ，即－52＋52－BD 22×5×5＝52＋42－362×5×4，解之得BD ＝152.14． 设a ＋b ＝2，b >0，则12|a |＋|a |b的最小值为________． 14.34 [解析] 12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ≥a4|a |＋2b 4|a |·|a |b ≥－14＋1＝34. 15．， 某产品的三个质量指标分别为x ，y ，z ，用综合指标S ＝x ＋y ＋z 评价该产品的等级，若S ≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：产品编号 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 质量指标 (x ，y ，z ) (1，1，2)(2，1，1)(2，2，2)(1，1，1)(1，2，1) 产品编号 A 6 A 7 A 8 A 9 A 10 质量指标 (x ，y ，z )(1，2，2)(2，1，1)(2，2，1)(1，1，1)(2，1，2)(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率； (2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品， (i)用产品编号列出所有可能的结果；(ii)设事件B 为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S 都等于4”．求事件B 发生的概率．15．解：(1)计算10件产品的综合指标S ，如下表：产品编号A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 A 9 A 10 S4463454535其中S ≤4的有A 1，A 2，A 4，A 5，A 7，A 9，共6件，故该样本的一等品率为610＝0.6.从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)(i)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 1，A 9}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 2，A 9}，{A 4，A 5}，{A 4，A 7}，{A 4，A 9}，{A 5，A 7}，{A 5，A 9}，{A 7，A 9}，共15种．(ii)在该样本的一等品中，综合指标S 等于4的产品编号分别为A 1，A 2，A 5，A 7，则事件B 发生的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 5，A 7}, 共6种．所以P (B )＝615＝25.16．， 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23.(1)求b 的值； (2)求sin2B －π3的值．16．解：(1)在△ABC 中，由a sin A ＝b sin B，可得b sin A ＝a sin B ，又由b sin A ＝3c sin B ，可得a ＝3c ，又a ＝3，故c ＝1.由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，cos B ＝23，可得b ＝ 6.(2)由cos B ＝23，得sin B ＝53，进而得cos 2B ＝2cos 2 B －1＝－19，sin 2B ＝2sin B cos B ＝4 59.所以sin2B －π3＝sin 2B cos π3－cos 2B sin π3＝4 5＋318.17．，、 如图1－3所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，且各棱长均相等，D ，E ，F 分别为棱AB ，BC ，A 1C 1的中点．(1)证明EF ∥平面A 1CD ；(2)证明平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1；(3)求直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值．图1－317．解：(1)证明：如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，联结ED ，在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ＝12AC 且DE ∥AC ，又因为F 为A 1C 1的中点，可得A 1F ＝DE ，且A 1F ∥DE ，即四边形A 1DEF 为平行四边形，所以EF ∥DA 1.又EF ⊄平面A 1CD ，DA 1⊂平面A 1CD ，所以，EF ∥平面A 1CD .(2)证明：由于底面ABC 是正三角形，D 为AB 的中点，故CD ⊥AB ，又由于侧棱AA 1⊥底面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以A 1A ⊥CD ，又A 1A ∩AB ＝A ，因此CD ⊥平面A 1ABB 1，而CD ⊂平面A 1CD ，所以平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1.(3)在平面A 1ABB 1内，过点B 作BG ⊥A 1D 交直线A 1D 于点G ，联结CG ，由于平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1，而直线A 1D 是平面A 1CD 与平面A 1ABB 1的交线，故BG ⊥平面A 1CD ，由此得∠BCG 为直线BC 与平面A 1CD 所成的角．设三棱柱各棱长为a ，可得A 1D ＝5a 2，由△A 1AD ∽△BGD ，易得BG ＝5a 5.在Rt △BGC 中，sin ∠BCG ＝BG BC ＝55.所以直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值为55. 18．， 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为4 33.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点， 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，求k 的值．18．解：(1)设F (－c ，0)，由c a ＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有（－c ）2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b 3.于是2 6b 3＝4 33，解得b ＝ 2.又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1，0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)． 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x 23＋y 22＝1消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.