常微分方程的差分方法

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常微分方程与差分方程

数值解法的改进
高精度算法
随着计算机技术的发展，人们开发出了许多高精度、高效率的数值解法，如谱方法、有限元方法等。
自适应算法
自适应算法可以根据问题的复杂性和解的特性自动调整计算精度和计算量，提高了数值解法的可靠性和效率。
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常微分方程的解法
总结词
求解常微分方程的方法有多种，如分离变量法、积分因子法、参数变易法等。
详细描述
求解常微分方程的方法有多种，其中分离变量法和积分因子法是比较常用的方法。分离变量法是将方程中的变量分离出来，转化为多个简单的微分方程，然后分别求解。积分因子法是通过引入一个因子，将原方程转化为易于求解的形式。此外，参数变易法也是求解常微分方程的一种常用方法，它通过将参数引入到原方程中，使得原方程转化为易于求解的形式。
VS
详细描述
根据形式和性质的不同，常微分方程可以分为多种类型。常见的一阶常微分方程是形式为dy/dx = f(x, y)的方程，其中f(x, y)是一个关于x和y的函数。二阶常微分方程是形式为y'' = f(x, y')的方程，其中y'表示y对x的导数。此外，根据是否含有线性项和非线性项，常微分方程还可以分为线性常微分方程和非线性常微分方程。
02 差分方程的基本概念
差分方程的定义
差分方程是描述离散变量之间关系的数学模型，通常表示为离散时间点的函数值的差分关系式。
它与微分方程类似，但时间变量是离散的，而不是连续的。
差分方程的分类Leabharlann 01一阶差分方程只包含一个差分的方程，如 (y(n+1) - y(n) = f(n))。

常微分方程的差分的方法

对于二阶常微分方程 $y'' = f(t, y, y')$，可以采用隐式差分法或显式差分法进行求解。
VS
隐式差分法需要解方程组，计算量大，但精度高；显式差分法精度低但计算量小。
复杂微分方程组的求解实例
对于多个一阶或二阶常微分方程组成的复杂微分方程组，可以采用耦合差分法或龙格-库塔法进行求解。
差分方法的基本概念和原理
基本概念
差分方法的基本概念是将时间或空间离散化，将连续的微分方程转化为离散的差分方程。在时间离散化中，我们使用向前、向后或中心差分近似微分项；在空间离散化中，我们使用有限差分近似微分项。
原理
差分方法的原理是将连续的微分方程转化为离散的差分方程，然后通过迭代或递推的方式求解该差分方程。在每一步迭代或递推中，我们使用已知的函数值和差分近似来计算新的函数值，直到达到所需的精度或收敛条件。
耦合差分法是将多个微分方程转化为耦合的差分方程组进行求解；龙格-库塔法是一种迭代算法，通过已知的$y_n$和$y'_n$来求解$y_{n+1}$。
THANKS
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REPORTING
https://
改进的龙格-库塔方法
引入预估校正步骤
为了提高数值解的精度和稳定性，可以在龙格-库塔方法中引入预估校正步骤。通过预估和校正两个步骤的结合，可以减小数值误差并提高方法的收敛速度。
考虑非线性项的处理
在求解二阶常微分方程时，非线性项的处理对于数值解的精度和稳定性具有重要影响。通过改进非线性项的处理方式，可以进一步提高改进的龙格-库塔方法的性能。
有限差分法
有限差分法的原理
有限差分法是一种基于离散化的数值方法，通过将微分方程转化为差分方程来求解。该方法的关键在于选择合适的差分格式和离散化方案，以保证数值解的精度和稳定性。

常微分方程与差分方程

高阶差分：二阶及二阶以上的差分.
嘉兴学院
17 June 2019
第十章常微分方程与差分方程
例 1 求( x2 ), 2 ( x2 ), 3 ( x2 ).
解设y x 2，则
第4页
yx ( x2 ) ( x 1)2 x2 2x 1
2 yx 2( x2 ) (2x 1)
3 yx zx yx1zx zxyx yxzx zx1yx
4

yx zx

zxyx yxzx zx zx1

zx1yx yx1zx zx zx1
可参照导数的四则运算法则学习
嘉兴学院
17 June 2019
第十章常微分方程与差分方程
第18页
例 8 确定下列方程的阶 (1) yx3 x 2 yx1 3 yx 2
(2) yx2 yx4 yx2
解 (1) x 3 x 3，
(1)是三阶差分方程；
(2) x 2 ( x 4) 6，
(2)是六阶差分方程.
yxn a1( x) yxn1 an1( x) yx1 an ( x) yx f x 2
f x 0
嘉兴学院
17 June 2019
第十章常微分方程与差分方程
第24页
1.n阶齐次线性差分方程解的结构
yxn a1( x) yxn1 an1( x) yx1 an ( x) yx 0 1
第十章常微分方程与差分方程
第9页
证明（3）
yx zx
yx1 zx1 yx zx
yx1 zx1 yx zx1 yx zx1 yx zx

第三章常微分方程的差分方法15

第三章常微分方程的差分方法
1．教学内容：
Euler方法：Euler公式，单步显式公式极其局部截断误差；后退Euler公式，单步隐式公式极其局部截断误差；梯形公式，预测校正公式与改进Euler公式。
2．重点难点：
Euler公式，预测校正公式与改进Euler公式
3．教学目标：
了解欧拉方法的几何意义、对给出的初值问题，能利用Euler公式，改进Euler公式进行数值求解
科学技术当中常常需要求解常微分方程的定解问题。这类
问题的最简单的形式，是本章着重要考察的一阶方程的初值问题：
y ' f x, y
y
x0
y0
（1）（2）
本章中我们假定右函数适当光滑以保证初值问题解的存
在唯一。虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但求解从实际问题中归结出来的微分方程要靠数值解法。
（其解析解为） y 2x 1
解：设步长 h=0.1，由改进的欧拉格式（10）有：
y
p
yn
h( yn
2xn ) yn

yc
yn
h( y p
2 xn1 ) yp
yn
1
1 2
(yp
yc )
n=0时
yp
y(xn ))
替代方程
y' (xn1) f (xn1, y(xn1))
中的导数项 y'xn1 再离散化，即可导出下列格式
yn1 yn hf xn1, yn1
（5）
该格式右端含有未知的 yn1 它实际上是个关于 yn1
的函数方程。故称该格式为隐式欧拉格式。
由于向前差商和向后差商具有同等精度，故隐式欧拉格式也是一阶方法，精度与欧拉格式相当。但计算远比显式格式困难得多。

第三章常微分方程的差分方法(17-18)

四阶经典龙格解：四阶经典龙格-库塔公式
h y n +1 = y n + ( K 1 + 2 K 2 + 2 K 3 + K 4 ) 6 K1 = f ( xn , y n ) h K 2 = f ( xn+ 1 , y n + K1 ) 2 2 h K 3 = f ( x 1 , y n + K 2 ) n+ 2 2 K = f ( x , y + hK ) n +1 n 3 4
y ( x n +1 ) − y ( x n ) = y ′(ξ ) h
所以
y ( xn +1 ) = y ( xn ) + hy ′(ξ )
即
y ( xn +1 ) = y ( xn ) + hf (ξ , y (ξ )
（11）
K ∗ = f (ξ , y (ξ ) ) 为区间 [ xn , xn +1 ] 上的平均我们称斜率，这样只要对平均斜率 K ∗提供一种算法，相应地我
（16）
值得注意的是，龙格－库塔法的推导基于泰勒展开法，因而它要求解具有较好的光滑性。如果解的光滑性差，则该方法得到的解反而不好。
运用四阶经典龙格例：运用四阶经典龙格-库塔方法计算
3x y'= y − y y (0) = 1
的解在x=0.4处的近似值。取步长h=0.2。的解在x=0.4处的近似值。取步长h=0.2。 x=0.4处的近似值 h=0.2
x n + p = x n + ph,
0 < p ≤1
x n + q ∈ [ x n , x n +1 ]