因为A (－3，0)，B (3，0)，所以AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1)＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2 ＝6＋2k 2＋122＋3k 2.由已知得6＋2k 2＋122＋3k 2＝8，解得k ＝±2.19． 已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈*)，且－2S 2，S 3，4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明S n ＋1S n ≤136(n ∈*)．19．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为－2S 2，S 3，4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4，可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×－12n －1＝(－1)n －1·32n .(2)证明：S n＝1－－12n，S n＋1S n＝1－－12n＋11－－12n＝⎩⎨⎧2＋12n（2n＋1），n 为奇数，2＋12n（2n－1），n 为偶数.当n为奇数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝136.当n 为偶数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝2512.故对于n ∈*，有S n ＋1S n ≤136.20． 设a ∈[－2，0]，已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－（a ＋5）x ，x ≤0，x 3－a ＋32x 2＋ax ，x >0.(1)证明f (x )在区间(－1，1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增；(2)设曲线y ＝f (x )在点P i (x i ，f (x i ))(i ＝1，2，3)处的切线相互平行，且x 1x 2x 3≠0，证明x 1＋x 2＋x 3>－13.20．解：(1)证明：设函数f 1(x )＝x 3－(a ＋5)x (x ≤0)，f 2(x )＝x 3－a ＋32x 2＋ax (x ≥0)，①f ′1(x )＝3x 2－(a ＋5)，a ∈[－2，0]，从而当－1<x ≤0时，f ′1(x )＝3x 2－(a ＋5)<3－a －5≤0，所以函数f 1(x )在区间(－1，0]内单调递减．②f ′2(x )＝3x 2－(a ＋3)x ＋a ＝(3x －a )(x －1)，由于a ∈[－2，0]，所以当0<x <1时，f ′2(x )<0；当x >1时，f ′2(x )>0，即函数f 2(x )在区间[0，1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增．综合①②及f 1(0)＝f 2(0)，可知函数f (x )在区间(－1，1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增．(2)证明：由(1)知f ′(x )在区间(－∞，0)内单调递减，在区间0，a ＋36内单调递减，在区间a ＋36，＋∞内单调递增，且f ′2(0)－f ′1(0)＝a ＋a ＋5>0.因为曲线y ＝f (x )在点P i (x i ，f (x i ))(i ＝1，2，3)处的切线相互平行，从而x 1，x 2，x 3互不相等，且f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝f ′(x 3)．结合图像不妨设x 1<0<x 2<x 3，由3x 21－(a ＋5)＝3x 22－(a ＋3)x 2＋a ＝3x 23－(a ＋3)x 3＋a ，可得3x 22－3x 23－(a ＋3)(x 2－x 3)＝0，解得x 2＋x 3＝a ＋33. 设g (x )＝3x 2－(a ＋3)x ＋a ，则g a ＋36<g (x 2)<g (0)＝a .由3x 21－(a ＋5)＝g (x 2)<a ，解得－2a ＋53<x 1<0，所以x 1＋x 2＋x 3>－2a ＋53＋a ＋33. 设t ＝2a ＋53，则a ＝3t 2－52. 因为a ∈[－2，0]，所以t ∈33，153， 故x 1＋x 2＋x 3>－t ＋3t 2＋16＝12(t －1)2－13≥－13，即x 1＋x 2＋x 3>－13.。
2013年天津高考文科数学试题及答案(Word版)
⎨ ⎩2013 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共 150 分. 考试用时 120 分钟. 第Ⅰ卷 1 至 2 页, 第Ⅱ卷 3 至 5 页.第Ⅰ卷参考公式:如果事件 A , B 互斥, 那么P ( A ⋃ B ) = P ( A ) + P (B )·棱柱的体积公式 V = Sh ，其中 S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. ·如果事件 A , B 相互独立, 那么P ( AB ) = P ( A )P (B )·球的体积公式V = 4 π R 3.3其中 R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合 A = {x ∈R | |x |≤2}, B = {x ∈R | x ≤1}, 则 A ⋂ B =(A)(-∞, 2](B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1]⎧3x + y - 6 ≥ 0, (2)设变量 x , y 满足约束条件⎪x - y - 2 ≤ 0, ⎪ y - 3 ≤ 0, 则目标函数 z = y －2x 的最小值为(A) －7 (B) －4(C) 1(D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 则输出n 的值为(A) 7(B) 6⎦(C) 5(D) 4(4) 设a , b ∈ R , 则 “ (a - b )a 2 < 0 ”是“ a < b ”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件(5) 已知过点 P (2,2) 的直线与圆(x - 1)2 + y 2 = 5 相切, 且与直线ax - y + 1 = 0 垂直, 则a =(A)- 1 2(B) 1 (C) 2(D) 12(6) 函数 f (x ) = sin ⎛ 2x - π ⎫ 在区间⎡0, π ⎤上的最小值是4 ⎪ ⎢ 2 ⎥ ⎝ ⎭ (A) -1⎣ ⎦(B) - 2 2(C)22(D) 0(7) 已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的偶函数, 且在区间[0, +∞) 上单调递增. 若实数 a 满足f (log 2 a ) + f (log 1 a ) ≤ 2 f (1) , 则 a 的取值范围是2(A)[1, 2](B) ⎛ 0, 1 ⎤ 2 ⎥(C) ⎡1 ⎤⎝ ⎦(D)(0, 2]⎢⎣ 2 ,2⎥ (8) 设函数 f (x ) = e x + x - 2, g (x ) = ln x + x 2 - 3 . 