常微分方程有限差分

常微分方程有限差分
常微分方程是描述自然界中许多现象的数学模型，它们通常用
于描述变化的速率和趋势。

而有限差分则是一种数值方法，用于对
微分方程进行离散化处理，从而可以通过计算机进行求解。

将这两
者结合起来，可以得到一种强大的工具，用于求解复杂的微分方程
问题。

在常微分方程有限差分的方法中，我们首先将微分方程转化为
差分方程，然后利用数值方法进行求解。

这种方法的优势在于，它
可以处理一些无法通过解析方法求解的复杂微分方程，同时也可以
通过计算机进行高效的数值求解。

常微分方程有限差分的方法在科学和工程领域有着广泛的应用。

例如，在物理学中，它可以用于描述物体的运动和变形；在工程领域，它可以用于分析电路的动态行为和控制系统的稳定性；在生物
学中，它可以用于描述生物种群的增长和衰减。

通过常微分方程有
限差分的方法，我们可以更好地理解和预测这些现象的变化规律。

总之，常微分方程有限差分是一种强大的数值方法，它为我们
解决复杂的微分方程问题提供了新的途径。

通过这种方法，我们可
以更深入地理解自然界中的各种现象，并且为科学和工程领域的发展提供了重要的数学工具。

第三章常微分方程的差分方法

P1 P1 P0 Pi+1 Pn y=y(x) Pi Pn Pi Pi+1
Euler法的求解过程是:从初始点 P0(即点(x0,y0))出发,作积分曲线 y=y(x)在P0点上切线 P0 P (其斜率 1 为 y( x0 ) f ( x0 , y0 ) ),与x=x1直线
x0
x1
xi
xi+1
自动化工程学院
School of Automation Engineering
第三章
P1 P1 P0
常微分方程的差分方法
Pi+1 Pn Pi Pi+1 Pi y=y(x) Pn
x0
x1
xi
xi+1
xn
由此获得了P2的坐标。重复以上过程,就可获得一系列的点:P1,P1,…,Pn。对已求得点 Pn ( xn , y n ) 以 y ( xn ) = f ( xn , yn )为斜率作直线当 x xn1 时,得取 y( xn ) y n
第三章
常微分方程的差分方法
第三章常微分方程的差分方法
引言
包含自变量、未知函数及未知函数的导数或微分的方
程称为微分方程。在微分方程中, 自变量的个数只有一个, 称为常微分方程。自变量的个数为两个或两个以上的微分方程叫偏微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数。如果未知函数y及其各阶导数
对于初值问题
散化，建立求数值解的递推公式。递推公式通常有两类，一类是计算yi+1时只用到xi+1, xi 和yi，即前一步的值，因此有了初值以后就可以逐步往下计算，此类方法称为单步法；其代表是龙格—库塔法。另一类是计算yi+1时，除用到xi+1,xi和yi以外，还要用到 xi p , yi p ( p 1,2,, k ) ，即前面k步的值，此类方法称为多步法；其代表是亚当斯法。

常微分方程与差分方程

一阶方程
代入法特征根法
特征方程的根及其对应项
待定系数法
基本概念
n阶常系数线性方程
二阶方程
特征方程法
特征方程的根及其对应项
待定系数法
f(x)的形式及特解形式
线性方程解的结构
相关定理
f(x)的形式及特解形式
嘉兴学院
29 December 2020
第十章常微分方程与差分方程
第5页
差分方程解题思路
嘉兴学院
29 December 2020
第十章常微分方程与差分方程
第7页
通解如果微分方程的解中含有独立的任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解．
特解确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解．
初始条件用来确定任意常数的条件.
初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题．
无关的特解, 那么 y C1 y1 C2 y2 就是方程(1)的通解.
（2）二阶非齐次线性方程解的结构:
形如 y P( x) y Q( x) y f ( x)
(2)
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29 December 2020
第十章常微分方程与差分方程
第13页
定理 3 设 y*是(2)的一个特解, Y 是与(2)对应
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29 December 2020
第十章常微分方程与差分方程
第8页
2.一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
形如 g( y)dy f ( x)dx
解法 g( y)dy f ( x)dx
分离变量法
(2) 齐次方程形如 dy f ( y) dx x

常微分方程差分解法、入门、多解法

毕业论文题目抛物型方程的差分解法学院数学科学学院专业信息与计算科学班级计算0802学生王丹丹学号20080901045指导教师王宣欣二〇一二年五月二十五日摘要偏微分方程的数值解法在数值分析中占有重要的地位，很多科学技术问题的数值计算包括了偏微分方程的数值解问题【1】。

近三十多年来，数值解法的理论和方法都有了很大的发展，而且在各个科学技术的领域中应用也愈来愈广泛。

本文的研究主要集中在依赖于时间的问题，借助于简单的常系数扩散方程，介绍抛物型方程的差分解法。

本文以基本概念和基本方法为主，同时结合算例实现算法。

第一部分介绍偏微分方程及差分解法的基本概念，引入本文的研究对象——常系数扩散方程：22,,0 u ua x R tt x∂∂=∈>∂∂第二部分介绍上述方程的几种差分格式及每种格式的相容性、收敛性与稳定性。

第三部分通过算例检验每种差分格式的可行性。

关键词：偏微分方程；抛物型；差分格式；收敛性；稳定性；算例ABSTRACTThe numerical solution of partial differential equation holds an important role in numerical analysis .Many problems of compution in the field of science and techology include the numerical solution of partial differential equation. For more than 30 years, the theory and method of the numerical computation made a great development and its applications in various fields of science and technology are more and more widely. This paper focuses on the problems based on time. I will use object-constant diffusion equation to introduces the finite difference method of parabolic equation. This paper mainly focus on the basic concept ,basic method and simple numerical example.The first part of this paper introduces partial differential equations and basic concepts of finite difference method.I will introduce the object-constant diffusion equation for thefirst time.22,,0 u ua x R tt x∂∂=∈>∂∂The second part of this paper introduces several difference schemes of the above equation and their compatibility ,convergence and stability.The third part tests the accuracy of each scheme.Key words:partial differential equation；parabolic；difference scheme；convergence；stability；application目录摘要 (I)ABSTRACT (II)目录 (III)1前言 (1)2基本概念和定理 (2)2.1抛物型方程的基本概念 (2)2.1.1偏微分方程的定义 (2)2.1.2抛物型方程的定义 (2)2.1.3初边值条件的定义 (3)2.2 差分方法的基本思想 (3)2.3网格剖分 (4)2.4截断误差的基本概念 (5)2.5相容性的基本概念 (7)2.6收敛性的基本概念 (7)2.7稳定性的基本概念 (8)2.7.1判断稳定性的直接法 (8)2.7.2判断稳定性的Fourier方法 (9)3常系数扩散方程的差分格式及其相容性、收敛性和稳定性分析 (12)3.1向前差分格式 (12)3.2向后差分格式 (13)3.3 Crank-Nicolson格式 (14)3.4 Richardson格式 (16)4差分解法的应用 (18)结论 (25)参考文献..................................................... .................. .. (26)致谢 (27)附录 (28)1前言微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程[2]。

计算方法常微分方程的差分方法

01
扰动值满足原来的差分方程，如果原差分方程的解是不增长的，即有
03
从而需要
02
这时就能保证Euler方法的稳定性。
04
Euler格式条件稳定
隐式Euler格式是恒稳定(无条件稳定)的
隐式Euler方法
由于λ<0，从而有与恒成立。
1
则：
2
而
3
显然：
4
校正后的误差
从而有：
事后估计式
令pn和cn分别代表第n步的预报值和校正值，和
可作为pn+1和cn+1的改进值。在cn+1未确定前，可用pn-cn来代替pn+1-cn+1进行计算。
改进后的公式
Exercises 习题3的第13题。
设xn-x0=nh≤T(T为常数)，则
从而
显然，如果初值准确，则有h→0,en → 0.
1
Euler格式收敛。
2
04
03
01
02
稳定性
每一步的计算并不严格准确，存在计算误差的传播问题——扰动。
若
则称为稳定的。
Euler格式和隐式Euler格式
稳定性问题的讨论
Euler格式设在节点值yn上有一扰动值εn，它的传播使节点值yn+1上产生大小为εn+1的扰动值。假设Euler方法的计算过程不再引入新的误差，则扰动值满足：
改进的思路：
01
先用欧拉方法求得一个初步的近似值，记为 (预报值)，代替右侧的yn+1直接计算，得到校正值yn+1。
02
改进的Euler公式
03
或如下平均化形式
例题
精度分析