若实数 a , b 满足 f (a ) = 0, g (b ) = 0 , 则(A)g (a ) < 0 < f (b )(B) f (b ) < 0 < g (a ) (C) 0 < g (a ) < f (b )(D)f (b ) <g (a ) < 02013 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文 科 数 学第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共 12 小题, 共 110 分.二．填空题: 本大题共 6 小题, 每小题 5 分, 共 30 分. (9) i 是虚数单位. 复数(3 + i )(1－2i ) = .(10) 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为 9π , 则正方体的棱长2为 .2x 2 y 2(11) 已知抛物线 y= 8x 的准线过双曲线 a 2 - b2 = 1(a > 0,b > 0) 的一个焦点,且双曲线的离心率为 2, 则该双曲线的方程为.(12) 在平行四边形 ABCD 中, AD = 1, ∠BAD = 60︒ , E 为 CD 的中点. 若 AC ·BE = 1 , 则 AB 的长为 .(13) 如图, 在圆内接梯形 ABCD 中, AB //DC , 过点 A 作圆的切线与 CB 的延长线交于点 E . 若 AB = AD = 5, BE = 4, 则弦 BD 的长为 .(14) 设 a + b = 2, b >0, 则 12 | a | + | a | 的最小值为 .b三．解答题: 本大题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分 13 分)某产品的三个质量指标分别为 x , y , z , 用综合指标 S = x + y + z 评价该产品的等级. 若 S ≤4, 则该产品为一等品. 现从一批该产品中, 随机抽取 10 件产品作为样本, 其质量指标列表⎪ 如下:产品编号 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5质量指标(x , y , z ) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1) 产品编号A 6A 7A 8A 9A 10质量指标(x , y , z ) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2)(I)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;(II) 在该样品的一等品中, 随机抽取 2 件产品, (⒈) 用产品编号列出所有可能的结果;(⒉) 设事件 B 为 “在取出的 2 件产品中, 每件产品的综合指标 S 都等于 4”, 求事件 B 发生的概率.(16) (本小题满分 13 分)在△ABC 中, 内角 A , B , C 所对的边分别是 a , b , c . 已知b sin A = 3c sin B , a = 3,(I) 求 b 的值;cos B =2.3(II) 求 ⎛ sin 2B - π ⎫ 的值.3 ⎝⎭(17) (本小题满分 13 分)如图, 三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 中, 侧棱 A 1A ⊥底面 ABC ,且各棱长均相等. D , E , F 分别为棱 AB , BC , A 1C 1 的中点. (I)证明 EF //平面 A 1CD ;(II) 证明平面 A 1CD ⊥平面 A 1ABB 1;(III) 求直线 BC 与平面 A 1CD 所成角的正弦值.(18) (本小题满分 13 分)设椭圆 x2+ y 2 = > > 的左焦点为 F , 离心率为 3 , 过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截a 2b 21(a b 0)3得的线段长为 4 3 .3(I)求椭圆的方程;(II) 设 A , B 分别为椭圆的左,右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C , D 两点. 若AC ·DB + AD ·CB = 8 , 求 k 的值.(19) (本小题满分 14 分)已知首项为 3 的等比数列{a } 的前 n 项和为S (n ∈ N *) , 且-2S , S , 4S成等差数列.2nn234(I) 求数列{a n} 的通项公式;(II) 证明S n + S n≤ 13 (n ∈ N *) .6(20) (本小题满分 14 分)⎧ 设a ∈[-2, 0], 已知函数 f (x ) = ⎪ x 3 - (a + 5)x ,x ≤ 0,⎨x 3- a + 3 x 2 + ax , x > 0.⎪⎩2(I)证明 f (x ) 在区间(－1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增; (II) 设曲线 y = f (x ) 在点P (x , f (x ))(i = 1, 2, 3) 处的切线相互平行, 且x x x ≠ 0,证明x + x+ x >1 . iii1 2 3123312013 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基础运算。
2013年高考文科数学天津卷
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分. 参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么 )()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V = Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. ·如果事件A , B 相互独立, 那么 )()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π=其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, B = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1] (2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y －2x 的最小值为(A) －7 (B) －4 (C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 则输出n 的值为(A) 7 (B) 6 (C) 5 (D) 4 (4) 设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件(5) 已知过点P (2,2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a = (A) 12-(B) 1(C) 2(D)12(6) 函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是(A) 1-(B)(C)(D) 0 (7) 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞上单调递增. 若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是(A) [1,2] (B) 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦(C) 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦(D) (0,2](8) 设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则 (A) ()0()g a f b <<(B) ()0()f b g a << (C) 0()()g a f b << (D) ()()0f b g a <<2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文 科 数 学第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. (9) i 是虚数单位. 复数(3 + i )(1－2i ) = .(10) 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为92π, 则正方体的棱长为 .(11) 已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为 .(12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AC BE =, 则AB 的长为 .(13) 如图, 在圆内接梯形ABCD 中, AB //DC , 过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E . 若AB = AD = 5, BE = 4, 则弦BD 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则1||2||a a b+的最小值为 .三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分13分)某产品的三个质量指标分别为x , y , z , 用综合指标S = x + y + z 评价该产品的等级. 若S ≤4, 则:(Ⅰ) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率; (Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取2件产品,(⒈) 用产品编号列出所有可能的结果;(⒉) 设事件B 为 “在取出的2件产品中, 每件产品的综合指标S 都等于4”, 求事件B 发生的概率.(16) (本小题满分13分)在△ABC 中, 内角A , B , C 所对的边分别是a , b , c . 已知sin 3sin b A c B =, a = 3, 2cos 3B =. (Ⅰ) 求b 的值;(Ⅱ) 求sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.(17) (本小题满分13分)如图, 三棱柱ABC －A 1B 1C 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABC ,且各棱长均相等. D , E , F 分别为棱AB , BC , A 1C 1的中点. (Ⅰ) 证明EF //平面A 1CD ;(Ⅱ) 证明平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1;(Ⅲ) 求直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值.(18) (本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , , 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左,右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB += , 求k 的值.(19) (本小题满分14分)已知首项为32的等比数列{}n a 的前n 项和为(*)n S n ∈N , 且234,2,4S S S -成等差数列. (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ) 证明13*)61(n n S n S +≤∈N .(20) (本小题满分14分)设[2,0]a ∈-, 已知函数332(5),03,0(,).2x f a x x a x x x x x a -+≤+-+>⎧⎪=⎨⎪⎩(Ⅰ) 证明()f x 在区间(－1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增;(Ⅱ) 设曲线()y f x =在点(,())(1,2,3)i i i x f x i P =处的切线相互平行, 且1230,x x x ≠ 证明12313x x x ++>.。
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2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, B = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1] (2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数2z y x =-的最小值为(A) －7 (B) －4 (C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 则输出n 的值为(A) 7 (B) 6(C) 5(D) 4(4) 设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件(5) 已知过点P (2,2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a = (A) 12-(B) 1 (C) 2 (D)12(6) 函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是(A) 1- (B) (C) (D) 0 (7) 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是(A) [1,2](B) 10,2⎛⎤⎥⎝⎦ (C)1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦(D) (0,2](8) 设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则(A) ()0()g a f b << (B) ()0()f b g a << (C) 0()()g a f b << (D) ()()0f b g a <<第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) i 是虚数单位. 复数(3 + i )(1－2i ) = .(10) 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为92π, 则正方体的棱长为 .(11) 已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为 .(12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AC BE = , 则AB 的长为 .(13) 如图, 在圆内接梯形ABCD 中, AB //DC , 过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E . 