常微分方程两点边值问题的差分方法

常微分方程两点边值问题的差分方法说实话常微分方程两点边值问题的差分方法，我一开始也是瞎摸索。

我就知道这是个挺难搞的事儿，但我就想把它弄明白。

我最早尝试直接用我之前学过的常微分方程的一些解法，可发现对于两点边值问题完全行不通，这才意识到这个问题很特殊，需要专门的方法来对付。

那我就开始了解差分方法呗。

这个差分啊，简单来说就有点像我们数东西的时候不是一个一个数，而是隔几个数一个那样，在数学里就是把连续的函数离散化。

比如说我们有个常微分方程，在一个区间上的两点边值问题，我要做的第一步，不妨就把这个区间分成好多小份，这个小份的大小我开始还不确定选多少好呢，我就试了好几个不同的值。

我试着先在网格点上近似导数。

我最开始想当然地用了一种很简单的近似方法，就像我们估算速度的时候，直接用两个点的函数值之差除以距离嘛，但是发现这样得到的结果那叫一个惨不忍睹啊，误差大得很。

后来仔细研究才知道，要根据这个常微分方程的具体形式来更好地构造近似导数，才能减小误差。

还有在处理边界条件的时候，这个可千万不能马虎。

我一开始就没太重视边界条件，结果算出的结果也完全不对。

其实就像是盖房子必须要打好地基一样，这个边界条件对于两点边值问题就是根基，如果根基歪了，那整个房子肯定也立不住。

我后来发现了一个比较靠谱的步骤。

就是在差分的时候，对于方程中的每一项，根据泰勒公式来构建合理的差分格式。

这个就像搭积木，每个部分都要搭得准确才能让整体稳固。

我把方程中的项都按照精心设计的差分格式替换掉之后，就得到了一个代数方程组，解这个方程组就能够求出在离散点上的近似解了。

不过这里面还有个小窍门，在求解方程组的时候，我刚开始没注意方程组矩阵的性质，有时候得到的解是不准确的。

我后来发现有的矩阵如果是稀疏友好型的，那就要选择专门针对稀疏矩阵的算法来求解，这样速度又快结果又准确。

我不确定我现在的方法是不是最完美的，但就目前我做的一些练习题还有自己研究的小例子来说，这个方法已经相当好用了。

5.1常微分方程的数值解法

5.1常微分⽅程的数值解法第五章常微分⽅程的差分⽅法⼀、教学⽬标及基本要求通过对本节课的学习，使学⽣掌握常微分⽅程、常微分⽅程⽅程组的数值解法。

⼆、教学内容及学时分配本节课主要介绍常微分⽅程的数值解法。

具体内容如下：讲授内容：欧拉公式、改进的欧拉公式。

三、教学重点难点1．教学重点：改进的欧拉公式、龙格库塔⽅法、收敛性与稳定性。

2. 教学难点：收敛性与稳定性。

四、教学中应注意的问题多媒体课堂教学为主。

适当提问，加深学⽣对概念的理解。

五、正⽂基于数值积分的求解公式：欧拉公式、改进的欧拉公式引⾔1．主要考虑如下的⼀阶常微分⽅程初值问题的求解:00()(,)()y x f x y y x y '=??=?微分⽅程的解就是求⼀个函数y=y(x)，该函数满⾜微分⽅程并且符合初值条件。

2. 例如微分⽅程:xy'-2y=4x ；初始条件: y(1)=-3。

于是可得⼀阶常微分⽅程的初始问题24(1)3y y x y ?'=+=-?。

显然函数y(x)=x 2-4x 满⾜以上条件,因⽽是该初始问题的微分⽅程的解。

3. 但是,只有⼀些特殊类型的微分⽅程问题能够得到⽤解析表达式表⽰的函数解，⽽⼤量的微分⽅程问题很难得到其解析解，有的甚⾄⽆法⽤解析表达式来表⽰。

因此，只能依赖于数值⽅法去获得微分⽅程的数值解。

4．微分⽅程的数值解：设微分⽅程问题的解y(x)的存在区间是[a,b]，初始点x 0=a ，将[a,b]进⾏划分得⼀系列节点x 0 , x 1 ,...,x n ，其中a= x 0< x 1<…< x n =b 。

y(x)的解析表达式不容易得到或根本⽆法得到，我们⽤数值⽅法求得y(x)在每个节点x k 的近似值y(x k )，即 y≈y(x k )，这样y 0 , y 1 ,...,y n 称为微分⽅程的数值解。