若AB = AD = 5, BE = 4, 则弦BD 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则1||2||a a b+的最小值为 .三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.(15) (本小题满分13分)某产品的三个质量指标分别为x , y , z , 用综合指标S = x + y + z 评价该产品的等级. 若S ≤4, 则:(Ⅰ) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;(Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品,(⒈) 用产品编号列出所有可能的结果;(⒉) 设事件B 为 “在取出的2件产品中, 每件产品的综合指标S 都等于4”, 求事件B 发生的概率.(16) (本小题满分13分)在△ABC 中, 内角A , B , C 所对的边分别是a , b , c . 已知sin 3sin b A c B =, a = 3, 2cos 3B =. (Ⅰ) 求b 的值;(Ⅱ) 求sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.(17) (本小题满分13分)如图, 三棱柱ABC －A 1B 1C 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABC ,且各棱长均相等. D , E , F 分别为棱AB , BC , A 1C 1的中点.(Ⅰ) 证明EF //平面A1CD ;(Ⅱ) 证明平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1;(Ⅲ) 求直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值.(18) (本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,, 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB += , 求k 的值.(19) (本小题满分14分)已知首项为32的等比数列{}n a 的前n 项和为(*)n S n ∈N , 且234,2,4S S S -成等差数列. (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ) 证明13*)61(n n S n S +≤∈N .(20) (本小题满分14分)设[2,0]a ∈-, 已知函数332(5),03,0(,).2x f a x x a x x x x x a -+≤+-+>⎧⎪=⎨⎪⎩(Ⅰ) 证明()f x 在区间(－1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增;(Ⅱ) 设曲线()y f x =在点(,())(1,2,3)i i i x f x i P =处的切线相互平行, 且1230,x x x ≠ 证明12313x x x ++>.参考答案及解析(1) 【答案】D【解析】因为{22}A x x =-≤≤,所以{21}B A x x =-≤≤ ，选D. (2) 【答案】A【解析】由2z y x =-得2y x z =+。
作出可行域如图，平移直线2y x z =+，由图象可知当直线2y x z =+经过点D 时，直线2y x z =+的截距最小，此时z 最小，由2030x y y --=-=⎧⎨⎩，得53x y ==⎧⎨⎩，即(5,3)D 代入2z y x =-得3257z =-⨯=-，选A. (3) 【答案】D【解析】第一次循环，1,2S n =-=；第二次循环，21(1)21,3S n =-+-⨯==；第三次循环，31(1)32,4S n =+-⨯=-=；第四次循环，42(1)42S =-+-⨯=，满足条件输出4n =，选D.(4) 【答案】A【解析】若2()0a b a -<，则0a b -<，即a b <。
若0a b =<时2()0a b a -=，所以2()0a b a -<是a b <的充分而不必要条件，选A.(5) 【答案】C【解析】设直线斜率为k ，则直线方程为2(2)y k x -=-，即220kx y k -+-=，圆心(1,0)到直线的距，，解得12k =-。
因为直线与直线10ax y -+=垂直，所以112k a =-=-， 即2a =,选C. (6) 【答案】B【解析】当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，02x π≤≤，32444x πππ-≤-≤，所以当244x ππ-=-时，函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小值为sin()4y π=-=，选B.(7) 【答案】C【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且122log log a a =-，所以222122(log )(log )(log )(log )2(log )2(1)f a f a f a f a f a f +=+-=≤，即2(log )(1)f a f ≤，因为函数在区间[0,)+∞单调递增，所以2(log )(1)f a f ≤，即2log 1a ≤，所以21log 1a -≤≤，解得122a ≤≤，即a 的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，选C.(8) 【答案】A 【解析】由220,()ln (30)x x g x x e x f x +-==+=-=得22,ln 3x x x e x =-+=-+，分别令122(),()x f x e f x x =-+=，221()ln ,()3g x x g x x ==-+。
在坐标系中分别作出函数122(),()x f x e f x x =-+=，221()ln ,()3g x x g x x ==-+的图象，由图象知01,12a b <<<<。
此时21()()g a g a <，所以()0g a <又。
12()()f b f b >，所以()0f b >，即()0()g a f b <<，选A. 二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. (9)【答案】55i -【解析】(3 + i )(1－2i )232655i i i i =-+-=-。
(10)【解析】设正方体的棱长为a ，则正方体的体对角线为直径，即2r =，即球半径r =。
若球的体积为92π，即349)32ππ=，解得a = (11)【答案】2213y x -=【解析】抛物线的准线方程为2x =-，因为双曲线的一个焦点在准线2x =-上，所以2c -=-，即2c =，且双曲线的焦点在x 轴上。
又双曲线的离心率为2，即22c e a a===，解得1a =，所以222413b c a =-=-=，所以双曲线的方程为2213y x -=。
(12)【答案】12【解析】因为E 为CD 的中点，所以1122BE BC CE AD DC AD AB =+=-=- . AD AC AB=+因为·1AC BE = ，所以22111·()()1222AC BE AD AB AD AB AD AB AB AD =-⋅+=-+⋅= ，即2111cos60122AB AB -+= ，所以211024AB AB -+=，解得12AB = 。