如果计算y n 时，只利⽤y n-1，称这种⽅法为单步法；如果在计算y n 时不仅利⽤y n-1，⽽且还要利⽤y n-2, y n-3,…, y n-r ,则称这种⽅法为r 步⽅法，也称多步法。

数值分析9-常微分方程的差分方法

➢ 基于数值积分的构造法
将 y f ( x, y) 在 [ xi , xi1] 上积分，得到
y( xi1) y( xi )
xi1 f ( x, y( x))dx
xi
只过要yi近1 似y地i 算Ik出近右似边y(x的i+1积) 。分而I选k 用不xxii1同f (近x,似y(式x))Idkx，，可则得可到通不
2
p
1 2
这里有 3 个未知数， 2 个方程。
存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格 - 库塔格式。注意到，p 1, 1 就2是改12 进的欧拉法。
Q: 为获得更高的精度，应该如何进一步推广？
龙格-库塔方法一般推导公式
yi1
yi
h[
1
K1
2
K2
...
m
Km]
K1 f (xi , yi )
Step 1: 将 K2 在 ( xi , yi ) 点作 Taylor 展开
K2 f ( xi ph, yi phK1 )
f ( xi , yi ) phfx ( xi , yi ) phK1 f y ( xi , yi ) O(h2 )
y( xi ) phy( xi ) O(h2 )
yn )
f ( xn1,
yn1 )]
各种方法的比较
方法显式欧拉隐式欧拉梯形公式
中点公式
简单稳定性最好精度提高
精度提高, 显式
精度低精度低, 计算量大
计算量大
多一个初值, 可能影响精度
改进的欧拉格式
Step 1: 先用显式欧拉公式作预测，算出 yi1 yi h f ( xi , yi )
欧拉公式
向前差商近似导数

常微分方程的差分方法-欧拉法

常微分方程的差分方法-欧拉法一、摘要：人类社会已迈进电子计算机时代。

在今天，熟练地运用计算机进行科学计算，已成为广大科技工作者和学者的一项基本技能，数值分析的基本内容是数值算法的设计与分析，科学技术当中常常需要求解常微分方程的定解问题，本文中主要以解决此问题最简单形式（一阶方程的初值问题）来求解微分方程。

虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程，求解从实际问题中归结出来的微分方程主要主要靠数值解法，本文就数值解法中的差分方法进行求解微分方程。

二、关键词：差分方法、初值问题、数值解法、MATLAB三、引言：科学计算不应当将计算方法片面的理解为各种算法的简单罗列和堆积，它也是一门内容丰富、思想方法深刻而有着自身理论体系的数学学科。

微积分的发明是人类智慧的伟大发展。

求解常微分方程有各种各样的解析方法，但解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程，求解从实际问题中归结出来的微分方程主要主要靠数值解法。

怎样应用数值解法求解从实际问题中归结出来的微分方程呢？四、正文y′=f(x,y) (1)y(x0)=y0 (2)方程（1）中含有导数项y′(x),这是微分方程的本质特征，也正是它难以求解的症结所在。

数值解法的第一步就是设法消除其导数项，这项手续称离散化。

由于差分是微分的近似运算，实现离散化的基本途径是用差商替代导数。

譬如，若在点x n列出方程（1）：y′(x n)=f(x n,y(x n))替代其中的导数项y′(x n),结果有：并用差商y(x n+1)−y(x n)hy(x n+1)≈y(x n)+hf(x n,y(x n))设用y（x x）的近似值y n代入上式的右端，记所得结果为y n+1,这样导出的计算公式：y(x n+1)=y(x n)+hf(x n,y(x n))，n=0,1,2, (3)这就是众所周知的欧拉（Euler）格式。

若初值y0是已知的，则据式（3）可以逐步算出数值解y1,y2,…。

常微分方程差分方程解法归纳

‘P(x)dxC (x) =Q(x)e ，，再对其两边积分得fP(x) dxC(x)二.Q(x)e dx C ，于是将其回代入常微分方程解法归纳1. 一阶微分方程部分①可分离变量方程(分离变量法) 如果一阶微分方程 d^ = f (x, y)中的二元函数 f (x, y)可表示为f (x, y)二g(x)h(y) dx 的形式，我们称 3 =g(x)h(y)为可分离变量的方程。

dx 对于这类方程的求解我们首先将其分离变量为 -dy g(x)dx 的形式，再对此式两边积 h(y)分得到型 g(x)dx C 从而解出 3二g(x)h(y)的解，其中C 为任意常数。

' h(y) ' dx 具体例子可参考书本 P10 — P11的例题。

②一阶线性齐次、非齐次方程(常数变易法) 如果一阶微分方程史=f (x, y)中的二元函数f (x, y)可表示为 dx f(x, y) =Q(x) - P(x)y 的形式，我们称由此形成的微分方程 dy P(x)y =Q(x)为一阶线 dx性微分方程，特别地，当 Q(x) =0时我们称其为一阶线性齐次微分方程，否则为一阶线性非齐次微分方程。

对于这类方程的解法，我们首先考虑一阶线性齐次微分方程裂P(x)厂0,这是可 —P(x)dx分离变量的方程，两边积分即可得到 y 二Ce • ，其中 C 为任意常数。

这也是一阶线性非齐次微分方程的特殊情况，两者的解存在着对应关系，设 C(x)来替换C ,于是一阶线性非齐次微分方程存在着形如 y=C(x)e - …P(x)dx …P(x)dx得至U C (x)e —P(x)C(x)e-P(x)dx dy 的解。

将其代入 P(x)y 二Q(x)我们就可 dx…P(x)dxP(x)C(x)e • 二Q(x)这其实也就是 —'P(x)dx y = C(x)e 即得一阶线性微分方程鱼，P(x)y =Q(x)的通解 dx-P(x)dxy =e .Q(x)eP(x)dxdx + CI 。

第3章常微分方程的差分方法

6
a = x0 < x1 < … < xi < … < xn = b
上的近似值y0, y1, …, yn。
两相邻节点间的距离
hi = xi+1 - xi (i=0,1,2,…,n-1)
称为步长。当
hi h （常值）时称为等步长，有
x x i, h ( i 1 , 2 ,... n ) i 0
Pn 1
Pn
Pn
y y(x)
Pn 1

o
x 0 x1 x 2
x i x i 1 x n 1 x n
图7-2
x
与14Leabharlann 得到 y2 作为y(x2 ) 的近值；……如此继续，直到Pn 点。这样，得出一条折线P0 P1P2…Pi…Pn 近似代
替积分曲线P'0 P'1P'2…P'i…P'n 。当步数越多时，
步格式。其中（2.5）是一个数值微分公式。故用其他数值微分公式也可导出略异于（ 2.2）的其他形式的算式来。例如，用向后差商表示的两点数值微分公式
1 h y ( x ) y ( x ) y ( x ) y ( ) i 1 i 1 i i h 2 ( i 0 , 1 , ,n 1 )
y(xi+1 )和 y(xi )用其近似值 yi+1 和 yi 代入，则得
y y hf ( x , y )( i 0 , 1 , 2 ,..., n 1 )
i 1 i i i
16
此即（2.2）（欧拉格式）。显然，欧拉格式具有递推性，在计算yi+1时只要用到前一
步所得结果 yi 一个信息就够了，因此是一种单步格式或称一

常微分方程的差分方法

y y hz h 2 ( L L L ) n n 2 3 n1 6 1 z n1 z n h ( L1 2 L2 2 L3 L4 ) 6
h yn1 yn ( K 1 2 K 2 2 K 3 K 4 ) 6 z z h ( L 2L 2L L ) n 1 2 3 4 n1 6
5
九．收敛性与稳定性
1．收敛性问题
n Ch2 (1 hL) n1
Ch2 (1 hL)[Ch2 (1 hL) n 2 ] Ch2 (1 hL)Ch2 (1 hL)2 n 2 Ch2 (1 hL)Ch2 (1 hL)2 Ch2 (1 hL)3 n 3 1 n 2 Ch (1 hL)i (1 hL)n 0
1．收敛性问题
对于任意固定的xn=x0+nh，如果数值解yn当h0（同时 n∞）时趋向于准确解y(xn) ，则称该方法是收敛的。
定义：设y(xn)是初值问题的精确解，yn表示用某种数值方法算出的数值解 εn= y(xn) - yn 称为该方法在xn的整体截断误差。
4
九．收敛性与稳定性
1．收敛性问题
13
十．方程组与高阶方程的情形
2．化高阶方程为一阶方程组
y z , y ( x 0 ) y0 z f ( x , y , z ), z ( x0 ) y0
y y hz h 2 ( L L L ) n n 2 3 n1 6 1 z n1 z n h ( L1 2 L2 2 L3 L4 ) 6
19
作业
整理上机作业
20
16
十一．边值问题

常微分方程和差分方程

详细描述
差分方法将微分方程转化为离散化的差分方程，然后通过迭代求解这些差分方程来逼近微分方程的解。该方法适用于大规模问题，
且具有较高的计Leabharlann 效率和精度。05 常微分方程与差分方程的并行计算
并行计算的基本概念
并行计算
指在同一时间段内处理多个任务或计算多个数据的方法，以提高计算效率和速度。
并行计算模型
总结词
龙格-库塔方法是一种迭代方法，通过构造一系列近似解来逼近微分方程的精确解。
详细描述
龙格-库塔方法采用了一种更加稳定和精确的方法来逼近微分方程的解，它通过在每个时间步长内应用一系列线性插值来改进近似解。该方法对于刚性和非刚性微分方程都适用，且具有较高的精度和稳定性。
差分方法
总结词
差分方法是基于离散化时间或空间的数值方法，通过将微分方程转化为差分方程来求解。
常见的并行计算模型包括分布式计算、多线程计算、GPU加速计算等。
并行计算的优势
通过并行计算，可以显著提高大规模计算任务的执行效率和速度，减少计算时间。
并行计算在常微分方程中的应用
并行求解常微分方程
01
利用并行计算技术，可以将常微分方程的求解过程分解为多个
子任务，并同时处理这些子任务，从而加快求解速度。
初值问题与解的存在唯一性
初值问题
给定函数在某点的初始值，求解该函数在初始点附近的性质。
解的存在唯一性
对于适当的初值问题，存在唯一的解满足给定的条件。
一阶常微分方程
定义
只含有一个导数的一阶常微分方程。
求解方法
通过积分、代入法、分离变量法等求解。
高阶常微分方程
定义
包含未知函数的高阶导数的常微分方程。

常微分方程的差分方法

x, y x

h 2

f
xn, y xn f
xn1, y xn1
再离散化，即可得如下计算公式
yn1

yn

h 2

f
xn ,
yn

f
xn1,
yn1
与梯形求积公式相呼应的这一差分格式称为梯形格式。
第三章常微分方程的差分方法
§ 1 欧拉方法 § 2 改进的欧拉方法 § 3 龙格-库塔方法 § 4 亚当姆斯方法 § 5 收敛性与稳定性 § 6 方程组与高阶方程的情形 § 7 边值问题
数值分析简明教程
4.1
安工大2004
引言
科学技术当中常常需要求解常微分方程的定解问题。这类问题的
最简单的形式，是本章着重要考察的一阶方程的初值问题：
数值分析简明教程
4.9
安工大2004
七桥问题
• 七桥问题Seven Bridges Problem
18世纪著名古典数学问题之一。在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来( 如图)。问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点？欧拉于1736年研究并解决了此问题，他把问题归结为如下右图的“ 一笔画”问题，证明上述走法是不可能的。
，虽然他被别人从火海中救了出来，但他的书房和大量研究成果全部化为灰烬了．
•
沉重的打击，仍然没有使欧拉倒下，他发誓要把损失夺回来．欧拉完
全失明以后，虽然生活在黑暗中，但仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗，凭着
记忆和心算进行研究，直到逝世，竟达17年之久
数值分析简明教程
4.11
安工大2004

常微分方程的差分方法

常微分方程与差分方程

常微分方程的差分的方法

常微分方程与差分方程

第三章常微分方程的差分方法15

第三章常微分方程的差分方法(17-18)

常微分方程有限差分

第三章 常微分方程的差分方法

常微分方程与差分方程

常微分方程差分解法、入门、多解法

计算方法常微分方程的差分方法

常微分方程两点边值问题的差分方法

5.1常微分方程的数值解法

数值分析9-常微分方程的差分方法

常微分方程的差分方法-欧拉法

常微分方程差分方程解法归纳

第3章 常微分方程的差分方法

常微分方程的差分方法

常微分方程和差分方程

常微分方程的差分方法

第三章常微分方程的差分方法

第3章常微分方程的差分方法